BO DE 10 MO DAU VE TICH PHAN 0052 0052 0081

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tài liệu bài giảng:

10. MỞ ĐẦU VỀ TÍCH PHÂN
Thầy Đặng Việt Hùng

Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
4

1)

∫(x

3

4

)

+ 4 x dx.

2)

1

∫(x + 2

3

)

4

9

1 

3) ∫  2 x +
 dx.
x
1

2 x + 1 dx.

0

4)

∫

1

(

)

x −1

2

x3

dx.

Hướng dẫn giải:

4

1)

∫(
1

4

2)

∫(
0

4

4

3
 x4
 x4 8 3 
 44 8 3   14 8 3  989
2 
4 − +
1 =
x + 4 x dx =  + 4. x 2  =  +
x  = +
 4
3 
4 3
4 3
4 3





 12

1
1

)

3

4
 x2

3
1
x + 2 3 2 x + 1 dx =  + 2. ( 2 x ) 3 . + x 
4
2
2


)

4

0

 x2 3

=  + x. 3 2 x + x 
2 2


4

= 24 − 0 = 24

0

3)

9
9
1
 12 − 12 
 2 23
 9 4 3
1 


4 3
 4
 116
2
2
x
+
dx
2
x
+x
dx
2.
x
2
x
x
2

x
9 + 2 9  −  13 + 2 1  =
=
=
+
=
+





 =

∫1 
∫
3
x
 1 3
 3


 3
 1 3
1
9

4

4)

∫
1

(

)

x −1

2

x3

4

dx = ∫
1

4
4
5
−
 1
 1
 1
x − 2 x +1
2
1
2 − 32 1 −2 

−3 
2
dx
=
−
+
dx
=
−
2
x
+
x
dx
=
−
+
2.
x − x 


∫1  x 2 x5 x3  ∫1  x 2
x3
3
2

 x


4

1

4
 1
 1
4
1 
4
1  
4
1 
11 1 5
= − +
− 2  = − +
−
−  −1 +
− 2 =− + =
2 
3
3
3
2x  1  4 3 4
2.4  
96 6 96
3 1 2.1 
 x 3 x

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
π

4

π
4

x
1) sin 2 dx.
2
0

π
3

dx
2)
cos 2 x
0

∫

π
3

tan x dx
3) ∫
2
π cos x

∫

4)

tan 2 x dx
∫0 cos 4 x

4

Hướng dẫn giải:

π
4

π
4

x
1
1
1) sin dx =
(1 − cos x ) dx = ( x − s inx )
2
20
2
0

∫

∫

2

π
4

dx
2)
= ( tan x )
2
cos
x
0

∫

π
4

= tan

π
3

4

4

π
4

tan x dx

tan 2 x
3) ∫
=
tan
x
.
d
tan
x
=
(
)
2
∫π
2
π cos x
π
3

tan x dx
4) ∫
=∫
cos 4 x
0
0

0

0

π
3

2

1 π
π 1
π
2
=  − sin  − ( 0 − s in 0 ) = −
2 4
4 2
8
4

π
− tan 0 = 1
4

π
3

π
3

π
4

tan 2 x ( tan 2 x + 1) dx
cos 2 x

=

3 1
− =1
2 2

π
3

 tan 5 x tan 3 x 
= ∫ ( tan x + tan x ) d (tan x) = 
+

3 
 5
0
4

2

π
3

=

35
33 14 3
+
=

5
3
5

0

Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:

e

4

1)

2 x2 − x + 5
dx.
x
−
1
2

∫

2)

∫
1

ln 2 x
dx.

x

e
1 1


3) ∫  x + + 2 + x 2  dx.
x x

1

Hướng dẫn giải:

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!

www.moon.vn


Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT

Tai Lieu - Bao CaoT
1)

4
4
2 x ( x − 1) + x − 1 + 6
2 x2 − x + 5
6 

2
dx =
dx =  2 x + 1 +
 dx = x + x + 6ln x − 1
x −1
x −1
x −1 
2
2
2

4

∫

∫

e

∫

2)

e

ln 2 x
dx =
x

1

∫
1

(

∫

 ln 3 x 
ln 2 x.d (ln x) = 

 3 

e

)

4

= 20 + 6ln 3 − 6 = 14 + 6ln 3

2

1
1
−0=
8.3
24

=

1

e
e
 x2
1 1
1 x3 
e2
1 e3  1
1  e3 e 2 1 7


3) ∫  x + + 2 + x 2  dx =  + ln x − +  = + 1 − + −  − 1 +  = + − −
3 3 2 e 6
x x
x 31 2
e 3 2

 2
1

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
4

1)

dx
x

∫
1
π
2

2)

∫

∫
π
6

π
3

∫

5)

∫ ( cos 2 x − sin x ) dx

2

6)

−

dx
∫π sin 4 x
4

dx
∫0 2 x + 1

9)

sin 2

e2

1

1 

13) ∫  x 2 +
 dx
3x + 2 
0

14)

ln 2 2

x2

xe dx

2

∫
0

4x + 1
dx
3− x

ln 2

15)

∫e

2x

dx

0

8

1

18) ∫  4 x −
3 2
3 x
1

dx

x

1

1

x
2

cot 2 x dx
∫π sin 2 x

12)

x

e

∫

17)

cos 2

6

ln x
dx
x

∫
1

ln 3

∫

dx

π
3

dx

π
4

x
2
2
x −1
11) ∫
dx

4x + 3
1
−

6

16)

π
6

∫

8)

∫
0

0

π
4
π
2

10)

x π
3) sin  +  dx
2 3

0

2

0

4) sin 2 2 x dx

7)

π
3

x − 2x + 3
dx
2− x

1


 dx


MỘT SỐ VÍ DỤ SỬ DỤNG PP VI PHÂN
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
2

1)

∫

2

x

x + 1 dx.

2

3

2)

0

∫x

∫ (
x

0

1

∫
0

∫
0

(

∫

x3 + 2
x dx

3

2

)

3

1

dx =

1
=
2
x +8 2

∫
0

)

(

)

19

∫
0

) (

)

0

d x 3 + 2 = 2 x3 + 2

(

)

(

d ( x2 + 8)
3

∫

2
=
9

1

3

(

3 2
2

∫ (

x3 + 2

19

3x 2

x +2
Hướng dẫn giải:

1 2
x2 + 4 d x2 + 4 = . x2 + 4
2 5

1
x 2 + 4 dx =
20

3x 2

19

4)

3)

3

dx.

4)

∫
0

0

2

3

2

3)

+ 4 dx.

1
1 2

x + 1 dx =
x 3 + 1 d x3 + 1 = . x3 + 1
30
3 3

2

0

2)

)

1

3

0

2

1)

∫ (x
x

2

2
1 3

= . .( x 2 + 8) 3
2 2
x2 + 8

19

0

)

1

)

(x

3

)

+1

2

3

=

0

5 2
2

(x

=

+4

2

x2 + 8

.

54
= 6.
9

)

5

5

0

x dx

3

2

0

=

128 2 − 32
5

=2 3 −2 2

0

=

2
33 2
x + 8)
(
4

19

0

=

27
15

−3=
4
4

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!

www.moon.vn


Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
π
3

π
2

sin x
dx.
1)
cos3 x
0

∫

π
4

∫

2) sin 4 x cos x dx.

3)

π
3

π
4

∫

4)

sin 4 x cos4 x dx.

0

tan x
dx.
4
x

∫ cos
0

Hướng dẫn giải:

π
3

π
3

π
3

π
3

sin x
tan x
tan 2 x
dx
=
dx
=

tan
x
.
d
tan
x
=
1)
(
)
2
cos3 x
cos 2 x
0
0
0

∫

∫

∫

π
2

π
2

π

2

sin 5 x
2) sin x cos x dx = sin x .d ( sin x ) =
5
π
π

∫

∫

4

3

3
2

0

5

1 1  3 1 9 3
= − .
 = −
5 5  2  5 160

π

14
1 2 3
sin 4 x cos4 x dx = ∫ sin 4 x d ( sin 4 x ) = . sin 2 4 x
40
4 3

∫
0

π
4

4)

π
3

3

π
4

3)

4

=

π
4

1
=
6

( sin 4 x )

0

7
3
2

tan x
2
2
2
2
dx
=
tan
x
tan
x
+
1
d
tan
x
=

tan
x
+
tan
x
(
)
(
)

4
∫
cos x
3
7

0

0

=0

0

π
4

∫

π

4

3

π
4

20
21

=

0

Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
ln 2 3

∫

1)

π
4

e

x

1

e

e 2tan x
dx.
2)
cos 2 x
0

x

∫

dx.

e

dx
.
3) ∫
x 3ln x + 2 )
1 (

4)

∫
1

1 + ln x
dx.
x

Hướng dẫn giải:

ln 2 3

∫

1)

x

e

x

1

π
4

ln 2 3

dx = 2.

∫
1

e

x

2 x

π
4

2tan x

ln 2 3

dx = 2.

∫

( )

d e

1

x

= 2e

ln 2 3

x

1

π
4

e
1 2 tan x
1
dx = e 2 tan x d (tan x) =
e
d (2 tan x) = e 2 tan x
2
2
2
cos x
0
0
0

2)

∫

3)

∫

∫

dx
1 d ( 3ln x + 2 ) 1
∫1 x ( 3ln x + 2 ) = 3 ∫1 3ln x + 2 = 3 ln 3ln x + 2

e

e

e

=

1

3
1 + ln x
2
dx = ∫ 1 + ln x .d (1 + ln x ) = . (1 + ln x ) 2
x
3
1

e

4)

= 6 − 2e

e

∫
1

π

4
0

=

(

)

1 2
e −1
2

ln 5 − ln 2 1 5
= .ln
3
3 2

e

=

1

2
3

(1 + ln x )

e

3

1

=

4 2 −2
3

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
3

1)

1
2

4

∫

x 2 x 3 + 5 dx

2)

0

∫

−1

∫
0

1
2

dx

3

5)

x+2

1

7)

4

3)

(x

+ 4)

1
2

2

dx

8)

10) ∫ x x 2 + 9 dx

∫
0

∫

6)

11)

2x + 1

3

3x + 5 dx

1

x dx

1− x 2

9)

2

3x 2

0

1+ x3

∫3

π
2

4

0

5 − 2 x dx

−2

5x

2

∫

dx

∫

0
22
3

0

6

4)

2
∫ x 1− x dx

cos x
dx
x
π

∫

dx

π
2

12)

∫

cos x sin x dx

0

4

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!

www.moon.vn


Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
π
2

13)

∫

π
2

3

sin x cos x dx

0

π
2

π
6

17)

4

π
2

e

∫
1

cos x dx

4sin x − 1

∫ x.e

x +1
2

20)

dx

23)

e

∫
1

e

28)

∫
1

e 2ln x + 3
dx
x

2 + ln x
dx
2x

sin x cos3 x dx

18)

e

21)

x

24)

dx

∫ (e

sinx

+ cos x ) cos x dx

0

cos xdx

∫ ( 2sin x + 1)

3

0

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!

1 + ln 2 x
∫1 x dx
e

27)

0

29)

sin x dx

∫ 1 + 3cos x
π
2

26) ∫ cos x 1 + 4sin x dx
π
6

2

0

2 tan x
2

3cos x dx

∫ (1 − 5sin x )
π
2

3

∫ cos

tan 3 x
∫0 cos 2 x dx

π
6

ln x
dx
x
1

0
π
2

15)

π
2

cot x
dx
sin 2 x

∫
π
2

0

25)

∫
π
4

π
6

22)

∫

π
6

cot 3 x
16) ∫
dx
2
π sin x

19)

14)

π
3

π
2

30)

∫

6cos x + 1sin x dx

π
3

www.moon.vn