sáng kiến kinh nghiệm phương pháp giải phương trình bậc cao

Phần I : Đặt vấn đề
I - Lí do chọn đề tài:
Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho các môn khoa học khác, có
ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống. Toán học giữ vai trò quan
trọng trong mọi bậc học, làm thế nào để học đợc toán, học giỏi toán đó là vấn đề
đặt ra mà không phải lúc nào cũng giải quyết đợc một cách đễ dàng. Với cơng vị là
một giáo viên toán, tôi nhận thấy cần phải đầu t suy nghĩ hơn nữa để tìm ra phơng
pháp tốt nhất phù hợp với từng đơn vị kiến thức, giúp các em tiếp thu kiến thức một
cách chủ động, nhẹ nhàng có hiệu quả.
Trong chơng trình đại số THCS, việc giải phơng trình chỉ dừng lại ở phơng
trình bậc nhất và phơng trình bậc hai là chủ yếu. Khi gặp phơng trình bậc cao học
sinh gặp rất nhiều khó khăn, thậm trí không có phơng án giải. Điều đó cũng dễ
hiểu bởi do nhiều lí do mà sách giáo khoa không đa ra các phơng pháp giải phơng
trình bậc. Chính vì vậy việc nhận dạng, phân loại và có phơng pháp giảI cho từng
dạng phơng trình bậc cao, giúp cho học sinh định hớng và giải đơc các phơng trình
bậc cao là hết sc cần thiết. Đó chính là lí do tôi chọn đề tài này.
II nhiệm vụ nghiên cứu :
- Phân loại các dạng phơng trình bậc cao.
- Tìm phơng pháp giải các dạng phơng trình bậc cao.
- Các ví dụ minh họa.
- Các bài luyện tập.
II - Đối tợng nghiên cứu :
Học sinh lớp 9 trờng THCS Nghĩa Phúc, huyện Nghĩa Hng, tỉnh Nam Định.
III - Phạm vi nghiên cứu:
Phơng trình bậc cao một ẩn với hệ số nguyên.
Phần II : Nội dung
I - Những cơ sở lí luận và thực tiễn:
2
Khi dạy giải phơng trình bậc cao, phần bài tập trong SGK và SBTĐS lớp 9
là tơng đối đơn giản đối với đối tợng học sinh. Nhng thực tế khi khai thác các dạng
bài tập khác ta mới thấy sự phong phú đa dạng. Để giải đợc các thể loại này đòi

hỏi giáo viên phải cung cấp cho học sinh các phơng pháp giải cho từng thể loại bài
tập. Qua quá trình dạy phơng trình bậc cao, tôi mạnh dạn đa ra một số phơng
pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho các dạng bài tập cơ bản thờng gặp.
Theo tôi khi dạy giáo viên cần cung cấp thêm cho học sinh và yêu cầu học
sinh nắm đợc những nội dung kiến thức cơ bản sau:
- Các khái niệm : Phơng trình, phơng trình bậc nhất, phơng trình
bậc hai, phơng trình bậc bậc cao. Nghiệm của phơng trình.
- Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số.
- Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng, các phép biến đổi tơng đ-
ơng phơng trình.
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
- Hệ quả định lý Bơdu.
- Sơ đồ Hooc ne.
- Cách nhẩm nghiệm một phơng trình.
II - Những phơng pháp, biện pháp, giải cụ thể:
A - Nội dung lý thuyết cơ sở:
1. Phơng trình, nghiệm của phơng tình :
Cho A( x
1
,x
2
,,x
n
) và B( x
1
,x
2
,,x
n

)là hai biểu thức chứa các biến x
1
,x
2
,,x
n
với các hệ số thuộc R. Khi phải tìm phần tử (a
1
,a
2
,.,a
n
)

R sao cho các giá trị
tơng ứng của hai biểu thức bằng nhau, tức là :
A(a
1
,a
2
,.,a
n
) = B(a
1
,a
2
,.,a
n
) thì ta viết :
3

A(x
1
,x
2
,,x
n
) = B( x
1
,x
2
,,x
n
) và gọi đẳng thức đó là một phơng trình.
Các biến x
1
,x
2
,,x
n
gọi la các ẩn của phơng trình.
Tập xác định của phơng trình: là những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức
trong phơng trình đều có nghĩa.
Mỗi phần tử (a
1
,a
2
,.,a
n
)

R thỏa mãn đẳng thức :
A(a
1
,a
2
,.,a
n
) = B(a
1
,a
2
,.,a
n
) đợc gọi là một nghiệm của phơng trình.
Việc tìm nghiệm thuộc R đợc gọi là giải phơng trình.
- Phơng rình bậc nhất : Là phơng trình có dạng : ax + b = 0 ( a

0)
Trong đó xlà ẩn ; a, b là các hệ số
Cách giải : + Nếu a

0 Pt có nghiệm duy nhất : x =
a
b
+ Nếu a = 0 Pt có dạng : 0x = -b
. b

0 => 0x = b . Pt vô nghiệm.
. b = 0 => 0x = 0 . Pt có vô số nghiệm x

R.
- Phơng trình bậc hai : Là phơng trình có dạng : ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0)
Trong đó xlà ẩn ; a, b,c là các hệ số
Cách giải : Theo lợc đồ sau.
.
0
Xác định các hệ số a,b,c
ax
2
+ bx + c = 0 ( a0)
Tính a + b + c
Phơng trình có 2 nghiệm
x
1
= 1 ; x
2
=
Tính a - b + c
Phơng trình có 2 nghiệm
x
1
= -1 ; x
2
=
Tính
Phơng trình

vô nghiệm
Phơng trình có
nghiệm kép
x
1
= x
2
=
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x
1
= ; x
2
=
= 0
= 0
0
< 0 > 0
= 0
2
Ví dụ. Giải phơng trình sau:
a, x
2
+ 3x - 1 = 0
Có : a = 1; b = 3 ; c = -1

= 3
2
- 4.1.(-1) = 9 + 4 = 13 > 0 . Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x

1
=
2
133 +
; x
2
=
2
133
b, 4x
2
- 4x + 1 = 0
Có : a = 4; b = -4; c = 1

= (-2)
2
- 4.1 = 4 - 4 = 0. Phơng trình có nghiệm kép : x
1
= x
2
=
2
1
4
)2(
=

c, 3x
2
+ 5x + 4 = 0

Có : a = 3; b = 5; c = 4

= 5
2
- 4.3.4 = 25 - 48 = -23 < 0 . Phơng trình vô nghiệm.
d, 7x
2
+ 23x - 30 = 0
Có a + b + c = 7 + 23 - 30 = 0. Phơng trình có 2 nghiệm : x
1
= 1 ; x
2
=
7
30
e, x
2
- 60x - 61 = 0
Có: a - b + c = 1 - (-60) - 61 = 0. Phơng trình có hai nghiệm : x
1
= -1 ; x
2
= 61
- Phơng trình bậc cao : là pt dạng a
n
x
n
+ a
n - 1
x

n - 1
+ +a
1
x + a
0
= 0
(a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ +a
1
x + a
0
là đa thức bậc n ( n

3) )
Trong đó xlà ẩn ; a
n
,a
n - 1
, .,a
1
,a
0
là các hệ số

Cách giải phơng trình bậc cao chính là nội dung chính của đề tài này và đợc
nghiên cứu ở phần sau.
2. Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng: Hai phơng trình gọi là tơng đơng nếu
chúng có cùng tập hợp nghiệm.
3. Các định lý về biến đổi tơng đơng các phơng trình :
a, Định lý 1: Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn vào hai vế của phơng trình
thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ : x
4
- 24x = 32


x
4
- 24x + 4x
2
+ 4 = 32 + 4x
2
+ 4 ( Cộng 4x
2
+ 4 vào 2 vế )
3
Hệ quả 1 : Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phơng
trình đồng thời đổi dấu hạng tử ấy thì đợc phơng trình mới tơng đơng với phơng trình
đã cho.
Ví dụ : 2x - 7 = 4x + 9


2x - 4x = 9 + 7 ( Chuyển vế đổi dấu hai hạng tử 4x và -7 )
Hệ quả 2 : Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình

thì đợc phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ : - 4x + x
2
-5 = 2x + x
2


- 4x -5 = 2x ( Xóa hạng tử x
2
ở hai vế )
b, Định lý 2: Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phơng trình thì đợc
phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ :
2
1
x
2
- 3x =
4
3

2x
2
- 12x = 3 ( Nhân hai vế với 4 )
4. Hệ quả định lí Bơdu:
x = là nghiệm của đa thức f(x) f(x) chia hết cho nhị thức x -
Định lí này giúp chúng ta đa Pt bậc cao về phơng trình tích ( quy về giải các
phơng trình có bậc thấp hơn) :
Phơng trình : a
n

x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ +a
1
x + a
0
= 0 (*) nếu có nghiệm x =
Thì (*) <=> (x - )(a
n
x
n - 1
+ b
n
x
n-2
+ + b
1
x + b
0
) = 0
5. Sơ đồ Hoocne:
Giả sử g(x) = b
n - 1
x
n -1
+ b

n - 2
x
n - 2
+ +b
1
x + b
0
và r là thơng và d của
phép chia đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ + a
1
x + a
0
cho nhị thức
x - .
Khi đó r và các hệ số của g(x) đợc tính theo sơ đồ sau:
a
n
a
n-1
a
n-2
a

1
a
0

b
n-1
(=a
n
)
b
n-2
(= b
n-1
+a
n-1
)
b
n-3
(= b
n-2
+a
n-2
)
b
0
(= b
1
+a
1
)

r
(= b
0
+a
0
)
4
6. Nghiệm (nếu có) của một phơng trình:
Phơng trình a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ + a
1
x + a
0
= 0
-Nghiệm nguyên của Pt phải là ớc của a
0
-Nghiệm hữu tỷ của Pt có dạng
q
p
( trong đó p là ớc của a
0
; q là ớc dơng của
a

n
).
Chú ý : Gọi m là tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn
và n là tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ
+ Nếu m + n = 0 Pt có nghiệm x = 1
+ Nếu m - n = 0 Pt có nghiệm x = -1
B - Vận dụng lý thuyết vào giảng dạy thực tiễn:
- Cung cấp cho học sinh những nội dung lí thuyết trên.
- Các phơng pháp giải phơng trình bậc cao:
I. Nhẩm nghiệm của Pt, đa Pt về Pt tích :
a) Ví dụ 1. Giải phơng trình : x
3
+ 5x
2
+ 3x - 9 = 0 (*)
Giải:
Pt có tổng các hệ số bằng 0 ( 1+5+3-9 =0 ) nên có một nghiệm nguyên x = 1. Sử
dụng sơ đồ Hoocne có :
1 5 3 -9
1 1 6 9 0
(*) <=> (x - 1)(x
2
+ 6x + 9) = 0. Tìm đợc x
1
= 1; x
2,3
= -3
b, Ví dụ 2. Giải phơng trình : 3x
3
- 14x

2
+ 4x + 3 = 0 (*)
Giải:
Ta thấy Pt có nghiệm hữu tỉ x =
3
1
, nên khi phân tích VT của Pt thành nhân tử, sẽ
có nhân tử 3x + 1. Khi đó ngoài việc sử dụng sơ đồ Hoocne ta có thể dùng các ph-
ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử làm xuất hiện nhân tử 3x + 1:
(*)

3x
3
+ x
2
- 15x
2
- 5x+ 9x + 3 = 0

x
2
(3x + 1) - 5x(3x + 1) + 3(3x + 1) = 0

(3x + 1)( x
2
- 5x+ 3) = 0 . Nghiệm Pt : x
1
=
3
1

; x
2,3
=
2
135
.
* Bài luyện tập
5
BT1 : Giải các phơng trình :
a, 2x
3
- 5x
2
- 3x = 0
b, x
3
- 7x + 6 = 0
c, x
3
- 5x
2
+ x + 5 = 0
d, x
3
- 13x
2
- 42x - 36 = 0
e, x
4
+ 2x

3
+ 5x
2
+ 4x - 12 = 0
f, 3x
3
- 7x
2
+ 17x - 5 = 0
II. Các dạng đặc biệt :
1. Phơng trình tam thức :
Phơng trình tam thức là phơng trình có dạng : ax
2n
+ bx
n
+ c = 0 ( a

0)
Trong đó a,b,c là các số thực, n nguyên dơng và n

2
- Nếu a,b,c đồng thời khác 0 và n = 2 thì ta có phơng trình trùng phơng :
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 .
Ví dụ. Giải phơng trình : x
4
- 4x

2
+ 3 = 0
Đặt x
2
= t . Điều kiện t

0
Phơng trình đã cho có dạng : t
2
- 4t + 3 = 0
Có : a + b + c = 1 - 4 +3 = 0. Pt có hai nghiệm t
1
= 1; t
2
= 3
+ Với t
1
= 1 = > x
2
= 1


+ Với t
2
= 3 = > x
2
= 3


Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm x

1
= -
3
; x
2
= -1; x
3
= 1; x
4
=
3
- Khi n > 2 . Đặt x
n
= t , để tìm nghiệm của phơng trình ta giải hệ :
x
n
= t
at
2
+ bt + c = 0
Ví dụ 1. Giải phơng trình : x
6
- 9 x
3
+ 8 = 0
Giải:
Đặt x
3
= t , ta có : t
2

- 9 t + 8 = 0 => t
1
= 1 => x
1
= 1
t
2
= 8 => x
2
= 2
Ví dụ 2. Giải phơng trình : x
8
+ 6x
4
- 7 = 0
Giải:
Đặt x
4
= t ( t

0) Pt đã cho có dạng : t
2
+ 6t - 7 = 0 => t
1
= 1 => x =

1
t
2
= -7 ( loại).

x = 1
x = -1
x =
3
x = -
3
6
* Bài luyện tập
BT2 . Giải các phơng trình :
a, x
4
+ 4x
2
- 5 = 0
b, x
6
- 7x
3
- 8 = 0
c, x
8
+ x
4
- 2 = 0
d, x
10
- 10x
5
+ 31 = 0
2. Phơng trình đối xứng.

Một phơng trình dạng : a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ + a
1
x + a
0
= 0
trong đó vế trái là đa thức bậc n đợc gọi là phơng trình đối xứng nếu các hệ số của
các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau, nghĩa là :
a
n
= a
0
, a
n - 1
= a
1
,.
Tùy theo n là số chẵn hay lẻ mà ta có phơng trình đối xứng bậc chẵn hay bậc lẻ.
Ví dụ 1. Giải phơng trình : x
4
+ 6x
3
+ 11x

2
+ 6x + 1 = 0
Giải:
Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x
2


0 ta có :
x
2
+ 6x+ 11 +
x
6
+
2
1
x
= 0


(x
2
+
2
1
x
) + 6( x+
x
1
) + 11 = 0

Đặt x+
x
1
= t x
2
+
2
1
x
+ 2 = t
2
x
2
+
2
1
x
= t
2
- 2
Pt có dạng : t
2
- 2 + 6t + 11) = 0 => (t + 3)
2
= 0 => t = -3
x+
x
1
+ 3 = 0 => x
2

+ 3x+1 = 0 . Nghiệm Pt : x
1,2
=
2
53
Ví dụ 2. Giải phơng trình : 3x
6
- 4x
5
+ 2x
4
- 8x
3
+ 2x
2
- 4x + 3 = 0 (*)
Giải:
Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x
2


0 ta có :
3x
3
- 4x
2
+ 2x - 8 +
x
2
-

2
4
x
+
3
3
x
= 0


3(x
3
+
3
1
x
) - 4( x
2
+
2
1
x
) + 2(x+
x
1
) - 8 = 0
Đặt x+
x
1
= t x

2
+
2
1
x
= t
2
- 2
x
3
+
3
1
x
= t
3
- 3t
Pt đã cho có dạng : 3 ( t
3
- 3t) - 4( t
2
- 2) + 2t - 8 = 0

3t
3
- 4t
2
- 7t = 0
7

t ( 3t
2
- 4t -7) = 0

t ( t + 1) ( 3t - 7) = 0
=> (*)

( x
2
+ 1) ( x
2
+ x +1) ( 3x
2
- 7x + 3) = 0.
x
2
+ 1 = 0. Pt vô nghiệm

3x
2
- 7x + 3 = 0. Pt có 2 ngiệm: x
1,2
=
6
137
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x
1,2
=
6
137

Ví dụ 3. Giải phơng trình : 2x
5
+ 3x
4
- 5x
3
- 5x
2
+ 3x + 2 = 0 (*)
Đây là phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5), ta không thể giải ngay tơng tự nh VD1
và VD2. Ta nhận thấy Pt đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một nghiệm là x = -1
Khi đó (*)

(x + 1)( 2x
4
+ x
3
- 6x
2
+ x + 2) = 0 .
x + 1 = 0
2x
4
+ x
3
- 6x
2
+ x + 2 = 0 ( Pt đối xứng bậc chẵn đ biết cách giảiã )
Chú ý: Nếu m là nghiệm của phơng rình đối xứng thì
m

1
cũng là nghiệm của ph-
ơng trình đó.
* Cách chia cả hai vế của Pt cho x
2


0 cũng đợc sử dụng đối với các Pt có
dạng :
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 trong đó
2






=
b
d
a
e
gọi là phơng trình hồi quy .Để giải Pt dạng này ta đặt ẩn phụ : t = x +
bx

d
Ví dụ. Giải phơng trình : x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
- 6x + 1 = 0 (*)
Giải:
Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x
2


0 ta có :
(x
2
+
2
1
x
) + 6 ( x -
x
1
) + 7 = 0
. Đặt x -
x
1
= t x
2
+

2
1
x
= t
2
+ 2
Pt đã cho có dạng : t
2
+ 2 + 6t + 7 = 0

( t
2
+ 3 )
2
= 0
(*)

( x
2
+ 3x - 1)
2
= 0. Nghiệm của Pt (*): x
1,2
=
2
73

x
2
+ x +1 = 0. Pt vô nghiệm

8
* Bài luyện tập
BT3 . Giải các phơng trình :
a, x
4
- 7x
3
+ 14 x
2
- 7x + 1 = 0
b, x
6
+ 3x
5
- 30x
4
- 29 x
3
- 30 x
2
+ 3x + 1 = 0
c, x
5
- 5x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
- 5x + 1 = 0

d, x
4
- 3x
3
- 6x
2
+ 3x + 1 = 0
e, x
4
+ 3x
3
- 14 x
2
- 6x + 4 = 0
3. Phơng trình dạng : (ax + m) (bx + n) ( cx + k) ( dx + l) = r (*)
trong đó a.d = b.c và a.l + d.m = b.k + c.n
Cách giải : (*)

[(ax + m) ( dx + l)][ (bx + n) ( cx + k)] = r


[adx
2
+ (a.l + d.m)x + ml][ bcx
2
+ (b.k + c.n)x + nk] = r
Do a.d = b.c và a.l + d.m = b.k + c.n . Nên đặt adx
2
+ (a.l + d.m)x = t
Khi đó Pt có dạng At

2
+ Bt + C = 0. Giải Pt tìm t .
Sau đó giải Pt : adx
2
+ (a.l + d.m)x = t ta tìm đợc nghiệm của Pt đã cho.
Ví dụ 1. Giải phơng trình : ( 4x + 1) ( 12 x - 1) ( 3x + 2) ( x + 1) = 4 (*)
Giải
[ ( 4x + 1) ( 3x + 2)] [ ( 12x - 1) ( x + 1)] = 4
( 12x
2
+ 11x + 2)( 12x
2
+ 11x - 1) = 4
Đặt 12x
2
+ 11x = y ( y + 2) ( y - 1) - 4 = 0
y
2
+ y - 6 = 0
= > y = 2 ; y = - 3
(*)

(12x
2
+ 11x - 2) (12x
2
+ 11x + 3) = 0 .Giải tiếp ta có nghiệm :
x
1,2
=

24
21711
Ví dụ 2. Giải phơng trình : (x
2
+ 5x + 6)(x
2
+ 9x + 20) = 24 (*)
Giải
(*)

( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) = 24


[( x + 2) ( x + 5)][ ( x + 3) ( x + 4)] = 24


(x
2
+ 7x + 10)( x
2
+ 7x + 12) - 24 = 0
9
Đặt x
2
+ 7x + 11 ( =
( ) ( )
2
127107
22
+++++ xxxx

) = t
Pt có dạng : (t - 1)(t + 1) - 24 = 0

t
2
= 25

t =

5
(*)

( x
2
+ 7x + 6) ( x
2
+ 7x + 16) = 0
( x + 1) ( x + 6) ( x
2
+ 7x + 16) = 0 . Ta tìm đợc nghiệm : x
1,2
= -6 ; -1
* Bài luyện tập
BT4 . Giải các phơng trình :
a, x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8
b, (x - 4)(x - 5) (x - 6)(x - 7) = 1680
c, (4x + 3)
2
(x + 1) (2x + 1) = 810
d, (x

2
+ 4x + 3)(x
2
+ 12x + 35) + 15 = 0
4. Phơng trình dạng : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx
2
trong đó a.d = b.c
Cách giải
Nhóm [(x + a)( x + d)][ (x + b)(x + c)] = mx
2

rồi đặt ẩn phụ
x
ad
xt +=

Ví dụ. Giải phơng trình : (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x+ 12) = 4x
2
Giải
Ta nhóm nh sau : [(x + 2)(x+ 12)][(x + 3)(x + 8)] = 4x
2

(x
2
+ 14x + 24)( x
2
+ 11x + 24) = 4x
2
Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x
2

0 ta có :







++






++
x
x
x
x
24
11
24
14
= 4. Đặt
x
x
24

+
= y, ta có : (y + 14)(y + 11) - 4 = 4

y
2
+ 25y + 150 = 0
Giải Pt ta đợc y
1
= -10; y
2
= -15 =>
Pt có 4 nghiệm x
1
= -4 ; x
2
= -6 ; x
3,4
=
2
12915
* Bài luyện tập
BT5 . Giải các phơng trình :
a, 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x+ 12) = 3x
2
x
2
+10x +24 = 0
x
2
+15x +24 = 0

10
b, (x - 8) (x - 4) (x - 2) (x - 1) = 4x
2
5. Phơng trình dạng : (x + a)
4
+ (x + b)
4
= m
Cách giải
Đặt y =
2
ba
x
+
+
, khi đó x +
a
= y +
2
ba
; x+
b
= y -
2
ba
Ta thu đợc Pt trùng phơng đã biết cách giải.
Ví dụ. Giải phơng trình : (x + 5)
4
+ (x +3)
4

= 2
Giải
Đặt x + 4 = y => x + 5 = y + 1; x + 3 = y -1
Pt đã cho có dạng : (y + 1)
4
+ (y - 1)
4
= 2

y
4
+ 4y
3
+ 6y
2
+ 4y +1 + y
4
- 4y
3
+ 6y
2
- 4y +1 = 2
y
4
+ 6y
2
= 0

khi đó x + 4 = 0. Pt có nghiệm x = -4
5. Vài dạng phơng trình bậc cao khác :

Với phơng trình bậc 4 : ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx +e = 0
5.1 Đa VT về dạng hiệu hai bình ph ơng => Pt tích
Ví dụ 1. Giải phơng trình : x
4
+ 4x
3
+ 3x
2
+ 2x -1 = 0
Giải
x
4
+ 4x
3
+ 3x
2
+ 2x -1 = 0


x
4
+ 4x
3
+ 4x

2
- x
2
+ 2x -1 = 0


(x
2
+ 2x)
2
- (x - 1)
2
= 0


(x
2
+ x + 1)( x
2
+ 3x -1) = 0

Pt đã cho có 2 nghiệm x
1,2
=
2
133
Ví dụ 2. Giải phơng trình : x
4
- 24x = 32
Giải

Thêm 4x
2
+ 4 vào 2 vế ta đợc: (x
4
+ 4x
2
+ 4) - (4x
2
+ 24x + 36) = 0

(x
2
+ 2)
2
- (2x + 6)
2
= 0


(x
2
+ 2x + 8)( x
2
- 2x - 4) = 0

Pt đã cho có 2 nghiệm x
1,2
= 1
5

5.2 Giải phơng trình : x
4
+ 2x
3
- x
2
- 2x -15 = 0
Giải
y
2
= 0
y
2
= -6
x
2
+ x + 1 = 0
x
2
+ 3x - 1 = 0
x
2
+ 2x + 8= 0
x
2
- 2x - 4= 0
11
x
4
+ 2x

3
- x
2
- 2x -15 = 0


x
4
+ 2x
3
+ x
2
- 2x
2
- 2x -15 = 0


(x
2
+ x)
2
- 2( x
2
+ x) - 15 = 0
Đặt x
2
+ x = t Pt có dạng : t
2
-2t -15 = 0

t = 5 hoặc t = -3

(x
2
+ x - 5) (x
2
+ x + 3) = 0
Pt có nghiệm x
1,2
=
2
211
a) 5.3 Giải phơng trình : x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3 = 0 (*)
Giải
(Pt này không thuộc các dạng trên. Để giải Pt ta dùng phơng pháp hệ số bất
định để đa Pt về Pt tích)
Giả sử x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3 = ( x

2
+ ax + b) ( x
2
+ cx + d)


x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3 = x
4
+ (a+ c)x
3
+ ( ac + b + d) x
2
+ ( ad + bc) x + bd
Đồng nhất hệ số :
a + c = -6
ac + b + d = 12
ad + bc = -14
bd = 3
Xét bd = 3. Chọn b = 1 d = 3
a + c = -6

ac = 8

(* )

( x
2
- 4x + 1) ( x
2
- 2x + 3) = 0
Pt có nghiệm x
1,2
=
2
32
Hớng dẫn hoặc đáp số :
BT1:
a, x(x - 3) ( 2x + 1) = 0 => Nghiệm Pt: x
1
= 0; x
2
= 3; x
3
=
2
1
.
b , ( x - 1) ( x - 2) (x + 3 ) = 0 => Nghiệm Pt: x
1
= 1; x
2
= 2; x
3

= -3.
c , ( x + 1)( x
2
- 6x + 7) = 0 => Nghiệm Pt: x
1
= -1; x
2,3
=
23

c = -2
a = -4


c = -2
3a + c = -14
12
d, (x - 3)(x
2
- 10x + 12) = 0 => NghiÖm Pt: x
1
= 3; x
2,3
=
135 ±
e , (x -1)(x + 2)( x
2
+ x + 6) = 0 => NghiÖm Pt: x
1
= 1; x

2
= - 2 .
f, ( 3x -1) ( x
2
- 2x + 5) = 0 => NghiÖm Pt: x =
3
1
.
BT2:
a, x
1
= 1; x
2
= - 1.
b, §Æt x
3
= t => t
1
= - 1 => x
1
= -1
t
2
= 8 => x
2
= 2
c, §Æt x
4
= t ( t
≥

0) => t
1
= 1 => x
1
= 1; x
2
= - 1 .
t
2
= - 2 ( Lo¹i)
d, §Æt x
5
= t => t
2
- 10t + 31 = 0. V« nghiÖm
BT3:
a, ( x
2
- 3x + 1) ( x
2
- 4x + 1) = 0
b, (x
2
+ x + 1)( x
2
- 5x + 1) ( x
2
+ 7x + 1) = 0
c, ( x + 1)( x
4

- 6 x
3
+ 10x
2
- 6x + 10) = 0. NghiÖm x
1
= 1; x
2
= -1; x
2,3
=
32 ±
d + e, Pt håi quy: d, x
1,2
=
52 ±
; x
3,4
=
2
51±−
e, §Æt
x
x
2
−
= t. NghiÖm: x
1,2
=
31±

; x
3,4
=
2
335 ±−
BT4:
a, (x
2
+ 3x)( x
2
+ 3x + 2) = 8. §Æt x
2
+ 3x + 1= t
=> t =
3
±
. NghiÖm : x
1,2
=
2
173 ±−
b, [(x - 4) (x - 7)][ (x - 5) (x - 6)] = 1680. §Æt x
2
- 11x + 29 = t
NghiÖm : x
1
= 12 ; x
2
= -1.
c, (4x + 3)

2
(4x + 4) (4x + 2) = 810.8 ( Nh©n c¶ 2 vÕ víi 8)
⇔
(16x
2
+ 24x + 9) (16x
2
+ 24x + 8) - 6480 = 0
§Æt 16x
2
+ 24x + 8 = t. T×m nghiÖm
HoÆc ®Æt 4x + 3 = t = > t
4
- t
2
- 6480 = 0 => t =
9±
. NghiÖm x
1
=
2
3
; x
2
= -3.
d, ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) ( x + 7) + 15 = 0
⇔
[( x + 1)( x + 7)][ ( x + 3) ( x + 5)] + 15 = 0
§Æt x
2

+ 8x + 11 = t. NghiÖm: x
1
= -2 ; x
2
= -6; x
3,4
= -4
6±
.
BT5:
a, 4(x
2
+ 17x + 60) (x
2
+ 16x + 60) = 3x
2
§Æt
16
60
++
x
x
= t. NghiÖm: x
1
= -8 ; x
2
=
2
15−
; x

3,4
=
4
26535 ±−
13
b, (x
2
- 9x + 8) (x
2
- 6x + 8) = 4x
2
§Æt
=−+ 6
8
x
x
t. NghiÖm: x
1,2
=
7±
14

b) x
2
+ 4x -12
c) 2x
3
- 5x
2
- 3x

d) x
4
+ 4x
2
- 5
e) x
3
- 7x + 6
f) 3x
3
- 7x
2
+ 17x - 5
g) 4x
4
- 4x
3
+ 15x
2
+ 3x - 3
3)Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)(x
2
+ 5x)
2
- 2( x
2
+ 5x) - 24
b)( x
2

+ 3x + 1) (x
2
+ 3x + 2) - 6
c)( x
2
+ 4x + 8)
2
+ 3x ( x
2
+ 4x + 8) + 2x
2
d)x( x + 4) ( x+ 6) ( x+10) + 128
e)4x( x + y) ( x + y+ z ) ( x + z) + y
2
z
2
f) x
4
- 7x
3
+ 14 x
2
- 7x + 1
g)x
6
+ 3x
5
- 30x
4
- 29 x

3
- 30 x
2
+ 3x + 1
Phơng pháp: Dự đoán nhân tử dạng tổng quát , sau đó đồng nhất hệ số 2 vế tìm
các hệ số cha biết.
b) x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3
c) x
5
- 2x
4
- 10x
3
- 13x
2
- 16x + 4
d) 4x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 2x + 1
e) 3x

2
- 22xy - 4x + 8y + 7y
2
+ 1
Một số bài tập áp dụng:
6) Tìm nghiệm của đa thức:
a) x
2
- 7x+ 6
b) x
3
+ 5x
2
+ 8x + 4
c) (y + 1) ( 2 - y) + ( y - 2)
2
+ y
2
-4
d) ( x
2
+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x -12
e) x
4
+ 4x
3

+ 6x
2
+ 4x +1
7) Giải phơng trình:
a) 6x
2
- 11x + 3 = 0
b) x
3
- 7x - 6 = 0
c) x
3
- 9x
2
+ 6x + 16 = 0
d) x
3
- x
2
- x = 2
e) 2x
3
- x
2
+ 5x + 3 = 0
15
f) 27x
3
- 27x
2

+ 18x - 4 = 0
g) (x
2

+ 8x + 7) ( x
2
+ 8x + 15) + 15 = 0
h)
i) 4 ( x + 5) ( x + 6) ( x + 10) ( x + 12) - 3x
2
= 0
j) ( 12x + 7)
2
( 3x + 2) ( 2x + 1) = 3
8) Rút gọn
a)
273
253
2
2
+
+
xx
xx
b)
16x16x8x4x
16x
234
4
++

Chỉ dẫn hoặc đáp số :
1) a) (x + 6) ( x - 2)
b) x(x - 3) ( 2x + 1)
c)(x - 1) ( x + 3)
2
d) ( x - 1) ( x + 1) ( x
2
+ 5)
e) ( x - 1) ( x - 2) (x + 3)
f) ( 3x -1) ( x
2
- 2x + 5)
g) ( 2x +1) ( 2x
3
- 3x
2
+ 9x - 3) đa thức 2x
3
- 3x
2
+ 9x - 3 bất khả quy vì
ta tìm đợc số p = 3 thảo mãn tiêu chuẩn Aidenxtainơ
h) (3x+1) ( x
2
- 5x + 3)
2) a) Thêm bớt 4x
2
kết quả ( x
2

+ 2x + 2) ( x
2
- 2x + 2)
b) ( x
2
+ 4x + 8) ( 8x
2
- 4x + 8)
c) ( 8x
2
- 4x + 1) ( 8x
2
+ 4x + 1)
d) ( 9x
2
- 6x + 2) ( 9x
2
+ 6x + 2)
e )(2x
2
+ 2x + 1) (2x
2
- 2x + 1)
f) (8x
2
+ y
2
+ 4xy) (8x
2
+ y

2
- 4xy)
g)( x
2
+ 6x + 18) ( x
2
- 6x + 18)
h) (x
2
+ x + 1) (x
3
- x + 1)
i) ( x
2
+ x + 1) ( x
6
- x
4
+ x
3
- x + 1)
k)- (x
2
+ x +1) ( x
5
- x
4
+ x
3
- x + 1)

l) (x
2
+ x + 1) (x
2
- x + 1) ( x
6
- x
4
+ 1)
m) (x
2
+ x + 1) (x
2
- x + 1)
3) a) Đặt t = x
2
+ 5x cho kết quả t
2
- 2t - 24 = ( t + 4) ( t - 6)
= (x
2
+ 5x + 4) (x
2
+ 5x - 6)
= ( x + 1) ( x + 4) ( x - 1) ( x + 6)
b) ( x
2
+ 3x - 1) ( x
2
+ 3x + 4)

16
c) §Æt x
2
+ 4x + 8 = t cã : t
2
+ 3xt +2x
2
= t
2
+ 2xt + xt + 2x
2
= ( 2x + t) ( t + x)
=(x
2
+ 6x + 8) ( x
2
+ 5x + 8)
= ( x + 2) ( x + 4) ( x
2
+ 5x + 8)
d) (x +2) ( x + 8) ( x
2
+ 10x + 8)
f) 4 (x
2
+ xy + xz) ( x
2
+ xy + xz + yz) + y
2
z

2
®Æt x
2
+ xy + xz = m
⇒ 4m ( m + yz) + y
2
z
2
= ( 2m + yz)
2
= ( 2x
2
+ 2xy + 2xz + yz)
2
g) ( x
2
- 3x + 1) ( x
2
- 4x + 1)
g
h) (x
2
+ x + 1)( x
2
- 5x + 1) ( x
2
+ 7x + 1)
4) a) ( x - y) ( x - z) ( z - y) ( xz + yz + xy)
b) ( a + b) ( b + c) ( a - c)
c) ( b - c) ( c - a) ( a - b) ( a + b + c)

d ) ( x - 2z) ( y - 2z) ( x + y)
e) (2x - y) ( 2x + z) ( y + z) ( 2x + y - z)
f) 3( x
2
+ y
2
) (y
2
+ z
2
)( x + z) ( x - z)
g) ( a - b) ( b - c) ( c - a)
h) ( a - b ) ( b - c) ( c - a) ( a + b + c)
i) ( a - b)( b - c) ( a - c)
j) ( a
2
- b) ( b
2
- c) ( c
2
- a)
k) D¹ng : xy ( x + y) + xz ( x + z) + yz ( y + z) + 2xyz KÕt qu¶ (x + y) ( y
+ z) ( x + z)
l) 3( x + y) ( y + z) ( x + z)
a)
b) ( x+ 2) ( x
4


- 4x

3
- 2x
2
- 9x + 2) = ( x+ 2) ( x
2
+ x + 2) ( x
2
- 5x + 1)
d) D¹ng ( 3x + ay + b) ( x + cy + d) ⇒ kÕt qu¶ ( 3x + y + 5) ( x + 7y + 2)
6) a) x = 1; 6;
b) x = -1; -2
c) ( y + 1) ( 2 - y) + ( y - 2)
2
+ ( y - 2) ( y + 2) = ( y - 2) ( y -1)
⇒ y = 1 ; 2
d) ( x
2
+ x )
2
+ 4 (x
2
+ x) - 12 . §Æt x
2
+ x = t ⇒ t = 6 ; -2
Víi t = 6 ⇒ x
2
+ x - 6 = 0 ⇒ x = 2 ; -3
Víi t = -2 ®a thøc x
2
+ x + 2 kh«ng cã nghiÖm

e) ( x + 1)
4
⇒ x = -1
7) a ) x =
3
1
;
2
3
b) x = -1 : -2 ; 3
c) x = -1; 2 ; 8
d) x = 2
e) x = -
2
1
f) x =
3
1
g) §Æt x
2
+ 8x + 11 = t ⇒ t = 1 ; -1
Víi t = 1 ⇒ x
2
+ 8x + 10 = 0 kh«ng cã nghiªm h÷u tû víi t = -1 ⇒ x = - 2; -6
h)
i) ( x + 8) ( 2x + 5) ( 2x
2
+ 35x + 120) = 0 ⇒ x = -8 ; -
2
5

k) Nh©n 2 vÕ víi 24 ⇒ ( 12x+ 7)
2
( 12x + 8) ( 12x+ 6) = 72
17
Đặt 12 x + 7 = y x = -
3
1
; -
6
5
.
8) a)
)2)(13(
)2)(13(

+
xx
xx
=
2
2

+
x
x
b)
22
2
)2)(4(
)2)(2)(4(

+
++
xx
xxx
=
2
2

+
x
x
c)
22
2
)32)(5(
)32)(5(
++
++
xxx
xxx
=
32
1
2
++ xx
d) ( x + y) ( y + z) ( x + z)
e)
))()((
))()()((
yxzxzy

zyxyxzxzx

++
= x + y + z
9) a) x
2
+ 3x + 3
4
3
x = -
2
3
b)
)3)(1(
)3)(1)(2)(1(
2
2
++
++
xx
xxxx
= x
2
- 3x + 2 -
4
1
x =
2
3
C -Kết quả thu đợc:

- Giáo viên : Hiểu sâu sắc hơn về kiến thức, giáo viên tự tin hơn trong khi giảng
dạy và đạt hiệu quả.
- Học sinh :
+ Nắm đợc các kiến thức cơ bản về các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử, định hớng tốt khi làm bài tập , vận dụng tốt các bài tập liên quan.
+ Kết quả cụ thể : Học sinh làm đợc tất cả các bài tập phân tích đa thức
thành nhân tử và các bài tập có liên quan trong đợt thi học sinh giỏi huyện đợt I
năm học 2003 - 2004.
Phần III : Kết luận :
Qua nghiên cứu và thực tiễn giảng dạy tôi thấy việc dạy cho học sinh các
kiến thức cơ bản về đa thức, nhất là các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân
tử là hết sức cần thiết, bởi nó có tầm quan trọng đặc biệt trong toán học . Tuy nhiên
vấn đề đặt ra là cần đa cung cấp cho học sinh ở mức độ nào, học thế nào còn tuỳ
thuộc vào khả năng nhận thức của học sinh .
18
Đề tài này đợc viết từ nhận thức của bản thân đợc đúc kết trong quá trình
giảng dạy, không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong các thầy cô, bạn đồng nghiệp góp
ý để đề tài đợc hoàn hảo có tính thực tiễn hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Ngời viết đề tài
Nguyễn Văn Minh
19
Tr
Phòng giáo dục và đào tạo huyện nghĩa h ng
Trờng THCS Nghĩa Phúc
*****************&*********************
Đề Tài sáng kiến kinh nghiệm
Tên đề tài :
một số vấn đề
về phân tích đa thức thành nhân tử

Ngời thực hiện : Nguyễn Văn Minh
Đơn vị : Trờng THCS Nghĩa Phúc

20
Mục lục
Trang
Phần I : Đặt vấn đề 3
I - Lí do chọn đề tài 3
II - Đối tợng nghiên cứu 3
III - Phạm vi nhgiên cứu 3
Phần II : Nội dung 4
I - Những cơ sở lí luận và thực tiễn 4
II - Những phơng pháp giải pháp cụ thể 4
A - Nội dung lí thuyết cơ sở 4
B - Vận dụng lí thuyết vào thực tiễn giảng dạy 6
Phơng pháp thông thờng 6
Phơng pháp đặc biệt 7
Một số bài tập áp dụng 14
Chỉ dẫn hoặc đáp số 15
C - Kết quả thu đợc 18
Phần III - Kết luận 19
21
22