Góc và cung lượng giác lớp 10

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 1

Chƣơng VI
CUNG VÀ GÓC LƢỢNG GIÁC
§ 3 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƢỢNG GIÁC
Bài 1 : Tính các giá trị lượng giác các cung có số đo
a) 15
0
= 45
0
30
0
b) 5/12 = /4 +/6
Bài 2 :
a) Biết sin  =3/5 và /2 <  <  . Tính tg(+/3) .
HD : Tính cos  = 4/5
 tính sin(+/3) = …=(3
34
)/10 ; cos(+/3)=(43
3
)/10
tg(+/3) =
)3/cos(
)3/sin(





b) Biết sina=4/5 và 0

0
< a < 90
0
, sinb = 8/17 (90
0
< b < 180
0
) .
Tính cos(a+b), sin(ab) .
HD : tính cos a = 3/5, cosb=15/17  cos(a+b)= , sin(ab) =
c) Cho hai góc nhọn a và b với tga = ½,tgb = 1/3. Tình a + b .
HD : tính tg(a+b) =
tgb.tga1
tgbtga


= 1  a+b = /4 .
d) Biết tg(+/4) = m với m  1 . Tính tg  .
HD : tg(+/4)=(1+tga)/(1tga) = m  (m+1)tga = m1  tga = (m1)/(m+1)
Bài 3 : Chứng minh :
a) sin(a+b).sin(ab) = sin
2
asin
2
b = cos
2
bcos
2
a.
HD : VT = (sina.cosb+cosa.sinb)(sina.cosbcosa.sinb)=(sina.cosb)

2
(cosa.sinb)
2

= sin
2
a.cos
2
acos
2
a.sin
2
a  biến cos
2
a = 1sin
2
a hoặc sin
2
a = 1 cos
2
a …
b) cos(a+b).cos(ab) = cos
2
asin
2
b = cos
2
bsin
2
a.

HD : cos(a+b).cos(ab) = cos
2
acos
2
b  sin
2
asin
2
b
Bài 4 :
a) Cho ab = /3. Tính giá trị các biểu thức sau :
A = (cosa+cosb)
2
+ (sina+sinb)
2

HD : khai triển hằng đẳng thức  A = 2+2(cosa.cosb+sina.sinb) =2+2cos(ab)
B = (cosa+sinb)
2
+ (cosbsina)
2

HD : B = 22sin(ab)
b) Cho cosa = 1/3 và cosb = ¼. Tính cos(a+b)cos(ab) .
HD : cos(a+b).cos(ab) = cos
2
acos
2
b  sin
2

asin
2
b
Bài 5 : Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
(với điều kiện tam gíc ABC không phải là tam giác vuông )
Ta có : tgC = tg[(A+B)] = tg(A+B) =
tgB.tgA1
tgBtgA



 tgCtgAtgBtgC = tgA+tgB
b)
1
2
A
tg.
2
C
tg
2
C
tg.
2
B
tg
2
B
tg.

2
A
tg 
.
Ta có :
2
B
tg
2
A
tg
2
B
tg.
2
A
tg1
)
2
B
2
A
(tg
1
)
2
B
2
A
(gcot)]

2
B
2
A
(
2
[tg
2
C
tg






 …  đpcm .
Bài 6 : Tính cos2 ,sin2 ,tg2 biết ;
a) cos  = 5/13 và  <  <3/2 .
HD : cos2 = 2cos2  1 = 119/169
sin
2
 = 1 cos
2
  sin  = 12/13  sin2 =2sin. cos

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 2

b) tg  = 2 . HD : sin2a = 2tga/(1+tg
2

a) , cos2a = (1tg
2
a)/(1+tg
2
a) ,tg2a = sin2a/cos2a
Bài 7 : Cho sin2a = 4/5 và /2 < a < 3/2 . Tính sina và cosa .
HD : /2 < a < 3/2  < 2a < 3 ,vì sin2a = 4/5 < 0   < 2a < 2 
 cos2a = 3/5 hoặc cos2a = 3/5
Bài 8 : Tính
a) A =
8
cos.
16
cos.
16
sin

.
HD : A =
8
sin
2
1

.cos
8


b) B = sin10
0

.sin50
0
.sin70
0
.
HD : Nhân thêm 2cos10
0
và biến đổi sin70
0
= cos20
0

Bài 9 : Chứng minh
a) cotgx + tgx = 2/sin2x .
HD :

xcos.xsin
1
xcos
xsin
xsin
xcos
VT

b) cotgx  tgx = 2cotg2x.
HD :
x2gcot2
x2tg
2
xtg1

tgx2
2
xtg1
tgx
1
tgx
xtg1
tgx
tgx
1
VT
22
2








c)
xtg
cos2x1
cos2x-1
; tgx
x2cos1
x2sin
2





.
HD :
tgx
xcos2
xcosxsin2
VT
2


Bài 10 : Chứng minh :
a) cos4a = 8cos
4
a  8cos
2
a + 1.
HD : VT = 2cos
2
2a1=2(2cos
2
a1)
2
1= …
b) sin
6
a + cos
6
a =

8
3
cos4a+
8
5

HD : VT = sin
4
asin
2
a.cos
2
a+cos
4
a=13sin
2
a.cos
2
a=1
4
3
sin
2
2a=
]
2
a4cos1
[
4
3

1



Bài 11 : Biến đổi thành tổng
a) A = 2sin(a+b).cos(ab) .
= sin2a + sin2b
b) B = 2cos(a+b).cos(ab) .
= cos2a + cos2b
c) C = 4sin3x.sin2x.cosx .
= 1+cos2xcos4xcos6x
Bài 12 : Biến đổi thành tích
a) A = sina + sinb + sin(a+b).
= (sina+sinb) + 2
2
ba
cos
2
ba
sin


b) B = cosa + cosb + cos(a+b) +1.
HD : biến đổi coa + cosb thành tích ; 1 + cos(a+b) = 2
2
ba
cos
2


c) C =1 + sina + cosa.
HD : 1+cosa = 2
2
a
cos
2
; sina =
2
a
cos
2
a
sin2

d) D = sinx + sin3x + sin5x + sin7x.
= (sin7x+sinx) + (sin5x+sin3x)
= 4sin4x.cos2x.cosx
Bài 13 : Chứng minh

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 3

a) sinx.sin(/3x).sin(/3+x) =
4
1
sin3x.
VT =
xsinxsin
4
3
)xsin21

2
1
(xsin
2
1
]
2
1
x2[cosxsin
2
1
32


b) cosx.cos(/3x).cos(/3+x) =
4
1
cos3x.
VT =
xcos
4
3
x3cos)
2
1
1xsin2(xcos
2
1
]
2

1
x2[cosxcos
2
1
2


c) cos5x.cos3x+sin7x.sinx = cos2x.cos4x.
VT =
x2cos.x4cos]x6cosx2[cos
2
1
]x8cosx6[cos
2
1
]x8cosx2[cos
2
1


d) sin5x2sinx(cos2x+cos4x) = sinx.
VT = sin5x2sinx[2cos3x.cosx] = sin5x4cos3x.sinx.cosx=sin5x2sin2x.cos3x
= sin(3x+2x)  2sin2x.cos3x = sin3x.cos2x+cos3x.sin2x2sin2x.cos3x
= sin3x.cos2xcos3x.sin2x = sin(3x2x) = sinx
Bài 14 : Chứng minh
a)
0
9
7
cos

9
5
cos
9
cos 

.
0)
2
1
21(
9
cos)
3
2
cos21(
9
cos)
9
cos.
3
2
cos2(
9
cos)
9
7
cos
9
5

(cos
9
cos 


b) sin20
0
.sin40
0
.sin80
0
=
8/3
.
0
0
030020
02000000
60sin
4
1
20.3sin
4
1
]20sin420sin.3[
4
1
]20sin
2
3

[20sin
2
1

]
2
1
20sin1[20sin
2
1
]
2
1
40[cos
2
1
.20sin]120cos40[cos
2
1
.20sinVT



Bài 15 : Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có :
a) sinA + sinB + sinC =
2
C
cos
2
B

cos
2
A
cos4
.
]
2
BA
cos
2
BA
[cos
2
C
cos2
2
C
cos
2
C
sin2
2
BA
cos
2
BA
sin2VT







 …
( ta có
2
BA
sin)]
2
BA
(
2
cos[
2
C
cos





)
b) cosA + cosB + cosC = 1 +
2
C
sin
2
B
sin
2

A
sin4

]
2
C
sin
2
BA
[cos
2
C
sin21
2
C
sin21
2
BA
cos
2
C
sin2
2
C
sin21
2
BA
cos
2
BA

cos2VT
22









c) sin2A +sin2B+sin2C = 4sinA.sinB.sinC.
osC4cosAcosBcA.cosB2sinC.2cos
)]BAcos()BA[cos(Csin2CcosCsin2)BAcos()BAsin(2VT



d) cos
2
A+cos
2
B+cos
2
C = 12cosA.cosB.cosC.
ta có : cos(A) = cos(B+C)  cosA = cosBcosC  sinBsinC
bình phương hai vế ta được : cos
2
A = cos
2
B.cos

2
C2cosB.cosC.sinB.sinC +sin
2
B.sin
2
C
 thay sin
2
B = 1cos
2
B , sin
2
C = 1cos
2
C
 cos
2
B.cos
2
C2cosB.cosC.sinB.sinC+1cos
2
Bcos
2
C = cos
2
A
1+cosB.cosC(cosB.cosCsinB.sinC) = cos
2
A +cos
2

B+cos
2
C
1+cosB.cosC.cos(B+C) = cos
2
A +cos
2
B+cos
2
C ta có cos(B+C) =cosA  …
Bài 16 : Chứng minh

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 4

a)
xtg
xsinxsinxcos
xcosxcosxsin
4
422
422





xtg
)xsin1(
)xcos1(
xsinxsin21

xcosxcos21
VT
4
22
22
42
42








b) sin(2x+ /3)cos(x/6)cos(2x+/3)cos(2/3  x) = cosx
Ta có : cos(2/3x) = cos[/2/6x]=sin(x/6)
 VT = sin(2x+ /3)cos(x/6)cos(2x+/3) sin(x/6)
= sin[(2x+/3)(x/6)] = sin(x+/3+/6) = sin(x+/2) = cosx
c) (tg2xtgx)(sin2xtgx) = tg
2
x

xtg
x2cos.xcos
x2cos.xsin
xcos
)1xcos2(xsin
.
x2cos.xcos

x)-sin(2x

xcos
xsinxcosxsin2
.
x2cos.xcos
x2cos.xsinxcos.x2sin
)
xcos
xsin
x2)(sin
xcos
xsin
x2cos
x2sin
(VT
2
2
22
2







d) tg
2
x + cotg

2
x =
x4cos1
x4cos26




x4cos1
)x4cos3(2
2
x4cos1
)x4cos1(4

x2sin
x2sin24
x2sin
4
1
x2sin
2
1
1
xcos.xsin
xcosxsin21
xcos.xsin
xcosxsin
VT
2
2

2
2
22
22
22
44















Bài 17 : Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
A = 3(sin
4
x+cos
4
x)  2(sin
6
x+cos
6

x)
= 3(12cos
2
x.sin
2
x)2(13sin
2
x.cos
2
x) = 1
B = cos
6
x + 2sin
4
xcos
2
x + 3sin
2
x.cos
4
x + sin
4
x
Biến đổi sinx theo cosx  A = 1
C = cos(x/3).cos(x+/4) + cos(x+/6).cos(x+3/4)
cos(x+/6) = sin[/2(x+/6)]= sin(/3x)=sin(x/3)
cos(x+3/4) = cos[/2+(x+/4)] = sin(x+/4)
 C = cos(x/3).cos(x+/4)+ sin(x/3) sin(x+/4) =cos(x/3x/4)
= cos(7/12)
D = cos

2
x + cos
2
(2/3+x)+cos
2
(2/3x)
Sử dụng công thức hạ bậc ta được :
D = (1+cos2x)/2 + [1+cos(2x+4/3)]/2 +[1+cos(4/32x)]/2

2
3
x2cos)
3
cos(
2
x2cos
2
3
x2cos
3
4
cos
2
x2cos
2
3
)]x2
3
4
cos()x2

3
4
[cos(
2
1
2
x2cos
2
3







Bài 18 : Rút gọn các biểu thức sau
A =
)tg1(cos)gcot1(sin
22



Biến đổi tg và cotg  A = | sin  + cos  |
B =
bcosacos
)basin()basin(



acosbcos
2
ba
sin
2
ba
sin2
2
ba
cos
2
ba
cos2
2
ba
cos
2
ba
sin.
2
ba
cos
2
ba
sin4
B 









Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 5

C =
a2sina4sin
a4cosa2cos




tga
acos.a3sin2
)asin(.a3sin2
C 



D =
a5cosa3cosacos
a5sina3sinasin




a3tg
)acos21(a3cos
)a2cos1(a3sin

a3cosacos.a3cos2
a3sinacos.a3sin2
D 







Bài 19 : Chứng minh sinx.cosx.cos2x.cos4x =
8
1
sin8x

x8sin
8
1
x4cos.x4sin
4
1
x4cos.x2cos.x2sin
2
1
VT 

Ap dụng : tính giá trịc các biểu thức sau
a) sin6
0
.sin42

0
.sin66
0
.sin78
0

16
1
6cos
96sin
.
16
1
6cos
48cos.48sin
8
1
6cos
48cos.24cos12cos.6cos.6sin

6cos2
)1290sin().2490sin().4890sin(.6cos.6sin2
A
0
0
0
00
0
00000
0

00000000




b) cos /7 . cos 3/7 . cos 5/7
8
1

7
sin8
)
7
sin(
7
sin
7
.8sin
8
1
7
sin
7
4
cos.
7
2
cos.
7
cos

7
sin
7
4
cos.
7
2
cos.
7
cosB
7
2
cos)
7
5
cos(
7
5
cos
7
4
cos)
7
3
cos(
7
3
cos





















Bài 20 : a) Biết tg
2
a
= m , tính
asintga
asintga



22
2
2

m
2
a
tg
2
a
cos2
2
a
sin2
acos1
acos1
)acos1(tga
)acos1(tga
asintga
asintga










b) Biết tg a + cotga = m , 0 < a < /2, tính sin2a , sin4a. Tham số m phải thỏa mãn điều kiện
gì ?
Vì 0 < a < /2  tga,cotga > 0  Ap dụng BĐT côsi  tga+cotga  2  m  2
Ta có tga + cotga = 2/sin2a  sin2a = 2/m  cos

2
2a =14/m
2

Nếu 0 <a

/4  cos2a  0  cos2a =
m
4m
2

 sin4a = 2sin2a.cos2a
Nếu /4 < a < /2  cos2a < 0  cos2a = 
m
4m
2

 sin4a = 2sin2a.cos2a
Bài 21 : Cho sina + cosa = m vơí 
2


m

2

a) Tính sin2a . (sin2a= 2sina.cosa = (sina+cosa)
2
1 = m
2

1)
b) Tính sina và cosa.








2
1m
acos.asin
macosasin
2
 sina ,cosa là nghiệm của pt X
2
mX+
2
1m
2

=0

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 6

 = 2m
2
 0  X =(m
)m2

2

/2

c) Xác định điểm ngọn của cung a khi m = 1, khi m =
2
.
 Khi m =1  sina.cosa = 0  sina = 0 hoặc cosa = 0
 a = k  hoặc a = /2+k   Các điểm ngọn là A,A’,B,B’.
 Khi m =
2
  = 0  X =
2
/2 sina = cosa =
2
/2  a = /4 + k2   điểm ngọn là
trung điểm cung AB.
BÀI TẬP ÔN CHƢƠNG
BÀI 1 : Tính giá trị các biểu thức sau
A = 4  sin
2
45
0
+ 2cos
2
60
0
 3cotg
3
45

0

= 4(
2
/2)
2
+ 2.(1/2)
2
3 = 1
B = tg45
0
.cos390
0
.cotg(150
0
)
= tg450.cos(30
0
+360
0
).cotg(30
0
180
0
) = 3/2
C = 3a.cos360
0
+ b.sin(270
0
) + a.cos180

0

= 3a.cos(0
0
+360
0
)+b.sin(90
0
360
0
)+a.cos180
0
= 2a+b
D = 4a
2
.sin
2
45
0
 3(a.tg45
0
)
2
+ (2a.cos45
0
)
2

= 4a
2

(
2
/2)
2
 3a
2
+ 4a
2
(
2
/2)
2
= a
2

E =
02030
20033033
45cosb2+30sina2+)90cosa25(
)0sinab12(+45gcotb+60cosa8

=
23
2333
)2/2(b2+)2/1(a2+)0.a25(
)0.ab12(+b+)2/1(a8
= a
2
 ab + b
2

F = (a
2
+ 1).sin0
0
+ b.cos90
0
+ c.cos180
0

= (a
2
+ 1).0 + b.0  c =  c
G = tg1
0
.tg2
0
.tg3
0
. . . tg88
0
.tg89
0

= tg1.tg2.tg3 tg43.tg44.tg45.tg(9044).tg(9043) tg(902).tg(901)
= tg1.tg2.tg3 tg43.tg44.1.cotg44.cotg43 cotg2.cotg1 = 1
H =
)110 - sin(3
1
+

cos650
1
00

=
)20 - 90 -sin(3
1
+
)720+90 - 20cos(
1
00000
=
20cos20sin3
sin20 - 20cos3
=
20cos3
1
-
20sin
1

=
40sin3
0)cos60.sin2 - s204(sin60.co
=
40sin
2
3
)20sin
2

1
- 20cos
2
3
(2
=
40sin3
40sin4
= 4/
3

K = tg110
0
.tg340
0
+ sin160
0
.cos110
0
+ sin250
0
.cos340
0

= (tg90+20).tg(20+360)+sin(18020).cos110+sin(110+360).cos(20+360)
= cotg20.tg(20) + sin20.cos110  cos20sin110
= 1 + sin(20110) = 1  sin90 = 0
L = sin5
0
.sin15

0
.sin25
0
.sin35
0
.sin45
0
.sin55
0
.sin65
0
.sin75
0
.sin85
0

= (sin5.sin85).(sin15.sin75).(sin25.sin65).(sin35.sin55).sin45
= (sin5.cos5).(sin15.cos15)(sin25.cos25)(sin35.cos35).sin45
=
20cos.40cos.80cos
2
2
=
2
2
.70sin
2
1
.50sin
2

1
.30sin
2
1
.10sin
2
1
6
(nhân cho sin20)
=
80cos.40cos.40sin
2
1
.
20sin
1
.
2
2
=80cos.40cos.20cos.20sin.
20sin
1
.
2
2
66


Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 7

=
9666
2
2
=20sin
8
1
.
20sin
1
.
2
2
=160sin
2
1
.
2
1
.
2
1
.
20sin
1
.
2
2
=80cos.80sin
2

1
.
2
1
.
20sin
1
.
2
2

M = sin10
0
.sin30
0
.sin50
0
.sin70
0
.sin90
0

= sin10.
2
1
.sin(9040).sin(9020).1
=
10cos
1
.

2
1
cos10.sin10.cos40.cos20 =
10cos
1
.
2
1
.
2
1
sin20.cos20.cos40 = 1/16
N = sin20
0
.sin40
0
.sin80
0

=
2
1
.[cos(2040)cos(20+40).sin80 =
2
1
sin80.cos20cos60.sin80
=
2
1
sin80.cos20 

4
1
sin80 =
2
1
.
2
1
(sin60 + sin100)
4
1
sin80
=
4
1
.
2
3
+
4
1
sin(18080)
4
1
sin80 =
83

P = tg9
0
+ tg15

0
 tg27
0
 tg63
0
+ tg75
0
+ tg81
0

= tg9+tg15tg27tg(9027) + tg(9015)+tg(909)
= tg9+tg15tg27cotg27+cotg25+cotg9 = tg9+cotg9)+(tg15+cotg15)(tg27+cotg27)
=
4+
54sin.18sin
sin18) - 54(sin2
=
sin54
2
-
30sin
2
+
18sin
2
=
7cos27.sin2
1
-
15sin.15cos

1
+
9sin.9cos
1

=
8=4+
54sin.18sin
18sin.36cos4

Q =
7
π6
cos+
7
π4
cos+
7
π2
cos
( nhân hai vế cho sin(/7) )
=
7
π
sin
7
π6
cos2+
7
π

sin
7
π4
cos2+
7
π
sin
7
π2
cos2.
7
π
sin2
1

=
7
π5
sin - πsin+
7
π3
sin -
7
π5
sin+
7
π
sin -
7
π3

.[sin
7
π
sin2
1
= 1/2
R =
48
π
cos+
48
π
sin
66

=
)
48
π
cos+
48
π
(sin
48
π
cos.
48
π
3sin -)
48

π
cos+
48
π
(sin
2222 322

=
12
π
cos
8
3
+
8
5
=)
12
π
cos - 1(
8
3
- 1=
24
π
.sin
4
3
- 1
2

mà
4
6+2
=
4
π
sin
3
π
sin -
4
π
cos
3
π
cos=)
4
π
-
3
π
cos(=
12
π
cos

thay vào ta được R =
32)63+23+20(

S = sin
2
73
0
+ sin
2
47
0
 sin73
0
.sin47
0

=
)
2
1
+26(cos
2
1
- )94cos+146(cos
2
1
- 1 = 47)]+cos(73 - 47) - 73[cos(
2
1
-
2
cos94 - 1
+

2
cos146 - 1

=
26cos
2
1
- 26cos120.cos -
4
3
= 3/4
V =
3 -
9
π
tg27+
9
π
33tg -
9
π
tg
246

Ta có
3a.tg1) - a(3tg = 3tga) - atg(=>
3a3tg - 1
a tg- tga3
=a3tg
222

2
3
2
3

Với kết quả trên đưa V về dạng

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 8

=
0=1)-
9
π
3(3tg -
9
π
3.tg1) -
3
π
tg3(=1) -
9
π
3(3tg -)
9
π
3tg -
9
π
tg(
2222222 223

BÀI 2 : Xác định dấu của các biểu thức sau
A = sin40
0
.cos(290
0
) ;
B = sin255
0
.tg390
0
.cotg(175
0
) ;
C = cos195
0
.tg269
0
.cotg(90
0
) ;
D = sin(+).cos(1,5 + ).tg(   ) với 0 <  < /2 ;
E = sin(1441
0
).cos1080
0
.tg908
0
.cotg(1972
0

) ;
F =
00
00
150gcot.200tg
300cos.100sin
;
( A > 0 ; B > 0 ; C ; D ; E ; F )

BÀI 3 : Đơn giản biểu thức
A =
cotgx
sinx
-
xsin
tgx

=
cosx
xsin - 1
=
xsin
cosx
sinx
-
xsin
xcos
xsin
2
= cosx

B =
xcos+xsin
xcos+xsin
33

=
sinx.cosx - 1=
xcos+xsin
xcos+sinx.cosx - x)(sinxcos+x(sin
22

C =
x tg-x cotg
x sin - xcos
22
22

=
xcos.xsin=
xcos
xsin
-
xsin
xcos
xsin - xcos
22
2
2
2
2

22

D =
cosx - 1.xcos+1

=
|xsin|=xcos - 1
2

E =
)
2
π
- tg(x - )
2
π5
- x(tg - )
2
π3
+x(tg+)x+
2
π
(tg

= cotgx +
x)]-
2
π
tg[-(- )π2 -
2

π
-tg(x- )π+x+
2
π
(tg

= cotgx + tg
cotgx+ )
2
π
- tg(x- )x+
2
π
(
=  cotgx  cotgx + cotgx +cotgx = 0
F =
x)+ x).tg(90- cotg(90 -
x)-(90sin-1
)x+(90cos -1
00
02
02

=
xcos -1
xsin - 1
2
2
 tgx(cotgx) =
xcos -1

xsin - 1
2
2
+1 =
xsin
1
=1+
xsin
xcos
22
2

G = cos10
0
+ cos30
0
+ +cos150
0
+ cos170
0

= (cos10 + cos170)+(cos30 + cos150)+(cos50 + cos130)+(cos70+cos110) + cos90
= (cos10cos10)+(cos30cos30)+(cos50cos50)+(cos70cos70) = 0
H = sin
2
10
0
+ sin
2
20

0
+ + sin
2
90
0

= ( sin
2
10 + sin
2
80)+(sin
2
20+sin
2
70)+(sin
2
30+sin
2
60)+(sin
2
40+sin
2
50)+sin
2
90

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 9

= (sin
2

10+cos
2
10)+(sin
2
20+cos
2
20)+(sin
2
30+cos
2
30)+(sin
2
40+cos
2
40)+1 = 5
K =
sin2a - sin4a
cos4a - a2cos

=
a3tg=
asin.a3cos
-a)sin3a.sin( -
=
2
2a - 4a
sin.
2
2a+4a
2.cos

2
4a - a2
sin.
2
4a+2a
2.sin -


L = sin2a.cotga  cos2a
= sin2a.
1=
asin
a) - a2sin(
=
asin
cos2a.sina - sin2a.cosa
= cos2a -
asin
acos

M = tga + tg(a+
3
π
) +
)+a(tg
3
π2

= tga +
tga3+ 1

3 - tga
+
.tga3 - 1
3+tga
+tga=
3
π2
tga.tg- 1
3
π2
tg+tga
+
3
π
tga.tg- 1
3
π
tg+tga
=
a3tg - 1
8tga
+tga
2

=
a3tg3=
3tg2a - 1
a) tg- tga3(3
3

N =
acos+
cosa -1
asin.
2
a
cosa).tg+(1
2
22

=
1=acos+asin=acos+
2
a
tg
asin
2
a
tg
=acos+
2
a
cos2
2
a
sin2
asin
2
a
tg

=acos+
cosa+1
cosa - 1
asin
2
a
tg
222
2
22
2
2
2
22
2
22

P =
tga- gacot
tga+cotga

=
a tg- 1
atg+1
=
tga-
tga
1
tga+
tga

1
2
2
=
a2cos
1
=
acos
asin - acos
acos
1
2
22
2

Q = (1 + 2cos2a + 2cos4a + 2cos6a).sina
= sina + 2sina.cos2a + 2sina.cos4a + 2sinacos6a
= sina +sin(a) + sin3a + sin(3a) + sin5a + sin(5a) + sin7a = sin7a
S =
a5cos+a3cos+acos
a5sin+a3sin+asin

=
a3tg=
)a2cos+1(a3cos
)a2cos+1(a3sin
=
a3cos+a2cosa3cos2
a3sin+a2cosa3sin2
=

a3cos+a5cos+acos
a3sin+a5sin+asin

R = cos10x + 2cos
2
4x + 6cos3x.coxcosx8cosx.cos
3
3x
= cos10x + (1 + cos8x)  cosx  2cosx(4cos
3
3x3cosx)
= cos10x + cos8x + 1  cosx  2cosx.cos9x
= 2cos9x.cosx+1cosx2cos9x.cosx = 1 cosx
BÀI 4 : Chứng minh đẳng thức luợng giác
a) (tg + cotg)
2
 (tg  cotg)
2
= 4
VT = tg
2
 + cotg
2
+2.tg.cotg(tg
2
+tg
2
2tg.cotg) = 4

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 10

b)
αgcot+αtg
αtg+1
=
αcotg
αcotg+1
.
αtg+1
αtg
22
4
2
2
2
2
.
VT =
αtg=)1+
αgcot
1
.(
αtg+1
αtg
2
22
2

c) sin
4

  cos
4
 = 2sin
2
 1 .
VT = (sin2)2(cos2)2 = (sin
2
+cos
2
)(sin
2
cos
2
)
= sin
2
cos
2
 =2sin
2
 1
d) sin
6
  cos
6
 = 13sin
2
 cos
2
 .

VT = (sin
2
+cos
2
)(sin
4
sin
2
.cos
2
+cos
4
) = sin
4
sin
2
.cos
2
+cos
4

= (sin
2
+cos
2
)2sin
2
.cos
2
sin

2
.cos
2

e) (1 + tgx)(1 + cotgx ).sinx.cosx = 1 + 2sinx.cosx .
VT =
xcos.xsin)
xcos
xsin
+
xsin
xcos
+2(=xcos.xsin).gxcot.tgx+tgx+gxcot+1(

= 2sinx.cosx + cos
2
x + sin
2
x = 1 + 2cosx.sinx
f)
sinx
cosx - 1
=
xcos+1
xsin
.
<=> sin
2
x = 1  cos
2

x
g)
tga.a3tg=
a2a.tg tg- 1
a tg- a2tg
22
22
.
VT =
atga2tg+1
tga- tg2a
.
tg2a.tga- 1
tga+a2tg
=
tg2a.tga)+1tg2a.tga)(- (1
tga)- tg2a)(tga+a2tg(
= tg3a.tga
h) sin(a+b+c) =sina.cosb.cosc + cosa.sinb.cosc + cosa.cosb.sinc  sina.sinb.sinc .
VT = sin[(a+b)+c] = sin(a+b).cosc + cos(a+b).sinc
= (sina.cosb+cosa.sinb)cosc + ( cosa.cosb  sina.sina)sinc
= sina.cosb.cosc + cosa.sinb.cosc + cosa.cosb.sinc  sina.sinb.sinc
i) 8cos
4
a4cos2acos4a = 3 .
VT = 8(cos2a)
2
 4cos2a  cos4a = 2(1 + cos2a)
2
 4cos2a  cos4a

= 2 + 4cos2a + 2cos
2
2a  4cos2a  cos4a
= 2 + 1 + cos4a  cos4a = 3
j)
tg2a-
a2cos
1
=
asin+acos
sina - acos
.
VT =
a2cos
1
=
cos2a
sin2a - 1
=
asin - acos
a2.cosa.sin - 1
=
sina) - sina)(cosa+(cosa
sina) - (cosa
22
2
 tg2a
k)
)
4

π
- a(gcot=
sin2a - 1
a2sin+1
2
.
VT =
)a -
4
π
(ctog).
4
π
+a(tg=
)a -
4
π
sin().
4
π
+acos(2
)a -
4
π
cos().
4
π
+asin(2
=
sin2a -

2
π
sin
a2sin+
2
π
sin

=
)
4
π
- a(gcot=)]
4
π
- cotg(a -).[
4
π
- a+
2
π
(tg
2

l) sina + sinb +sinc =
2
c
sin.
2
b

cos.
2
a
cos4
, biết a + b = c .
VT =
2
c
cos
2
c
sin2+
2
b - a
cos
2
c
sin2=
2
c
cos
2
c
sin2+
2
b - a
cos
2
b+a
sin2

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 11

= 2
2
b
cos
2
a
cos
2
c
sin4=)
2
b+a
cos+
2
b - a
(cos
2
c
sin

m) cotgx + tgx =
x2sin
2
.
VT =
x2sin

2
=
xcos.xsin.2
2
=
xcos.xsin
1
=
xcos
xsin
+
xsin
xcos

n) cotgx  cotg2x =
x2sin
1
.
VT =
x2sin
1
=
x2sin.xsin
)x - x2sin(
=
x2sin.xsin
cos2x.sinx - xcos.x2sin
=
sin2x
cos2x

-
xsin
xcos

o) 3  4cos2x + cos4x = 8sin
4
x .
VP = 8sin
4
x = 2(1cos2x)
2
= 24cos2x + 2cos
2
2x = 24cos2x + 1 + cos4x
= 3  4cos2x + cos4x
p) sin
4
x + cos
4
x =
4
3
+x4cos
4
1
.
VT = (sin
2
x)
2

+ (cos
2
x)
2
=
22
)
2
x2cos+1
(+)
2
cos2x - 1
(

=
x4cos
4
1
+
4
3
=
2
x4cos+1
.
2
1
+
2
1

=x2cos
2
1
+
2
1
2

q) sin
6
x + cos
6
x =
8
5
+x4cos
8
3
.
VT = (sin
2
x+cos
2
x)
3
 3sin
2
xcos
2
x(sin

2
x+cos
2
x)
= 1  3sin
2
x.cos
2
x =
8
5
+x4cos
8
3
=
2
cos4x - 1
.
4
3
- 1=x2sin
4
3
- 1
2

r) cos3x.sin
3
x + sin3x.cos
3

x =
x4sin
4
3
.
VT = sin
2
x.sinx.cos3x + cos
2
x.cosx.sin3x
= (1cos
2
x)sinx.cos3x + (1sin
2
x).cosx.sin3x
= sinx.cos3x  cos
2
xsinx.cos3x + cosx.sin3x sin
2
x.cosx.sin3x
= sinx.cos3x + cosx.sin3x  sinx.cosx(cosx.cos3x + sinx.sin3x)
= sin(x+3x)  sinx.cosx.cos(x3x) = sin4x 
2
1
sin2x.cos2x
= sin4x 
4
1
sin4x =
4

3
sin4x
s) Sin5x  2sinx(cos4x + cos2x ) = sinx .
VT = sin5x 2sinx.cos4x  2sinx.cos2x
= sin5x  [sin(3x) +sin5x][sin(x)+sin3x]
= sin5x + sin3x  sin5x + sinx  sin3x = sinx
t)
xcos.x2cos=
2
x
sin
2
x7
sin+
2
x3
cos
2
x5
cos
.
VT =
)]
2
x
+
2
x7
cos( - )
2

x
-
2
x7
[cos(
2
1
+)]
2
3x
+
2
x5
cos(+)
2
3x
-
2
x5
[cos(
2
1

=
xcos.x2cos=)x3cos+x(cos
2
1
=)x4cos - x3(cos
2
1

+)x4cos+x(cos
2
1

u)
x3sin
4
1
=)x+
3
π
x).sin(-
3
π
sin(.xsin
. Ap dụng tính A =
18
π13
sin.
18
π7
sin.
18
π
sin
.
VT =
)
2
1

+x 2sin - 1(xsin
2
1
=]
3
π2
cos - x2.[cos
2
1
sinx.= x)-
3
π
sin()x+
3
π
sin(.xsin
2


Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 12

=
x).sinx4sin - 3(
4
1
2
=
4
1
(3sinx4sin

3
x)=
4
1
sin3x
Ap dung :
8
1
=
6
π
sin
4
1
=
18
π
3sin
4
1
=
18
π13
sin.
18
π7
sin.
18
π
sin

v) sin(a+b)sin(ab) = cos
2
b  cos
2
a .
w) cos(a+b)cos(ab) =cos
2
a + cos
2
b  1 .
x) sina + sinb + sinc  sin(a+b+c) =
2
a+c
sin
2
c+b
sin
2
b+a
sin4
.
y) cosa + cosb + cosc + cos(a+b+c) =
2
a+c
cos
2
c+b
cos
2

b+a
cos4
.
BÀI 5 : Chứng biểu thức lượng giác độc lập với các biến ( Không phụ thuộc vào biến)
A =
gxcot
sinx.cosx
+
xgcot
xcos -x cotg
2
22
;
B =
α.cosαsin
1
-
αgcot
)αcotg - (1
222
22
;
C =
xsin4+xcos+xcos4+xsin
2424
;
D = 3(sin
8
cos
8

) + 4(cos
6
  2sin
6
 ) + 6sin
4
 ;
E =
β.cotgαcotg -
β.sinαsin
βsin - αcos
22
22
22
;
F =
)α - (90).sinα - (180sin
1
-
)90 - α(gcot
)]α + (90cotg - 1[
020202
202
;
( A=1; B =4; C= 3; D= 1; E=1; F =4 )
G =
)+xcos().
3
π
-x cos(+xsin

3
π
2
;
H =
)
3
π
+(xcos +x cos + )
3
π
-(x cos
222
;
K =
)
3
π2
+x(sin+xsin+)
3
π2
-x (sin
222
;
( G= 1/4; H= 3/2 ; K=3/2 )
BÀI 6 : Tính giá trị của hàm số lượng giác  Biểu thức lượng giác
a) Biết cos = 4/5 và 0
0
<  < 90
0

.
+ Tính sin , tg , cotg .
+ Tính giá trị biểu thức A =
α tg- αgcot
αtg+αgcot
. ( sin = 3/5 ; A = 25/7 )
b) Biết tg = 2 , với  là góc của một tam giác .
+ Tính cos, sin .
+ Tính giá trị biểu thức B =
α2cos - αsin
αcos2+αsin
. ( cos =
51-
; B = 0)
c) Cho tg + cotg = 2 . ( 0
0
<  < 90
0
)
+ Tính sin, cos , tg, cotg .
+ Tính giá trị biểu thức C =
αcotg + α tg
αcos.αsin
22
. ( = 45
0
; C = 1/4 )
d) Cho sin + cos =
2
.

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 13

+ Tính sin, cos, g, cotg .
+ Tính giá trị của biểu thức D = sin
5
 + cos
5
 .
( cos = sin =
22
; D =
4/2
)
e) Cho 3sin
4
  cos
4
 = 1/2
+ Tính biểu thức E = sin
4
 + 3cos
4
 . ( E = 1 )
f) Biết tg75
0
=
3+2
, tính sin15
0

, cos15
0
; sin105
0
, cos105
0
.
( cotg15
0
=
3+2
; tg105
0
=
3 - 2 -
)
g) Tính
12
π
cos ;
12
π
nsi
;
12
π
gcot;
12
π
tg

.
(
4
2+6
= cos ;
4
2 - 6
=sin
)
h) Cho cosa = 9/41 , với  < a < 3/2 . Tính F = tg( a /4) .
( F = 31/49 )
i) Cho tgx = 1/2, tính giá trị biểu thức G =
sin2x+tg2x
sin2x -tg2x
.
( G = 1/4 )
j) Cho sina + cosa =
27
, tính H = cos4a , I = tg
2
a
.
( H = 1/8 ; I =
2+7
1±2
)
k) Cho cotgx = 3/4 , tính giá trị biểu thức J =
cos2x - x2sin+1
x2cos+x2sin+1
.

( A = 3/4 )
Bài 7 : Biến đổi biểu thức lượng giác về dạng
a) Biến đổi về dạng tổng
A = sina.sin2a.sin3a
=
2
1
[cos(a2a)cos(a+2a)]sin3a =
2
1
(cosa  cos3a)sin3a
=
2
1
(cosa.sin3a  cos3a.sin3a) =
2
1
[
2
1
(sin4asin(2a))
2
1
sin6a]
=
2
1
[
2
1

(sin2a+sin4a)
2
1
sin6a]=
4
1
(sin2a+sin4asin6a)
B = 4cosa.cos2a.sin
2
a5

= 2(cosa+cos3a).sin
2
a5
= 2cos3a.sin
2
a5
+ 2cosa.sin
2
a5

=
2
a3
sin+
2
a7
sin+
2
a

sin -
2
a11
sin

b) Biến đổi tổng thành tích
C = cos3a  sina
= cos3a  cos(
2
π
a) = 
)
4
π
+asin().
4
π
- a2sin(2

D = 12cosa + cos2a
= 2cosa + 2cos
2
a = 2(1cosa)cosa = 2.2.sin
2
2
a
.cosa = 4 sin
2
2
a

.cosa
E = 1 + cosa+cos2a + cos3a
= 2cos
2
a + (cos3a+cosa) = 2cos
2
a + 2cos2a.cosa

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 14

= 2(cos2a+cos3a).cosa =
acos
2
a
cos
2
a5
cos4


Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 15

BÀI TẬP
* Dùng bảng giá trò các giá trò lượng giác đặc biệt, và hệ thức cơ bản :
   
 
 
   
 
xx

x
xx
D
x
xx
x
xx
C
xxxBxxxxA
xx
x
xx
l
yx
yx
yxk
aaaaaj
xx
x
x
x
i
x
x
x
x
hx
x
x
g

xx
x
x
xx
f
x
x
x
x
e
xxxxdxxxxc
xxxxbxxxxa
fe
dc
ba
baa
abba
e
baba
ba
dc
ba
cos.cot
sin
tan.cos
cot
cos.sin
cot
coscot
cot1cotsin1cottancottan

cot.sin1
tan
tansin
)
cotcot
tantan
tan.tan)
)tan1)(cos1(tancossin1)
sin
2
sin
cos1
cos1
sin
)
cos
1
tan
sin1
cos
)tan21
sin1
sin1
)
1cossin
cos2
cos1
1cossin
)
cos1

sin
sin
cos1
)
sin.tansintan)cot.coscoscot)
cos.sin31cossin)cos.sin21cossin)
)
2
0(
3
1
tan))
2
3
(
17
8
sin)
)
2
(
5
4
cos))
2
0(
3
2
cot)
)

2
3
(
13
5
cos))900(
5
4
sin)
4
cos2
6
sin2
2
cos5
0sin2
4
cot
3
cos2
)
45tan0cos230sin2
45tan90sin
)
3
cos8
3
cot2
6
sin3)

6
tan3
3
sin2cos)
2
cot7tan2
2
cos30sin5)
22
22
222
22
2
2
2
22222222
22662244
00
2
3
2
33
2
0002
2
0
2
0
2
2

2
222






































































: thức biểugọnRút : 4 Bài
: thức đẳng minh Chứng : 3 Bài
: biết của khácgiác lượng trò giá các Tính : 2 Bài
: sau thức biểucác trò giá Tíng : 1 Bài






















* Dùng công thức cung liên kết :
 
000000000
00
0
000
0
00
00
89tan.88tan 3tan.2tan.1tan180cos160cos 40cos20cos
18cot.72cot
316cos
406cos226tan44cot
36tan.
126cos144sin
216cos)234sin(







DC
BA

: sau thức biểucác gọnRút : 5 Bài

* Dùng công thức cộng :

2
a
4
3
và
13
12-
sina biết )
3
cos( Tính : 7 Bài
: sau (góc) cung của giác lượng trò giá các Tính : 6 Bài




12
103
)285)
12
7
)15)
00
dcba


Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 16

14cos2cot.4sin)2tan
2cos
3cos.5sin5cos.3sin
)
sin.cos
cot.tan1
)sin()sin(
)tan.tan1
cos.cos
)cos()cos(
)
sin2
4
sin
4
sin)sincos)cos()cos()
22
22
22
22
22























xsxfx
x
xxxx
e
ba
ba
baba
dba
ba
baba
c
aaababbabaa

: thức đẳng minh Chứng : 8 Bài

* Dùng công thức nhân :

4
3
4cos
4
1
cossin)
cot
2sin
2cos1
)sin
2
3sin.5cos3cos.5sin
)
tan1
tan1
2sin1
2cos
)
4
4sin
cos.sinsin.cos)
)
2
0(
3
1
cos))
2
(
5

4
sin)
44
33











xxxd
x
x
x
dx
cox
xxxx
c
x
x
x
x
b
x
xxxxa

aabaaa
: thức đẳng minh Chứng : 10 Bài
: biết sin2a Tính: 9 Bài




* Dùng công thức biến đổi :
.cosC4cosA.cosB 1cos2Ccos2Bcos2A c)
.sinC4sinA.sinBsin2Csin2Bsin2A b)
tanCtanA.tanB.tanCtanB tanAa)
: minh chứng hãyABC Cho : 14 Bài
cos75A
: sau thức biểucác trò giá Tính : 13 Bài
: tổng thành Biến : 12 Bài
: tích thành Biến : 11 Bài
0











0000
000000000

000
00
000000
2222
81tan63tan27tan9tan
7
6
cos
7
4
cos
7
2
cos
70sin50sin10sin80sin40sin20sin80cos40cos20cos
15sin75sin
12
5
cos
12
11
sin15cos.
3sin.2sin.cos8;3sin.2sin.sin2;7cos.5cos.3cos;4cos.2cos.sin2)
2cos)
6
sin()
6
sin(;)30cos()30sin(;
5
2

sin
5
sin)
78cos222cos46cos;50sin20sin70sin)
3cos2coscos1;2coscos21;2cossin1)
sinsin;3coscos)cot1;
3
3
tan;2sin3sin)
HG
FED
CB
xxxxxxxxxxxxb
xxxaaa
d
xxxxxxxc
yxaabxxxxa


