CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (319.84 KB, 33 trang )
Chuyên đề 2
Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ
Phương Trình Đại Số
§1. Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn
Bài tập 2.1. Giải các bất phương trình sau
a) x
2
− 6x + 6 > 0. b) −4x
2
+ x − 2 ≥ 0.
c) x
4
− 4x
3
+ 3x
2
+ 8x − 10 ≤ 0. d) x
4
+ x
2
+ 4x − 3 ≥ 0.
Lời giải.
a) Ta có x
2
− 6x + 6 > 0 ⇔
x > 3 +
√
3
x < 3 −
√
3
. Vậy tập nghiệm S =
−∞; 3 −
√
3
∪
3 +
√
3; +∞
.
b) Ta có ∆ = −31 < 0 ⇒ −4x
2
+ x − 2 < 0, ∀x ∈ R. Vậy bất phương trình vô nghiệm.
c) Bất phương trình tương đương với
x
4
+ 3x
2
− 10 − 4x
3
+ 8x ≤ 0 ⇔
x
2
− 2
x
2
+ 5
− 4x
x
2
− 2
≤ 0
⇔
x
2
− 2
x
2
− 4x + 5
≤ 0 ⇔ x
2
− 2 ≤ 0 ⇔ −
√
2 ≤ x ≤
√
2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
−
√
2;
√
2
.
d) Bất phương trình tương đương với
x
4
+ 2x
2
+ 1 ≥ x
2
− 4x + 4 ⇔
x
2
+ 1
2
≥ (x −2)
2
⇔
x
2
+ x − 1
x
2
− x + 3
≥ 0 ⇔ x
2
+ x − 1 ≥ 0 ⇔
x ≥
−1+
√
5
2
x ≤
−1−
√
5
2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
−∞;
−1−
√
5
2
∪
−1+
√
5
2
; +∞
.
Bài tập 2.2. Giải các bất phương trình sau
a)
x − 2
x
2
− 9x + 8
≥ 0.
b)
x
2
− 3x − 2
x − 1
≥ 2x + 2.
c)
x + 5
2x − 1
+
2x − 1
x + 5
> 2. d)
1
x
2
− 5x + 4
<
1
x
2
− 7x + 10
.
Lời giải.
a) Ta có bảng xét dấu
x −∞ 1 2 8 +∞
x − 2 − | − 0 + | +
x
2
− 9x + 8 + 0 − | − 0 +
VT − || + 0 − || +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2] ∪ (8; +∞).
b) Bất phương trình tương đương với
x
2
− 3x − 2 − (x − 1) (2x + 2)
x − 1
≥ 0 ⇔
−x
2
− 3x
x − 1
≥ 0.
Ta có bảng xét dấu
1
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
x −∞ −3 0 1 +∞
−x
2
− 3x − 0 + 0 − | −
x − 1 − | − | − 0 +
VT + 0 − 0 + || −
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [0; 1).
c) Bất phương trình tương đương với
(x + 5)
2
+ (2x − 1)
2
− 2 (x + 5) (2x − 1)
(2x − 1) (x + 5)
> 0 ⇔
x
2
− 12x + 36
2x
2
+ 9x − 5
> 0.
Ta có bảng xét dấu
x −∞ −5
1
2
6 +∞
x
2
− 12x + 36 + | + | + 0 +
2x
2
+ 9x − 5 + 0 − 0 + | +
VT + || − || + 0 +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5) ∪
1
2
; 6
∪ (6; +∞).
d) Bất phương trình tương đương với
x
2
− 7x + 10 − x
2
+ 5x − 4
(x
2
− 5x + 4) (x
2
− 7x + 10)
< 0 ⇔
−2x + 6
(x
2
− 5x + 4) (x
2
− 7x + 10)
< 0.
Ta có bảng xét dấu
x −∞ 1 2 3 4 5 +∞
−2x + 6 + | + | + 0 − | − | −
x
2
− 5x + 4 + 0 − | − | − 0 + | +
x
2
− 7x + 10 + | + 0 − | − | − 0 +
VT + || − || + 0 − || + || −
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2) ∪ (3; 4) ∪ (5; +∞).
Bài tập 2.3. Giải các phương trình sau
a) x
3
− 5x
2
+ 5x − 1 = 0.
b) x
3
− 3
√
3x
2
+ 7x −
√
3 = 0.
c) x
4
− 4x
3
− x
2
+ 16x − 12 = 0.
d) (x − 3)
3
+ (2x + 3)
3
= 18x
3
.
e)
x
2
+ 1
3
+ (1 − 3x)
3
=
x
2
− 3x + 2
3
.
f) (4 + x)
2
− (x − 1)
3
= (1 − x)
x
2
− 2x + 17
.
Lời giải.
a) Ta có x
3
− 5x
2
+ 5x − 1 = 0 ⇔ (x −1)
x
2
− 4x + 1
= 0 ⇔
x = 1
x = 2 ±
√
3
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2 ±
√
3.
b) Ta có x
3
− 3
√
3x
2
+ 7x −
√
3 = 0 ⇔
x −
√
3
x
2
− 2
√
3x + 1
= 0 ⇔
x =
√
3
x =
√
3 ±
√
2
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x =
√
3, x =
√
3 ±
√
2.
c) Ta có x
4
− 4x
3
− x
2
+ 16x − 12 = 0 ⇔ (x −1)
x
3
− 3x
2
− 4x + 12
= 0 ⇔
x = 1
x = 3
x = ±2
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 3, x = ±2.
d) Phương trình tương đương với
(x − 3 + 2x + 3)
3
− 3(x − 3)(2x + 3)(x − 3 + 2x + 3) = 18x
3
⇔ 9x
3
− 9x
2x
2
− 3x − 9
= 0 ⇔ 9x
7x
2
+ 3x + 9
= 0 ⇔ x = 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
e) Phương trình tương đương với
x
2
+ 1 + 1 − 3x
3
− 3(x
2
+ 1)(1 − 3x)(x
2
+ 1 + 1 − 3x) =
x
2
− 3x + 2
3
⇔ − 3(x
2
+ 1)(1 − 3x)(x
2
− 3x + 2) = 0 ⇔
x =
1
3
x = 1
x = 2
Vậy phương trình có ba nghiệm x =
1
3
, x = 1, x = 2.
f) Phương trình tương đương với
(4 + x)
2
= (x − 1)
3
− (x − 1)
x
2
− 2x + 17
⇔ (4 + x)
2
= (x − 1)
x
2
− 2x + 1 − x
2
+ 2x − 17
= 0
⇔ x
2
+ 8x + 16 = −16x + 16 ⇔ x
2
+ 24x = 0 ⇔
x = 0
x = −24
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −24.
2
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Bài tập 2.4. Giải các phương trình sau
a)
x
2
− 4x + 3
2
−
x
2
− 6x + 5
2
= 0. b) x
4
= (2x − 5)
2
.
c) x
4
+ 3x
2
+ 3 = 2x. d) x
4
− 4x − 1 = 0.
e) x
4
= 6x
2
− 12x + 8. f) x
4
= 2x
3
+ 3x
2
− 4x + 1.
Lời giải.
a) Ta có
x
2
− 4x + 3
2
−
x
2
− 6x + 5
2
= 0 ⇔
2x
2
− 10x + 8
(2x − 2) = 0 ⇔
x = 1
x = 4
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 4.
b) Ta có x
4
= (2x − 5)
2
⇔
x
2
+ 2x − 5
x
2
− 2x + 5
= 0 ⇔ x = −1 ±
√
6.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ±
√
6.
c) Ta có x
4
+ 3x
2
+ 3 = 2x ⇔
x
2
+ 2
2
= (x + 1)
2
⇔
x
2
+ x + 3
x
2
− x + 1
= 0.
Vậy phương trình vô nghiệm.
d) Ta có x
4
− 4x − 1 = 0 ⇔
x
2
+ 1
2
= 2(x + 1)
2
⇔
x
2
+
√
2x + 1 +
√
2
x
2
−
√
2x + 1 −
√
2
= 0.
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
√
2 ±
4
√
2 − 2
2
.
e) Ta có x
4
= 6x
2
− 12x + 8 ⇔
x
2
− 1
2
= (2x − 3)
2
⇔
x
2
+ 2x − 4
x
2
− 2x + 2
= 0 ⇔ x = −1 ±
√
5.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ±
√
5.
f) Ta có x
4
= 2x
3
+ 3x
2
− 4x + 1 ⇔
x
2
− x
2
= (2x − 1)
2
⇔
x
2
+ x − 1
x
2
− 3x + 1
= 0 ⇔
x =
−1±
√
5
2
x =
3±
√
5
2
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x =
−1 ±
√
5
2
, x =
3 ±
√
5
2
.
Bài tập 2.5. Giải các phương trình sau
a) (x + 3)
4
+ (x + 5)
4
= 2. b) (x + 1)
4
+ (x + 3)
4
= 16.
c) (x + 3)
4
+ (x − 1)
4
= 82.
d) x
4
+ (x − 1)
4
=
41
8
.
Lời giải.
a) Đặt x + 4 = t. Phương trình trở thành
(t − 1)
4
+ (t + 1)
4
= 2 ⇔ 2t
4
+ 12t
2
= 0 ⇔
t
2
= 0
t
2
= −6 (loại)
⇔ t = 0
Với t = 0 ⇒ x = −4. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −4.
b) Đặt x + 2 = t. Phương trình trở thành
(t − 1)
4
+ (t + 1)
4
= 16 ⇔ 2t
4
+ 12t
2
− 14 = 0 ⇔
t
2
= 1
t
2
= −7 (loại)
⇔ t = ±1
Với t = 1 ⇒ x = −1; t = −1 ⇒ x = −3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1, x = −3.
c) Đặt x + 1 = t. Phương trình trở thành
(t + 2)
4
+ (t − 2)
4
= 16 ⇔ 2t
4
+ 48t
2
− 50 = 0 ⇔
t
2
= 1
t
2
= −25 (loại)
⇔ t = ±1
Với t = 1 ⇒ x = 0; t = −1 ⇒ x = −2. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −2.
d) Đặt x −
1
2
= t. Phương trình trở thành
t +
1
2
4
+
t −
1
2
4
=
41
8
⇔ 2t
4
+ 3t
2
− 5 = 0 ⇔
t
2
= 1
t
2
= −
5
2
(loại)
⇔ t = ±1
Với t = 1 ⇒ x =
3
2
; t = −1 ⇒ x = −
1
2
. Vậy phương trình có hai nghiệm x =
3
2
, x = −
1
2
.
Bài tập 2.6. Giải các phương trình sau
a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3. b)
x
2
− 1
(x + 3) (x + 5) + 16 = 0.
c) (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 6) = 3x
2
.
d)
x
2
− 2x + 4
x
2
+ 3x + 4
= 14x
2
.
Lời giải.
a) Phương trình tương đương với
(x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3) = 3 ⇔
x
2
+ 5x + 4
x
2
+ 5x + 6
= 3
Đặt x
2
+ 5x + 4 = t. Phương trình trở thành t (t + 2) = 3 ⇔
t = 1
t = −3
.
3
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Với t = 1 ⇒ x
2
+ 5x + 4 = 1 ⇔ x =
−5 ±
√
13
2
; t = −3 ⇒ x
2
+ 5x + 4 = −3 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
−5 ±
√
13
2
.
b) Phương trình tương đương với
(x − 1) (x + 5) (x + 1) (x + 3) + 16 = 0 ⇔
x
2
+ 4x − 5
x
2
+ 4x + 3
+ 16 = 0
Đặt x
2
+ 4x − 5 = t. Phương trình trở thành t (t + 8) + 16 = 0 ⇔ t = −4.
Với t = −4 ⇒ x
2
+ 4x − 5 = −4 ⇔ x = −2 ±
√
5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 ±
√
5.
c) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
(x − 1) (x − 6) (x − 2) (x − 3) = 3x
2
⇔
x
2
− 7x + 6
x
2
− 5x + 6
= 3x
2
⇔
x − 7 +
6
x
x − 5 +
6
x
= 3
Đặt x − 7 +
6
x
= t. Phương trình trở thành t (t + 2) = 3 ⇔
t = 1
t = −3
.
Với t = 1 ⇒ x −7 +
6
x
= 1 ⇔ x
2
− 8x + 6 = 0 ⇔ x = 4 ±
√
10;
t = −3 ⇒ x − 7 +
6
x
= −3 ⇔ x
2
− 4x + 6 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 4 ±
√
10.
d) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
x − 2 +
4
x
x + 3 +
4
x
= 14
Đặt x − 2 +
4
x
= t. Phương trình trở thành t (t + 5) = 14 ⇔
t = 2
t = −7
.
Với t = 2 ⇒ x −2 +
4
x
= 2 ⇔ x
2
−4x + 4 = 0 ⇔ x = 2; t = −7 ⇒ x −2 +
4
x
= −7 ⇔ x
2
+ 5x + 4 ⇔
x = −1
x = −4
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 2, x = −1, x = −4.
Bài tập 2.7. Giải các phương trình sau
a) x
4
− 4x
3
+ 6x
2
− 4x + 1 = 0. b) 2x
4
+ 3x
3
− 9x
2
− 3x + 2 = 0.
c) 2x
4
+ 3x
3
− 27x
2
+ 6x + 8 = 0. d) x
4
− 5x
3
+ 8x
2
− 10x + 4 = 0.
Lời giải.
a) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
x
2
− 4x + 6 −
4
x
+
1
x
2
= 0 ⇔ x
2
+
1
x
2
− 4
x +
1
x
+ 6 = 0
Đặt x +
1
x
= t ⇒ x
2
+
1
x
2
= t
2
− 2. Phương trình trở thành t
2
− 2 − 4t + 6 = 0 ⇔ t = 2.
Với t = 2 ⇒ x +
1
x
= 2 ⇔ x
2
− 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
2x
2
+ 3x − 9 −
3
x
+
2
x
2
= 0 ⇔ 2
x
2
+
1
x
2
+ 3
x −
1
x
− 9 = 0
Đặt x −
1
x
= t ⇒ x
2
+
1
x
2
= t
2
+ 2. Phương trình trở thành 2
t
2
+ 2
+ 3t − 9 = 0 ⇔
t = 1
t = −
5
2
.
Với t = 1 ⇒ x −
1
x
= 1 ⇔ x
2
− x − 1 = 0 ⇔ x =
1 ±
√
5
2
.
Với t = −
5
2
⇒ x −
1
x
= −
5
2
⇔ 2x
2
+ 5x − 2 = 0 ⇔ x =
−5 ±
√
41
4
Vậy phương trình có bốn nghiệm x =
1 ±
√
5
2
, x =
−5 ±
√
41
4
.
c) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
2x
2
+ 3x − 27 +
6
x
+
8
x
2
= 0 ⇔ 2
x
2
+
4
x
2
+ 3
x +
2
x
− 27 = 0
4
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Đặt x +
2
x
= t ⇒ x
2
+
4
x
2
= t
2
− 4. Phương trình trở thành 2
t
2
− 4
+ 3t − 27 = 0 ⇔
t = −5
t =
7
2
.
Với t = −5 ⇒ x +
2
x
= −5 ⇔ x
2
+ 5x + 2 = 0 ⇔ x =
−5 ±
√
17
2
.
Với t =
7
2
⇒ x +
2
x
=
7
2
⇔ 2x
2
− 7x + 4 = 0 ⇔ x =
7 ±
√
17
4
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x =
−5 ±
√
17
2
, x =
7 ±
√
17
4
.
d) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
x
2
− 5x + 8 −
10
x
+
4
x
2
= 0 ⇔ x
2
+
4
x
2
− 5
x +
2
x
+ 8 = 0
Đặt x +
2
x
= t ⇒ x
2
+
4
x
2
= t
2
− 4. Phương trình trở thành t
2
− 4 − 5t + 8 = 0 ⇔
t = 4
t = 1
.
Với t = 4 ⇒ x +
2
x
= 4 ⇔ x
2
− 4x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ±
√
2.
Với t = 1 ⇒ x +
2
x
= 1 ⇔ x
2
− x + 2 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ±
√
2.
Bài tập 2.8. Giải các phương trình sau
a)
x
2
+ 5x
2
− 2
x
2
+ 5x
− 24 = 0.
b)
x
2
+ x + 1
x
2
+ x + 2
= 12.
c)
x
2
− 2x − 2
2
− 2x
2
+ 3x + 2 = 0. d) (4x + 3)
2
(x + 1) (2x + 1) = 810.
Lời giải.
a) Đặt x
2
+ 5x = t. Phương trình trở thành t
2
− 2t − 24 = 0 ⇔
t = 6
t = −4
.
Với t = 6 ⇒ x
2
+ 5x = 6 ⇔
x = 1
x = −6
. Với t = −4 ⇒ x
2
+ 5x = −4 ⇔
x = −1
x = −4
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x = ±1, x = −4, x = −6.
b) Đặt x
2
+ x + 1 = t. Phương trình trở thành t(t + 1) = 12 ⇔
t = 3
t = −4
.
Với t = 3 ⇒ x
2
+ x + 1 = 3 ⇔
x = 1
x = −2
. Với t = −4 ⇒ x
2
+ x + 1 = −4 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2.
c) Phương trình tương đương với (x
2
− 2x − 2)
2
− (x
2
− 2x − 2) − x
2
+ x = 0.
Đặt x
2
− 2x − 2 = t. Phương trình trở thành
t
2
− t − x
2
+ x = 0 ⇔ (t − x)(t + x) − (t − x) = 0 ⇔ (t −x)(t + x −1) = 0 ⇔
t = x
t = 1 −x
Với t = x ⇒ x
2
− 2x − 2 = x ⇔ x =
3 ±
√
17
2
; t = 1 −x ⇒ x
2
− 2x − 2 = 1 − x ⇔ x =
1 ±
√
13
2
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x =
3 ±
√
17
2
, x =
1 ±
√
13
2
.
d) Phương trình tương đương với
16x
2
+ 24x + 9
2x
2
+ 3x + 1
= 810 ⇔
8(2x
2
+ 3x + 1) + 1
2x
2
+ 3x + 1
= 810
Đặt 2x
2
+ 3x + 1 = t. Phương trình trở thành (8t + 1) t = 810 ⇔
t = 10
t = −
81
8
.
Với t = 10 ⇒ 2x
2
+ 3x + 1 = 10 ⇔
x = −3
x =
3
2
. Với t = −
81
8
⇒ 2x
2
+ 3x + 1 = −
81
8
(vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −3, x =
3
2
.
Bài tập 2.9. Giải các phương trình sau
a)
1
2x
2
− x + 1
+
1
2x
2
− x + 3
=
6
2x
2
− x + 7
. b)
4x
4x
2
− 8x + 7
+
3x
4x
2
− 10x + 7
= 1.
c)
x
2
+ 1
x
+
x
x
2
+ 1
= −
5
2
.
d)
x − 1
x + 2
2
+
x − 3
x + 2
− 2
x − 3
x − 1
2
= 0.
e) x
2
+
x
x + 1
2
= 3. f)
1
x
2
+ x + 1
2
+
1
x
2
+ x + 2
2
=
13
36
.
5
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Đặt 2x
2
− x + 1 = t (t > 0). Phương trình trở thành
1
t
+
1
t + 2
=
6
t + 6
⇔ (t + 2) (t + 6) + t (t + 6) = 6t (t + 2) ⇔ 4t
2
− 2t − 12 = 0 ⇔
t = 2
t = −
3
2
(loại)
Với t = 2 ⇒ 2x
2
− x + 1 = 2 ⇔
x = 1
x = −
1
2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −
1
2
.
b) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
4
4x − 8 +
7
x
+
3
4x − 10 +
7
x
= 1
Đặt 4x − 8 +
7
x
= t. Phương trình trở thành
4
t
+
3
t − 2
= 1 ⇔ 4 (t −2) + 3t = t (t − 2) ⇔ t
2
− 9t + 8 = 0 ⇔
t = 1
t = 8
Với t = 1 ⇒ 4x −8 +
7
x
= 1 ⇔ 4x
2
− 9x + 7 = 0 (vô nghiệm).
Với t = 8 ⇒ 4x −8 +
7
x
= 8 ⇔ 4x
2
− 16x + 7 = 0 ⇔
x =
1
2
x =
7
2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
1
2
, x =
7
2
.
c) Điều kiện: x = 0.
Đặt
x
2
+ 1
x
= t. Phương trình trở thành t +
1
t
= −
5
2
⇔
t = −2
t = −
1
2
.
Với t = −2 ⇒
x
2
+ 1
x
= −2 ⇔ x
2
+ 2x + 1 = 0 ⇔ x = −1.
Với t = −
1
2
⇒
x
2
+ 1
x
= −
1
2
⇔ 2x
2
+ x + 2 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có nghiệm x = −1.
d) Điều kiện: x = 1, x = −2.
Đặt
x − 1
x + 2
= u,
x − 3
x − 1
= v. Phương trình trở thành u
2
+ uv −2v
2
= 0 ⇔
u = v
u = −2v
.
Với u = v ⇒
x − 1
x + 2
=
x − 3
x − 1
⇔ x
2
− 2x + 1 = x
2
− x − 6 ⇔ x = 7.
Với u = −2v ⇒
x − 1
x + 2
= −2.
x − 3
x − 1
⇔ x
2
− 2x + 1 = −2x
2
+ 2x + 12 ⇔ 3x
2
− 4x − 11 = 0 ⇔ x =
2 ±
√
37
3
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 7, x =
2 ±
√
37
3
.
e) Điều kiện: x = −1. Phương trình tương đương với
x −
x
x + 1
2
+ 2x.
x
x + 1
= 3 ⇔
x
2
x + 1
2
+ 2
x
2
x + 1
− 3 = 0
Đặt
x
2
x + 1
= t. Phương trình trở thành t
2
+ 2t − 3 = 0 ⇔
t = 1
t = −3
.
Với t = 1 ⇒
x
2
x + 1
= 1 ⇔ x
2
− x − 1 = 0 ⇔ x =
1 ±
√
5
2
.
Với t = −3 ⇒
x
2
x + 1
= −3 ⇔ x
2
+ 3x + 3 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
1 ±
√
5
2
.
f) Phương trình tương đương với
1
x
2
+ x + 1
−
1
x
2
+ x + 2
2
+ 2.
1
x
2
+ x + 1
.
1
x
2
+ x + 2
=
13
36
⇔
1
(x
2
+ x + 1) (x
2
+ x + 2)
2
+
2
(x
2
+ x + 1) (x
2
+ x + 2)
−
13
36
= 0
Đặt
1
(x
2
+ x + 1) (x
2
+ x + 2)
= t (t > 0). Phương trình trở thành t
2
+ 2t −
13
36
= 0 ⇔
t =
1
6
t = −
13
6
(loại)
.
6
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Với t =
1
6
⇒
1
(x
2
+ x + 1) (x
2
+ x + 2)
=
1
6
⇔
x
2
+ x + 1
x
2
+ x + 2
= 6.
Đặt x
2
+ x + 1 = u (u > 0). Phương trình trở thành u (u + 1) = 6 ⇔
u = 2
u = −3 (loại)
.
Với u = 2 ⇒ x
2
+ x + 1 = 2 ⇔ x =
−1 ±
√
5
2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
−1 ±
√
5
2
.
Bài tập 2.10. Giải các phương trình sau
a) |x − 1| =
x
2
− 3x + 1
. b)
x
2
+ 4x − 5
=
x
2
+ 5
.
c)
x
2
− 5x + 4
− x = 4.
d)
√
x
2
+ 4x + 4 = 5 − x
2
.
e)
x
2
− 5x + 4
= x
2
+ 6x + 5. f)
x
2
− 5x + 5
= −2x
2
+ 10x − 11.
Lời giải.
a) Ta có |x − 1| =
x
2
− 3x + 1
⇔
x − 1 = x
2
− 3x + 1
x − 1 = −x
2
+ 3x − 1
⇔
x = 2 ±
√
2
x = 0
x = 2
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 2 ±
√
2, x = 0, x = 2.
b) Ta có
x
2
+ 4x − 5
=
x
2
+ 5
⇔
x
2
+ 4x − 5 = x
2
+ 5
x
2
+ 4x − 5 = −x
2
− 5
⇔
x =
5
2
x = 0
x = −2
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x =
5
2
, x = 0, x = −2.
c) Với x
2
− 5x + 4 ≥ 0 ⇔
x ≥ 4
x ≤ 1
, phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 − x = 4 ⇔
x = 0
x = 6
(thỏa mãn).
Với x
2
−5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, phương trình trở thành −x
2
+ 5x − 4 −x = 4 ⇔ x
2
−4x + 8 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 6.
d) Phương trình tương đương với |x + 2| = 5 −x
2
.
Với x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2, phương trình trở thành x + 2 = 5 − x
2
⇔ x
2
+ x − 3 = 0 ⇔
x =
−1+
√
13
2
x =
−1−
√
13
2
(loại)
Với x + 2 < 0 ⇔ x < −2, phương trình trở thành −x − 2 = 5 − x
2
⇔ x
2
− x − 7 = 0 ⇔
x =
1+
√
29
2
(loại)
x =
1−
√
29
2
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
−1 +
√
13
2
, x =
1 −
√
29
2
.
e) Với x
2
− 5x + 4 ≥ 0 ⇔
x ≥ 4
x ≤ 1
, phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 = x
2
+ 6x + 5 ⇔ x = −
1
11
(thỏa mãn).
Với x
2
− 5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, PT trở thành −x
2
+ 5x − 4 = x
2
+ 6x + 5 ⇔ 2x
2
+ x + 9 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −
1
11
.
f) Với x
2
−5x + 5 ≥ 0 ⇔
x ≥
5+
√
5
2
x ≤
5−
√
5
2
, PT trở thành x
2
−5x + 5 = −2x
2
+ 10x −11 ⇔ x =
15±
√
33
2
(thỏa mãn).
Với x
2
− 5x + 5 < 0 ⇔
5−
√
5
2
< x <
5+
√
5
2
, PT trở thành −x
2
+ 5x − 5 = −2x
2
+ 10x − 11 ⇔
x = 2
x = 3
(TM).
Vậy phương trình có bốn nghiệm x =
15 ±
√
33
2
, x = 2, x = 3.
Bài tập 2.11. Giải các phương trình sau
a)
x
2
− x
2
+
x
2
− x
− 6 = 0. b) 3
2x − 1
x + 1
2
−
x + 1
2x − 1
− 2 = 0.
c)
x
2
+ 3x − 10
+
x
2
− 4
= 0. d)
x
2
+ 3x − 4
+
x
2011
+ 2011x − 2012
= 0.
Lời giải.
a) Đặt |x
2
− x| = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t
2
+ t − 6 = 0 ⇔
t = 2
t = −3 (loại)
.
Với t = 2 ⇒
x
2
− x
= 2 ⇔
x
2
− x = 2
x
2
− x = −2 (vô nghiệm)
⇔
x = 2
x = −1
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = −1.
b) Điều kiện: x = −1, x =
1
2
.
Đặt |
x + 1
2x − 1
| = t (t > 0). Phương trình trở thành
3
t
2
− t − 2 = 0 ⇔ t
3
+ 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1.
Với t = 1 ⇒
x + 1
2x − 1
= 1 ⇔ |x + 1| = |2x − 1| ⇔
x + 1 = 2x − 1
x + 1 = −2x + 1
⇔
x = 2
x = 0
.
7
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 0.
c) Ta có
x
2
+ 3x − 10
+
x
2
− 4
= 0 ⇔
x
2
+ 3x − 10 = 0
x
2
− 4 = 0
⇔
x = 2
x − 5
x = ±2
⇔ x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
d) Ta có
x
2
+ 3x − 4
+
x
2011
+ 2011x − 2012
= 0 ⇔
x
2
+ 3x − 4 = 0
x
2011
+ 2011x − 2012 = 0
⇔
x = 1 (thỏa mãn)
x = −4 (loại)
x
2011
+ 2011x − 2012 = 0
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Bài tập 2.12. Giải các bất phương trình sau
a) |x − 2| < |2x + 1|. b)
2x − 3
x − 3
≤ 1.
c)
x
2
− 5x + 4
≤ x
2
+ 6x + 5. d)
x
2
− 2x
+ x
2
− 4 > 0.
Lời giải.
a) Ta có |x − 2| < |2x + 1| ⇔ (x − 2)
2
< (2x + 1)
2
⇔ 3x
2
+ 8x − 3 > 0 ⇔
x >
1
3
x < −3
.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3) ∪
1
3
; +∞
.
b) Điều kiện: x = 3. Bất phương trình tương đương với
|2x − 3| ≤ |x − 3| ⇔ (2x −3)
2
≤ (x −3)
2
⇔ 3x
2
− 6x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 (thỏa mãn)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 2].
c) Với x
2
− 5x + 4 ≥ 0 ⇔
x ≥ 4
x ≤ 1
, bất phương trình trở thành
x
2
− 5x + 4 ≤ x
2
+ 6x + 5 ⇔ x ≥ −
1
11
⇒ S
1
=
−
1
11
; 1
∪ [4; +∞)
Với x
2
− 5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, bất phương trình trở thành
−x
2
+ 5x − 4 ≤ x
2
+ 6x + 5 ⇔ 2x
2
+ x + 9 ≥ 0 (đúng ∀x ∈ (1; 4)) ⇒ S
2
= (1; 4)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S
1
∪ S
2
=
−
1
11
; +∞
.
d) Với x
2
− 2x ≥ 0 ⇔
x ≥ 2
x ≤ 0
, bất phương trình trở thành
x
2
− 2x + x
2
− 4 > 0 ⇔
x > 2
x < −1
(thỏa mãn) ⇒ S
1
= (−∞; −1) ∪ (2; +∞)
Với x
2
− 2x < 0 ⇔ 0 < x < 2, bất phương trình trở thành
−x
2
+ 2x + x
2
− 4 > 0 ⇔ x > 2 (loại) ⇒ S
2
= ∅
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S
1
∪ S
2
= (−∞; −1) ∪ (2; +∞).
Bài tập 2.13. Giải các phương trình sau
a) |9 − x| = |6 −5x|+ |4x + 3|. b)
x
2
− 5x + 4
+
x
2
− 5x
= 4.
c) |7 − 2x| = |5 −3x|+ |x + 2|. d) |x − 1| − 2 |x − 2| + 3 |x − 3| = 4.
e)
√
x
2
− 2x + 1 +
√
x
2
+ 4x + 4 = 5.
f)
x + 2
√
x − 1 +
x − 2
√
x − 1 = 2.
Lời giải.
a) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −
3
4
6
5
9 +∞
9 − x + | + | + 0 −
6 − 5x + | + 0 − | −
4x + 3 − 0 + | + | +
Với x ∈
−∞; −
3
4
, phương trình trở thành 9 − x = 6 − 5x − 4x − 3 ⇔ x = −
3
4
(thỏa mãn).
Với x ∈
−
3
4
;
6
5
, phương trình trở thành 9 − x = 6 − 5x + 4x + 3 ⇔ 9 = 9 (đúng , ∀x ∈
−
3
4
;
6
5
).
Với x ∈
6
5
; 9
, phương trình trở thành 9 − x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x =
6
5
(loại).
Với x ∈ (9; +∞), phương trình trở thành −9 + x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x = −
3
4
(loại).
Vậy phương trình có tập nghiệm S =
−
3
4
;
6
5
.
b) Ta có bảng xét dấu
8
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
x −∞ 0 1 4 5 +∞
x
2
− 5x + 4 + | + 0 − 0 + | +
x
2
− 5x + 0 − | − | − 0 +
Với x ∈ (−∞; 0], phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 + x
2
− 5x = 4 ⇔
x = 0 (thỏa mãn)
x = 5 (loại)
.
Với x ∈ (0; 1], phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 − x
2
+ 5x = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng , ∀x ∈ (0; 1]).
Với x ∈ (1; 4], phương trình trở thành −x
2
+ 5x − 4 − x
2
+ 5x = 4 ⇔
x = 4 (thỏa mãn)
x = 1 (loại)
.
Với x ∈ (4; 5], phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 − x
2
+ 5x = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng , ∀x ∈ (4; 5]).
Với x ∈ (5; +∞), phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 + x
2
− 5x = 4 ⇔
x = 0 (loại)
x = 5 (loại)
.
Vậy phương trình có tập nghiệm S = [0;1] ∪ [4; 5].
c) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −2
5
3
7
2
+∞
7 − 2x + | + | + 0 −
5 − 3x + | + 0 − | −
x + 2 − 0 + | + | +
Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành 7 − 2x = 5 −3x −x −2 ⇔ x = −2 (thỏa mãn).
Với x ∈
−2;
5
3
, phương trình trở thành 7 − 2x = 5 − 3x + x + 2 ⇔ 7 = 7 (đúng , ∀x ∈
−2;
5
3
).
Với x ∈
5
3
;
7
2
, phương trình trở thành 7 − 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x =
5
3
(loại).
Với x ∈
7
2
; +∞
, phương trình trở thành −7 + 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x = −2 (loại).
Vậy phương trình có tập nghiệm S =
−2;
5
3
.
d) Ta có bảng xét dấu
x −∞ 1 2 3 +∞
x − 1 − 0 + | + | +
x − 2 − | − 0 + | +
x − 3 − | − | − 0 +
Với x ∈ (−∞; 1], phương trình trở thành −x + 1 − 2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ x = 1 (thỏa mãn).
Với x ∈ (1; 2], phương trình trở thành x − 1 − 2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng , ∀x ∈ (1; 2]).
Với x ∈ (2; 3], phương trình trở thành x − 1 − 2 (x − 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ x = 2 (loại).
Với x ∈ (3; +∞), phương trình trở thành x − 1 − 2 (x − 2) + 3 (x − 3) = 4 ⇔ x = 5 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1;2] ∪ {5}.
e) Phương trình tương đương với |x − 1| + |x + 2| = 5.
Ta có bảng xét dấu
x −∞ −2 1 +∞
x − 1 − | − 0 +
x + 2 − 0 + | +
Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành −x + 1 − x − 2 = 5 ⇔ x = 3 (loại).
Với x ∈ (−2; 1], phương trình trở thành −x + 1 + x + 2 = 5 ⇔ 3 = 5 (vô lý).
Với x ∈ (1; +∞), phương trình trở thành x − 1 + x + 2 = 5 ⇔ x = 2 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
f) Phương trình tương đương với
√
x − 1 + 1 +
√
x − 1 − 1
= 2.
Với
√
x − 1 − 1
≥ 0 ⇔ x ≥ 2, PT trở thành
√
x − 1 + 1 +
√
x − 1 − 1 = 2 ⇔
√
x − 1 = 1 ⇔ x = 2 (thỏa mãn).
Với
√
x − 1 − 1
< 0 ⇔ 1 ≤ x < 2, PT trở thành
√
x − 1 + 1 −
√
x − 1 + 1 = 2 ⇔ 2 = 2 (đúng ∀x ∈ [1; 2)).
Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1;2].
§2. Phương Trình - Bất Phương Trình Chứa Căn
Bài tập 2.14. Giải các phương trình sau
a) x −
√
x − 1 − 7 = 0. b)
√
2x + 9 =
√
4 − x +
√
3x + 1.
c)
√
3x − 3 −
√
5 − x =
√
2x − 4.
d)
2x +
√
6x
2
+ 1 = x + 1.
e)
3
√
2x − 1 +
3
√
x − 1 =
3
√
3x + 1. f)
3
√
x + 1 +
3
√
x + 2 +
3
√
x + 3 = 0.
9
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Phương trình tương đương với
√
x − 1 = x − 7 ⇔
x ≥ 7
x − 1 = x
2
− 14x + 49
⇔
x ≥ 7
x = 5 (loại)
x = 10
⇔ x = 10
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.
b) Điều kiện: −
1
3
≤ x ≤ 4. Phương trình tương đương với
2x + 9 = 4 − x + 3x + 1 + 2
(4 − x) (3x + 1) ⇔ 4 = 2
−3x
2
+ 11x + 4
⇔ − 3x
2
+ 11x + 4 = 4 ⇔
x = 0
x =
11
3
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x =
11
3
.
c) Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 5. Phương trình tương đương với
√
3x − 3 =
√
5 − x +
√
2x − 4 ⇔ 3x −3 = 5 −x + 2x −4 + 2
(5 − x) (2x − 4)
⇔ 2x − 4 = 2
(5 − x) (2x − 4) ⇔ (2x −4)
2
= 4 (5 − x) (2x − 4)
⇔(2x − 4) (2x − 4 − 20 + 4x) = 0 ⇔
x = 2
x = 4
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 4.
d) Phương trình tương đương với
x + 1 ≥ 0
2x +
√
6x
2
+ 1 = x
2
+ 2x + 1
⇔
x ≥ −1
6x
2
+ 1 = x
4
+ 2x
2
+ 1
⇔
x ≥ −1
x = 0
x = 2
x = −2 (loại)
⇔
x = 0
x = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2.
e) Phương trình tương đương với
2x − 1 + x − 1 + 3
3
(2x − 1) (x − 1)
3
√
2x − 1 +
3
√
x − 1
= 3x + 1
⇒
3
(2x − 1) (x − 1) (3x + 1) = 1 ⇒ 6x
3
− 7x
2
= 0 ⇒
x = 0
x =
7
6
Thử lại ta thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
7
6
.
f) Phương trình tương đương với
3
√
x + 1 +
3
√
x + 2 = −
3
√
x + 3 ⇔ x + 1 + x + 2 + 3
3
(x + 1) (x + 2)
3
√
x + 1 +
3
√
x + 2
= −x − 3
⇒
3
(x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + 2 ⇒ (x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + 2 ⇒ x = −2
Thử lại ta thấy x = −2 là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2.
Bài tập 2.15. Giải các bất phương trình sau
a)
√
x
2
− 4x − 12 > 2x + 3. b)
√
x
2
− 4x − 12 ≤ x −4.
c)
3
√
6x − 9x
2
< 3x. d)
√
x
3
+ 1 ≥ x + 1.
Lời giải.
a) Bất phương trình tương đương với
2x + 3 < 0
x
2
− 4x − 12 ≥ 0
2x + 3 ≥ 0
x
2
− 4x − 12 > 4x
2
+ 12x + 9
⇔
x < −
3
2
x ≥ 6
x ≤ −2
x ≥ −
3
2
−3 < x < −
7
3
⇔ x ≤ −2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2].
b) Bất phương trình tương đương với
x − 4 ≥ 0
x
2
− 4x − 12 ≥ 0
x
2
− 4x − 12 ≤ x
2
− 8x + 16
⇔
x ≥ 4
x ≥ 6
x ≤ −2
x ≤ 7
⇔ 6 ≤ x ≤ 7
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [6; 7].
c) Bất phương trình tương đương với 6x − 9x
2
< 27x
3
⇔ 27x
3
+ 9x
2
− 6x > 0. Ta có bảng xét dấu
10
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
x −∞ −
2
3
0
1
3
+∞
VT − 0 + 0 − 0 +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
−
2
3
; 0
∪
1
3
; +∞
.
d) Bất phương trình tương đương với
x + 1 < 0
x
3
+ 1 ≥ 0
x + 1 ≥ 0
x
3
+ 1 ≥ x
2
+ 2x + 1
⇔
x < −1
x
3
≥ −1
(vô nghiệm)
x ≥ −1
−1 ≤ x ≤ 0
x ≥ 2
⇔
−1 ≤ x ≤ 0
x ≥ 2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [−1; 0] ∪ [2; +∞).
Bài tập 2.16. Giải các bất phương trình sau
a) (CĐ-09)
√
x + 1 + 2
√
x − 2 ≤
√
5x + 1. b) (A-05)
√
5x − 1 −
√
x − 1 >
√
2x − 4.
c)
2x +
√
6x
2
+ 1 > x + 1.
d) (A-04)
2 (x
2
− 16)
√
x − 3
+
√
x − 3 >
7 − x
√
x − 3
.
Lời giải.
a) Điều kiện: x ≥ 2. Bất phương trình tương đương với
x + 1 + 4 (x − 2) + 4
(x + 1) (x − 2) ≤ 5x + 1 ⇔ x
2
− x − 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; 3].
b) Điều kiện: x ≥ 2. Bất phương trình tương đương với
√
5x − 1 >
√
x − 1 +
√
2x − 4 ⇔ 5x −1 > x − 1 + 2x − 4 + 2
(x − 1) (2x − 4)
⇔ x + 2 >
(x − 1) (2x − 4) ⇔ x
2
+ 4x + 4 > 2x
2
− 6x + 4 ⇔ 0 < x < 10
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; 10).
c) Bất phương trình tương đương với
x + 1 < 0
2x +
√
6x
2
+ 1 ≥ 0
x + 1 ≥ 0
2x +
√
6x
2
+ 1 > x
2
+ 2x + 1
⇔
x < −1
√
6x
2
+ 1 ≥ −2x
x ≥ −1
6x
2
+ 1 > x
4
+ 2x
2
+ 1
⇔
x < −1
6x
2
+ 1 ≥ 4x
2
(đúng,∀x ∈ R)
x ≥ −1
x < −2
0 < x < 2
⇔
x < −1
0 < x < 2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −1) ∪ (0; 2).
d) Điều kiện: x ≥ 4. Bất phương trình tương đương với
2 (x
2
− 16) + x − 3 > 7 −x ⇔
2 (x
2
− 16) > 10 −2x ⇔
10 − 2x < 0
10 − 2x ≥ 0
2x
2
− 32 > 100 −40x + 4x
2
⇔
x > 5
x ≤ 5
10 −
√
34 < x < 10 +
√
34
⇔
x > 5
10 −
√
34 < x ≤ 5
⇔ x > 10 −
√
34
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =
10 −
√
34; +∞
.
Bài tập 2.17. Giải các phương trình sau
a) (D-05) 2
x + 2 + 2
√
x + 1 −
√
x + 1 = 4. b)
x − 1 + 2
√
x − 2 −
x − 1 − 2
√
x − 2 = 1.
c) x +
x +
1
2
+
x +
1
4
= 9.
d)
x + 2
√
x − 1 +
x − 2
√
x − 1 =
x + 3
3
.
Lời giải.
a) Phương trình tương đương với 2
√
x + 1 + 1
−
√
x + 1 = 4 ⇔
√
x + 1 = 2 ⇔ x = 3.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
11
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
b) Phương trình tương đương với
√
x − 2 + 1 −
√
x − 2 − 1
= 1 ⇔
√
x − 2 −
√
x − 2 − 1
= 0
Với
√
x − 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3, PT trở thành
√
x − 2 −
√
x − 2 + 1 = 0 ⇔ 1 = 0 (vô lý).
Với
√
x − 2 − 1 < 0 ⇔ 2 ≤ x < 3, PT trở thành
√
x − 2 +
√
x − 2 − 1 = 0 ⇔ 4(x −2) = 1 ⇔ x =
9
4
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm x =
9
4
.
c) Phương trình tương đương với
x +
x +
1
4
+
1
2
= 9 ⇔
x +
1
4
=
17
2
− x
⇔
17
2
− x ≥ 0
x +
1
4
=
289
4
− 17x + x
2
⇔
x ≤
17
2
x = 12 (loại)
x = 6
⇔ x = 6
d) Phương trình tương đương với
√
x − 1 + 1 +
√
x − 1 − 1
=
x+3
3
.
Với
√
x − 1 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2, phương trình trở thành
√
x − 1 + 1 +
√
x − 1 − 1 =
x + 3
3
⇔ 6
√
x − 1 = x + 3
⇔
x + 3 ≥ 0
36(x − 1) = x
2
+ 6x + 9
⇔
x ≥ −3
x = 15 ±6
√
5
⇔ x = 15 ± 6
√
5
Với
√
x − 1 − 1 < 0 ⇔ 1 ≤ x < 2, phương trình trở thành
√
x − 1 + 1 −
√
x − 1 + 1 =
x + 3
3
⇔ 6 = x + 3 ⇔ x = 3 (loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 15 ±6
√
5.
Bài tập 2.18. Giải các bất phương trình sau
a)
x
4
+
√
x − 4 ≥ 8 −x.
b) (D-02)
x
2
− 3x
√
2x
2
− 3x − 2 ≥ 0.
c) (x − 2)
√
x
2
+ 4 < x
2
− 4. d) (x + 2)
√
9 − x
2
≤ x
2
− 2x − 8.
e)
√
x
2
− 3x + 2 +
√
x
2
− 4x + 3 ≥ 2
√
x
2
− 5x + 4. f)
√
x
2
+ x − 2 +
√
x
2
+ 2x − 3 ≤
√
x
2
+ 4x − 5.
Lời giải.
a) Bất phương trình tương đương với
x + 4
√
x − 4 ≥ 16 −2x ⇔
√
x − 4 + 2 ≥ 16 −2x ⇔
√
x − 4 ≥ 14 −2x
⇔
14 − 2x < 0
x − 4 ≥ 0
14 − 2x ≥ 0
x − 4 ≥ 196 −56x + 4x
2
⇔
x > 7
x ≥ 4
x ≤ 7
25
4
≤ x ≤ 8
⇔
x > 7
25
4
≤ x ≤ 7
⇔ x ≥
25
4
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
25
4
; +∞
.
b) Bất phương trình tương đương với
√
2x
2
− 3x − 2 = 0
√
2x
2
− 3x − 2 > 0
x
2
− 3x ≥ 0
⇔
x = 2
x = −
1
2
x > 2
x < −
1
2
x ≥ 3
x ≤ 0
⇔
x = 2
x = −
1
2
x ≥ 3
x < −
1
2
⇔
x = 2
x ≥ 3
x ≤ −
1
2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
−∞; −
1
2
∪ [3; +∞) ∪ {2}.
c) Bất phương trình tương đương với
(x − 2)
x
2
+ 4 < (x −2) (x + 2) ⇔ (x − 2)
x
2
+ 4 − x − 2
< 0
⇔
x − 2 > 0
√
x
2
+ 4 < x + 2
x − 2 < 0
√
x
2
+ 4 > x + 2
⇔
x > 2
x
2
+ 4 < x
2
+ 4x + 4
x < 2
x
2
+ 4 > x
2
+ 4x + 4
⇔
x > 2
x < 0
12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; 0) ∪ (2; +∞).
d) Bất phương trình tương đương với
(x + 2)
9 − x
2
≤ (x + 2) (x −4) ⇔ (x + 2)
9 − x
2
− x + 4
≤ 0
⇔
x + 2 ≥ 0
√
9 − x
2
≤ x −4
x + 2 ≤ 0
√
9 − x
2
≥ x −4
⇔
x ≥ −2
x − 4 ≥ 0
9 − x
2
≥ 0
9 − x
2
≤ x
2
− 8x + 16
(vô nghiệm)
x ≤ −2
9 − x
2
≥ 0
⇔ −3 ≤ x ≤ −2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [−3; −2].
e) Điều kiện:
x ≥ 4
x ≤ 1
. BPT tương đương với
(x − 1) (x − 2) +
(x − 1) (x − 3) ≥ 2
(x − 1) (x − 4).
Nhận thấy x = 1 là nghiệm của bất phương trình.
Với x ≥ 4, bất phương trình trở thành
√
x − 1
√
x − 2 +
√
x − 3 − 2
√
x − 4
≥ 0 ⇔
√
x − 2+
√
x − 3 ≥ 2
√
x − 4.
Vì
√
x − 2 >
√
x − 4 và
√
x − 3 >
√
x − 4 nên bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ [4; +∞).
Với x < 1, bất phương trình trở thành
√
1 − x
√
2 − x +
√
3 − x − 2
√
4 − x
≥ 0 ⇔
√
2 − x+
√
3 − x ≥ 2
√
4 − x.
Vì
√
2 − x <
√
4 − x và
√
3 − x >
√
4 − x nên bất phương trình vô nghiệm.
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = [4;+∞) ∪ {1}.
f) Điều kiện:
x ≥ 1
x ≤ −5
. BPT tương đương với
(x − 1) (x + 2) +
(x − 1) (x + 3) ≤ 2
(x − 1) (x + 5).
Nhận thấy x = 1 là nghiệm của bất phương trình.
Với x > 1, bất phương trình trở thành
√
x − 1
√
x + 2 +
√
x + 3 −
√
x + 5
≤ 0 ⇔
√
x + 2 +
√
x + 3 ≤
√
x + 5
⇔ x + 2 + x + 3 + 2
(x + 2) (x + 3) ≤ x + 5 ⇔ 2
(x + 2) (x + 3) ≤ −x (vô nghiệm)
Với x ≤ −5, bất phương trình trở thành
√
1 − x
√
−x − 2 +
√
−x − 3 −
√
−x − 5
≤ 0 ⇔
√
−x − 2 +
√
−x − 3 ≤
√
−x − 5
⇔ − x − 2 − x − 3 + 2
(x + 2) (x + 3) ≤ −x −5 ⇔ 2
(x + 2) (x + 3) ≤ x
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x = 1.
Bài tập 2.19. Giải các phương trình sau
a) (D-06)
√
2x − 1 + x
2
− 3x + 1 = 0.
b)
7 − x
2
+ x
√
x + 5 =
√
3 − 2x − x
2
.
c)
√
2x
2
+ 8x + 6 +
√
x
2
− 1 = 2x + 2.
d) 3
2 +
√
x − 2
= 2x +
√
x + 6.
e) x
2
+ 3x + 1 = (x + 3)
√
x
2
+ 1.
f)
x
2
−
7
x
2
+
x −
7
x
2
= x.
Lời giải.
a) Phương trình tương đương với
√
2x − 1 = −x
2
+ 3x − 1 ⇔
−x
2
+ 3x − 1 ≥ 0
2x − 1 = x
4
+ 9x
2
+ 1 − 6x
3
+ 2x
2
− 6x
⇔
−x
2
+ 3x − 1 ≥ 0
x
4
− 6x
3
+ 11x
2
− 8x + 2 = 0
⇔
−x
2
+ 3x − 1 ≥ 0
(x − 1)
2
x
2
− 4x + 2
= 0
⇔
−x
2
+ 3x − 1 ≥ 0
x = 1
x = 2 +
√
2 (loại)
x = 2 −
√
2
⇔
x = 0
x = 2 −
√
2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2 −
√
2.
b) Ta có
7 − x
2
+ x
√
x + 5 =
3 − 2x − x
2
⇒ 7 −x
2
+ x
√
x + 5 = 3 − 2x − x
2
⇒ x
√
x + 5 = −2x − 4 ⇒ x
2
(x + 5) = 4x
2
+ 16x + 16 ⇒
x = −1
x = ±4
13
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Thử lại ta thấy x = ±4 không phải là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x = −1.
c) Điều kiện:
x ≥ 1
x = −1
x ≤ −3
. Phương trình tương đương với
2 (x + 1) (x + 3) +
(x − 1) (x + 1) = 2(x + 1)
Nhận thấy x = −1 là nghiệm của phương trình.
Với x ≥ 1, phương trình trở thành
√
x + 1
√
2x + 6 +
√
x − 1 − 2
√
x + 1
= 0 ⇔
√
2x + 6 +
√
x − 1 = 2
√
x + 1
⇔ 2x + 6 + x − 1 + 2
(2x + 6) (x − 1) = 4 (x + 1) ⇔ 2
2x
2
+ 4x − 6 = x − 1
⇔ 4
2x
2
+ 4x − 6
= x
2
− 2x + 1 ⇔ 7x
2
+ 18x − 25 = 0 ⇔
x = 1
x = −
25
7
(loại)
Với x ≤ −3, phương trình trở thành
√
−x − 1
√
−2x − 6 +
√
1 − x − 2
√
−x − 1
= 0 ⇔
√
−2x − 6 +
√
1 − x = 2
√
−x − 1
⇔ − 2x − 6 + 1 − x + 2
(2x + 6) (x − 1) = 4 (−x − 1) ⇔ 2
2x
2
+ 4x − 6 = 1 − x
⇔ 4
2x
2
+ 4x − 6
= x
2
− 2x + 1 ⇔ 7x
2
+ 18x − 25 = 0 ⇔
x = 1 (loại)
x = −
25
7
d) Điều kiện: x ≥ 2. Phương trình tương đương với
3
√
x − 2 −
√
x + 6 = 2x − 6 ⇔
9 (x − 2) − (x + 6)
3
√
x − 2 +
√
x + 6
= 2x − 6
⇔ 8 (x − 3) = 2 (x − 3)
3
√
x − 2 +
√
x + 6
⇔ 2 (x −3)
3
√
x − 2 +
√
x + 6 − 4
= 0
⇔
x = 3
3
√
x − 2 +
√
x + 6 = 4
⇔
x = 3
9 (x − 2) + x + 6 + 6
(x − 2) (x + 6) = 16
⇔
x = 3
3
√
x
2
+ 4x − 12 = 14 − 5x
⇔
x = 3
14 − 5x ≥ 0
9
x
2
+ 4x − 12
= 196 − 160x + 25x
2
⇔
x = 3
x ≤
14
5
16x
2
− 196x + 304 = 0
⇔
x = 3
x =
49±
√
2097
2
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
e) Ta có phương trình hệ quả
x
4
+ 9x
2
+ 1 + 6x
3
+ 2x
2
+ 6x =
x
2
+ 6x + 9
x
2
+ 1
⇒ x
4
+ 6x
3
+ 11x
2
+ 6x + 1 = x
4
+ 6x
3
+ 10x
2
+ 6x + 9 ⇒ x = ±2
√
2
Thử lại ta thấy x = ±2
√
2 là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2
√
2.
f) Ta có phương trình hệ quả
x
2
−
7
x
2
= x −
x −
7
x
2
⇒ x
2
−
7
x
2
= x
2
+ x −
7
x
2
− 2x
x −
7
x
2
⇒ x
1 − 2
x −
7
x
2
= 0 ⇒ 2
x −
7
x
2
= 1 ⇒ 4
x −
7
x
2
= 1
⇒ 4x
3
− x
2
− 28 = 0 ⇒ x = 2
Thử lại ta thấy x = 2 là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Bài tập 2.20. Giải các bất phương trình sau
a)
1 −
√
1 − 4x
2
x
< 3.
b)
1 −
√
21 − 4x + x
2
x + 1
≥ 0.
c)
2x
√
2x + 1 − 1
> 2x + 2.
d)
x
2
1 +
√
1 + x
2
> x −4.
14
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Lời giải.
a) Điều kiện x ∈
−
1
2
;
1
2
\{0}. Phương trình tương đương với
1 −
1 − 4x
2
x
1 +
√
1 − 4x
2
< 3 ⇔ 4x < 3 + 3
1 − 4x
2
⇔ 3
1 − 4x
2
> 4x −3
Vì 4x − 3 < 0, ∀x ∈
−
1
2
;
1
2
\{0} nên bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈
−
1
2
;
1
2
\{0}.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
−
1
2
;
1
2
\{0}.
b) Điều kiện: x = −1. Bất phương trình tương đương với
1 −
21 − 4x + x
2
(x + 1)
1 +
√
21 − 4x + x
2
≥ 0 ⇔
−x
2
+ 4x − 20
x + 1
≥ 0 ⇔ x + 1 < 0 ⇔ x < −1
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −1).
c) Điều kiện: x ≥ −
1
2
, x = 0. Bất phương trình tương đương với
√
2x + 1 + 1 > 2x + 2 ⇔
√
2x + 1 > 2x + 1 ⇔ 2x + 1 > 4x
2
+ 4x + 1 ⇔ −
1
2
< x < 0
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =
−
1
2
; 0
.
d) Điều kiện: x ≥ −1. Nhận thấy x = 0 là nghiệm của bất phương trình.
Với x = 0, bất phương trình tương đương với
1 −
√
x + 1
2
> x −4 ⇔ 1 + x + 1 − 2
√
x + 1 > x −4 ⇔
√
x + 1 < 3 ⇔ x < 8
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [−1; 8).
Bài tập 2.21. Giải các phương trình sau
a) (x + 5) (2 − x) = 3
√
x
2
+ 3x.
b)
(x + 1) (2 − x) = 1 + 2x − 2x
2
.
c)
√
x + 1 +
√
4 − x +
(x + 1) (4 − x) = 5.
d)
√
3x − 2 +
√
x − 1 = 4x − 9 + 2
√
3x
2
− 5x + 2.
Lời giải.
a) Phương trình tương đương với −x
2
− 3x + 10 = 3
√
x
2
+ 3x ⇔ x
2
+ 3x + 3
√
x
2
+ 3x − 10 = 0.
Đặt
√
x
2
+ 3x = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t
2
+ 3t − 10 = 0 ⇔
t = 2
t = −5 (loại)
.
Với t = 2 ⇒
√
x
2
+ 3x = 2 ⇔ x
2
+ 3x − 4 = 0 ⇔
x = 1
x = −4
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −4.
b) Phương trình tương đương với
√
2 + x − x
2
= 1 + 2
x − x
2
.
Đặt
√
2 + x − x
2
= t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t = 1 + 2
t
2
− 2
⇔ 2t
2
− t − 3 = 0 ⇔
t = −1 (loại)
x =
3
2
Với t =
3
2
⇒
√
2 + x − x
2
=
3
2
⇔ 4
2 + x − x
2
= 9 ⇔ 4x
2
− 4x + 1 = 0 ⇔ x =
1
2
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
1
2
.
c) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 4. Đặt
√
x + 1 +
√
4 − x = t (t ≥ 0) ⇔
(x + 1) (4 − x) =
t
2
−5
2
. Phương trình trở thành
t +
t
2
− 5
2
= 5 ⇔ t
2
+ 2t − 15 = 0 ⇔
t = 3
t = −5 (loại)
Với t = 3 ⇒
√
−x
2
+ 3x + 4 = 2 ⇔ −x
2
+ 3x + 4 = 4 ⇔
x = 0
x = 3
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 3.
d) Điều kiện: t ≥ 1. Đặt
√
3x − 2 +
√
x − 1 = t (t ≥ 0) ⇔ 4x + 2
√
3x
2
− 5x + 2 = t
2
+ 3. Phương trình trở thành
t = t
2
+ 3 − 9 ⇔ t
2
− t − 6 = 0 ⇔
t = 3
t = −2 (loại)
Với t = 3 ⇒
3x
2
− 5x + 2 = 3 − 2x ⇔
x ≤
3
2
3x
2
− 5x + 2 = 9 − 12x + 4x
2
⇔ x =
7 −
√
21
2
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm x =
7 −
√
21
2
.
15
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 2.22. Giải các phương trình sau
a) x +
√
4 − x
2
= 2 + 3x
√
4 − x
2
.
b) (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3)
x+1
x−3
= −3.
c)
4
x
2
+
x
2
4 − x
2
+
5
2
√
4 − x
2
x
+
x
√
4 − x
2
+ 2 = 0.
d) (B-2011) 3
√
2 + x −6
√
2 − x +4
√
4 − x
2
= 10 −3x.
Lời giải.
a) Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2. Đặt x +
√
4 − x
2
= t ⇒ x
√
4 − x
2
=
t
2
−4
2
. Phương trình trở thành
t = 2 +
3
t
2
− 4
2
⇔ 3t
2
− 2t − 8 = 0 ⇔
t = 2
t = −
4
3
Với t = 2 ⇒
√
4 − x
2
= 2 − x ⇔ 4 − x
2
= 4 − 4x + x
2
⇔
x = 0
x = 2
(thỏa mãn).
Với t = −
4
3
⇒
√
4 − x
2
= −
4
3
− x ⇔
x ≤ −
4
3
9
4 − x
2
= (4 + 3x)
2
⇔
x ≤ −
4
3
x =
−2±
√
14
3
⇔ x =
−2−
√
14
3
(thỏa mãn).
b) Điều kiện:
x > 3
x ≤ −1
. Đặt (x − 3)
x+1
x−3
= t ⇒ (x − 3) (x + 1) = t
2
.
Phương trình trở thành t
2
+ 4t + 3 = 0 ⇔
t = −1
t = −3
.
Với t = −1 ⇒ (x −3)
x+1
x−3
= −1 ⇔
x < 3
(x − 3) (x + 1) = 1
⇔
x < 3
x = 1 ±
√
5
⇔ x = 1 −
√
5 (thỏa mãn).
Với t = −3 ⇒ (x −3)
x+1
x−3
= −3 ⇔
x < 3
(x − 3) (x + 1) = 9
⇔
x < 3
x = 1 ±
√
13
⇔ x = 1 −
√
13 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 −
√
5, x = 1 −
√
13.
c) Điều kiện: −2 < x < 2, x = 0. Đặt
√
4 − x
2
x
+
x
√
4 − x
2
= t ⇒
4 − x
2
x
2
+
x
2
4 − x
2
= t
2
−2 ⇔
4
x
2
+
x
2
4 − x
2
= t
2
−1.
Phương trình trở thành t
2
− 1 +
5
2
t + 2 = 0 ⇔
t = −2
t = −
1
2
.
Với t = −2 ⇒
√
4 − x
2
x
+
x
√
4 − x
2
= −2 ⇔ 4 = −2x
4 − x
2
⇔
x < 0
x = ±
√
2
⇔ x = −
√
2 (thỏa mãn).
Với t = −
1
2
⇒
√
4 − x
2
x
+
x
√
4 − x
2
= −
1
2
⇔ 4 = −
1
2
x
4 − x
2
⇔
x < 0
x
4
− 4x
2
+ 64 = 0
(vô nghiệm).
d) Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2. Phương trình tương đương với 3
√
2 + x − 2
√
2 − x
+ 4
√
4 − x
2
= 10 − 3x.
Đặt
√
2 + x − 2
√
2 − x = t ⇒ 4
√
4 − x
2
= 10 − 3x − t
2
. Phương trình trở thành 3t − t
2
= 0 ⇔
t = 0
t = 3
.
Với t = 0 ⇒
√
2 + x = 2
√
2 − x ⇔ 2 + x = 4 (2 − x) ⇔ x =
6
5
(thỏa mãn).
Với t = 3 ⇒
√
2 + x = 2
√
2 − x + 3 ⇔ 12
√
2 − x = 5x −15 (vô nghiệm vì 5x − 15 < 0, ∀x ∈ [−2; 2]).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
6
5
.
Bài tập 2.23. Giải các phương trình sau
a) x
2
+ 3x + 2 ≥ 2
√
x
2
+ 3x + 5. b) x
2
+
√
2x
2
+ 4x + 3 ≥ 6 −2x.
c) x (x + 1) −
√
x
2
+ x + 4 + 2 ≥ 0.
d) x
2
− 2x + 8 − 6
(4 − x) (2 + x) ≤ 0.
e)
x
x + 1
− 2
x + 1
x
> 3.
f)
√
x + 2 +
√
x − 1 + 2
√
x
2
+ x − 2 ≤ 11 −2x.
Lời giải.
a) Đặt
√
x
2
+ 3x + 5 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành t
2
− 3 ≥ 2t ⇔
t ≥ 3
t ≤ −1 (loại)
.
Với t ≥ 3 ⇒ x
2
+ 3x + 5 ≥ 9 ⇔
x ≥ 1
x ≤ −4
. Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −4] ∪ [1; +∞).
b) Đặt
√
2x
2
+ 4x + 3 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành
t
2
−3
2
+ t ≥ 6 ⇔
t ≥ 3
t ≤ −5 (loại)
.
Với t ≥ 3 ⇒ 2x
2
+ 4x + 3 ≥ 9 ⇔
x ≥ 1
x ≤ −3
. Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [1; +∞).
c) Đặt
√
x
2
+ x + 4 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành t
2
− 4 − t + 2 ≥ 0 ⇔
t ≥ 2
t ≤ −1 (loại)
.
Với t ≥ 2 ⇒ x
2
+ x + 4 ≥ 4 ⇔
x ≥ 0
x ≤ −1
. Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −1] ∪ [0; +∞).
d) Bất phương trình tương đương với x
2
− 2x + 8 − 6
√
8 + 2x − x
2
≤ 0.
16
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Đặt
√
8 + 2x − x
2
= t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành 8 − t
2
+ 8 − 6t ≤ 0 ⇔
t ≥ 2
t ≤ −8 (loại)
.
Với t ≥ 2 ⇒ 8 + 2x − x
2
≥ 4 ⇔ 1 −
√
5 < x < 1 +
√
5.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
1 −
√
5; 1 +
√
5
.
e) Điều kiện:
x > 0
x < −1
. Đặt
x + 1
x
= t (t > 0). Bất phương trình trở thành
1
t
2
− 2t > 3 ⇔ 2t
3
+ 3t
2
− 1 < 0 ⇔ (t + 1)
2
(2x − 1) < 0 ⇔ t <
1
2
Với t <
1
2
⇒
x + 1
x
<
1
4
⇔
3x + 4
4x
< 0 ⇔ −
4
3
< x < 0.
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =
−
4
3
; −1
.
f) Điều kiện: x ≥ 1. Đặt
√
x + 2 +
√
x − 1 = t (t ≥ 0) ⇒ 2
(x + 2) (x − 1) = t
2
− 2x − 1.
Bất phương trình trở thành t + t
2
≤ 12 ⇔ −4 ≤ t ≤ 3 ⇔ t ≤ 3 (vì t ≥ 0).
Với t ≤ 3 ⇒ 2
√
x
2
+ x − 2 ≤ 8 −2x ⇔
x ≤ 4
x
2
+ x − 2 ≤ 16 −8x + x
2
⇔
x ≤ 4
x ≤ 2
⇔ x ≤ 2.
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [1; 2].
Bài tập 2.24. Giải các phương trình sau
a) x
2
− 1 = 2x
√
x
2
− 2x. b) x
2
− 1 = 2x
√
x
2
+ 2x.
c) (4x − 1)
√
x
3
+ 1 = 2x
3
+ 2x + 1. d) x
2
+ 4x = (x + 2)
√
x
2
− 2x + 24.
Lời giải.
a) Đặt
√
x
2
− 2x = t (t ≥ 0) ⇒ x
2
= t
2
+ 2x. Phương trình trở thành
t
2
+ 2x − 1 = 2xt ⇔ (t − 1) (t + 1) = 2x (t − 1) ⇔ (t −1) (t + 1 −2x) = 0 ⇔
t = 1
t = 2x −1
Với t = 1 ⇒
√
x
2
− 2x = 1 ⇔ x
2
− 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ±
√
2.
Với t = 2x − 1 ⇒
√
x
2
− 2x = 2x −1 ⇔
2x − 1 ≥ 0
x
2
− 2x = 4x
2
− 4x + 1
⇔
x ≥
1
2
3x
2
− 2x + 1 = 0
(vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ±
√
2.
b) Đặt
√
x
2
+ 2x = t (t ≥ 0) ⇒ x
2
= t
2
− 2x. Phương trình trở thành
t
2
− 2x − 1 = 2xt ⇔ (t − 1) (t + 1) = 2x (t + 1) ⇔ (t + 1) (t −1 −2x) = 0 ⇔
t = −1 (loại)
t = 2x + 1
Với t = 2x + 1 ⇒
√
x
2
+ 2x = 2x + 1 ⇔
2x + 1 ≥ 0
x
2
+ 2x = 4x
2
+ 4x + 1
⇔
x ≥
1
2
3x
2
+ 2x + 1 = 0
(vô nghiệm).
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Đặt
√
x
3
+ 1 = t (t ≥ 0) ⇒ x
3
= t
2
− 1. Phương trình trở thành
(4x − 1) t = 2
t
2
− 1
+ 2x + 1 ⇔ 2t
2
− (4x − 1) t + 2x − 1 = 0 ⇔
t =
1
2
t = 2x −1
Với t =
1
2
⇒
x
3
+ 1 =
1
2
⇔ x
3
= −
3
4
⇔ x = −
3
√
6
2
.
Với t = 2x − 1 ⇒
√
x
3
+ 1 = 2x − 1 ⇔
2x − 1 ≥ 0
x
3
+ 1 = 4x
2
− 4x + 1
⇔
x ≥
1
2
x = 0
x = 2
⇔ x = 2.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −
3
√
6
2
, x = 2.
d) Đặt
√
x
2
− 2x + 24 = t (t ≥ 0) ⇒ x
2
= t
2
+ 2x − 24. Phương trình trở thành
t
2
+ 2x − 24 + 4x = (x + 2) t ⇔ t
2
− (x + 2) t + 6x − 24 = 0 ⇔
t = 6
t = x −4
Với t = 6 ⇒
√
x
2
− 2x + 24 = 6 ⇔ x
2
− 2x − 12 = 0 ⇔ x = 1 ±
√
13.
Với t = x − 4 ⇒
√
x
2
− 2x + 24 = x − 4 ⇔
x − 4 ≥ 0
x
2
− 2x + 24 = x
2
− 8x + 16
⇔
x ≥ 4
x = −
4
3
(vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ±
√
13.
Bài tập 2.25. Giải các phương trình sau
a)
3
√
2 − x = 1 −
√
x − 1. b) (A-09) 2
3
√
3x − 2 + 3
√
6 − 5x − 8 = 0.
c) 2
x
2
+ 2
= 5
√
x
3
+ 1. d) 2
x
2
− 3x + 2
= 3
√
x
3
+ 8.
17
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Đặt
3
√
2 − x = u,
√
x − 1 = v (v ≥ 0) ⇒ 2 −x = u
3
, x − 1 = v
2
. Phương trình trở thành
u = 1 −v (1)
u
3
+ v
2
= 1 (2)
Thay (1) vào (2) ta có (1 − v)
3
+ v
2
= 1 ⇔ 1 −3v + 3v
2
− v
3
+ v
2
= 1 ⇔
v = 0
v = 1
v = 3
⇒
x = 1
x = 2
x = 10
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2, x = 10.
b) Đặt
3
√
3x − 2 = u,
√
6 − 5x = v (v ≥ 0) ⇒ 3x−2 = u
3
, 6−5x = v
2
. Phương trình trở thành
2u + 3v −8 = 0 (1)
5u
3
+ 3v
2
= 8 (2)
Từ (1) ⇒ v =
8 − 2u
3
vào (2) ta có
5u
3
+ 3
8 − 2u
3
2
= 8 ⇔ 15u
3
+ 64 − 32u + 4u
2
= 24 ⇔ u = −2 ⇒ v = 4 ⇒ x = −2
Vậy phương trình nghiệm duy nhất x = −2.
c) Phương trình tương đương với 2
x
2
+ 2
= 5
(x + 1) (x
2
− x + 1).
Đặt
√
x + 1 = u,
√
x
2
− x + 1 = v (u ≥ 0, v > 0) ⇒ u
2
+ v
2
= x
2
+ 2. Phương trình trở thành
2
u
2
+ v
2
= 5uv ⇔ 2u
2
− 5uv + 2v
2
= 0 ⇔
u = 2v
v = 2u
Với u = 2v ⇒
√
x + 1 = 2
√
x
2
− x + 1 ⇔ x + 1 = 4
x
2
− x + 1
⇔ 4x
2
− 5x + 3 = 0 (vô nghiệm).
Với v = 2u ⇒
√
x
2
− x + 1 = 2
√
x + 1 ⇔ x
2
− x + 1 = 4 (x + 1) ⇔ x =
5±
√
37
2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
5 ±
√
37
2
.
d) Phương trình tương đương với 2
x
2
− 3x + 2
= 3
(x + 2) (x
2
− 2x + 4).
Đặt
√
x + 2 = u,
√
x
2
− 2x + 4 = v (u ≥ 0, v > 0) ⇒ v
2
− u
2
= x
2
− 3x + 2. Phương trình trở thành
2
v
2
− u
2
= 3uv ⇔ 2u
2
+ 3uv −2v
2
= 0 ⇔
u = −2v (loại)
v = 2u
Với v = 2u ⇒
√
x
2
− 2x + 4 = 2
√
x + 2 ⇔ x
2
− 2x + 4 = 4 (x + 2) ⇔ x = 3 ±
√
13.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 ±
√
13.
Bài tập 2.26. Giải các phương trình sau
a) x
2
+
√
x + 5 = 5. b) x
3
+ 2 = 3
3
√
3x − 2.
c) x
3
+ 1 = 2
3
√
2x − 1.
d) x
3
√
35 − x
3
x +
3
√
35 − x
3
= 30.
Lời giải.
a) Đặt
√
x + 5 = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành
x
2
= −t + 5 (1)
t
2
= x + 5 (2)
.
Trừ theo vế (2) và (1) ta có t
2
− x
2
= x + t ⇔ (x + t) (t − x − 1) = 0 ⇔
t = −x
t = x + 1
.
Với t = −x ⇒
√
x + 5 = −x ⇔
−x ≥ 0
x + 5 = x
2
⇔
x ≤ 0
x =
1±
√
21
2
⇔ x =
1 −
√
21
2
.
Với t = x + 1 ⇒
√
x + 5 = x + 1 ⇔
x + 1 ≥ 0
x + 5 = x
2
+ 2x + 1
⇔
x ≥ −1
x =
−1±
√
17
2
⇔ x =
−1 +
√
17
2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
1 −
√
21
2
, x =
−1 +
√
17
2
.
b) Đặt
3
√
3x − 2 = t. Phương trình trở thành
x
3
+ 2 = 3t (1)
t
3
+ 2 = 3x (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có
x
3
− t
3
= 3t − 3x ⇔ (x − t)
x
2
+ xt + t
2
= 3 (t − x)
⇔(x − t)
x
2
+ xt + t
2
+ 3
= 0 ⇔
x = t
x
2
+ xt + t
2
+ 3 = 0 (vô nghiệm)
Với t = x ⇒
3
√
3x − 2 = x ⇔ 3x − 2 = x
3
⇔
x = 1
x = −2
. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2.
c) Đặt
3
√
2x − 1 = t. Phương trình trở thành
x
3
+ 1 = 2t (1)
t
3
+ 1 = 2x (2)
.
18
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Trừ theo vế (1) và (2) ta có
x
3
− t
3
= 2t − 2x ⇔ (x − t)
x
2
+ xt + t
2
= 2 (t − x)
⇔(x − t)
x
2
+ xt + t
2
+ 2
= 0 ⇔
x = t
x
2
+ xt + t
2
+ 2 = 0 (vô nghiệm)
Với t = x ⇒
3
√
2x − 1 = x ⇔ 2x − 1 = x
3
⇔
x = 1
x =
−1±
√
5
2
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x =
−1 ±
√
5
2
.
d) Đặt
3
√
35 − x
3
= t. Phương trình trở thành
xt(x + t) = 30
t
3
+ x
3
= 35
⇔
xt(x + t) = 30
(t + x)
3
− 3xt (x + t) = 35
⇔
xt(x + t) = 30
(t + x)
3
= 125
⇔
xt = 6
t + x = 5
⇒
x = 2
x = 3
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3.
Bài tập 2.27. Giải các phương trình, bất phương trình sau
a) (B-2012) x + 1 +
√
x
2
− 4x + 1 ≥ 3
√
x.
b) (A-2010)
x −
√
x
1 −
2 (x
2
− x + 1)
≥ 1.
c)
3
√
x
2
− 2 =
√
2 − x
3
.
d) x +
3 (1 − x
2
) = 2
1 − 2x
2
.
Lời giải.
a) Điều kiện:
0 ≤ x ≤ 2 −
√
3
x ≥ 2 +
√
3
. Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của bất phương trình.
Với x > 0, bất phương trình tương đương với
√
x +
1
√
x
+
x +
1
x
− 4 ≥ 3.
Đặt
√
x +
1
√
x
= t (t > 0) ⇒ x +
1
x
= t
2
− 2, bất phương trình trở thành
t
2
− 6 ≥ 3 −t ⇔
3 − t < 0
3 − t ≥ 0
t
2
− 6 ≥ 9 −6t + t
2
⇔
t > 3
5
2
≤ t ≤ 3
⇔ t ≥
5
2
Với t ≥
5
2
⇒
√
x +
1
√
x
≥
5
2
⇔ 2x −5
√
x + 2 ≥ 0 ⇔
√
x ≥ 2
√
x ≤
1
2
⇔
x ≥ 4
0 < x ≤
1
4
.
Kết hợp ta có tập nghiệm của bất phương trình là S =
0;
1
4
∪ [4; +∞).
b) Điều kiện: x ≥ 0. Nhận thấy x
2
− x + 1 ≥
3
4
⇒
2 (x
2
− x + 1) > 1. Do đó PT tương đương với
x −
√
x ≤ 1 −
2 (x
2
− x + 1) ⇔
2x
2
− 2x + 2 ≤ 1 +
√
x − x
⇔
1 +
√
x − x ≥ 0
2x
2
− 2x + 2 ≤ 1 + x + x
2
+ 2
√
x − 2x − 2x
√
x
⇔
√
x ≥ x − 1
1 + x + x
2
− 2
√
x − 2x + 2x
√
x ≤ 0
⇔
√
x ≥ x − 1
(1 −
√
x − x)
2
≤ 0
⇔
√
x ≥ x − 1
1 −
√
x − x = 0
⇔
√
x ≥ x − 1
√
x = 1 −x
⇔
√
x ≥ x − 1
1 − x ≥ 0
x = 1 −2x + x
2
⇔
x ≤ 1
x =
3±
√
5
2
⇔ x =
3 −
√
5
2
c) Điều kiện: x ≤
3
√
2. Nhận thấy
√
2 − x
3
≥ 0 ⇒
3
√
x
2
− 2 ≥ 0 ⇔
x ≥
√
2
x ≤ −
√
2
.
Từ điều kiện ta có x ≤ −
√
2. Khi đó phương trình tương đương với
x
2
− 2
2
=
2 − x
3
3
⇔ x
4
− 4x
2
+ 4 = 8 − 12x
3
+ 6x
6
− x
9
= 0 ⇔ x
9
− 6x
6
+ x
4
+ 12x
3
− 4x
2
− 4 = 0
⇔ x
9
− 5x
6
−
x
3
−
1
2
x
2
+ 12x
3
−
15
4
x
2
− 4 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài tập 2.28. Giải các phương trình sau
a)
√
4x − 1 +
√
4x
2
− 1 = 1.
b)
√
x − 1 = −x
3
− 4x + 5.
c)
√
2x − 1 +
√
x
2
+ 3 = 4 − x.
d) x
5
+ x
3
−
√
1 − 3x + 4 = 0.
e) x
3
+ 4x − (2x + 7)
√
2x + 3 = 0. f) (CĐ-2012) 4x
3
+ x − (x + 1)
√
2x + 1 = 0.
19
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Điều kiện: x ≥
1
2
. Nhận thấy x =
1
2
là một nghiệm của phương trình.
Xét hàm số y =
√
4x − 1 +
√
4x
2
− 1 trên
1
2
; +∞
có y
=
2
√
4x−1
+
4x
√
4x
2
−1
> 0, ∀x ∈
1
2
; +∞
.
Do đó hàm số đồng biến trên
1
2
; +∞
suy ra x =
1
2
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
1
2
.
b) Điều kiện: x ≥ 1. Phương trình tương đương với
√
x − 1 + x
3
+ 4x = 5.
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình.
Xét hàm số y =
√
x − 1 + x
3
+ 4x trên [1; +∞) có y
=
1
2
√
x−1
+ 3x
2
+ 4 > 0, ∀x ∈ (1; +∞).
Do đó hàm số đồng biến trên [1; +∞) suy ra x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
c) Điều kiện: x ≥
1
2
. Phương trình tương đương với
√
2x − 1 +
√
x
2
+ 3 + x = 4.
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình.
Xét hàm số y =
√
2x − 1 +
√
x
2
+ 3 + x trên
1
2
; +∞
có y
=
1
√
2x−1
+
x
√
x
2
+3
+ 1 > 0, ∀x ∈
1
2
; +∞
.
Do đó hàm số đồng biến trên
1
2
; +∞
suy ra x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
d) Điều kiện: x ≤
1
3
. Nhận thấy x = −1 là một nghiệm của phương trình.
Xét hàm số y = x
5
+ x
3
−
√
1 − 3x + 4 trên
−∞;
1
3
có y
= 5x
4
+ 3x
2
+
3
2
√
1−3x
> 0, ∀x ∈
−∞;
1
3
.
Do đó hàm số đồng biến trên
−∞;
1
3
suy ra x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −1.
e) Đặt
√
2x + 3 = u (u ≥ 0). Phương trình trở thành x
3
+ 4x −
u
2
+ 4
u = 0 ⇔ x
3
+ 4x = u
3
+ 4u.
Xét hàm số f(t) = t
3
+ 4t trên [0; +∞) có f
(t) = 3t
2
+ 4 > 0, ∀t ∈ [0; +∞).
Do đó phương trình tương đương với
u = x ⇒
√
2x + 3 = x ⇔
x ≥ 0
2x + 3 = x
2
⇔ x = 3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
f) Điều kiện: x ≥ −
1
2
. Phương trình tương đương với 8x
3
+ 2x = (2x + 2)
√
2x + 1.
Đặt
√
2x + 1 = u (u ≥ 0). Phương trình trở thành 8x
3
+ 2x =
u
2
+ 1
u ⇔ (2x)
3
+ 2x = u
3
+ u.
Xét hàm số f(t) = t
3
+ t trên [0; +∞) có f
(t) = 3t
2
+ 1 > 0, ∀t ∈ [0; +∞).
Do đó phương trình tương đương với
u = 2x ⇒
√
2x + 1 = 2x ⇔
x ≥ 0
2x + 1 = 4x
2
⇔ x =
1 +
√
5
4
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
1 +
√
5
4
.
Bài tập 2.29. Giải các phương trình sau
a)
√
x
2
− 2x + 5 +
√
x − 1 = 2.
b)
√
x − 2 +
√
4 − x = x
2
− 6x + 11.
c) 2
√
x − 2 − 1
2
+
√
x + 6 +
√
x − 2 − 2 = 0.
d)
√
5x
3
+ 3x
2
+ 3x − 2 =
1
2
x
2
+ 3x −
1
2
.
Lời giải.
a) Phương trình tương đương với
(x − 1)
2
+ 4 +
√
x − 1 = 2.
Ta có
(x − 1)
2
+ 4 ≥ 2
√
x − 1 ≥ 0
⇒
(x − 1)
2
+ 4 +
√
x − 1 ≥ 2.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
(x − 1)
2
+ 4 = 2
√
x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b) Ta có x
2
− 6x + 11 = (x − 3)
2
+ 2 ≥ 2 (1).
Xét hàm số y =
√
x − 2 +
√
4 − x trên [2; 4] có y
=
1
2
√
x − 2
−
1
2
√
4 − x
; y
= 0 ⇔ x = 3.
Ta có y(2) =
√
2, y(4) =
√
2, y(3) = 2 ⇒ max
[2;4]
y = y(3) = 2 ⇒
√
x − 2 +
√
4 − x ≤ 2 (2).
Từ (1) và (2) ta có phương trình tương đương với
x
2
− 6x + 11 = 2
√
x − 2 +
√
4 − x = 2
⇔ x = 3.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
c) Điều kiện: x ≥ 2. Khi đó
2
√
x − 2 − 1
2
≥ 0
√
x + 6 > 2
√
x − 2 ≥ 0
⇒ 2
√
x − 2 − 1
2
+
√
x + 6 +
√
x − 2 > 2.
20
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
d) Phương trình tương đương với
(5x − 2) (x
2
+ x + 1) =
1
2
x
2
+ 6x − 1
.
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
(5x − 2) (x
2
+ x + 1) ≤
1
2
x
2
+ 6x − 1
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
√
5x − 2 =
√
x
2
+ x + 1 ⇔ x
2
− 4x + 3 = 0 ⇔
x = 1
x = 3
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 3.
§3. Hệ Phương Trình Đại Số
Bài tập 2.30. Giải các hệ phương trình sau
a)
x
2
+ y
2
+ xy = 7
x + y + xy = 5
. b)
x + y + xy = 1
x
3
+ y
3
+ 3(x − y)
2
− 4 = 0
.
c) (DB-05)
x
2
+ y
2
+ x + y = 4
x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2
. d)
x
2
− xy + y
2
= 3 (x − y)
x
2
+ xy + y
2
= 7(x − y)
2
.
Lời giải.
a) Hệ đã cho tương đương với
(x + y)
2
− xy = 7
x + y + xy = 5
.
Đặt x + y = S, xy = P (S
2
≥ 4P ). Hệ trở thành
S
2
− P = 7 (1)
S + P = 5 (2)
.
Từ (2) ⇒ P = 5 −S thay vào (1) ta có S
2
+ S −12 = 0 ⇔
S = 3
S = −4
.
Với S = 3 ⇒ P = 2 ⇒
x + y = 3
xy = 2
⇔
x = 2
y = 1
hoặc
x = 1
y = 2
. Với S = −4 ⇒ P = 9 (loại).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (1; 2).
b) Hệ đã cho tương đương với
x + y + xy = 1
(x + y)
3
− 3xy (x + y) + 3(x + y)
2
− 12xy −4 = 0
.
Đặt x + y = S, xy = P (S
2
≥ 4P ). Hệ trở thành
S + P = 1 (1)
S
3
− 3P S + 3S
2
− 12P −4 = 0 (2)
.
Từ (1) ⇒ P = 1 −S thay vào (2) ta có S
3
− 3S (1 − S) + 3S
2
− 12 (1 − S) −4 = 0 ⇔ S = 1.
Với S = 1 ⇒ P = 0 ⇒
x + y = 1
xy = 0
⇔
x = 0
y = 1
hoặc
x = 1
y = 0
.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 1) và (x; y) = (1; 0).
c) Hệ đã cho tương đương với
(x + y)
2
− 2xy + x + y = 4
(x + y)
2
− xy + x + y = 2
. Đặt x + y = S, xy = P (S
2
≥ 4P ).
Hệ trở thành
S
2
− 2P + S = 4
S
2
− P + S = 2
⇔
P = −2
S
2
+ S = 0
⇔
S = 0
P = −2
hoặc
S = −1
P = −2
.
Với
S = 0
P = −2
⇒
x + y = 0
xy = −2
⇔
x =
√
2
y = −
√
2
hoặc
x = −
√
2
y =
√
2
.
Với
S = −1
P = −2
⇒
x + y = −1
xy = −2
⇔
x = 1
y = −2
hoặc
x = −2
y = 1
.
Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) =
√
2; −
√
2
, (x; y) =
−
√
2;
√
2
, (x; y) = (1; −2) và (x; y) = (−2; 1).
d) Hệ đã cho tương đương với
(x − y)
2
+ xy = 3 (x − y)
(x − y)
2
+ 3xy = 7(x − y)
2
⇔
(x − y)
2
+ xy = 3 (x − y)
xy = 2(x − y)
2
.
Đặt x − y = S, xy = P . Hệ trở thành
S
2
+ P = 3S
P = 2S
2
⇔
3S
2
− 3S = 0
P = 2S
2
⇔
S = 0
P = 0
hoặc
S = 1
P = 2
Với
S = 0
P = 0
⇒
x − y = 0
xy = 0
⇔
x = 0
y = 0
; với
S = 1
P = 2
⇒
x − y = 1
xy = 2
⇔
x = 2
y = 1
hoặc
x = −1
y = −2
.
Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (0; 0) , (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (−1; −2).
Bài tập 2.31. Giải các hệ phương trình sau
a)
x
2
− 2y
2
= 2x + y
y
2
− 2x
2
= 2y + x
. b)
x − 3y =
4y
x
y −3x =
4x
y
.
21
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
c)
2x + y =
3
x
2
2y + x =
3
y
2
. d) (B-03)
3y =
y
2
+ 2
x
2
3x =
x
2
+ 2
y
2
.
Lời giải.
a) Xét hệ
x
2
− 2y
2
= 2x + y (1)
y
2
− 2x
2
= 2y + x (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 3x
2
− 3y
2
= x − y ⇔ (x − y) (3x + 3y −1) = 0 ⇔
x = y
y =
1−3x
3
.
Với x = y thay vào (1) ta có −x
2
= 3x ⇔
x = 0
x = −3
⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0) hoặc (x; y) = (−3; −3).
Với y =
1−3x
3
thay vào (1) ta có x
2
−
2(1 − 3x)
2
9
= 2x +
1 − 3x
3
⇔ 9x
2
− 3x + 5 = 0 (vô nghiệm).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 0) và (x; y) = (−3; −3).
b) Hệ đã cho tương đương với
x
2
− 3xy = 4y (1)
y
2
− 3xy = 4x (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có x
2
− y
2
= 4y −4x ⇔ (x −y) (x + y + 4) = 0 ⇔
x = y
y = −x − 4
.
Với x = y thay vào (1) ta có −2x
2
= 4x ⇔
x = 0
x = −2
⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0) hoặc (x; y) = (−2; −2).
Với y = −x − 4 thay vào (1) ta có x
2
− 3x (−x − 4) = 4 (−x − 4) ⇔ x = −2 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (−2; −2).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 0) và (x; y) = (−2; −2).
c) Hệ đã cho tương đương với
2x
3
+ x
2
y = 3 (1)
2y
3
+ xy
2
= 3 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 2x
3
− 2y
3
+ x
2
y −xy
2
= 0 ⇔ (x −y)
2x
2
+ 3xy + 2y
2
= 0 ⇔ x = y.
Với x = y thay vào (1) ta có 3x
3
= 3 ⇔ x = 1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).
d) Từ vế phải của các phương trình ta có x, y > 0. Hệ đã cho tương đương với
3x
2
y = y
2
+ 2 (1)
3xy
2
= x
2
+ 2 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 3x
2
y −3xy
2
= y
2
− x
2
⇔ (x −y) (3xy + x + y) = 0 ⇔ x = y .
Với x = y thay vào (1) ta có 3x
3
= x
2
+ 2 ⇔ x = 1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).
Bài tập 2.32. Giải các hệ phương trình sau
a)
x
2
− xy = 2
2x
2
+ 4xy −2y
2
= 14
. b)
x
2
− 2xy + 3y
2
= 9
x
2
− 4xy + 5y
2
= 5
.
c)
x
3
+ y
3
= 1
x
2
y + 2xy
2
+ y
3
= 2
. d) (DB-06)
(x − y)
x
2
+ y
2
= 13
(x + y)
x
2
− y
2
= 25
.
Lời giải.
a) Hệ đã cho tương đương với
7x
2
− 7xy = 14 (1)
2x
2
+ 4xy −2y
2
= 14 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 5x
2
− 11xy + 2y
2
= 0 ⇔
x = 2y
y = 5x
.
Với x = 2y thay vào (1) ta có 14y
2
= 14 ⇔ y = ±1 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1) hoặc (x; y) = (−2; −1).
Với y = 5x thay vào (1) ta có −28x
2
= 14 (vô nghiệm).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (−2; −1).
b) Hệ đã cho tương đương với
5x
2
− 10xy + 15y
2
= 45 (1)
9x
2
− 36xy + 45y
2
= 45 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có −4x
2
+ 26xy −30y
2
= 0 ⇔
x = 5y
x =
3
2
y
.
Với x = 5y thay vào (1) ta có 90y
2
= 45 ⇔ y = ±
1
√
2
⇒ hệ có nghiệm (x; y) =
±
5
√
2
; ±
1
√
2
.
Với y =
3
2
x thay vào (1) ta có
95
4
x
2
= 45 ⇔ x = ±
6
√
19
⇒ hệ có nghiệm (x; y) =
±
6
√
19
; ±
9
√
19
.
Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) =
5
√
2
;
1
√
2
, (x; y ) =
−
5
√
2
; −
1
√
2
, (x; y ) =
6
√
19
;
9
√
19
và (x; y) =
−
6
√
19
; −
9
√
19
.
c) Hệ đã cho tương đương với
2x
3
+ 2y
3
= 2 (1)
x
2
y + 2xy
2
+ y
3
= 2 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 2x
3
− x
2
y −2xy
2
+ y
3
= 0 ⇔
x = y
x = −y
y = 2x
.
Với x = y thay vào (1) ta có 4x
3
= 2 ⇔ x =
1
3
√
2
⇒ hệ có nghiệm (x; y) =
1
3
√
2
;
1
3
√
2
.
22
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Với x = −y thay vào (1) ta có 0 = 2 (vô nghiệm).
Với y = 2x thay vào (1) ta có 18x
3
= 2 ⇔ x =
1
3
√
9
⇒ hệ có nghiệm (x; y) =
1
3
√
9
;
2
3
√
9
.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) =
1
3
√
2
;
1
3
√
2
và (x; y) =
1
3
√
9
;
2
3
√
9
.
d) Hệ đã cho tương đương với
x
3
− x
2
y + xy
2
− y
3
= 13
x
3
+ x
2
y −xy
2
− y
3
= 25
⇔
25x
3
− 25x
2
y + 25xy
2
− 25y
3
= 325 (1)
13x
3
+ 13x
2
y −13xy
2
− 13y
3
= 325 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 12x
3
− 38x
2
y + 38xy
2
− 12y
3
= 0 ⇔
x = y
x =
3
2
y
x =
2
3
y
.
Với x = y thay vào (1) ta có 0 = 325 (vô nghiệm).
Với x =
3
2
y thay vào (1) ta có
325
8
y
3
= 325 ⇔ y = 2 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (3; 2).
Với x =
2
3
y thay vào (1) ta có −
325
27
y
3
= 325 ⇔ y = −3 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (−2; −3).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (3; 2) và (x; y) = (−2; −3).
Bài tập 2.33. Giải các hệ phương trình sau
a)
x + y = −1
x
3
− 3x = y
3
− 3y
. b) (DB-06)
x
2
+ 1 + y (y + x) = 4y
x
2
+ 1
(y + x − 2) = y
.
c) (B-08)
x
4
+ 2x
3
y + x
2
y
2
= 2x + 9
x
2
+ 2xy = 6x + 6
. d) (D-09)
x (x + y + 1) − 3 = 0
(x + y)
2
−
5
x
2
+ 1 = 0
.
Lời giải.
a) Xét hệ
x + y = −1 (1)
x
3
− 3x = y
3
− 3y (2)
. Từ (1) ⇒ y = −x − 1 thay vào (2) ta có
x
3
− 3x = (−x −1)
3
− 3 (−x − 1) ⇔ 2x
3
+ 3x
2
− 3x − 2 = 0 ⇔
x = −2
x = 1
x = −
1
2
Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (−2; 1) , (x; y) = (1; −2) và (x; y) =
−
1
2
;
1
2
.
b) Xét hệ
x
2
+ 1 + y(y + x) = 4y (1)
(x
2
+ 1)(y + x − 2) = y (2)
. Từ (1) ⇒ x
2
+ 1 = y(4 − y −x) thay vào (2) ta có
y (4 −y − x) (x + y −2) = y ⇔ y
(x + y)
2
− 6(x + y) + 9
= 0 ⇔
y = 0
y = 3 − x
Với y = 0 thay vào (1) ta có x
2
+ 1 = 0 (vô nghiệm).
Với y = 3 − x thay vào (1) ta có x
2
+ x − 2 = 0 ⇔
x = 1
x = −2
.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 2) và (x; y) = (−2; 5).
c) Hệ đã cho tương đương với
(x
2
+ xy)
2
= 2x + 9 (1)
x
2
+ 2xy = 6x + 6 (2)
. Từ (2) ⇒ xy =
6x + 6 − x
2
2
thay vào (1) ta có
x
2
+
6x + 6 − x
2
2
2
= 2x + 9 ⇔ x
4
+ 12x
3
+ 48x
2
+ 64x = 0 ⇔
x = 0
x = −4
Với x = 0 thay vào (2) ta có 0 = 6 (vô nghiệm).Với x = −4 thay vào (2) ta có y =
17
4
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) =
−4;
17
4
.
d) Xét hệ
x(x + y + 1) − 3 = 0 (1)
(x + y)
2
−
5
x
2
+ 1 = 0 (2)
. Từ (1) ⇒ x + y =
3
x
− 1 thay vào (2) ta có
3
x
− 1
2
−
5
x
2
+ 1 = 0 ⇔
4
x
2
−
6
x
+ 2 = 0 ⇔
x = 0
2x
2
− 6x + 4 = 0
⇔
x = 1
x = 2
Với x = 1 thay vào (1) ta có y = 1; x = 2 thay vào (1) ta có y = −
3
2
.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) và (x; y) =
2; −
3
2
.
Bài tập 2.34. Giải các hệ phương trình sau
a) (B-02)
3
√
x − y =
√
x − y
x + y =
√
x + y + 2
. b) (A-03)
x −
1
x
= y −
1
y
2y = x
3
+ 1
.
c)
x
2
+ y
2
+
2xy
x+y
= 1
√
x + y = x
2
− y
. d)
6x
2
− 3xy + x + y = 1
x
2
+ y
2
= 1
.
23
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Xét hệ
3
√
x − y =
√
x − y (1)
x + y =
√
x + y + 2 (2)
. Điều kiện: x − y ≥ 0, x + y + 2 ≥ 0.
Ta có (1) ⇔ (x − y)
2
= (x − y)
3
⇔ (x −y)
2
(x − y −1) = 0 ⇔
x = y
x = y + 1
.
Với x = y thay vào (2) ta có 2y =
√
2y + 2 ⇔
y ≥ 0
4y
2
= 2y + 2
⇔ y = 1 ⇒ x = 1 (thỏa mãn).
Với x = y + 1 thay vào (2) ta có 2y + 1 =
√
2y + 3 ⇔
2y + 1 ≥ 0
4y
2
+ 4y + 1 = 2y + 3
⇔ y =
1
2
⇒ x =
3
2
(thỏa mãn).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) và (x; y) =
3
2
;
1
2
.
b) Xét hệ
x −
1
x
= y −
1
y
(1)
2y = x
3
+ 1 (2)
. Điều kiện: x = 0, y = 0.
Ta có (1) ⇔ x
2
y −y = xy
2
− x ⇔ xy (x − y) + x − y = 0 ⇔ (x −y ) (xy + 1) = 0 ⇔
y = x
y = −
1
x
.
Với y = x thay vào (2) ta có 2x = x
3
+ 1 ⇔
x = 1
x =
−1±
√
5
2
.
Suy ra hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1) hoặc (x; y) =
−1±
√
5
2
;
−1±
√
5
2
.
Với y = −
1
x
thay vào (2) ta có −
2
x
= x
3
+ 1 ⇔ x
4
+ x + 2 = 0 ⇔
x
2
−
1
2
2
+
x +
1
2
2
+
3
2
= 0 (vô nghiệm).
Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (1; 1) và (x; y) =
−1±
√
5
2
;
−1±
√
5
2
.
c) Xét hệ
x
2
+ y
2
+
2xy
x+y
= 1 (1)
√
x + y = x
2
− y (2)
. Điều kiện: x + y > 0. Ta có
(1) ⇔
(x + y)
2
− 2xy
(x + y) + 2xy = x + y
⇔ (x + y)
(x + y)
2
− 1
− 2xy (x + y − 1) = 0
⇔ (x + y − 1) [(x + y) (x + y + 1) −2xy] = 0
⇔ (x + y − 1)
x
2
+ y
2
+ x + y
= 0 ⇔
y = 1 − x
x
2
+ y
2
+ x + y = 0 (vô nghiệm)
Với y = 1 − x thay vào (2) ta có x
2
+ x − 2 = 0 ⇔
x = 1
x = −2
.
Vậy hệ có hai nghiệm (1; 0) và (−2; 3).
d) Hệ đã cho tương đương với
6x
2
− (3y −1)x + y −1 = 0 (1)
x
2
+ y
2
= 1 (2)
.
Xét phương trình (1) có ∆ = (3y −1)
2
− 24 (y −1) = 9y
2
− 30y + 25 = (3y −5)
2
.
Do đó (1) ⇔
x =
3y−1−3y+5
12
x =
3y−1+3y−5
12
⇔
x =
1
3
x =
1
2
(y −1)
.
Với x =
1
3
thay vào (2) ta có
1
9
+ y
2
= 1 ⇔ y = ±
2
√
2
3
.
Với x =
1
2
(y −1) thay vào (2) ta có
1
4
y
2
− 2y + 1
+ y
2
= 1 ⇔
y = 1
y = −
3
5
.
Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) =
1
3
;
2
√
2
3
, (x; y) =
1
3
; −
2
√
2
3
, (x; y) = (0; 1) và (x; y) =
−
4
5
; −
3
5
.
Bài tập 2.35. Giải các hệ phương trình sau
a) (DB-07)
x
4
− x
3
y −x
2
y
2
= 1
x
3
y −x
2
− xy = −1
. b) (D-08)
xy + x + y = x
2
− 2y
2
x
√
2y −y
√
x − 1 = 2x − 2y
.
c) (D-2012)
xy + x − 2 = 0
2x
3
− x
2
y + x
2
+ y
2
− 2xy −y = 0
. d)
x
3
+ 2y
2
= x
2
y + 2xy
2
x
2
− 2y −1 +
3
y
3
− 14 = x − 2
.
Lời giải.
a) Xét hệ
x
4
− x
3
y −x
2
y
2
= 1 (1)
x
3
y −x
2
− xy = −1 (2)
.
Ta có (2) ⇔ x
2
(xy −1) = xy −1 ⇔ (xy −1)
x
2
− 1
= 0 ⇔
x = ±1
y =
1
x
.
Với x = 1 thay vào (1) ta có y
2
+ y = 0 ⇔
y = 0
y = −1
. Với x = −1 thay vào (1) ta có y
2
− y = 0 ⇔
y = 0
y = 1
.
Với y =
1
x
thay vào (1) ta có x
4
− x
2
− 2 = 0 ⇔ x
2
= 2 ⇔ x = ±
√
2 ⇒ y = ±
1
√
2
.
24
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Vậy hệ có sáu nghiệm
x = 1
y = 0
,
x = 1
y = −1
,
x = −1
y = 0
,
x = −1
y = 1
,
x =
√
2
y =
√
2
và
x =
1
√
2
y = −
1
√
2
.
b) Xét hệ
xy + x + y = x
2
− 2y
2
(1)
x
√
2y −y
√
x − 1 = 2x − 2y (2)
. Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0.
Ta có (1) ⇔ y (x + y) + x + y = (x − y) (x + y) ⇔ (x + y) (y + 1 −x + y) = 0 ⇔ x = 2y + 1.
Với x = 2y + 1 thay vào (2) ta có
(2y + 1)
2y −y
2y = 2y + 2 ⇔ (y + 1)
2y = 2 (y + 1) ⇔
2y = 2 ⇔ y = 2 ⇒ x = 5
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (5; 2).
c) Xét hệ
xy + x − 2 = 0 (1)
2x
3
− x
2
y + x
2
+ y
2
− 2xy −y = 0 (2)
.
Ta có (2) ⇔ 2x
x
2
− y
− y
x
2
− y
+ x
2
− y = 0 ⇔
x
2
− y
(2x − y + 1) = 0 ⇔
y = x
2
y = 2x + 1
.
Với y = x
2
thay vào (1) ta có x
3
+ x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1.
Với y = 2x + 1 thay vào (1) ta có 2x
2
+ 2x − 2 = 0 ⇔ x =
−1±
√
5
2
⇒ y = ±
√
5.
Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (1; 1) , (x; y) =
−1+
√
5
2
;
√
5
và (x; y) =
−1−
√
5
2
; −
√
5
.
d) Xét hệ
x
3
+ 2y
2
= x
2
y + 2xy (1)
2
x
2
− 2y −1 +
3
y
3
− 14 = x − 2 (2)
. Điều kiện: x
2
≥ 2y + 1.
Ta có (1) ⇔ x
2
(x − y) = 2y (x −y) ⇔ (x −y)
x
2
− 2y
= 0 ⇔
x = y
x
2
= 2y (loại)
.
Với x = y thay vào (2) ta có 2
√
x
2
− 2x − 1 +
3
√
x
3
− 14 = x − 2 (*).
Đặt
√
x
2
− 2x − 1 = u ≥ 0,
3
√
x
3
− 14 = v ⇒ v
3
− 6u
2
= (x − 2)
3
.
Phương trình (*) trở thành v
3
− 6u
2
= (2u + v)
3
⇔ 2u
u
2
+ 3(u + v)
2
+ 3u
= 0 ⇔ u = 0 ⇒ x = 1 ±
√
2.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) =
1 +
√
2; 1 +
√
2
và (x; y) =
1 −
√
2; 1 −
√
2
.
Bài tập 2.36. Giải các hệ phương trình sau
a)
x
2
+ y
2
+ xy = 1
x
3
+ y
3
= x + 3y
. b)
x
3
+ 2xy
2
+ 12y = 0
8y
2
+ x
2
= 12
.
c) (DB-06)
x
3
− 8x = y
3
+ 2y
x
2
− 3 = 3
y
2
+ 1
. d) (A-2011)
5x
2
y −4xy
2
+ 3y
3
− 2 (x + y) = 0
xy
x
2
+ y
2
+ 2 = (x + y)
2
.
Lời giải.
a) Xét hệ
x
2
+ y
2
+ xy = 1 (1)
x
3
+ y
3
= x + 3y (2)
.
Thay (1) vào (2) ta có x
3
+ y
3
=
x
2
+ y
2
+ xy
(x + 3y) ⇔ 4x
2
y + 4xy
2
+ 2y
3
= 0 ⇔ y = 0.
Với y = 0 thay vào hệ ta có
x
2
= 1
x
3
= x
⇔ x = ±1. Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (−1; 0).
b) Xét hệ
x
3
+ 2xy
2
+ 12y = 0 (1)
8y
2
+ x
2
= 12 (2)
.
Thay (2) vào (1) ta có x
3
+ 2xy
2
+
8y
2
+ x
2
y = 0 ⇔ x
3
+ x
2
y + 2xy
2
+ 8y
3
= 0 (*)
Nhận thấy y = 0 không phải nghiệm của hệ. Với y = 0, chia hai vế phương trình (*) cho y
3
ta có
x
y
3
+
x
y
2
+ 2
x
y
+ 8 = 0 ⇔
x
y
= −2 ⇔ x = −2y
Với x = −2y thay vào (2) ta có 12y
2
= 12 ⇔ y = ±1 ⇒ x = ∓2.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; −1) và (x; y) = (−2; 1).
c) Hệ đã cho tương đương với
x
3
− y
3
= 2 (4x + y)
x
2
− 3y
2
= 6
⇔
3x
3
− 3y
3
= 6 (4x + y) (1)
x
2
− 3y
2
= 6 (2)
.
Thay (2) vào (1) ta có 3x
3
− 3y
3
=
x
2
− 3y
2
(4x + y) ⇔ x
3
+ x
2
y −12xy
2
= 0 (*)
Nhận thấy x = 0 không phải nghiệm của hệ. Với x = 0, chia hai vế phương trình (*) cho x
3
ta có
1 +
y
x
− 12
y
x
2
= 0 ⇔
y
x
=
1
3
y
x
= −
1
4
⇔
x = 3y
x = −4y
Với x = 3y thay vào (2) ta có 6y
2
= 6 ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±3.
Với x = −4y thay vào (2) ta có 13y
2
= 6 ⇔ y = ±
6
13
⇒ x = ∓4
6
14
.
Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (1; 3) , (x; y) = (−1; −3) , (x; y) =
6
13
; −4
6
13
và (x; y) =
−
6
13
; 4
6
13
.
25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
