Phương pháp giải các dạng toán 9

Một số dạng toán ôn thi vào lớp 10

Người soạn Vũ Văn Bắc
Ngày soạn 22 tháng 4 năm 2012

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc


VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC

1.1 Dẫn nhập kỹ năng giải toán

 Phân tích mẫu thức thành nhân tử đạt điều kiện cho mẫu thức và căn thức nếu có
 Một số câu hỏi thường gặp trong bài toán về căn thức
 Rút gọn biểu thức
 Giải bất phương trình : chú ý điều kiện ban đầu
 Giải phương trình : chú ý điều kiện ban đầu để loại nghiệm nếu có
 Chia nhỏ các biểu thức để tính nếu như biểu thức cần tính là phức tạp hay dài dòng
 Lưu tâm rằng đây là câu hỏi đơn giản các em cần cẩn thận trong việc làm toán.

 Tổng quan: Cho biểu thức

3 x 1 1 1
B :
x 1
x 1 x x
 

 
 
 

 
 
với
x 0 ; x 1
 

a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm x để
2P x 3
 

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2011)
Lời giải
a) Với điều kiện
x 0 ; x 1
 
ta có

 
3 x 1 x 1

B x x
( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)
 
 
  
 
 
   
 


3 x 1 x 1
x( x 1).
( x 1)( x 1)
  
 
 


x(2 x 2) 2 x( x 1)
2 x
x 1 x 1
 
  
 

Vậy với
x 0 ; x 1
 
thì

P 2 x


b) Với điều kiện
x 0 ; x 1
 
và
P 2 x
 ta có

2P x 3 4 x x 3
    






x 4 x 3 0 x 1 x 3 0
       


x 1 0 x 1 x 1
x 9
x 3 0 x 3
 
   

  
 



  

 
 

Kết hợp với điều kiện thì chỉ có
x 9

là thỏa mãn
Vậy
x 9

là giá trị thỏa mãn bài toán đã cho
Nhận xét: cách giải chung trong bài toán trên như sau
 Đặt điều kiện thích hợp (nếu đề bài trước như trên th
ì ta
vẫn phải nêu lại sau đó biến đổ rút gọn biểu thức.
 Kết luận: nêu lại điều kiện và kết quả tìm được.
 Khi gặp dạng như câu hỏi 2 thì cách làm trên là điển hình.


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

1.2 Bài tập rèn luyện kỹ năng

Bài toán 1.1. Cho biểu thức






6
5
3
2
aaa
a
P
a2
1

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a sao cho
1
P


c) Tìn a sao cho
2012
P 
Bài toán 1.2. Cho biểu thức P =



























65
2
3
2
2
3

:
1
1
xx
x
x
x
x
x
x
x

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x sao cho
0
P


Bài toán 1.3. Cho biểu thức P =


























13
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để
6
5
P


Bài toán 1.4. Cho biểu thức P =





















1

2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a sao cho
1
P


c) Tìm giá trị của P sao cho 3819 a
Bài toán 1.5. Cho biểu thức P =

































a
a
a
a
a
a
a
aa

1
1
.
1
1
:
1
)1(
332

a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức
1
2
M a P
 
 
 
 

Bài toán 1.6. Cho biểu thức P =





























12
2
12
1
1:1
12
2
12
1
x
xx

x
x
x
xx
x
x

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi
3
2
2
x  
Bài toán 1.7. Cho biểu thức P =






















1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x

a) Rút gọn P
b) Tìm x để
0
P


Bài toán 1.8. Cho biểu thức P =























a
a
a
aa
a
a
a
1
1
.
1
12
3
3

a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức 1
P a




www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài toán 1.9. Cho biểu thức
1 1 2 1 2
:
1
1 1
x x x x x x
P
x
x x x x
 
   
 
  
 
 
 


 
 
 

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi
7 4 3
x  
c) Tìm giá trị lớn nhất của a sao cho
P a


Bài toán 1.10. Cho biểu thức P =























a
a
aa
a
a
aa
1
1
.
1
1

a) Rút gọn P
b) Tìm a sao cho
7 4 3
P  
Bài toán 1.11. Cho biểu thức P =


























1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x

x
x
x

a) Rút gọn P
b) Tìm x để
1
2
P


c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài toán 1.12. Cho biểu thức
P





























3
2
2
3
6
9
:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x
xx

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để
1
P


Bài toán 1.13. Cho biểu thức
P

3
32
1
23
32
1115








x
x
x
x
xx
x

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để
1
2
P


c) Chứng minh rằng :
2
3
P


Bài toán 1.14. Cho biểu thức
P

2
2
44
2
mx
m
mx
x
mx
x






trong đó
0
m


a) Rút gọn P
b) Tính x theo m sao cho
0
P


c) Xác định các giá trị của m sao cho x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện
1
x


Bài toán 1.15. Cho biểu thức
P

1
2
1
2





a

aa
aa
aa

a) Rút gọn P
b) Biết
1
a

Hãy so sánh P

với
| |
P

c) Tìm a để P = 2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài toán 1.16. Cho biểu thức
P






























1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab

ab
a

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi
2 3
a   và
3 1
1 3
b




c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu 4 ba
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài toán 1.17. Cho biểu thức
P



























1
1
1
1111
a
a
a
a
a
a
aa

aa
aa
aa

a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì
7
P


c) Với giá trị nào của a thì
6
P


Bài toán 1.18. Cho biểu thức
P
























1
1
1
1
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a sao cho
0
P


c) Tìm các giá trị của a sao cho
2
P
 

Bài toán 1.19. Cho biểu thức
2
( ) 4
.
a b ab a b b a
P
a b ab
  



a) Tìm điều kiện sao cho P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi
2 3
a 
và
3
b 

Bài toán 1.20. Cho biểu thức
P

2

1
:
1
1
11
2 













 x
xxx
x
xx
x

a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng :
0
P


với mọi
1
x


Bài toán 1.21. Cho biểu thức
P

























1
2
1:
1
1
1
2
xx
x
xxx
xx

a) Rút gọn P
b) Tính P

khi
5 2 3
x  
Bài toán 1.22. Cho biểu thức
P



yx
xyyx
xy
yx
yx
yx
















2
33
:

a) Rút gọn P
b) Chứng minh
0
P


Bài toán 1.23. Cho
P

































 baba

ba
bbaa
ab
babbaa
ab
ba
:
31
.
31

a) Rút gọn P
b) Tính P khi
16
a

và
4
b


Bài toán 1.24. Cho biểu thức
P

12
.
1
2
1
12

1
















a
aa
aa
aaaa
a
aa

a) Rút gọn P
b) Cho
6
1 6
P 


tìm giá trị của a
Bài toán 1.25. Cho biểu thức
P





























3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx

a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì
1
P



www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com

Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài toán 1.26. Cho biểu thức
P





baba
baa
babbaa
a
baba
a
222
.1
:
133

















a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a sao cho P có giá trị nguyên
Bài toán 1.27. Cho biểu thức
P






















 1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a sao cho
1
6
P


Bài toán 1.28. Cho biểu thức
P

33
33
:
112
.
11

xyyx
yyxxyx
yx
yxyx






















a) Rút gọn P
b) Cho
16
xy


xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài toán 1.29. Cho biểu thức
P

x
x
yxyxx
x
yxy
x




 1
1
.
22
2
2
3

a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho
625
y

và
0,2

P



VẤN ĐỀ 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

2.1 Dẫn nhập kỹ năng giải toán
 Một số câu hỏi mang tính tương đối
 Tìm biểu thức liên hệ độc lập giữa các nghiệm : dùng Viet để giải
 Tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức nào đó : dùng Viet để giải nhưng
chú ý về điều kiện

để phân tích biểu thức thành dạng tích cộng với một hằng số nào đó
hay là phân tích thành dạng bình phương cộng với một hằng số nào đó. Ví dụ như điều kiện
để phương trình có nghiệm là
1

x
thì ta phân tích về dạng
.( 1)

b x trong đó
1
 
b x
. Nếu
như
1
 
b x

thì phân tích thành dạng bình phương cộng hằng số và đánh giá.
 Phương trình trùng phương và số nghiệm
 Có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt
Lưu ý ở đây phương trình (*) là phương trình ẩn t sau khi đặt
2

t x

 Có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại
là dương.
 Có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu.
 Có một nghiệm khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất bằng 0.
 Tổng quan: Xét phương trình
2
( 1) 4 4 1 0
m x mx m
    

a) Hãy giải phương trình trên khi
2
m


b) Tìm m để phương trình có một nghiệm.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hãy tìm một biểu thức liên hệ độc
lập giữa các nghiệm của phương trình.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

g) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
chứng minh rằng





2
1 2
1 5
m x x m m
    

h) Tìm m khi ta có hệ thức sau
1 2
2 7
x x  trong đó
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình.

i) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn nghiệm này bằng hai lần nghiệm
kia.
j) Chứng minh rằng khi
1
m

thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
. Khi đó hãy
chứng minh bất đẳng thức :
1 2
1 2
1 4
4
4
5
x x
x x
   


Lời giải
a) Khi
2
m

thay vào phương trình đã cho ta được

2
8 9 0
x x
  

Phương trình này có
' 16 9 7 0
    
khi đó thì phương trình có 2 nghiệm

1 2
4 7 ; 4 7
x x   

Vậy với
2
m

thì phương trình đã cho có tập nghiệm là



4 7 ; 4 7
S   
b) Để giải quyết được câu hỏi này thì ta chia làm hai trường hợp như sau
Trường hợp 1.
1
m

thì ta có

5
5 4 0
4
x x
   
1
m
 
thỏa mãn.
Trường hợp 2.
1
m

khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai
Xét biệt thức
2
' 4 ( 1)(4 1) 3 1
m m m m
      

Để phương trình có nghiệm thì
1
' 0 3 1 0
3
m m
       

Vậy với
1
3

m
 
thì phương trình đã cho là có nghiệm.
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

1
1
' 0 3 1 0
3
m
m m




       



Khi đó theo hệ thức Viet thì ta có

1 2 1 2
4 4 1
;
1 1
m m
x x x x
m m

  

 

Mặt khác ta lại có :
4 4( 1) 4 4
4
1 1 1
m m
m m m
 
  
  


4 1 4( 1) 5 5
4
1 1 1
m m
m m m
  
  
  



www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Do đó ta ngay hệ thức cần tìm như sau



1 2 1 2
5 4 20 16 4
x x x x
    

Vậy hệ thức cần tìm là


1 2 1 2
5 4 20 16 4
x x x x
    

d) Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi
1 1
1 2
' 0
0
0
x x
x x

 





 



1
' 0
3
m
    


1 2
1
4 1
0 0
1
1
4
m
m
x x
m
m




   



 




1 2
1
4
0 0
0
1
m
m
x x
m
m


    






Vậy phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi
1
1 0
3

m or m
   

e) Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt khi
1 1
1 2
' 0
0
0
x x
x x

 




 



1
' 0
3
m
    


1 2
1

4 1
0 0
1
1
4
m
m
x x
m
m




   


 




1 2
4
0 0 0 1
1
m
x x m
m
      



Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.
f) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi
1 1
' 0
0
x x

 







1
' 0
3
m
    


1 2
4 1 1
0 0 1
1 4
m
x x m

m

      


Vậy phương trình có hai nghiệm âm phân biệt trái dấu khi
1
1
3
m
  

g) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ta có
   
2 2
1 2 1 2 1 2
4
x x x x x x
   



www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Áp dụng hệ thức Viet ta được
 

2
2
1 2
2 2
3 1 5
( 1) ( 1)
m m m
x x
m m
  
  
 


   
2 2
2
1 2
1 5
m x x m m
     


   
2 2
2
1 2
1 5
m x x m m
     

Mặt khác
      
2 2
1 2 1 2
1 1
m x x m x x
    

Vậy




2
1 2
1 5
m x x m m
    
dấu bằng có khi
2.
m


h) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
là
1

3
m
 
và
1
m


Xét
   
2 2
1 2 1 2 1 2
4
x x x x x x
   

Khi đó áp dụng hệ thức Viet ta được

2
2
16 4(4 1)
28
1
( 1)
m m
m
m

 





2 2
16 4( 1)(4 1) 28( 1)
m m m m
     


2 2 2
16 4(4 3 1) 28( 2 1)
m m m m m
      


2
28 56 28 12 4 0
m m m
     


2
28 68 24 0
m m
   


2
7 17 6 0
m m

   

Ta dễ dàng tìm được
3
2 ;
7
m m
 
thỏa mãn bài toán.
i) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1
m
và
 
1
3
m
Từ giả thiết bài toán ta có : 
1 2
2
x x
hoặc

2 1
2
x x





   
1 2 2 1
2 2 0
x x x x




 
       
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
5 2 0 9 2 0
x x x x x x x x

Từ đây áp dụng hệ thức Viet ta được


      


2
2
2
9(4 1) 2.16
0 9( 1)(4 1) 32 0
1
( 1)

m m
m m m
m
m


        
2 2 2
36 27 9 32 0 4 27 9 0
m m m m m

Khi đó các em làm tiếp chú ý điều điện phương trình có hai nghiệm phân biệt
j) Đễ dàng chứng minhđược ý đầu tiên của bài toán ta có

 
    
  
1 2
4 4( 1) 4 4
4
1 1 1
m m
x x
m m m


  
      
   
1 2 1 2

4 1 4( 1) 5 5 5
4 4
1 1 1 1
m m
x x x x
m m m m

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Khi đó ta có :

    
 
1 2
1 2
1 1 4
4
4 5 1
m
x x
x x m

Với
   
1 1 0
m m

từ đó áp dụng bất đẳng thức Cauchuy cho hai số dương ta có bất đẳng
thức cần phải chứng minh. Dấu bằng có khi và chỉ khi
 
1 2 5
m


2.2 Bài tập rèn luyện kỹ năng

Bài toán 2.1. Cho phương trình
2 2
2 ( 2 1) 2
m x x m
    

a) Giải phương trình khi
12 m

b) Tìm m để phương trình có nghiệm 23x
c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất
Bài toán 2.2. Cho phương trình


0224
2
 mmxxm (x là ẩn số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm 2x tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt
Bài toán 2.3. Cho phương trình



0412
2
 mxmx
(x là ẩn số )
a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức
M





1221
11 xxxx  không phụ thuộc vào m
Bài toán 2.4. Tìm m để phương trình :
a)


012
2
 mxx có hai nghiệm dương phân biệt
b)
0124
2
 mxx
có hai nghiệm âm phân biệt
c)
2 2

( 1) 2( 1) 2 1 0
m x m x m
     
có hai nghiệm trái dấu
Bài toán 2.5. Cho phương trình


021
22
 aaxax
a) Chứng minh rằng phương trình trên có hai nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là
1
x
và
2
x
tìm giá trị của a để
2
2
2
1
xx  đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 2.6. Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức
2
111

c
b

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm
2
2
0
0
x bx c
x cx b

  


  



Bài toán 2.7. Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung

2
2
2 (3 2) 12 0
4 (9 2) 36 0
x m
x m x

   


   



Bài toán 2.8. Cho phương trình
0222
22
 mmxx

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình
Bài toán 2.9. Cho phương trình bậc hai tham số m : 014
2
 mxx
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn điều kiện
10
2
2
2
1
 xx


Bài toán 2.10. Cho phương trình



05212
2
 mxmx
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu khi đó hai nghiệm mang dấu gì.

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài toán 2.11. Cho phương trình


010212
2
 mxmx
(với m là tham số)
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là
1
x
và
2
x
hãy tìm một hệ thức liên hệ
giữa
1
x

và
2
x
mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để
2
2
2
121
10 xxxx  đạt giá trị nhỏ nhất
Bài toán 2.12. Cho phương trình


0121
2
 mmxxm với m là tham số
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 1


m
b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5 từ đó hãy tính tổng hai nghiệm
của phương trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m để phương trình có nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức

0
2
5
1
2
2
1

x
x
x
x

Bài toán 2.13. Giả sử phương trình
0.
2
 cbxxa
có hai nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x

Đặt
nn
n
xxS
21
 với n nguyên dương. Chứng minh rằng : 0.

12

 nnn
cSbSSa

Bài toán này nói về ″Công thức truy hồi″ các em thi Chuyên cần lưu ý.
Bài toán 2.14. Cho
2
( ) 2( 2) 6 1
f x x m x m
    

a) Chứng minh rằng phương trình
( ) 0
f x


có nghiệm với mọi m
b) Đặt
2
x t
 
tính
( )
f x
theo t từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình
( ) 0
f x


có hai
nghiệm lớn hơn 2
Bài toán 2.15. Cho phương trình


05412
22
 mmxmx
a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
d) Gọi
21
;xx là hai nghiệm nếu có của phương trình tính
2
2
2
1
xx 
theo m
Bài toán 2.16. Cho phương trình


0122  mxmx
x

a) Giải phương trình khi
1
2
m



b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi
21
;xx là hai nghiệm của phương trình tìm giá trị của m để
2
1221
)21()21( mxxxx 

Bài toán 2.17. Cho phương trình 0834
2
 xx có hai nghiệm là
21
;xx . Không giải phương
trình hãy tính giá trị của biểu thức
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
M





Bài toán 2.18. Cho phương trình


05222
2
 kxkx (k là tham số)
a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi
21
;xx là hai nghiệm của phương trình tìm giá trị của k sao cho 18
2
2
2
1
 xx
Bài toán 2.19. Cho phương trình


04412
2
 mxxm (1)
a) Giải phương trình (1) khi
1
m


b) Giải phương trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài toán 2.20. Cho phương trình


0332
22
 mmxmx

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm
21
,xx thoả mãn 61
21
 xx



www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

VẤN ĐỀ 3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Về câu hỏi này thì các em cần chú ý đến việc đặt ẩn phụ để giải toán và đi
ều kiện xác
định khi gặp bài toán có chứa căn thức hay mẫu thức.

Bài toán 3.1. Tìm giá trị của m để hệ phương trình


 





21
11
ymx
myxm

có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện
x y

nhỏ nhất.
Bài toán 3.2. Giải hệ phương trình và minh hoạ bằng đồ thị
a)





xy
yx
52
1
b)








1
44
2
yx
yx
c)





123
11
xy
xy

Bài toán 3.3. Cho hệ phương trình





5

42
aybx
byx

a) Giải hệ phương trình khi
ba 

b) Xác định a và b để hệ phương trình trên có vô số nghiệm.
Bài toán 3.4. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số





mmyx
mymx
64
2

Bài toán 3.5. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình





2·
1
yax
ayx

a) Có một nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm
Bài toán 3.6. Giải hệ phương trình sau





1
19
22
yxyx
yxyx

Bài toán 3.7. Tìm m sao cho hệ sau có nghiệm
   





01
121
2
yxyxmyx
yx

Bài toán 3.8. Giải hệ phương trình






624
1332
22
22
yxyx
yxyx

Bài toán 3.9. Cho a và b thoả mãn hệ phương trình





02
0342
222
23
bbaa
bba

Tính giá trị của biểu thức
P

22
ba 
Bài toán 3.10. Cho hệ phương trình






ayxa
yxa
.
3)1(

a) Giải hệ phương rình khi
2
a
 

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện
0
x y
 


VẤN ĐỀ 4. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài toán 4.1. Cho hàm số ( ): ( 2)
d y m x n
  

Tìm giá trị của m và n để đồ thị
( )
d
của hàm số

a) Đi qua hai điểm A(-1 ; 2) và B(3 ; -4)
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
1 2

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
2 2


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

c) Cắt đường thẳng
2 3 0
x y
  

d) Song song vối đường thẳng
3 2 1
x y
 

Bài toán 4.2. Cho hàm số (P) :
2
2xy 

a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ

c) Xét số giao điểm của (P) với đường thẳng
( )
d
:
1


mxy
theo m
d) Viết phương trình đường thẳng
( ')
d
đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P)
Bài toán 4.3. Cho (P) :
2
xy 
và đường thẳng
( )
d
:
mxy


2

1. Xác định m sao cho hai đường đó
a) Tiếp xúc nhau tìm toạ độ tiếp điểm
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B một điểm có hoành độ
1
x

 
. Tìm hoành độ của điểm
còn lại . Tìm toạ độ A và B
2. Trong trường hợp tổng quát giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N
Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi.
Bài toán 4.4. Cho đường thẳng
( )
d
:
2)2()1(2




ymxm

a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) :
2
xy  tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để
( )
d
cách gốc toạ độ một khoảng Max
d) Tìm điểm cố định mà
( )
d
đi qua khi m thay đổi
Bài toán 4.5. Cho (P) :
2

xy 

a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và
tiếp xúc với (P)
b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng
2

Bài toán 4.6. Cho đường thẳng
( )
d
:
3
4
3
 xy

a) Vẽ đồ thị
( )
d

b) Tính diện tích tam giác được tạo thành giữa
( )
d
và hai trục toạ độ
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến
( )
d

Bài toán 4.7. Cho hàm số
( )

d
: 1 xy
a) Nhận xét dạng của đồ thị vẽ đồ thị
( )
d

b) Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
mx 1

Bài toán 4.8. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
( )
d
:
2)1(



xmy
;
( ')
d
:
13


xy

a) Song song với nhau
b) Cắt nhau
c) Vuông góc với nhau

Bài toán 4.9. Tìm giá trị của a để ba đường thẳng
1 2
( ): 2 5 ; ( ): 2
   
d y x d y x và
3
( ): 12
 
d y ax đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ.
Bài toán 4.10. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì
( ):2 ( 1) 1
d x m y
  
luôn đi qua một điểm cố
định nào đó.
Bài toán 4.11. Cho
2
1
( ):
2
P y x
 và đường thẳng ( ):
d y ax b
 
. Xác định a và b để đường thẳng
( )
d
đi qua điểm A(-1 ; 0) và tiếp xúc với
( )
P

Bài toán 4.12. Cho hàm số 21  xxy
a) Vẽ đồ thị hàn số trên
b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phương trình mxx  21
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài toán 4.13. Cho
2
( ) :
P y x

và đường thẳng ( ): 2
d y x m
 

a) Vẽ
( )
P

b) Tìm m để
( )
P
tiếp xúc
( )
d

Bài toán 4.14. Cho
2
1
( ):
4
P x
 và ( ):
d y x m
 

a) Xác định m để (P) và
( )
d
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có
tung độ bằng -4
c) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P)
Bài toán 4.15. Cho hàm số
2
( ):
P y x

và hàm số ( ):
d y x m
 

a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Áp dụng tìm m sao cho khoảng cách
giữa hai điểm A và B bằng

3 2

Bài toán 4.16. Cho điểm A(-2 ; 2) và đường thẳng
1
( ): 2( 1)
d y x
  

a) Điểm A có thuộc (
1
d ) không hãy giải thích.
b) Tìm a để hàm số
2
( ):
P y ax

đi qua A
c) Xác định phương trình đường thẳng (
2
d ) đi qua A và vuông góc với (
1
d )
d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (
2
d ) ; C là giao điểm của (
1
d ) với trục tung . Tìm toạ độ
của B và C . Tính diện tích tam giác ABC
Bài toán 4.17. Cho
2

1
( ):
4
P y x
 và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm
lượt là -2 và 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phương trình đường thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ


4;2x sao cho tam giác MAB có
diện tích lớn nhất.

Bài toán 4.18. Cho
2
1
( ):
4
P y x
  và điểm M (1;-2)
a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi
BA
xx ; lần lượt là hoành độ của A và B .Xác định m để
22
BABA
xxxx  đạt giá trị nhỏ nhất và
tính giá trị đó

d) Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B.
Tính S theo m và xác định m để


2 2
4 8 2
S m m m
   

Bài toán 4.19. Cho hàm số (P) :
2
xy 
a) Vẽ (P)
b) Gọi A, B là 2 điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. Viết phương trình đường thẳng AB
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài toán 4.20. Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) :
2
4
1
xy 

và
( ): 2 1
d y mx m
  

a) Vẽ (P)
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài toán 4.21. Cho (P) :
2
4
1
xy 
và điểm I(0;-2). Gọi (d) là đường thẳng qua I và có hệ số góc m.
a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B với Rm



b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
Bài toán 4.22. Cho (P) :
4
2
x
y  và đường thẳng (d) đi qua điểm
3
I ;1
2
 
 
 
có hệ số góc là m

a) Vẽ (P) và viết phương trình (d)
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài toán 4.23. Cho (P) :
4
2
x
y 
và đường thẳng (d) :
2
2

x
y

a) Vẽ (P) và (d)
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Bài toán 4.24. Cho (P) :
2
xy 

a) Vẽ (P)
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2 . Viết phương trình AB
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài toán 4.25. Cho (P) :
2
2xy 
a) Vẽ (P)
b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ

1
x

và điểm B có hoành độ
2
x

. Xác định các giá trị của m
và n để đường thẳng ( ) :
d y mx n
 
tiếp xúc với (P) và song song với AB
Bài toán 4.26. Xác định giá trị của m để


1
:
 
d x y m
và


2
: 1
 
d mx y
cắt nhau tại một điểm
trên (P) :
2
2xy 

VẤN ĐỀ 5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Loại 1. Bài toán chuyển động
Bài toán 4.1. Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km. Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và một xe
máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ô tô đi hết 2 giờ, còn từ C về A xe
máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận
tốc không đổi.
Bài toán 4.2. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ bến B về bến A mất tất
cả 4 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng ,biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc
dòng nước là 4 km/h.
Bài toán 4.3. Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngựơc từ B trở về
A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B
biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h.
Bài toán 4.4. Một người chuyển động đều trên một quãng đường gồm một đoạn đường bằng và một
đoạn đường dốc. Vận tốc trên đoạn đường bằng và trên đoạn đường dốc tương ứng là 40 km/h và
20 km/h. Biết rằng đoạn đường dốc ngắn hơn đoạn đường bằng là 110km và thời gian để người đó
đi cả quãng đường là 3 giờ 30 phút. Tính chiều dài quãng đường người đó đã đi.
Bài toán 4.5. Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B. Xe tải đi với vận tốc 30 km/h
xe con đi với vận tốc 45 km/h. Sau khi đi được
4
3

quãng đường AB, xe con tăng vận tốc thêm 5
km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2 giờ
20 phút.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com

Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài toán 4.6. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định. Khi từ B
về A người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29 km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc
đi 3 km/h. Tính vận tốc lúc đi, biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài toán 4.7. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngược chiều nhau. Sau
1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn
vận tốc ca nô đi ngược 9km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h.
Bài toán 4.8. Hai địa điểm A, B cách nhau 56 km. Lúc 6h45phút một người đi xe đạp từ A với vận
tốc 10 km/h . Sau đó 2 giờ một người đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 km/h . Hỏi đến mấy giờ
họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km.
Bài toán 4.9. Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h. Sau đó một thời gian, một
người đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi
kịp người đi xe máy tại B . Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bớt
vận tốc 3 km/h nên hai ngưòi gặp nhau tại C cách B 10 km . Tính quãng đường AB.
Bài toán 4.10. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h. Khi đến B người
đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 km/h. Tính quãng đường AB biết
rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
Bài toán 4.11. Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 km/h , sau đó ngược từ
B về A . Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và
B biết rằng vận tốc dòng nước là 3 km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi .
Bài toán 4.12. Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 km/h. Lúc đầu
ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 km nữa thì được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng vận
tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định.
Tính quãng đường AB.
Bài toán 4.13. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Ca nô I chạy với vận
tốc 20 km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h. Trên đường đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp
tục chạy. Tính chiều dài quãng đường sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc.
Bài toán 4.13. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người

đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe
máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài toán 4.14. Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km. Một
lần khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc
dòng nước chảy và vận tốc riêng của ca nô.
Bài toán 4.15. Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính
vận tốc của tầu khi nước yên lặng biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km/h.
Bài toán 4.16. Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô
chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của
thuyền biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 km/h.
Bài toán 4.17. Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 120 km
trong một thời gian đã định. Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ
xe phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên nửa quãng đường còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên
đường .
Bài toán 4.18. Một ôtô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau
khi đi được 1 giờ ô tô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút. Do đó để đến B đúng hạn xe phải tăng vận
tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài toán 4.19. Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định. Khi còn cách B 30 km
người đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi, nhưng nếu tăng
vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ. Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đường đã
đi lúc đầu.

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Loại 2. Bài toán về năng xuất
Bài toán 4.20. Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội

làm một mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6
giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu.
Bài toán 4.21. Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhưng do cải
tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch
đã định trong 24 ngày mà còn vượt mức 104 000 đôi giầy. Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch.
Bài toán 4.22. Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá, nhưng đã
vượt mức được 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vượt
mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã định.
Bài toán 4.23. Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc đội xe đó được bổ xung
thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe biết
rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau.
Bài toán 4.14. Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán. Nếu làm chung trong 4 giờ thì
hoàn thành được
3
2
mức khoán. Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi
tổ phải làm trong bao lâu.
Bài toán 4.25. Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định. Họ
làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công
việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài toán 4.26. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất
làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% côngviệc. Hỏi mỗi người làm công việc
đó trong mấy giờ thì xong .

Loại 3. Bài toán về thể tích
Bài toán 4.27. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không chứa nước đã làm đầy bể trong 5 giờ
50 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ. Hỏi nếu chảy
riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể.
Bài toán 4.28. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước và chảy đầy bể mất 1 giờ 48
phút. Nếu chảy riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu

chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu.
Bài toán 4.29. Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định
thì mỗi giờ phải bơm được 10 m
3
. Sau khi bơm được
3
1
thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với
công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm được 15 m
3

. Do vậy so với quy định, bể chứa được bơm đầy trước
48 phút. Tính thể tích bể chứa.
Bài toán 4.30. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 1 giờ 30
phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20
phút thì sẽ được
5
1
bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể.
Bài toán 4.31. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút sẽ
đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng
thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu.



www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

VẤN ĐỀ 6. HÌNH HỌC TỔNG HỢP
Bài 1. (HSG Hải Phòng năm 2003)
Cho tam giác ABC nhọn với BE và CD là các đường cao. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt
các đường phân giác trong và ngoài góc BAC tại P và Q tương
ứng. Chứng minh rằng :
a) PQ  DE
b) PQ đi qua trung điểm của cạnh BC.
Bài 2. (HSG Nghệ An năm 2003)
Cho đường tròn tâm O và một dây cung AB của nó. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn.
Từ điểm P chính giữa của cung AB lớn kẻ đường kính PQ của đường tròn. Đường kính này cắt dây
AB ở D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai là I. Các dây AB và QI cắt nhau ở K.
a) Chứng minh rằng : CID và CKP đồng dạng.
b) Đường thẳng qua B và vuông với CI cắt AI ở E. Chứng minh BCE cân.
c) Giả sử A, B, C cố định. Đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B.
Chứng minh rằng : QI luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 3. (HSG Thanh Hóa năm 2003)
Giả sử ABCD là tứ giác nội tiếp hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại P. Gọi O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác APB và H là trực tâm của tam giác CPD. Chứng minh rằng O, P, H thẳng hàng.
Bài 4. (HSG Phú Thọ năm 2003)
Cho đường tròn tâm (O, R) và dây BC bé hơn 2R. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt
nhau tại A.Lấy M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC và không trùng với B và C.Gọi H, I, K lần
lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB ; BM cắt HK tại P ; CM cắt HI tại Q.
a) Chứng minh PQ song song với BC.
b) Xác định vị trí của điểm M để tích MH.MI.MK đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5. (HSG Đồng Nai năm 2003)
Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B C theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M,
N, P trên NP, PM, MN. Trên các đoạn thẳng AC và AB lần lượt lấy D và E sao cho DE song song
với NP. Trên tia AB lấy điểm K sao cho hai góc DMK và NMP bằng nhau. Chứng minh rằng :
a) MD = ME

b) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đường tròn bàng tiếp góc ADK của tam
giác ADK.
Bài 6. (HSG Bình Định năm 2003)
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại điểm H. Gọi I là trung
điểm BC. Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác BIE và tam giác CDI cắt nhau ở K.
a) Chứng minh rằng hai góc BDK và CEK bằng nhau
b) Gọi M là giao điểm của DE và BC. Chứng minh M, H, K thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tứ giác BKDM nội tiếp.
Bài 7. (HSG Ninh Bình năm 2003)
Cho đường tròn đường kính AB và một đường thẳng d nằm bên ngoài đường tròn vuông góc với
AB tại C. Cát tuyến bất kỳ CMN cắt đường tròn tại M, N. Gọi D và E lần lượt là giao điểm của
đường thẳng d với AM và AN.Chứng minh rằng : tứ giác DEMN nội tiếp một đường tròn.
Bài 8. (HSG Đà Nẵng năm 2003)
Cho tam giác ABC vuông ở A có A và B là cố định, C chuyển động theo chiều của tam giác ABC.
Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC, BC tại M và N tương ứng. Chứng minh rằng
đường thẳng MN đi qua điểm cố định.
Bài 9. (Vô địch Toán Hàn Quốc năm 2002)
Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc
đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài 10. (Vô địch Toán Hàn Quốc năm 2002)
Cho tam giác ABC có trung tuyến AD. Cho đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AD. Xét
điểm M nằm trên d. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MB, MC. Đường thẳng đi qua E và vuông

góc với d cắt đường thẳng AB ở P, đường thẳng đi qua F và vuông góc với d cắt đường thẳng AC ở
Q. Chứng minh rằng : đường thẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm
cố định khi điểm M di động trên đường thẳng d.
Bài 11. (Vô địch Toán Nhật Bản năm 2002)
Cho đường tròn (O). Hai điểm B và C cố định trên đường tròn và BC không phải đường kính. Lấy
A là điểm trên đường tròn không trùng với B, C. Gọi AD, AE là các đường phân giác trong và
ngoài và I là trung điểm của DE. Qua trực tâm tam
tam giác ABC kẻ đường thẳng vuông góc với AI cắt AD tại M và N.
a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm A sao cho S
AMN
đạt giá lớn nhất.
Bài 12. (Vô địch Toán Nhật Bản năm 2002)
Cho tam giác ABC và D là chân đường cao hạ từ A. Gọi d là đường thẳng đi qua D và nằm trong
mặt phẳng chứa tam giác ABC. Gọi E và F là các điểm nằm trên đường thẳng d sao cho AE  BE ;
AF  CF và E, F không trùng D. Gọi M, N là các trung điểm tương ứng của BC và EF.
Chứng minh rằng : AN  MN.
Bài 13. (Vô địch Toán Nam Phi năm 2002)
Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của D trên AB và
AC. Gọi H là giao điểm của BF và CE. Ch
ứng minh rằng AH vuông góc với BC.
Bài 14. (Vô địch Toán Trung Quốc năm 2002)
Gọi G và I theo thứ tự là trọng tâm và tâm nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng đi qua G song song
với BC cắt AB và AC lần lượt tại B
c
và C
b
. Qua G song song với AC cắt BC và AB lần lượt tại C
a

và A
c
. Qua G song song với AB cắt AC và BC lần lượt tại A
b
và B
a
. Các điểm I
a
; I
b
; I
c
theo thứ tự
là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác GB
a
C
a
; GC
b
A
b
; GA
c
B
c
. Chứng minh rằng : AI
a
; BI
b
; CI

c

đồng quy tại một điểm thuộc GI.
Bài 15. (HSG Hải Phòng năm 2008)
Cho ΔABC với O và I theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác. Chứng minh
rằng : AB + AC  2BC 

AIO
90
 

Bài 16. (Đề thi chọn đội tuyển Toán Quốc Gia năm 1992)
Gọi H, I, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ABC. Chứng
minh rằng : 2IO  IH.
Bài 17. (Vô địch Toán Đài Loan năm 1997)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O, R) ; AO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC ở
D ; BO cắt đương tròn ngoại tiếp tam giác OAC ở E ; CO cắt đường tròn ngoai tiếp tam giác OAB ở
F. Chứng minh rằng : OD.OE.OF  8R
3
Bài 18. (HSG Nghệ An năm 2008)
Tứ giác ABCD nội tiếp. Các điểm M, N lần lượt thay đổi trên các cạnh AB và CD sao cho
MA NC
MB ND
 . Điểm P thay đổi trên đoạn thẳng MN sao cho
PM AB
PN CD
 . Chứng minh : tỉ số
PAD
PBC
S

S

không phụ thuộc vào vị trí của M và N.
Bài 19. (Vô địch Toán Địa Trung Hải năm 1997)
Gọi P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC, CD, DA, AB của tứ giác ABCD. Chứng minh
rằng :
2 2 2 2 2 2 2 2
4(AP + BQ + CR + DS ) 5(AB + BC + CD + DA )

Bài 20. (HSG Nghệ An năm 2008)
Cho tam giác ABC thay đổi. Gọi H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và R là bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Xác định GTNN của hằng số k sao cho
OH
k
R

.

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài 21. (HSG Đại Học Vinh năm 2008)
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không có điểm chung. Gọi H là hình chiếu của O lên đường
thẳng d và M là một điểm trên d với M không trùng với H. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA và MB với
(O). Gọi C va D lần lượt là hình chiếu của H lên MA và MB. Các đường thẳng AB và CD cắt OH
lần lượt tại K và I. Chứng minh rằng I là trung điểm của HK.
Bài 22. (HSG Cần Thơ năm 2008)

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). Đường thẳng d cắt các cạnh AB và CD lần lượt tại
M và N.
a) Chứng minh rằng đường thẳng d đi qua I khi và chỉ khi

AB BC CA 1 1
AB. AC AM AN
 
 

b) Gọi K là một điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K thuộc cung BC không
chứa A ; K khác B và C. Các tia phân giác của các góc BKA và CKA cắt các cạnh AB và AC theo
thứ tự tại D và E. Chứng minh rằng DE luôn đi qua I khi K thay đổi.
Bài 23. (HSG Vũng Tàu năm 2008)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O, R). Gọi I là điểm chính giữa của cung BC không
chứa A và K là trung điểm của BC. Tiếp tuyến tại B, C của (O, R) cắt nhau tại M ; AM cắt BC tại
N. Chứng minh rằng :
a) AI là phân giác của góc MAK
b)
AB NB
AC NC

Bài 24. (HSG Thanh Hóa năm 2008)
Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm bất kỳ trên tia đối của tia CB. Đường tròn nội tiếp các tam giác
ABD và ACD cắt nhau tại P và Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định
khi D thay đổi.
Bài 25. (HSG Thanh Hóa năm 2008)
Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng :
2 2 2 2
1

MA + MH = AH + BC
2

Bài 26. (HSG Đồng Tháp năm 2008)
Cho tam giác ABC cân tại A. Đường tròn (C) tiếp xúc với các đường thẳng AB và AC lần lượt tại B
và C. Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn (C). Gọi m, n, k theo thứ tự là khoảng cách từ M
đến các đường thẳng AB, AC và BC. Chứng minh rằng : m.n = k
2

Bài 27. (HSG Bình Phước năm 2008)
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của BA và CA lần lượt lấy các điểm E và F. Gọi M là giao điểm
của BF và CE. Chứng minh rằng :
MB MC AB.AC
MF ME AE.AF
 
Bài 28. (HSG Bình Định năm 2008)
Cho hai đường tròn (O
1
; R
1
) và (O
2
; R
2
) cắt nhau tại hai điểm A và B. Từ điểm C trên tia đối của tia
AB kẻ các tiếp tuyến CD và CE với (O
1
; R
1
) ; D và E là các tiếp điểm E nằm trong đường tròn (O

2
;
R
2
). Gọi giao điểm của AD và AE với (O
2
; R
2
) lần lượt là M và N. Chứng minh rằng DE đi qua
trung điểm của MN.
Bài 29. (HSG Vĩnh Phúc năm 2008)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R). Đường cao BH bằng
R 2
. Gọi D và E lần lượt là
hình chiếu vuông góc của H lên AB và BC. Chứng minh rằng O, D, E thẳng hàng.
Bài 30. (HSG Thái Bình năm 2008)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn. Đường thẳng qua C cắt các tia đối của BA và DA lần
lượt tại M và N. Chứng minh rằng :
BCD
AMN
S
BD
S 2AC

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài 31. (HSG Quảng Bình năm 2008)
Tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn có A và B là các điểm cố định ; AC và BD là hai đường
thẳng cố định vuông góc với nhau.
Chứng minh rằng trung điểm của CD luôn thuộc một đường cố định.
Bài 32. Cho một đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB. Gọi M là điểm di
động trên cung BC, dây AM cắt OC ở E. Chứng minh rằng : tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác
OME luôn thuộc đoạn thẳng cố định.
Bài 33. Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AH, BC. Các
đường phân giác góc ABH và ACH cắt nhau tại P.
Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng.
Bài 34. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ; H là trực tâm của tam giác
ABC.Gọi E là điểm đối xứng của H qua BC.
a) Chứng minh : E thuộc đường tròn (O).
b) Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác ABC và D là điểm đối xứng của I qua
BC. Tìm điều kiện của tam giác ABC để D thuộc đường tròn (O).
Bài 35. Cho hai đường tròn tiếp xúc trong tại M. Đường tiếp tuyến với đường tròn bên trong tại P cắt
đường tròn bên ngoài tại Q và R.
Chứng minh rằng : góc QMP bằng góc PMR.
Bài 36. Hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại M, N. Vẽ tiếp tuyến chung PQ gần N hơn của hai
đường tròn ; P  (O
1
) và Q thuộc O
2
. Đường thẳng PN cắt đường tròn (O
2
) tại R. Chứng minh rằng :

a) MQ là phân giác của góc PMR.
b) Diện tích hai tam giác MNP và MNQ bằng nhau.
c) Góc O
1
MO
2
bằng hai lần góc PMQ.
Bài 37. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O). Lấy PQ là
đường kính bất kỳ. Các đường thẳng PA, PB và PC cắt đường tiếp tuyến tại Q của đường tròn (O) theo
thứ tự tại các điểm L, M, N. Chứng minh rằng : L là trung điểm của MN.
Bài 38. Cho đường tròn đường kính AB. Điểm C cố định trên AB. Điểm P bất kỳ trên đường tròn.
Chứng minh rằng :
tan APC
tan PAC
không đổi.
Bài 39. Cho đường tròn (O) từ một điểm P ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến PQ và PR (Q
và R là hai tiếp điểm). Trên PQ nối dài lấy điểm A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác PAR cắt đường
tròn (O) tại B và AR cắt đường tròn (O) tại C. Chứng minh rằng :


=PAR
ABC

Bài 40. Tam giác ABC có các góc đều nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O.Vẽ đường tròn tâm O' ngoại
tiếp tam giác ABO. Đường thẳng CA cắt đường tròn (O’) tại P và CB cắt đường tròn (O') tại Q.
Chứng minh rằng : CO vuông góc với PQ.
Bài 41. Cho hai đường tròn tiếp xúc trong tại A. Từ điểm P của đường tròn lớn, vẽ các tiếp tuyến
PX và PY với đường tròn nhỏ, PX và PY cắt đường tròn lớn tại các điểm Q và R.
Chứng minh rằng :



= QAR 2
XAY

Bài 42. Cho tam giác đều ABC và điểm D trên cạnh BC. Một đường tròn tiếp xúc với BC tại D,
cắt cạnh AB tại M, N và cắt cạnh AC tại P, Q.
Chứng minh rằng : BD + AM + AN = CD + AP + AQ.
Bài 43. Cho tam giác ABC có AD và BE là hai đường cao. Đường thẳng AD cắt nửa đường tròn
đường kính BC tại P. Đường thẳng BE cắt nửa đường tròn đường kính AC tại Q.
Chứng minh rằng : CP = CQ.
Bài 44. Cho hai tam giác ABC và DEF có hai đáy AB và DE cùng nằm trên một đường thẳng. DF
song song với AC và EF song song với BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC và đường tròn
ngoại tiếp tam giác CBD cắt nhau tại C và G. Chứng minh rằng : C, G, F thẳng hàng.
Bài 45. Cho tam giác ABC có số đo của góc A bằng 120
0
. Gọi

AD, BE và CF là ba đường phân
giác trong của tam giác ABC. Chứng minh đường tròn đường kính EF đi qua D.
Bài 46. Tam giác ABC với D, E, F theo thứ tự là trung điểm của ba cạnh BC, AC, AB. Chứng
minh rằng :




CAD ABE AFC ADP
= = 

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com

Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài 47. Cho tam giác ABC. Đường cao CF và trung tuyến BM. Giả sử BM = CF và


=MBC
MCF

Chứng minh rằng : tam giác ABC đều.
Bài 48. Cho tam giác ABC có AB > AC. Phân giác trong góc A cắt BC tại D. Điểm E trên AB sao
cho

=BDE
90

. Điểm F trên AC sao cho


=
BED

DEF
. Chứng minh rằng :


BAD =
CDF

Bài 49. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) ; DA và CB cắt nhau tại P. Gọi Q là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD. Giả sử CD = CP = CQ. Chứng minh rằng : góc

CAD
60
 

Bài 50. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) và đường cao AD. Hạ DE và DF thẳng góc
với hai cạnh AB và AC. Tính độ dài EF theo R và các tỉ số lượng giác các góc của tam giác ABC.
Bài 51. Cho tứ giác nội tiếp ABCD với AC là phân giác góc A. Lấy điểm E trên AD. Chứng minh
rằng : CE = CA nếu và chỉ nếu DE = AB.
Bài 52. Tam giác có ba góc ABC nhọn với AB > AC và góc BAC bằng 60

. Gọi O là tâm đường
ngoại tiếp, H là trực tâm tam giác ABC và OH cắt cạnh AB tại P và AC tại Q.
Chứng minh rằng : PO = HQ.
Bài 53. Tam giác ABC có góc A tù nội tiếp trong vòng tròn. Lấy điểm Q trên cung BC có chứa
điểm A. Kẻ đường kính QP.Từ Q hạ các đường thẳng góc xuống AC và AB theo thứ tự tại các điểm
V và W. Chứng minh hai tam giác PBC và AWV đồng dạng.
Bài 54. Cho tam giác ABC nội tiếp trong vòng tròn. Phân giác của A, B, C cắt đường tròn tại A', B',
C'. Đường thẳng A'B' cắt BC tại N và đường thẳng C'B' cắt AB tại M. Chứng minh : MN đi qua O
của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 55. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên BC lấy điểm D sao cho góc ADB bằng hai lần lượt
góc BAD. Chứng minh rằng :
2 1 1
AD BD CD
 
Bài 56. Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho AE thẳng góc AB và EC thẳng góc BC.
Chứng minh rằng : góc AED bằng góc BEC.

Bài 57. Cho đường tròn (O, R) và AB < 2R cố định. Một điểm M di chuyển trên cung lớn AB với
M khác A và B. Gọi I là trung điểm của AB ; (O') là đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại A.
Đường thẳng MI cắt (O) và (O') lần lượt tại N và P. Chứng minh rằng :
a) IA
2
= IP.IM.
b) Tứ giác ANBP là hình bình hành.
c) IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBP.
d) Khi M di chuyển trên cung lớn AB thì trọng tâm G của tam giác PAB chạy trên một cung tròn cố
định.
Bài 58. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Lấy M là điểm bất kì trên đoạn AD.
Gọi N, P lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC ; H là hình chiếu của N trên DP. Trên nửa mặt
phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ Bx vuông góc với BA và gọi E là giao điểm của DP và Bx.
a) Chứng minh rằng : tam giác EBN vuông cân.
b) Chứng minh rằng : B, M, H thẳng hàng và tứ giác AHDB nội tiếp.
c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích ΔAHB là lớn nhất.
d) Chứng minh rằng : HN luôn đi qua một cố định khi M thay đổi trên đoạn AD.
Bài 59. (Đề thi HSG đồng bằng sông Cửu Long, tỉnh Cần Thơ)
Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm. Gọi M, N, P theo thứ tự là giao điểm của HA, HB, HC
với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng :

1 1 1 1 1 1
HM HN HP HA HB HC
    

Bài 60. (Đề thi HSG đồng bằng sông Cửu Long, tỉnh Đồng Tháp)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại M ; AM
cắt BC tại N. Chứng minh rằng : NB.AC
2
= NC.AB

2

Bài 61. (Tạp chí toán học và tuổi trẻ)
Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến PA và PB của đường tròn với A và B
là các tiếp điểm. Gọi M là giao điểm của OP và AB. Kẻ dây cung CD đi qua M với CD không đi
qua O. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau tại Q. Tính độ lớn góc OPQ.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài 62. (Vô địch toán quốc tế năm 2010)
Cho tam giác ABC với I là tâm nội tiếp và O là tâmđường tròn ngoại tiếp tam giác. AI cắt O tại
điểm thứ hai là D. Gọi E là một điểm trên cung BDC và F nằm trên đoạn BC sao cho hai góc BAF
và CAE bằng nhau và nhỏ hơn nửa góc BAC. Gọi G là trung điểm của IF. Chứng minh giao điểm
của EI và DG nằm trên (O).
Bài 62. (Vô địch toán quốc tế năm 2010)
Giả sử P là điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng AP, BP, CP cắt lại đường tròn ngoại
tiếp tam giác tại K, L, M tương ứng. Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại C cắt
đường thẳng AB tại S. Chứng minh rằng nếu SC = SP thì MK = ML.
Bài 63. (Vô địch toán quốc tế năm 2010)
Cho ABC là một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp O. Các điểm P và Q nằm trên các cạnh AC
và AB tương ứng. Gọi K, L, M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BP, CQ và PQ. Chứng
minh rằng nếu PQ là tiếp tuyến của đường tr
òn (KML) thì OP = OQ.
Bài 64. (Vô địch toán quốc tế năm 2010)

Cho ABC là một tam giác cân tại A ; AD và BE là các phân giác trong của nó. Gọi K là tâm đường
tròn nội tiếp của tam giác ACD. Biết góc


BEK
45
 
tính

BAC
.
Bài 65. (Vô địch toán nước Mỹ năm 2010)
Cho tam giác ABC. Các điểm M và N nằm trên cạnh AC và BC tương ứng sao cho MN song song
với AB. Các điểm P và Q nằm trên các cạnh AB và BC tương ứng sao cho PQ song song với AC.
Đường tròn nội tiếp của tam giác CMN tiếp xúc với đoạn AC tại E. Đường tròn nội tiếp của tam
giác BPQ tiếp xúc với cạnh AB tại F. Đường thẳng NE và AB cắt nhau tại R và đường thẳng QF và
AC cắt nhau tại S. Biết AE = AF. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AEF nằm
trên đường tròn nội tiếp của tam giác ARS.
Bài 66. (Vô địch toán nước Mỹ năm 2010)
Trong tam giác ABC cho P và Q là hai điểm bên trong tam giác sao cho góc ABP bằng góc QBC và
góc ACP bằng góc QCB. Điểm D nằm trên đoạn BC. Chứng minh rằng :




A
+ = 180° + = 180°
PB DPC AQC BQD
.
Bài 67. Cho tam giác PNM. Các đường phân giác trong của các góc M và N cắt nhau tại K các
đường phân giác ngoài của các góc M và N cắt nhau tại H
a) Chứng minh KMHN là tứ giác nội tiếp.
b) Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác KMHN bằng 10cm và đoạn KM bằng 6cm, hãy tính

diện tích tam giác KMH.
Bài 68. (Vô địch toán nước Mỹ năm 2010)
Cho đường tròn (O) và A nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AB và AC tới đường tròn (O) ; P
thuộc tia đối của tia BA ; Q thuộc tia đối của tia CA sao cho PQ tiếp xúc với (O). Qua P kẻ đường
thằng song song với AC cắt BC tại E. Qua Q
kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại F.
a) Chứng minh rằng QE và BF đi qua điểm cố định lần lượt là M và N.
b) Chứng minh rằng tích PM.QN không đổi.
Bài 69. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C nào đó chuyển động trên đường tròn
ấy. Dựng tam giác đều BCD sao cho D nằm ngoài đường tròn (O). Gọi E là hình chiếu của điểm C
trên đường thẳng AE. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, OA, OE, DE.
a) Chứng minh rằng : tứ giác MNPQ là hình thoi.
b) Tìm vị trí điểm A trên đường tròn (O) để S
MNPQ
đạt giá trị lớn nhất.

(Dẫn theo đề thi HSG lớp 9 bảng B thành phố Hải Phòng năm 2005)
Bài 70. Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF giao nhau tại điểm M. Gọi N là trung điểm
của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng : A, M, N thẳng hàng.
(Đề thi tuyển sinh vào trường Chuyên Trần Phú Hải Phòng năm 2006)
Bài 71. (Đề thi vô địch toán quốc tế năm
2006)
Cho hình bình hành ABCD trong đó AB = BC. Dựng điểm M sao cho


=BAM
BCM
. Chứng minh
rằng :



=AMD
DMC

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài 72. (Đề thi vô địch toán quốc tế năm 2007)
Cho năm điểm A, B, C, D, E phân biệt sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và tứ giác BCED là
tứ giác nội tiếp. Gọi d là một đường thẳng đi qua A, cắt đoạn CD và đường thẳng BC theo thứ tự tại
F và G. Biết rằng EC = EF = EG. Chứng minh rằng : d là đường phân giác của BAD.
Bài 73. (Đề thi vô địch toán quốc tế năm 2007) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường
phân giác của

ACB
cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai R ; cắt trung trực của BC và AC theo thứ tự
tại P và Q. Gọi K và L theo thứ tự là trung điểm của BC và AC. Chứng minh rằng : S
RQL
= S
RPK


Bài 74. Cho đường tròn (O, R) với các đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên cung nhỏ BD
lấy một điểm M bất kì. AM, CM theo thứ tự cắt CD, AB tại P và Q. Chứng minh :
ACQP
S không
phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cung nhỏ BD.

Bài 75. (Đề thi HSG Quốc gia THPT bảng B năm 2005)
Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn. Giả sử một điểm M di động trên đường thẳng CD sao
cho M không trùng với C và với D. Giả sử N là giao điểm thứ hai khác M của hai đường tròn
(BCM) và (DAM). Chứng minh rằng :
a) Điểm N di động trên một đường tròn cố định.
b) Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 76. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên đường thẳng BC lấy hai điểm D và E sao cho B là
trung điểm của DE. Gọi F là điểm đối xứng của A qua B, M và N theo thứ tự là giao điểm của FD,
FE với đường tròn đường kính AF. Chứng minh rằng : C, M, N thẳng hàng.
Bài 77. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R). Đường tròn (O) là cố định điểm A cố định,
số đo cung BC không đổi. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác.
Bài 78. (Đề thi HSG Quốc gia THPT bảng A năm 2003)
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC, CD là đường phân giác trong góc ACB. Xét một đường tròn
(O) thay đổi luôn luôn đi qua hai điểm C và D, nó cắt các cạnh CB và CA theo thứ tự tại M và N.
a) Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn (S) tiếp xúc với hai đường thẳng DN và DM theo thứ tự
tại N và M.
b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của CB, CA với đường tròn (S). Chứng minh rằng độ dài hai đoạn
MP và NQ không đổi khi đường tròn (O) thay đổi.
Bài 79. Cho tam giác ABC nhọn cân tại A. Gọi M là hình chiếu của A trên BC ; N là hình chiếu của
M trên AC ; P là trung điểm của MN.
Chứng minh rằng : AP = BN.
Bài 80. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Về phía ngoài của tam giác ABC dựng các hình
vuông ABEF, ACMN có tâm tương ứng là P và Q. Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :
tam giác HPQ vuông cân.
Bài 81. Cho tam giác ABC nhọn cân tại A, đường phân giác BD (D thuộc AC). Gọi M là chân
đường phân giác trong góc D của tam giác BD. Gọi N là giao điểm của phân giác góc ADB và
đường thẳng BC. Chứng minh rằng MN = 2BD.
Bài 82. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Gọi MN là một đường kính thay đổi của
đường tròn (O). Gọi C là một điểm cố định nằm trên đường thẳng AB. Các đường thẳng CN và AM
cắt nhau tại D. Tìm quỹ của điểm D khi đường kính MN thay đổi.

Bài 83. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Gọi (P) và (Q) theo thứ tự là các đường tròn
nội tiếp của các tam giác ABH và ACH. Đường thẳng PQ cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N.
Chứng minh rằng tam giác AMN vuông cân.
Bài 84. Cho đường tròn (O,R) cố định và hai điểm A, B tự do chuyển động trên đường tròn ấy. Gọi
G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm G.
Bài 85. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB và AC sao
cho DE = BD + CE. Tia phân giác của góc BDE cắt cạnh BC tại điểm I. Chứng minh rằng : đường
thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định khi D và E di động trên các cạnh AB và AC tương ứng.
Bài 86. Cho tứ giác lồi ABCD với các cạnh AB, CD có điểm chung. Gọi O là giao điểm của hai
đường chéo AC và BD. Lần lượt trên các cạnh AB và CD, lấy các điểm M và N bất kì tương ứng.

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Gọi P và Q theo thứ tự là giao điểm của các đường thẳng AN và DM, BN và CM.
Chứng minh rằng : P, O, Q thẳng hàng.
Bài 87. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC AB. Gọi O là trung điểm của BC và I là tâm đường
tròn nội tiếp của tam giác. Tính tỉ số các cạnh tam giác ABC biết rằng góc OIB vuông.
Bài 88. Cho tam giác ABC cân tại A có cả ba góc đều nhọn các đường cao AH và BD. Trên tia BD
lấy điểm K sao cho BK = BA. Tính số đo góc HAK.
Bài 89. Cho tam giác ABC cố định và một điểm M di chuyển trên đoạn BC. Gọi G là trọng tâm của
tam giác ABM. Tìm qũy tích điểm G.
Bài 90. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD trong đó AB > AC . Gọi E
là hình chiếu của B trên AD ; H là hình chiếu của A trên BC ; M là trung điểm của BC. Chứng minh
rằng : tam giác MEH cân.
Bài 91. Cho tam giác ABC vuông tại B với AB = 2BC. Lấy điểm D nằm trên cạnh AC sao cho
BC = CD ; điểm E nằm trên cạnh AB sao cho AD = AE.

Chứng minh rằng : AD
2
= AB.BE
Bài 92. Cho một đường tròn với hai dây AB và CD không song song. Đường vuông góc với AB kẻ
từ A cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại M và P. Đường vuông góc với AB kẻ
từ B cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng các đường
thẳng AD, BC, MN đồng quy; các đường thẳng AC, BD, PQ đồng quy.
Bài 93. (Đề thi HSG đồng bằng sông Cửu Long, tỉnh Đồng Tháp)
Cho đường tròn (O, R) và một đường kính PQ cố định của đường tròn. Trên tia PQ ta lấy một điểm
S cố định khác P và Q. Với mỗi điểm A thuộc đường tròn ta dựng tia Px vuông góc với tia PA và
nằm cùng phía với nó đối với đường thẳng PQ. Gọi B là giao điểm của Px và SA. Tìm tập hợp điểm
B, khi điểm A di động trên đường tròn (O, R).
Bài 94. (Đề thi HSG đồng bằng sông Cửu Long, tỉnh Đồng Tháp)
Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a và (d) là đường thẳng tùy ý cắt các đường thẳng BC, CA,
AB. Gọi x, y, z tương ứng là các góc giữa đường thẳng (d) và các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng
minh rằng :
2 2 2 2 2 2
1
sin x.sin y.sin z + cos x.cos y.cos z
16


Bài 95. (Đề thi HSG đồng bằng sông Cửu Long, tỉnh Hậu Giang)
Cho tam giác ABC. Gọi
A', B', C'
là các điểm bất ký trên cạch BC, AC và AB sao cho các đường
thẳng
AA', BB', CC'
đồng quy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
T AB'.CA'.BC'



Bài 96. (Đề thi HSG đồng bằng sông Cửu Long, tỉnh Long An)
Trên đường tròn tâm O, bán kính R lấy sáu điểm D, E, F, G, H, K theo thứ tự đó sao cho DE = FG
= HK = R. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của EF, GH và KD. Chứng minh rằng tam giác MNP
là tam giác đều.
Bài 97. (Đề thi HSG đồng bằng sông Cửu Long, tỉnh Sóc Trăng)
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Đường phân giác trong của góc A cắt đường tròn tại
D khác A. Chứng minh rằng : AB + AC < 2AD.
Bài 98. (Đề thi HSG đồng bằng sông Cửu Long, tỉnh Vĩnh Phúc) Tứ giác ABCD nội tiếp đường
tròn tâm I. Gọi P là giao điểm của AC và BD. Chứng minh hệ thức sau :
AI AP
CI CP


VẤN ĐỀ 7. THAM KHẢO THÊM

Bài toán 1. (Chuyên Toán Lê Hồng Phong thành phố Hồ Chí Minh năm 1992)
Với
, ,
a b c
là độ dài ba cạnh của một tam giác chứng minh rằng

       
2 2 2
2( )
ab bc ca a b c ab bc ca

Nhận xét. Từ bài toán 1 thì ta có bài toán khá hay như sau
Một tam giác có độ dài ba cạnh là

, ,
a b c
bác bỏ hoặc chứng minh mệnh đề sau
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com