Tải bản đầy đủ (.pdf) (14 trang)

Xác suất chương 6.PDF

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (178.6 KB, 14 trang )

Ch ’u ’ong 6
L
´
Y THUY
´
ˆ
ET T

U

ONG QUAN V
`
A H
`
AM H
`
ˆ
OI QUI
1. M
´
ˆ
OI QUAN H
ˆ
E
.
GI
˜

UA HAI D
¯
A


.
I L

U
.

ONG NG
˜
ˆ
AU NHI
ˆ
EN
Khi kh

ao s´at hai ¯da
.
i l

u

o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X, Y ta th
´
ˆay gi
˜

ua ch´ung c´o th


ˆe c´o mˆo
.
t s
´
ˆo
quan hˆe
.
sau:
i) X v`a Y ¯dˆo
.
c lˆa
.
p v
´

oi nhau, t
´

uc l`a viˆe
.
c nhˆa
.
n gi´a tri
.
c

ua ¯da
.
i l


u

o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen n`ay
khˆong

anh h

u


ong ¯d
´
ˆen viˆe
.
c nhˆa
.
n gi´a tri
.
c

ua ¯da
.
i l

u


o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen kia.
ii) X v`a Y c´o m
´
ˆoi phu
.
thuˆo
.
c h`am s
´
ˆo Y = ϕ(X).
iii) X v`a Y c´o s

u
.
phu
.
thuˆo
.
c t

u

ong quan v`a phu
.
thuˆo

.
c khˆong t

u

ong quan.
2. H
ˆ
E
.
S
´
ˆ
O T

U

ONG QUAN
2.1 Moment t

u

ong quan (Covarian)
✷ D
¯
i
.
nh ngh
˜
ia 1

* Moment t

u

ong quan (hiˆe
.
p ph

u

ong sai) c

ua hai ¯da
.
i l

u

o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X v`a Y, k´ı
hiˆe
.
u cov(X, Y ) hay µ
XY
, l`a s
´
ˆo ¯d


u

o
.
c x´ac ¯di
.
nh nh

u sau
cov(X, Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}
* N
´
ˆeu cov(X, Y ) = 0 th`ı ta n´oi hai ¯da
.
i l

u

o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X v`a Y khˆong t

u

ong quan.
 Ch´u ´y
cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y )

Thˆa
.
t vˆa
.
y, ta c´o
cov(XY ) = E{X.Y − X.E(Y ) − Y.E(X) + E(X).E(Y )
= E(XY ) − E(X).E(Y ) − E(X).E(Y ) + E(X).E(Y )
= E(XY ) − E(X).E(Y )
99
100 Ch ’u ’ong 6. L´y thuy
´
ˆet t

u

ong quan v`a h`am h
`
ˆoi qui
⊕ Nhˆa
.
n x´et 1
* N
´
ˆeu (X, Y ) r
`

oi ra
.
c th`ı
cov(X, Y ) =

n

i=1
m

j=1
x
i
y
j
P (x
i
, y
j
) − E(X)E(Y )
* N
´
ˆeu (X, Y ) liˆen tu
.
c th`ı
cov(X, Y ) =
+∞

−∞
+∞

−∞
xyf(x, y)dxdy − E(X)E(Y )
⊕ Nhˆa
.

n x´et
i) N
´
ˆeu X v`a Y l`a hai ¯da
.
i l

u

o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen ¯dˆo
.
c lˆa
.
p th`ı ch´ung khˆong t

u

ong quan.
ii) Cov(X,X)=Var(X).
2.2 Hˆe
.
s
´
ˆo t

u


ong quan
✷ D
¯
i
.
nh ngh
˜
ia 2 Hˆe
.
s
´
ˆo t

u

ong quan c

ua hai ¯da
.
i l

u

o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X v`a Y, k´ı hiˆe
.

u r
XY
,
l`a s
´
ˆo ¯d

u

o
.
c x´ac ¯di
.
nh nh

u sau
r
XY
=
cov(X, Y )
S
X
.S
Y
v
´

oi S
x
, S

Y
l`a ¯dˆo
.
lˆe
.
ch tiˆeu chu

ˆan c

ua X, Y .

´
Y ngh
˜
ia c

ua hˆe
.
s
´
ˆo t

u

ong quan
Hˆe
.
s
´
ˆo t


u

ong quan ¯do m
´

uc ¯dˆo
.
phu
.
thuˆo
.
c tuy
´
ˆen t´ınh gi
˜

ua X v`a Y . Khi |r
XY
| c`ang
g
`
ˆan 1 th`ı m
´
ˆoi quan hˆe
.
tuy
´
ˆen t´ınh c`ang ch
˘

a
.
t, khi |r
XY
| c`ang g
`
ˆan 0 th`ı quan hˆe
.
tuy
´
ˆen
t´ınh c`ang ”l

ong l

eo”.
2.3

U
´

oc l

u

o
.
ng hˆe
.
s

´
ˆo t

u

ong quan
Lˆa
.
p m
˜
ˆau ng
˜
ˆau nhiˆen W
XY
= [(X
1
, Y
1
), (X
2
, Y
2
) . . . (X
n
, Y
n
)].
D
¯


ˆe

u
´

oc l

u

o
.
ng hˆe
.
s
´
ˆo t

u

ong quan r
XY
=
E(XY ) − E(X).E(Y )
S
X
.S
Y
ta d`ung th
´
ˆong kˆe

R =
XY − X.Y
S
X
.S
Y
trong ¯d´o
X =
1
n
n

i=1
X
i
, Y =
1
n
n

i=1
Y
i
, XY =
1
n
n

i=1
X

i
Y
i
S
2
X
=
1
n
n

i=1
(X
i
− X)
2
, S
2
Y
=
1
n
n

i=1
(Y
i
− Y )
2
2. Hˆe s

´
ˆo t

u

ong quan 101
V
´

oi m
˜
ˆau cu
.
th

ˆe, ta t´ınh ¯d

u

o
.
c gi´a tri
.
c

ua R l`a
r
XY
=
xy − x.y

s
x
.s
y
trong ¯d´o
x =
1
n
n

i=1
x
i
, y =
1
n
n

i=1
y
i
, xy =
1
n
n

i=1
x
i
y

i
s
2
x
=
1
n
n

i=1
x
2
i
− (x)
2
, s
2
y
=
1
n
n

i=1
y
2
i
− (y)
2
Ta c´o

r
XY
=
n

xy − (

x)(

y)

n(

x
2
) − (

x)
2
.

n(

y
2
) − (

y)
2
2.4 T´ınh ch

´
ˆat c

ua hˆe
.
s
´
ˆo t

u

ong quan
Hˆe
.
s
´
ˆo t

u

ong quan r =
xy − x.y
s
x
.s
y
¯d

u


o
.
c d`ung ¯d

ˆe ¯d´anh gi´a m
´

uc ¯dˆo
.
ch
˘
a
.
t ch

e c

ua s

u
.
phu
.
thuˆo
.
c t

u

ong quan tuy

´
ˆen t´ınh gi
˜

ua hai ¯da
.
i l

u

o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X v`a Y , n´o c´o c´ac t´ınh
ch
´
ˆat sau ¯dˆay:
i) |r| ≤ 1.
ii) N
´
ˆeu |r| = 1 th`ı X v`a Y c´o quan hˆe
.
tuy
´
ˆen t´ınh.
iii) N
´
ˆer |r| c`ang l
´


on th`ı s

u
.
phu
.
thuˆo
.
c t

u

ong quan tuy
´
ˆen t´ınh gi
˜

ua X v`a Y c`ang ch
˘
a
.
t
ch

e.
iv) N
´
ˆeu |r| = 0 th`ı gi
˜


ua X v`a Y khˆong c´o phu
.
thuˆo
.
c tuy
´
ˆen t´ınh t

u

ong quan.
v) N
´
ˆeu r > 0 th`ı X v`a Y c´o t

u

ong quan thuˆa
.
n (X t
˘
ang th`ı Y t
˘
ang). N
´
ˆeu r < 0 th`ı
X v`a Y c´o t

u


ong quan nghi
.
ch (X gi

am th`ı Y gi

am).
• V´ı du
.
1 T
`

u s
´
ˆo liˆe
.
u ¯d

u

o
.
c cho b


oi b

ang sau, h˜ay x´ac ¯di
.

nh hˆe
.
s
´
ˆo t

u

ong quan c

ua Y v`a
X
X 1 3 4 6 8 9 11 14
Y 1 2 4 4 5 7 8 9
Gi

ai
Ta lˆa
.
p b

ang sau
102 Ch ’u ’ong 6. L´y thuy
´
ˆet t

u

ong quan v`a h`am h
`

ˆoi qui
x
i
y
i
x
2
i
x
i
y
i
y
2
i
1 1 1 1 1
3 2 9 6 4
4 4 16 16 16
6 4 36 24 16
8 5 64 40 25
9 7 81 63 49
11 8 121 88 64
14 9 196 126 81

x = 56

y = 40

x
2

= 524

xy = 364

y
2
= 256
Hˆe
.
s
´
ˆo t

u

ong quan c

ua X v`a Y l`a
r
XY
=
n

xy − (

x)(

y)

n(


x
2
) − (

x)
2
.

n(

y
2
) − (

y)
2
=
8.364 − (56).(40)

8.524 − (56)
2
.

8.256 − (40)
2
=
672
687, 81
= 0, 977

2.5 T

y s
´
ˆo t

u

ong quan
D
¯

ˆe ¯d´anh gi´a m
´

uc ¯dˆo
.
ch
˘
a
.
t ch

e c

ua s

u
.
phu

.
thuˆo
.
c t

u

ong quan phi tuy
´
ˆen, ng

u
`

oi ta d`ung
t

y s
´
ˆo t

u

ong quan:
η
Y/X
=
s
y
s

y
trong ¯d´o
s
y
=

1
n

n
i
.(y
x
i
− y)
2
; s
y
=

1
n

m
j
.(y
j
− y)
2
T


y s
´
ˆo t

u

ong quan c´o c´ac t´ınh ch
´
ˆat sau:
i) 0 ≤ η
Y/X
≤ 1.
ii) η
Y/X
= 0 khi v`a ch

i khi Y v`a X khˆong c´o phu
.
thuˆo
.
c t

u

ong quan.
iii) η
Y/X
= 1 khi v`a ch


i khi Y v`a X phu
.
thuˆo
.
c h`am s
´
ˆo.
iv) η
Y/X
≥ |r|.
N
´
ˆeu η
Y/X
= |r| th`ı s

u
.
phu
.
thuˆo
.
c t

u

ong quan c

ua Y v`a X c´o da
.

ng tuy
´
ˆen t´ınh.
2.6 Hˆe
.
s
´
ˆo x´ac ¯di
.
nh m
˜
ˆau
Trong th
´
ˆong kˆe, ¯d

ˆe ¯d´anh gi´a ch
´
ˆat l

u

o
.
ng c

ua mˆo h`ınh tuy
´
ˆen t´ınh ng


u
`

ot ta c`on x´et
hˆe
.
s
´
ˆo x´ac ¯di
.
nh m
˜
ˆau β = r
2
v
´

oi r l`a hˆe
.
s
´
ˆo t

u

ong quan. Ta c´o 0 ≤ β ≤ 1.
3. H
`
ˆoi qui 103
3. H

`
ˆ
OI QUI
3.1 K`y vo
.
ng c´o ¯di
`
ˆeu kiˆe
.
n
i) D
¯
a
.
i l

u

o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen r
`

oi ra
.
c
* K`y vo
.

ng c´o ¯di
`
ˆeu kiˆe
.
n c

ua ¯da
.
i l

u

o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen r
`

oi ra
.
c Y v
´

oi ¯di
`
ˆeu kiˆe
.
n X = x l`a
E(Y/x) =

m

j=1
y
j
P (X = x, Y = y
j
)
* T

u

ong t

u
.
, k`y vo
.
ng c´o ¯di
`
ˆeu kiˆe
.
n c

ua ¯da
.
i l

u


o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen r
`

oi ra
.
c X v
´

oi ¯di
`
ˆeu kiˆe
.
n
Y = y l`a
E(X/y) =
n

i=1
x
i
P (X = x
i
, Y = y)
ii) D
¯
a

.
i l

u

o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen liˆen tu
.
c
E(Y/x) =
+∞

−∞
yf(y/x)dy
E(X/y) =
+∞

−∞
xf(x/y)dx
trong ¯d´o
f(y/x) = f(x, y) v
´

oi x khˆong ¯d

ˆoi
f(x/y) = f(x, y) v

´

oi y khˆong ¯d

ˆoi
3.2 H`am h
`
ˆoi qui
* H`am h
`
ˆoi qui c

ua Y ¯d
´
ˆoi v
´

oi X l`a f(x) = E(Y/x).
* H`am h
`
ˆoi qui c

ua X ¯d
´
ˆoi v
´

oi Y l`a f(y) = E(X/y).
Trong th


u
.
c t
´
ˆe ta th

u
`

ong g
˘
a
.
p hai ¯da
.
i l

u

o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X, Y c´o m
´
ˆoi liˆen hˆe
.
v
´


oi nhau,
trong ¯d´o viˆe
.
c kh

ao s´at X th`ı d
˜
ˆe c`on kh

ao s´at Y th`ı kh´o h

on thˆa
.
m ch´ı khˆong th

ˆe kh

ao
s´at ¯d

u

o
.
c. Ng

u
`

oi ta mu

´
ˆon t`ım m
´
ˆoi liˆen hˆe
.
ϕ(X) n`ao ¯d´o gi
˜

ua X v`a Y ¯d

ˆe bi
´
ˆet X ta c´o th

ˆe
d

u
.
¯do´an ¯d

u

o
.
c Y .
Gi

a s



u bi
´
ˆet X, n
´
ˆeu d

u
.
¯do´an Y b
`
˘
ang ϕ(X) th`ı sai s
´
ˆo pha
.
m ph

ai l`a E[Y − ϕ(X)]
2
.
V
´
ˆan ¯d
`
ˆe ¯d

u

o

.
c ¯d
˘
a
.
t ra l`a t`ım ϕ(X) nh

u th
´
ˆe n`ao ¯d

ˆe E[Y − ϕ(X)]
2
l`a nh

o nh
´
ˆat.
Ta s˜e ch
´

ung minh khi cho
.
n ϕ(X) = E(Y /X) (v
´

oi ϕ(x) = E(Y /x)) th`ı E[Y − ϕ(X)]
2
s˜e nh


o nh
´
ˆat.
Thˆa
.
t vˆa
.
y, ta c´o
E[Y − ϕ(X)]
2
= E{([Y − E(Y/X)] + [E(Y/X) − ϕ(X)])
2
}
= E{[Y − E(Y/X)]
2
} + E{[E(Y/X) − ϕ(X)]
2
}
+2E{[Y − E(Y/X)][E(Y/X) − ϕ(X)]}

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×