CHỦ ĐỀ 15: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ pot

CHỦ ĐỀ 15: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
a.Giới hạn hữu hạn.
Giả sử
(a;b)
là một khoảng chứa điểm
0
x
và f là một hàm số xác định
trên khoảng
0
(a;b) \ x
. Khi đó
0
0
x x
lim f(x ) L


nếu
n
d·y sè (x )

trong tập
hợp
0
(a;b) \ x
mà
n 0
lim x x


,ta đều có
n
lim f(x ) L

.
b.Giới hạn vô cực.



0 0
x x x x
lim f(x) hay lim f(x)
 
   
nếu


dãy
n
x

0
(a;b) \ x
mà
n 0
lim x x

, ta đều có
n
lim f(x )

 


n
hay lim f(x )
 
.
2.Giới hạn hàm số tại vô cực.
+/ Giả sử ta có hàm số f xác định trên
(a; )

. Ta nói rằng hàm số f có
giới hạn là số thực L khi x dần đến

nếu với mọi dãy
n
(x )
trong khoảng
(a; )

mà
n
lim x
 
,ta đều có
n
lim f(x ) L

.
Ta viết

x
lim f(x) L


.

x x x
x x
+/ T¬ng tù ta cã lim f(x) , lim f(x) , lim f(x
) L,
lim f(x) , lim f(x) .
  
 
    
   

2.Một số định lý về giới hạn.
Định lý 1: Giả sử
0
x x x
lim f(x) L vµ lim g(x) M
 
 
. Khi đó:
a/


0
x x
lim f(x) g(x) L M.


  

b/


0
x x
lim f(x) g(x) L M.

  

c/




0 0
x x x x
lim f(x).g(x) L.M ®Æc biÖt lim cf(x) cL.
 
 
d/
0
x x
f(x) L
lim ,M 0
g(x) M

 

 
 
 
.
Định lý 2: Giả sử
0
0
x x
lim f(x ) L


, khi đó:
a/
0
x x
lim f(x) L


.
b/
0
3
3
0
x x
lim f(x ) L

 .
c/ Nếu
0

f(x) 0 x J \ {x }
  
,trong đó J là một khoảng nào đó chứa điểm
0
x

thì
0
0
x x
L 0 vµ lim f(x ) L

  .
4. Giới hạn một bên.
+/ Giả sử hàm số f xác định trên khoảng
0
(x ;b)
.Ta nói hàm số f có
giới hạn bên phải là L khi x dần đến
0
x
(hoặc tại điểm
0
x
),nếu với mỗi dãy
n
(x )
trong khoảng
0
(x ;b)

mà
n 0
lim x x

,ta đều có
n
lim f(x ) L

.
Ta viết
0
x x
lim f(x) L



.
+/ Định nghĩa tương tự cho
0
x x
lim f(x) L



.
+/ Hàm số có giới hạn tại
0
x
và
0

x x
lim f(x) L


tồn tại
0
x x
lim f(x)


,
0
x x
lim f(x)


và
0 0
x x x x
lim f(x) lim L
 
 
 
.
5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.
+/ Nếu
0
x x
lim f(x)


 
thì
0
x x
1
lim 0
f(x)


.
+/ Quy tắc 1.
Nếu
0 0
x x x x
lim f(x) vµ lim g(x) L 0
 
   
,thì


0
x x
lim f(x).g(x)

cho bởi bảng sau:

0
x x
lim f(x)


Dấu của L


0
x x
lim f(x).g(x)


























Quy tắc 2:
0
x x
lim f(x) L 0

 
và
0
x x
lim g(x) 0 vµ g(x) 0 hoÆc g(x) 0

  



0
x J \ {x }

, trong đó J làmộy khoảng nào đó chứa điểm
0
x
,thì
0
x x
f(x)
lim
g(x)


cho
bởi bảng sau:

Dấu của L Dấu của f(x)
0
x x
f(x)
lim
g(x)


























6. Một số dạng vô định
Dạng
0
0
:
Cách khử :
+/ Phân tích tử và mẫu thành tích để giải ước nhân tử chung.
+/ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân cả tử
và mẫu với biểu thức liên hợp.
Dạng


:
+/ Chia cả tử và mẫu cho
k
x
,với k là số mũ cao nhất của biến số x.(Hay
phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử
n
x
rồi giản ước).
+/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn, thì đưa
k
x

ra ngoài (k
là bậc cao nhất của x trong căn) trước khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa
của x.
Dạng
 
và dạng
0.

:
+/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x
dưới dấu căn hoặc quy đồng mẫu để đưa về cùng một phân thức.
II. Kĩ năng cơ bản.
Vận dụng linh hoạt các định lý về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm
giới hạn vô cực để giải các bài toán về giới hạn hàm số.
III. Một số ví dụ:
A.Ví dụ tự luận:
Ví dụ 1: Áp dụng định nghĩa tính
2
x 2
3x x 1
lim
x 1

 

.
Giải :
+/ Hàm số
2
3x x 1

f(x)
x 1
 


xác định trên


\ 1
¡ .
+/ Giả sử


n
x
là dãy số tùy ý mà
n
x 2

.
Khi đó

2
2
n n
n
n
3x x 1 3.2 2 1
lim f(x ) 11
x 1 2 1

   
  
 

+/ Vậy
2
x 2
3x x 1
lim 11
x 1

 


.
Ví dụ 2: Áp dụng định nghĩa tính
2
2
x 1
x 2x 3
lim
2x x 1

 
 
.
Giải :
+/ Hàm số
2
2

x 2x 3
f(x)
2x x 1
 

 
xác định trên


1
\ 1,
2
¡
.
+/ Giả sử


n
x
là dãy số tùy ý mà
n
x 1

.
Khi đó

2
n n
n
2

n n
n n
n n
n
n
x 2x 3
f(x ) lim
2x x 1
(x 1)(x 3)
lim
1
2(x 1)(x )
2
x 3
4
lim
1
3
2(x )
2
 

 
 

 

 


+/ Vậy
2
2
x 1
x 2x 3 4
lim
3
2x x 1

 

 
.
Ví dụ 3: Tính
1/
2
x 5
x 5
lim
x 25




2/
2
x 5
x 5
lim
x 25





.
Giải :
1/ Ta có :

2
x 5 x 5 x 5
x 5 x 5 1 1
lim lim lim
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25
  
  
 
  
  

.
2/ Ta có :

2
x 5 x 5 x 5
x 5 5 x 1 1
lim lim lim
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25
  

  
  
   
  

.
Lưu ý : Do
2 2
x 5 x 5
x 5 x 5
lim lim
x 25 x 25
 
 
 

 
nên 
2
x 5
x 5
lim
x 25



.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
7x 4x 3 khi x 1

f(x)
4x 2 khi x 1

  


 

.
Tính
x 1
lim f(x)

.
Giải :
+/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập
¡
.
+/
2
x 1 x 1
lim f(x) lim(7x 4x 3) 6
 
   
.
+/
x 1 x 1
lim f(x) lim(4x 2) 6
 
 

  
.
+/ Do
x 1 x 1
lim f(x) lim f(x) 6
 
 
 
nên
x 1
lim f(x) 6


.
Ví dụ 4: Tính
1/
3 2
x
1
lim
3x x 2

 
3/
2
2
x
x 7x
lim (1 2x)(3 )
x 1


 

 
 

 

2/
3
2
x
3x x 1
lim
x 3x 1

 
 
.
Giải :
1/ Ta có
3
3 2
x x
3
1
1
x
lim lim 0
1 2

3x x 2
3
x
x
 
 
 
 
.

3
x
3
x
1
V× lim 0
x
1 2
lim 3 3 .
x
x



 
  
 
 

3
3
2 3
2
x x
2
2
2 3
x
2
1 1
x 3
3x x 1
x x
2/ lim lim
3 1
x 3x 1
x 1
x
x
1 1
3
x x
lim x
3 1
1
x
x
= .
 


 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 


2
2
x x
7
1
x 7x 1
x
3/ lim (1 2x)(3 ) lim x 2 3
1
x
x 1
1

x
.
 
 
 

 
 
 

 
 
    
 
 
 
 

 
 
 

 
 
 
 
 


x

x x
V× lim x
7
1
1
x
lim 2 2, lim 3 2 .
1
x
1
x

 
 
 

 
 
    
 
 
 
 

 
 

Ví dụ 5: Tính
1/
2

x 0
(x 3) 27
lim
x

 
2/
3
x 2
3 x 1
lim
x 2

 


2/
2
x 1
9 5x 2
lim
x 1

 

4/
3
2
2
x 1

5 x x 7
lim
x 1

  

.
Giải :

1/ Ta cã


2 3 2
x 0 x 0
2
x 0
(x 3) 27 x 9x 27x
lim lim
x x
lim(x x 27x) 27.
 

   

   

2/ Ta có

2
2 2

x 1 x 1
x 1
x 1
9 5x 2 5 5x
lim lim
x 1
(x 1) ( 9 5x 2)
5(1 x)
lim
(x 1)(x 1)( 9 5x 2)
5 5
lim .
9
(x 1)( 9 5x 2)
 


  


  


   

  
  

3
x 2 x 2
2
3
3
2
x 2
3
3
3/ Tacã
3 x 1 (3 x) 1
lim lim
x 2
(x 2) (3 x) 3 x 1
1
lim
(3 x) 3 x 1
1
= .
3
 

   


 
    
 



   


4/ Ta có

3 3
2 2
2 2 2
x 1 x 1
5 x x 7 5 x 2 x 7 2
lim lim
x 1 x 1 x 1
 
 
      
 
 
    
.
Mặt khác

2
x 1 x 1
x 1
5 x 2 1 x
lim lim
x 1
(x 1)(x 1)( 5 x 2)
1
=lim

(x 1)( 5 x 2)
1
= .
8
 

  


   

  



3
2 2
2
3x 1 x 1
2 2 2 2
3
3
2 2 2
x 1
3
x 7 2 x 1
lim lim
x 1
(x 1) (x 7) x 7 2
1

lim
(x 7) x 7 2
1
=
12
 

  

 

    
 

   


Vậy
3
2
2
x 1
5 x x 7 1 1 5
lim
8 12 24
x 1

  
    


.
Ví dụ 6: Tính

 
x
2
2
x
2
x
2
x
5x 3 1 x
1/ lim
1 x
x 2x 3x
2 / lim
4x 1 x 2
3/ lim x x x
4 / lim x x 1 x .




 

 
  
 
 

 
 

Giải:

x x
2
x
3 1 x
5
5x 3 1 x
x
1/ lim lim
1
1 x
1
x
1 1
5 3
x
x
= lim
1
1
x
= 5 .
 




 



 


2
2
x x
x
x
2
x 1 3x
x 2x 3x
x
2 / lim lim
1
4x 1 x 2
x 4 x 2
x
2
x 1 3
x
= lim
1 2
x 4 1
x x
2
1 3

x
= lim
1 2
4 1
x x

 


 
 

  
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
=
4 .


2
2

x x
x
x
x
3/ lim x x x lim
x x x
x
= lim
1
x 1 1
x
1
= lim
1
1 1
x
1
=
2
 


  
 
 
 
 
 
 
2

2
x x
x
2
x
2
x
4 / lim x x 1 x lim
x 1 x
x
= lim
1
x 1 1
x
1
= lim
1
1 1
x
1
=
2
 


 
  
 
 
 

 
 
 
 


B. Ví dụ trắc nghiệm.
Chọn phương án đúng cho mỗi ví dụ sau:
Ví dụ 7:
x 1
2x 1
lim
x 2



bằng:
A.0 B.
1
3
C.
1
2
D.2
Ví dụ 8 :
2
x 0
x 3x 1
lim
x 1


 

bằng:
A.1 B.0 C.
1

D.
3


Ví dụ 9:
2
x 0
1 1
lim
x
x

 

 
 
bằng:
A.2 B.4 C.

D.


Ví dụ 10:
x 2
x 3
lim
x 1



bằng:
A.
1

B.

2 C.1 D.2
Ví dụ 11:
Cho hàm số
2
x 2x khi x 1
f(x)
3x khi x<1

 




Khi đó
x 1
lim f(x)


bằng
A.1 B.2 C.không tồn tại D.3

Ví dụ 12:
2
x 1
x 1
lim
x 2



bằng:
A.2 B.0 C.1 D.
1


Ví dụ 13:
3
2
x 1
x 3x 4
lim
x 1

 

bằng:
A.1 B.1,5 C.3 D.3,5

Ví dụ 14:
3
2
x 1
x 3x 2
lim
x 2x 3

 
 
bằng:
A.

B.
3

C.1 D.0

Ví dụ 15:
2
x
2 x 3
lim
x x 5


 
bằng:
A.


B.

C.1 D.2
Đáp án:
VD7 VD8 VD9 VD10

VD11

VD12

VD13

VD14

VD15

B C D C D A C C D
II.Bài tập
A.Bài tập tự luận
Bài1:Dùng định nghĩa tính giới hạn.

2
x 3
x 5
1/ lim
x 4




2
x 2
x 3x 2
2 / lim
x 2

 

.
HD:
+/ Xem lại ví dụ 1.
+/ Đ/S: 1/
8
5

2/ 1 .
Bài 2 : Tính

2
2
x 1
2
2
x 2
x 1
1/ lim
x 3x 2
x 4x 12
2 / lim

x x 6





 
 
 

HD :
1/ Để ý:
2 2
x 3x 2 x 3x 2 x>1 .
     





  
2
2
x 1 x 1
x 1
x 1 x 1 x 1
Nªn lim lim
x 1 x 2
x 3x 2
x 1

= lim
2.
x 2
 

 

  

 
 

 


2/ Để ý:
2 2
x x 6 x x 6 x (-3;2)
       





  
 
2
2
x 1 x 1
x 1

x 4x 12 x 2 x 6
Nªn lim lim
x 3 x 2
x x 6
x 6 8
= lim
.
x 3 5
 

 

   

  
 

 
 

Bài 3: Tìm a để hàm số
2
x 7x 2a 4 khi x>2
f(x)
3ax 4 khi x 2

  


 



Có giới hạn khi x dần đến 2.
HD:



 
2
x 2 x 2
x 2 x 2
+/ Ta cã lim f(x) lim x 7x 2a 4 2a 14
lim f(x) lim 3ax 4 6a 4
 
 
 
 
     
   

+/ Phải có
x 2 x 2
9
lim f(x) lim f(x) 2a 14 6a 4 a
2
 
 
       
.
+/ Vậy với

9
a
2
 
thì hàm số có giới hạn khi x dần đến 2.
x 2
lim f(x) 23

 
.
Bài 4: Tính
3 2
x 1 x 1
3 3
2 3 3
x 0 x 1
2x 7 x 4 2x 7 3
1/ lim 2/ lim
x 4x 3
2 x 3
x x 1 x 1 x 3x 2
3/ lim 4/ lim
x x 1
 
 
    
 
 
     


HD : Xem lại cách làm ở ví dụ 5.
Đ/S: 1/
4
15

2/
4
3


3/ Lưu ý để cho gọn ta biến đổi


3 3 3
2 3 2
3
x x 1 x 1 x x 1 1 x 1
        

Nên giới hạn cần tính bằng:
 
3 3
2 2
3
2
x 0 x 0
3
3
1

lim x x 1 1 x 1 lim x x 1
(x 1) x 1 1
1
= .
3
 
 
 
       
 
 
   
 

4/ Để rút gọn ta biến đổi:
3 3
2
x 3x 2 x 1 3x 2 1 3x 1 1
(x x 1)
x 1 x 1 x 1 x 1
      
     
   

Như vậy giới hạn cần tính bằng
2
x 1 x 1 x 1
3x 1 1 3 3
lim(x x 1) lim 3 lim .
x 1 2

3x 2 1
  
 
     

 

Bài 5:Tính
3 3
x 0 x 1
3
3
2
x 1
x 1
1 2x 1 3x x 7 x 3
1/ lim 2 / lim
x
x 1 x x 1 1
3/ lim 4 / lim
x 2 1
x 1

 


     
   
 


HD:
1/ Biến đổi giới hạn cần tính bằng
3 3
x 0 x 0 x 0
1 2x 1 1 3x 1 1 2x 1 1 3x 1
lim lim lim
x x x x
1 1 0 .
  
 
       
  
 
 
  

2/ +/ Tương tự câu 1,thêm bớt 2 ở tử.
+/ Đáp số
1
6
.
3/ +/ Nhân liên hợp cả tử và mẫu.
+/ Đáp số: 1
4/ +/ Biến đổi:
2 2 2
x x 1 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
    
 

  

+/ Từ đó tính được giới hạn đã cho bằng
1
2
.
Bài 6 :Tính
 
 
   
2 2 2
2
x x
2
2
3
3
x x
3
x 1 x
3
2 3 3 2 2
x x
x 2x 3 4x 1 9x x 1 4x 2x 1
1/ lim 2 / lim
x 1
4x 1 2 x
x 2x 3
3/ lim 4 / lim 2x 1 4x 4x 1
x x 2

2 4
5/ lim 6 / lim x x x x
1 x
1 x
7 / lim x 3x x 8 / lim x 3x x 2x .
 
 
 
 
        

  
 
   
 
 
   
 

  
    

HD: Xem lại cách làm ở ví dụ 6.
Đ/S: 1/ 5 2/
1


3/
1


4/ 0
5/
1

6/
1
2

7/ 1 8/ 2
Bài 7: Tính giới hạn sau theo a.
2
2
x a
2 2 2
3 2
x a
(x 3x 2) x a
1/ lim
x 5x 4
x 2(a 1)x 2a 1 x a
2 / lim
x 5x 4x


 
  
 
 
    
 

 

HD:
1/ Ta có
2
2
x a x a
(x 3x 2) x a (x 2)(x a)
I = lim lim
x 4
x 5x 4
 
 
    


 

+/ Trường hợp 1:
a 4



x 4
I lim (x 2) 2.


   

+/ Trường hợp 2:

a 4

.

I 0.
 

+/ Vậy
2 khi a=4
I
0 khi a 4





.
2/ Ta có:
a 0

.

2 2 2
3 2
x a
x a
x 2(a 1)x 2a 1 x a
J lim
x 5x 4x
(x 1)(x 2a 1)(x a)(x a)

lim
x(x 1)(x 4)

 

 
    
 

 
    

 

+/ Trường hợp 1:
a 1



x 1
(x 1)(x 3)(x 4)
I lim 0
x(x 4)


  
  

.
+/ Trường hợp 2:

a 4



x 4
(x 1)(x 9)(x 4) 10
I lim
x(x 1) 3

  
    


+/ Trường hợp 3:
a 1
a 4






I 0
 
.
Vậy
10
khi a 4
I
3

0 khi a 4 .

 





