THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI 19 4 NĂM HỌC 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
BÌNH THUẬN NĂM HỌC: 2012 – 2013
Môn thi: TOÁN – LỚP 9
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút
Đề này có 01 trang (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ
Bài 1: (4 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y = (m + 1)x +2m + 3 có đồ thò là
đường thẳng (d); ( với m

R)
1/ Tìm tọa độ điểm C để (d) đi qua C với mọi giá trò của m.
2/ Tìm giá trò của m để (d) cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A và B sao cho tam giác
OAB vuông cân tại O.
Bài 2: (4 điểm)
Cho biểu thức
2
1 2 2 1 2 2
4 4
1
x x x x
A
x x
      

 

1/ Rút gọn A
2/ Tìm các giá trò nguyên của x để A có giá trò nguyên
Bài 3: (4 điểm)

1/ Giải hệ phương trình:
17 2 2013
2 5
x y xy
x y xy
  


 



2/ Tìm tất cả các giá trò của x; y; z sao cho:
3
2
z
x z y y x

    
Bài 4: (6 điểm)
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố đònh. Qua điểm H cố đònh nằm
giữa O và B, kẻ một đường thẳng (d) vuông góc với AB. Gọi M là một điểm nằm
trên đường tròn (O), M không trùng với A, B và các giao điểm của (d) với đường
tròn (O). Các đường thẳng AM, BM và tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M cắt (d)
theo thứ tự tại C; D và E. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O) tại F
1/ Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác MCFD nội tiếp được trong đường tròn.
b/ Điểm E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCFD.
2/ Khi M di chuyển trên (O):
a/ Hỏi tâm I của đường tròn qua 4 điểm A; M; D; H chuyển động trên đường nào?

b/ Chứng minh đường thẳng MF luôn đi qua một điểm cố đònh.
Bài 5: (2 điểm)
Tìm một số gồm ba chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng ba chữ số của chúng
có giá trò nhỏ nhất
HẾT
(Giám thò coi thi không giải thích gì thêm)


Họ và tên thí sinh:
Phòng thi: Số báo danh:
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: (4 điểm)
1/ Tìm tọa độ điểm C để (d) đi qua C với mọi giá trò của m.
Giả sữ đường thẳng (d) đi qua điểm cố đònh C (x
o
; y
o
) với mọi giá trò của m
Ta có y
o
= (m + 1)x
o
+2m + 3
2 0 2
2 3 ( 2) 3 0
3 0 1
o o
o o o o o o
o o o
x x

y mx x m x m x y
x y y
   
 
            
 
   
 

Vậy tọa độ điểm C (-2; 1)
2/ Ta có
 
2 3
0; 2 3 ; ; 0
1
m
A m B
m

 
 
 

 
với m

1
OAB vuông cân tại O khi đó OA = OB
2 3 1
2 3 1

1 1

     
 
m
m
m m

Vậy m = 0 hoặc m = -2 thì (d) cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB
vuông cân tại O.
Bài 2: (4 điểm)
Cho biểu thức
2
1 2 2 1 2 2
4 4
1
x x x x
A
x x
      

 

1/ Rút gọn A: ĐKXĐ:
2 0
2
2
1 0
x
x

x
  

 

 






   
    

 

 



   

 

2 4
2 2 3
. 2 1 2 1
2 2
2 4

2
2 2 3
2 2
x
nếu x
x x x
x x
A
x
x
x nếu x
x x

2/ Tìm các giá trò nguyên của x để A có giá trò nguyên
+ Nếu
2 3
x
 
: A có giá trò nguyên khi
  

4 ( 2)
x x

+ Nếu

3
x
: Đặt
2

m x
 
> 0. Khi đó
4
2A m
m
 

A có giá trò nguyên khi




4 1;2;4 3;6;18
m m x   
Bài 3: (4 điểm)
1/ Giải hệ phương trình:
17 2 2013
2 5
x y xy
x y xy
  


 


(I)
+ Nếu xy > 0: (I)
17 2 18

1 1009
9
2013 2018
9
1009
1 2 1 2 9
1 482
5 5
482
9
x
y x y
y
y
y x y x
x
 


  


 


   
   
   
   
    


   


 
(nhận)
+ Nếu xy < 0: (I)
17 2 18
1 1004
2013 2008
9
1 2 1 2
1 1049
5 5
18
y x y
y
y x y x
x
 

    
 
 

  
  
  
  
   

 
  

 
(loại vì xy < 0)
+ Nếu xy = 0: (I)

x = y = 0 (nhận)
Vậy hệ đã cho có nghiệm
 
9 9
0; 0 ; ;
482 1009
 
 
 

Cách khác:
17 2 2013 17 2 2013
( 0) ( 0)
2 5 2 5
18 2018 18 2008
( 0) ( 0)
2 5 2 5
2 (9 1009 ) 0 2 (9 1004 ) 0
( 0)
2 5 2
x y xy x y xy
nếu xy hoặc nếu xy
x y xy x y xy

x xy x xy
nếu xy hoặc nếu xy
x y xy x y xy
x y x y
nếu xy hoặc
x y xy x
     
  
 
   
 
 
  
  
 
   
 

   
 

  

( 0)
5
9 18
0
482 1049
( ) ( ) ( )
0 9 9

1009 1004
nếu xy
y xy
x x
x
nhận hoặc nhận hoặc loại
y
y y





  
 
 
 
 

  
 

 
 
 
 

Vậy hệ đã cho có nghiệm
 
9 9

0; 0 ; ;
482 1009
 
 
 

2/ Tìm tất cả các giá trò của x; y; z sao cho:
3
2
z
x z y y x

    

ĐKXĐ:
0; 0; 0 0
x z y y x z y x
        

     
     
2 2 2
3
2 2 2 3
2
2 1 2 1 2 1 0
1 1 1 0
1 0
1 0 1; 2; 3
1 0


           
             
        

 


       


  


z
x z y y x x z y y x z
x x z y z y y x y x
x z y y x
x
z y x y z
y x

Bài 4: (6 điểm)
1/ Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác MCFD nội tiếp được trong đường tròn.


90
o
AMB AFB  (góc nội tiếp chẵn nữa đường tròn)

ABC

có 2 đường cao BM và CH cắt nhau tại D
 AD

BC
Mà AF

BC
Nên A; D; F thẳng hàng
Do đó DF

BC
Tứ giác MCFD có


180
o
DMF DFC 

Vậy MCFD nội tiếp
b/ Điểm E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCFD.
Ta có


1
2
DME sđ MB
 ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)



1
1
2
D sđ MB
 (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn do


sđ KB sđ JB
 )
Do đó


1
DME D

. Nên
EMD cân tại E EM ED
  

Suy ra


1 1
C M EMC cân tại E EM EC
    

Vậy E là trung điểm của CD nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCFD.
2/ Khi M di chuyển trên (O):

1
1
2
1
K
J
B
I
D
H
E
O
F
N
C
M
A
P

a/ Hỏi tâm I của đường tròn qua 4 điểm A; M; D; H chuyển động trên đường nào?
Tứ giác AMHD nội tiếp nên tâm I là trung điểm của AD
Tam giác AHD vuông tại H có HI là đường trung tuyến
1
2
HI AD AI
  

Vì A và H cố đònh nên khi M di chuyển trên (O) thì I di chuyển trên đường trung trực AH
cố đònh và I nằm ở phần bên trong (O).
b/ Chứng minh đường thẳng MF luôn đi qua một điểm cố đònh.

Gọi N là giao điểm của đường thẳng MF với tia AB
OE là đường trung trực của đoạn thẳng MF nên OE vuông góc với MF tại P
Tam giác OME vuông tại M có MP là đường cao
Ta có OP.OE = OM
2
= R
2
Mặt khác,
OHE


∽
OPN

(g – g)
. .
OH OE
OH ON OP OE
OP ON
   

Do đó OH.ON = R
2

Vì OH không đổi nên N cố đònh
Cách khác: Xét
OHF

và
OFN


, ta có

O
là góc chung



1 2
180
o
OHF C C   (vì tứ giác ACFH nội tiếp)



180
o
OFH OFA AFM  
(vì kề bù)
Mà






1 2
1
2
C OAF OFA và C AFM sđ MD

   
. Nên


OHF OFN


Do đó
OHF


∽
OFN

(g – g)
2
OH OF R
ON
OF ON OH
    . Vì OH không đổi nên N cố đònh
Bài 5: (2 điểm)
Tìm một số gồm ba chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng ba chữ số của chúng có giá
trò nhỏ nhất
Gọi số cần tìm là:
( , , ; 0 9; 0 , 9)
abc a b c N a b c
    

Theo đề bài ta có
100 10 ( ) 99 9 99 9

1
      
   
       
abc a b c a b c a b a b
a b c a b c a b c a b c

Ta thấy tử số không còn xuất hiện c nên để
 
abc
a b c
đạt giá trò nhỏ nhất khi và chỉ khi giá
trò c lớn nhất tức là c = 9
Khi đó
99 9 (9 9 81) 90 81 90 81
1 1 10
9 9 9
     
     
       
abc a b a b a a
a b c a b a b a b

Ta thấy tử số không còn xuất hiện b nên để
 
abc
a b c
đạt giá trò nhỏ nhất khi và chỉ khi giá
trò b lớn nhất tức là b = 9
Như vậy

90 81 1701
10 100
18 18
abc a
a b c a a

   
   

Biểu thức trên đạt GTNN thì
1701
18
a

lớn nhất , khi đó mẫu a+18 nhỏ nhất
=> a = 1
Vậy các số cần tìm là 199
GIÁO VIÊN GIẢI: PHAN QUỐC BÌNH
(Tổ Toán – Lí – Trường THCS Lương Sơn – Bắc Bình – Bình Thuận)