chuyên đề phương trình bất phương trình hệ phương trình đại số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (319.84 KB, 33 trang )
Chuyên đề 2
Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ
Phương Trình Đại Số
§1. Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn
Bài tập 2.1. Giải các bất phương trình sau
a) x
2
− 6x + 6 > 0. b) −4x
2
+ x − 2 ≥ 0.
c) x
4
− 4x
3
+ 3x
2
+ 8x − 10 ≤ 0. d) x
4
+ x
2
+ 4x − 3 ≥ 0.
Lời giải.
a) Ta có x
2
− 6x + 6 > 0 ⇔
x > 3 +
√
3
x < 3 −
√
3
. Vậy tập nghiệm S =
−∞; 3 −
√
3
∪
3 +
√
3; +∞
.
b) Ta có ∆ = −31 < 0 ⇒ −4x
2
+ x − 2 < 0, ∀x ∈ R. Vậy bất phương trình vô nghiệm.
c) Bất phương trình tương đương với
x
4
+ 3x
2
− 10 − 4x
3
+ 8x ≤ 0 ⇔
x
2
− 2
x
2
+ 5
− 4x
x
2
− 2
≤ 0
⇔
x
2
− 2
x
2
− 4x + 5
≤ 0 ⇔ x
2
− 2 ≤ 0 ⇔ −
√
2 ≤ x ≤
√
2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
−
√
2;
√
2
.
d) Bất phương trình tương đương với
x
4
+ 2x
2
+ 1 ≥ x
2
− 4x + 4 ⇔
x
2
+ 1
2
≥ (x −2)
2
⇔
x
2
+ x − 1
x
2
− x + 3
≥ 0 ⇔ x
2
+ x − 1 ≥ 0 ⇔
x ≥
−1+
√
5
2
x ≤
−1−
√
5
2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
−∞;
−1−
√
5
2
∪
−1+
√
5
2
; +∞
.
Bài tập 2.2. Giải các bất phương trình sau
a)
x − 2
x
2
− 9x + 8
≥ 0.
b)
x
2
− 3x − 2
x − 1
≥ 2x + 2.
c)
x + 5
2x − 1
+
2x − 1
x + 5
> 2. d)
1
x
2
− 5x + 4
<
1
x
2
− 7x + 10
.
Lời giải.
a) Ta có bảng xét dấu
x −∞ 1 2 8 +∞
x − 2 − | − 0 + | +
x
2
− 9x + 8 + 0 − | − 0 +
VT − || + 0 − || +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2] ∪ (8; +∞).
b) Bất phương trình tương đương với
x
2
− 3x − 2 − (x − 1) (2x + 2)
x − 1
≥ 0 ⇔
−x
2
− 3x
x − 1
≥ 0.
Ta có bảng xét dấu
1
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
x −∞ −3 0 1 +∞
−x
2
− 3x − 0 + 0 − | −
x − 1 − | − | − 0 +
VT + 0 − 0 + || −
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [0; 1).
c) Bất phương trình tương đương với
(x + 5)
2
+ (2x − 1)
2
− 2 (x + 5) (2x − 1)
(2x − 1) (x + 5)
> 0 ⇔
x
2
− 12x + 36
2x
2
+ 9x − 5
> 0.
Ta có bảng xét dấu
x −∞ −5
1
2
6 +∞
x
2
− 12x + 36 + | + | + 0 +
2x
2
+ 9x − 5 + 0 − 0 + | +
VT + || − || + 0 +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5) ∪
1
2
; 6
∪ (6; +∞).
d) Bất phương trình tương đương với
x
2
− 7x + 10 − x
2
+ 5x − 4
(x
2
− 5x + 4) (x
2
− 7x + 10)
< 0 ⇔
−2x + 6
(x
2
− 5x + 4) (x
2
− 7x + 10)
< 0.
Ta có bảng xét dấu
x −∞ 1 2 3 4 5 +∞
−2x + 6 + | + | + 0 − | − | −
x
2
− 5x + 4 + 0 − | − | − 0 + | +
x
2
− 7x + 10 + | + 0 − | − | − 0 +
VT + || − || + 0 − || + || −
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2) ∪ (3; 4) ∪ (5; +∞).
Bài tập 2.3. Giải các phương trình sau
a) x
3
− 5x
2
+ 5x − 1 = 0.
b) x
3
− 3
√
3x
2
+ 7x −
√
3 = 0.
c) x
4
− 4x
3
− x
2
+ 16x − 12 = 0.
d) (x − 3)
3
+ (2x + 3)
3
= 18x
3
.
e)
x
2
+ 1
3
+ (1 − 3x)
3
=
x
2
− 3x + 2
3
.
f) (4 + x)
2
− (x − 1)
3
= (1 − x)
x
2
− 2x + 17
.
Lời giải.
a) Ta có x
3
− 5x
2
+ 5x − 1 = 0 ⇔ (x −1)
x
2
− 4x + 1
= 0 ⇔
x = 1
x = 2 ±
√
3
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2 ±
√
3.
b) Ta có x
3
− 3
√
3x
2
+ 7x −
√
3 = 0 ⇔
x −
√
3
x
2
− 2
√
3x + 1
= 0 ⇔
x =
√
3
x =
√
3 ±
√
2
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x =
√
3, x =
√
3 ±
√
2.
c) Ta có x
4
− 4x
3
− x
2
+ 16x − 12 = 0 ⇔ (x −1)
x
3
− 3x
2
− 4x + 12
= 0 ⇔
x = 1
x = 3
x = ±2
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 3, x = ±2.
d) Phương trình tương đương với
(x − 3 + 2x + 3)
3
− 3(x − 3)(2x + 3)(x − 3 + 2x + 3) = 18x
3
⇔ 9x
3
− 9x
2x
2
− 3x − 9
= 0 ⇔ 9x
7x
2
+ 3x + 9
= 0 ⇔ x = 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
e) Phương trình tương đương với
x
2
+ 1 + 1 − 3x
3
− 3(x
2
+ 1)(1 − 3x)(x
2
+ 1 + 1 − 3x) =
x
2
− 3x + 2
3
⇔ − 3(x
2
+ 1)(1 − 3x)(x
2
− 3x + 2) = 0 ⇔
x =
1
3
x = 1
x = 2
Vậy phương trình có ba nghiệm x =
1
3
, x = 1, x = 2.
f) Phương trình tương đương với
(4 + x)
2
= (x − 1)
3
− (x − 1)
x
2
− 2x + 17
⇔ (4 + x)
2
= (x − 1)
x
2
− 2x + 1 − x
2
+ 2x − 17
= 0
⇔ x
2
+ 8x + 16 = −16x + 16 ⇔ x
2
+ 24x = 0 ⇔
x = 0
x = −24
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −24.
2
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Bài tập 2.4. Giải các phương trình sau
a)
x
2
− 4x + 3
2
−
x
2
− 6x + 5
2
= 0. b) x
4
= (2x − 5)
2
.
c) x
4
+ 3x
2
+ 3 = 2x. d) x
4
− 4x − 1 = 0.
e) x
4
= 6x
2
− 12x + 8. f) x
4
= 2x
3
+ 3x
2
− 4x + 1.
Lời giải.
a) Ta có
x
2
− 4x + 3
2
−
x
2
− 6x + 5
2
= 0 ⇔
2x
2
− 10x + 8
(2x − 2) = 0 ⇔
x = 1
x = 4
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 4.
b) Ta có x
4
= (2x − 5)
2
⇔
x
2
+ 2x − 5
x
2
− 2x + 5
= 0 ⇔ x = −1 ±
√
6.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ±
√
6.
c) Ta có x
4
+ 3x
2
+ 3 = 2x ⇔
x
2
+ 2
2
= (x + 1)
2
⇔
x
2
+ x + 3
x
2
− x + 1
= 0.
Vậy phương trình vô nghiệm.
d) Ta có x
4
− 4x − 1 = 0 ⇔
x
2
+ 1
2
= 2(x + 1)
2
⇔
x
2
+
√
2x + 1 +
√
2
x
2
−
√
2x + 1 −
√
2
= 0.
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
√
2 ±
4
√
2 − 2
2
.
e) Ta có x
4
= 6x
2
− 12x + 8 ⇔
x
2
− 1
2
= (2x − 3)
2
⇔
x
2
+ 2x − 4
x
2
− 2x + 2
= 0 ⇔ x = −1 ±
√
5.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ±
√
5.
f) Ta có x
4
= 2x
3
+ 3x
2
− 4x + 1 ⇔
x
2
− x
2
= (2x − 1)
2
⇔
x
2
+ x − 1
x
2
− 3x + 1
= 0 ⇔
x =
−1±
√
5
2
x =
3±
√
5
2
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x =
−1 ±
√
5
2
, x =
3 ±
√
5
2
.
Bài tập 2.5. Giải các phương trình sau
a) (x + 3)
4
+ (x + 5)
4
= 2. b) (x + 1)
4
+ (x + 3)
4
= 16.
c) (x + 3)
4
+ (x − 1)
4
= 82.
d) x
4
+ (x − 1)
4
=
41
8
.
Lời giải.
a) Đặt x + 4 = t. Phương trình trở thành
(t − 1)
4
+ (t + 1)
4
= 2 ⇔ 2t
4
+ 12t
2
= 0 ⇔
t
2
= 0
t
2
= −6 (loại)
⇔ t = 0
Với t = 0 ⇒ x = −4. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −4.
b) Đặt x + 2 = t. Phương trình trở thành
(t − 1)
4
+ (t + 1)
4
= 16 ⇔ 2t
4
+ 12t
2
− 14 = 0 ⇔
t
2
= 1
t
2
= −7 (loại)
⇔ t = ±1
Với t = 1 ⇒ x = −1; t = −1 ⇒ x = −3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1, x = −3.
c) Đặt x + 1 = t. Phương trình trở thành
(t + 2)
4
+ (t − 2)
4
= 16 ⇔ 2t
4
+ 48t
2
− 50 = 0 ⇔
t
2
= 1
t
2
= −25 (loại)
⇔ t = ±1
Với t = 1 ⇒ x = 0; t = −1 ⇒ x = −2. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −2.
d) Đặt x −
1
2
= t. Phương trình trở thành
t +
1
2
4
+
t −
1
2
4
=
41
8
⇔ 2t
4
+ 3t
2
− 5 = 0 ⇔
t
2
= 1
t
2
= −
5
2
(loại)
⇔ t = ±1
Với t = 1 ⇒ x =
3
2
; t = −1 ⇒ x = −
1
2
. Vậy phương trình có hai nghiệm x =
3
2
, x = −
1
2
.
Bài tập 2.6. Giải các phương trình sau
a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3. b)
x
2
− 1
(x + 3) (x + 5) + 16 = 0.
c) (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 6) = 3x
2
.
d)
x
2
− 2x + 4
x
2
+ 3x + 4
= 14x
2
.
Lời giải.
a) Phương trình tương đương với
(x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3) = 3 ⇔
x
2
+ 5x + 4
x
2
+ 5x + 6
= 3
Đặt x
2
+ 5x + 4 = t. Phương trình trở thành t (t + 2) = 3 ⇔
t = 1
t = −3
.
3
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Với t = 1 ⇒ x
2
+ 5x + 4 = 1 ⇔ x =
−5 ±
√
13
2
; t = −3 ⇒ x
2
+ 5x + 4 = −3 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
−5 ±
√
13
2
.
b) Phương trình tương đương với
(x − 1) (x + 5) (x + 1) (x + 3) + 16 = 0 ⇔
x
2
+ 4x − 5
x
2
+ 4x + 3
+ 16 = 0
Đặt x
2
+ 4x − 5 = t. Phương trình trở thành t (t + 8) + 16 = 0 ⇔ t = −4.
Với t = −4 ⇒ x
2
+ 4x − 5 = −4 ⇔ x = −2 ±
√
5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 ±
√
5.
c) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
(x − 1) (x − 6) (x − 2) (x − 3) = 3x
2
⇔
x
2
− 7x + 6
x
2
− 5x + 6
= 3x
2
⇔
x − 7 +
6
x
x − 5 +
6
x
= 3
Đặt x − 7 +
6
x
= t. Phương trình trở thành t (t + 2) = 3 ⇔
t = 1
t = −3
.
Với t = 1 ⇒ x −7 +
6
x
= 1 ⇔ x
2
− 8x + 6 = 0 ⇔ x = 4 ±
√
10;
t = −3 ⇒ x − 7 +
6
x
= −3 ⇔ x
2
− 4x + 6 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 4 ±
√
10.
d) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
x − 2 +
4
x
x + 3 +
4
x
= 14
Đặt x − 2 +
4
x
= t. Phương trình trở thành t (t + 5) = 14 ⇔
t = 2
t = −7
.
Với t = 2 ⇒ x −2 +
4
x
= 2 ⇔ x
2
−4x + 4 = 0 ⇔ x = 2; t = −7 ⇒ x −2 +
4
x
= −7 ⇔ x
2
+ 5x + 4 ⇔
x = −1
x = −4
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 2, x = −1, x = −4.
Bài tập 2.7. Giải các phương trình sau
a) x
4
− 4x
3
+ 6x
2
− 4x + 1 = 0. b) 2x
4
+ 3x
3
− 9x
2
− 3x + 2 = 0.
c) 2x
4
+ 3x
3
− 27x
2
+ 6x + 8 = 0. d) x
4
− 5x
3
+ 8x
2
− 10x + 4 = 0.
Lời giải.
a) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
x
2
− 4x + 6 −
4
x
+
1
x
2
= 0 ⇔ x
2
+
1
x
2
− 4
x +
1
x
+ 6 = 0
Đặt x +
1
x
= t ⇒ x
2
+
1
x
2
= t
2
− 2. Phương trình trở thành t
2
− 2 − 4t + 6 = 0 ⇔ t = 2.
Với t = 2 ⇒ x +
1
x
= 2 ⇔ x
2
− 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
2x
2
+ 3x − 9 −
3
x
+
2
x
2
= 0 ⇔ 2
x
2
+
1
x
2
+ 3
x −
1
x
− 9 = 0
Đặt x −
1
x
= t ⇒ x
2
+
1
x
2
= t
2
+ 2. Phương trình trở thành 2
t
2
+ 2
+ 3t − 9 = 0 ⇔
t = 1
t = −
5
2
.
Với t = 1 ⇒ x −
1
x
= 1 ⇔ x
2
− x − 1 = 0 ⇔ x =
1 ±
√
5
2
.
Với t = −
5
2
⇒ x −
1
x
= −
5
2
⇔ 2x
2
+ 5x − 2 = 0 ⇔ x =
−5 ±
√
41
4
Vậy phương trình có bốn nghiệm x =
1 ±
√
5
2
, x =
−5 ±
√
41
4
.
c) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
2x
2
+ 3x − 27 +
6
x
+
8
x
2
= 0 ⇔ 2
x
2
+
4
x
2
+ 3
x +
2
x
− 27 = 0
4
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Đặt x +
2
x
= t ⇒ x
2
+
4
x
2
= t
2
− 4. Phương trình trở thành 2
t
2
− 4
+ 3t − 27 = 0 ⇔
t = −5
t =
7
2
.
Với t = −5 ⇒ x +
2
x
= −5 ⇔ x
2
+ 5x + 2 = 0 ⇔ x =
−5 ±
√
17
2
.
Với t =
7
2
⇒ x +
2
x
=
7
2
⇔ 2x
2
− 7x + 4 = 0 ⇔ x =
7 ±
√
17
4
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x =
−5 ±
√
17
2
, x =
7 ±
√
17
4
.
d) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
x
2
− 5x + 8 −
10
x
+
4
x
2
= 0 ⇔ x
2
+
4
x
2
− 5
x +
2
x
+ 8 = 0
Đặt x +
2
x
= t ⇒ x
2
+
4
x
2
= t
2
− 4. Phương trình trở thành t
2
− 4 − 5t + 8 = 0 ⇔
t = 4
t = 1
.
Với t = 4 ⇒ x +
2
x
= 4 ⇔ x
2
− 4x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ±
√
2.
Với t = 1 ⇒ x +
2
x
= 1 ⇔ x
2
− x + 2 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ±
√
2.
Bài tập 2.8. Giải các phương trình sau
a)
x
2
+ 5x
2
− 2
x
2
+ 5x
− 24 = 0.
b)
x
2
+ x + 1
x
2
+ x + 2
= 12.
c)
x
2
− 2x − 2
2
− 2x
2
+ 3x + 2 = 0. d) (4x + 3)
2
(x + 1) (2x + 1) = 810.
Lời giải.
a) Đặt x
2
+ 5x = t. Phương trình trở thành t
2
− 2t − 24 = 0 ⇔
t = 6
t = −4
.
Với t = 6 ⇒ x
2
+ 5x = 6 ⇔
x = 1
x = −6
. Với t = −4 ⇒ x
2
+ 5x = −4 ⇔
x = −1
x = −4
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x = ±1, x = −4, x = −6.
b) Đặt x
2
+ x + 1 = t. Phương trình trở thành t(t + 1) = 12 ⇔
t = 3
t = −4
.
Với t = 3 ⇒ x
2
+ x + 1 = 3 ⇔
x = 1
x = −2
. Với t = −4 ⇒ x
2
+ x + 1 = −4 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2.
c) Phương trình tương đương với (x
2
− 2x − 2)
2
− (x
2
− 2x − 2) − x
2
+ x = 0.
Đặt x
2
− 2x − 2 = t. Phương trình trở thành
t
2
− t − x
2
+ x = 0 ⇔ (t − x)(t + x) − (t − x) = 0 ⇔ (t −x)(t + x −1) = 0 ⇔
t = x
t = 1 −x
Với t = x ⇒ x
2
− 2x − 2 = x ⇔ x =
3 ±
√
17
2
; t = 1 −x ⇒ x
2
− 2x − 2 = 1 − x ⇔ x =
1 ±
√
13
2
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x =
3 ±
√
17
2
, x =
1 ±
√
13
2
.
d) Phương trình tương đương với
16x
2
+ 24x + 9
2x
2
+ 3x + 1
= 810 ⇔
8(2x
2
+ 3x + 1) + 1
2x
2
+ 3x + 1
= 810
Đặt 2x
2
+ 3x + 1 = t. Phương trình trở thành (8t + 1) t = 810 ⇔
t = 10
t = −
81
8
.
Với t = 10 ⇒ 2x
2
+ 3x + 1 = 10 ⇔
x = −3
x =
3
2
. Với t = −
81
8
⇒ 2x
2
+ 3x + 1 = −
81
8
(vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −3, x =
3
2
.
Bài tập 2.9. Giải các phương trình sau
a)
1
2x
2
− x + 1
+
1
2x
2
− x + 3
=
6
2x
2
− x + 7
. b)
4x
4x
2
− 8x + 7
+
3x
4x
2
− 10x + 7
= 1.
c)
x
2
+ 1
x
+
x
x
2
+ 1
= −
5
2
.
d)
x − 1
x + 2
2
+
x − 3
x + 2
− 2
x − 3
x − 1
2
= 0.
e) x
2
+
x
x + 1
2
= 3. f)
1
x
2
+ x + 1
2
+
1
x
2
+ x + 2
2
=
13
36
.
5
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Đặt 2x
2
− x + 1 = t (t > 0). Phương trình trở thành
1
t
+
1
t + 2
=
6
t + 6
⇔ (t + 2) (t + 6) + t (t + 6) = 6t (t + 2) ⇔ 4t
2
− 2t − 12 = 0 ⇔
t = 2
t = −
3
2
(loại)
Với t = 2 ⇒ 2x
2
− x + 1 = 2 ⇔
x = 1
x = −
1
2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −
1
2
.
b) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
4
4x − 8 +
7
x
+
3
4x − 10 +
7
x
= 1
Đặt 4x − 8 +
7
x
= t. Phương trình trở thành
4
t
+
3
t − 2
= 1 ⇔ 4 (t −2) + 3t = t (t − 2) ⇔ t
2
− 9t + 8 = 0 ⇔
t = 1
t = 8
Với t = 1 ⇒ 4x −8 +
7
x
= 1 ⇔ 4x
2
− 9x + 7 = 0 (vô nghiệm).
Với t = 8 ⇒ 4x −8 +
7
x
= 8 ⇔ 4x
2
− 16x + 7 = 0 ⇔
x =
1
2
x =
7
2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
1
2
, x =
7
2
.
c) Điều kiện: x = 0.
Đặt
x
2
+ 1
x
= t. Phương trình trở thành t +
1
t
= −
5
2
⇔
t = −2
t = −
1
2
.
Với t = −2 ⇒
x
2
+ 1
x
= −2 ⇔ x
2
+ 2x + 1 = 0 ⇔ x = −1.
Với t = −
1
2
⇒
x
2
+ 1
x
= −
1
2
⇔ 2x
2
+ x + 2 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có nghiệm x = −1.
d) Điều kiện: x = 1, x = −2.
Đặt
x − 1
x + 2
= u,
x − 3
x − 1
= v. Phương trình trở thành u
2
+ uv −2v
2
= 0 ⇔
u = v
u = −2v
.
Với u = v ⇒
x − 1
x + 2
=
x − 3
x − 1
⇔ x
2
− 2x + 1 = x
2
− x − 6 ⇔ x = 7.
Với u = −2v ⇒
x − 1
x + 2
= −2.
x − 3
x − 1
⇔ x
2
− 2x + 1 = −2x
2
+ 2x + 12 ⇔ 3x
2
− 4x − 11 = 0 ⇔ x =
2 ±
√
37
3
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 7, x =
2 ±
√
37
3
.
e) Điều kiện: x = −1. Phương trình tương đương với
x −
x
x + 1
2
+ 2x.
x
x + 1
= 3 ⇔
x
2
x + 1
2
+ 2
x
2
x + 1
− 3 = 0
Đặt
x
2
x + 1
= t. Phương trình trở thành t
2
+ 2t − 3 = 0 ⇔
t = 1
t = −3
.
Với t = 1 ⇒
x
2
x + 1
= 1 ⇔ x
2
− x − 1 = 0 ⇔ x =
1 ±
√
5
2
.
Với t = −3 ⇒
x
2
x + 1
= −3 ⇔ x
2
+ 3x + 3 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
1 ±
√
5
2
.
f) Phương trình tương đương với
1
x
2
+ x + 1
−
1
x
2
+ x + 2
2
+ 2.
1
x
2
+ x + 1
.
1
x
2
+ x + 2
=
13
36
⇔
1
(x
2
+ x + 1) (x
2
+ x + 2)
2
+
2
(x
2
+ x + 1) (x
2
+ x + 2)
−
13
36
= 0
Đặt
1
(x
2
+ x + 1) (x
2
+ x + 2)
= t (t > 0). Phương trình trở thành t
2
+ 2t −
13
36
= 0 ⇔
t =
1
6
t = −
13
6
(loại)
.
6
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Với t =
1
6
⇒
1
(x
2
+ x + 1) (x
2
+ x + 2)
=
1
6
⇔
x
2
+ x + 1
x
2
+ x + 2
= 6.
Đặt x
2
+ x + 1 = u (u > 0). Phương trình trở thành u (u + 1) = 6 ⇔
u = 2
u = −3 (loại)
.
Với u = 2 ⇒ x
2
+ x + 1 = 2 ⇔ x =
−1 ±
√
5
2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
−1 ±
√
5
2
.
Bài tập 2.10. Giải các phương trình sau
a) |x − 1| =
x
2
− 3x + 1
. b)
x
2
+ 4x − 5
=
x
2
+ 5
.
c)
x
2
− 5x + 4
− x = 4.
d)
√
x
2
+ 4x + 4 = 5 − x
2
.
e)
x
2
− 5x + 4
= x
2
+ 6x + 5. f)
x
2
− 5x + 5
= −2x
2
+ 10x − 11.
Lời giải.
a) Ta có |x − 1| =
x
2
− 3x + 1
⇔
x − 1 = x
2
− 3x + 1
x − 1 = −x
2
+ 3x − 1
⇔
x = 2 ±
√
2
x = 0
x = 2
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 2 ±
√
2, x = 0, x = 2.
b) Ta có
x
2
+ 4x − 5
=
x
2
+ 5
⇔
x
2
+ 4x − 5 = x
2
+ 5
x
2
+ 4x − 5 = −x
2
− 5
⇔
x =
5
2
x = 0
x = −2
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x =
5
2
, x = 0, x = −2.
c) Với x
2
− 5x + 4 ≥ 0 ⇔
x ≥ 4
x ≤ 1
, phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 − x = 4 ⇔
x = 0
x = 6
(thỏa mãn).
Với x
2
−5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, phương trình trở thành −x
2
+ 5x − 4 −x = 4 ⇔ x
2
−4x + 8 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 6.
d) Phương trình tương đương với |x + 2| = 5 −x
2
.
Với x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2, phương trình trở thành x + 2 = 5 − x
2
⇔ x
2
+ x − 3 = 0 ⇔
x =
−1+
√
13
2
x =
−1−
√
13
2
(loại)
Với x + 2 < 0 ⇔ x < −2, phương trình trở thành −x − 2 = 5 − x
2
⇔ x
2
− x − 7 = 0 ⇔
x =
1+
√
29
2
(loại)
x =
1−
√
29
2
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
−1 +
√
13
2
, x =
1 −
√
29
2
.
e) Với x
2
− 5x + 4 ≥ 0 ⇔
x ≥ 4
x ≤ 1
, phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 = x
2
+ 6x + 5 ⇔ x = −
1
11
(thỏa mãn).
Với x
2
− 5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, PT trở thành −x
2
+ 5x − 4 = x
2
+ 6x + 5 ⇔ 2x
2
+ x + 9 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −
1
11
.
f) Với x
2
−5x + 5 ≥ 0 ⇔
x ≥
5+
√
5
2
x ≤
5−
√
5
2
, PT trở thành x
2
−5x + 5 = −2x
2
+ 10x −11 ⇔ x =
15±
√
33
2
(thỏa mãn).
Với x
2
− 5x + 5 < 0 ⇔
5−
√
5
2
< x <
5+
√
5
2
, PT trở thành −x
2
+ 5x − 5 = −2x
2
+ 10x − 11 ⇔
x = 2
x = 3
(TM).
Vậy phương trình có bốn nghiệm x =
15 ±
√
33
2
, x = 2, x = 3.
Bài tập 2.11. Giải các phương trình sau
a)
x
2
− x
2
+
x
2
− x
− 6 = 0. b) 3
2x − 1
x + 1
2
−
x + 1
2x − 1
− 2 = 0.
c)
x
2
+ 3x − 10
+
x
2
− 4
= 0. d)
x
2
+ 3x − 4
+
x
2011
+ 2011x − 2012
= 0.
Lời giải.
a) Đặt |x
2
− x| = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t
2
+ t − 6 = 0 ⇔
t = 2
t = −3 (loại)
.
Với t = 2 ⇒
x
2
− x
= 2 ⇔
x
2
− x = 2
x
2
− x = −2 (vô nghiệm)
⇔
x = 2
x = −1
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = −1.
b) Điều kiện: x = −1, x =
1
2
.
Đặt |
x + 1
2x − 1
| = t (t > 0). Phương trình trở thành
3
t
2
− t − 2 = 0 ⇔ t
3
+ 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1.
Với t = 1 ⇒
x + 1
2x − 1
= 1 ⇔ |x + 1| = |2x − 1| ⇔
x + 1 = 2x − 1
x + 1 = −2x + 1
⇔
x = 2
x = 0
.
7
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 0.
c) Ta có
x
2
+ 3x − 10
+
x
2
− 4
= 0 ⇔
x
2
+ 3x − 10 = 0
x
2
− 4 = 0
⇔
x = 2
x − 5
x = ±2
⇔ x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
d) Ta có
x
2
+ 3x − 4
+
x
2011
+ 2011x − 2012
= 0 ⇔
x
2
+ 3x − 4 = 0
x
2011
+ 2011x − 2012 = 0
⇔
x = 1 (thỏa mãn)
x = −4 (loại)
x
2011
+ 2011x − 2012 = 0
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Bài tập 2.12. Giải các bất phương trình sau
a) |x − 2| < |2x + 1|. b)
2x − 3
x − 3
≤ 1.
c)
x
2
− 5x + 4
≤ x
2
+ 6x + 5. d)
x
2
− 2x
+ x
2
− 4 > 0.
Lời giải.
a) Ta có |x − 2| < |2x + 1| ⇔ (x − 2)
2
< (2x + 1)
2
⇔ 3x
2
+ 8x − 3 > 0 ⇔
x >
1
3
x < −3
.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3) ∪
1
3
; +∞
.
b) Điều kiện: x = 3. Bất phương trình tương đương với
|2x − 3| ≤ |x − 3| ⇔ (2x −3)
2
≤ (x −3)
2
⇔ 3x
2
− 6x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 (thỏa mãn)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 2].
c) Với x
2
− 5x + 4 ≥ 0 ⇔
x ≥ 4
x ≤ 1
, bất phương trình trở thành
x
2
− 5x + 4 ≤ x
2
+ 6x + 5 ⇔ x ≥ −
1
11
⇒ S
1
=
−
1
11
; 1
∪ [4; +∞)
Với x
2
− 5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, bất phương trình trở thành
−x
2
+ 5x − 4 ≤ x
2
+ 6x + 5 ⇔ 2x
2
+ x + 9 ≥ 0 (đúng ∀x ∈ (1; 4)) ⇒ S
2
= (1; 4)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S
1
∪ S
2
=
−
1
11
; +∞
.
d) Với x
2
− 2x ≥ 0 ⇔
x ≥ 2
x ≤ 0
, bất phương trình trở thành
x
2
− 2x + x
2
− 4 > 0 ⇔
x > 2
x < −1
(thỏa mãn) ⇒ S
1
= (−∞; −1) ∪ (2; +∞)
Với x
2
− 2x < 0 ⇔ 0 < x < 2, bất phương trình trở thành
−x
2
+ 2x + x
2
− 4 > 0 ⇔ x > 2 (loại) ⇒ S
2
= ∅
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S
1
∪ S
2
= (−∞; −1) ∪ (2; +∞).
Bài tập 2.13. Giải các phương trình sau
a) |9 − x| = |6 −5x|+ |4x + 3|. b)
x
2
− 5x + 4
+
x
2
− 5x
= 4.
c) |7 − 2x| = |5 −3x|+ |x + 2|. d) |x − 1| − 2 |x − 2| + 3 |x − 3| = 4.
e)
√
x
2
− 2x + 1 +
√
x
2
+ 4x + 4 = 5.
f)
x + 2
√
x − 1 +
x − 2
√
x − 1 = 2.
Lời giải.
a) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −
3
4
6
5
9 +∞
9 − x + | + | + 0 −
6 − 5x + | + 0 − | −
4x + 3 − 0 + | + | +
Với x ∈
−∞; −
3
4
, phương trình trở thành 9 − x = 6 − 5x − 4x − 3 ⇔ x = −
3
4
(thỏa mãn).
Với x ∈
−
3
4
;
6
5
, phương trình trở thành 9 − x = 6 − 5x + 4x + 3 ⇔ 9 = 9 (đúng , ∀x ∈
−
3
4
;
6
5
).
Với x ∈
6
5
; 9
, phương trình trở thành 9 − x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x =
6
5
(loại).
Với x ∈ (9; +∞), phương trình trở thành −9 + x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x = −
3
4
(loại).
Vậy phương trình có tập nghiệm S =
−
3
4
;
6
5
.
b) Ta có bảng xét dấu
8
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
x −∞ 0 1 4 5 +∞
x
2
− 5x + 4 + | + 0 − 0 + | +
x
2
− 5x + 0 − | − | − 0 +
Với x ∈ (−∞; 0], phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 + x
2
− 5x = 4 ⇔
x = 0 (thỏa mãn)
x = 5 (loại)
.
Với x ∈ (0; 1], phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 − x
2
+ 5x = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng , ∀x ∈ (0; 1]).
Với x ∈ (1; 4], phương trình trở thành −x
2
+ 5x − 4 − x
2
+ 5x = 4 ⇔
x = 4 (thỏa mãn)
x = 1 (loại)
.
Với x ∈ (4; 5], phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 − x
2
+ 5x = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng , ∀x ∈ (4; 5]).
Với x ∈ (5; +∞), phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 + x
2
− 5x = 4 ⇔
x = 0 (loại)
x = 5 (loại)
.
Vậy phương trình có tập nghiệm S = [0;1] ∪ [4; 5].
c) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −2
5
3
7
2
+∞
7 − 2x + | + | + 0 −
5 − 3x + | + 0 − | −
x + 2 − 0 + | + | +
Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành 7 − 2x = 5 −3x −x −2 ⇔ x = −2 (thỏa mãn).
Với x ∈
−2;
5
3
, phương trình trở thành 7 − 2x = 5 − 3x + x + 2 ⇔ 7 = 7 (đúng , ∀x ∈
−2;
5
3
).
Với x ∈
5
3
;
7
2
, phương trình trở thành 7 − 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x =
5
3
(loại).
Với x ∈
7
2
; +∞
, phương trình trở thành −7 + 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x = −2 (loại).
Vậy phương trình có tập nghiệm S =
−2;
5
3
.
d) Ta có bảng xét dấu
x −∞ 1 2 3 +∞
x − 1 − 0 + | + | +
x − 2 − | − 0 + | +
x − 3 − | − | − 0 +
Với x ∈ (−∞; 1], phương trình trở thành −x + 1 − 2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ x = 1 (thỏa mãn).
Với x ∈ (1; 2], phương trình trở thành x − 1 − 2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng , ∀x ∈ (1; 2]).
Với x ∈ (2; 3], phương trình trở thành x − 1 − 2 (x − 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ x = 2 (loại).
Với x ∈ (3; +∞), phương trình trở thành x − 1 − 2 (x − 2) + 3 (x − 3) = 4 ⇔ x = 5 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1;2] ∪ {5}.
e) Phương trình tương đương với |x − 1| + |x + 2| = 5.
Ta có bảng xét dấu
x −∞ −2 1 +∞
x − 1 − | − 0 +
x + 2 − 0 + | +
Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành −x + 1 − x − 2 = 5 ⇔ x = 3 (loại).
Với x ∈ (−2; 1], phương trình trở thành −x + 1 + x + 2 = 5 ⇔ 3 = 5 (vô lý).
Với x ∈ (1; +∞), phương trình trở thành x − 1 + x + 2 = 5 ⇔ x = 2 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
f) Phương trình tương đương với
√
x − 1 + 1 +
√
x − 1 − 1
= 2.
Với
√
x − 1 − 1
≥ 0 ⇔ x ≥ 2, PT trở thành
√
x − 1 + 1 +
√
x − 1 − 1 = 2 ⇔
√
x − 1 = 1 ⇔ x = 2 (thỏa mãn).
Với
√
x − 1 − 1
< 0 ⇔ 1 ≤ x < 2, PT trở thành
√
x − 1 + 1 −
√
x − 1 + 1 = 2 ⇔ 2 = 2 (đúng ∀x ∈ [1; 2)).
Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1;2].
§2. Phương Trình - Bất Phương Trình Chứa Căn
Bài tập 2.14. Giải các phương trình sau
a) x −
√
x − 1 − 7 = 0. b)
√
2x + 9 =
√
4 − x +
√
3x + 1.
c)
√
3x − 3 −
√
5 − x =
√
2x − 4.
d)
2x +
√
6x
2
+ 1 = x + 1.
e)
3
√
2x − 1 +
3
√
x − 1 =
3
√
3x + 1. f)
3
√
x + 1 +
3
√
x + 2 +
3
√
x + 3 = 0.
9
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Phương trình tương đương với
√
x − 1 = x − 7 ⇔
x ≥ 7
x − 1 = x
2
− 14x + 49
⇔
x ≥ 7
x = 5 (loại)
x = 10
⇔ x = 10
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.
b) Điều kiện: −
1
3
≤ x ≤ 4. Phương trình tương đương với
2x + 9 = 4 − x + 3x + 1 + 2
(4 − x) (3x + 1) ⇔ 4 = 2
−3x
2
+ 11x + 4
⇔ − 3x
2
+ 11x + 4 = 4 ⇔
x = 0
x =
11
3
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x =
11
3
.
c) Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 5. Phương trình tương đương với
√
3x − 3 =
√
5 − x +
√
2x − 4 ⇔ 3x −3 = 5 −x + 2x −4 + 2
(5 − x) (2x − 4)
⇔ 2x − 4 = 2
(5 − x) (2x − 4) ⇔ (2x −4)
2
= 4 (5 − x) (2x − 4)
⇔(2x − 4) (2x − 4 − 20 + 4x) = 0 ⇔
x = 2
x = 4
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 4.
d) Phương trình tương đương với
x + 1 ≥ 0
2x +
√
6x
2
+ 1 = x
2
+ 2x + 1
⇔
x ≥ −1
6x
2
+ 1 = x
4
+ 2x
2
+ 1
⇔
x ≥ −1
x = 0
x = 2
x = −2 (loại)
⇔
x = 0
x = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2.
e) Phương trình tương đương với
2x − 1 + x − 1 + 3
3
(2x − 1) (x − 1)
3
√
2x − 1 +
3
√
x − 1
= 3x + 1
⇒
3
(2x − 1) (x − 1) (3x + 1) = 1 ⇒ 6x
3
− 7x
2
= 0 ⇒
x = 0
x =
7
6
Thử lại ta thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
7
6
.
f) Phương trình tương đương với
3
√
x + 1 +
3
√
x + 2 = −
3
√
x + 3 ⇔ x + 1 + x + 2 + 3
3
(x + 1) (x + 2)
3
√
x + 1 +
3
√
x + 2
= −x − 3
⇒
3
(x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + 2 ⇒ (x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + 2 ⇒ x = −2
Thử lại ta thấy x = −2 là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2.
Bài tập 2.15. Giải các bất phương trình sau
a)
√
x
2
− 4x − 12 > 2x + 3. b)
√
x
2
− 4x − 12 ≤ x −4.
c)
3
√
6x − 9x
2
< 3x. d)
√
x
3
+ 1 ≥ x + 1.
Lời giải.
a) Bất phương trình tương đương với
2x + 3 < 0
x
2
− 4x − 12 ≥ 0
2x + 3 ≥ 0
x
2
− 4x − 12 > 4x
2
+ 12x + 9
⇔
x < −
3
2
x ≥ 6
x ≤ −2
x ≥ −
3
2
−3 < x < −
7
3
⇔ x ≤ −2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2].
b) Bất phương trình tương đương với
x − 4 ≥ 0
x
2
− 4x − 12 ≥ 0
x
2
− 4x − 12 ≤ x
2
− 8x + 16
⇔
x ≥ 4
x ≥ 6
x ≤ −2
x ≤ 7
⇔ 6 ≤ x ≤ 7
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [6; 7].
c) Bất phương trình tương đương với 6x − 9x
2
< 27x
3
⇔ 27x
3
+ 9x
2
− 6x > 0. Ta có bảng xét dấu
10
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
x −∞ −
2
3
0
1
3
+∞
VT − 0 + 0 − 0 +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
−
2
3
; 0
∪
1
3
; +∞
.
d) Bất phương trình tương đương với
x + 1 < 0
x
3
+ 1 ≥ 0
x + 1 ≥ 0
x
3
+ 1 ≥ x
2
+ 2x + 1
⇔
x < −1
x
3
≥ −1
(vô nghiệm)
x ≥ −1
−1 ≤ x ≤ 0
x ≥ 2
⇔
−1 ≤ x ≤ 0
x ≥ 2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [−1; 0] ∪ [2; +∞).
Bài tập 2.16. Giải các bất phương trình sau
a) (CĐ-09)
√
x + 1 + 2
√
x − 2 ≤
√
5x + 1. b) (A-05)
√
5x − 1 −
√
x − 1 >
√
2x − 4.
c)
2x +
√
6x
2
+ 1 > x + 1.
d) (A-04)
2 (x
2
− 16)
√
x − 3
+
√
x − 3 >
7 − x
√
x − 3
.
Lời giải.
a) Điều kiện: x ≥ 2. Bất phương trình tương đương với
x + 1 + 4 (x − 2) + 4
(x + 1) (x − 2) ≤ 5x + 1 ⇔ x
2
− x − 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; 3].
b) Điều kiện: x ≥ 2. Bất phương trình tương đương với
√
5x − 1 >
√
x − 1 +
√
2x − 4 ⇔ 5x −1 > x − 1 + 2x − 4 + 2
(x − 1) (2x − 4)
⇔ x + 2 >
(x − 1) (2x − 4) ⇔ x
2
+ 4x + 4 > 2x
2
− 6x + 4 ⇔ 0 < x < 10
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; 10).
c) Bất phương trình tương đương với
x + 1 < 0
2x +
√
6x
2
+ 1 ≥ 0
x + 1 ≥ 0
2x +
√
6x
2
+ 1 > x
2
+ 2x + 1
⇔
x < −1
√
6x
2
+ 1 ≥ −2x
x ≥ −1
6x
2
+ 1 > x
4
+ 2x
2
+ 1
⇔
x < −1
6x
2
+ 1 ≥ 4x
2
(đúng,∀x ∈ R)
x ≥ −1
x < −2
0 < x < 2
⇔
x < −1
0 < x < 2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −1) ∪ (0; 2).
d) Điều kiện: x ≥ 4. Bất phương trình tương đương với
2 (x
2
− 16) + x − 3 > 7 −x ⇔
2 (x
2
− 16) > 10 −2x ⇔
10 − 2x < 0
10 − 2x ≥ 0
2x
2
− 32 > 100 −40x + 4x
2
⇔
x > 5
x ≤ 5
10 −
√
34 < x < 10 +
√
34
⇔
x > 5
10 −
√
34 < x ≤ 5
⇔ x > 10 −
√
34
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =
10 −
√
34; +∞
.
Bài tập 2.17. Giải các phương trình sau
a) (D-05) 2
x + 2 + 2
√
x + 1 −
√
x + 1 = 4. b)
x − 1 + 2
√
x − 2 −
x − 1 − 2
√
x − 2 = 1.
c) x +
x +
1
2
+
x +
1
4
= 9.
d)
x + 2
√
x − 1 +
x − 2
√
x − 1 =
x + 3
3
.
Lời giải.
a) Phương trình tương đương với 2
√
x + 1 + 1
−
√
x + 1 = 4 ⇔
√
x + 1 = 2 ⇔ x = 3.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
11
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
b) Phương trình tương đương với
√
x − 2 + 1 −
√
x − 2 − 1
= 1 ⇔
√
x − 2 −
√
x − 2 − 1
= 0
Với
√
x − 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3, PT trở thành
√
x − 2 −
√
x − 2 + 1 = 0 ⇔ 1 = 0 (vô lý).
Với
√
x − 2 − 1 < 0 ⇔ 2 ≤ x < 3, PT trở thành
√
x − 2 +
√
x − 2 − 1 = 0 ⇔ 4(x −2) = 1 ⇔ x =
9
4
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm x =
9
4
.
c) Phương trình tương đương với
x +
x +
1
4
+
1
2
= 9 ⇔
x +
1
4
=
17
2
− x
⇔
17
2
− x ≥ 0
x +
1
4
=
289
4
− 17x + x
2
⇔
x ≤
17
2
x = 12 (loại)
x = 6
⇔ x = 6
d) Phương trình tương đương với
√
x − 1 + 1 +
√
x − 1 − 1
=
x+3
3
.
Với
√
x − 1 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2, phương trình trở thành
√
x − 1 + 1 +
√
x − 1 − 1 =
x + 3
3
⇔ 6
√
x − 1 = x + 3
⇔
x + 3 ≥ 0
36(x − 1) = x
2
+ 6x + 9
⇔
x ≥ −3
x = 15 ±6
√
5
⇔ x = 15 ± 6
√
5
Với
√
x − 1 − 1 < 0 ⇔ 1 ≤ x < 2, phương trình trở thành
√
x − 1 + 1 −
√
x − 1 + 1 =
x + 3
3
⇔ 6 = x + 3 ⇔ x = 3 (loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 15 ±6
√
5.
Bài tập 2.18. Giải các bất phương trình sau
a)
x
4
+
√
x − 4 ≥ 8 −x.
b) (D-02)
x
2
− 3x
√
2x
2
− 3x − 2 ≥ 0.
c) (x − 2)
√
x
2
+ 4 < x
2
− 4. d) (x + 2)
√
9 − x
2
≤ x
2
− 2x − 8.
e)
√
x
2
− 3x + 2 +
√
x
2
− 4x + 3 ≥ 2
√
x
2
− 5x + 4. f)
√
x
2
+ x − 2 +
√
x
2
+ 2x − 3 ≤
√
x
2
+ 4x − 5.
Lời giải.
a) Bất phương trình tương đương với
x + 4
√
x − 4 ≥ 16 −2x ⇔
√
x − 4 + 2 ≥ 16 −2x ⇔
√
x − 4 ≥ 14 −2x
⇔
14 − 2x < 0
x − 4 ≥ 0
14 − 2x ≥ 0
x − 4 ≥ 196 −56x + 4x
2
⇔
x > 7
x ≥ 4
x ≤ 7
25
4
≤ x ≤ 8
⇔
x > 7
25
4
≤ x ≤ 7
⇔ x ≥
25
4
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
25
4
; +∞
.
b) Bất phương trình tương đương với
√
2x
2
− 3x − 2 = 0
√
2x
2
− 3x − 2 > 0
x
2
− 3x ≥ 0
⇔
x = 2
x = −
1
2
x > 2
x < −
1
2
x ≥ 3
x ≤ 0
⇔
x = 2
x = −
1
2
x ≥ 3
x < −
1
2
⇔
x = 2
x ≥ 3
x ≤ −
1
2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
−∞; −
1
2
∪ [3; +∞) ∪ {2}.
c) Bất phương trình tương đương với
(x − 2)
x
2
+ 4 < (x −2) (x + 2) ⇔ (x − 2)
x
2
+ 4 − x − 2
< 0
⇔
x − 2 > 0
√
x
2
+ 4 < x + 2
x − 2 < 0
√
x
2
+ 4 > x + 2
⇔
x > 2
x
2
+ 4 < x
2
+ 4x + 4
x < 2
x
2
+ 4 > x
2
+ 4x + 4
⇔
x > 2
x < 0
12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; 0) ∪ (2; +∞).
d) Bất phương trình tương đương với
(x + 2)
9 − x
2
≤ (x + 2) (x −4) ⇔ (x + 2)
9 − x
2
− x + 4
≤ 0
⇔
x + 2 ≥ 0
√
9 − x
2
≤ x −4
x + 2 ≤ 0
√
9 − x
2
≥ x −4
⇔
x ≥ −2
x − 4 ≥ 0
9 − x
2
≥ 0
9 − x
2
≤ x
2
− 8x + 16
(vô nghiệm)
x ≤ −2
9 − x
2
≥ 0
⇔ −3 ≤ x ≤ −2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [−3; −2].
e) Điều kiện:
x ≥ 4
x ≤ 1
. BPT tương đương với
(x − 1) (x − 2) +
(x − 1) (x − 3) ≥ 2
(x − 1) (x − 4).
Nhận thấy x = 1 là nghiệm của bất phương trình.
Với x ≥ 4, bất phương trình trở thành
√
x − 1
√
x − 2 +
√
x − 3 − 2
√
x − 4
≥ 0 ⇔
√
x − 2+
√
x − 3 ≥ 2
√
x − 4.
Vì
√
x − 2 >
√
x − 4 và
√
x − 3 >
√
x − 4 nên bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ [4; +∞).
Với x < 1, bất phương trình trở thành
√
1 − x
√
2 − x +
√
3 − x − 2
√
4 − x
≥ 0 ⇔
√
2 − x+
√
3 − x ≥ 2
√
4 − x.
Vì
√
2 − x <
√
4 − x và
√
3 − x >
√
4 − x nên bất phương trình vô nghiệm.
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = [4;+∞) ∪ {1}.
f) Điều kiện:
x ≥ 1
x ≤ −5
. BPT tương đương với
(x − 1) (x + 2) +
(x − 1) (x + 3) ≤ 2
(x − 1) (x + 5).
Nhận thấy x = 1 là nghiệm của bất phương trình.
Với x > 1, bất phương trình trở thành
√
x − 1
√
x + 2 +
√
x + 3 −
√
x + 5
≤ 0 ⇔
√
x + 2 +
√
x + 3 ≤
√
x + 5
⇔ x + 2 + x + 3 + 2
(x + 2) (x + 3) ≤ x + 5 ⇔ 2
(x + 2) (x + 3) ≤ −x (vô nghiệm)
Với x ≤ −5, bất phương trình trở thành
√
1 − x
√
−x − 2 +
√
−x − 3 −
√
−x − 5
≤ 0 ⇔
√
−x − 2 +
√
−x − 3 ≤
√
−x − 5
⇔ − x − 2 − x − 3 + 2
(x + 2) (x + 3) ≤ −x −5 ⇔ 2
(x + 2) (x + 3) ≤ x
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x = 1.
Bài tập 2.19. Giải các phương trình sau
a) (D-06)
√
2x − 1 + x
2
− 3x + 1 = 0.
b)
7 − x
2
+ x
√
x + 5 =
√
3 − 2x − x
2
.
c)
√
2x
2
+ 8x + 6 +
√
x
2
− 1 = 2x + 2.
d) 3
2 +
√
x − 2
= 2x +
√
x + 6.
e) x
2
+ 3x + 1 = (x + 3)
√
x
2
+ 1.
f)
x
2
−
7
x
2
+
x −
7
x
2
= x.
Lời giải.
a) Phương trình tương đương với
√
2x − 1 = −x
2
+ 3x − 1 ⇔
−x
2
+ 3x − 1 ≥ 0
2x − 1 = x
4
+ 9x
2
+ 1 − 6x
3
+ 2x
2
− 6x
⇔
−x
2
+ 3x − 1 ≥ 0
x
4
− 6x
3
+ 11x
2
− 8x + 2 = 0
⇔
−x
2
+ 3x − 1 ≥ 0
(x − 1)
2
x
2
− 4x + 2
= 0
⇔
−x
2
+ 3x − 1 ≥ 0
x = 1
x = 2 +
√
2 (loại)
x = 2 −
√
2
⇔
x = 0
x = 2 −
√
2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2 −
√
2.
b) Ta có
7 − x
2
+ x
√
x + 5 =
3 − 2x − x
2
⇒ 7 −x
2
+ x
√
x + 5 = 3 − 2x − x
2
⇒ x
√
x + 5 = −2x − 4 ⇒ x
2
(x + 5) = 4x
2
+ 16x + 16 ⇒
x = −1
x = ±4
13
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Thử lại ta thấy x = ±4 không phải là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x = −1.
c) Điều kiện:
x ≥ 1
x = −1
x ≤ −3
. Phương trình tương đương với
2 (x + 1) (x + 3) +
(x − 1) (x + 1) = 2(x + 1)
Nhận thấy x = −1 là nghiệm của phương trình.
Với x ≥ 1, phương trình trở thành
√
x + 1
√
2x + 6 +
√
x − 1 − 2
√
x + 1
= 0 ⇔
√
2x + 6 +
√
x − 1 = 2
√
x + 1
⇔ 2x + 6 + x − 1 + 2
(2x + 6) (x − 1) = 4 (x + 1) ⇔ 2
2x
2
+ 4x − 6 = x − 1
⇔ 4
2x
2
+ 4x − 6
= x
2
− 2x + 1 ⇔ 7x
2
+ 18x − 25 = 0 ⇔
x = 1
x = −
25
7
(loại)
Với x ≤ −3, phương trình trở thành
√
−x − 1
√
−2x − 6 +
√
1 − x − 2
√
−x − 1
= 0 ⇔
√
−2x − 6 +
√
1 − x = 2
√
−x − 1
⇔ − 2x − 6 + 1 − x + 2
(2x + 6) (x − 1) = 4 (−x − 1) ⇔ 2
2x
2
+ 4x − 6 = 1 − x
⇔ 4
2x
2
+ 4x − 6
= x
2
− 2x + 1 ⇔ 7x
2
+ 18x − 25 = 0 ⇔
x = 1 (loại)
x = −
25
7
d) Điều kiện: x ≥ 2. Phương trình tương đương với
3
√
x − 2 −
√
x + 6 = 2x − 6 ⇔
9 (x − 2) − (x + 6)
3
√
x − 2 +
√
x + 6
= 2x − 6
⇔ 8 (x − 3) = 2 (x − 3)
3
√
x − 2 +
√
x + 6
⇔ 2 (x −3)
3
√
x − 2 +
√
x + 6 − 4
= 0
⇔
x = 3
3
√
x − 2 +
√
x + 6 = 4
⇔
x = 3
9 (x − 2) + x + 6 + 6
(x − 2) (x + 6) = 16
⇔
x = 3
3
√
x
2
+ 4x − 12 = 14 − 5x
⇔
x = 3
14 − 5x ≥ 0
9
x
2
+ 4x − 12
= 196 − 160x + 25x
2
⇔
x = 3
x ≤
14
5
16x
2
− 196x + 304 = 0
⇔
x = 3
x =
49±
√
2097
2
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
e) Ta có phương trình hệ quả
x
4
+ 9x
2
+ 1 + 6x
3
+ 2x
2
+ 6x =
x
2
+ 6x + 9
x
2
+ 1
⇒ x
4
+ 6x
3
+ 11x
2
+ 6x + 1 = x
4
+ 6x
3
+ 10x
2
+ 6x + 9 ⇒ x = ±2
√
2
Thử lại ta thấy x = ±2
√
2 là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2
√
2.
f) Ta có phương trình hệ quả
x
2
−
7
x
2
= x −
x −
7
x
2
⇒ x
2
−
7
x
2
= x
2
+ x −
7
x
2
− 2x
x −
7
x
2
⇒ x
1 − 2
x −
7
x
2
= 0 ⇒ 2
x −
7
x
2
= 1 ⇒ 4
x −
7
x
2
= 1
⇒ 4x
3
− x
2
− 28 = 0 ⇒ x = 2
Thử lại ta thấy x = 2 là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Bài tập 2.20. Giải các bất phương trình sau
a)
1 −
√
1 − 4x
2
x
< 3.
b)
1 −
√
21 − 4x + x
2
x + 1
≥ 0.
c)
2x
√
2x + 1 − 1
> 2x + 2.
d)
x
2
1 +
√
1 + x
2
> x −4.
14
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Lời giải.
a) Điều kiện x ∈
−
1
2
;
1
2
\{0}. Phương trình tương đương với
1 −
1 − 4x
2
x
1 +
√
1 − 4x
2
< 3 ⇔ 4x < 3 + 3
1 − 4x
2
⇔ 3
1 − 4x
2
> 4x −3
Vì 4x − 3 < 0, ∀x ∈
−
1
2
;
1
2
\{0} nên bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈
−
1
2
;
1
2
\{0}.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
−
1
2
;
1
2
\{0}.
b) Điều kiện: x = −1. Bất phương trình tương đương với
1 −
21 − 4x + x
2
(x + 1)
1 +
√
21 − 4x + x
2
≥ 0 ⇔
−x
2
+ 4x − 20
x + 1
≥ 0 ⇔ x + 1 < 0 ⇔ x < −1
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −1).
c) Điều kiện: x ≥ −
1
2
, x = 0. Bất phương trình tương đương với
√
2x + 1 + 1 > 2x + 2 ⇔
√
2x + 1 > 2x + 1 ⇔ 2x + 1 > 4x
2
+ 4x + 1 ⇔ −
1
2
< x < 0
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =
−
1
2
; 0
.
d) Điều kiện: x ≥ −1. Nhận thấy x = 0 là nghiệm của bất phương trình.
Với x = 0, bất phương trình tương đương với
1 −
√
x + 1
2
> x −4 ⇔ 1 + x + 1 − 2
√
x + 1 > x −4 ⇔
√
x + 1 < 3 ⇔ x < 8
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [−1; 8).
Bài tập 2.21. Giải các phương trình sau
a) (x + 5) (2 − x) = 3
√
x
2
+ 3x.
b)
(x + 1) (2 − x) = 1 + 2x − 2x
2
.
c)
√
x + 1 +
√
4 − x +
(x + 1) (4 − x) = 5.
d)
√
3x − 2 +
√
x − 1 = 4x − 9 + 2
√
3x
2
− 5x + 2.
Lời giải.
a) Phương trình tương đương với −x
2
− 3x + 10 = 3
√
x
2
+ 3x ⇔ x
2
+ 3x + 3
√
x
2
+ 3x − 10 = 0.
Đặt
√
x
2
+ 3x = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t
2
+ 3t − 10 = 0 ⇔
t = 2
t = −5 (loại)
.
Với t = 2 ⇒
√
x
2
+ 3x = 2 ⇔ x
2
+ 3x − 4 = 0 ⇔
x = 1
x = −4
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −4.
b) Phương trình tương đương với
√
2 + x − x
2
= 1 + 2
x − x
2
.
Đặt
√
2 + x − x
2
= t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t = 1 + 2
t
2
− 2
⇔ 2t
2
− t − 3 = 0 ⇔
t = −1 (loại)
x =
3
2
Với t =
3
2
⇒
√
2 + x − x
2
=
3
2
⇔ 4
2 + x − x
2
= 9 ⇔ 4x
2
− 4x + 1 = 0 ⇔ x =
1
2
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
1
2
.
c) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 4. Đặt
√
x + 1 +
√
4 − x = t (t ≥ 0) ⇔
(x + 1) (4 − x) =
t
2
−5
2
. Phương trình trở thành
t +
t
2
− 5
2
= 5 ⇔ t
2
+ 2t − 15 = 0 ⇔
t = 3
t = −5 (loại)
Với t = 3 ⇒
√
−x
2
+ 3x + 4 = 2 ⇔ −x
2
+ 3x + 4 = 4 ⇔
x = 0
x = 3
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 3.
d) Điều kiện: t ≥ 1. Đặt
√
3x − 2 +
√
x − 1 = t (t ≥ 0) ⇔ 4x + 2
√
3x
2
− 5x + 2 = t
2
+ 3. Phương trình trở thành
t = t
2
+ 3 − 9 ⇔ t
2
− t − 6 = 0 ⇔
t = 3
t = −2 (loại)
Với t = 3 ⇒
3x
2
− 5x + 2 = 3 − 2x ⇔
x ≤
3
2
3x
2
− 5x + 2 = 9 − 12x + 4x
2
⇔ x =
7 −
√
21
2
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm x =
7 −
√
21
2
.
15
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 2.22. Giải các phương trình sau
a) x +
√
4 − x
2
= 2 + 3x
√
4 − x
2
.
b) (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3)
x+1
x−3
= −3.
c)
4
x
2
+
x
2
4 − x
2
+
5
2
√
4 − x
2
x
+
x
√
4 − x
2
+ 2 = 0.
d) (B-2011) 3
√
2 + x −6
√
2 − x +4
√
4 − x
2
= 10 −3x.
Lời giải.
a) Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2. Đặt x +
√
4 − x
2
= t ⇒ x
√
4 − x
2
=
t
2
−4
2
. Phương trình trở thành
t = 2 +
3
t
2
− 4
2
⇔ 3t
2
− 2t − 8 = 0 ⇔
t = 2
t = −
4
3
Với t = 2 ⇒
√
4 − x
2
= 2 − x ⇔ 4 − x
2
= 4 − 4x + x
2
⇔
x = 0
x = 2
(thỏa mãn).
Với t = −
4
3
⇒
√
4 − x
2
= −
4
3
− x ⇔
x ≤ −
4
3
9
4 − x
2
= (4 + 3x)
2
⇔
x ≤ −
4
3
x =
−2±
√
14
3
⇔ x =
−2−
√
14
3
(thỏa mãn).
b) Điều kiện:
x > 3
x ≤ −1
. Đặt (x − 3)
x+1
x−3
= t ⇒ (x − 3) (x + 1) = t
2
.
Phương trình trở thành t
2
+ 4t + 3 = 0 ⇔
t = −1
t = −3
.
Với t = −1 ⇒ (x −3)
x+1
x−3
= −1 ⇔
x < 3
(x − 3) (x + 1) = 1
⇔
x < 3
x = 1 ±
√
5
⇔ x = 1 −
√
5 (thỏa mãn).
Với t = −3 ⇒ (x −3)
x+1
x−3
= −3 ⇔
x < 3
(x − 3) (x + 1) = 9
⇔
x < 3
x = 1 ±
√
13
⇔ x = 1 −
√
13 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 −
√
5, x = 1 −
√
13.
c) Điều kiện: −2 < x < 2, x = 0. Đặt
√
4 − x
2
x
+
x
√
4 − x
2
= t ⇒
4 − x
2
x
2
+
x
2
4 − x
2
= t
2
−2 ⇔
4
x
2
+
x
2
4 − x
2
= t
2
−1.
Phương trình trở thành t
2
− 1 +
5
2
t + 2 = 0 ⇔
t = −2
t = −
1
2
.
Với t = −2 ⇒
√
4 − x
2
x
+
x
√
4 − x
2
= −2 ⇔ 4 = −2x
4 − x
2
⇔
x < 0
x = ±
√
2
⇔ x = −
√
2 (thỏa mãn).
Với t = −
1
2
⇒
√
4 − x
2
x
+
x
√
4 − x
2
= −
1
2
⇔ 4 = −
1
2
x
4 − x
2
⇔
x < 0
x
4
− 4x
2
+ 64 = 0
(vô nghiệm).
d) Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2. Phương trình tương đương với 3
√
2 + x − 2
√
2 − x
+ 4
√
4 − x
2
= 10 − 3x.
Đặt
√
2 + x − 2
√
2 − x = t ⇒ 4
√
4 − x
2
= 10 − 3x − t
2
. Phương trình trở thành 3t − t
2
= 0 ⇔
t = 0
t = 3
.
Với t = 0 ⇒
√
2 + x = 2
√
2 − x ⇔ 2 + x = 4 (2 − x) ⇔ x =
6
5
(thỏa mãn).
Với t = 3 ⇒
√
2 + x = 2
√
2 − x + 3 ⇔ 12
√
2 − x = 5x −15 (vô nghiệm vì 5x − 15 < 0, ∀x ∈ [−2; 2]).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
6
5
.
Bài tập 2.23. Giải các phương trình sau
a) x
2
+ 3x + 2 ≥ 2
√
x
2
+ 3x + 5. b) x
2
+
√
2x
2
+ 4x + 3 ≥ 6 −2x.
c) x (x + 1) −
√
x
2
+ x + 4 + 2 ≥ 0.
d) x
2
− 2x + 8 − 6
(4 − x) (2 + x) ≤ 0.
e)
x
x + 1
− 2
x + 1
x
> 3.
f)
√
x + 2 +
√
x − 1 + 2
√
x
2
+ x − 2 ≤ 11 −2x.
Lời giải.
a) Đặt
√
x
2
+ 3x + 5 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành t
2
− 3 ≥ 2t ⇔
t ≥ 3
t ≤ −1 (loại)
.
Với t ≥ 3 ⇒ x
2
+ 3x + 5 ≥ 9 ⇔
x ≥ 1
x ≤ −4
. Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −4] ∪ [1; +∞).
b) Đặt
√
2x
2
+ 4x + 3 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành
t
2
−3
2
+ t ≥ 6 ⇔
t ≥ 3
t ≤ −5 (loại)
.
Với t ≥ 3 ⇒ 2x
2
+ 4x + 3 ≥ 9 ⇔
x ≥ 1
x ≤ −3
. Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [1; +∞).
c) Đặt
√
x
2
+ x + 4 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành t
2
− 4 − t + 2 ≥ 0 ⇔
t ≥ 2
t ≤ −1 (loại)
.
Với t ≥ 2 ⇒ x
2
+ x + 4 ≥ 4 ⇔
x ≥ 0
x ≤ −1
. Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −1] ∪ [0; +∞).
d) Bất phương trình tương đương với x
2
− 2x + 8 − 6
√
8 + 2x − x
2
≤ 0.
16
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Đặt
√
8 + 2x − x
2
= t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành 8 − t
2
+ 8 − 6t ≤ 0 ⇔
t ≥ 2
t ≤ −8 (loại)
.
Với t ≥ 2 ⇒ 8 + 2x − x
2
≥ 4 ⇔ 1 −
√
5 < x < 1 +
√
5.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
1 −
√
5; 1 +
√
5
.
e) Điều kiện:
x > 0
x < −1
. Đặt
x + 1
x
= t (t > 0). Bất phương trình trở thành
1
t
2
− 2t > 3 ⇔ 2t
3
+ 3t
2
− 1 < 0 ⇔ (t + 1)
2
(2x − 1) < 0 ⇔ t <
1
2
Với t <
1
2
⇒
x + 1
x
<
1
4
⇔
3x + 4
4x
< 0 ⇔ −
4
3
< x < 0.
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =
−
4
3
; −1
.
f) Điều kiện: x ≥ 1. Đặt
√
x + 2 +
√
x − 1 = t (t ≥ 0) ⇒ 2
(x + 2) (x − 1) = t
2
− 2x − 1.
Bất phương trình trở thành t + t
2
≤ 12 ⇔ −4 ≤ t ≤ 3 ⇔ t ≤ 3 (vì t ≥ 0).
Với t ≤ 3 ⇒ 2
√
x
2
+ x − 2 ≤ 8 −2x ⇔
x ≤ 4
x
2
+ x − 2 ≤ 16 −8x + x
2
⇔
x ≤ 4
x ≤ 2
⇔ x ≤ 2.
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [1; 2].
Bài tập 2.24. Giải các phương trình sau
a) x
2
− 1 = 2x
√
x
2
− 2x. b) x
2
− 1 = 2x
√
x
2
+ 2x.
c) (4x − 1)
√
x
3
+ 1 = 2x
3
+ 2x + 1. d) x
2
+ 4x = (x + 2)
√
x
2
− 2x + 24.
Lời giải.
a) Đặt
√
x
2
− 2x = t (t ≥ 0) ⇒ x
2
= t
2
+ 2x. Phương trình trở thành
t
2
+ 2x − 1 = 2xt ⇔ (t − 1) (t + 1) = 2x (t − 1) ⇔ (t −1) (t + 1 −2x) = 0 ⇔
t = 1
t = 2x −1
Với t = 1 ⇒
√
x
2
− 2x = 1 ⇔ x
2
− 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ±
√
2.
Với t = 2x − 1 ⇒
√
x
2
− 2x = 2x −1 ⇔
2x − 1 ≥ 0
x
2
− 2x = 4x
2
− 4x + 1
⇔
x ≥
1
2
3x
2
− 2x + 1 = 0
(vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ±
√
2.
b) Đặt
√
x
2
+ 2x = t (t ≥ 0) ⇒ x
2
= t
2
− 2x. Phương trình trở thành
t
2
− 2x − 1 = 2xt ⇔ (t − 1) (t + 1) = 2x (t + 1) ⇔ (t + 1) (t −1 −2x) = 0 ⇔
t = −1 (loại)
t = 2x + 1
Với t = 2x + 1 ⇒
√
x
2
+ 2x = 2x + 1 ⇔
2x + 1 ≥ 0
x
2
+ 2x = 4x
2
+ 4x + 1
⇔
x ≥
1
2
3x
2
+ 2x + 1 = 0
(vô nghiệm).
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Đặt
√
x
3
+ 1 = t (t ≥ 0) ⇒ x
3
= t
2
− 1. Phương trình trở thành
(4x − 1) t = 2
t
2
− 1
+ 2x + 1 ⇔ 2t
2
− (4x − 1) t + 2x − 1 = 0 ⇔
t =
1
2
t = 2x −1
Với t =
1
2
⇒
x
3
+ 1 =
1
2
⇔ x
3
= −
3
4
⇔ x = −
3
√
6
2
.
Với t = 2x − 1 ⇒
√
x
3
+ 1 = 2x − 1 ⇔
2x − 1 ≥ 0
x
3
+ 1 = 4x
2
− 4x + 1
⇔
x ≥
1
2
x = 0
x = 2
⇔ x = 2.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −
3
√
6
2
, x = 2.
d) Đặt
√
x
2
− 2x + 24 = t (t ≥ 0) ⇒ x
2
= t
2
+ 2x − 24. Phương trình trở thành
t
2
+ 2x − 24 + 4x = (x + 2) t ⇔ t
2
− (x + 2) t + 6x − 24 = 0 ⇔
t = 6
t = x −4
Với t = 6 ⇒
√
x
2
− 2x + 24 = 6 ⇔ x
2
− 2x − 12 = 0 ⇔ x = 1 ±
√
13.
Với t = x − 4 ⇒
√
x
2
− 2x + 24 = x − 4 ⇔
x − 4 ≥ 0
x
2
− 2x + 24 = x
2
− 8x + 16
⇔
x ≥ 4
x = −
4
3
(vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ±
√
13.
Bài tập 2.25. Giải các phương trình sau
a)
3
√
2 − x = 1 −
√
x − 1. b) (A-09) 2
3
√
3x − 2 + 3
√
6 − 5x − 8 = 0.
c) 2
x
2
+ 2
= 5
√
x
3
+ 1. d) 2
x
2
− 3x + 2
= 3
√
x
3
+ 8.
17
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Đặt
3
√
2 − x = u,
√
x − 1 = v (v ≥ 0) ⇒ 2 −x = u
3
, x − 1 = v
2
. Phương trình trở thành
u = 1 −v (1)
u
3
+ v
2
= 1 (2)
Thay (1) vào (2) ta có (1 − v)
3
+ v
2
= 1 ⇔ 1 −3v + 3v
2
− v
3
+ v
2
= 1 ⇔
v = 0
v = 1
v = 3
⇒
x = 1
x = 2
x = 10
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2, x = 10.
b) Đặt
3
√
3x − 2 = u,
√
6 − 5x = v (v ≥ 0) ⇒ 3x−2 = u
3
, 6−5x = v
2
. Phương trình trở thành
2u + 3v −8 = 0 (1)
5u
3
+ 3v
2
= 8 (2)
Từ (1) ⇒ v =
8 − 2u
3
vào (2) ta có
5u
3
+ 3
8 − 2u
3
2
= 8 ⇔ 15u
3
+ 64 − 32u + 4u
2
= 24 ⇔ u = −2 ⇒ v = 4 ⇒ x = −2
Vậy phương trình nghiệm duy nhất x = −2.
c) Phương trình tương đương với 2
x
2
+ 2
= 5
(x + 1) (x
2
− x + 1).
Đặt
√
x + 1 = u,
√
x
2
− x + 1 = v (u ≥ 0, v > 0) ⇒ u
2
+ v
2
= x
2
+ 2. Phương trình trở thành
2
u
2
+ v
2
= 5uv ⇔ 2u
2
− 5uv + 2v
2
= 0 ⇔
u = 2v
v = 2u
Với u = 2v ⇒
√
x + 1 = 2
√
x
2
− x + 1 ⇔ x + 1 = 4
x
2
− x + 1
⇔ 4x
2
− 5x + 3 = 0 (vô nghiệm).
Với v = 2u ⇒
√
x
2
− x + 1 = 2
√
x + 1 ⇔ x
2
− x + 1 = 4 (x + 1) ⇔ x =
5±
√
37
2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
5 ±
√
37
2
.
d) Phương trình tương đương với 2
x
2
− 3x + 2
= 3
(x + 2) (x
2
− 2x + 4).
Đặt
√
x + 2 = u,
√
x
2
− 2x + 4 = v (u ≥ 0, v > 0) ⇒ v
2
− u
2
= x
2
− 3x + 2. Phương trình trở thành
2
v
2
− u
2
= 3uv ⇔ 2u
2
+ 3uv −2v
2
= 0 ⇔
u = −2v (loại)
v = 2u
Với v = 2u ⇒
√
x
2
− 2x + 4 = 2
√
x + 2 ⇔ x
2
− 2x + 4 = 4 (x + 2) ⇔ x = 3 ±
√
13.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 ±
√
13.
Bài tập 2.26. Giải các phương trình sau
a) x
2
+
√
x + 5 = 5. b) x
3
+ 2 = 3
3
√
3x − 2.
c) x
3
+ 1 = 2
3
√
2x − 1.
d) x
3
√
35 − x
3
x +
3
√
35 − x
3
= 30.
Lời giải.
a) Đặt
√
x + 5 = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành
x
2
= −t + 5 (1)
t
2
= x + 5 (2)
.
Trừ theo vế (2) và (1) ta có t
2
− x
2
= x + t ⇔ (x + t) (t − x − 1) = 0 ⇔
t = −x
t = x + 1
.
Với t = −x ⇒
√
x + 5 = −x ⇔
−x ≥ 0
x + 5 = x
2
⇔
x ≤ 0
x =
1±
√
21
2
⇔ x =
1 −
√
21
2
.
Với t = x + 1 ⇒
√
x + 5 = x + 1 ⇔
x + 1 ≥ 0
x + 5 = x
2
+ 2x + 1
⇔
x ≥ −1
x =
−1±
√
17
2
⇔ x =
−1 +
√
17
2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
1 −
√
21
2
, x =
−1 +
√
17
2
.
b) Đặt
3
√
3x − 2 = t. Phương trình trở thành
x
3
+ 2 = 3t (1)
t
3
+ 2 = 3x (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có
x
3
− t
3
= 3t − 3x ⇔ (x − t)
x
2
+ xt + t
2
= 3 (t − x)
⇔(x − t)
x
2
+ xt + t
2
+ 3
= 0 ⇔
x = t
x
2
+ xt + t
2
+ 3 = 0 (vô nghiệm)
Với t = x ⇒
3
√
3x − 2 = x ⇔ 3x − 2 = x
3
⇔
x = 1
x = −2
. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2.
c) Đặt
3
√
2x − 1 = t. Phương trình trở thành
x
3
+ 1 = 2t (1)
t
3
+ 1 = 2x (2)
.
18
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Trừ theo vế (1) và (2) ta có
x
3
− t
3
= 2t − 2x ⇔ (x − t)
x
2
+ xt + t
2
= 2 (t − x)
⇔(x − t)
x
2
+ xt + t
2
+ 2
= 0 ⇔
x = t
x
2
+ xt + t
2
+ 2 = 0 (vô nghiệm)
Với t = x ⇒
3
√
2x − 1 = x ⇔ 2x − 1 = x
3
⇔
x = 1
x =
−1±
√
5
2
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x =
−1 ±
√
5
2
.
d) Đặt
3
√
35 − x
3
= t. Phương trình trở thành
xt(x + t) = 30
t
3
+ x
3
= 35
⇔
xt(x + t) = 30
(t + x)
3
− 3xt (x + t) = 35
⇔
xt(x + t) = 30
(t + x)
3
= 125
⇔
xt = 6
t + x = 5
⇒
x = 2
x = 3
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3.
Bài tập 2.27. Giải các phương trình, bất phương trình sau
a) (B-2012) x + 1 +
√
x
2
− 4x + 1 ≥ 3
√
x.
b) (A-2010)
x −
√
x
1 −
2 (x
2
− x + 1)
≥ 1.
c)
3
√
x
2
− 2 =
√
2 − x
3
.
d) x +
3 (1 − x
2
) = 2
1 − 2x
2
.
Lời giải.
a) Điều kiện:
0 ≤ x ≤ 2 −
√
3
x ≥ 2 +
√
3
. Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của bất phương trình.
Với x > 0, bất phương trình tương đương với
√
x +
1
√
x
+
x +
1
x
− 4 ≥ 3.
Đặt
√
x +
1
√
x
= t (t > 0) ⇒ x +
1
x
= t
2
− 2, bất phương trình trở thành
t
2
− 6 ≥ 3 −t ⇔
3 − t < 0
3 − t ≥ 0
t
2
− 6 ≥ 9 −6t + t
2
⇔
t > 3
5
2
≤ t ≤ 3
⇔ t ≥
5
2
Với t ≥
5
2
⇒
√
x +
1
√
x
≥
5
2
⇔ 2x −5
√
x + 2 ≥ 0 ⇔
√
x ≥ 2
√
x ≤
1
2
⇔
x ≥ 4
0 < x ≤
1
4
.
Kết hợp ta có tập nghiệm của bất phương trình là S =
0;
1
4
∪ [4; +∞).
b) Điều kiện: x ≥ 0. Nhận thấy x
2
− x + 1 ≥
3
4
⇒
2 (x
2
− x + 1) > 1. Do đó PT tương đương với
x −
√
x ≤ 1 −
2 (x
2
− x + 1) ⇔
2x
2
− 2x + 2 ≤ 1 +
√
x − x
⇔
1 +
√
x − x ≥ 0
2x
2
− 2x + 2 ≤ 1 + x + x
2
+ 2
√
x − 2x − 2x
√
x
⇔
√
x ≥ x − 1
1 + x + x
2
− 2
√
x − 2x + 2x
√
x ≤ 0
⇔
√
x ≥ x − 1
(1 −
√
x − x)
2
≤ 0
⇔
√
x ≥ x − 1
1 −
√
x − x = 0
⇔
√
x ≥ x − 1
√
x = 1 −x
⇔
√
x ≥ x − 1
1 − x ≥ 0
x = 1 −2x + x
2
⇔
x ≤ 1
x =
3±
√
5
2
⇔ x =
3 −
√
5
2
c) Điều kiện: x ≤
3
√
2. Nhận thấy
√
2 − x
3
≥ 0 ⇒
3
√
x
2
− 2 ≥ 0 ⇔
x ≥
√
2
x ≤ −
√
2
.
Từ điều kiện ta có x ≤ −
√
2. Khi đó phương trình tương đương với
x
2
− 2
2
=
2 − x
3
3
⇔ x
4
− 4x
2
+ 4 = 8 − 12x
3
+ 6x
6
− x
9
= 0 ⇔ x
9
− 6x
6
+ x
4
+ 12x
3
− 4x
2
− 4 = 0
⇔ x
9
− 5x
6
−
x
3
−
1
2
x
2
+ 12x
3
−
15
4
x
2
− 4 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài tập 2.28. Giải các phương trình sau
a)
√
4x − 1 +
√
4x
2
− 1 = 1.
b)
√
x − 1 = −x
3
− 4x + 5.
c)
√
2x − 1 +
√
x
2
+ 3 = 4 − x.
d) x
5
+ x
3
−
√
1 − 3x + 4 = 0.
e) x
3
+ 4x − (2x + 7)
√
2x + 3 = 0. f) (CĐ-2012) 4x
3
+ x − (x + 1)
√
2x + 1 = 0.
19
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Điều kiện: x ≥
1
2
. Nhận thấy x =
1
2
là một nghiệm của phương trình.
Xét hàm số y =
√
4x − 1 +
√
4x
2
− 1 trên
1
2
; +∞
có y
=
2
√
4x−1
+
4x
√
4x
2
−1
> 0, ∀x ∈
1
2
; +∞
.
Do đó hàm số đồng biến trên
1
2
; +∞
suy ra x =
1
2
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
1
2
.
b) Điều kiện: x ≥ 1. Phương trình tương đương với
√
x − 1 + x
3
+ 4x = 5.
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình.
Xét hàm số y =
√
x − 1 + x
3
+ 4x trên [1; +∞) có y
=
1
2
√
x−1
+ 3x
2
+ 4 > 0, ∀x ∈ (1; +∞).
Do đó hàm số đồng biến trên [1; +∞) suy ra x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
c) Điều kiện: x ≥
1
2
. Phương trình tương đương với
√
2x − 1 +
√
x
2
+ 3 + x = 4.
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình.
Xét hàm số y =
√
2x − 1 +
√
x
2
+ 3 + x trên
1
2
; +∞
có y
=
1
√
2x−1
+
x
√
x
2
+3
+ 1 > 0, ∀x ∈
1
2
; +∞
.
Do đó hàm số đồng biến trên
1
2
; +∞
suy ra x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
d) Điều kiện: x ≤
1
3
. Nhận thấy x = −1 là một nghiệm của phương trình.
Xét hàm số y = x
5
+ x
3
−
√
1 − 3x + 4 trên
−∞;
1
3
có y
= 5x
4
+ 3x
2
+
3
2
√
1−3x
> 0, ∀x ∈
−∞;
1
3
.
Do đó hàm số đồng biến trên
−∞;
1
3
suy ra x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −1.
e) Đặt
√
2x + 3 = u (u ≥ 0). Phương trình trở thành x
3
+ 4x −
u
2
+ 4
u = 0 ⇔ x
3
+ 4x = u
3
+ 4u.
Xét hàm số f(t) = t
3
+ 4t trên [0; +∞) có f
(t) = 3t
2
+ 4 > 0, ∀t ∈ [0; +∞).
Do đó phương trình tương đương với
u = x ⇒
√
2x + 3 = x ⇔
x ≥ 0
2x + 3 = x
2
⇔ x = 3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
f) Điều kiện: x ≥ −
1
2
. Phương trình tương đương với 8x
3
+ 2x = (2x + 2)
√
2x + 1.
Đặt
√
2x + 1 = u (u ≥ 0). Phương trình trở thành 8x
3
+ 2x =
u
2
+ 1
u ⇔ (2x)
3
+ 2x = u
3
+ u.
Xét hàm số f(t) = t
3
+ t trên [0; +∞) có f
(t) = 3t
2
+ 1 > 0, ∀t ∈ [0; +∞).
Do đó phương trình tương đương với
u = 2x ⇒
√
2x + 1 = 2x ⇔
x ≥ 0
2x + 1 = 4x
2
⇔ x =
1 +
√
5
4
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
1 +
√
5
4
.
Bài tập 2.29. Giải các phương trình sau
a)
√
x
2
− 2x + 5 +
√
x − 1 = 2.
b)
√
x − 2 +
√
4 − x = x
2
− 6x + 11.
c) 2
√
x − 2 − 1
2
+
√
x + 6 +
√
x − 2 − 2 = 0.
d)
√
5x
3
+ 3x
2
+ 3x − 2 =
1
2
x
2
+ 3x −
1
2
.
Lời giải.
a) Phương trình tương đương với
(x − 1)
2
+ 4 +
√
x − 1 = 2.
Ta có
(x − 1)
2
+ 4 ≥ 2
√
x − 1 ≥ 0
⇒
(x − 1)
2
+ 4 +
√
x − 1 ≥ 2.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
(x − 1)
2
+ 4 = 2
√
x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b) Ta có x
2
− 6x + 11 = (x − 3)
2
+ 2 ≥ 2 (1).
Xét hàm số y =
√
x − 2 +
√
4 − x trên [2; 4] có y
=
1
2
√
x − 2
−
1
2
√
4 − x
; y
= 0 ⇔ x = 3.
Ta có y(2) =
√
2, y(4) =
√
2, y(3) = 2 ⇒ max
[2;4]
y = y(3) = 2 ⇒
√
x − 2 +
√
4 − x ≤ 2 (2).
Từ (1) và (2) ta có phương trình tương đương với
x
2
− 6x + 11 = 2
√
x − 2 +
√
4 − x = 2
⇔ x = 3.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
c) Điều kiện: x ≥ 2. Khi đó
2
√
x − 2 − 1
2
≥ 0
√
x + 6 > 2
√
x − 2 ≥ 0
⇒ 2
√
x − 2 − 1
2
+
√
x + 6 +
√
x − 2 > 2.
20
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
d) Phương trình tương đương với
(5x − 2) (x
2
+ x + 1) =
1
2
x
2
+ 6x − 1
.
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
(5x − 2) (x
2
+ x + 1) ≤
1
2
x
2
+ 6x − 1
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
√
5x − 2 =
√
x
2
+ x + 1 ⇔ x
2
− 4x + 3 = 0 ⇔
x = 1
x = 3
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 3.
§3. Hệ Phương Trình Đại Số
Bài tập 2.30. Giải các hệ phương trình sau
a)
x
2
+ y
2
+ xy = 7
x + y + xy = 5
. b)
x + y + xy = 1
x
3
+ y
3
+ 3(x − y)
2
− 4 = 0
.
c) (DB-05)
x
2
+ y
2
+ x + y = 4
x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2
. d)
x
2
− xy + y
2
= 3 (x − y)
x
2
+ xy + y
2
= 7(x − y)
2
.
Lời giải.
a) Hệ đã cho tương đương với
(x + y)
2
− xy = 7
x + y + xy = 5
.
Đặt x + y = S, xy = P (S
2
≥ 4P ). Hệ trở thành
S
2
− P = 7 (1)
S + P = 5 (2)
.
Từ (2) ⇒ P = 5 −S thay vào (1) ta có S
2
+ S −12 = 0 ⇔
S = 3
S = −4
.
Với S = 3 ⇒ P = 2 ⇒
x + y = 3
xy = 2
⇔
x = 2
y = 1
hoặc
x = 1
y = 2
. Với S = −4 ⇒ P = 9 (loại).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (1; 2).
b) Hệ đã cho tương đương với
x + y + xy = 1
(x + y)
3
− 3xy (x + y) + 3(x + y)
2
− 12xy −4 = 0
.
Đặt x + y = S, xy = P (S
2
≥ 4P ). Hệ trở thành
S + P = 1 (1)
S
3
− 3P S + 3S
2
− 12P −4 = 0 (2)
.
Từ (1) ⇒ P = 1 −S thay vào (2) ta có S
3
− 3S (1 − S) + 3S
2
− 12 (1 − S) −4 = 0 ⇔ S = 1.
Với S = 1 ⇒ P = 0 ⇒
x + y = 1
xy = 0
⇔
x = 0
y = 1
hoặc
x = 1
y = 0
.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 1) và (x; y) = (1; 0).
c) Hệ đã cho tương đương với
(x + y)
2
− 2xy + x + y = 4
(x + y)
2
− xy + x + y = 2
. Đặt x + y = S, xy = P (S
2
≥ 4P ).
Hệ trở thành
S
2
− 2P + S = 4
S
2
− P + S = 2
⇔
P = −2
S
2
+ S = 0
⇔
S = 0
P = −2
hoặc
S = −1
P = −2
.
Với
S = 0
P = −2
⇒
x + y = 0
xy = −2
⇔
x =
√
2
y = −
√
2
hoặc
x = −
√
2
y =
√
2
.
Với
S = −1
P = −2
⇒
x + y = −1
xy = −2
⇔
x = 1
y = −2
hoặc
x = −2
y = 1
.
Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) =
√
2; −
√
2
, (x; y) =
−
√
2;
√
2
, (x; y) = (1; −2) và (x; y) = (−2; 1).
d) Hệ đã cho tương đương với
(x − y)
2
+ xy = 3 (x − y)
(x − y)
2
+ 3xy = 7(x − y)
2
⇔
(x − y)
2
+ xy = 3 (x − y)
xy = 2(x − y)
2
.
Đặt x − y = S, xy = P . Hệ trở thành
S
2
+ P = 3S
P = 2S
2
⇔
3S
2
− 3S = 0
P = 2S
2
⇔
S = 0
P = 0
hoặc
S = 1
P = 2
Với
S = 0
P = 0
⇒
x − y = 0
xy = 0
⇔
x = 0
y = 0
; với
S = 1
P = 2
⇒
x − y = 1
xy = 2
⇔
x = 2
y = 1
hoặc
x = −1
y = −2
.
Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (0; 0) , (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (−1; −2).
Bài tập 2.31. Giải các hệ phương trình sau
a)
x
2
− 2y
2
= 2x + y
y
2
− 2x
2
= 2y + x
. b)
x − 3y =
4y
x
y −3x =
4x
y
.
21
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
c)
2x + y =
3
x
2
2y + x =
3
y
2
. d) (B-03)
3y =
y
2
+ 2
x
2
3x =
x
2
+ 2
y
2
.
Lời giải.
a) Xét hệ
x
2
− 2y
2
= 2x + y (1)
y
2
− 2x
2
= 2y + x (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 3x
2
− 3y
2
= x − y ⇔ (x − y) (3x + 3y −1) = 0 ⇔
x = y
y =
1−3x
3
.
Với x = y thay vào (1) ta có −x
2
= 3x ⇔
x = 0
x = −3
⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0) hoặc (x; y) = (−3; −3).
Với y =
1−3x
3
thay vào (1) ta có x
2
−
2(1 − 3x)
2
9
= 2x +
1 − 3x
3
⇔ 9x
2
− 3x + 5 = 0 (vô nghiệm).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 0) và (x; y) = (−3; −3).
b) Hệ đã cho tương đương với
x
2
− 3xy = 4y (1)
y
2
− 3xy = 4x (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có x
2
− y
2
= 4y −4x ⇔ (x −y) (x + y + 4) = 0 ⇔
x = y
y = −x − 4
.
Với x = y thay vào (1) ta có −2x
2
= 4x ⇔
x = 0
x = −2
⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0) hoặc (x; y) = (−2; −2).
Với y = −x − 4 thay vào (1) ta có x
2
− 3x (−x − 4) = 4 (−x − 4) ⇔ x = −2 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (−2; −2).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 0) và (x; y) = (−2; −2).
c) Hệ đã cho tương đương với
2x
3
+ x
2
y = 3 (1)
2y
3
+ xy
2
= 3 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 2x
3
− 2y
3
+ x
2
y −xy
2
= 0 ⇔ (x −y)
2x
2
+ 3xy + 2y
2
= 0 ⇔ x = y.
Với x = y thay vào (1) ta có 3x
3
= 3 ⇔ x = 1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).
d) Từ vế phải của các phương trình ta có x, y > 0. Hệ đã cho tương đương với
3x
2
y = y
2
+ 2 (1)
3xy
2
= x
2
+ 2 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 3x
2
y −3xy
2
= y
2
− x
2
⇔ (x −y) (3xy + x + y) = 0 ⇔ x = y .
Với x = y thay vào (1) ta có 3x
3
= x
2
+ 2 ⇔ x = 1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).
Bài tập 2.32. Giải các hệ phương trình sau
a)
x
2
− xy = 2
2x
2
+ 4xy −2y
2
= 14
. b)
x
2
− 2xy + 3y
2
= 9
x
2
− 4xy + 5y
2
= 5
.
c)
x
3
+ y
3
= 1
x
2
y + 2xy
2
+ y
3
= 2
. d) (DB-06)
(x − y)
x
2
+ y
2
= 13
(x + y)
x
2
− y
2
= 25
.
Lời giải.
a) Hệ đã cho tương đương với
7x
2
− 7xy = 14 (1)
2x
2
+ 4xy −2y
2
= 14 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 5x
2
− 11xy + 2y
2
= 0 ⇔
x = 2y
y = 5x
.
Với x = 2y thay vào (1) ta có 14y
2
= 14 ⇔ y = ±1 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1) hoặc (x; y) = (−2; −1).
Với y = 5x thay vào (1) ta có −28x
2
= 14 (vô nghiệm).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (−2; −1).
b) Hệ đã cho tương đương với
5x
2
− 10xy + 15y
2
= 45 (1)
9x
2
− 36xy + 45y
2
= 45 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có −4x
2
+ 26xy −30y
2
= 0 ⇔
x = 5y
x =
3
2
y
.
Với x = 5y thay vào (1) ta có 90y
2
= 45 ⇔ y = ±
1
√
2
⇒ hệ có nghiệm (x; y) =
±
5
√
2
; ±
1
√
2
.
Với y =
3
2
x thay vào (1) ta có
95
4
x
2
= 45 ⇔ x = ±
6
√
19
⇒ hệ có nghiệm (x; y) =
±
6
√
19
; ±
9
√
19
.
Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) =
5
√
2
;
1
√
2
, (x; y ) =
−
5
√
2
; −
1
√
2
, (x; y ) =
6
√
19
;
9
√
19
và (x; y) =
−
6
√
19
; −
9
√
19
.
c) Hệ đã cho tương đương với
2x
3
+ 2y
3
= 2 (1)
x
2
y + 2xy
2
+ y
3
= 2 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 2x
3
− x
2
y −2xy
2
+ y
3
= 0 ⇔
x = y
x = −y
y = 2x
.
Với x = y thay vào (1) ta có 4x
3
= 2 ⇔ x =
1
3
√
2
⇒ hệ có nghiệm (x; y) =
1
3
√
2
;
1
3
√
2
.
22
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Với x = −y thay vào (1) ta có 0 = 2 (vô nghiệm).
Với y = 2x thay vào (1) ta có 18x
3
= 2 ⇔ x =
1
3
√
9
⇒ hệ có nghiệm (x; y) =
1
3
√
9
;
2
3
√
9
.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) =
1
3
√
2
;
1
3
√
2
và (x; y) =
1
3
√
9
;
2
3
√
9
.
d) Hệ đã cho tương đương với
x
3
− x
2
y + xy
2
− y
3
= 13
x
3
+ x
2
y −xy
2
− y
3
= 25
⇔
25x
3
− 25x
2
y + 25xy
2
− 25y
3
= 325 (1)
13x
3
+ 13x
2
y −13xy
2
− 13y
3
= 325 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 12x
3
− 38x
2
y + 38xy
2
− 12y
3
= 0 ⇔
x = y
x =
3
2
y
x =
2
3
y
.
Với x = y thay vào (1) ta có 0 = 325 (vô nghiệm).
Với x =
3
2
y thay vào (1) ta có
325
8
y
3
= 325 ⇔ y = 2 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (3; 2).
Với x =
2
3
y thay vào (1) ta có −
325
27
y
3
= 325 ⇔ y = −3 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (−2; −3).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (3; 2) và (x; y) = (−2; −3).
Bài tập 2.33. Giải các hệ phương trình sau
a)
x + y = −1
x
3
− 3x = y
3
− 3y
. b) (DB-06)
x
2
+ 1 + y (y + x) = 4y
x
2
+ 1
(y + x − 2) = y
.
c) (B-08)
x
4
+ 2x
3
y + x
2
y
2
= 2x + 9
x
2
+ 2xy = 6x + 6
. d) (D-09)
x (x + y + 1) − 3 = 0
(x + y)
2
−
5
x
2
+ 1 = 0
.
Lời giải.
a) Xét hệ
x + y = −1 (1)
x
3
− 3x = y
3
− 3y (2)
. Từ (1) ⇒ y = −x − 1 thay vào (2) ta có
x
3
− 3x = (−x −1)
3
− 3 (−x − 1) ⇔ 2x
3
+ 3x
2
− 3x − 2 = 0 ⇔
x = −2
x = 1
x = −
1
2
Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (−2; 1) , (x; y) = (1; −2) và (x; y) =
−
1
2
;
1
2
.
b) Xét hệ
x
2
+ 1 + y(y + x) = 4y (1)
(x
2
+ 1)(y + x − 2) = y (2)
. Từ (1) ⇒ x
2
+ 1 = y(4 − y −x) thay vào (2) ta có
y (4 −y − x) (x + y −2) = y ⇔ y
(x + y)
2
− 6(x + y) + 9
= 0 ⇔
y = 0
y = 3 − x
Với y = 0 thay vào (1) ta có x
2
+ 1 = 0 (vô nghiệm).
Với y = 3 − x thay vào (1) ta có x
2
+ x − 2 = 0 ⇔
x = 1
x = −2
.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 2) và (x; y) = (−2; 5).
c) Hệ đã cho tương đương với
(x
2
+ xy)
2
= 2x + 9 (1)
x
2
+ 2xy = 6x + 6 (2)
. Từ (2) ⇒ xy =
6x + 6 − x
2
2
thay vào (1) ta có
x
2
+
6x + 6 − x
2
2
2
= 2x + 9 ⇔ x
4
+ 12x
3
+ 48x
2
+ 64x = 0 ⇔
x = 0
x = −4
Với x = 0 thay vào (2) ta có 0 = 6 (vô nghiệm).Với x = −4 thay vào (2) ta có y =
17
4
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) =
−4;
17
4
.
d) Xét hệ
x(x + y + 1) − 3 = 0 (1)
(x + y)
2
−
5
x
2
+ 1 = 0 (2)
. Từ (1) ⇒ x + y =
3
x
− 1 thay vào (2) ta có
3
x
− 1
2
−
5
x
2
+ 1 = 0 ⇔
4
x
2
−
6
x
+ 2 = 0 ⇔
x = 0
2x
2
− 6x + 4 = 0
⇔
x = 1
x = 2
Với x = 1 thay vào (1) ta có y = 1; x = 2 thay vào (1) ta có y = −
3
2
.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) và (x; y) =
2; −
3
2
.
Bài tập 2.34. Giải các hệ phương trình sau
a) (B-02)
3
√
x − y =
√
x − y
x + y =
√
x + y + 2
. b) (A-03)
x −
1
x
= y −
1
y
2y = x
3
+ 1
.
c)
x
2
+ y
2
+
2xy
x+y
= 1
√
x + y = x
2
− y
. d)
6x
2
− 3xy + x + y = 1
x
2
+ y
2
= 1
.
23
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Xét hệ
3
√
x − y =
√
x − y (1)
x + y =
√
x + y + 2 (2)
. Điều kiện: x − y ≥ 0, x + y + 2 ≥ 0.
Ta có (1) ⇔ (x − y)
2
= (x − y)
3
⇔ (x −y)
2
(x − y −1) = 0 ⇔
x = y
x = y + 1
.
Với x = y thay vào (2) ta có 2y =
√
2y + 2 ⇔
y ≥ 0
4y
2
= 2y + 2
⇔ y = 1 ⇒ x = 1 (thỏa mãn).
Với x = y + 1 thay vào (2) ta có 2y + 1 =
√
2y + 3 ⇔
2y + 1 ≥ 0
4y
2
+ 4y + 1 = 2y + 3
⇔ y =
1
2
⇒ x =
3
2
(thỏa mãn).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) và (x; y) =
3
2
;
1
2
.
b) Xét hệ
x −
1
x
= y −
1
y
(1)
2y = x
3
+ 1 (2)
. Điều kiện: x = 0, y = 0.
Ta có (1) ⇔ x
2
y −y = xy
2
− x ⇔ xy (x − y) + x − y = 0 ⇔ (x −y ) (xy + 1) = 0 ⇔
y = x
y = −
1
x
.
Với y = x thay vào (2) ta có 2x = x
3
+ 1 ⇔
x = 1
x =
−1±
√
5
2
.
Suy ra hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1) hoặc (x; y) =
−1±
√
5
2
;
−1±
√
5
2
.
Với y = −
1
x
thay vào (2) ta có −
2
x
= x
3
+ 1 ⇔ x
4
+ x + 2 = 0 ⇔
x
2
−
1
2
2
+
x +
1
2
2
+
3
2
= 0 (vô nghiệm).
Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (1; 1) và (x; y) =
−1±
√
5
2
;
−1±
√
5
2
.
c) Xét hệ
x
2
+ y
2
+
2xy
x+y
= 1 (1)
√
x + y = x
2
− y (2)
. Điều kiện: x + y > 0. Ta có
(1) ⇔
(x + y)
2
− 2xy
(x + y) + 2xy = x + y
⇔ (x + y)
(x + y)
2
− 1
− 2xy (x + y − 1) = 0
⇔ (x + y − 1) [(x + y) (x + y + 1) −2xy] = 0
⇔ (x + y − 1)
x
2
+ y
2
+ x + y
= 0 ⇔
y = 1 − x
x
2
+ y
2
+ x + y = 0 (vô nghiệm)
Với y = 1 − x thay vào (2) ta có x
2
+ x − 2 = 0 ⇔
x = 1
x = −2
.
Vậy hệ có hai nghiệm (1; 0) và (−2; 3).
d) Hệ đã cho tương đương với
6x
2
− (3y −1)x + y −1 = 0 (1)
x
2
+ y
2
= 1 (2)
.
Xét phương trình (1) có ∆ = (3y −1)
2
− 24 (y −1) = 9y
2
− 30y + 25 = (3y −5)
2
.
Do đó (1) ⇔
x =
3y−1−3y+5
12
x =
3y−1+3y−5
12
⇔
x =
1
3
x =
1
2
(y −1)
.
Với x =
1
3
thay vào (2) ta có
1
9
+ y
2
= 1 ⇔ y = ±
2
√
2
3
.
Với x =
1
2
(y −1) thay vào (2) ta có
1
4
y
2
− 2y + 1
+ y
2
= 1 ⇔
y = 1
y = −
3
5
.
Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) =
1
3
;
2
√
2
3
, (x; y) =
1
3
; −
2
√
2
3
, (x; y) = (0; 1) và (x; y) =
−
4
5
; −
3
5
.
Bài tập 2.35. Giải các hệ phương trình sau
a) (DB-07)
x
4
− x
3
y −x
2
y
2
= 1
x
3
y −x
2
− xy = −1
. b) (D-08)
xy + x + y = x
2
− 2y
2
x
√
2y −y
√
x − 1 = 2x − 2y
.
c) (D-2012)
xy + x − 2 = 0
2x
3
− x
2
y + x
2
+ y
2
− 2xy −y = 0
. d)
x
3
+ 2y
2
= x
2
y + 2xy
2
x
2
− 2y −1 +
3
y
3
− 14 = x − 2
.
Lời giải.
a) Xét hệ
x
4
− x
3
y −x
2
y
2
= 1 (1)
x
3
y −x
2
− xy = −1 (2)
.
Ta có (2) ⇔ x
2
(xy −1) = xy −1 ⇔ (xy −1)
x
2
− 1
= 0 ⇔
x = ±1
y =
1
x
.
Với x = 1 thay vào (1) ta có y
2
+ y = 0 ⇔
y = 0
y = −1
. Với x = −1 thay vào (1) ta có y
2
− y = 0 ⇔
y = 0
y = 1
.
Với y =
1
x
thay vào (1) ta có x
4
− x
2
− 2 = 0 ⇔ x
2
= 2 ⇔ x = ±
√
2 ⇒ y = ±
1
√
2
.
24
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Vậy hệ có sáu nghiệm
x = 1
y = 0
,
x = 1
y = −1
,
x = −1
y = 0
,
x = −1
y = 1
,
x =
√
2
y =
√
2
và
x =
1
√
2
y = −
1
√
2
.
b) Xét hệ
xy + x + y = x
2
− 2y
2
(1)
x
√
2y −y
√
x − 1 = 2x − 2y (2)
. Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0.
Ta có (1) ⇔ y (x + y) + x + y = (x − y) (x + y) ⇔ (x + y) (y + 1 −x + y) = 0 ⇔ x = 2y + 1.
Với x = 2y + 1 thay vào (2) ta có
(2y + 1)
2y −y
2y = 2y + 2 ⇔ (y + 1)
2y = 2 (y + 1) ⇔
2y = 2 ⇔ y = 2 ⇒ x = 5
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (5; 2).
c) Xét hệ
xy + x − 2 = 0 (1)
2x
3
− x
2
y + x
2
+ y
2
− 2xy −y = 0 (2)
.
Ta có (2) ⇔ 2x
x
2
− y
− y
x
2
− y
+ x
2
− y = 0 ⇔
x
2
− y
(2x − y + 1) = 0 ⇔
y = x
2
y = 2x + 1
.
Với y = x
2
thay vào (1) ta có x
3
+ x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1.
Với y = 2x + 1 thay vào (1) ta có 2x
2
+ 2x − 2 = 0 ⇔ x =
−1±
√
5
2
⇒ y = ±
√
5.
Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (1; 1) , (x; y) =
−1+
√
5
2
;
√
5
và (x; y) =
−1−
√
5
2
; −
√
5
.
d) Xét hệ
x
3
+ 2y
2
= x
2
y + 2xy (1)
2
x
2
− 2y −1 +
3
y
3
− 14 = x − 2 (2)
. Điều kiện: x
2
≥ 2y + 1.
Ta có (1) ⇔ x
2
(x − y) = 2y (x −y) ⇔ (x −y)
x
2
− 2y
= 0 ⇔
x = y
x
2
= 2y (loại)
.
Với x = y thay vào (2) ta có 2
√
x
2
− 2x − 1 +
3
√
x
3
− 14 = x − 2 (*).
Đặt
√
x
2
− 2x − 1 = u ≥ 0,
3
√
x
3
− 14 = v ⇒ v
3
− 6u
2
= (x − 2)
3
.
Phương trình (*) trở thành v
3
− 6u
2
= (2u + v)
3
⇔ 2u
u
2
+ 3(u + v)
2
+ 3u
= 0 ⇔ u = 0 ⇒ x = 1 ±
√
2.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) =
1 +
√
2; 1 +
√
2
và (x; y) =
1 −
√
2; 1 −
√
2
.
Bài tập 2.36. Giải các hệ phương trình sau
a)
x
2
+ y
2
+ xy = 1
x
3
+ y
3
= x + 3y
. b)
x
3
+ 2xy
2
+ 12y = 0
8y
2
+ x
2
= 12
.
c) (DB-06)
x
3
− 8x = y
3
+ 2y
x
2
− 3 = 3
y
2
+ 1
. d) (A-2011)
5x
2
y −4xy
2
+ 3y
3
− 2 (x + y) = 0
xy
x
2
+ y
2
+ 2 = (x + y)
2
.
Lời giải.
a) Xét hệ
x
2
+ y
2
+ xy = 1 (1)
x
3
+ y
3
= x + 3y (2)
.
Thay (1) vào (2) ta có x
3
+ y
3
=
x
2
+ y
2
+ xy
(x + 3y) ⇔ 4x
2
y + 4xy
2
+ 2y
3
= 0 ⇔ y = 0.
Với y = 0 thay vào hệ ta có
x
2
= 1
x
3
= x
⇔ x = ±1. Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (−1; 0).
b) Xét hệ
x
3
+ 2xy
2
+ 12y = 0 (1)
8y
2
+ x
2
= 12 (2)
.
Thay (2) vào (1) ta có x
3
+ 2xy
2
+
8y
2
+ x
2
y = 0 ⇔ x
3
+ x
2
y + 2xy
2
+ 8y
3
= 0 (*)
Nhận thấy y = 0 không phải nghiệm của hệ. Với y = 0, chia hai vế phương trình (*) cho y
3
ta có
x
y
3
+
x
y
2
+ 2
x
y
+ 8 = 0 ⇔
x
y
= −2 ⇔ x = −2y
Với x = −2y thay vào (2) ta có 12y
2
= 12 ⇔ y = ±1 ⇒ x = ∓2.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; −1) và (x; y) = (−2; 1).
c) Hệ đã cho tương đương với
x
3
− y
3
= 2 (4x + y)
x
2
− 3y
2
= 6
⇔
3x
3
− 3y
3
= 6 (4x + y) (1)
x
2
− 3y
2
= 6 (2)
.
Thay (2) vào (1) ta có 3x
3
− 3y
3
=
x
2
− 3y
2
(4x + y) ⇔ x
3
+ x
2
y −12xy
2
= 0 (*)
Nhận thấy x = 0 không phải nghiệm của hệ. Với x = 0, chia hai vế phương trình (*) cho x
3
ta có
1 +
y
x
− 12
y
x
2
= 0 ⇔
y
x
=
1
3
y
x
= −
1
4
⇔
x = 3y
x = −4y
Với x = 3y thay vào (2) ta có 6y
2
= 6 ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±3.
Với x = −4y thay vào (2) ta có 13y
2
= 6 ⇔ y = ±
6
13
⇒ x = ∓4
6
14
.
Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (1; 3) , (x; y) = (−1; −3) , (x; y) =
6
13
; −4
6
13
và (x; y) =
−
6
13
; 4
6
13
.
25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
