Hệ phương trình - hệ bất phương trình chứa căn ppt

Hệ phương trình - hệ bất phương trình chứa căn.
1. Phương pháp biến đổi tương đương:
Ta thực hiện theo các bước sau:
B1: Đặt điều kiện (nếu có).
B2: Biến đổi về phương trình – bất phương trình  hệ phương trình đơn giản
mà ta đã biết cách giải bằng cách: thế, khử biến
B3: Kết luận. (chú ý điều kiện và sự biến đổi tương đương hay hệ quả)
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
5 2 7
2 5 7
x y
x y

   


   


.
Giải
Điều kiện:
2
2
x
y






.
Bình phương 2 vế và trừ vế theo vế ta có:
     
5 2 2 5
x y x y x y
      
.
Thay x = y vào 1 trong 2 phương trình, giải ra ta được x = y = 11.
Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình:
2 1
2 1
x y
y x

 


 



Giải
Điều kiện: 0,

yx .
cộng vế theo vế ta được:







2 2
2 2 1 1 0 0
x y x y x y x y
           

Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2 0
1
x y m
x xy
  



 



 
 
 
 
2
2
2
2
2
1

hpt 2 2 1 0 (*)
1
1
, 1, 0
y x m
y x m
x
x m x m x
x
x
xy x
y x x
x
 

 


 
         
 

 
   



Phải tìm m để (*) có đúng một nghiệm thoả:
1, 0
x x

 
.
TH1: xét x = 1:
TH2: (*) có nghiệm kép
1
x

:
TH3: (*) có 2 nghiệm
1 2
1
x x
 
:
Chú ý: Có thể dùng đồ thị đối với
 
2
1
, 1, 0
x
y x x
x

  

Ví dụ 4: giải:
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 185
( ) 65

x xy y x y
x xy y x y

   


   


Giải: Cộng từng vế của 2 phương trình ta được:




3
2 2 2 2 2 2 2 2
2 250 125 5
x y x y x y x y
        
.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
 
2, 1
1, (2)
x y x y
y x y x

   




   


Giải: ĐK: x ,
y x y
  .
 
2
2
1 2
4 4
x
x y x
x y


    

 

 
2
1
2 2 1 2
2
4 4 1
y
y y x
x y




    


  


KQ:
17 5
;
12 3
 
 
 
.
Bài tập: Giải các hệ: phương trình sau:
1.
3
3
x y
y x

 


 



2.
3
3
x y xy
x y

  


 



3.


2 2
3 3
3
3
7
2
3
x y x y xy
x y

  




 

4.
2
2
420
280
x y xy
y x xy

 


 



5.
2 2 2 2
1
1
x y x y
x y x y

   


   



6.
2 2 2 2
2
4
x y x y
x y x y

   


   



7.
2 2 2 2 2
x y x y a
x y x y a

   


   


(a > 0) 8.
2 2
2
4
x y x y

x y x y

   



   


9.
 


2 2
3 3
3
3
2 3
6
x y x y y x
y x

  



 

10.
30

35
x y y x
x x y y

 


 



11.
2
2
1
1
4
1
1
4
x y
y x

 




 




Bài 2: Tìm a để hệ phương trình có 2 nghiệm:
x y xy a
x y a

  


 



Bài 3. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:
1 2
3
x y m
x y m

   


 



2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ta thực hiện theo các bước sau:
B1: Điều kiện (nếu có).
B2: Lựa chọn ẩn phụ, tìm đk cho ẩn phụ

B3: Giải hệ nhận được, từ đó suy ra nghiệm x, y.
B4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm từ đó kết luận.
Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình:
1 1 1
3
2
x y
x y

   


 


điều kiện:
, 1
x y


Đặt 1 , 1
u x v y
   
ĐK:
, 0
u v

, khi đó hệ được biến đổi về dạng:
2 2
2

1
0 1
0 1 0 0 1
3
1 1
4 4 1 0
2
u v
u
u x x
u v
u u
 

 


        
 
   
  




Vậy nghịêm của hệ là cặp nghiệm (x;y) thoả:
 
2
0 1
1 1 1

x
y x
 



   



Ví dụ 2: (ĐH Khối A – 2006) Giải hệ phương trình:
3
( , )
1 1 4
x y xy
x y R
x y

  



   



Điều kiện:
0, 1, 1
xy x y
    

. Đặt
3
t xy x y t
    
. Bình phương phương
trình 2, thay ẩn phụ vào, giải tìm được t = 3. Giải thêm chút xíu nữa ta được
nghiệm.

Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:
1.


3 4
9
x y xy
xy

 





2.
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y


  


 



3.
2 1 3
1 2 2
x y
x y

  


  


4.
3
3
4
x y x y
x y x y

  


   




5.
1
3 3
1
2 8
x x y
y
x y
y

    




  


6.
2 2
14
84
x y xy
x y xy

  



  

