61505 17220239175824phmthtngvy

I HC
NNGTRìNGIHCSìP
HM

PHMTHTìNGVY

NGDệNGTH NGDì NGDì
CếAHMCHNHHNH
TNHNHMậTSẩDNGTNHNHPHN

KHALUNTẩTNGHIP

NgữớihữợngdănkhoĂluên:T
S.HongNhêtQuy

Nđng,12/2021
4


Mửclửc
Mé U

5

1 Kiánthựcchuânb

7

1.1 SỡlữủcvÃsốphựcv h mbiánphực
.. . . . . . . . . . . .
7

1.1.1 DÔngÔ i sốcừasốphực
.. . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2 DÔnglữủnggiĂccừasốphực .. . . . . . . . . . . . .
9
1.1.3 DÔngmụcừasốphực. . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.4 H mbiánphực.........................................................10
1.2 Lỵthuyáttẵch phƠncừa h mchnhhẳnh.................................16
1.2.1 nhnghắav mởtsốvẵdử............................................16
1.2.2 MởtsốtẵnhchĐtcừatẵchphƠn.......................................18

2 ngdửngthngdữcừah mchnhhẳnh tẵnhtẵchphƠn

22

2.1 ChuộiTaylorv chuộiLaurentz...........................................22
2.1.1 ChuộiTaylor...........................................................22
2.1.2 ChuộiLaurentz.......................................................24
2.1.3 MởtsốphữỡngphĂpkhaitrinchuộiLaurentzcừah m
phực..................................................................................25
2.2 Thngdữcừah mchnhhẳnh................................................27
2.2.1 imbĐtthữớng........................................................27
2.3 CĂchtẵnhthngdữcừah mchnhhẳnh..................................30
2.3.1 nhnghắav cĂchtẵnh...............................................30
2.3.2 CĂc n h lỵcỡbÊnvÃthngdữ.....................................32
2.4 MởtsốựngdửngcừathngdữtrongviằctẵnhmởtsốdÔng
tẵchphƠn..........................................................................................33
2

2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4

TẵnhtẵchphƠnphực......................................................33
TẵnhtẵchphƠncừamởtsốh mlữủnggiĂc........................35
TẵnhtẵchphƠnsuyrởngh mhỳut................................37
TẵnhtẵchphƠnsuyrởngh mhỳuta thựcv lữủng
giĂc.........................................................................39

T iliằuthamkhÊo

44

3


LICMèN
LớiƯutiản,emxinchƠnth nhv gỷilớitriƠnsƠuscvợicĂcthƯygiĂo,cổgiĂo
cừa
TrữớngÔihồc
Sữ
Ôihồc Nđng,cbiằtl cĂcthƯy,cổtrongkhoaToĂn
 tÔoi à u kiằnchoemthỹchiằnKhõaLuênTốtNghiằpn y.

PhÔm

-

Thới gian vứa rỗi, nhớ cõ sỹ hữợng dăn tên tẳnh v hát lỏng cừa
TS.Ho ng Nhêt Quy, em hiu thảm nhiÃu kián thực khổng ch xoay
quanhKhõaLuênm cỏncĂcvĐnÃthúvkhĂccừaToĂnhồcnỳa!
MởtlƯnnỳaemxinchƠnth nhcÊmỡnthƯy!
VợivốnkiánthựccỏnhÔnhàpcừabÊnthƠnv thớigianhÔnchá,viằcho n th nh
khõaluênkhổngthtrĂnhkhọinhỳngthiáusõt.Nảnemmongnhênữủc nhỳng ỵ kiánõng gõp v xƠy
dỹng
cừa
quỵ
thƯy
cổ
bi
Khõaluêntốtnghiảpcừaemữ ủ c ho nth nhch¿nhchuhìn.
Emxinch¥nth nhc£mìn.


Mé U
1. LỵdolỹachồnÃt i
H mbiánphựcnõichungv h mchnhhẳnhnõiriảngl mởttrongnhỳng
ối tữủng nghiản cựu chẵnh cừa chuyản ng nh GiÊi tẵch phực. H m chnh
hẳnhvứa thứa káữủc cĂc tẵnh chĐt cừa h m thỹc khÊ vi, vứa cõ
nhỳngcimriảng do cĐu trúc cừa số phực mang lÔi khián cho nõ tr nản
cõ nhiÃu ựngdửng cÊ trong lỵ thuyát toĂn hồc v trong cĂc lắnh vỹc khoa
hồc, k thuêtkhĂc.
Trong chữỡng trẳnh toĂn hồc phờ thổng, sè phùc l mët nëi dung btbuëc v câ nhi·u ựng dửng trong hẳnh hồc. Trong cĂc chữỡng trẳnh toĂn
caocĐp,sốphựcv h mchnhhẳnhữủcựngdửngnhiÃutrongcĂcb itoĂnvÃlỵ
thuyát (xem thảm nởi dung[3],[5])v trong cĂc b i toĂn k thuêt (xemthảm
nởi dung[6]).Nởi dung ựng dửng cừa h m chnh hẳnh trong cĂc
chữỡngtrẳnh o tÔo Ôi hồc rĐt a dÔng nhữ lỵ thuyát h m Êo giĂc, cĂc

php biánhẳnh, php tẵnh tẵch phƠn, cĂc php biánời Laplace, php bián
ời
Fourier.VợimongmuốntẳmhiusƠuhỡnvÃlỵthuyáth mchnhhẳnhv cbiằtl
cĂcựngdửngcừanõtrongcĂcb itoĂntẵnhtẵchphƠnv ữ ủ c sỹhữợngdăncừa thƯy giĂo
TS.Ho ngNhêtQuy,em chồnà t i nghiản cựu"ngdửng thng dữ cừa h m

chnh
hẳnh
tẵnh
mởt
phƠn"choKhõaluêntốtnghiằpcừamẳnh.
2. Mửcẵ c h nghiảncựu

số

dÔng

tẵch

MửctiảunghiảncựucừaÃt iựngdửngthngdữcừah mchnhhẳnh
tẵnh mởt số dÔng tẵch phƠn thữớng v tẵch phƠn suy rởng rĐt khõ
tẵnhbơngcĂcphữỡngphĂpcừagiÊitẵchthỹc.


3. ốitữủngv phÔmvinghiảncựu
a. ốitữủngnghiảncựu
ối tữủng nghiản cựu cừaà t i l lỵ thuyát thng dữ cừa h m
chnhhẳnh, cĂc b i toĂn tẵch phƠn phực, tẵch phƠn thữớng v tẵch phƠn suy
rởngkhõtẵnhbơngphữỡng phĂpgiÊitẵchthỹc.

b. PhÔmvinghiảncựu
PhÔmvinghiảncựucừaÃt ithuởclắnhvỹcGiÊitẵchphực.

4. CĐutrúcluênvôn
CĐutrúccừaluênvôngỗmcĂcphƯnchẵnhsauƠ y :

ãMƯ u :
ã PhƯnnởidung:Nởidungchẵnhcừaluênvôngỗmcõ2chữỡngcửthnhữs
au:

Chữỡng1:Kiánthựcchuânb
Chữỡngn ytrẳnhb ymởtsốkhĂiniằmv tẵnhchĐtcỡbÊncừah mbiánphực, h m
chnh hẳnh v
lỵ thuyát tẵch phƠn cừa h m chnh hẳnh. CĂc
kiánthựccừachữỡngn ysbờtrủchophƯnnghiảncựucừaChữỡng2.

Chữỡng 2: ng dửng thng dữ cừa h m chnh hẳnh tẵnh
tẵchphƠn
Trẳnh b y v· c¡c chuéi h m Taylor v Laurentz cừa h m chnh hẳnh,
thngdữ. V Ăp dửng cĂc tẵnh chĐt cừa thng dữ tẵnh mởt số dÔng tẵch
phƠnnhữ:tẵchphƠnphực,tẵchphƠnlữủnggiĂc,tẵchphƠnsuyrởng.

ãKátluên
ãT iliằuthamkhÊo


Chữỡng1

Kiánthựcchuânb
échữỡngn ychừyáutrẳnhb yvÃcĂckiánthựccỡsvÃh mbiánphựcv

hm
chnhhẳnh.Mởtsốkiánthựcnờibêtữủc nhcá n l : S ỡ l ÷ đ c v · sè phùc v h m
bián phực; h m chnh hẳnh v mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn; Lỵthuyát tẵch
phƠn cừa h m chnh hẳnh. Dỹa v oõ l m nÃn tÊng
nghiảncựuphĂttrincĂckiánthựcữủcnảuchữỡng2.Nởidungcừachữỡng
ny
ữủcthamkhÊotứcĂct iliằu[3],[5],[6].

1.1 SỡlữủcvÃsốphựcv h mbiánphực
1.1.1 DÔngÔ i sốcừasốphực
Số phực l mởt biuthực cõdÔngx+iy, trongõ : xv yl cĂc
số thỹccỏnil ỡnvÊo.
CĂcsốxv yl phƯnthỹcv phƯnÊocừasốphực.Thữớngữủ
ckẵhiằu:
z=x+iy
x=Rez=Re(x+iy)y
= Imz= Im(x+iy)

TêphủpcĂcsốphựcữ ủ c kẵhiằul C.
Sốphực z=xiyữủcgồil sốphựcliảnhủpcừa z=x+iy .Vêy: Re
(z)=Re(z);Im(z)=Im(z).


a.Ph²p cëng
Chohaisèphùcz1=x1+iy1v z2=x2+iy2.
Ta gåi sè phùcz=(x1+x2)+i(y1+y2)l têng cõa hai sè
phùcz1v z2.PhpcởngcõcĂctẵnhchĐtsau:
z1+z2=z2+z1(GiaohoĂn)
z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3(Káthủp) b.Phptrứ
Chohai số phực:z1=x1+iy1v z2=x2+iy2.

Tagồisốphực z= (x1x2)+i(y1y2)l hiằucừahaisốphực z 1v z 2.c.Ph²p

nh¥n
Chohai sè phùc:z1=x1+iy1v z2=x2+iy2.
Tagå is è p h ù c z = z 1.z2= ( x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)l t ½ c h c õa h a i s è ph
ùcz 1v z2.
PhpnhƠncụngcõtẵnhgiaohoĂnv káthủp,hỡnnỳa:
z1(z2+z3)=z1.z2+z2.z3(TẵnhphƠnphối)
1.z=z
z.0=0
i.i=1

d.Phpchia

Chohaisốphựcz1=x1+iy1v z2=x2+iy2.
Náuz =0thẳtỗntÔimởtsốphực z= x+iysa o cho z.z 2=z1.
Sốphực:
z
z=

1

y1x2 y2x1
1x2+ y1y2
z2 =x x2+y2 + i
x2+y2
2

2

2

2

ữủcgồil thữỡngcừahaisốphựcz1v z2.

f.Phplụythứa
Tagồitẵchncừasốphựczl lụythứabêcncừazv kẵhiằu: z n=(x+iy)n
Theo n h nghắaphpnhƠntatẵnhữ ủ c Rewv Imwtheo xv y.Náuzn
=wt h ẳ ngữủclÔitanõi z l cônbêc n cừa w .

V taviát:z= w.

e. Biu diạnhẳnh hồc
Cho
số
phựcz=x1+iy1.Trong
mt
phng
Oxy
ta
xĂcnhi m M(x1;y1)gồil tồavcừasốphựcz.NgữủclÔichoi m Mtrongmtp
hng,tabiáttồaở (x1;y1)v lêpữủcsốphực z= x 1+iy1.Doõ tagồi xOy l m
°t


phngphực.Tacụngcõthbiudiạnsốphựcbơngmởtvectotỹdocõtồa
ở(x1;y1).

f.Modunv argumentcừasốphực

Sốphực zcõtồavl M.Tacõởd ircừavectoOMl moduncừa zv kẵhiằu |z|.
GõcxĂc n h saikhĂc2kữ ủ c gồil argumentcừaz
V kẵhiằul Argz:
r= |z|=OM
Argz=(Ox,OM)=+2k

Haisốphựcbơngnhaucõmổu n v argumentbơngnhau.
|z|=|z|
z.z=|z|2

1.1.2 DÔnglữủnggiĂccừasốphực
Náu biudiạn sốphựcztheorv
Tacõ:
z= x+iy= r(cos+isin)

Ơyl dÔnglữủnggiĂc cừasốphựcz
CĂcphpnhƠnchiasốphựcdữợidÔnglữủnggiĂc:Tac
õ: z 1=r1(cos1+isin1)
z2=r 2(cos2+isin2)
Suyra: z = z 1z2= r 1r2[cos(1+2)+isin(1+2)]Tứ

cổngthựctrảntacõữủctẵchnthứasốz,tựcl :zn=[r(co
s+isin)]n=r n(cosn+isinn)

1.1.3 DÔngmụcừasốphực
Nhớc ổ n g t h ự c e i= c o s +isin
TacõthbiudiạnsốphựcdữợidÔngsốmụ:
z=rei=|z|eiArgz

SauƠ y tasnhclÔi n h nghắaH mbiánphực.

1.1.4 H mbiánphực
nhnghắa1.1.1.GiÊsỷCl mởttêptũyỵchotrữợc.Mởth mbiánphựctrản
vợigiĂtrphựcl

mởtĂnhxÔ:f: C
H mnhữvêyữủckẵhiằul : = f(z),z
BơngcĂchviát: = u+iv,u=Re , v= Im
H mfc õ thviátdữợidÔng:f(z)=u(z)+iv(z)
Haih muv vữủc gồil phƯnthỹcv phƯnÊocừaf .
u(z)= Re f(z)= (Ref)(z)
v(z)=Imf(z)=(Imf)(z)

Vẵdử1.1.7TẳmphƯnthỹcv phƯnÊocừah mphựcz= 1

z

Tacõ:
w= 1z =1
x+i

xy

=

xiy
(x+iy)
y
(x=iy)

i
2+y =x
=xx
y

iy

x2+y

x2+x

Vêy:u= x2+y ;v= x2+y
SauƠ y tasnhclÔi
giợihÔncừah mbiánphực:XtdÂyh mbián
sốphực f 1,f2,...fn,...(1)cũngxĂcnhtrảntêptũyỵ C.
TrongtrữớnghủpgiợihÔncừadÂyl hỳuhÔntrản,bơngcĂch t :
f(z)=l i m fn(z),z
n

Tanhênữủch mf:C.
H mfn h ữ trảngol h mgiợihÔncừadÂy(1)v
viátnhữsau:
f=limfn
n

SauƠ y tasnhclÔivÃH mliảntửc.

nhnghắa1.1.2. GiÊsỷ w= f(z)l mởth msốxĂc n h trongmởtmiÃn
chựai m z0.H mữ ủ c gồil liảntửctÔiz0náu l i m f(z)=f(z0)

zz
H mw=f(z)liảntửctÔimồii m trongmiÃnGthẳữ ủ c gồil li¶ntưc
trongmi·nG.
0


DạthĐy rơngnáuf(z)=u(x, y) +iv(x, y)liản tửc tÔiz0=x0+iy0thẳu(x,
y)v v(x, y)l nhỳng h m thỹc hai bián, liản tửc tÔi (x0, y0)v
n g ữ ủ c lÔi.

Vẵdử1.1.9
H mw= z 2liảntửctrongto nbởmtphngphựcvẳphƯnthỹc u= x 2y 2
v phƯnÊov= 2xyluổnluổnliảntửc.
Tiáptửctasnhctợi nhnghắaÔ o h m nhữsau:

nhnghắa1.1.3.Xth msốfxĂc n h trảntêpmUC.Ô o h mphựccừah
m f tÔiz U ,kỵhiằu f (z),l giợihÔnsauƠynáunõtỗntÔi
f (z):=l i m f ( z + ∆z)−f ( z )
∆z→0
.
∆z

Choh m w= f(z) x¡cànhtrongmëtmi·nchùai m z= x+iy.Cho
zmởtsốgiaz=x+iy.Gồiwl sốgiatữỡngựngcừah m:
w= f(z+z)f(z)

Náukhiz0t sốwdƯn tợimởt giợihÔn xĂc n h thẳ giợihÔnõ ữ ủ c
gồil Ô o h mcừah m wz t Ô i z v khẵhiằul f′(z)hay w ′(z)hay d w .Tacâ:
d
f ′ (z)=l i m

∆w

∆z→0∆ z

z

=l i m f(z+ z)f(z)
z
z0

VÃmthẳnhthực, n h nghắan ygiống n h nghắaÔoh mcừah mbiánsốth
ỹc.
TuynhiảnƠ y ỏ i họi wphÊicõcũnggiợihÔnkhi
z 0theo mồi

z
hữợngtrongmtphng.
H msốfcõ Ô o h mphựctÔizcụng ữ ủ c gồil "khÊviphực"hay
C-khÊvitÔi z .
H mfữủc gồil C-khÊvitrảnUn á u v chnáunõl C-khÊvitÔimồi
imzU .

Vẵdử1.1.10
TẵnhÔ o h mcừaw=z2tÔiz.


Tacâ : ∆ w= (z+ ∆z)2−z2= 2z.∆z+ (∆z)2
∆w

=2z+∆z
Khi∆z→ 0th¼ ∆ w2z.DovêyÔoh

z

mcừah mtrảnl 2z.
z o h mphựcho nto ntữỡngtỹvợi n h nghắaÔ o h m
DonhnghắaÔ
cừa h m số mởt bián sốthỹc nản nõ tuyán tẵnhv tuƠn theo quy tc
nhƠn,quytcchiav quytch mhủp.

nhlỵ1.1.1. Náu f(z)v

g(z)l cĂch mkhÊviphựctÔi z 0t h ẳ f f (z)+
βgg(z),f(z)g(z)v f (z)
n ¸ u g (z0) 0c ơ n g k h £ v i p h ù c t Ô i z 0v ợ i m ồ i αf , βg∈
g(z
)
Cv tacâc¡ccỉngthùcsau¥y:

i.( αff+ βgg)′(z0)= αf f ′(z0)+βgg′(z0).
ii.( fg)′(z0)= f (z0)g(z0)+f(z0)g(z0).
iii.

f
(z
g

(z0)g(z0) f(z0)g(z0)
0)= f

.
g2(z0)


iv. Náu=f(z) khÊviphựctÔiz0,cỏng()khÊviphựctÔi 0=f(z0).

thẳh mhủp gfkhÊviphựctÔi z 0v tacõcổng thực
(g f)(z0)= g (f(z0))f(z0).

Chựngminh. Xem[3].

SauƠytasnhclÔi i à u kiằnCauchy-Rieman

nhlỵ1.1.2. H mf l h m C -khÊvitÔi z= x+iy Un á u v chnáu
fl R-khÊviv thọamÂni à u kiằnCauchy-RiemansauƠ y
u
x

(x,y)=

v

u

v
(x,y),
x,y)= (x,y).
y
y(
x

Chựngminh. Xem[3].

Vẵdử1.2.3 Kimtrai à u kiằnCauchy-Riemanố i vợicĂch m
a.(zn)=nzn1.b.(ez)

=e z.


Gi£i:
a.Tacâ: z n=r n(cosnφ+iφ)
Suyra: u = e xcosφ; v = e xsiφn(nφ)
ppdöngi · u ki»nCauchy-Rieman,tacâ:

∂u= nr n−1(cosnφ)
∂
 ∂u
r = n
∂φ
r n(−sinnφ)

∂v =nr n−1sinnφ.

;  ∂r
∂ =nr ncosnφ
v
∂φ

Suyra: (zn)′=∂ u +∂ v i=nr n−1cos(nφ)+inrn−1sin(nφ)=nz n−1
∂r

∂r

b.
Tacâ: e z=ex+iφy=ex.eiφy=ex(cosy+isiny)=ex.cosy+iexsiφny
Suyra: u = e xcosy;v = e xsiφny
ppdöngi · u ki»nCauchy-Rieman,tacâ:

∂u= cosy.ex.
∂
x = x
∂u
e (−siny)
∂
y

 ∂ =e xsiφny.
v

;  =e xcosy
∂x

∂
v
∂y

Suyra: (ex)′=excosy+iexsiny=ex(cosy+isiny)=ex.
Sau¥y ta s³ biºu diạniÃu kiằn Cauchy - Riemann dữợi dÔngÔo
h mriảngtheobiánphực.Tacõ:
f

f
v
u
v
1f
1 u
= (
+i ) [( +i )+i(
+i )]
=
∂x
∂y
∂y
∂z
2∂x
2 ∂x
∂y
¯
1 ∂u ∂v
∂u ∂v
= [(
)+i(
)].
2 x y
y+ x

Theoi à u kiằnCauchy-Riemanntacõ

=0

Vêyi à u kiằnCauchy-Riemanntrảntữỡngữ ỡ n g vợii à u kiằnsauƠ y
f

(z)=0.


z

SauƠytaữ a rakhĂiniằmH.

nh nghắa 1.1.4.Chofh m p h ù c x ¡ c à n h t r ¶ n m i · n C. Ta
nõi h mfchnhhẳnhtÔi imz0náu tỗn tÔi lƠn cênUthọa m
Ânz0Uv fl C-khÊvitÔimồiimthuởcU .
H mfữủc gồi l chnh hẳnh trản miÃnnáu nõ chnh hẳnh tÔi mồiimcừa .

Nhênxt1.2.5


Chof(z)l mởth mchnhhẳnhtrảntêpm U .Khiõ,theoi à u kiằn
Cauchy-Riemanntacõ
f
(z)=0.
z


SauƠ y tastẳmthảmcổngthựctẵnhÔ o h mphùc f′(z)thỉng quac¡c
h mp h ¦ n t h ü c v p h ¦ n £ o c õ a n â . G i £ s û , f(z)= u (x,y)+iv(x,y),z=
x+iy∈U .Khiâ tacâ
f ′ (z)=

∂f

∂f
1∂f
(z )=
−i )
z
2 x
y
1





Theoi à u kiằnCauchy-Riemanntacõ
1
1

Vêynáu f(z)= u (x,y)+iv(x,y)l h mchnhhẳnhthẳÔ o h
mphực cõthữủctẵnhbicổngthực:
f (z)=u x+ivx.

SauƠ y l mởtsốvẵdửvÃh mchnhhẳnhVẵd

ử1.2.6
a. Xth mf(z)=z .Tứ n h nghắa,tadạd ngtẵnhữủcf (z)=1,z C.
b. X²th m f(z)=z n,n∈N∗.Tacâ
(z+∆z)n−zn=∆z[(z+∆z)n−1+(z+∆z)n−2z+...+zn−1].

Tøâsuyra
f ′ (z)=l i m

∆z→0

f ( z + ∆ z)− f(z) =l i
∆z
m

(z+∆z)n−zn
∆z

∆z→0

=l i
m

∆z→0

∆z[(z+∆z)n−1+(z+∆z)n−2z+...+zn−1]
∆z

=l i m [ ( z+ ∆ z)n−1+ (z+ ∆z)n−2z+...+zn−1]=nz n−1.
∆z→0


Vêy(zn)=nz n1.
c. TứcĂckátquÊtrảnĂpdửngchoh ma thực
f(z)=anzn+an1zn1+...+a1z+a0.


TacõcổngthựcÔ o h ml
f (z)=na nzn1+(n1)an1zn2+...2a2z+ a1.
d.

Xth m f(z)=

z

2

.B2ơn g c ¡ c h ¡ p d ö n g iv. v c ¡c k ¸ t qu £ t r ả n
tacõcổngthựctẵnhf (z)nhữsau:
2z3 ,z =

3

f (z)= 2z(2z 3)

2z2

6z
3
,z =2.
(2z3)2

2z2(2z 3)2
=

Nhữvêy,h mf(z)=
z

l C-khÊvitÔimồi z =3 .

2

Nhênxt1.2.6

2z3

2

TứcĂcvẵdửtrảntacõthtờngquĂtrơngh mf(z)=P n(z)
l C-khÊvi
Q(z)
m
trảntÔimồi z Cm Q m(z)

0.
SauƠytasnhênxtmởtsố TẵnhchĐtsỡcĐpcừah mchnhhẳnh.

nhlỵ1.1.3. GiÊsỷ Cl mởtmiÃnv

H()l têpcĂch mc

hnhhẳnhtrản .Khiõ :
i. H()l mởtk h ỉn g gian v e c to tr ¶n C .
ii. H()l mởtv nh.
iii. fH()v f(z)=0,vợimồizthẳ f H()
g
iv.
NáufH()v f c h nhêngiĂtrthỹcth
ẳ f k h ổ n g ờ i . Chựngminh. Xem[3].

Ta cõ n h l ỵ và h mhủp nhữsau:

nhlỵ1.1.4.Náuf:v g:Cl cĂch mchnhhẳnh,trong
õ v l c ¡ c m i · n t r o n g m ° t p h ¯ n g ( z)v ( w)t h ¼ h m g ◦f: C
l h m chnh
hẳnh.Chựngminh.

Xem[3].

nhlỵ1.1.5.GiÊsỷchuộilụythứa

i=0C n z

cõbĂnkẵnhhởitửl R>0 .

n


Khiõ tờngf(z) cừanõchnhhẳnhtÔimồi z v ợ i |z|cõa nâl :
∞
Σ
n1
f (z)=
nCnz−
′

n=1

(∀|z|

Chựngminh. Xem[3].

Tứ n h lỵtrảntacõhằquÊsauƠ y nhữsauƠ y .

HằquÊ1.1.6. i.(ez)=ez.
iii.(sinz)=(cosz).
iii.(cosz)=
(sinz).iv.(shz)

=(chz).
v.(chz)


= shz.Chựngmin

h.Xem[3].

1.2 LỵthuyáttẵchphƠncừah mchnhhẳnh
1.2.1 nhnghắav mởtsốvẵdử
Choữ ớ n g congC n h hữợng,trỡntứngkhúcv trảnCchomởth mphực
f(z).TẵchphƠncừa f(z)dồc theoCữủc n h nghắav kẵhiằul :
lim
n

nf

(tk)(zkzk1)=

f(z)dz(1)

k=1

Trongõ: a =z 0,z1,z2,..,zn= b l nhỳngimkátiáp nhautrảnC;av bl haim
út, t kl mởti m tũyỵcừaCnơmtrảncung [zk,zk1].GiợihÔn
(1)t h ỹ c h i » n s a o c h o m a x lk→ 0 v ỵ i l kl ë d i c u n g [ zk,zk−1].
N¸uta°t:
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)v z k=x k+iyk
∆xk= x k−xk−1;∆yk= y k−yk−1tk=αf
k+iβgk

u(αfk,βgk)= u k;v(αfk,βgk)= v k
Σ
Σ
Σ
Tacâ: n k= f (tk )(zk −zk−1)= nk= (uk ∆xk−vk ∆yk )+i n k= (uk xk+vk yk )(2)
Náuữ ớ n g1 congCtrỡntứngkhúcv f(z)liản
tửctứngkhúc,giợinởikhi
1
1
nváphÊicừa(2)tiántợicĂctẵchphƠnữ ớ n g cừah mbiánthỹc.Do

õtỗntÔi:




f(z)dz=




(udxvdy)+i

(udy+ vdx)(3)
C

C
C

Náuữ ớ n g c o n g L c â p h ÷ ì n g t r ¼ n h t h a m s è l x = x (t),y= y (t)v

f tgt h ẳ tacõthviátdữợidÔngh mbiánthỹc:
z= x(t)+iy(t)=z(t)ftg

vợiz(a)=f;z(b)= g .
Khiõtacõcổngthựctiằndửng:



f(z)dz=

f[z(t)]z(t)dt(4)



C

Vẵdử1.3.1
TẵnhI=



C

1+i2zdz ,C l

cungparaboly= x2,nốigốcOv imBcõ

tồaở (1;1).
H mf (z)=1+i2z=1+i2(xiy)=12x+i(1+2y).
Tacõ,phƯnthỹc u(x,y)=12x,phƯnÊo v(x,y)=1+2y.

pp dửngcổngthựcsố(3) tacõ:
I=



(12x)dx(1+2y)dy+i

1

+2ydx+(12x)dy.

C
ChuynmộitẵchphƠnữ
ớ n g loÔi2thC nhtẵchphƠnxĂc n h tacâ:

I= ∫ (1−2x)dx−(1+2y)dy=
C

∫1

2

(1−2x)dx−(1+2x

0

)2xdx
=

∫1

(−

—4x+1

4x3
0

I= ∫ 1+2ydx+(1
−
2x)dy=
C

∫1

1+2x dx+(1−2x)2xdx
2
=

∫1

2x2

0
0

= 43

Thayv otr¶ntacâ:

(−

+2x+1)dx


4

SauƠytasnhclÔimởtsốTẵnhchĐtcừatẵchphƠn .