CÁC ĐIỀU KIỆN HữU HẠN TRÊN VÀNH

ĐẠIHOCĐÀNȀNG
TRƯÍNGĐẠIHOCSƯPHẠM

TRƯƠNGCƠNGQUỲNH

GIÁOT R Ì N H

CÁCĐIEUKI›NHữ
UHẠNTRÊNVÀNH

ĐÀNȀNG-NĂM2021

1


PGS.TS.TRƯƠNGCƠNGQUỲNH

GIÁOT R Ì N H

CÁCĐIEUKI›NHữ
UHẠNTRÊNVÀNH
(Tàili»udànhchohocviênNgànhTốn)

ĐÀNȀNG-NĂM2021



Mnclnc
LÍINĨIĐAU

vii

DANHMỤCCÁCKÝHI›U

1

DANHMỤCCÁCTHUŠTNGữ

2

Chương1. Iđêannguy ênt o
4
1.1 Iđêanngunto
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.1 Định nghĩa và m®t so tínhchat .. . . . . . . . . . . .
4
1.1.2 Iđêannguyêntocựctieu. . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2 Iđêannảanguntovàtínhlũylinh...............................................10
1.2.1 Địnhnghĩavàcáctínhchat.................................................10
1.2.2 Cănngunto....................................................................14
1.3 Linhhóatảvàiđêannguntoliênket..........................................16
1.3.1 Linhhóatả.......................................................................16
1.3.2 Mơđuntrungthành..........................................................17
1.3.3 Iđêannguntoliênket.........................................................19
1.4 CănJacobson,vànhngunthủyvànảangunthủy...................20
1.4.1 Vànhngunthủy.............................................................20
1.4.2 CănJacobson........................................................................22
1.4.3 Vànhnảangunthủy.......................................................25
BàitªpChương1.................................................................................26

Chương2. Mơđunnfiađơn, Art in vàNơte
28
2.1 Mơđunvàvànhnảađơn.................................................................28
2.1.1 Mơđunnảađơn..................................................................28
2.1.2 Vànhnảađơn,ĐịnhlýWedderburn-Artin........................30
2.2 MơđunNơte.......................................................................................31
2.2.1 Địnhnghĩavàm®tsotínhchat..............................................31
2.2.2 Mơđunhǎuhạnsinh...........................................................33
2.2.3 ĐịnhlýcơsởcủaHilbert........................................................35
2.2.4 M®tsolớpvànhNơte................................................................36
2.3 MơđunArtin......................................................................................39
2.3.1 Địnhnghĩa,m®tsotínhchat.................................................39
2.3.2 Mơđunhǎuhạnđoisinh.. . . . . . . . . . . . . . . . 40
iv


2.4
Bài

2.3.3 ĐịnhlýHopkins-Levitzki.. . . . . . . . . . . . . . . .
Đ®dàicủamơđun
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Định lý Jordan-Holder .. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Mơđuncódãyhợpthành.. . . . . . . . . . . . . . . .
tªpChương2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41
44
44
45

47

Chương3. Baon ë i x ạ
49
3.1 Mơđunn®ixạvàmởr®ngcotyeu.........................................................49
3.1.1 Mơđunn®ixạ..............................................................................49
3.1.2 Mởr®ngcotyeu....................................................................53
3.1.3 Baon®ixạ...................................................................................55
3.2 Mơđuncóhạnghǎuhạn.................................................................66
3.2.1 Địnhnghĩavàtínhchat......................................................66
3.2.2 Đieuki»ncóhạnghǎuhạn.....................................................68
3.3 Chieuđeu(chieuGoldie)củamơđun...............................................69
3.3.1 Địnhnghĩavàtínhchat......................................................69
3.3.2 Đieuki»ntươngđươngcủamơđuncóchieuđeu..................70
3.3.3 Tőngtrựctiepcủamơđunn®ixạ........................................71
3.4 Nguntotri»t..............................................................................74
3.4.1 Địnhnghĩa.............................................................................74
3.4.2 Mđtsotớnhchatkhỏc............................................................75
BitêpChng3.................................................................................76
Chng4. Vnhnfiancacỏcvnhthng
79
4.1 nhnghavnhcỏcthng..............................................................79
4.1.1 TêpOre,mụunX-xoanvmụunX-khụngxoan...............79
4.1.2 Vnhcỏcthngcamđtvnh
.. . . . . . . . . . . . 84
4.1.3 Xâydựngvànhcácthương. . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2
ĐịnhlýGoldie
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.1 Vànhcácthươngcőđien-Thátựtrongvành

.. . . . 90
4.2.2 MienOre ... ... .. ... .. ... .. ... .. .. 90
4.2.3 VànhGoldie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.4 Thátựtrongvànhnảađơn-ĐịnhlýGoldie. . . . . . 96
Bài
tªpChương4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Chương5. Môđunt rênvàn h Goldie nfi an guy ênt o
101
5.1 Phantảchínhquitrongvànhthương...........................................101
5.1.1 Địnhnghĩavàm®tsotínhchat............................................101
5.1.2 Iđêannguntocựctieuvàcácphantảchínhqui................103
5.2 Mơđunn®ixạkhơngxoan...............................................................105
5.2.1 MơđunxoanvàmơđunkhơngxoantrênvànhGoldie
nảangunto...................................................................105
5.2.2 Mơđunn®ixạvàmơđunchiađượcchínhqui.. . . . .
106
5.2.3 Mơđunn®ixạkhơngxoantrênvànhGoldienảangun
iv


5.3
Bài

to .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MôđunđeukhôngxoantrênvànhGoldienguyênto
.. . . .
5.3.1 Môđunđeu không xoan .. . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 MơđunkhơngxoantrênvànhGoldiengunto. . . .
tªpChương5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107
109
109
111
112

Chương6. Baov àp hủ to ng quátcủa m ôđ un
114
6.1 Baotőngqtcủamơđun...........................................................114
6.1.1 Cáckháini»mvàtínhchat................................................114
6.1.2 Baon®ixạtinh.........................................................................120
6.2 Phủtőngqtcủamơđun............................................................126
6.2.1 Địnhnghĩavàtínhchat....................................................126
6.2.2 Moiliênh»giǎaphủxạảnhvàphủtőngqt......................131
6.2.3 Phủphȁngvàphủkhơngxoan..........................................133
6.3 Tínhbatbiencủacácmơđun........................................................139
6.3.1 Mơđun X -batbienđȁngcau.............................................139
6.3.2 Mơđunbatbienđȁngcau..................................................143
6.4 Baobatbienđȁngcauvàvànha-hypercyclic.................................150
6.4.1
Baobatbienđȁngcaucủamơđun....................................150
6.4.2 Cácvànha-hypercyclic........................................................154
BàitªpChương6...............................................................................157
Chỉmnc.................................................................................... 160

iv


LÍINĨIĐAU
Ngàynay,ngànhđạisonóiriêngvàngànhtốnhocnóichungđãvàđangpháttrienmạnh

mě.M®tsoketquả nghiên cáucủa m®t sotác giả đã
đónggópchonhǎnglĩnhvựcnghiêncáutốnhocvàm®tsongànhkhoahockhác.
Hi»nnaym®tsongànhtốnđàotạosauđạihoccủacáctrườngđạihocđãvàđan
ggiảngdạyhocphanvànhvớiđieuki»nhǎuhạn.Hocphannàygiúpchocáchoc
viêncóm®tcáchnhìntőngqtvecácphancơbảncủalýthuyetcácvànhcőđienvàđ°ct
rưngcủam®tsolớpvànhliênquan.Nhammụcđíchđechocáchocviêncácngàn
htốncủaKhoaTốn,TrườngĐạihocSưphạm,ĐạihocĐàNȁngcóm®ttàili»u
thamkhảotronglĩnhvựcnày,chúngtơiđãcogangtìmhieucáctàili»uđeđưaragiáotr
ìnhnày.Đehieuvànghiêncáugiáotrìnhnàyđịihỏihocviênphảinamvǎng
cáccautrúcđạisocơbảnnhư:nhóm,vành,trường,khơnggianvectơ,lýthuyetmơ
đun,
lýthuyetvành....
N®i dung của giáo trỡnh gom 6 chng nham gii thiằu cỏc kien thỏc
cbnnhatcalýthuyetvnhcienvmđtsolpvnhlienquan.Cuoimoiphantrỡnhby
ca
chng
chỳng
tụi
a
ra
cỏc
bitêpmc
ớch
giỳp
hocviờnthchnhcỏckhỏiniằmóhoc.
Trong Chương 1, chúng tôi giới thi»u các khái ni»m cơ sở ve iđêan
nguyênto. Trong chương này, chúng tôi nêu các khái ni»m iđêan nguyên
to, iđêannguyên to cực tieu, iđêan nảa ngun to và linh hóa tả. Cuoi cùng của
chươngnày,chúngtơitrìnhbàykháini»mcănJacobsonvàvànhngunthủyvànảangu
nthủy.Cáckháini»mcơbảnnàysěđượcsảdụngnghiêncáuchocácchươngsau.

N®i dung Chương 2 trình bày ve m®t khái ni»m quan trong trong lý
thuyetvành và mơđun đó là mơđun nảa đơn, Artin và Nơte. Trong chương này,
chúngtơi nêu và trình bày khái ni»m và và mơđun nảa đơn, sau đó trình bày ĐịnhlýWedderburnArtin.Cácphancịnlạichúngtơitrìnhbàym®tsotínhchatliênquancủaĐịnhlýHilbertvàĐịnhlý
Hopkins-LevitzkichocácvànhArtinvà Nơte. Các kien thác của chương này có the làm
nen tảng đe nghiên cáucáctínhchatsâuhơnchocácchươngsau.
Chương 3. Chúng tơi trình bày khái ni»m bao n®i xạ của m®t
mơđun.Kháini»mnàykhơngnhǎngđóngvaitrịquantrongtronglýthuye
tvànhvà mơđun mà nó có nhieu áng dụng trong lĩnh vực đại so ket hợp.
Trongchươngnày,chúngtơitrìnhbàycáckháini»mcơbản,m®tsotínhchatcủa

vii


baon®ixạ,mơđuncóhạnghǎuhạnvàchieuGoldiecủamơđun.
Chương 4, chúng tơi trình bày khái ni»m các vành thương và vành
nảađơn.Mụcđíchcủachươngnàynêulênsựtontạicủavànhthươngtrongm®tsođieuki»
n.Cụthe,trongchươngnày,chúngtơitrìnhbàycáckháini»mvàket quả liên quanđen kháini»m
vành thương, vành thương cő đien và vànhGoldie. Cuoi cùng của chương, chúng tôi trình bày khái ni»m thá tự
trongvànhnảađơnvàĐịnhlýGoldie.
Chương 5. Chúng tơi trình bày lớp môđun trên vành Goldie nảa
nguyênto. Trong chương này, chúng tơi trình bày các khái ni»m phan tả
chính quitrongvànhthương,lớpmơđunn®ixạvàđeukhơngxoan.
Chương 6, chúng tơi trình bày và nghiên cáu bao và phủ tőng qt của
cácmơđun. Mục đích của chương này nêu lên sự ton tại của bao và phủ tőng
quátcủac á c m ô đ u n . Đ o n g t h ờ i á p d ụ n g c á c k i e n t h á c n à y c h ú n g t ô i n g h
i ê n c á u tínhb a t b i e n c ủ a c á c m ô đ u n . L ớ p m ô đ u n b a t b i e n n à y l à t r ư ờ
n g h ợ p t ő n g quátc ủ a l ớ p m ô đ u n t ự a n ® i x ạ . C ụ t h e , t r o n g c h ư ơ n g n à y
, c h ú n g t ô i t r ì n h bày các khái ni»m và ket quả liên quan đen bao và phủ tőng quát. Tiep
theo,chúngt ô i n g h i ê n c á u t í n h b a t b i e n c ủ a c á c m ô đ u n . C u o i c ù n g c
ủ a c h ư ơ n g nàyc h ú n g t ô i n g h i ê n c á u b a o b at b i e n đ ȁ n g c a u v à c á c v n h a hypercyclic.

ehonthnhgiỏotrỡnhnytỏcgiónhêncnhngligúpýcahđiong ỏnh giỏ giỏo
trỡnh
v
ca
cỏc
ong
nghiằp
trong
Khoa
ToỏnTrngihocSphm,ihocNng.Quaúmđtsothieusútcngnhmđtso loi ó
c kịp thời sảa chǎa. Tuy nhiên, giáo trình khơng tránh khỏinhǎng thieu sót trong biên soạn,
mong các đ®c giả thơng cảm và cho chúngtơinhǎnggópýcanthiet.
TÁCGIẢ


DANHMỤCCÁCKÝHI›U
KÝHI› U

NGHĨACỦAKÝHI›U

1A
N
Z
Q
R
Mn(R)

XạđongnhatcủavªtA
Tªphợpcácsotựnhiên
Vànhcácsongun

Trườngcácsohǎut
Trườngcácsothực
Vànhcácmatrªnvngcapnlayh»sotrênvànhRJ(R)
CănJacobsoncủavànhR

√

I

CăncủaiđêanIcủavànhRPr(R)
Căn
ngun to của vànhRSoc(RR)
ĐephảicủavànhR
N≤ M
NlàmơđunconcủaM
eM
N≤
NlàmơđunconcotyeucủaM
NM
Nl à mơđunconđoicotyeucủaM
annR(X)
LinhhóatảcủaXtrongR
annM(P)
LinhhóatảcủaiđêanPt r o n g RmụunphiME(M)
BaonđixcaM
Mod-R
PhmtrựcỏcR-mụunphi
Im(f)
Ker(f)
Q

nhcaxf
Htnhõncaxf
Tớchtrctiepcahovêt{Ai}iI
IAi
IAi
Tngtrctiepcahovêt{Ai}iI
I
M
TớchtrctiepcacỏcI-bnsaocaMM(I)
TngtrctiepcacỏcIbnsaocaMf:ABX
fitvêtAenvêtB

1
f
Xngccaxf
Hom(M,N)
NhúmcỏcongcautMenNEnd(M)Vnh cỏc
1


tự đong cau củaMCard(A)
LựclượngtªphợpA

2


DANHMỤCCÁCTHUŠTNGữ
THUŠTNGữ

TIENGANH

Ảnhcủ a đ on g cau
Batbienđȁngcau
Batbienđongcau
Đȁngca u
Cănnguyênto
CănJacobson
ChieuG o l d i e h ǎ u h ạ n

imageofhomomorphism
Automorphism-invariant
Endomorphism-invariant
Isomorphism
Primeradical
Jacobsonradical

FiniteG o l d i e d i m e n s i o n Chuoinguyên to
primeseries
Đơncau
monomorphism
Hạnghǎuhạn
Finiterank
Hạtnhâncủađongcau
KernelofmorphismHǎuhạnsinh
Hǎuhạnđoisinh
Bieudienhǎuhạn
Iđêannguyênto
Iđêanng u y ê n to l i ê n k e t

Finitelygenerated
Finitelycogenerated
Finitely presented
Primeideal

Associatedp r i m e i d e a l Iđêann g u y ê nt o c ự c t i eu
MinimalprimeidealIđêann ả a n g u y ê n t o
Semiprimeideal
Linh hóatả
Annihilator
Linhhóatảngunto
Annihilatorprime
m-h»
m-system
Mơđunconcotyeu
EssentialsubmoduleMơđunconđoicotyeu


Superfluouss u b m o d u l e Môđunt r u n g t h à n h
Faithfulmodule
Mơđuntrungthànhhồntồn
Completelyf a i t h f u l m o d u l e Môđunđơn Simplemodule
Môđunn ả a đ ơ n
Semisimplemodule
Môđunđ e u
Uniformmodule


n-h»
Nguyêntotri»t

Toàncau
Tőngtrựctiep
Trường
Vànhnguyênthủy

n-system
assassinatorprime
epimorphism
directsum
field

PrimitiveringVànhnảanguyênthủy
Semiprimitiver i n g VànhNơte
Noetherianring
VànhArtin
Artinianring


Chương1
Iđêanngunto
Tronglýthuyetvànhgiaohốn,vi»cnghiêncáuvàhienghĩavàcautrúc của
các iđêan, thì đieu quan trong trước het người ta nghiờn cỏu
cỏciờannguyờnto.Hnna,cúmđtmoiliờnhằchtchgiacỏciờannguyờntovcỏc phan
tlylinhcavnh.cbiằt,giaocatatccỏciờannguyờn to chớnh l têp hp cỏc phan
tả
lũy
linh
của
vành.
Trong

chươngnày,chúngtanghiêncáunhǎngketquảtươngtựchovànhkhơnggiaohốn.Ch
úngtacũngxemxétphươngphápmàiđêannguntođượcxemnhưlàcác linh hóa tả, đieu này
liên quan đen rat nhieu dau hi»u nhªn biet củachúng. Đong thời, khảo sát
lớp
các
iđêan
quan
trong
phát
trien
theo
phươngphápnàyđólàlớpcáciđêanngunthủy.
Đet h u ª n t i » n t r o n g v i » c n g h i ê n c á u c ủ a c h ú n g t a , m o i v à n h R đ ư ợ
c x é t trongg i a o t r ì n h n à y l à m ® t v à n h c ó đ ơ n v ị 1 k h á c 0 v à k h ô n g n h a t t h
i e t l à vànhgiaohoán.

1.1
1.1.1

Iđêannguyênto
Địnhn g h ĩ a v à m ë t s o t í n h c h a t

Địnhnghĩa1.1.1.1.ChoRlàm®tvành.
(1) M®tiđêanthựcsựPc ủ a RđượcgoilàiđêannguntoneubatkỳI,Kl à hai
iđêancủaRth ỏamãnIK≤P,thìI≤Ph o ° c K≤ P.
(2) VànhRđượcgoilàvànhn gu yên to n e u 0lmđtiờannguyờnto.
Vớdn1.1.1.2.(1)Cỏcmiennguyờnvcỏcvnhnlcỏcvnhnguyờnto.
(2) TrongvnhcỏcsonguyờnZ,cỏciờannguyờntoeu cúdngpZvi
plmđtsonguyờntonoú.
(3) XộtvnhR=Z+Zi+Zj+Zklvnhcỏcquaternionshằsonguyờn.VỡR

namtrongthequaternionsnờnnúlmđtmiennguyờn,vvỡvêy0liờannguyờntoca
R.Tuynhiờn,2RkhụngliờannguyờntocaR.


Chú ý, trong trường hợp vành đã cho là vành giao hốn thì khái
iđêanngun to trong định nghĩa của chúng ta trùng với khái ni»m iđêan
nguyênto trong vành giao hoán. Ket quả sau đây cho ta m®t so đ°c trưng
của m®tiđêan nguyên to. Đây là m®t tiêu chuȁn quan trong đe kiem tra
tính nguyêntocủacáciđêan.
M»nh đe 1.1.1.3.Các đieu ki»n sau là tương đương đoi với m®t iđêan
thựcsựPc ủ a vànhR đã cho:
(1) Pl à iđêan nguyênto.
(2) NeuIv àJl à cáciđêanbatkỳcủaRchúathựcsựP,thìIJ/≤P.
(3) VànhthươngR/Pl à vànhngunto.
(4) NeuIvà Jlà cáciđêanphảibatkỳcủaRsaochoIJ≤P,thìI≤P
ho¾cJ≤P.
(5) NeuIv à Jl à cáciđêantráibatkỳcủaRsaochoIJ≤P,thìI≤P
ho¾cJ≤P.
(6) Neux , y∈Rv ớ i x R y ⊆P,t h ì x ∈Pho¾cy ∈P.
Chúngminh.( 1 ) ⇒(2)đượcsuyratàđịnhnghĩacủaiđêannguyênto.
(2) ⇒ (3). ChoI/PvàJ/Plà các iđêan của vành thươngR/Psao cho(I/P)
(J/P)= 0 .K h i đ ó , t a c ó IJP .T à đ i e≤u k i » n ( 2 ) t a s u y r a I = P ho°cJ=P.
Đieu này cháng tỏI/P= 0ho°cJ/P= 0. Vªy,R/Plà vànhnguyênto.
(3) ⇒(4). ChoIvàJlà các iđêan phải bat kỳ củaRsao choIJ≤P.
Khiđó,tacó(RI)(RJ)≤P.Tàđây,chúngtasuyra
[(RI+ P)/P][(RJ+ P)/P]=0
Chúý,RI+PvàRJ+PlàcáciđêancủavànhRvàcháaP.Theođieuki»n(3),chúngta
suyraRI+P≤ Ph o ° c RI+P≤ P.Vªy,I≤Ph o ° c J≤P.
(4) ⇒(5). ChoIvàJlà các iđêan trái bat kỳ củaRsao choIJ≤P. Khiđó,(IR)
(JR)≤P.

Theo
(4),
ta
cóIR≤Pho°cJR≤P.
Tà
đó
chúng
taketluªnI≤Ph o ° c J≤P.
(5) ⇒(6). Chox, y∈RvớixRy⊆P.Khi đó, rõ ràng chúng ta có(Rx)(Ry)⊆P.
Tà đó suy raRx⊆Pho°cRy⊆Ptheo (5). Đieu này chángtỏx∈Ph o ° c y∈P.
(6) ⇒(1). Giả sả ton tại các iđêanIvàJsao choIÂPvJÂP, tachonxI\
PvyJ\P. Khi ú,xRyÂP, suy raIJÂP. VêyPliờannguyờnto.


TàM»nhđe1.1.1.3tathayrang:neuPlàiđêannguyêntocủavànhRvàI 1,I2,...,In
l à c á c i đ ê a n p h ả i c ủ a R s a o c h o I 1,I2···In⊆ P t h ỡ t o n t i i{1,...,n}saocho
I iP.
MđttêpconSk h á c rongcủavànhRđượcgoilàtªpm-h»neuvớimoi
a,b ∈ S,t h ì t o n t i r Rsaochoarb
S.

Tnhnghacatêpm-hằchỳngtacúketqusau:
Mằnhe1.1.1.4.Cho P l mđt iờan thực sự của R. Khi đó, các đieu
ki»nsaulàtươngđương:
(1) Pl à i đ ê a n n g u y ê n t o c ủ a R .
(2) R\Pl à tắp m -hằ caR.
Mằnhe1. 1.1. 5. ChoSl mđttắpm-hằcaRvgoiPl iđêancủaR
cựcđạivớitínhchatP∩S=∅.Khiđó,Pl à iđêannguntocủaR.
Chúngm i n h . G i ả s ả a, b∈Rsao choa/∈P, b/∈Pv à aRb⊆P. Bởi tính
cựcđạic ủ a P ,t o n t ạ i s , s′∈S saoc h o s ∈ P + RaRv à s

′
∈P + RaR.T h e o địnhn g h ĩ a c ủ a t ª p S,t o n t ạ i r ∈ R s a o c h o s r s
′
∈ S .K h i đ ó , c h ú n g t a c ó
srs′∈(P+ RaR)(P+ RaR)⊆P+ RaRRbR=P
Đieunàymâuthuanvớigiảthiet.TómlạiPl à iđêannguyêntocủaR.
M»nhđ e 1 . 1 . 1 . 6 . M ® t v à n h R l à n g u y ê n t o n e u v à c h í n e u v à n h m a t r ¾ n
Mn(R)làvànhngunto.
Chúng minh.Giả sảRkhơng phải là vành ngun to. Khi đó, ton tại
haiiđêankháckhơngAvàBcủaRsaochoAB= 0.TàđósuyraMn(A)Mn(B)=
0. ĐieunàychángtỏMn(R)khơngphảilàvànhngunto.Ngượclại,giảsảvành ma
trªnMn(R)khơng phải là vành ngun to. Khi đó, ton tại hai iđêankhác
khơngI,JcủaMn(R)sao choIJ= 0. M°t khác, ton tại hai iđêanA, BcủaRsao
choI=Mn(A)vàJ=Mn(B).
Tà
đây
suy
raAB=
0.
Như
vªy,chúngtađãchỉraRkhơngphảilàvànhngunto.
Địnhnghĩa1.1.1.7.HaiiđêanIv à Jc ủ a vànhRđượcgoilànguyêntocùng
nhauneuR=I+J.
Bo đe 1.1.1.8.Neu I và J là hai iđêan ngun to cùng nhau của m®t
vànhgiaohốnRthìIJ= I∩J.
Chúngminh.Chúngt a c ó t h e d e d à n g k i e m t r a đ ư ợ c IJI J.V
⊆ ì I vàJl à ha
iiđêan nguy ên tocùng nhau nên R= I +J.Đieunày suyraI∩J= (I∩J)R
=(I∩J)(I+J)⊆IJ.Vªy,chúngtacóIJ= I∩J.

Bo đe 1.1.1.9.ChoI,J và K là các iđêan của vành giao hốn R sao
chođơim®tnguntocùngnhau.Khiđó,Iv à JKl à nguntocùngnhau.
Chúng
minh.Theo
giả
thiet
chúng
ta
cóR=
(I+J)
≤
(I+K)I +JK.ĐieunàysuyraR=I+JKv à vìvªyIv à JKlà nguntocùngnha
u.
ÁpdụngBőđe1.1.1.8vàBőđe1.1.1.9,chúngtacó h»quảsau:
H»quả1.1.1.10.Cho I1, I2, . . . , Inlà các iđêan của vành giaohoán
R.NeuI 1,I2,...,Inl à c á c i đ ê a n đ ô i m ® t n g u y ê n t o c ù n g n h a u t h ì I 1I2···In=
I1∩I2∩···∩In.
M»nh đe 1.1.1.11.ChoIvà J là hai iđêan nguyờn to cựng nhau ca
mđtvnhgiaohoỏnR.Khiú,chỳngtacúngcauvnhR/IJ=R/IìR/J.
Chỳng minh.Chỳng ta xột ỏnh x:RR/I

ì R/Jxác định bởiψ(x)
=(x+I,x+J)với moixR∈. Rõ ràngψlà m®t đong cau vành. Ngồi
ra,vìR=I+Jnênψlà m®t tồn cau vành. Chúng ta có the kiem tra
đượcKer(ψ)=IJ=IJ.Tàđó,theođịnhlýveđȁngcauvànhchúngtasuyra
∩
R/IJ∼=R/I×R/J.
Sảdụngphươngphápquynạpchúngtasěcóketquảsau
M»nh đe 1.1.1.12.Cho I1, I2,. . . , Inlà các iđêan của vành giao hoán

R.NeuI 1,I2,...,Inl à cá ciđ êa n đ ơ i m® t n gu nt o c ự ng n h a ut h ỡ
R/I1I2ÃÃÃIn=R/I1ìR/I2ìÃÃÃìR/In.
nhngha1.1.1.13.MđtiờanthcsPcavnhRcgoiliờancc
icaRneu bat kỳ iđêanIcủaRvớiPIthì kéo theoI=Pho°cI=R.
≤
Víd n 1 . 1 . 1 . 1 4 . X é t v àn h R =Z+Zi+Zj+Zk.K h i đ ó , c h ú ng t a c ó
(1) pRlà iđêancựcđại củaRvới moisonguyêntolẻp.
(2) 2R+(1+i)R+(1+j)RliờanccicaR.
Vớ
dn1.1.1.15.ChoXlmđttêpvụhnvRlvnhgomtatccỏchmso
trờnX.MoixX,chỳng

ta
tPx=fR:f(x)
{
= } 0.
Khi
ú,PxlmđtiờanccicaR.
Mằnhe1.1.1.16.MoiiờancciPc a vnhRliờannguyờnto.
Chỳng minh.ChoPl mđt iờan cực đại củaR. Layxvàylà các phan
tảcủavànhRsaocho(x+P)R/P(y+P)=0trongvànhthươngR/P.Khiđó,the
o tính cực đại củaP, chúng ta cóxRy⊆Pvà vì vªy(RxR)(RyR)⊆P.Giảsảx/
∈Pvày/∈P.Khiđó,R=P+RxR=P+RyR. Đieu này cónghĩa làR= (P+RxR)
(P+RyR)≤P+
(RxR)(RyR)⊆P,
đieu
này
mâuthuanvìPl à iđêanthựcsựcủaR.Tómlạichúngtaphảicóx∈Pv à y∈ P.
ÁpdụngM»nhđe1.1.1.3tađược Pl à iđêannguyênto.

Nhªn xét 1.1.1.17.Sả dụng M»nh đe 1.1.1.16 và moi vành đeu cháa
iđêancực đại chúng ta có moi vành khác khơng đeu có ít nhat m®t iđêan
ngunto.
Ketquảsauchotam®tđieuki»ncáciđêanngunto làiđêancựcđại.
M®tvànhRđượcgoilàthỏamãnđieuki»ndâychuyengiảmtrêncáciđêancủ a
R n e u b a t k ỳ d ãy g iả m I 1≥I 2≥···≥I m≥···cáci đ êa nc ủa Rthìtontạin∈Nsaoc
hoIn=In+kvớimoik∈N.
M»nhđ e 1 . 1 . 1 . 1 8 . C h o R l à m ® t v à n h g i a o h o á n v à t h ó a m ã n đ i e
u k i » n dâyc h u y e n g i ả m t r ê n c á c i đ ê a n c ủ a R . K h i đ ó , m o i i đ ê a n n g u y ê n
t o l à c ự c đại.Hơnn ũa , Rc h í có hũuh ạn iđêan ng u yên to.
Chúng minh.GoiPlà m®t iđêan nguyên to của vànhR. Giả sảxP ./ Theotính
m
∈
ngun to củaPvà tính giao hốn của vànhR, chúng ta kiem tra đượcx
Pvới
moi/ so tự nhiên khơng âmm. Tiep theo chúng ta xét dãy
∈
giảmcủacáciđêansau
xR≥x 2R≥···≥x mR≥···
VìRthỏa mãn đieu ki»n dây chuyen giảm trên các iđêan củaRnên tonti
mđt
so
nguyờn
dngnsao
choxnR=xkRvi
moi
so
n
n+1

n
nguyờnkn.cbiằt,chỳngtacúx =x rv i rRnoúvvỡvêyx (1x
r)=0.
Theolêpluêntrờnxn/P.Tú,theotớnhnguyờntocaPchỳngtacú
r P.ieu nychỏngtR=P+ xR.Tchỏngminhny,chỳngta
1x
suyraPl à iđêancựcđạicủaR.
Tiepth eo ch ú n g t a sě c h á n g m i nh R c h ỉ c ó h ǎu h ạ ni đ ê an n g u y ê n t o. G i ả
sảRcó m®t m®t ho các iđêan ngun to phân bi»tP1, P2, . . . .Khi đó,
chúngtaxétdãycáciđêansau
P1≥P 1∩P2≥···≥P 1∩P2∩···∩Pn≥···
VìRthỏamãnđieuki»ndâychuyengiảmtrêncáciđêancủaRnêntontạim®tsongu
ndươngnsaochoP1P 2
Pn=P1P 2
∩ ∩···∩
∩ ∩···∩
∩
P
P
.Đieun
à
y
c
ó
n
g
h
ĩ a l à P 1P 2
∩
∩·

n ··∩
n+1
≤
≤
∩
∩···∩
≤
PnP n+1.H ơ n n ǎ a , c h ú n g t a c ó P1P2...PnP 1P 2
≤
Pn,v à v ì v ª y , P 1P2...PnP n+1.B ở i t í n h nguyên to củaPn+1chúng ta suy ra
ton
tạii=
1,2,
.
.
.
,
nsao
choPiP n+1.TàđâysuyraP i=Pn+1b ởi tínhcựcđạicủaP i,đieunàymâuthuan
.
1.1.2

Iđêanng uy ênt o c f i c t i e u


nh ngha 1.1.2.1.Iờan nguyờn toIca vnhRc goi l
iờannguyờntocctieuneunúkhụngchỏathcsmđtiờannguyờntonokhỏc.
Nhvêy,neuRlmđtvnhnguyờntothỡ0liờannguyờntocctieuduynh
atcaR.

Vớdn1.1.2.2.(1)XộtR=Z/nZ.Khiú,cỏciờannguyờntocctieuca
RcúdngpZ/nZ,trongúplcnguyờntocan.
(2)ChoXlmđttêpvụhn,klmđttrngvRlvnhgomtatccỏc ỏnh x
tXenk.
MoixX,chỳng
ta
tPx={fR:f(x)
=
0}.Khiú,PxliờannguyờntocctieucaR.
Mằnh e 1.1.2.3.Moi iờan nguyờn to P bat k ca vnh R eu chỳa
mđtiờannguyờntocc tieu.
Chỳngminh.GoiFltêphpcanhngiờannguyờntocaRchỏatrong
P. p d n g b ő đ e Z o r n c h o c á c d ã y g i ả m t r o n g F,c h ú n g t a c h ỉ r a r a n g b a t k
ỳd ãy d ây ch u y en gi ảm k hô n g ro n g X ⊆Fđeuc ó cªn d ư i t ro ng X .
T
XộttêphpQ=
Xl mđtiờancaR,vrừrnglQP.Chỳng
XX

taschỏngminhQlmđtiờannguyờnto.Thêtvêy,tagisx,yRsao
choxRyQnhngx/Q.Nhvêy,tontiPXsa o choxP.Vi
batkP ′′∈X saochoP ′′⊆P ′tac ó x ∈/P′′vàx Ry⊆ Q ⊆P .Núiriờng
y P.N e u P YvPÂPthỡP
P.Nhvêy,
P,v à d o đ ó y
∈
y ∈ P′′vớimoiphantảP′′củaY,vàdođóy
Q.ĐieuđóchángtỏrangQ
làiđêanngunto.

Bây giờ,QvàQlà
∈F cªn dưới củaY. Áp dụng bő đe Zorn cho ta m®tiđêanP ∗
∈F
F
màlànhỏnhattrongso cáciđêantrong.Vìbatkỳiđêannguyên
to nào cháa
X
∗
∗
trongP thì cháa trongnênP là iđêan nguyên tocựctieucủaR.
ChoIlà iđêan trong vànhRvà m®t iđêan ngun toPcháaI,chúng tacó the
áp dụng m»nh đe trên trong vànhR/Iđe thay rang iđêan nguyên toP/
Ic h á a i đ ê a n n g u y ê n t o t o i t h i e u Q / I c ủ a R / I .Nhưv ª y , Q l à i đ ê a n c ủ a R
cháaIv à làiđêannhỏnhattrongsocáciđêan nguntocháaI.Chúngtacót
henóim®tcáchkhácQlànguntocựctieutrênI.
Địnhlý1.1.2.4.Cho vành R thóa mãn đieu ki»n dây chuyen tăng trên
cáciđêan phải ho¾c trái của R. Khi đó, R chớ cú hu hn cỏc iờan nguyờn
tocctieu,vcúmđttớchhuhncỏciờannguyờntocctieu(chophộplắpli)bang0.
Chỳngminh.ieukiằnechỏngminhtonticỏc iờan nguyờnto P1,
P2,...,PntrongRsaochoP 1P2
···
Pn= 0 .Đ e t h a y đ i e u n à y t h ì t a cóthethaymoiPibangm®tiđêannguntoc
ựctieucháatrongnó.Dođó,khơngmattínhtőngqtchúngtacóthegiảsảrangmoiPilà
cựctieu.Vìbatk ỳ i đ ê a n n g u y ê n t o c ự c t i e u P nàoc h á a P 1...Pnp h ả i c h á a m ® t
P jn à o đó,vàdotínhcựctieucủaPt a cóP= Pj.Nhưvªy,cáciđêannguntocựct
ieucủaRcháatrongtªphǎuhạn{P1,P2,...,Pn}.