0052 về một lớp các md đại số tổng quát và lớp các md(5kc) phân lá luận văn tốt nghiệp

BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOTRƯỜNG
ĐẠIHỌCSƯ PHẠMTP.HỒCHÍMINH

NGUYỄNANHTUẤN

VỀ MỘT LỚP CÁC MD-ĐẠI SỐ
TỔNGQTVÀLỚPCÁCMD(5,kC)PHÂNLÁ

LUẬNÁNTIẾNSĨTỐNHỌC

THÀNHPHỐ HỒCHÍ MINH– 2017


Cơng trình này được hồn thành
tại:TrườngĐạihọcSưphạmTP.Hồ ChíMinh

Ngườihướngdẫn khoahọc:

1.PGS.TS.LêAnhVũ
2.TS.Nguyễn HàThanh

Phảnbiện1:
Phảnbiện2:
Phảnbiện3:

LuậnánsẽđượcbảovệtạiHộiđồngchấmluậnáncấptrườnghọptại:
…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

Cóthểtìm hiểuluận án tại:
- ThưviệnQuốc gia ViệtNam
- Thưviện Đại họcSưphạm TP. Hồ Chí Minh
- Thưviện KhoahọcTổng hợp TP. Hồ Chí Minh


i

MỤCLỤC

MỞĐẦU........................................................................1
Chương1–KIẾNTHỨCCHUẨNBỊ.......................5
1.1
1.2.
1.3.
1.4.

LớpMD.................................................................................5
Tơpơphânlá...........................................................................5
C*-đạisốliên kếtvớiphânlá....................................................7
PhươngphápK-hàmtử............................................................8

Chương2 –LỚPMD(n,1) VÀLỚPMD(n,n-1)...........................10
2.1.
2.2.
2.3.

Phânloạilớp MD(n,1)..........................................................10
Phânloạilớp MD(n,n-1).......................................................11
Mộtsố nhận xét....................................................................11

Chương3 –LỚPMD(5,kC)-PHÂNLÁ.......................................14
3.1
3.2
3.3

Hình họccủacácMD(5,kC)-phân lá......................................14
C*-đại sốliên kết vớicácMD(5,kC)-phân lá.........................17
Mộtsố nhận xét....................................................................18

KẾTLUẬN..................................................................21
DANHMỤCCƠNGTRÌNHCỦATÁCGIẢ...........22
TÀILIỆUTHAMKHẢO...........................................23



1
MỞĐẦU

1 Lýdochọnđềtài
Khoảng năm 1870, Sophur Marius Lie (1842–1899) trong khi
nghiêncứu về một số loại phép biến đổi hình học đã đặt nền móng cho
một lýthuyết đặc biệtvề sau gọi làLý thuyếtLie.
Ngày nay, Lý thuyết Lie, được hiểu là lý thuyết liên quan đến nhómLie
và đại số Lie, đã phát triển vượt bậcv ớ i p h ạ m v i ứ n g d ụ n g đ a
l ĩ n h vực [3, 4, 12, 13] nên nhận được sự quan tâm đặc biệt của cộng
đồng toánhọc. Tuy nhiên, bài toán cơ bản của Lý thuyết Lie làphân loại nhóm Lievàđạisố
Lielạilàbàitốnkhó và cho đến nayvẫn cịnlà bàitốn mở.
Kết quả cơ bản trong Lý thuyết Lie cho thấy khi hạn chế xét lớp
cácnhóm Lie liên thơng đơn liên, chúng ta có một song ánh giữa tập

cácnhóm Lie liên thơng đơn liên và tập các đại số Lie. Bởi vậy, mỗi
phépphân loại trên một lớp nào đó các nhóm Lie liên thơng đơn liên
(tươngứng, đại số Lie) đều có thể “phiên dịch”' thành một phép phân loại
trênlớp các đại số Lie (tương ứng, nhóm Lie liên thơng đơn liên). Trong
luậnánnày, tác giảtiếpcậnbàitoánphânloạitrênlớpcácđạisốLie.
Theo Định lý Levi–Malcev [16, 17] năm 1945 cùng với kết quả
củaCartan [6] năm 1894 và Gantmacher [10] năm 1939, bài toán phân
loạicác đại số Lie tổng quát được quy về phân loại các đại số Lie giải
được.Có ít nhất hai cách tiếp cận bài toán phân loại các đại số Lie giải
được:phân loạitheo số chiềuhoặc phân loạitheo cấu trúc. Nhìn chung,
cáchcách tiếp cận theo số chiều rất khó vượt qua số chiều 6. Tuy nhiên, có
thểtiếp cận vấn đề phân loại theo cấu trúc, tức là phân loại các đại số Lie
giảiđượcvớimộthaymộtvàitính chấtbổsungnào đó.
Luận án này tiếp cận việc phân loại các đại số Lie giải được theo
cấutrúclà số chiều của cácK-quỹ đạo [15] của các nhóm Lie liên thơng,
đơnliêntươngứngvớiđạisốLieđó.DựatrênquansátsốchiềucủacácKquỹđ ạ o c ủ a n h ó m L i e H e i s e n b e r g  2m1 H2m1 vàn h ó m Li e

-chiều

Kim cương thực 4-chiều, Diep [9] năm 1980 đã đề xuất việc khảo sát
lớpcác nhóm Lie giải được (và đại số Lie tương ứng) có tính chất tương
tựmà được gọi là các MD-nhóm và MD-đại số. Cụ thể hơn, mộtMDnnhómlàmột nhómLiethực giảiđượcn-chiều màcácK-quỹđạochỉcósốchiều


0hoặcsốchiềucựcđại.ĐạisốLiecủamộtMDn-nhómđượcgọilàmột
MDn-đạisố.
BàitốnphânloạilớpMDchỉmớigiảiquyếtđượclớpMD4bởiVu
[23] năm1990vàvẫnkhơngcóthêmkếtquảnàođángkểvề lớpMDn
với n4 chođ ế n 2 0 0 7 . Đ ể g i ả m bớ t t í n h p h ứ c t ạ p k h i p h â n l o ạ i l ớ p
MDn, chúng ta xét thêm một hạn chế về số chiều của ideal dẫn xuất

thứnhất của mỗi đại số Lie thuộc lớp MDnđó. Cụ thể hơn, chúng ta sẽ
lầnlượtxétcáclớp con MDn,kcủa lớp MDnbaogồmcácMDn-đạisốcó
ideald ẫ n x u ấ t t h ứ n h ấ t l à k -chiềuv à p h â n l o ạ i l ớ p M D nd ự a t r ê n v i ệ c
phânl o ạ i t ừ n g l ớ p c o n M D n,kv ớ i 1 kn1.T h e o ý t ư ởn g n à y ,
gầnđây,từ2008đến2011,lớpMD5đãđượcphânloạitriệtđể[24,26].
Nhưv ậ y , n h ữ n g k ế t q u ả v ề p h â n l o ạ i l ớ p M D n,kt r o n g t r ư ờ n g h
ợp
tổng quát hay trong các trường hợp riêng cũng là những đóng góp cho
bàitốnvềphânloạiđạisốLiethựcgiảiđượctheohướngtiếpcậnbằngcấutrúc[4,tr.87].
Một điểm đặc biệt đáng chú ý khác đó là họ cácK-quỹ đạo chiều cựcđại
của một MD-nhóm lập thành mộtphân lá. Về mặt lịch sử, Lý thuyếtphân
lá bắt đầu xuất hiện trong cơng trình của Reeb [19] năm 1952 vàngày nay
đã trở thành một công cụ kết nối lý thuyết phương trình vi phânthơng
thường và Tơpơ vi phân [18, Mở đầu]. Chính vì vậy, phân lá
trởthànhm ộ t đ ố i t ư ợ n g c ự c k ỳ t h ú v ị t r o n g H ì n h h ọ c h i ệ n đ ạ i . N ó i
c á c h khác,K-quỹ đạo là “chiếc cầu nối” giữa lớp MD và lớp phân lá. Bởi
vậy,bàitoán nghiên cứu lớpMDlà có ýnghĩa khoa học.
Trong tơpơ phân lá, bởi vì mỗi lá chính là một họ nghiệm của một
hệphương trình vi phân thích hợp nào đó nên tính chất hình học của các
lácũng chính là đặc trưng tơpơ của họ nghiệm. Những tính chất hình
họcđặc biệt nhất của các lá dẫn tới hai lớp phân lá quan trọng và có nhiều
ýnghĩa là phân lá trắc địa hồn tồn và phân lá Riemann cũng được
nhiềunhà toán học quantâmkhảo sát.
Một hướng khác trong nghiên cứu tôpô phân lá là kết hợp lý
thuyếtphânl á v à đ ạ i s ố t o á n t ử . N ă m 1 9 8 2 , C o n n e s [ 7 ] đ ã l i ê n k ế t m ộ t
cách
chínhtắcmỗiphâ nlá  V,Fvới mộtC*-đại sốkýhiệulàC * VF 
vàđềraý tưởng làkhảosátC * VF 
vìC * VF  cungcấpthông tin

vềkh ôn g gi anl ác ủa phâ n láđa ng xét.Một câuhỏi lậptức nả y sinhlà
làmthếnàođểmô tảcấutrúccủaC * VF  ?
Lý thuyết về các C*-đại số được khai sinh Gelfand & Neumark
[11]năm 1943. Và ngay lập tức nhận được rất nhiều sự quan tâm của
cộngđồng toán học. Năm 1975, Diep [8] đã sử dụng cácK-hàm tử đồng
điềuBDFcủaBrown &Douglas&Fillmore[5]để đặctrưngcấu trúc tồncục
C*đạis ố n h ó m c ủa n h ó m L i e A f f ¡ c á c p h é p b i ế n đ ổ i a f f i n e t r ê n
đườngthẳngthực.Năm1976,Rosenberg[20]đãsửdụng“Z’ep’smethod”đ ể đ ặ c t
r ư n g c ấ u trúc t o à n c ụ c C * - đ ạ i s ố n h ó m c ủa n h ó m Li e

Aff£c á c p h é p b i ế n đ ổ i a f f i n e t r ê n đ ư ờ n g t h ẳ n g p h ứ c v à m ộ t
vài
nhómgiảiđược khác.
Mộtcâuhỏirấttựnhiênlà:cóthểmơtảC*-đạisốConnesC *V,F
liênk ế t v ớ i p h â n l á  V,F bằngphươngphápK- hàmtửkhông?Đáng
chú ý, câu trả lời là khẳng định! Các cơng trình của Torpe [22] năm
1985,Vu[23]năm1990 và Hịa [1]năm2014 đãthểhiện điềuđó.
Những lập luận trên cho thấy việc kếth ợ p g i ữ a h ư ớ n g
n g h i ê n c ứ u phân loại đại số Lie giải được theo cấu trúc với hướng
nghiên cứu về cấutrúc C*-đại số Connes liên kết với các phân lá tạo bởi
cácK -quỹ đạochiều cực đại của các MD-nhóm bằng phương phápK-hàm
tử là một vấnđề có ý nghĩa khoa học. Vì vấn đề đặt ra là rất rộng và đòi
hỏi nhiều kỹthuật phức tạp nên luận án này chỉ tập trung vào hai vấn đề
cốt yếu nhưsau:
 NhữngkỹthuậtcủaVu[23]trênlớpMD(4,1)-đạisốvàlớpMD(4,3)-đại
số, Vu & Shum [24] trên lớp MD(5,1)-đại số và lớpMD(5,4)-đại
số được phát triển để nghiên cứu một lớp MD-đại sốtổng quát là
lớp các MD-đại số có ideal dẫn xuất 1-chiều hoặc đốichiều1.
 Nhữngkỹ thuật c ủa Vu [ 2 3 ] t rê nl ớp MD4-phânlá, Vu &Thanh

[25] trên lớp MD(5,3C)-phân lá và Hòa [1] trên lớp MD(5,4)phânláđược vậndụng, pháttriển đểnghiêncứulớpMD(5,kC)-phân lá.


Đó cũng chính là cơ sở, xuất phát điểm để tác giả lựa chọn đề
tàinghiên cứu của luận án này làVề một lớp các MD-đại số tổng quát và
lớpcácMD(5,kC)-phân lá.


Luậnánnàynàycóhaimụcđíchchính:
1. Thứ nhất,nghiên cứu bài tốn phân loại các đại số Lie thực,
giảiđược theo cấu trúc là số chiều của các K-quỹ đạo. Cụ thể hơn,
tácgiả nghiên cứu bài toán phân loại lớp các MD-đại số tổng quát
cóideal dẫn xuấtthứ nhấtlà1-chiều hoặc đốichiềulà1.
2. Thứ hai,nghiên cứu một lớp các phân lá cụ thể theo cả hai
hướngtrong tôpô phân lá. Chi tiết hơn, tác giả xét các MD(5,kC)phân
látạob ở i c á c K quỹđ ạ o c h i ề u c ự c c ủ a c á c M D ( 5 , kC)nhómv ớ i 1k 4 .C ụ t h ể h ơ n , t á c g i ả s ẽ k h ả o s á t t í n h c h ấ t h ì n
h h ọ c c ủ a các lá của các MD(5,kC)-phân lá trên phương diện toàn cục
đồngthời nghiên cứu cấu trúc C*-đại số liên kết với các
MD(5,kC)-phânlábằngphươngphápK-hàmtử.
Với mục đích nghiên cứu cụ thể như trên, luận án được bố cục
baogồm phần mở đầu, chương chuẩn bị, hai chương nội dung và phần
kếtluận. Cụthểhơn:
 Phầnmởđầu:giớithiệuvềxuấtxứđềtài,mụcđíchnghiêncứuv
àbố cục của luận án.
 Chương1 : t r ì n h b à y v ắ n t ắ t n h ữ n g k i ế n t h ứ c c h u ẩ n b ị đ ư ợ
c s ử dụngtrongnhữngchươngvề sau.
 Chương2–
3:trìnhbàychitiếtcáckếtquảnghiêncứuđượcvớiđầyđủ phép
chứngminh.
 Phầnkếtluận: đề xuấtnhữngvấnđềmởcót hể nghiêncứutiếpt

heo.
CáckếtquảđạtđượccủaluậnánđãđượcbáocáotạimộtsốHộinghịTốn
họctrongnước và quốc tếnhưsau:
 Hội nghị Đại số – Hình học – Tơpơ tháng 11/2011 tại Đại
họcTháiNgun,tháng12/2014tạiTuầnChâu,QuảngNinhv à tháng1
0/2016tạiCao ĐẳngSư phạmĐắc Lắc.
 Hội nghị Toán học phối hợp Việt – Pháp (VFJC) tháng
08/2012tại Đạihọc Sư phạm,Đạihọc Huế.
 Hội nghị Toán học và Ứng dụng (ICMA-MU) tháng 01/2013
tạiĐại họcMahidol, Bangkok,Thái Lan.
 Hộithảokhoahọctháng10/2012,tháng11/2014vàtháng10/2015tạiT
rườngĐạihọcSư phạmTP. HồChíMinh.


Chương1
KIẾNTHỨCCHUẨNBỊ
1.1 LớpM D
Địnhnghĩa1.7(Biểudiễnđối phụ hợp).Cho nhómLie G v à G l à
*l à
đạisốL i e c ủ a G .K ý h i ệ u G k h ô n g g i a n đ ố i n g ẫ u c ủ a G . T á c

 

 

độngK :G Aut G * ,g GaK (g)Aut G * x á c địnhbởi:

KgF,Y
ởđókýhiệu

F ,Ad  g 1Y,

F,Y đểchỉgiátrịcủa

FG * ,Y G

FG *t ạ i Y G

cònA d l à

biểu diễnphụhợp,đượcgọilàbiểu diễnđốiphụhợpcủaG t r o n g

G*.

Địnhnghĩa1.8(K-quỹđạo).MỗiquỹđạoứngvớiK-biểudiễnđượcgọi
làK G*.K - quỹđ ạ o c ủ a G q u a F k ý h i ệ u l à
quỹđạocủaGtrong

F KgF:gG.

Định nghĩa 1.11 (Lớp MD).MD-nhómlà một nhóm Lie thực giải đượcmà
cácK-quỹ đạo chỉ có số chiều 0 hoặc chiều cực đại. Đại số Lie của MDnhóm được gọi làMD-đại số.Lớp MDlà tập tất cả các MD-đại số.Nếu số
chiềulànthìtasẽ cóMDn-nhóm, MDn-đại số,lớpMDn.
Địnhnghĩa1.13(LớpMD n,kv à MD n,kC).MộtMDn-đạisố G
vớid i m G 1 k đượcgọ ilà M D n,k-đạis ố .Th êmnữa,nếu

G1g i a o

hốn(tươngứng,

G1k h ơ n g giaohốn)thì G đ ư ợ c gọilàMD n,kC đạisố(tươngứng,MD n,kNC-đạisố).LớpMD n,kv à MD n,kC
tươngứnglàtậptấtcảcácMD n,k-đạisốvàMD n,kC-đạisố.
1.2.

Tôpôphânlá

Địnhnghĩa1.5(Phânlá).PhépphânhoạchF= LcủaVbởicác
A
đatạpconliênthôngđượcgọilàmộtC r-phânlánếuvớimọi x V,tồn
¡
tạim ộ tC r-bảnđ ồ(hệtọa đ ộđịa p hư ơn g)   1,2:U ¡


p

np


xácđịnhtrênmộtlâncậnmởUcủaxsaochomỗithànhphầnliênthơng
củaULđ ư ợ c mơtảbởiphươngtrình2 const.ĐatạpVđượcgọi
làđatạpphânlá.Mỗiphầntửcủa F đượcgọilàmộtlávàmỗithành
phầnliênthơngcủaUL
đượcgọilàmộttấm.Cácsốpvàn–ptương
ứngđượcgọilà s ố chiềuvàs ố đối c hi ề u của F , ký hiệutư ơngứnglà
dimFv à c o d i m F.
Địnhn g h ĩ a 1 . 3 2 . N ế u c ó p h â n t h ớ t r ơ n p :V Bs a o c h o m ỗ i t h ớ l à
mộtlá củaFthì ta bảoFđược cho bởi phân thớp . Nếu có nhóm LieGtác
động trơn, tự do hoặc tự do địa phương lênVsao cho mỗiG-quỹđạo là
mộtlá củaF t h ì ta bảoF đ ư ợ c c h o bởitácđộngcủa G.
Địnhn gh ĩ a 1. 3 4 (K hông gian lá). Trênđ a tạp p h â n lá V ,c húngt ax é t

quan hệ tương đươngthuộc cùng một lá. Khi đó, tập
thươngVF v ớ i tơpơthươngcủaVđượcgọilàkhơnggianlácủaphânlá  V,F

.
Địnhnghĩa1.8(Phânlátươngđương).Haiphânlácùngchiều F 1v à

F2trênVđượcg ọ i l à t ư ơ n g đ ươ n g h a y c ù n g k i ể u n ế u c ó m ộ t v i p h ô i
(trơn)củaVánhxạ các lá củaF 1l ê n

các

lá

của

F 2.

Địnhnghĩa1.9(Phânláđo được ). Phânlá  V,F

đượcgọilàphânlá

đođ ư ợ c n ế u đ ã t r a n g bị m ộ t đ ộ đo h o à n h  đ ố i v ớ i p h â n l á  V,F l à
mộtánhxạ  -cộngtínhB a

  B  từhọcáctậpconhồnhBorelcủa

Vđến  0,sao chocáctiênđềsauđâythỏamãn:
1. Tínhđ ẳ n g b i ế n B o r e l :
nếu

:B1B2

làs o n g á n h B o r e l v
à
xthuộcláchứaxvớimọixB1t h ì B1B2 .

2.   K n ế u Klàtậpconcompactcủamộtđatạpconhoành.
Địnhn g h ĩa 1 . 1 0 ( P h â n lá trắ cđ ị a h o à n to à n ). P hâ n lá F t r ê n


đượcgọilàtrắcđịahoàntoànnếutấtcảcáclácủa F đềulànhữngđa

 V,g


tạp con trắc địa hoàn toàn của  V,g. Phân bố tiếp xúcT Fc ủ a m ộ t phân
láF t r ắ c đ ị a h o à n toànđược gọilàphân bốtrắc địa.
Địnhnghĩa1.11(Phânlákhảtrắcđịa).Phânlá F t r ê n đatạpVđược
gọi làkhả trắc địanếu tồn tại một mêtric RiemanngtrênVsao choFlàtrắcđịa
hoàn toàn đốivớig.
Định nghĩa 1.12 (Phân lá Riemann).Phân láFtrên đa tạpVđược gọilà
phân lá Riemann nếu tồn tại mêtric Riemanng, gọi làmêtric kiểu
phânthớ,trênVsaochophânbốtrựcgiao T F  NFlàphânbốtrắcđịa.
1.3. C*-đạisốliênkết với phânlá
Cholà phân lák-chiều, định hướng được trênV. Với
mỗixV,chúngta định nghĩa:

:kF £| v 1/2 v  ,v kF,  ¡ x ,
1/2
x



ởđó kF
x



làkhơnggianvectorthực1-chiềucáck-dạngtuyếntínhthay

phiên trênF x. GọiH l à đồthịcủaphânlá.Chúng tatrang



tích chậpvàphépđốihợptươngứnglà:
 f g, f  f   

bịchokhơnggianvector C  H,1/2
c

få g 

*

1

1

2

1o2






thìC c H,1/2 trởthànhmột * -đạisố.
Vớimỗi xV,gọi H l àxphủholonomycủaláchứax.Chúngta
cómộtb i ể u d i ễ n t ự n h i ê
n





L2 H,x 1/2

địnhđượcchuẩn

x

của Cc H, 1/2





trênk h ô n g g i a
n

cácnửamậtđộvớibìnhphươngkhảtíchtrên

f sup
xV

x

Hxvà xác

f . t r ê n C H,1/2.
c

Địnhnghĩa1.13(C*-đạisốliênkếtvớiphân lá[19,Mục5-6]).C*-đại

sốl i ê n k ế t v ớ i p h â n l á  V,F ,k ý h i ệ u C

*

V,F ,l à đ ầ y đ ủ h ó a c ủ a






Cc H,1/2 đốivới  .


Mệnhđề1.14.Nếu V,F tươngđương V,F t h ì C *V,F C*V,F .

Mệnhđ ề 1 . 1 5 . G i ả s ử p h â n l á  V,F



đượcc h o b ở i tác động  c ủ a

nhómLieGlênđatạpphânláVsaochophỏngnhómholonomyHcủa
*



V,F C VãG0 .
Mệnhđ ề 1 . 1 6 . G i ả s ử p h â n l á  V,F đượcchobởiphânthớ(vớithớ

V,F códạngHVG.KhiđóC

liênthơng
)

p:VB.K h i đ ó , p h ỏ n g n h ó m h o l o n o m y H c ủ a  V,F

chínhl à đ a t ạ p c o
n

x;y  VV:p  x p y

củ
a

VVv à

C*V,F C B  K.
0

1.4. Phươngpháp K-hàmtử
ĐểđặctrưngmộtC*-đạisốAbằngphươngphápKhàmtử,chúngtasẽtìmcách nhúngAvào một dãykhớp ngắn,gọilàmởrộng
(đơn):
0JAB0,
1.1
với JA làmộtidealđónghaiphíavà BAJ làcácC*-đạisốđã
biếtrõràng.Mởrộng  1.1 xácđị nhduy nhấtp h ầ n tử  ExtB,J
nàođó và chúngta có địnhnghĩa:
Địnhnghĩa3.9( Bất bi ế n chỉs ố). Phầ ntử  ExtB,J đượcgọi là
bấtbiếnchỉsốcủaC*-đạisốAvà được kýhiệu làIndexA.
HơnnữatrongK-lýthuyếtđốivớicácC*-đạisố,mởrộng 1.1
sinh
radãykhớp tuầnhồn6-thành phầncác K-nhóm:

1.2
Mặtkhác,theoĐịnhlýhệsốphổdụng[21,Địnhlý4.2],chúngtacó


đồngcấu  á n h xạ   IndexAt h à n h cặp  ,  c ủ a  1.2.Khimở
0

1

K B làc á c n h ó m a b e l t ự d o t h ì  làđ ẳ n g c ấ u v à
j

rộng 1.1có

chúngtacóthểđồngnhất

IndexAvớicặp 0, 1của1.2 .

Trongnhiềutrườnghợpphứctạp,nếukhơngthểnhúngAvàomộtmở
rộngdạng1.1 vớiJvàBcódạng
thìcầnphảidùngtới
C X K

0 

cácmởrộng lặpgồmnhiềumở rộngđơncódạngsauđây:
0J
AB10,,
1

0J k 
B
ởđó,cácC*-đạisố

k1


B

k

0.

J,,Jk vàB k đềucódạng
1

C XK
0

các phần tử , ,t r o n g cácKK-nhómE x t
1

1.3

k

1

.Khiđ ó ,

 B,J ,,Ext B, J

1

k

k

tươngứngv ớ i c á c m ở r ộ n g đơnt r o n g  1.3 mớiđ ủ x á c đ ị n h k i ể u ổ n
địnhcủaC*-đạisốAcầnmơtảnhưlàmộtphầntửcủa
Dựatrên ýtưởngđó, chúngta cóđịnh nghĩa:
Địnhnghĩa1.18(Hệbấtbiếnchỉsố).Tậphợp  ,,

1

k

Ext B,Jj

j

j1

.


k


hệbấtbiếnchỉsốcủaC*-đạisốAvà cũngđược kýhiệu làIndexA.

đượcgọilà


Chương2
LỚPMD(n,1)VÀLỚPMD(n,n–1)
Chương này trình bày kết quả nghiên cứu vấn đề thứ nhất của luận
án,đó lànghiên cứu bài tốn phân loại các đại số Lie thực, giải được
theocấu trúclà sốchiều của các K-quỹđạo.
Như đã đề cập trong phần Mở đầu, để giảm bớt tính phức tạp khi
xétbàitốnphânloạicácMDn-đạisốG t ổ n g qt,chúngtaxétsốchiềuk
củaidealdẫnxuấtthứnhất G 1.Vì1kn1nênlớpMDntổngqt
khiđ ó đ ư ợ c p h â n h o ạ c h t h à n n1 lớpc o n l à c á c l ớ p M D n,kmà

h
mỗip h ầ n t ử c ủ a l ớ p c o n n à y l à m ộ t M D nđạis ố c ói d e a l d ẫ n x u ấ t t h ứ nhấtk-chiều. Từ đó, bài tốn phân loại lớp
MDntổng qt được quy vềbàitốnphânloạin 1l ớp conMDn,k.
Trongn 1lớp conkểtrên,haitrườnghợp“dễchịunhất'”xảyrakhi
k1h o ặ c k n1.B ởi v ậ y, t r on g c hươngnà y, t á c g i ả t r ì n hbà y hai
kết quả phân loại trên hai lớp con này, đó là phép phân loại trên
lớpMD(n,1)và lớpMD(n,n-1). Sốchiều ởđâylàn 4h ữ u h ạ n tùyý.
2.1. PhânloạilớpMD(n,1)
Địnhlý2.1(PhânloạicácMD n,1-đạisố).C ho G l à một đạ isốL ie
thựcgiảiđượcn-chiềuvớin 2.Nếud i m G 11thì G l à MDn,1đạisốvàGchỉcóthể
là
đạisốLieaffinethựchoặcđạisốLieHeisenbergthựchoặccácmở
rộng
tầmthường củachúng.
Diễnđ ạ t Đ ị n h l ý 2 . 1 2 t h e o m ộ t c á c h k h á c s ẽ c h o c h ú n g t a m ộ t đ ặ c
trưngmớicủađạisốLieHeisenbergthựcnhưsau:
Hệ quả 2.2 (Một đặc trưng mới của đại số Lie Heisenberg
thực).ChoGlà một đại sốLie thực n-chiều vớin3. Khi đó, các khẳng
định saulàtương đương:
1. GbấtkhảphânvàG 1 ¡.
2. Gl à mộtMD n,1-đạisốbấtkhảphân.
3. Gl à đại sốLieHeisenbergn-chiềuvớinlẻ.


2.2. PhânloạilớpMD(n,n-1)
Địnhlý2.3(ĐiềukiệncầnvàđủcủalớpMD(n,n1)).Cho G làmộtđạisốLiethựcgiảiđượcnchiềuvớin 4v à d i m G 1 n 1 .Khiđó:
1. NếuG1giaohốnthìGlàmộtMD(n,n-1)-đạisốbấtkhảphân.
2. NếuGlàmộtMD(n,n-1)-đạisốthìG1giaohốn.
Địnhlý2.4(PhânloạicácMD(n,n-1)-đạisố). Giảsử G  X,1 ,X
n

làmộtkhơnggianvectorn-chiều  n4v à G 1
làkhơng
X,,X
n1

1

gian con đốichiều 1củaG .Khiđó,chúngtacónhữngkhẳng địnhsau:
1. Mỗi(n- 1)ma trậnthựckhảnghịchAluônxácđịnh mộtcấutrúcLiet r ê n G
s a o choG l à mộtMD(n,n-1)-đạisốvớiidealdẫn
xuấtthứnhấtgiao hốn vàchính làG 1v à Achínhlà matrậncủa
ánhxạphụhợpa d
trênG 1t r o n g cơsở
đãchọn.

 X, ,X
1

Xn

n1



2. Hai( n - 1) - m a t r ậ nt h ự c k h ả n g h ị c h A v à B x ác đị n h haic ấ u t r úc
LieđẳngcấutrênG k h i vàchỉkhitồntạisốthực c0 vàmột
(n-1)-matrậnthựckhảnghịchCsaochoc A CBC1.
2.3. Mộtsốnhậnxét
Nhận xét 2.5.Trước tiên, kết quả đạt được trong Định lý 2.1 cho thấy
lớpcácMD n,1-đạisốkháđơngiản.Nếuxétvềtínhbấtkhảphânthìlớp

nàychỉcóđạisố Lieaffinethựchoặcđạisố LieHeisenbergthực.
Nhậnxét2 . 6 . K h ẳ n g đ ị n h  1c ủ a Đ ị n h l ý 2 . 4 c h o t h ấ y
mỗiMD

n,n1-đạisốGđ ề u códạng tổngnửatrực tiếp:
G¡ .X 
L
1

adX1

¡. X

¡. X ¡
2

n

¡

n1

.

Tiếptheo,haimatrậnthựckhảnghịchAvàBcùngcấpđượcgọilàđồng
dạngtỷlệnếuv à c h ỉ n ế u t ồ n t ạ i s ố t h ự c c 0v à m a t r ậ n t h ự c k h ả
nghịchCcùngcấpvớiAvàBsaochoc A CBC1.Dođó,khẳngđịnh
 2của Địnhlý2.4chochúngtamộtphânloạicácMDn,n1-đạisố

bởisựphânloạicácmatrậnthựckhảnghịchtheoquanhệtươngđươngđồngd
ạ n g t ỷ l ệ đ ã b i ế t . T h ậ t v ậ y , g i ả s ử h a i M D n,n1-đạis ố

G¡

n1
n1
v à
c ó matrậnbiểudiễncủa
v à G ¡
 1

2
2
1
 2t r o n g ¡c ơ s ở  X, ,X lầnl¡ ư ợ t l à A v à B .K h i đ ó , đ ẳ n g t h ứ c
2

1





cACBC1d i ễ n tảrằng

2

1

2

củaG

5,4,10

tươngđươngvới , tứclàG G
khi
vàchỉkhitồntạisố thựcc 0s ao cho các dạngchuẩnJordan của
v1 à
ct2 r ù n g nhau.
Vídụ2.7.SựphânloạicủacácMD(5,4)đạisốbấtkhảphântrong[24,Địnhl ý 3 . 1 ] c h o c h ú n g t a m ộ t m i n h h ọ a r
õràngcủaĐịnhlý2.4khi
n5.Chẳnghạn,chúngtaxétMD(5,4)-đạisố G 1 ¡  ¡4 vớima
1

1

trậnbiểudiễncủa

c1 ó dạngnhưsau:
1
0

1 0 0
0
0

1 4

Bằngt í n h t o á n , d ạ n g c h uẩ n J o r d a n c
ủa
[24,Địnhlý3.1], tứclàG  G
1

5,4,10

0

0

0
1 ,

4

1
0

6
 chínhl à

ad
X1

1

.



Vídụ2.8.BằngcáchápdụngĐịnhlý2.4,chúngtacũngcóthểliệtkê cácM
D ( n , n - 1 ) - đ ạ i s ố k h ô n g đ ẳ n g c ấ u v ớ i n n h ỏ n10.C h ẳ n g h ạ n ,
xéthaiMD(6,5)-đạisốG  ¡
1

1
4

1 2

3

0
1
1
1

  ¡5 v à G 2¡

1 0

2 1

0 1 1 ,

3 4 1
1
3

1

5
0

1

2

0

  ¡5 n h ư sau:
2

1
2
0
1

5

0

1 1 2.

0 3 1

3
0

2
0


 8 2

7

5
4 

Bằngtínhtốn,chúngtacódạngchuẩnJordancủa

1 1

1
1

1

1

2

và l ầ n lượtlà: