Tích phân on thi dai hoc cao dang pot

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (150.86 KB, 7 trang )

Tích phân xác định
A – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I – Tính tích phân bằng phương pháp phân tích:

∫
+
2
0
2
)2(x
xdx
∫
+
2
0
2
3
2x
dxx
∫
6
0
3
sin
π
xdx
∫
+
4
0

cossin
sin
π
xx
xdx
∫
π
0
3sin xdxx
dxe
x
ex
∫
+
1
0

∫
+
2
1
2
)2(xx
dx
∫
+
1
0
5
)1( dxxx

∫
+
++
1
0
3
1
1
dx
x
xx
∫
+
2
0
sin1cos
π
dxxx
dx
xxx
∫
2
0
532
∫
+
4
1
2
3

)
1
( dx
x
x
∫
e
dx
x
x
1
5
ln
∫
2
0
3cos2sincos
π
xdxxx
∫
2
0
22
cos
π
x
xdx
∫
2
0

5
π
xdxtg
∫
+
2
1
3
xx
dx
∫
+
3
6
sin21
cos
π
π
dx
x
x
∫
+
−
4
0
5cos21
7cos8cos
π
dx

x
xx
II – Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến:
a) Phương pháp đổi biến dạng 1:
•
∫
−
1
0
2
1 dxx
∫
−
2
0
2
4 dxx
∫
+
1
0
2
1
1
dx
x
∫
+−
1
0

2
1
1
dx
xx
∫
++
1
0
2
1
1
dx
xx
∫
−
2
0
22
4 dxxx
dx
xa
x
a
∫
+
0
2
3
22

3
)(
∫
−
2ln
0
1dxe
x
∫
−
2
0
22
1
a
dx
xa
b) Phương pháp đổi biến số dạng 2: I =
∫
b
a
dxxf )(
+) Đặt t = U(x), U(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b]
+) Tính dt = U’(x)dx, biểu thị f(x)dx = g(t)dt
Đổi cận: x a b
t = U(x) U(a) U(b)
+) Xác định nguyên hàm G(t) của g(t)
+) I =
∫
b

a
dxxf )(
=
∫
)(
)(
)(
bU
aU
dttg
= G(U(b))- G(U(a)).
Các ví dụ áp dụng:
∫
+
+
3
0
2
1
1
dx
x
x
∫
+
+
3
7
0
3

13
1
dx
x
x
∫
−
1
0
235
)1( dxxx
∫
+
+−
+
2
15
1
24
2
1
1
dx
xx
x
∫
+
2
1
4

2
1
dx
x
x
∫
+
+
3
0
1
1 dtte
t
∫
+
+
2
0
1cos3
sin2sin
π
dx
x
xx
∫
+
e
dx
xx
x

1
ln1
ln
∫
+
15
0
3 2
3
1
dx
x
x
III – Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
+) Có d(uv) = (uv)’dx = vdu + udv, từ đó
∫∫∫
+=
b
a
b
a
b
a
udvvduuvd )(
nên:
∫∫
−=
b
a
b

a
vdu
a
b
uvudv

(1)
•
Các ví dụ áp dụng:
1
∫
−=
∫
b
a
vdu
a
b
uv
b
a
udv

∫
2
0
cos
π
dxxe
x

∫
+
1
0
2
)1ln( dxxx
∫
π
0
2
.cos dxex
x
∫
π
e
dxx
1
)cos(ln
∫
1
0
2
cos
dx
x
x
∫
−
+
3

2
1
1
ln dx
x
x
x
dxxx
∫
++
3
0
2
)1ln(
∫
+
+
2
0
cos1
sin
π
dx
x
xx
∫
2
0
sin
π

dxx
∫
π
0
3
.sin4 dxex
x
B - MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
I – Tích phân hàm số hữu tỉ:
Chú ý:+)
321)3)(2)(1(
)(
−
+
−
+
−
=
−−− x
C
x
B
x
A
xxx
xP
+)
2
)1(
1

)2()1(
)(
22
−
+
−
+
−
=
−−
x
C
x
B
x
A
xx
xP
+)
cbxax
D
cbxax
baxC
x
B
x
A
cbxaxxx
xP
++

+
++
+
+
−
+
−
=
++−−
222
)2(
21
))(2)(1(
)(
(
0
2
=++ cbxax
vô nghiệm)
Để tìm A, B, C, D có thể sử dụng hai phương pháp: Đồng nhát thức và hằng số biến thiên.

∫
+−
−
5
3
2
23
12
dx

xx
x
∫
++
b
a
dx
bxax ))((
1
∫
+
++
1
0
3
1
1
dx
x
xx
dx
x
xx
∫
+
++
1
0
2
3

1
1
∫
+
1
0
3
2
)13(
dx
x
x
∫
++
1
0
22
)3()2(
1
dx
xx
∫
+
−
2
1
2008
2008
)1(
1

dx
xx
x
∫
−
+−
++−
0
1
2
23
23
9962
dx
xx
xxx
∫
−
3
2
22
4
)1(
dx
x
x
∫
+
−
1

0
2
32
)1(
dx
x
x
n
n
∫
++
−
2
1
24
2
)23(
3
dx
xxx
x
∫
+
2
1
4
)1(
1
dx
xx

∫
+
2
0
2
4
1
dx
x
∫
−
1
0
42
)1( dxxx
∫
+
1
0
4
1
dx
x
x

dx
xx
∫
+−
2

0
2
22
1
∫
+
1
0
32
)1(
dx
x
x
∫
+−
4
2
23
2
1
dx
xxx
∫
+
2
1
3
)12ln(
dx
x

x
∫
+−
++
3
2
3
2
23
333
dx
xx
xx
∫
+
−
2
1
4
2
1
1
dx
x
x
∫
+
1
0
3

1
1
dx
x
∫
+
+++
1
0
6
456
1
2
dx
x
xxx
∫
+
−
1
0
2
4
1
2
dx
x
x
∫
+

+
1
0
6
4
1
1
dx
x
x
∫
+=
1
0
32
)1( dxxxI
n
, (n
≥
1), Tìm
I
n
n
n
2
lim
+∞→
II – Tích phân hàm số lượng giác:
Chú ý: Dạng 1:
∫

b
a
mn
xdxx cos.sin
+) Nếu m và n cùng chẵn dương dùng công thức hạ bậc
+) Nếu m và n cùng chẵn âm đặt t = tgx hay t = cotgx
+) Nếu m lẻ và dương đặt t = sinx
+) Nếu n lẻ và dương đặt t = cosx
Dạng 2:
∫
b
a
dxxxR )cos,(sin
( R là hàm hữu tỉ)
+) Nếu
)cos,(sin xxR
Bậc lẻ đối với sinx, chẵn đối với cosx đặt t = cosx
+) Nếu
)cos,(sin xxR
Bậc lẻ đối với cosx, chẵn đối với sinx đặt t = sinx
+) Nếu
)cos,(sin xxR
Có bậc sinx, cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ đặt t = tgx
Dạng 3:
∫
++
β
α
dx
cxbxa 'cos'sin'

1
,
∫
+
+
β
α
dx
xbxa
xbxa
cos'sin'
cossin
,
∫
++
++
β
α
dx
cxbxa
cxbxa
'cos'sin'
cossin
,
+) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
'cos'sin'
1
cxbxa ++

2

Đặt t = tg
2
x
, lúc đó sinx =
2
1
2
t
t
−
, cosx =
2
2
1
1
t
t
+
−
+) Phân tích :
xbxa
xbxa
cos'sin'
cossin
+
+
=
xbxa
xbxaB

A
cos'sin'
)sin'cos'(
+
−
+
+)
'cos'sin'
cossin
cxbxa
cxbxa
++
++
=
'cos'sin''cos'sin'
)sin'cos'(
cxbxa
C
cxbxa
xbxaB
A
++
+
++
−
+
+)
xcxxbxa
22
coscossinsin

1
++
Chia cả tử và mẫu cho cos
2
x, Đặt t = tgx.
Các bài tập áp dụng:
xdxx
4
2
0
2
cossin
∫
π
∫
2
0
32
cossin
π
xdxx
dxxx
∫
2
0
54
cossin
π
∫
+

2
0
33
)cos(sin
π
dxx
∫
+
2
0
44
)cos(sin2cos
π
dxxxx
∫
−−
2
0
22
)coscossinsin2(
π
dxxxxx
∫
−+
2
0
441010
)sincoscos(sin
π
dxxxxx

∫
2
3
sin
1
π
π
dx
x
∫
+
2
0
sin2
1
π
dx
x
∫
−
2
0
cos2
π
x
dx
∫
+
2
0

2
3
cos1
sin
π
dx
x
x
∫
3
6
4
cos.sin
π
π
xx
dx
∫
−+
4
0
22
coscossin2sin
π
xxxx
dx
∫
+
2
0

cos1
cos
π
dx
x
x
∫
−
2
0
cos2
cos
π
dx
x
x
∫
+
2
0
sin2
sin
π
dx
x
x
∫
+
2
0

3
cos1
cos
π
dx
x
x
∫
++
2
0
1cossin
1
π
dx
xx
∫
−
2
3
2
)cos1(
cos
π
π
x
xdx
∫
−
++

+−
2
2
3cos2sin
1cossin
π
π
dx
xx
xx
∫
4
0
3
π
xdxtg
dxxg
∫
4
6
3
cot
π
π
∫
3
4
4
π
π

xdxtg
∫
+
4
0
1
1
π
dx
tgx
∫
+
4
0
)
4
cos(cos
π
π
xx
dx

∫
++
++
2
0
5cos5sin4
6cos7sin
π

dx
xx
xx

∫
+
π
2
0
sin1 dxx
∫
++
4
0
13cos3sin2
π
xx
dx
∫
+
4
0
4
3
cos1
sin4
π
dx
x
x

∫
+
++
2
0
cossin
2sin2cos1
π
dx
xx
xx
∫
+
2
0
cos1
3sin
π
dx
x
x
∫
−
2
4
sin2sin
π
π
xx
dx

∫
4
0
2
3
cos
sin
π
dx
x
x
∫
+
2
0
32
)sin1(2sin
π
dxxx
∫
π
0
sincos dxxx
∫
−
3
4
3
3 3
sin

sinsin
π
π
dx
xtgx
xx
∫
++
2
0
cossin1
π
xx
dx
∫
+
4
0
222
cossin
2sin
π
xbxa
xdx
∫
+
2
0
1sin2
π

x
dx
∫
+
2
0
2
cos1
cos
π
x
xdx
∫
+
+
4
0
2sin3
cossin
π
dx
x
xx
∫
2
4
53
sincos
π
π

xdxx

∫
+
4
0
2
cos1
4sin
π
x
xdx

∫
+
2
0
3sin5
π
x
dx
∫
6
6
4
cossin
π
π
xx
dx

∫
+
3
6
)
6
sin(sin
π
π
π
xx
dx
∫
+
3
4
)
4
cos(sin
π
π
π
xx
dx
∫
3
4
6
2
cos

sin
π
π
x
xdx
dxxtgxtg )
6
(
3
6
π
π
π
∫
+
∫
+
3
0
3
)cos(sin
sin4
π
xx
xdx
3

∫
−
+

0
2
2
)sin2(
2sin
π
x
x
∫
2
0
3
sin
π
dxx
∫
2
0
2
cos
π
xdxx
∫
+
2
0
12
.2sin
π
dxex

x
dxe
x
x
x
∫
+
+
2
0
cos1
sin1
π
∫
+
4
6
2cot
4sin3sin
π
π
dx
xgtgx
xx
∫
+−
2
0
2
6sin5sin

2sin
π
xx
xdx
∫
2
1
)cos(ln dxx
∫
3
6
2
cos
)ln(sin
π
π
dx
x
x
dxxx
∫
−
2
0
2
cos)12(
π
∫
π
0

2
cossin xdxxx
∫
4
0
2
π
xdxxtg
∫
π
0
22
sin xdxe
x
∫
2
0
3sin
cossin
2
π
xdxxe
x
∫
+
4
0
)1ln(
π
dxtgx

∫
+
4
0
2
)cos2(sin
π
xx
dx
∫
−+
−
2
0
2
)cos2)(sin1(
cos)sin1(
π
dx
xx
xx
III – Tích phân hàm số chứa căn thức:
∫
b
a
dxxfxR ))(,(
Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x,
xa
xa

+
−
) Đặt x = a cos2t, t
]
2
;0[
π
∈
+) R(x,
22
xa −
) Đặt x =
ta sin
hoặc x =
ta cos
+) R(x,
n
dcx
bax
+
+
) Đặt t =
n
dcx
bax
+
+
+) R(x, f(x)) =
γβα
+++ xxbax

2
)(
1
Với (
γβα
++ xx
2
)’ = k(ax+b)
Khi đó đặt t =
γβα
++ xx
2
, hoặc đặt t =
bax +
1
+) R(x,
22
xa +
) Đặt x =
tgta
, t
]
2
;
2
[
ππ
−∈
+) R(x,
22

ax −
) Đặt x =
x
a
cos
, t
}
2
{\];0[
π
π
∈
Các bài tập áp dụng:
∫
+
32
5
2
4xx
dx
∫
−
2
3
2
2
1xx
dx
∫
−

+++
2
1
2
1
2
5124)32( xxx
dx
∫
+
2
1
3
1xx
dx
∫
+
2
1
2
2008dxx
∫
+
2
1
2
2008x
dx
∫
+

1
0
22
1 dxxx
∫
−
1
0
32
)1( dxx
∫
+
+
3
1
22
2
1
1
dx
xx
x
∫
−
+
2
2
0
1
1

dx
x
x
∫
+
1
0
32
)1( x
dx
∫
−
2
2
0
32
)1( x
dx
∫
+
1
0
2
1 dxx
∫
−
2
2
0
2

2
1 x
dxx
∫
+
2
0
2cos7
cos
π
x
xdx
∫
−
2
0
2
coscossin
π
dxxxx
∫
+
2
0
2
cos2
cos
π
x
xdx

∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
∫
+
7
0
3 2
3
1 x
dxx
∫
−
3
0
23
10 dxxx
∫
+
1
0
12x

xdx
∫
++
1
0
2
3
1xx
dxx
∫
++
7
2
112x
dx
dxxx
∫
+
1
0
815
31

∫
−
2
0
5
6

3
cossincos1
π
xdxxx
4

∫
+
3ln
0
1
x
e
dx
∫
−
+++
1
1
2
11 xx
dx
∫
+
2ln
0
2
1
x
x

e
dxe
∫
−−
1
4
5
2
8412 dxxx
∫
+
e
dx
x
xx
1
lnln31
∫
+
+
3
0
2
35
1
dx
x
xx
dxxxx
∫

+−
4
0
23
2
∫
−
++
0
1
3
2
)1( dxxex
x
∫
+
3ln
2ln
2
1ln
ln
dx
xx
x
∫
+
3
0
2
2

cos
32
cos
2cos
π
dx
x
tgx
x
x
∫
+
2ln
0
3
)1(
x
x
e
dxe
∫
+
3
0
2cos2
cos
π
x
xdx
∫

+
2
0
2
cos1
cos
π
x
xdx
dx
x
x
∫
+
+
7
0
3
3
2
∫
+
a
dxax
2
0
22
IV – Tích phân hàm số chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
∫
b

a
dxxf )(
Chú ý: +) Xét dấu hàm số f(x) trên [a, b], dụa vào bảng xét dấu
⇒
dấu của f(x)
+) Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên [a, b] thì
∫
b
a
dxxf )(
=
∫
b
a
dxxf )(
+) Nếu f(x) = 0 c0s các nghiệm x
1
, x
2
trên [a, b] (x
1
, x
2
) thì:

∫
b
a
dxxf )(
=

∫
1
)(
x
a
dxxf
+
∫
2
1
)(
x
x
dxxf
+
∫
b
x
dxxf
2
)(
=
∫
1
)(
x
a
dxxf
+
∫

2
1
)(
x
x
dxxf
+
∫
b
x
dxxf
2
)(
Các bài tập áp dụng:
∫
−
−
3
3
2
1dxx
∫
+−
2
0
2
34 dxxx
∫
−
2

0
2
dxxx
∫
−
1
0
dxmxx
∫
−
2
2
sin
π
π
dxx
∫
−
−
π
π
dxxsin1
∫
−+
3
6
22
2cot
π
π

dxxgxtg
∫
4
3
4
2sin
π
π
dxx
∫
+
π
2
0
cos1 dxx
∫
−
−−+
5
2
)22( dxxx
∫
−
3
0
42 dx
x
∫
−
−

3
2
3
coscoscos
π
π
dxxxx
V - Một số tích phân đặc biệt - Đẳng thức tích phân:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:
∫∫
−+=
−
aa
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-
2
3
;
2
3
ππ
] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x2cos22 −
, Tính:
∫
−
2

3
2
3
)(
π
π
dxxf
+) Tính
∫
−
+
+
1
1
2
4
1
sin
dx
x
xx
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:
∫
−
a
a
dxxf )(
= 0.
Ví dụ: Tính:
∫

−
++
1
1
2
)1ln( dxxx
∫
−
++
2
2
2
)1ln(cos
π
π
dxxxx
5

Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:
∫
−
a
a
dxxf )(
= 2
∫
a
dxxf
0
)(

Ví dụ: Tính
∫
−
+−
1
1
24
1xx
dxx
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:
∫∫
=
+
−
aa
a
x
dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(
(1
≠
b>0,
∀
a)
Ví dụ: Tính:

∫
−
+
+
3
3
2
21
1
dx
x
x

∫
−
+
2
2
1
5cos3sinsin
π
π
dx
e
xxx
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2
π
], thì

∫∫
=
2
0
2
0
)(cos)(sin
ππ
dxxfxf
Ví dụ: Tính
∫
+
2
0
20092009
2009
cossin
sin
π
dx
xx
x
∫
+
2
0
cossin
sin
π
dx

xx
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:
∫∫
=
ππ
π
00
)(sin
2
)(sin dxxfdxxxf
Ví dụ: Tính
∫
+
π
0
sin1
dx
x
x
∫
+
π
0
cos2
sin
dx
x
xx
Bài toán 6:

∫∫
=−+
b
a
b
a
dxxfdxxbaf )()(
⇒
∫∫
=−
bb
dxxfdxxbf
00
)()(
Ví dụ: Tính
∫
+
π
0
2
cos1
sin
dx
x
xx
∫
+
4
0
)1ln(4sin

π
dxtgxx
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:

∫∫
=
+ TTa
a
dxxfdxxf
0
)()(
⇒
∫∫
=
TnT
dxxfndxxf
00
)()(
Ví dụ: Tính
∫
−
π
2008
0
2cos1 dxx
Các bài tập áp dụng:
∫
−
+
−

1
1
2
21
1
dx
x
x
∫
−
+−+−
4
4
4
357
cos
1
π
π
dx
x
xxxx
∫
−
++
1
1
2
)1)(1( xe
dx

x
∫
−
−
+
2
2
2
sin4
cos
π
π
dx
x
xx
∫
−
+
−
2
1
2
1
)
1
1
ln(2cos dx
x
x
x

dxnx)xsin(sin
2
0
∫
+
π
∫
−
+
2
2
5
cos1
sin
π
π
dx
x
x
1
)1(1
cot
1
2
1
2
=
+
+
+

∫∫
ga
e
tga
e
xx
dx
x
xdx
(tga>0)
VI – Bất đẳng thức tích phân:
Một số chú ý: +) Nếu f(x)
≥
g(x)
∀
x
];[ ba∈
thì
∫∫
≥
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
+)
dxxfdxxf
b
a
b

a
∫∫
≤ )()(
6

+) Nếu
≤m
f(x)
≤
M thì
)()()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤−
∫
+) Để tìm miền giá trị của f(x) có thể sử dụng các BĐT hay phương pháp hàm số.
Các bài tập áp dụng:
8
2
1
0
2
π
<
++
∫
xx
dx
∫
<