MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI

ĐẠIHỌCĐÀNẴNGTRƯỜNG
ĐẠIHỌCSƯPHẠMKHOATỐN

KHĨALUẬN

TỐTNGHIỆPĐẠIHỌC
Đềtài:

MỘTSỐKẾTQUẢVỀHÀMĐIỀUHỊ
ADƯỚI

Sinhviênthựchiện:
PHANNGỌCPHƯƠNGQUỲNHLớ
p18ST
Giảngviênhướngdẫn:

TS.HỒNGNHẬTQUY

ĐàNẵng,12–2021


ĐẠIHỌCĐÀNẴNGTRƯỜNG
ĐẠIHỌCSƯPHẠMKHOATỐN

KHĨALUẬN

TỐTNGHIỆPĐẠIHỌC
Đềtài:

MỘTSỐKẾTQUẢVỀHÀMĐIỀUHỊ
ADƯỚI

Sinhviênthựchiện:
PHANNGỌCPHƯƠNGQUỲNHLớ
p18ST
Giảngviênhướngdẫn:
TS.HỒNGNHẬTQUYCánbộphảnbiện:
TS.CHỬVĂNTIỆP

ĐàNẵng,12–2021


Mụclục
MỞĐẦU

3

Chương1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
5
1.1 Hàm biếnphức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.1 Sốphứcvàmặtphẳngphức
.. . . . . . . . . . . .
5
1 . 1 . 2 C á c k h á i niệmcơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2 Hàmchỉnhhình,hàmđiềuhịavàmộtsốkếtquảcơbản. .
8
1.3 Hàm nửa liên tụctrên..................................................................16
Chương2 MỘTSỐKẾTQUẢVỀHÀMĐIỀUHỊADƯỚI
22
2.1 Hàm điều hịadưới và cáctính chất cơbản...................................22

2.2 Một số kết quả về hàm điềuhòa dưới..........................................25
2.2.1 Nguyên lý cực đạicủa hàm điều hòadưới........................25
2.2.2 Tính khả tíchcủa hàmđiều hịadưới.................................31
2.2.3 Tính lồi củahàm điều hịadưới.........................................33
KẾTLUẬN

41

Tài liệu tham khảo

42


MỞĐẦU
1. Lý dochọn đềtài
Giải tích phức là một trong những chun ngành cổ điển của tốn
học,có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khác của tốn học, nó bắt
nguồn từkhoảng thế kỷ XIX. Đối tượng nghiên cứu của Giải tích phức là
các hàmchỉnh hình, hàm điều hịa, hàm điều hịa dưới, hàm điều hịa trên.
Dựa trênsựpháttriểncủaGiảitíchhàm,Giảitíchphứcđãmởrộngnghiêncứusangcác
lớpánhxạgiữacáckhơnggiantopophứcvơhạnchiều,đặcbiệtlàcáckhơnggianđịnhchuẩn.Đâylàcáclớphàmcónhiều
ứngdụngtrongtốnứng dụngnói chungvà trongvật lýtốn nóiriêng.
Trong các lớp hàm là đối tượng nghiên cứu của Giải tích phức, thì
lớphàm điều hịa dưới là lớp hàm rộng và có nhiều ưu điểm hơn cả. Hàm
điềuhịadướiđượcmởrộngvàcómốiliênhệchặtchẽvớicáchàmlồi.Vàđâycũnglàlớphàmmềmmạihơncác
hàmchỉnhhìnhthểhiệnởmộtsốđiềukiện rằng nó chỉ u cầu thỏa mãn tính nửa liên
tục
trên
và
thỏa

mãn
bấtđẳngthứctrungbình(tíchphân)dưới.Vìnhữnglýdonàymàlớphàmđiềuhịa dưới có
nhiềuứngdụngcảvềmặtlýthuyếtvàứngdụng.Vớimongmuốn tìm hiểu sâu hơn về lớp hàm
thú vị này, và dưới sự hướng dẫn khoahọc của thầy giáo TS. Hoàng Nhật
Quy, em đã chọn đề tài: "MỘT SỐKẾT QUẢ VỀ HÀM ĐIỀU HÒA
DƯỚI".
Đề tài sẽ tập trung nghiên cứu các kết quả sau về hàm điều hịa
dưới.Thứnhấtlànghiêncứuvềngunlýcựcđạicủahàmđiềuhịadưới.Đâylàngun lý
quantrọngđãcótrêncáclớphàmchỉnhhìnhvàhàmđiềuhịa.Thứ hai là nghiên cứu về tính khả
tích
của
lớp
hàm
điều
hịa
dưới.
Tínhchấtnàychứngtỏrằnglớphàmđiềuhịadướinằmtronglớpcáchàmkhả

3


GVHD:TS.HồngNhậtQuy

SVTH:PhanNgọcPhươngQuỳnh

tích địa phương - là lớp hàm có nhiều ứng dụng trong cả lý thuyết và
ứngdụng. Cuối cùng là nghiên cứu về tính lồi của của hàm điều hịa dưới
vàcác đạilượng trungbình củahàm điềuhịa dưới.
2. Mụcđíchnghiêncứu
Mụctiêunghiêncứucủađềtàilàcáctínhchấtcủahàmđiềuhịadướinhưng

unlýcựcđại,tínhkhảtíchvàtínhlồicủalớphàmđiềuhịadưới.
3. Đốitượngvàphạmvinghiêncứu
• Đốit ư ợ n g n g h i ê n c ứ u : H à m n ử a l i ê n t ụ c t r ê n , h à m đ i ề u h ò a , h
à m chỉnhhình,hàmđiềuhịadưới.
• Phạmvi n g h i ê n c ứ u: Đ ề t à i th uộ c l ĩ n h v ự c ng hi ê n c ứ u n g à n h to á
nGiảitíchphức.
4. Phươngphápnghiêncứu
• Nhận đềtàitừthầygiáo hướngdẫn;
• Tìmcáctàiliệuliênquanđếnlĩnhvựcnghiêncứucủađềtài;
• Thamgiaseminarvớithầygiáohướngdẫnđểhiểu,xâydựngvàhồn
thiện vềvấnđềnghiêncứu;
• Hồnthànhkhóaluậnnghiêncứucủađềtài.
5. Cấutrúcđềtàikhóaluận
Cấutrúccủakhóaluậngồmcácphầnchínhsauđây:
• Mở đầu.
• Chương1.Kiếnthứcchuẩnbị.
• Chương 2. Một số kếtquả về hàm điềuhịa dưới.
• Kếtluận
• Tàiliệu tham khảo


Chương1
KIẾNTHỨCCHUẨNBỊ
Nội dung của chương này là nhắc lại các khái niệm và một số kết
quảcơ bản về số phức, hàm biến phức, hàm chỉnh hình, hàm điều hịa và
hàmnửa liên tục trên. Đây là những kiến thức chuẩn bị cho việc trình bày
cáckết quả ở chương 2 về hàm điều hòa dưới. Các nội dung trong chương
nàyđượcthamkhảotrong cáctàiliệu[1],[2],[3]và[8].

1.1

Hàmbiếnphức

1.1.1

Sốphứcvàmặtphẳngphức

a. Sốphức
Sốp h ứ c z đ ư ợ c b i ể u d i ễ n d ư ớ i d ạ n g x +iy,v ớ i x ,y∈Rvài l à đ ơ n v ị ảo,
thỏamãn điềukiệni2=−1.
• Số thựcxđược gọi là phần thực của sốphứcz, kí hiệu làRez=x.
• Số thựcyđượcgọi là phần ảocủa số phứcz,kí hiệu làImz=y.
• TậphợpsốphứcđượckíhiệulàC.
b. Mặtphẳngphức
Giả sử trên mặt phẳngR2cho một hệ tọa độ vng gócxOy. Mỗi
điểmM∈R2được xác định bởi hồnh độxvà tung độycủa nó. Điều này
chophép talậpđược tươngứng1−1giữacácđiểm củamặtphẳngR2v ớ i các
sốphứcz∈C:
M(x,y)∈R2 ›→x+iy=z∈C.


GVHD:TS.HoàngNhậtQuy

SVTH:PhanNgọcPhươngQuỳnh

Mặt phẳngR2cùng với một tương ứng như vậy được gọi là mặt
phẳngphức.NhưvậymộtđiểmM(x,y)∈R2c ó thểđượccoilàmộtsốphứcnếuđồn
gnhấtnóvớiz=x+iy.
1.1.2

Cáckháiniệmcơbản

a. Lâncận và tập hợp mở
Đĩamởtâmz 0∈C,bánkínhr>0đượckíhiệulà∆(z0,r)={z∈C:
|z−z0 |TậpA⊂Cđượcgọilàlâncậncủamộtđiểmz 0∈Cnếutồntạir>0
saocho∆(z0,r)⊂A.
TậpA⊂Cđượcgọi làtập mởnếu vớimọiz0∈A, tồntạir=r(z0)>0sao
cho∆(z0,r)⊂A.
Nhậnxét:
• Tập mởA⊂Ckhivà chỉ khitậpAlà lâncận của mọiđiểm thuộcnó.
• Đĩamở∆(z0,r)làtậpmởvớimọiz0∈Cvàmọir>0.
• 0/,Clàcáctậpmở.
• Hợptùcáctậpmởlàtậpmở.
• Giaomộthọ hữuhạn cáctập mởlàtập mở.Tuy nhiên,giao tùcác
tậpmởcóthểkhơngmở.
b. Tậphợpđóng
TậpA⊂Cđược gọilàtậpđóng nếuphầnbùcủanóC\Alàtậpmở.
Nhậnxét:
• 0/,Clà các tập đóng.
• Giaotùcáctậpđónglàtậpđóng.
• Hợpmộthọhữuhạncáctậpđónglàtậpđóng.Tuynhiên,hợptù
cáctậpđóngcóthểkhơngđóng.
c. Điểmtrongcủamộttập
Giả sửAlà tập hợp điểm trong mặt phẳng phứczvàz0là một
điểmthuộcA.Nếu tồn tại một sốεlân cận củaz0nằm hoàn tồn
trongAthìz0đượcgọi là điểm trong của tậpA.
d. Biêncủamộttập

Khóaluậntốtnghiệp

6


Điểmξt h u ộ c Ahaykhơngthuộc Ađược gọilà điểmbiêncủatập A
nếumọihìnhtrịntâmξđ ề u chứacảnhữngđiểmthuộcAvàkhôngthuộc
A.Tập hợp các điểm biên của tậpAđược gọi là biên của tậpA.Nếu
điểmηkhơng thuộcAvà tồn tại hình trịn tâmηkhơng chứa điểm nào
củaAthìηđược gọilà điểmngồi của tậpA.
Ví dụ: Xét tậpAlà hình trịn|z|<1. Mọi điểm củaAđều là điểm
trong.BiêncủatậpAlàđườngtrịn|z|=1.Mọiđiểm|η|
>1làđiểmngồicủaA.
e. Chutuyến
MộtđườngcongLcóđiểmđầuvàđiểmcuốitrùngnhauđượcgọilà
đường cong kín. Đường cong khơng có điểm tự cắt, tức là khơng tồntạit1,t2∈ (a,b)đểϕ(t1)
+iψ(t1)
=ϕ(t2)
+iψ(t2)vàϕ(t1)
+iψ(t1)̸=ϕ(a)
+iψ(a)đượcgọilàđườngcongJordanhaygọilàchutuyến.
f. Miền,miềnđơnliên,miềnđaliên
• TậpU⊂Cđược gọi là mộtmiềntrên mặt phẳng phức nếu nó thỏamãn
hai điều kiện sau đây:
(i) Ul à tậpmở.
(ii)
Ul à tậpliênthơng,nghĩalàquahaiđiểmtùthuộcU,baogiờcũngc
óthểnốichúngbằngmộtđườngcongliêntụcnằmgọntrongU.
• MiềnUđược gọi làmiền đơn liênnếu với mọi chu tuyếnγ⊂Utađều
cóUγ⊂U.
Ta nhận thấy nếu bổ sung vào∂Ucác đườngl1,l2, . . .thì miền thu được

làmiền đơn liên.
• MiềnUđ ư ợ c g ọ i l à m i ề n đ a l i ê n n ế u t ồ n t ạ i c á c c h u t u y ế n γ 1,γ2,...
saochocácmiềnUγ1,Uγ2,...k h ô n g baohàmtrongU.
g. Hàmbiếnphức
Định nghĩa: Giả sửU⊂Clà một tập tùy ý cho trước. Một hàm
biếnphứctrênUvớigiátrịphứclàmộtánhxạf:U−→C.Hàmnhưvậyđượckíhiệu
làω=f(z)vớiz∈U.
Vớiz∈Uta viếtz=x+iy,x,y∈R. Khi đó, hàmf(z)có thể coi là
≃
hàmhaibiếnx,ycũngxácđịnhtrênU∈R2 C.Vàtanóihàmf ∈ Ck(U)nếunó
cóđạo hàmriêng theocác biếnx,yliên tụcđếncấpk.


1.2

Hàmchỉnhhình,hàmđiềuhịavàmộtsốkếtquảcơbản

Định nghĩa 1.2.1.Cho hàm sốfxác định trên miềnU⊂C.Đạo hàmphức của
hàmftạiz∈U, kí hiệu làf′(z), là giới hạn sau đây nếu nó tồntại
f′(z):=l i m f(z+∆z)−f(z)

z,z+∆z∈U.
,
Hàmsốf c ó đ ạ o hàm phứctạizđượcgọi
∆ làkhả viphức hayC- khảvi tại
z.
z
Hàmsốf đ ư ợ c gọilàC-khảvitrênUn ế u vàchỉnếunólàCkhảvitạimọiđiểmz∈U.
Taviếtf (z)=u(x,y)+v(x,y),z=x+iy∈U.Hàmf đ ư ợ c gọilàR2 khả
vitạiz=x+iynếuvàchỉnếucáchàmu(x,y),v(x,y)khảvitại(x,y)theo

địnhnghĩacủahàmthựcnhiềubiến.
∆z→0

SauđâylàđịnhlývềmốiquanhệgiữahàmC-khảvivàhàmR2- khảvitạiz.
Định lý 1.2.2.H à m f l à C-khảvitạiz=x+iy∈Un ế u vàchỉnếuf l à
R2 khảvitạizvàthỏamãnđiềukiệnCauchy-Reimannsauđây


∂y(

x,y)=−

∂x(

x,y).

∂u(

∂x
∂

u

∂ v(
x,y)=
x,y);
∂y
∂
v

SauđâytabiểudiễnđiềukiệnCauchy-Reimanndướidạngđạohàmriêngtheobiến
phức. Ta có:
∂
∂u
∂u
∂f
f ∂f
∂v
∂v
∂ (z)=1 2+ i∂ = 1∂ +i 2+ i ∂+i ∂
∂
∂
z
x
y
x
x
y
y
∂u
∂u
1
2 =∂
∂ + i +∂v
∂
∂
−∂v
x
y
y

x
=0
(ápdụngđiềukiệnCauchy-Reimann).


VậyđiềukiệnCauchy-Reimannởtrêntươngđươngvớiđiềukiệnsauđây:
∂f
∂z(

z)=0.

Định nghĩa 1.2.3.Hàmfxác định trong miềnU⊂Cvà nhận giá trị
trongCđược gọi là hàm chỉnh hình tạiz0∈Unếu tồn tạir>0 để hàmflàCkhảvitạimọiz∈B(z0,r)⊂U.
Hàmf đ ư ợ c gọilàchỉnhhìnhtrênUnếunóchỉnhhìnhtạimọiđiểmz∈U.
Nhận xét 1.2.4.Chof(z)là một hàm chỉnh hình trên miềnU⊂C.Khiđó,
∂ f(
theođiềukiệnCauchy-Reimanntacó: z)=0.
∂z
Định
nghĩa
1.2.5.ChoUlà
một
tập
mở
trongC.
2
Hàmh:U−→Rđượcgọilàđiềuhịanếuh∈C (U)và∆h=0trênU.Trongđó,
∆hlàtốntử
∂2h ∂2h:
Laplaceđượctínhbằngcơngthứclà∆h:

h
h
yy.
= 2
+
x x
2
+
=
∂x ∂y
Kếtquảsauđâychotamốiliênhệgiữahailớphàmđiềuhịavàhàmchỉnhhình,làcơngcụđể
xâydựngcáchàmđiềuhịakhibiếthàmchỉnhhìnhvàngượclại.Hơnnữa,từmốiliênhệnàygiúpchúngtachứngminh
cáckếtquảcủahàmđiềuhịadựatrênnhữngkếtquảđãbiếtcủahàmchỉnhhình.
Địnhlý1.2.6.C h o DlàmộtmiềntrongC.Khiđó
(a). Nếuf l à hàmchỉnhhìnhtrênDvàh:=Reft h ì hlàhàmđiềuhịatrên
D.
(b). Nếu h là hàm điều hòa trên D và D là một miền đơn liên thì tồn
tạihàmchỉnhhìnhf t r ê n Dsaochoh=Ref.Hơnnữa,hàmf l à duynhấtsaikhác một
hằngsố.
Chứng minh.(a). Giả sửflà hàm chỉnh hình trênD. Ta
viếtf=h+ik,ởđóh,klà các hàm thực hai biếnx,yvớiz=x+iy∈D.Doflà chỉnh
hìnhtrênDnên cáchàmh,k∈C2(D)vàthỏa mãn điều kiệnCauchy Reimann(C-R):hx=kyvàhy=−kx.Vì vậy,tacó:
∆h=hxx+hyy=(hx)x+(hy)y=(ky)x+(−kx)y=kxy−kyx=0.


GVHD:TS.HồngNhậtQuy

SVTH:PhanNgọcPhươngQuỳnh

VậyhlàhàmđiềuhịatrênD.

(b).•Tính duy nhất sai khác hằng số của hàmf: Giả sử, tồn tại hàmchỉnh
hìnhftrênDsao cho:h=Re f.Ta viết:f=h+ik.Khi đó, theođiều kiện (C- R)ta
có:
f′=hx+ikx=hx−ihy.

(1.1)

Từ cơng thức (1.1) ta có, nếu hàmftồn tại thì hàmf′hồn tồn được
xácđịnhbởi hàmh.Vì vậy, hàmf l à d u y n h ấ t s a i k h á c m ộ t h ằ n g
số.
• Sựtồntạicủahàmf :Từcôngthức(1.1)chotaphươngphápđểxâydựng
hàmf n h ư s a u :
Bước 1: Xác địnhhàmg:D−→Cbởicơng thứcg=hx−ihy.
Doh∈C2(D)nêng∈C1(D)vàgthỏamãnđiềukiện(C-R).Thậtvậy,
(hx)x=hxx=−hyy=(−hy)y
(hx)y=hxy=hyx=(hy)x=−(−hy)x
VậyglàhàmchỉnhhìnhtrênD.
Bước2:Cốđịnhđiểmz0∈D.Taxácđịnhhàmf:D−→Cbởicơngthức
(fz)= (hz0)+ ∫zgω
( d)ω .
z

0

Tíchphânởđâyđượclấytheomộtđườngbấtkỳnốiz0vớizvànằmtrong
D.DoglàhàmchỉnhhìnhvàDlà
miềnđơnliênnêntheođịnhlýCauchy,tacótíchphântrênkhơngphụthuộcvàođư
ờngnốiz0vớizvànằmtrong
D.Ta cóf ′=g=hx−ihynên suy raf l à h à m c h ỉ n h h ì n h t r ê n D.
˜

TacịnphảichứngminhRef=h.Thậtvậy,giảsửh=Ref.Taviếtf=
˜
h+i˜k.Tac
ó:
f′=h˜x+ik˜x=h˜x−ih˜y .
Từđâysuyra,Su
h˜x−ih˜y= hx−ihy ,
trênD.
yra,
(˜h−h)x≡0 và (˜h−h)y≡0.
Từđâysuyra,h−h=ctrênDvớiclà
mộthằng số nào đó.
˜
Từcơngthứcxácđịnhhàmf t a có:f (z0)=h(z0)∈R.
Khóaluậntốtnghiệp

10


˜
Mặtkhác,tacóf (z0)=h(z˜0)+ik(z˜
0).Suyrak(z0)=0vàh(z0)=h(z0).
˜
˜
Vậytacóc=0vàh=htrênD,tứclàRef=h.□
Nhận xét 1.2.7.Nếuflà hàm chỉnh hình trên miềnDthìk:=Im fcũng làhàm
điều hịa. Thật vậy, ta viếtf=h+ik,dofchỉnh hình nênk∈C2(D)và∆kđược
tính như sau:
∆k=kxx+kyy=(kx)x+(ky)y=(−hy)x+(hx)y=−hyx+hxy=0.
Định lý 1.2.8.(Tính chất giá trị trung bình) Cho h là một hàm điều

hịatrênmộtlâncậnmởcủađĩađóng∆(ω,ρ).Khiđótacó
1∫
hω
( )= 2πhω ( + ρeeiθdθ
) .
0
2π
′>
Chứngminh.Chọnρe ρsaochohlàhàmđiềuhịatrênđĩamở∆(ω,ρ′).Áp dụng
Địnhlý1.2.6(b),tồn tại hàm chỉnh hìnhf t r ê n ∆(ω,ρe ′ )sao choh=Ref.
ÁpdụngcơngthứctíchphânCauchychohàmf t a có:
1∫
f(ξ)dξξ
f(ω)=
(Đặtξ= ω+ρeeiθ,0≤θ≤ 2π)
2πi| ξ−ω|=ρeξ −ω
∫2

π
=21
f(ω+ρee iθ )dθ
π 0
Taviếtf = h+ik.Suyraf (ω)=h(ω)+ik(ω)vàf (ω+ρeeiθ)=h(ω+ρeeiθ)
+ik(ω+ρeeiθ).Thay vào công thức trên, rồi đồng nhất phần thựchaivế với
nhau ta có:
1∫
hω
2πhω
ρeeiθdθ
() =

0
( +
) .
2π
□

Địnhnghĩa1.2.9.
( a ) . N h â n P o i s s o n P :∆ (0,1)×∂∆(0,1)−→Rđ ư ợ c địnhnghĩabởicông
thứcsau:
ξ
+z
1−|z|2
Pz ξ :
z 1ξ
1
Re
(,) =
(||< ,|| =) .
ξ−z =|ξ−z|2


(b). Đặt∆=∆(ω,ρe).Choφ:∂∆−→Rlà hàm khả tích Lebesgue. Khiđó, tích
phân Poisson của hàmφlà hàmP∆φ:∆−→Rxác định bởi côngthức sau:
Pφz :
∫ 2π z
1
−ω
∆ ( ) =2
P
π 0

eiθφω

( +

ρe,
Cụ thểhơn,đặtz=ω+reitvớir<ρvà0≤t<2πtacó:
2− 2
∫ 2π
ρe
r
Pφω
i
1
tre
(
+
∆

)=

2π
0

z∈∆
(
)
.

ρeeiθdθ

)

φω

ρe 2 − 2ρercos(θ− t)+r2

(
)
.

ρeeiθd θ
+

SauđâylàmộtsốtínhchấtcơbảncủanhânPoisson.
Bổđề1.2.10.N h â n PoissonPthỏamãncáctínhchấtsauđây:
(i).P(z,ξ)>0,
(|z|<1,|ξ|=1);
1 ∫ 2πP
(ii).
(z,eiθ)dθ= 1,
(|z|<1);
0
π
2
(iii).sup|ξ−ξ0|≥δP (z,ξ)−→0khiz→ξ0với(|ξ0|=1,δ> 0).
Chứngminh.(i).DễthấytừcơngthứcxácđịnhnhânPoisson.(ii).
Biếnđổi vếtrái củađẳng thứcta có:
1 ∫2 πe iθ
∫2 π e iθ
∫2

iθ
1
+z
+z
1 π
e dθ
Re
dθ
Re
dθ
Pz (,
=2
=
iθ
iθ
2π 0
π 0
e −z
2π 0 e − z
)
1∫
ξ+zdξ
=Re
(ξ= eiθ⇒ dξξ= iξdξθ)
2πi|ξ|=1ξ−z ξ
1∫
−
=Re
1d ξ
2

2πi |ξ|=1 ξ−z
ξ
=Re(2−1)
(ÁpdụngcơngthứctíchphânCauchy)
=1.
(iii).Cốđịnh|ξ0|=1vàδ> 0.Vớimọi|ξ−ξ0|≥δt a có:
|ξ−z|=|(ξ−ξ0)+(ξ0−z)|≥|ξ−ξ0|−|ξ0−z|≥δ−|z−ξ0|.
Suyra,
P(z,
ξ

1−|z|2
1−|z|2
)=
0
∀|ξ−ξ0|≥0,|z−ξ0|<δ.
|ξ−z|2≤ (δ−|z−ξ |)2,


Suyra
sup
|ξ−ξ0|≥δ

Suyra
lim

z2
—|| ,∀|z−
P(z, )≤(
δ−|z−ξ0|)2

ξ

sup

z→ξ0| ξ−ξ |≥δ
0

1

Pzξ
(,)≤

ξ0|<δ.

1−|z|2

lim
0

0

=.

|)2

(δ−|z−ξ0

z→ξ

Đánh giá trên đây kết hợp với(i) ta có:

lim

sup

P(z,ξ)=0.

z→ξ0| ξ−ξ |≥δ
0

□
NghiệmcủabàitốnDirichlettrênđĩađượckhẳngđịnhbởiđịnhlýsau
đây.
Định lý 1.2.11.Với các giả thiết và ký hiệu như trong Định
nghĩa1.2.9,tacócáckhẳngđịnhsauđây:
(a).
P∆φl à hàmđiềuhịatrênđĩa∆;
(b).
Nếuφl à hàmliêntụctạiξ 0∈∂∆thìlim z→ξ0P ∆φ(z)=φ(ξ0).
Đặc biệt, nếu φ là hàm liên tục trên ∂∆thì hàm h:=P∆φ là nghiệm
củabàitốn Dirichlet trên đĩa∆.
Chứngm i n h . T r ư ớ c h ế t t a c h ú ý r ằ n g , n ế u d ù n g p h é p đ ổ i b i ế n a
f f i n e z=f(z′) =ρez′+ωthìfbiến đĩa∆(0,1)thành đĩa∆(ω,ρe).Khi đó,
thayhàmφ: ∂∆(ω,ρ)−→Rbởihàmφ◦f: ∂∆(0,1)−→Rthìcácmệnhđềtrong
định lý có thể được phát biểu trên đĩa đơn vị∆(0,1).Do đó,
khơngmấttínhtổngqttacóthểgiảthiếtrằngω=0vàρe=1.Đặt∆=∆(0,1).
(a).Vớimọiz∈∆tacó:
eiθ
∫
∫2
iθ

1 2π
+z
1 π
i
Pφz
φe
d
θ
eiθd θ
θ
e
Re
φ
Pz
(
=2
iθ− z
0)
(, )(
∆( )=
e
π
)
0
2π 1 ∫2 πe iθ+
z
iθ
=Re 2π 0
)dθ .

GVHD:TS.HồngNhậtQuy

Đặt

SVTH:PhanNgọcPhươngQuỳnh

∫

1 2 πe iθ+z
gz :
eiθdθ
z ∆
φ
, .
(
)
∈
()=
iθ− z
e
2π
0
Từcáctínhchấtcủatíchphânphụthuộcthamsốtasuyra,glàhàmchỉnh
hìnhtrên∆.TừđóápdụngĐịnhlý1.2.6,tasuyraP ∆φl à hàmđiềuhịatrên∆.
(b). ÁpdụngBổđề1.2.10(i)và(ii)tacócácđánhgiásauđây:
|Pφz

∆

()

∫ 2π

—φξ
.1
|
=2
(0 )
. π
=

1
.2.π

θi

e

Pz

φe

(,

0

∫ 2π

iθ

iθ

)(
)
h

dθ−

2πPz

2π
iθ

)φ(e

P(z,

1∫

eiθφ ξ

0

. (,

i

.
.

dθ..

)( 0 )

)−φ(ξ0)dξ θ

e
≤

1∫

0

2πPz

θe

.dξθ

.

i

φe iθ
.

( ).
—φξ

2π

Khóaluậntốtnghiệp

0

(,

)

(

)

0

.

14


GVHD:TS.HồngNhậtQuy

2
π

|eiθ−ξ0|<δ

(,

). (

SVTH:PhanNgọcPhươngQuỳnh

)

( 0 ).

2
π

0

(,

Lấyε>0tù.Doφl i ê n tụctạiξ0nêntồntạiδ> 0saocho
ξξ

∀ξ∈ ∂∆,|ξ−ξ0|<δtacó| φ(ξ)−φ(ξ0)|<ε.

)

= .

ÁpdụngBổđề1.2.10(i)và(ii)tacóđánhgiásauđâyvớiξ= eiθ,
1

∫

Khóaluậntốtnghiệp

15


1∫
.dξθ
SVTH:PhanNgọcPhươngQuỳnh
≤
2πPz
eθ i

GVHD:TS.HồngNhậtQuy

. iθ
φe

Pze i

Khóaluậntốtnghiệp

—φξ

εdθ

ε

16


GVHD:TS.HồngNhậtQuy

SVTH:PhanNgọcPhươngQuỳnh
′>
Mặtkhác,ápdụngBổđề1.2.10(iii)tacótồntạiδ
0saocho

Khóaluậntốtnghiệp

15


GVHD:TS.HồngNhậtQuy

(,

Khóaluậntốtnghiệp

). (

SVTH:PhanNgọcPhươngQuỳnh

)

( 0 ).

2
π

0

.

.

18


GVHD:TS.HồngNhậtQuy

Khóaluậntốtnghiệp

SVTH:PhanNgọcPhươngQuỳnh

15