Lí thuyết dao động điều hòa

I. DAO ĐỘNG CƠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Dao động điều hịa:
* Dao động cơ, dao động tuần hồn
+ Dao động cơ là chuyển động qua lại của vật quanh một vị trí cân bằng.
+ Dao động tuần hồn là dao động được lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau. Khoảng
thời gian ngắn nhất để dao động được lặp lại như cũ gọi là chu kỳ dao động.
* Dao động điều hòa
+ Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm cơsin (hay sin) của thời gian.
+ Phương trình dao động: x = Acos(t + ); trong đó A,  và  là những hằng số.
* Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hoà
+ Li độ dao động x là tọa độ của vật tính từ vị trí cân bằng.
+ Biên độ A là giá trị cực đại của li độ x.
+ Pha của dao động là đối số của hàm số côsin: t + , cho phép ta xác định li độ x tại thời điểm t bất
kì.
+ Pha ban đầu  là pha của dao động tại thời điểm ban đầu (t = 0); đơn vị của pha dao động là radian
(rad).
+ Tần số góc  là tốc độ biến đổi góc pha; đơn vị rad/s.
+ Chu kì T của dao động điều hịa là khoảng thời gian để thực hiện một dao động toàn phần; đơn vị giây
(s).
+ Tần số f của dao động điều hịa là số dao động tồn phần thực hiện được trong một giây; đơn vị héc
(Hz).
2
+ Liên hệ giữa , T và f:  =
= 2f.
T
Các đại lượng biên độ A và pha ban đầu  phụ thuộc vào cách kích thích ban đầu làm cho hệ dao động,
cịn tần số góc  (chu kì T, tần số f) chỉ phụ thuộc vào cấu tạo của hệ dao động.
* Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hoà
+ Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian:
v = x' = - Asin(t + ) = Acos(t +  +


).
2

Véc tơ vận tốc luôn hướng theo chiều chuyển động.
+ Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc (đạo hàm bậc hai của li độ) theo thời gian: a = v' = x’’ = 2Acos(t + ) = - 2x.
Véc tơ gia tốc ln hướng về vị trí cân bằng, có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ.
+ Vận tốc biến thiên điều hòa cùng tần số, sớm pha hơn
cùng tần số nhưng ngược pha với li độ (sớm pha


so với với li độ. Gia tốc biến thiên điều hòa
2


so với vận tốc).
2

+ Khi chuyển động từ vị trí biên về vị trí cân bằng độ lớn của vận tốc tăng, độ lớn của gia tốc giảm. Khi
chuyển động từ vị trí cân bằng ra vị trí biên độ lớn của vận tốc giảm, độ lớn của gia tốc tăng.
+ Tại vị trí biên (x =  A), v = 0; |a| = amax = 2A.
+ Tại vị trí cân bằng (x = 0), |v| = vmax = A; a = 0.
* Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động trịn đều
Hình chiếu của điểm M chuyển
động trịn đều lên trục Ox nằm
trong mặt phẵng quỹ đạo sẽ dao
động điều hịa với phương trình:
x = OP = Acos(t + ).
trên trục Ox; x = OP là tọa độ

Trong đó: P là hình chiếu của M
đường trịn;  là tốc độ góc;  là
của điểm P; OM = A là bán kính
góc hợp bởi bán kính OM với trục
Ox tại thời điểm ban đầu (t = 0);
v = A là tốc độ dài của điểm M
(bằng vận tốc cực đại của vật dao
động điều hòa).
Quỹ đạo chuyển động của vật dao
động điều hịa (điểm P) là một
đoạn thẳng có chiều dài L = 2A (bằng đường kính của đường trịn).
* Lực, phương trình động lực học và đồ thị của dao động điều hòa


+ Lực kéo về (còn gọi là lực hồi phục) là lực (hoặc hợp lực) tác dụng lên vật làm cho vật dao động điều
hòa: F = - m2x = - kx. Lực kéo về ln hướng về vị trí cân bằng và có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ.
Lực kéo về có độ lớn cực đại khi vật ở vị trí biên, có độ lớn cực tiểu (bằng 0) khi vật ở vị trí cân bằng.
+ Phương trình dao động điều hịa x = Acos(t + ) là nghiệm của phương trình x’’ + 2x = 0. Phương
trình x’’ + 2x = 0 gọi là phương trình động lực học của dao động điều hịa.
+ Đồ thị biểu diễn mối liên hệ giữa li độ, vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hịa theo thời gian là
những đường hình sin.
2. Con lắc lị xo:
Con lắc lị xo gồm một lị xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể, một đầu gắn cố định, đầu kia
gắn với vật nặng khối lượng m, kích thước nhỏ, được đặt theo phương ngang, treo thẳng đứng hoặc đặt
trên mặt phẵng nghiêng.
* Tần số góc, chu kì, tần số của con lắc lị xo
k
m
k
1

=
; T = 2
;f=
.
m
k
2 m
Con lắc lò xo treo thẳng đứng: l0 =

k
mg
;=
=
m
k

Con lắc lò xo đặt trên mặt phẵng nghiêng:
mg sin 
l0 =
;=
k

g
.
l0
k
=
m

g sin 

.
l0

Trong đó l0 là độ biến dạng của lị xo ở vị trí cân bằng.
* Năng lượng của con lắc lò xo
1
1
+ Động năng: Wđ = mv2 = m2A2sin2(t+).
2
2
1
1
+ Thế năng: Wt = kx2 = k A2cos2(t + ).
2
2
Động năng, thế năng của vật dao động điều hịa biến thiên tuần hồn với tần só góc ’ = 2; tần số f’
T
= 2f và chu kì T’ = .
2
1
1
+ Cơ năng: W = Wt + Wđ = kA2 =
m2A2 = hằng số.
2
2
Cơ năng của vật dao động điều hịa (chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng) bằng thế năng cực đại (thế
năng ở vị trí biên) hoặc bằng động năng cực đại (động năng ở vị trí cân bằng).
3. Con lắc đơn:
Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giãn, vật nặng có kích thước khơng đáng kể,
sợi dây có khối lượng không đáng kể.

* Phương trình dao động (khi   100)
s = S0cos(t + ) hoặc  = 0 cos(t + ); với  =

s
S
; 0 = 0 .
l
l

* Chu kỳ, tần số, tần số góc của con lắc đơn
1
g
g
l
T = 2
; f=
;=
.
2 l
g
l
* Các yếu tố ảnh hưởng đến chu kỳ dao động của con lắc đơn
l
Vì T = 2
nên chu kỳ dao động của con lắc đơn thay đổi khi chiều dài của dây treo con lắc hoặc
g
gia tốc rơi tự do thay đổi. Chiều dài l phụ thuộc vào nhiệt độ mơi trường, cịn gia tốc rơi tự do thì phụ
thuộc vào vĩ độ địa lý và độ cao độ sâu so với mặt đất nên chu kỳ dao động của con lắc đơn phụ thuộc

vào các yếu tố này.
→

Nếu ngồi trọng lực ra, con lắc đơn cịn chịu thêm một lực F không đổi khác (lực điện trường, lực
→

→

→

qn tính, lực đẩy Acsimet, ...), thì trọng lực biểu kiến tác dụng lên vật sẽ là: P ' = P + F , gia tốc rơi
→

→

→

F
l
tự do biểu kiến là: g ' = g +
. Khi đó chu kì dao động của con lắc đơn là: T’ = 2
.
g'
m
* Lực kéo về, lực căng sợi dây, ứng dụng
mg
s.
Lực kéo về khi biên độ góc nhỏ: F = l
Khi con lắc đơn dao động thì lực căng của sợi dây tác dụng vào vật thay đổi. Hợp lực của trọng lực và
v2

lực căng sợi dây gây ra gia tốc hướng tâm cho vật nên: T - mgcos = m .
l
4 2 l
Ứng dụng: xác định gia tốc rơi tự do nhờ đo chu kì và chiều dài của con lắc đơn: g =
.
T2
* Năng lượng của con lắc đơn
1
+ Động năng: Wđ = mv2. Thế năng: Wt = mgl(1 - cos).
2
+ Cơ năng: W = Wt + Wđ = mgl(1 - cos0).
1
1
Khi   100 thì Wt = mgl2; W = mgl 02 ; (, 0 tính ra rad).
2
2
4. Dao động tắt dần, dao động cưởng bức:
* Dao động tắt dần
+ Khi khơng có ma sát, con lắc dao động điều hòa với tần số riêng f 0. Tần số riêng của con lắc chỉ phụ
thuộc vào các đặc tính của con lắc.
+ Dao động có biên độ (và cơ năng) giảm dần theo thời gian gọi là dao động tắt dần. Nguyên nhân làm
tắt dần dao động là do lực ma sát, lực cản của môi trường làm tiêu hao cơ năng của con lắc, chuyển hóa
dần cơ năng thành nhiệt năng, vì thế biên độ của con lắc giảm dần và cuối cùng con lắc dừng lại.
+ Ứng dụng: các thiết bị đóng cửa tự động, các bộ phận giảm xóc của ơ tơ, xe máy, … là những ứng
dụng của dao động tắt dần.
* Dao động duy trì
Nếu ta cung cấp thêm năng lượng cho vật dao động có ma sát để bù lại sự tiêu hao vì ma sát mà khơng
làm thay đổi chu kì riêng của nó thì dao động sẽ kéo dài mãi và được gọi là dao động duy trì.
* Dao động cưởng bức
+ Dao động chịu tác dụng của một ngoại lực cưởng bức tuần hoàn gọi là dao động cưởng bức.

+ Dao động cưởng bức khi đã ỗn định thì có biên độ khơng đổi và có tần số bằng tần số của lực cưởng
bức.
+ Biên độ của dao động cưởng bức phụ thuộc vào biên độ của lực cưởng bức, vào lực cản trong hệ và
vào sự chênh lệch giữa tần số cưởng bức f và tần số riêng f 0 của hệ. Biên độ của lực cưởng bức càng
lớn, lực cản càng nhỏ và sự chênh lệch giữa f và f0 càng ít thì biên độ của dao động cưởng bức càng lớn.
* Cộng hưởng


+ Hiện tượng biên độ của dao động cưởng bức tăng dần lên đến giá trị cực đại khi tần số f của lực cưởng
bức tiến đến bằng tần số riêng f0 của hệ dao động gọi là hiện tượng cộng hưởng.
+ Điều kiện f = f0 gọi là điều kiện cộng hưởng.
+ Đồ thị cộng hưởng càng nhọn khi lực cản của môi trường càng nhỏ.
+ Tầm quan trọng của hiện tượng cộng hưởng:
Tòa nhà, cầu, bệ máy, khung xe, ... đều là những hệ dao động và có tần số riêng. Nếu để chúng chịu
tác dụng của các lực cưởng bức mạnh, có tần số bằng hoặc gần bằng với tần số riêng của chúng thì sẽ
có sự cộng hưởng, gây dao động mạnh làm gãy, đổ, hư hỏng.
Hộp đàn của đàn ghi ta, viôlon, ... là những hộp cộng hưởng với nhiều tần số khác nhau của dây đàn
làm cho tiếng đàn nghe to, rỏ.
5. Tổng hợp các dao động điều hòa:
- Nếu một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số với các phương trình:
x1 = A1cos(t + 1) và x2 = A2cos(t + 2), thì dao động tổng hợp sẽ là:
x = x1 + x2 = Acos(t + ).
Với : A2 = A12 + A22 + 2 A1A2 cos (2 - 1);
A sin 1 + A2 sin  2
tan = 1
.
A1 cos 1 + A2 cos  2
Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp phụ thuộc vào biên độ và pha ban đầu của các dao
động thành phần:
+ Khi x1 và x2 cùng pha (2 - 1 = 2k) thì dao động tổng hợp có biên độ cực đại: A = A1 + A2.

+Khi x1 và x2 ngược pha (2 - 1 = (2k + 1)) thì dao động tổng hợp có biên độ cực tiểu: A = |A1 – A2|.

+ Khi x1 và x2 vuông pha (2 - 1 = (2k + 1) ) thì dao động tổng hợp có biên độ: A = A12 + A22 .
2
+ Trường hợp tổng quát: A1 + A2  A  |A1 – A2|.


B. TRẮC NGHIỆM ĐỊNH TÍNH
1. Khi nói về dao động điều hòa, phát biểu nào sau đây đúng?
A. Dao động của con lắc lị xo ln là dao động điều hịa.
B. Cơ năng của vật dao động điều hịa khơng phụ thuộc vào biên độ dao động.
C. Hợp lực tác dụng lên vật dao động điều hịa ln hướng về vị trí cân bằng.
D. Dao động của con lắc đơn ln là dao động điều hịa.
2. Hình chiếu của một chất điểm chuyển động trịn đều lên một đường kính quỹ đạo có chuyển động là
dao động điều hịa. Phát biểu nào sau đây sai?
A. Tần số góc của dao động điều hịa bằng tốc độ góc của chuyển động tròn đều.
B. Biên độ của dao động điều hòa bằng bán kính của chuyển động trịn đều.
C. Lực kéo về trong dao động điều hịa có độ lớn bằng độ lớn lực hướng tâm trong chuyển động tròn
đều.
D. Tốc độ cực đại của dao động điều hòa bằng tốc độ dài của chuyển động tròn đều.
3. Một vật nhỏ dao động điều hòa theo một trục cố định. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Quỹ đạo chuyển động của vật là một đường hình sin.
B. Quỹ đạo chuyển động của vật là một đoạn thẳng.
C. Lực kéo về tác dụng vào vật không đổi.
D. Li độ của vật tỉ lệ với thời gian dao động.
4. Một vật dao động điều hòa theo một trục cố định (mốc thế năng ở vị trí cân bằng) thì
A. động năng của vật cực đại khi gia tốc của vật có độ lớn cực đại.
B. khi vật đi từ vị trí cân bằng ra biên, vận tốc và gia tốc của vật luôn cùng dấu.
C. khi ở vị trí cân bằng, thế năng của vật bằng cơ năng.
D. thế năng của vật cực đại khi vật ở vị trí biên.

5. Một vật dao động tắt dần có các đại lượng giảm liên tục theo thời gian là
A. biên độ và năng lượng.
B. li độ và tốc độ.
C. biên độ và tốc độ.
D. biên độ và gia tốc.
6. Khi một vật dao động điều hòa thì
A. lực kéo về có độ lớn cực đại khi vật ở vị trí cân bằng.
B. gia tốc của vật có độ lớn cực đại khi vật ở vị trí cân bằng.
C. lực kéo về có độ lớn tỉ lệ với bình phương biên độ.
D. vận tốc của vật có độ lớn cực đại khi vật ở vị trí cân bằng.
7. Lực kéo về tác dụng lên một chất điểm dao động điều hịa có độ lớn
A. và hướng khơng đổi.
B. tỉ lệ với độ lớn của li độ và ln hướng về vị trí cân bằng.
C. tỉ lệ với bình phương biên độ.
D. khơng đổi nhưng hướng thay đổi.
8. Con lắc lò xo gồm vật nhỏ gắn với lò xo nhẹ dao động điều hòa theo phương ngang. Lực kéo về tác
dụng vào vật luôn
A. cùng chiều với chiều chuyển động của vật.
B. hướng về vị trí cân bằng.
C. cùng chiều với chiều biến dạng của lò xo.
D. hướng về vị trí biên.
9. Khi nói về một vật dao động điều hòa, phát biểu nào sau đây sai?
A. Lực kéo về tác dụng lên vật biến thiên điều hòa theo thời gian.
B. Động năng của vật biến thiên tuần hoàn theo thời gian.
C. Vận tốc của vật biến thiên điều hòa theo thời gian.
D. Cơ năng của vật biến thiên tuần hồn theo thời gian.
10. Khi nói về dao động cưỡng bức, phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Dao động của con lắc đồng hồ là dao động cưỡng bức.
B. Biên độ của dao động cưỡng bức là biên độ của lực cưỡng bức.
C. Dao động cưỡng bức có tần số bằng tần số của lực cưỡng bức.

D. Dao động cưỡng bức có tần số nhỏ hơn tần số lực cưỡng bức.
11. Phát biểu nào sau đây là đúng khi nói về dao động tắt dần?
A. Dao động tắt dần có biên độ giảm dần theo thời gian.
B. Cơ năng của vật dao động tắt dần không đổi theo thời gian.
C. Lực cản môi trường tác dụng lên vật luôn sinh công dương.


D. Dao động tắt dần là dao động chỉ chịu tác dụng của nội lực.
12. Khi nói về năng lượng của một vật dao động điều hòa, phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Cứ mỗi chu kì dao động của vật, có bốn thời điểm thế năng bằng động năng.
B. Thế năng của vật đạt cực đại khi vật ở vị trí cân bằng.
C. Động năng của vật đạt cực đại khi vật ở vị trí biên.
D. Thế năng và động năng của vật biến thiên cùng tần số với tần số biến thiên của li độ.
13. Khi nói về dao động cơ cưỡng bức, phát biểu nào sau đây là sai?
A. Tần số của dao động cưỡng bức bằng tần số của lực cưỡng bức.
B. Biên độ của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào biên độ của lực cưỡng bức.
C. Biên độ của dao động cưỡng bức càng lớn khi tần số của lực cưỡng bức càng gần tần số riêng của
hệ.
D. Tần số dao động cưỡng bức lớn hơn tần số của lực cưỡng bức.
14. Vật dao động tắt dần có
A. cơ năng ln giảm dần theo thời gian.
B. thế năng luôn giảm theo thời gian.
C. li độ luôn giảm dần theo thời gian.
D. pha dao động luôn giảm dần theo thời gian.
15. Dao động tắt dần
A. ln có hại.
B. có biên độ khơng đổi theo thời gian.
C. ln có lợi.
D. có biên độ giảm dần theo thời gian.
16. Đối với dao động điều hòa, tỉ số giữa giá trị của đại lượng nào sau đây và giá trị li độ là không đổi?

A. Vận tốc.
B. Bình phương vận tốc.
C. Gia tốc.
D. Bình phương gia tốc.
17. Khi vật dao động điều hịa đi từ vị trí cân bằng đến vị trí biên thì
A. Vật chuyển động chậm dần đều.
B. Lực tác dụng lên vật cùng chiều vận tốc.
C. Véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc ngược chiều nhau.
D. Độ lớn lực tác dụng lên vật giảm dần.
18. Đại lượng đặc trưng cho tính chất đổi chiều nhanh hay chậm của một dao động điều hòa là
A. Biên độ.
B. Vận tốc.
C. Gia tốc.
D. Tần số.
19. Khi tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số thì biên độ của dao động tổng hợp có
giá trị cực tiểu khi hiệu số pha của hai dao động thành phần bằng
A. 0.
B. Một số nguyên chẳn của .
C. Một số nguyên lẻ của .
D. Một số nguyên lẻ của 0,5.
20. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số không phụ thuộc
vào
A. Biên độ của hai dao động thành phần.
B. Độ lệch pha của hai dao động thành phần.
C. Pha ban đầu của hai dao động thành phần.
D. Tần số của hai dao động thành phần.
21. Nói về dao động điều hòa, phát biểu nào dưới đây là đúng?
A. Ở vị trí biên, chất điểm có độ lớn vận tốc cực đại và độ lớn gia tốc cực đại.
B. Ở vị trí cân bằng chất điểm có vận tốc bằng không và độ lớn gia tốc cực đại.
C. Ở vị trí biên, chất điểm có vận tốc bằng khơng và gia tốc bằng khơng.

D. Ở vị trí cân bằng, chất điểm có độ lớn vận tốc cực đại và gia tốc bằng khơng.
22. Một con lắc lị xo dao động đều hòa với tần số 2f1 . Động năng của con lắc biến thiên tuần hoàn theo
thời gian với tần số f 2 bằng
A. 0,5f1.
B. f1.
C. 2f1.
D. 4f1.
23. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Vectơ gia tốc của chất điểm có
A. độ lớn cực đại ở vị trí biên, chiều ln hướng ra biên.
B. độ lớn cực tiểu khi qua vị trí cân bằng luôn cùng chiều với vectơ vận tốc.
C. độ lớn khơng đổi, chiều ln hướng về vị trí cân bằng.
D. độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ, chiều ln hướng về vị trí cân bằng.
24. Một vật dao động điều hòa với biên độ A và tốc độ cực đại vmax. Tần số góc của vật dao động là


v
vmax
v
v
.
B. max .
C. max .
D. max .
2 A
A
A
2A
25. Khi một vật dao động điều hòa, chuyển động của vật từ vị trí biên về vị trí cân bằng là chuyển động
A. nhanh dần đều.
B. chậm dần đều.

C. nhanh dần.
D. chậm dần.
26. Một vật dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực
F = F0cosft (với F0 và f không đổi,
t tính bằng s). Tần số dao động cưỡng bức của vật là
A. f.
B. f.
C. 2f.
D. 0,5f.
27. Khi nói về một vật đang dao động điều hòa, phát biểu nào sau đây đúng?
A. Vectơ gia tốc của vật đổi chiều khi vật có li độ cực đại.
B. Vectơ vận tốc và vectơ gia tốc của vật cùng chiều nhau khi vật chuyển động về phía vị trí cân bằng.
C. Vectơ gia tốc của vật ln hướng ra xa vị trí cân bằng.
D. Vectơ vận tốc và vectơ gia tốc của vật cùng chiều nhau khi vật chuyển động ra xa vị trí cân bằng.
28. Tại một vị trí trên Trái Đất, con lắc đơn có chiều dài l1 dao động điều hịa với chu kì T1; con lắc đơn
có chiều dài l2 (l2 < l1) dao động điều hòa với chu kì T2. Cũng tại vị trí đó, con lắc đơn có chiều dài l1
– l2 dao động điều hịa với chu kì là
TT
TT
A. 1 2 .
B. T12 − T22 . C. 1 2 .
D. T12 + T22 .
T1 + T2
T1 − T2
29. Hai con lắc đơn dao động điều hịa tại cùng một vị trí trên Trái Đất. Chiều dài và chu kì dao động
T
1
của con lắc đơn lần lượt là 1 , 2 và T1, T2. Biết 1 = . Hệ thức đúng là
T2 2
1

1
A. 1 = 2 .
B. 1 = 4 .
C. 1 = .
D. 1 = .
4
2
2
2
2
2
30. Tại nơi có gia tốc trọng trường là g, một con lắc lò xo treo thẳng đứng đang dao động đều hịa. Biết
tại vị trí cân bằng của vật độ dãn của lị xo là l . Chu kì dao động của con lắc này là
l
1 l
1 g
g
A. 2
.
B.
.
C.
.
D. 2
.
g
2 g
2 l
l
Đáp án: 1C. 2C. 3B. 4D. 5A. 6D. 7B. 8B. 9D. 10C. 11A. 12A. 13D. 14A. 15D. 16C. 17C. 18D. 19C.

20D. 21D. 22D. 23D. 24A. 25C. 26D. 27B. 28B. 29C. 30D.
GIẢI CHI TIẾT CÁC CÂU TRẮC NGHIỆM ĐỊNH TÍNH
1. Lực gây ra dao động điều hịa ln ln hướng về vị trí cân bằng nên được gọi là lực kéo về hay lực
hồi phục. Đáp án C.
2. Lực kéo về trong dao động điều hịa có độ lớn thay đổi theo li độ còn lực hướng tâm trong chuyển
động trịn đều thì có độ lớn khơng thay đổi. Đáp án C.
3. Quỹ đạo chuyển động của vật dao động điều hòa là một đoạn thẳng, còn đồ thị (li độ) của vật dao
động điều hòa là một đường hình sin. Đáp án B.
4. Tại vị trí cân bằng vật dao động điều hịa có tốc độ cực đại nên có động năng cực đại, cịn tại vị trí biên
có li độ cực đại nên có thế năng cực đại. Đáp án D.
5. Vật dao động tắt dần có biên độ và năng lượng giảm liên tục theo thời gian. Đáp án A.
6. Tại vị trí cân bằng vận tốc của vật dao động điều hịa có độ lớn cực đại, cịn ở vị trí biên thì vận tốc của
vật bằng không. Đáp án D.
7. Lực kéo về trong dao động điều hịa ln ln hướng về vị trí cân bằng và có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của
li độ. Đáp án B.
8. Lực kéo về trong dao động điều hịa ln ln hướng về vị trí cân bằng. Đáp án B.
9. Động năng và thế năng của vật dao động điều hịa biến thiên tuần hồn theo thời gian còn tổng của
chúng tức là cơ năng thì khơng thay đổi theo thời gian. Đáp án D.
10. Tần số của dao động cưởng bức bằng tần số của lực cưởng bức. Đáp án C.
11. Vật dao động tắt dần có biên độ và năng lượng giảm dần theo thời gian. Đáp án A.
12. Trong một chu kỳ của vật dao động điều hịa có hai lần động năng đạt giá trị cực đại, hai lần thế năng
đạt giá trị cực đại và xen giữa đó là 4 lần thế năng bằng động năng. Đáp án A.
13. Trong dao động cưởng bức, tần số của dao động bằng tần số của lực cưởng bức. Biên độ của dao
động cưởng bức phụ thuộc vào biên độ của lực cưởng bức, vào lực cản trong hệ và sự chênh lệch giữa
tần số riêng f0 của hệ dao động và tần số f của lực cưởng bức. Đáp án D.
14. Vật dao động tắt dần có biên độ dao động và cơ năng giảm dần theo thời gian. Đáp án A.

A.

15. Vật dao động tắt dần có biên độ dao động và cơ năng giảm dần theo thời gian. Đáp án D.
16. Li độ: x = Acos(t + ); vận tốc: v = - Asin(t + );
x
Gia tốc: a = - 2Acos(t + ) = - 2x;
= - 2. Đáp án C.
a
17. Khi vật dao động điều hòa đi từ vị trí cân bằng đến vị trí biên thì vật chuyển động chậm dần, vận tốc
→

→

có độ lớn giảm dần, gia tốc có độ lớn tăng dần, véc tơ v và véc tơ a ngược chiều nhau. Đáp án C.
18. Tần số f (tần số góc ) càng lớn (chu kỳ T càng nhỏ) thì vật dao động điều hịa đổi chiều dao động
càng nhanh. Đáp án D.
19. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có giá trị cực đại
khi hai dao động thành phần cùng pha ( = 2k), có giá trị cực tiểu khi hai dao động thành phần ngược
pha ( = (2k + 1). Đáp án C.
20. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số phụ thuộc vào biên
độ của các dao động thành phần, vào độ lệch pha giữa hai dao động thành phần mà không phụ thuộc vào
tần số của các dao động thành phần. Đáp án D.
21. Ở vị trí biên vật dao động điều hịa có vận tốc bằng khơng và gia tốc có độ lớn cực đại, cịn ở vị trí
cân bằng thì gia tốc bằng khơng và vận tốc có độ lớn cực đại. Đáp án D.
22. Vật dao động điều hòa với tần số f (tần số góc ) thì động năng và thế năng của vật biến thiên tuần
hoàn với tần số f’ = 2f (tần số góc ’ = 2). Đáp án D.
23. Lực kéo về và gia tốc của vật dao động điều hịa ln hướng về vị trí cân bằng và có độ lớn tỉ lệ với
độ lớn của li độ. Đáp án D.
v
24. vmax = A   = max . Đáp án A.
A
25. Khi đi từ vị trí biên về vị trí cân bằng vật dao động điều hòa chuyển động nhanh dần, còn khi đi từ

vị trí cân bằng ra vị trí biên vật chuyển động chậm dần. Đáp án C.
f
f
26. Lực cưởng bức F = F0cosft = F0cos2 t có tần số
nên dao động cưởng bức có tần số bằng
2
2
tần số của lực cưởng bức. Đáp án D.
27. Với vật dao động điều hịa khi vật chuyển động từ vị trí biên về vị trí cân bằng thì véc tơ vận tốc và
véc tơ gia tốc cùng chiều nhau, còn khi chuyển động từ vị trí cân bằng ra vị trí biên thì véc tơ vận tốc và
véc tơ gia tốc ngược chiều nhau. Đáp án B.
28. T = 2
29.

T1
=
T2

30. T = 2

l1 − l 2
=
g

4 2

l1
l
− 4 2 2 =
g

g

T12 − T22 . Đáp án B.

l1
1
1
l
=
 1 =
. Đáp án C.
2
4
l2
l2
l
m
= 2
. Đáp án D.
g
k

C. CÁC DẠNG TRẮC NGHIỆM ĐỊNH LƯỢNG
1. Đường đi, thời gian, li độ, vận tốc, gia tốc trong d.động điều hịa
* Cơng thức:
+ Phương trình dao động (li độ): x = Acos(t + ).
+ Vận tốc:
v = x’ = - Asin(t + ) = Acos(t +  +



); vmax = A.
2

+ Gia tốc: a = v’ = - 2Acos(t + ) = - 2x; amax = 2A.
Li độ, vận tốc, gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số; vận tốc sớm pha
so với li độ, gia tốc ngược pha với li độ (sớn pha
+ Liên hệ giữa tần số góc, chu kì và tần số:  =


2

so với vận tốc).

2
= 2f.
T


2


+

Vòng

tròn

lượng

giác

dùng

để

giải

nhanh

một

số

câu

trắc

nghiệm:

+ Liên hệ giữa biên độ, li độ vận tốc, gia tốc và tần số góc:
a2 v2
v2
A2 = x2 + 2 = 4 + 2







S
+ Vận tốc trung bình: vtb =
.
t
+ Trong một chu kỳ vật dao động điều hòa đi được quãng đường 4A. Trong nữa chu kì vật đi được quãng
đường 2A. Trong một phần tư chu kì tính từ vị trí biên hay vị trí cân bằng thì vật đi được qng đường
A, cịn từ các vị trí khác thì vật đi được qng đường khác A.
* Trắc nghiệm:
1 (TN 2009). Một chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ 0,5 s và biên độ 2 cm. Vận tốc của chất
điểm tại vị trí cân bằng có độ lớn bằng
A. 3 cm/s.
B. 0,5 cm/s.
C. 4 cm/s.
D. 8 cm/s.
2 (TN 2009). Một chất điểm dao động điều hịa trên trục Ox theo phương trình x = 5cos4t (x tính bằng
cm, t tính bằng s). Tại thời điểm t = 5 s, vận tốc của chất điểm này có giá trị bằng
A. 0 cm/s.
B. 5 cm/s.
C. - 20 cm/s. D. 20 cm/s.
3 (TN 2011). Một chất điểm dao động điều hịa dọc theo trục Ox với phương trình x = 10cos2πt (cm).
Quãng đường đi được của chất điểm trong một chu kì dao động là
A. 10 cm.
B. 30 cm.
C. 40 cm.
D. 20 cm.
4 (CĐ 2010). Một vật dao động điều hịa với chu kì T. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí cân bằng,
vận tốc của vật bằng 0 lần đầu tiên ở thời điểm
T
T
T

T
A. .
B. .
C. .
D. .
2
8
6
4
5 (CĐ 2011). Vật dao động điều hịa có chu kì 2 s, biên độ 10 cm. Khi vật cách vị trí cân bằng 6 cm, tốc
độ của nó bằng
A. 18,84 cm/s.
B. 20,08 cm/s.
C. 25,13 cm/s.
D. 12,56 cm/s.
6 (CĐ 2012). Một vật dao động điều hòa với tần số góc 5 rad/s. Khi vật đi qua li độ 5 cm thì nó có tốc
độ là 25 cm/s. Biên độ dao động của vật là
A. 5,24cm.
B. 5 2 cm.
C. 5 3 cm.
D. 10 cm.
7 (CĐ 2013). Một con lắc lị xo gồm lị xo có độ cứng k và vật nhỏ có khối lượng 250 g, dao động điều
hịa dọc theo trục Ox nằm ngang (vị trí cân bằng ở O). Ở li độ -2 cm, vật nhỏ có gia tốc 8 m/s2. Giá trị
của k là
A. 120 N/m.
B. 20 N/m.
C. 100 N/m.
D. 200 N/m.

8 (CĐ 2013). Một vật nhỏ dao động điều hòa với biên độ 5 cm và vận tốc có độ lớn cực đại là 10 cm/s.
Chu kì dao động của vật nhỏ là
A. 4 s.
B. 2 s.
C. 1 s.
D. 3 s.
9 (ĐH 2009). Một vật dao động điều hịa có độ lớn vận tốc cực đại là 31,4 cm/s. Lấy  = 3,14. Tốc độ
trung bình của vật trong một chu kì dao động là
A. 20 cm/s.
B. 10 cm/s.
C. 0.
D. 15 cm/s.
10 (ĐH 2010). Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ
−A
vị trí biên có li độ x = A đến vị trí có li độ x =
, chất điểm có tốc độ trung bình là
2
3A
6A
4A
9A
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2T

T
T
2T
2
11 (ĐH 2011). Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình x = 4 cos
t (x tính bằng cm; t
3
tính bằng s). Kể từ lúc t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = -2 cm lần thứ 2011 tại thời điểm
A. 3015 s.
B. 6030 s.
C. 3016 s.
D. 6032 s.
12 (ĐH 2012). Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T. Gọi vTB là tốc độ trung bình của chất
điểm trong một chu kì, v là tốc độ tức thời của chất điểm. Trong một chu kì, khoảng thời gian mà

v  vTB là
4
2T
T
T
T
A. .
B.
.
C. .
D. .
3
6
3
2

13. Một vật dao động điều hịa có gia tốc cực đại là 314 cm/s 2 và tốc độ trung bình trong một chu kỳ là
20 cm/s. Lấy  = 3,14. Biên độ dao động của vật bằng
A. 3,5 cm.
B. 3,14 cm.
C. 2,24 cm.
D. 1,5 cm.
14 (ĐH 2013). Một vật nhỏ dao động điều hòa theo một quỹ đạo dài 12 cm. Dao động này có biên độ
A. 12 cm.
B. 24 cm.
C. 6 cm.
D. 3 cm.
15 (ĐH 2013). Một vật dao động điều hòa với biên độ 4 cm và chu kì 2 s. Quãng đường vật đi được
trong 4 s là
A. 64 cm.
B. 16 cm.
C. 32 cm.
D. 8 cm.
* Đáp án: 1D. 2A. 3C. 4D. 5C. 6B. 7C. 8C. 9A. 10D. 11C. 12B. 13B. 14C. 15C.

* Giải chi tiết:

2
A = 8 cm/s. Đáp án D.
T
2. v = x’ = - Asin(t + ) = - 4.5.sin4.5 = 0. Đáp án A.
3. Trong một chu kỳ vật dao động điều hòa đi được quãng đường 4A = 4.10 = 40 (cm). Đáp án C.
4. Nếu chọn gốc thời gian lúc vật đi qua vị trí cân bằng thì khoảng thời gian ngắn nhất để vật ra đến vị
T
trí biên là ; tại đó vận tốc của vật bằng 0. Đáp án D.
4

2
5. v =  A2 − x 2 =
A2 − x 2 = 25,13 cm/s. Đáp án C.
T

1. vmax = A =

6. A =

x2 +

v2

2

= 5 2 cm. Đáp án B.

−a
= 20 rad/s; k = m2 = 100 N/m. Đáp án C.
x
v
2
8. vmax = A   = max = 2π rad/s  T =
= 1 s. Đáp án C.

A
4 A 4A 2vmax
=
=
9. vtb =

= 20 cm/s. Đáp án A.
T
2

7. a = - 2x   =


A
2 = 9 A . Đáp án D.
10. vtb =
T T
2T
+
4 12
v
2A
13. Trong một chu kỳ vtb =
  = tb ;

2A
2 2
2 2
 vtb
 vtb
amax = 2A =
A=
= 3,14 cm. Đáp án B.
4amax
4A
L

14. A =
= 6 cm. Đáp án C.
2
15. Quãng đường đi trong 2 chu kì là 8A = 32 cm. Đáp án C.
A+

2. Con lắc lò xo – Lực tác dụng lên vật dao động.
* Công thức:
+ Tần số góc, chu kì, tần số của con lắc lò xo:
m
k
1
=
; T = 2
;f=
m
k
2
Con lắc lò xo treo thẳng đứng:  =

k
=
m

k
.
m

g
mg

; với l0 =
là độ biến dạng của lị xo ở vị trí cân
k
l0

bằng.
Con lắc lị xo đặt trên mặt phẵng nghiêng:  =

k
=
m

g sin 
mg sin 
; với l0 =
là độ biến dạng
k
l0

của lò xo ở vị trí cân bằng.
+ Lực kéo về (cịn gọi là lực hồi phục) là lực làm cho vật dao động điều hòa: F = - m2x = - kx.
+ Với con lắc lò xo treo thẳng đứng:
- Lực đàn hồi cực đại, cực tiểu: Fmax = k(A + l0);
Fmin = 0 nếu A  l0; Fmin = k(l0 – A) nếu A < l0.
- Độ lớn của lực đàn hồi tại vị trí có li độ x:
Fđh = k|l0 + x| nếu chiều dương hướng xuống;
Fđh = k|l0 - x| nếu chiều dương hướng lên.
- Chiều dài cực đại của lò xo: lmax = l0 + l0 + A; chiều dài cực tiểu của lò xo: lmin = l0 + l0 – A.
* Trắc nghiệm:
1 (CĐ 2009). Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa với chu kì 0,4 s. Khi vật ở vị trí cân

bằng lị xo có chiều dài 44 cm. Lấy g = 2 (m/s2). Chiều dài tự nhiên của lò xo là
A. 36 cm.
B. 40 cm.
C. 42 cm.
D. 38 cm.
2 (CĐ 2009). Một con lắc lị xo có độ cứng k và vật có khối lượng m, dao động điều hịa với chu kì T =
1 s. Muốn tần số dao động của con lắc là f’ = 0,5 Hz, thì khối lượng m’ của vật phải là
A. m’ = 2m.
B. m’ = 3m.
C. m’ = 4m.
D. m’ = 5m.
3 (CĐ 2011). Một chất điểm có khối lượng m = 200 g dao động điều hịa với phương trình x = 5cos(10t
+ 0,5) (cm). Tính tốc độ của chất điểm khi lực tác dụng lên chất điểm có độ lớn bằng 0,8 N.
A. v =  20 cm/s.
B. v =  30 cm/s.
C. v =  40 cm/s.
D. v =  50 cm/s.
4 (CĐ 2012). Con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng 250 g và lị xo nhẹ có độ cứng 100 N/m dao
động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 4 cm. Khoảng thời gian ngắn nhất để vận tốc của vật có giá
trị từ -40 cm/s đến 40 3 cm/s là




A.
s.
B.
s.
C.
.

D.
s.
40
120
20
60


5 (CĐ 2013). Một con lắc lò xo được treo thẳng đứng tại nơi có gia tốc trọng trường g. Khi vật nhỏ ở vị
trí cân bằng, lị xo dãn 4 cm. Kéo vật nhỏ thẳng đứng xuống dưới đến cách vị trí cân bằng 4 2 cm rồi
thả nhẹ (không vận tốc ban đầu) để con lắc dao động điều hịa. Lấy 2 = 10. Trong một chu kì, thời gian
lị xo khơng dãn là
A. 0,05 s.
B. 0,13 s.
C. 0,20 s.
D. 0,10 s.
6 (CĐ 2013). Một vật nhỏ khối lượng 100 g, dao động điều hòa với biên độ 4 cm và tần số 5 Hz. Lấy 2
= 10. Lực kéo về tác dụng lên vật nhỏ có độ lớn cực đại bằng
A. 8 N.
B. 6 N.
C. 4 N.
D. 2 N.
7 (ĐH 2009). Một con lắc lò xo, quả nặng có khối lượng 200 g dao động điều hịa với chu kì 0,8 s. Để
chu kì của con lắc là 1 s thì cần
A. gắn thêm một quả nặng 112,5 g.
B. gắn thêm một quả nặng có khối lượng 50 g.
C. thay bằng một quả nặng có khối lượng 160 g.
D. thay bằng một quả nặng có khối lượng 128 g.
8 (ĐH 2009). Một con lắc lò xo dao động đều hòa theo phương thẳng đứng. Chọn mốc thế năng ở vị trí
cân bằng. Ở thời điểm độ lớn vận tốc của vật bằng 50% vận tốc cực đại thì tỉ số giữa động năng và cơ

năng của vật là
1
1
4
3
A. .
B. .
C. .
D. .
4
3
2
4
9 (ĐH 2011). Con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa với tần số 3 Hz. Nếu gắn thêm vào vật
nặng một vật năng khác có khối lượng gấp 3 lần khối lượng vật nặng ban đầu thì tần số của dao động
mới sẽ là
A. 1,5 Hz.
B. 3 Hz.
C. 1 Hz.
D. 9 Hz.
10 (ĐH 2011). Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang gồm lị xo nhẹ có một đầu cố định, đầu
kia gắn với vật nhỏ m1. Ban đầu giữ vật m1 tại vị trí mà lị xo bị nén 8 cm, đặt vật nhỏ m2 (có khối lượng
bằng khối lượng vật m1) trên mặt phẳng nằm ngang và sát với vật m1. Buông nhẹ để hai vật bắt đầu
chuyển động theo phương của trục lò xo. Bỏ qua mọi ma sát. Ở thời điểm lị xo có chiều dài cực đại lần
đầu tiên thì khoảng cách giữa hai vật m1 và m2 là
A. 4,6 cm.
B. 2,3 cm.
C. 5,7 cm.
D. 3,2 cm.
11 (ĐH 2012). Một con lắc lò xo gồm lị xo nhẹ có độ cứng 100 N/m và vật nhỏ khối lượng m. Con lắc

dao động điều hòa theo phương ngang với chu kì T. Biết ở thời điểm t vật có li độ 5 cm, ở thời điểm t
T
+
vật có tốc độ 50 cm/s. Giá trị của m bằng
4
A. 0,5 kg.
B. 1,2 kg.
C. 0,8 kg.
D.1,0 kg.
12 (ĐH 2012). Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với cơ năng dao động là 1 J và
lực đàn hồi cực đại là 10 N. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Gọi Q là đầu cố định của lò xo, khoảng
thời gian ngắn nhất giữa 2 lần liên tiếp Q chịu tác dụng lực kéo của lị xo có độ lớn 5 3 N là 0,1 s.
Quãng đường lớn nhất mà vật nhỏ của con lắc đi được trong 0,4 s là
A. 40 cm.
B. 60 cm.
C. 80 cm.
D. 115 cm.
13. Một vật gắn vào lò xo treo thẳng đứng làm lò xo giãn ra 10 cm. Biết độ lớn lực đàn hồi cực đại và
cực tiểu của lò xo khi vật dao động lần lượt là 6 N và 4 N, chiều dài tự nhiên của lò xo là 40 cm. Chiều
dài cực đại của lò xo khi dao động bằng
A. 54 cm.
B. 52 cm.
C. 50 cm.
D. 48 cm.
14. Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẵng nghiêng 300 so với mặt phẵng ngang. Ở vị trí cân bằng lị xo
giãn 5 cm. Bỏ qua mọi ma sát. Lấy g = 10 m/s2. Chu kỳ dao động của con lắc là
A. T = 2 s.
B. T = 1 s.
C. T = 0,1 s. D. T = 0,2 s.
15 (ĐH 2013). Một con lắc lị xo gồm vật nhỏ

có khối lượng 100 g và lị xo có
độ cứng 40 N/m được đặt trên mặt phẳng nằm
ngang không ma sát. Vật nhỏ
đang nằm yên ở vị trí cân bằng, tại t = 0, tác
dụng lực F = 2 N lên vật nhỏ

(hình vẽ) cho con lắc dao động điều hòa đến thời điểm t =
s thì ngừng tác dụng lực F. Dao động điều
3
hịa của con lắc sau khi khơng cịn lực F tác dụng có giá trị biên độ gần giá trị nào nhất sau đây
A. 9 cm.
B. 7 cm.
C. 5 cm.
D.11cm.


16 (ĐH 2013). Gọi M, N, I là các điểm trên một lò xo nhẹ, được treo thẳng đứng ở điểm O cố định. Khi
lị xo có chiều dài tự nhiên thì OM = MN = NI = 10 cm. Gắn vật nhỏ vào đầu dưới I của lò xo và kích
thích để vật dao động điều hịa theo phương thẳng đứng. Trong quá trình dao động tỉ số độ lớn lực kéo
lớn nhất và độ lớn lực kéo nhỏ nhất tác dụng lên O bằng 3; lò xo giãn đều; khoảng cách lớn nhất giữa
hai điểm M và N là 12 cm. Lấy  2 = 10 . Vật dao động với tần số là
A. 2,9 Hz.
B. 2,5 Hz.
C. 3,5 Hz.
D. 1,7Hz.
17 (ĐH 2013). Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là m1 = 300 g dao động điều hịa với chu kì 1 s.
Nếu thay vật nhỏ có khối lượng m1 bằng vật nhỏ có khối lượng m2 thì con lắc dao động với chu kì 0,5
s. Giá trị m2 bằng
A. 100 g.
B. 150 g.

C. 25 g.
D. 75 g.
* Đáp án: 1B. 2C. 3B. 4A. 5D. 6C. 7A. 8B. 9A. 10D. 11D. 12B. 13B. 14D. 15A. 16B. 17D.
* Giải chi tiết:
g
2
g
1.  =
= 5 rad/s =
 l0 = 2 = 0,04 m = 4 cm;
T

l0
l0 = l – l0 = 40 cm. Đáp án B.
1 k
f
1
m'
2. f =
= 1 Hz;
= 2 = 2 m =
 m’ = 4m. Đáp án C.
T
f'
m
1 k
2 m'
F
3. k = m2 = 20 N/m; |x| =
= 0,04 m = 4 cm;

k
v =   A2 − x 2 =  30 cm/s. Đáp án B.
2
k
= 20 rad/s; T =
= 0,1 s; vmax = A = 80 cm/s.

m
v
T

3
Thời gian để có giá trị từ -40 cm/s = - max đến 40 3 cm/s =
vmax là t =
=
s. Đáp án A.
40
4
2
2
l0
bị giãn khi l ≤ l0. Trên đường
5. T = 2π
= 0,4 s. Lị xo khơng
g
trịn lượng giác ta thấy góc quay được
trong thời gian này là  = 2;
l0
1


=
= cos
với cos =
A
4
2

=
2
T
 t =
= 0,1 s. Đáp án D.
4
6.  = 2πf = 10π rad/s; k = m2 = 100 N/m; Fmax = kA = 4 N.
Đáp án C.
m
T
m
7.
=
= 0,8  m’ =
= 312,5 g. Đáp án A.
T'
0,8 2
m'
W
1
1
1
1

8. v = vmax  Wđ = Wđmax = W  đ = . Đáp án B.
2
4
4
4
W
f'
m
m
1
f
=
=
9.
=
 f’ =
= 1,5 Hz. Đáp án A.
f
m'
4m
2
2

4.  =

k
l. Sau đó vật
2m
l
v

k
m
, chu kì T’ = 2
, biên độ A’ =
=
, còn m2
'
m
k
2

10. Khi đến vị trí cân bằng lần đầu tiên hai vật đều đạt vận tốc (cực đại) v = l =
m1 dao động điều hịa với tần số góc ’ =


T'  m
=
vật m1 đến vị trí
4
2 k
biên (vị trí lị xo có chiều dài cực đại). Do đó khoảng cách giữa hai vật lúc này là:
l
l 
 m
k
s = v.t – A’ =
l.
=
( – 1) = 3,23 cm.
2 k

2m
2
2 2
Đáp án D.
11. x1 = Acos(t + )
T

x2 = Acos((t + ) + ) = Acos(t +  + ) = - Asin(t + )
4
2
2
kx2
v
m 2
 x 12 + x 22 = A2 = x 22 + 22 = x 22 +
v 2  m = 21 = 1 kg.
k
v2

Đáp án D.
1
12. W = kA2 = 1; Fmax = kA = 10  A = 0,2 m.
2
|F|
|F|
3
3
|F| = k|x|  |x| =
=
=

A. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có |x| =
A đến vị trí
F
k
2
2
max
A
T T
4T
T
3
có |x| =
A là
(dựa trên vòng tròn lượng giác)  T = 0,6 s. Thời gian 0,4 s =
= + ; quãng
2 6
6
6
2
đường dài nhất vật đi được trong khoảng thời gian này là:
smax = 2A + A = 3A = 0,6 m. Đáp án B.
F
l + A
13. max = 0
= 1,5  A = 2 cm; lmax = l0 + l0 + A = 52 cm.
Fmin l0 − A
Đáp án B.
g sin 
2

14.  =
= 10 rad/s; T =
= 0,2 s. Đáp án D.

l0

thì chuyển động thẳng đều với vận tốc v. Sau thời gian

t=

F

m
= 0,05 m = 5 cm. T = 2π
=
s.
10
k
k


T

A
3
3
Thời điểm t =
=3
+
= 3T +

có: x =
và v = vmax
= A
. So với vị trí cân bằng
10
30
3
3
2
2
2
3A
A
3
khi khơng cịn lực F tác dụng (vị trí lị xo khơng biến dạng) thì x’ = A +
=
và v’ = v = A
.
2
2
2

15. l0 = A =

2

 v'
Con lắc dao động với biên độ: A’ = ( x ') +   = A 3 = 8,66 cm.
 
Đáp án A.

F
k (l0 + A)
16. max =
= 3  l0 = 2A;
Fmin k (l0 − A)
2

lmax = l0 + A = 2.3 = 6 (cm)  l0 = 4 cm = 4.10-2 m
g

=
= 5π rad/s  f =
= 2,5 Hz. Đáp án B.
2
l0
17. T2 = 0,5T1  2π

m2
m1
= 0,5. 2π
 m2 = 0,25m1 = 75 g.
k
k

Đáp án D.
3. Mối liên hệ giữa A, x, v và a trong dao động điều hòa.
* Công thức:


+ Công thức độc lập: A2 = x2 +

v2

2

=

a2

4

+ Liên hệ giữa gia tốc và li độ: a = - 2x.

+

v2

2

.

+ Vận tốc cực đại và gia tốc cực đại: vmax = A; amax = 2A =

vm2 ax
.
A

+ Định luật bảo toàn cơ năng:
1
1

1
1
1
W = m2A2 = kA2 = mv 2max = Wt + Wđ = kx2 + mv2.
2
2
2
2
2
+ Càng gần vị trí cân bằng thì vận tốc tức thời của vật có độ lớn càng lớn (ở vị trí cân bằng vận tốc của
vật có độ lớn cực đại vmax = A), càng gần vị trí biên thì vận tốc tức thời của vật có độ lớn càng nhỏ (ở
vị trí biên v = 0).
+ Càng gần vị trí biên thì gia tốc tức thời của vật có độ lớn càng lớn (ở vị trí biên gia tốc của vật có độ
lớn cực đại amax = 2A), càng gần vị trí cân bằng thì gia tốc tức thời của vật có độ lớn càng nhỏ (ở vị trí
cân bằng a = 0).
* Trắc nghiệm:
1 (TN 2012). Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở li độ x =
2 cm, vật có động năng gấp 3 lần thế năng. Biên độ dao động của vật là
A. 6,0 cm.
B. 4,0 cm.
C. 3,5 cm.
D. 2,5 cm.
2 (CĐ 2009). Một vật dao động điều hịa dọc theo trục Ox với chu kì T, vị trí cân bằng và mốc thế năng
ở gốc tọa độ. Tính từ lúc vật có li độ dương lớn nhất, thời điểm đầu tiên mà động năng và thế năng của
vật bằng nhau là
T
T
T
T
A. .

B. .
C.
.
D. .
12
8
4
6
3 (CĐ 2010). Một con lắc lò xo gồm viên bi nhỏ và lị xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, dao động điều hòa
với biên độ 0,1 m. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi viên bi cách vị trí cân bằng 6 cm thì động năng
của con lắc bằng
A. 0,64 J.
B. 3,2 mJ.
C. 6,4 mJ.
D. 0,32 J.
4 (ĐH 2009). Một vật đang dao động điều hòa với tần số góc
10 rad/s và biên độ 2 cm. Khi vật
có vận tốc 10 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn
A. 4 m/s2.
B. 10 m/s2.
C. 2 m/s2.
D. 5 m/s2.
5 (ĐH 2009). Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ và vật nhỏ dao động điều hòa theo phương ngang với tần
số góc 10 rad/s. Biết khi động năng và thế năng (mốc ở vị trí cân bằng của vật) bằng nhau thì vận tốc
của vật có độ lớn bằng 0,6 m/s. Biên độ dao động của con lắc là
A. 6 cm.
B. 6 2 cm.
C. 12 cm.
D. 12 2 cm.
6 (ĐH 2010). Một con lắc lò xo dao động điều hịa với chu kì T và biên độ 5 cm. Biết trong một chu kì,

T
khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s2 là . Lấy π2 = 10. Tần
3
số dao động của vật là
A. 4 Hz.
B. 3 Hz.
C. 1 Hz.
D. 2 Hz.
7 (ĐH 2011). Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 10 cm, chu kì 2 s. Mốc thế năng
ở vị trí cân bằng. Tốc độ trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian ngắn nhất khi chất điểm đi từ
1
vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có động năng bằng lần thế năng là
3
A. 26,12 cm/s. B. 7,32 cm/s. C. 14,64 cm/s. D. 21,96 cm/s.
8 (ĐH 2011). Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì
tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là 40 3 cm/s2.
Biên độ dao động của chất điểm là
A. 5 cm.
B. 4 cm.
C. 10 cm.
D. 8 cm.
9. Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T và biên độ 10 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời
2T
gian để chất điểm có vận tốc khơng vượt q 20 3 cm/s là
. Chu kì dao động của chất điểm là
3
A. 3 s.
B. 2s .
C. 1 s.
D. 0,5 s.

10. Một vật dao dao động điều hịa với p.trình x = Acos(t + ). Tại các vị trí có li độ x1 = 2 cm và x2 =
2 2 cm, vật có vận tốc tương ứng là v1 = 20 3 cm/s và v2 = 20 2 cm/s. Biên độ dao động của vật
có giá trị nào sau đây?
A. 4 cm.
B. 6 cm.
C. 4 2 cm.
D. 6 2 cm.
11 (ĐH 2013). Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình
x = Acos4πt (t tính bằng s). Tính
từ t = 0; khoảng thời gian ngắn nhất để gia tốc của vật có độ lớn bằng một nửa độ lớn gia tốc cực đại là
A. 0,083 s.
B. 0,104 s.
C. 0,167 s.
D. 0,125s.
* Đáp án: 1B. 2B. 3D. 4B. 5B. 6C. 7D. 8A. 9D. 10A. 11A.
* Giải chi tiết:
1 2
1
1
1. Wt + Wđ =
kx + 3. kx2 = W =
kA2  4x2 = A2
2
2
2
 A = 2x = 4 cm. Đáp án B.
1
1

A 2
2. Khi Wt = Wđ thì 2Wt = W  2. kx2 = kA2  x = 
; khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ
2
2
2
T
A 2
vị trí có li độ A đến vị trí có li độ 
là . Đáp án B.
8
2
1
1
3. Wđ = W – Wt = kA2 - kx2 = 0,32 J. Đáp án D.
2
2
2
2
a
v
v2
4. A2 = x2 + 2 = 4 + 2




 |a| =   2 A2 − v 2 = 9,8 m/s2. Đáp án B.

5. Khi Wđ = Wt thì Wt + Wđ = 2Wđ = W  2.

A=

2

1
1
mv2 = kA2
2
2

m
2
v=
v = 0,06 2 m = 6 2 cm. Đáp án B.

k

1
T
chu kì thời gian để độ lớn gia tốc khơng vượt q
100 cm/s2 là
. Càng gần vị trí cân
12
4
T
bằng thì gia tốc có độ lớn càng nhỏ nên sau khoảng thời gian
kể từ vị trí cân bằng vật có độ lớn li độ |x|
12
|a|
A

=
= 2,5 cm. Khi đó |a| = 2|x|  
= 2 10 = 2 rad/s
|x|
2

6. Trong

f=


= 1 Hz. Đáp án C.
2

1 2 1
A
kx = kA2  |x| = .
2
2
2
1
4
4 1
1
A 3
Khi Wđ = Wt thì Wt = W  . kx2 = kA2  |x| =
.
3
3
3 2

2
2
A
T
A 3
Thời gian t ngắn nhất để vật đi từ vị trí có |x| =
đến vị trí có |x| =
là
.
12
2
2
A 3 A
Quãng đường đi trong thời gian đó: s =
- .
2
2
A
3 −1
s 2
6 A 3 −1
Vậy: vtb =
= 21,96 cm/s. Đáp án D.
=
=
T
t
T
12
a 2 A4

v 2 A2
vmax a 2
v2
2
8. vmax = A   =
;
+
=A  4
+ 2
= A2
vmax
vmax
A 4 2

7. Khi Wđ = 3Wt thì 4Wt = W  4.

(

A=

vmax
a

)

(

)

2

vmax
− v 2 = 5 cm. Đáp án A.


1
T
chu kỳ khoảng thời gian để chất điểm có vận tốc không vượt quá 20 3 cm/s là . Càng
4
6
T
A
gần vị trí biên thì vận tốc của vật càng nhỏ nên sau khoảng thời gian
kể từ vị trí biên vật có |x| =
6
2
2
v
2
v
 x2 + 2 = A 2   =
= 4 rad/s  T =
= 0,5 s.


A2 − x 2
Đáp án D.
v2
v2
10. x 12 + 12 = A2  2 = 2 1 2 ;
A − x1



9. Trong

2
2

x +

v 22

2

v22 ( A2 − x12 )
=x +
= A2  A =
v12
2
2

x22 v12 − x12 v22
= 4 cm.
v12 − v22

Đáp án A.
2
11. T =
= 0,5 s; khi t = 0 thì x = A và a = amax.

a

T
A
Sau thời gian ngắn nhất t =
= 0,083 s thì x =
và a = max .
6
2
2
Đáp án A.
4. Sự biến đổi thế năng, động năng và sự bảo toàn cơ năng trong dao động điều hịa của con lắc lị
xo.
* Cơng thức:
1
1
+ Thế năng: Wt = kx2 = kA2cos2(t + ).
2
2
1
1
1
+ Động năng: Wđ = mv2 = m2A2sin2(t +) = kA2sin2( + ).
2
2
2
T
Thế năng và động năng của con lắc lò xo biến thiên tuần hoàn với ’ = 2, với f’ = 2f và với T’ =
2
.
T
+ Khoảng thời gian liên tiếp giữa hai lần động năng và thế năng bằng nhau là .

4
1
1
1
1
+ Cơ năng: W = Wt + Wđ = kx2 + mv2 = kA2 = m2A2.
2
2
2
2
* Trắc nghiệm:
1 (TN 2011). Con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 100 g gắn với một lò xo nhẹ. Con lắc dao động điều
hịa theo phương ngang với phương trình x = 10cos10t (cm). Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Lấy 2 =
10. Cơ năng của con lắc bằng
A. 0,10 J.
B. 0,05 J.
C. 1,00 J.
D. 0,50 J.
2 (CĐ 2010). Một con lắc lị xo với lị xo có độ cứng 50 N/m dao động điều hòa theo phương ngang. Cứ
sau 0,05 s thì thế năng và động năng của con lắc lại bằng nhau. Lấy 2 = 10. Khối lượng vật nặng của
con lắc bằng
A. 250 g.
B. 100 g.
C. 25 g.
D. 50 g.
3 (CĐ 2010). Một vật dao động điều hòa với biên độ 6 cm. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi vật có
3
động năng bằng
lần cơ năng thì vật cách vị trí cân bằng một đoạn
4

A. 6 cm.
B. 4,5 cm.
C. 4 cm.
D. 3 cm.
4 (CĐ 2011). Một con lắc lò xo gồm quả cầu nhỏ khối lượng 500 g và lị xo có độ cứng 50 N/m. Cho
con lắc dao động điều hòa trên phương nằm ngang. Tại thời điểm vận tốc của quả cầu là 0,1 m/s thì gia
tốc của nó là - 3 m/s2. Cơ năng của con lắc là
A. 0,04 J.
B. 0,02 J.
C. 0,01 J.
D. 0,05 J.


5 (CĐ 2012). Một vật dao động điều hòa với biên độ A và cơ năng W. Mốc thế năng của vật ở vị trí cân
2
bằng. Khi vật đi qua vị trí có li độ A thì động năng của vật là
3
5
4
2
7
A. W.
B. W.
C. W.
D. W.
9
9
9
9
6 (CĐ 2013). Một vật nhỏ có khối lượng 100 g dao động điều hịa với chu kì 0,5  s và biên độ 3 cm.

Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng, cơ năng của vật là
A. 0,36 mJ.
B. 0,72 mJ.
C. 0,18 mJ.
D. 0,48 mJ.
7 (ĐH 2009). Một con lắc lò xo dao động điều hịa. Biết lị xo có độ cứng 36 N/m; vật có khối lượng
100 g. Lấy 2 = 10. Động năng của con lắc biến thiên tuần hoàn theo thời gian với tần số
A. 6 Hz.
B. 3 Hz.
C. 12 Hz.
D. 1 Hz.
8 (ĐH 2009). Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là 50 g. Con lắc dao động điều hòa theo trục cố
định nằm ngang với phương trình x = Acost. Cứ sau những khoảng thời gian 0,05 s thì động năng và
thế năng của vật lại bằng nhau. Lấy 2 =10. Lò xo của con lắc có độ cứng là
A. 50 N/m.
B. 100 N/m.
C. 25 N/m.
D. 200 N/m.
9 (ĐH 2010). Vật nhỏ của con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang, mốc thế năng tại vị trí
cân bằng. Khi gia tốc của vật có độ lớn bằng một nửa độ lớn gia tốc cực đại thì tỉ số giữa động năng và
thế năng của vật là
1
1
A. .
B. 3.
C. 2.
D. .
3
2
10 (ĐH 2012). Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai

đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở
trên một đường thẳng qua góc tọa độ và vng góc với Ox. Biên độ của M là 6 cm, của N là 8 cm. Trong
quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm. Mốc thế năng tại vị
trí cân bằng. Ở thời điểm mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng của M và động năng của
N là
16
4
3
9
A. .
B. .
C.
.
D.
.
16
3
4
9
11. Một con lắc lị xo dao động điều hịa với tần số góc  = 10 rad/s và biên độ A = 6 cm. Xác định độ
lớn của vận tốc của vật khi thế năng bằng 2 lần động năng.
A. 30,0 cm/s. B. 32,4 cm.
C. 43,5 cm/s. D. 34,6 cm/s.
12 (ĐH 2013). Một vật nhỏ khối lượng 100 g dao động điều hòa với chu kì 0,2 s và cơ năng là 0,18 J
(mốc thế năng tại vị trí cân bằng); lấy π2 = 10. Tại li độ 3 2 cm, tỉ số động năng và thế năng là
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
* Đáp án: 1D. 2D. 3D. 4C. 5A. 6B. 7A. 8A. 9B. 10C. 11D. 12A.

* Giải chi tiết:
1
1
1. W = kA2 = m2A2 = 0,5 J. Đáp án D.
2
2
T
2. Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp để động năng bằng thế năng là
 T = 4.0,05 = 0,2 (s)  
4
2
=
= 10 rad/s
T
k
 m = 2 = 0,05 kg = 50 g. Đáp án D.

3
1
1
1 1
3. Khi Wđ = W thì Wt = W  kx2 =
kA2
4
4
2
4 2
A
 |x| =
= 3 cm. Đáp án D.

2
4.  =
W=

k
= 10 rad/s; A =
m

a2

4

1
kA2 = 0,01 J. Đáp án C.
2

+

v2

2

= 0,02 m;


5. Tại vị trí có li độ x =

2
4
5

A thì Wt = W  Wđ = W. Đáp án A.
3
9
9

1
1  2  2
-3
6. W = m2A2 = m 
 A = 0,72.10 J. Đáp án B.
2
2  T 
2

7. Tần số dao động: f =

1
2

k
= 3 Hz  Động năng biến thiên tuần hoàn theo thời gian với tần số f’
m

= 2f = 6 Hz. Đáp án A.
8. Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng là

T
 T = 4.0,05 = 0,2 (s)   =
4

2
= 10 rad/s
T
 k = m2 = 50 N/m. Đáp án A.
1
1
A
1
9. Khi |a| = amax hay 2|x| = 2A  |x| =
 Wt = W
2
2
4
2
W
3
 Wđ = W  đ = 3. Đáp án B.
4
Wt
10. Khi khoảng cách giữa M và N theo
phương Ox là lớn nhất thì O1M
2
2
2
⊥ O2N (vì O1M + O2N = M’N’ ; O1 và
O2 là tâm các đường tròn lượng
giác biểu diễn các dao động của M và N).
Vậy hai dao động xM và xN
vng pha với nhau. Ở thời điểm mà M
có động năng bằng thế năng thì

cũng là thời điểm mà N có động năng
bằng thế năng, tỉ số động năng
của M và động năng của N khi đó cũng là
tỉ số giữa cơ năng của M và cơ
1
năng của N (vì động năng của mỗi vật khi đó đều bằng
cơ năng của nó):
2
1
m 2 AM2
62
WM
A2
9
. Đáp án C.
= 2
= M2 = 2 =
1
16
8
WN
A
2 2
N
m AN
2
1
1
11. Wt = 2Wđ  Wt + Wđ = 3Wđ = W  3. mv2 = m2A2
2

2
A
 |v| =
= 34,64 cm/s. Đáp án D.
3
2
1
12.  =
= 10π rad/s; W = m2A2
2
T
2W
W
A 2
A=
= 0,06 m = 6 cm; tại vị trí x = 3 2 cm =
thì thế năng bằng động năng nên d
2
2
Wt
m
= 1. Đáp án A.

5. Phương trình của dao động điều hịa.
* Cơng thức:
+ Phương trình dao động của con lắc lị xo: x = Acos(t + ).
Trong đó:  =

k
;A=

m

2

a2 v2
 v0 
+
x +  =
; con lắc lò xo treo thẳng đứng:  =
4 2
 
2
0

k
=
m

g
l0

x0
; (lấy nghiệm "-" khi v0 > 0; lấy nghiệm "+" khi v0 < 0); với x0, v0 là li độ, vận tốc tại thời
A
điểm ban đầu (t = 0).
Khi dao động điều hòa, con lắc lò xo chuyển động trên quỹ đạo là một đoạn thẳng có chiều dài: L =
2A.
+ Phương trình dao động của con lắc đơn: s = S0cos(t + ).

; cos =

2

g
a2 v2
s
v
2
+ 2 ; cos =
Trong đó:  =
; S0 = s +   =
; (lấy nghiệm "-" khi v > 0; lấy nghiệm
4
l
 
S0
 
"+" khi v < 0); với s = l ( tính ra rad) là li độ dài; v là vận tốc tại thời điểm t = 0.
+ Phương trình dao động của con lắc đơn có thể viết dưới dạng li độ góc:  = 0cos(t + ); với s = l;
S0 = 0l ( và 0 tính ra rad).
Khi dao động điều hịa, con lắc đơn chuyển động trên quỹ đạo là một cung trịn có chiều dài: L = 2S0.
* Trắc nghiệm:
1 (CĐ 2009). Chất điểm dao động điều hịa có phương trình vận tốc v = 4cos2t (cm/s). Gốc tọa độ ở
vị trí cân bằng. Mốc thời gian được chọn vào lúc chất điểm có li độ và vận tốc là
A. x = 2 cm, v = 0.
B. x = 0, v = 4 cm/s.
C. x = - 2 cm, v = 0.
D. x = 0, v = - 4 cm/s.


2 (CĐ 2010). Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x = 8cos(t + ) (cm).
4
Gốc tọa độ ở vị trí cân bằng. Gốc thời gian (t = 0) được chọn lúc chất điểm có li độ và vận tốc là
A. x = 4 2 cm và v = - 4 2 cm/s.
B. x = - 4 3 cm và v = 4 3 cm/s.
C. x = 4 cm và v = - 4 cm/s.
D. x = 8 cm và v = 0.
3 (CĐ 2013). Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox (vị trí cân bằng ở O) với biên độ 4 cm và
tần số 10 Hz. Tại thời điểm t = 0, vật có li độ 4 cm. Phương trình dao động của vật là
A. x = 4cos(20t + ) cm.
B. x = 4cos20t cm.
C. x = 4cos(20t – 0,5) cm.
D. x = 4cos(20t + 0,5) cm.
4 (ĐH 2011). Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s chất điểm thực hiện
được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm
với tốc độ là 40 3 cm/s. Lấy  = 3,14. Phương trình dao động của chất điểm là


A. x = 6 cos(20t − ) (cm) .
B. x = 4 cos(20t + ) (cm) .
6
3


C. x = 4 cos(20t − ) (cm) .
D. x = 6 cos(20t + ) (cm) .
6
3
5 (ĐH 2011). Một lò xo nhẹ treo thẳng đứng có chiều dài tự nhiên là 30 cm. Treo vào đầu dưới lị xo
một vật nhỏ thì thấy hệ cân bằng khi lò xo giãn 10 cm. Kéo vật theo phương thẳng đứng cho tới khi lị

xo có chiều dài 42 cm, rồi truyền cho vật vận tốc 20 cm/s hướng lên trên thì thấy vật dao động điều hòa.
Chọn gốc thời gian khi vật được truyền vận tốc, chiều dương hướng lên. Lấy g = 10 m/s2. Phương trình
dao động của vật là
3
A. x = 2 2 cos10t (cm).
B. x = 2 2 cos(10t − ) (cm).
4

C. x = 2 cos10t (cm).
D. x = 2 cos(10t + ) (cm).
4
6. Vật dao động điều hòa với tần số f = 5 Hz. Khi t = 0, vật có li độ x = 4 cm và vân tốc v = 125,6 cm/s.
Phương trình dao động của vật là


A. x = 4 2 cos(10t - ) (cm). B. 4cos(10t - ) (cm).
4
4

C. x = 4 2 cos(10t + ) (cm). C. 4cos10t (cm).
2
7. Một vật có khối lượng m = 400 g được treo vào lị xo có khối lượng khơng đáng kể, độ cứng k = 40
N/m. Đưa vật đến vị trí lị xo khơng biến dạng rồi thả nhẹ thì thấy vật dao động điều hịa. Chọn gốc tọa
độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc thả vật. Phương trình dao động của
vật là
A. x = 5cos(10t - ) (cm).
B. x = 10cos(10t + ) (cm).

C. x = 10cos(10t - ) (cm).
D. x = 5cos10t (cm).

2


8. Một con lắc đơn có chiều dài 1 m, dao động tại nơi có g = 2 m/s2. Kéo con lắc lệch khỏi phương
thẳng đứng một góc 0 = 0,1 rad rồi thả nhẹ. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương là chiều
vật bắt đầu chuyển động, gốc thời gian lúc thả vật. Phương trình dao động của con lắc theo li độ dài là
A. s = 0,1cost (m).
B. s = 0,1cos(t + ) (m).


C. s = 0,1cos(t + ) (m).
D. s = 0,1cos(t - ) (m).
2
2
9. Một con lắc đơn có chiều dài l = 20 cm dao động điều hòa với li độ góc nhỏ tại nơi có gia tốc trọng
trường 9,8 m/s2. Khi đi qua vị trí cân bằng vật nặng của con lắc có vận tốc 22 cm/s. Chọn gốc tọa độ tại
vị trí cân bằng, gốc thời gian lúc vật nặng đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao
động của con lắc theo li độ góc là

A.  = 0,157cos7t (rad).
B.  = 0,157cos(7t + ) (rad).
2

C.  = 0,157cos(7t - ) (rad). D.  = 0,157cos(7t + ) (rad).
2
10. Một con lắc đơn có chiều dài 20 cm treo tại một điểm cố định. Kéo con lắc lệch khỏi phương thẵng
đứng một góc 0,1 ra rồi truyền cho con lắc vận tốc 14 cm/s theo phương vng góc với dây treo về phía
vị trí cân bằng. Bỏ qua mọi ma sát. Lấy g = 9,8 m/s 2. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương
là chiều truyền vận tốc, gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động. Phương trình dao động của vật theo li độ
dài là



A. s = 2cos(7t + ) (cm).
B. s = 2cos(7t - ) (cm).
4
4
3

C. s = 2 2 cos(7t + ) (cm). D. s = 2 2 cos(7t ) (cm).
4
4
11. Một con lắc đơn treo tại nơi có g = 2 m/s2, dao động điều hịa theo phương trình  = 0,05cos 2t
(rad). Gốc thời gian đã được chọn lúc li độ góc và vận tốc của vật nặng có các giá trị
A.  = 0 rad và v = 2,5 cm/s. B.  = 0 rad và v = - 2,5 cm/s.
C.  = 0,05 rad và v = 0 cm/s. D.  = - 0,05 rad và v = 0 cm/s.
12 (ĐH 2013). Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 5 cm, chu kì 2 s. Tại thời điểm
t = 0 s vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là:


A. x = 5cos(2t - ) (cm).
B. x = 5cos(2t + ) (cm).
2
2


C. x = 5cos(t + ) (cm).
D. x = 5cos(t - ) (cm).
2
2
* Đáp án: 1B. 2A. 3B. 4B. 5B. 6A. 7B. 8B. 9C. 10D. 11C. 12D.

* Giải chi tiết:

1. Vì v = 4cos2t (cm/s) nên x = 2cos(2t - ) cm;
2

x
cos = cos(- ) =
= 0  x = 0  |v| = vmax;  < 0  v > 0.
A
2
Đáp án B.

x
2
2
2. cos = cos =
=
x=
A = 4 2 cm;
4
A
2
2

v = - 8sin = - 4 2 cm/s. Đáp án A.
4
x
3.  = 2πf = 20π rad/s; cos =
= 1   = 0. Đáp án B.
A

31,4
2
4. T =
= 0,314 = 0,1 (s)   =
= 20 rad/s.
T
100
A=

x2 +

Đáp án B.

v2



2

= 4 cm; cos =

x 1


= = cos( ); v < 0   = .
A 2
3
3

5.  =
A=

g
= 10 rad/s; khi t = 0 thì x = - 2 cm và v = 20 cm/s
l0
x2 +

v2



2

= 2 2 cm; cos =

khi t = 0 thì v > 0   = 6.  = 2f = 10 rad/s; A =
cos =

x
1
3
=−
= cos(
);
4
A
2

3

. Đáp án B.
4

x2 +

v2

2

= 4 2 cm;

x
1


=
= cos( ); v > 0   = - . Đáp án A.
4
4
A
2

mg
k
= 10 rad/s; l0 = A =
= 0,1 m; khi t = 0 thì x = - A nên  = . Đáp án B.
k
m
g
8.  =

=  rad/s; S0 = l0 = 0,1 m; khi t = 0 thì s = - S0 nên  = .
l
Đáp án B.
v
g
9.  =
= 7 rad/s; vmax = S0 = l0  0 = max = 0,157 rad; khi t = 0 thì  = 0 và v > 0 nên  =
l
l

- . Đáp án C.
2

7.  =

v2
g
= 7 rad/s; S0 = l 2 2 + 2 = 2 2 cm;

l
3
3
2
− l
cos =
== cos(
); v > 0 nên  = . Đáp án D.
4
4
2

S0

11.  = 0  cos = 1 =
 khi t = 0 thì  = 0 = 0,05 rad; vật ở vị trí biên nên v = 0. Đáp án C.
0
2

12.  =
=  rad/s; khi t = 0 thì x = 0  cos = cos( );
T
2

khi t = 0 thì v > 0   = - . Đáp án D.
2
10.  =

6. Các đại lượng trong dao động của con lắc đơn.
* Cơng thức:
+ Tần số góc; chu kỳ và tần số của con lắc đơn:
1
l
g
=
; T = 2
và f =
g
2
l
+ Thế năng: Wt = mgl(1 - cos).
1

+ Động năng: Wđ =
mv2 = mgl(cos - cos0).
2
1
+ Cơ năng: W = Wt + Wđ = mgl(1 - cos0) = m2S 02
2
1
1
v2
= m2 02 l2 = m2(2l2 + 2 ).
2
2

1
1
2
+ Khi 0  100 thì: Wt = mgl2; Wđ = mgl(  0 - 2);
2
2
1
2
W = mgl  0 ; với  và 0 tính ra rad.
2

g
.
l


Thế năng và động năng của con lắc đơn biến thiên tuần hồn với tần số góc ’ = 2; tần số f’ = 2f ;

T
chu kì T’ =
.
2
+ Vận tốc khi đi qua li độ góc : v = 2 gl (cos  − cos  0 ) .
+ Vận tốc khi đi qua vị trí cân bằng ( = 0):
|v| = vmax =
+ Khi 0  100 thì: v =

2 gl (1 − cos  0 ) .

gl ( 02 −  2 ) ; vmax = 0 gl ; với  và 0 tính ra rad.

+ Sức căng của sợi dây khi đi qua li độ góc  (hợp lực của trọng lực và sức căng của sợi dây là lực gây
ra gia tốc hướng tâm):
mv 2
T = mgcos +
= mg(3cos - 2cos0).
l
3
Khi 0  100 thì: T = mg(1 +  02 - 2).
2
+ Sức căng của sợi dây khi đi qua vị trí cân bằng, vị trí biên:
TVTCB = Tmax = mg(3 - 2cos0); Tbiên = Tmin = mgcos0.
Khi 0  100 thì: Tmax = mg(1 +  02 ); Tmin = mg(1 -

 02
2

).

* Trắc nghiệm:
1 (TN 2011). Tại cùng một nơi trên Trái Đất, con lắc đơn có chiều dài l dao động điều hịa với chu kì 2
s, con lắc đơn có chiều dài 2l dao động điều hịa với chu kì là
A. 2 s.
B. 2 2 s.
C. 2 s.
D. 4 s.
2 (CĐ 2009). Tại nơi có gia tốc trọng trường là 9,8 m/s2, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ
góc 60. Biết khối lượng vật nhỏ của con lắc là 90 g và chiều dài dây treo là 1 m. Chọn mốc thế năng tại
vị trí cân bằng, cơ năng của con lắc xấp xỉ bằng
A. 6,8.10-3 J.
B. 3,8.10-3 J.
C. 5,8.10-3 J.
D. 4,8.10-3 J.
3 (CĐ 2010). Tại một nơi trên mặt đất, con lắc đơn có chiều dài l đang dao động điều hịa với chu kì 2
s. Khi tăng chiều dài của con lắc thêm 21 cm thì chu kì dao động điều hịa của nó là 2,2 s. Chiều dài l
bằng
A. 2 m.
B. 1 m.
C. 2,5 m.
D. 1,5 m.

4 (CĐ 2011). Một con lắc đơn có chiều dài dây treo là 1 m dao động điều hịa với biên độ góc
rad
20
tại nơi có gia tốc trọng trường
g = 10m/s2. Lấy 2 = 10. Thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí
 3
cân bằng đến vị trí có li độ góc

rad là
40
1
1
A. 3 s.
B. 3 2 s.
C. s.
D.
s.
3
2
5 (CĐ 2013). Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là l1 và l2, được treo ở trần một căn phòng, dao động
l
điều hòa với chu kì tương ứng là 2,0 s và 1,8 s. Tỷ số 2 bằng
l1
A. 0,81.
B. 1,11.
C. 1,23.
D. 0,90.
6 (CĐ 2013). Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn có chiều dài l dao động điều hịa với
chu kì 2,83 s. Nếu chiều dài của con lắc là 0,5l thì con lắc dao động với chu kì là
A. 1,42 s.
B. 2,00 s.
C. 3,14 s.
D. 0,71 s.
7 (ĐH 2009). Tại một nơi trên mặt đất, một con lắc đơn dao động điều hòa. Trong khoảng thời gian t,
con lắc thực hiện 60 dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong
khoảng thời gian t ấy, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Chiều dài ban đầu của con lắc là
A. 144 cm.
B. 60 cm.

C. 80 cm.
D. 100 cm.
8 (ĐH 2009). Tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s 2, một con lắc đơn và một con lắc lò xo nằm ngang
dao động điều hòa cùng tần số. Biết con lắc đơn có chiều dài 49 cm và lị xo có độ cứng 10 N/m. Khối
lượng vật nhỏ của con lắc lò xo là
A. 0,125 kg. B. 0,750 kg.
C. 0,500 kg. D. 0,250 kg.


9 (ĐH 2010). Tại một nơi hai con lắc đơn đang dao động điều hòa. Trong cùng một khoảng thời gian,
con lắc thứ nhất thực hiện được 4 dao động, con lắc thứ hai thực hiện được 5 dao động. Tổng chiều
dài của hai con lắc là 164 cm. Chiều dài của mỗi con lắc lần lượt là
A. l1 = 100 m, l2 = 6,4 m.
B. l1 = 64 cm, l2 = 100 cm.
C. l1 = 1,00 m, l2 = 64 cm.
D. l1 = 6,4 cm, l2 = 100 cm.
10 (ĐH 2010). Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0
nhỏ. Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương đến vị trí
có động năng bằng thế năng thì li độ góc α của con lắc bằng
−0
−0


A.
.
B.
.
C. 0 .
D. 0 .
3

2
2
3
11 (ĐH 2011). Một con lắc đơn đang dao động điều hịa với biên độ góc 0 tại nơi có gia tốc trọng
trường là g. Biết lực căng dây lớn nhất bằng 1,02 lần lực căng dây nhỏ nhất. Giá trị của 0 là
A. 3,30.
B. 6,60.
C. 5,60.
D. 9,60.
12. Một con lắc đơn có chiều dài dây treo l = 40 cm, dao động với biên độ góc 0 = 0,1 rad tại nơi có
gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Vận tốc của vật khi đi qua vị trí cân bằng là
A. 20 cm/s.
B. 10 cm/s.
C. 40 cm/s.
D. 30 cm/s.
13 (ĐH 2013). Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là 81 cm và
64 cm được treo ở trần một căn
phòng. Khi các vật nhỏ của hai con lắc đang ở vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chúng các vận tốc
cùng hướng sao cho hai con lắc dao động điều hòa với cùng biên độ góc, trong hai mặt phẳng song song
với nhau. Gọi t là khoảng thời gian ngắn nhất kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo song song
nhau. Giá trị t gần giá trị nào nhất sau đây
A. 2,36 s.
B. 8,12 s.
C. 0,45 s.
D. 7,20 s.
* Đáp án: 1B. 2D. 3B. 4C. 5A. 6B. 7D. 8C. 9C. 10B. 11C. 12A. 13C.
* Giải chi tiết:
2l
l
1. T’ = 2

= 2
2 = T 2 = 2 2 s. Đáp án B.
g
g

1
mgl  02 = 4,84.10-3 J. Đáp án D.
2
0,21
T'
l + 0,21
3.
= 1,1  l = 2
= 1 m. Đáp án B.
=
1,1 − 1
T
l
2. 0 = 60 = 0,1047 rad; W =

4. T = 2

l
 3
= 2 s;  =
rad =
40
g

3 0

.
2

Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng ( = 0) đến vị trí có  =
5. T1 = 2π

T
l
l
l1
l
; T2 = 2π 2  2 = 2 = 0,9  2 = 0,81.
g
g
l1
T1
l1

Đáp án A.
l
l'
l'
6. T = 2π
; T’ = 2π
 T’ = T
= T 0,5 = 2 s. Đáp án B.
g
g
l

l
l + 0,44
= 50.2
g
g
 36l = 25(l + 0,44)  l = 1 m. Đáp án D.
k
g
kl
8.  =
m=
= 0,5 kg. Đáp án C.
=
g
m
l
7. t = 60T = 50T’  60.2

l1
1,64 − l1
= 5.2
g
g
 16l1 = 25(1,64 – l1)  l1 = 1 m; l2 = 0,64 m. Đáp án C.

9. t = 4T1 = 5T2  4.2

T
1
3 0

là
= s. Đáp án C.
3
6
2


10. Vị trí động năng bằng thế năng có || =

0 2 0
=
; con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều
2
2

0
. Đáp án B.
2
2
11. Tmax = mg(1 +  02 ) = 1,02Tmin = 1,02mg(1 - 0 )
2
1,02 − 1
 0 =
= 0,115 rad = 6,60. Đáp án B.
1 + 0,51
dương về phí vị trí cân bằng thì  = -

12.  =

g

= 5 rad/s; v = vmax = l0 = 20 cm/s. Đáp án A.
l

g
g
5
10
=
rad/s; 2 =
=
rad/s.
4
9
l1
l2
Chọn t = 0 lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì phương trình dao động của các con lắc
theo li độ góc là
5
10


1 = 0cos(
t - ) (rad) và 2 = 0cos(
t - ) (rad).
4
2
2
9
Hai dây treo song song khi hai con lắc có cùng li độ góc: 1 = 2
5

10


 0cos(
t - ) = 0cos(
t- )
4
2
2
9
5
10


 cos(
t - ) - cos(
t- )=0
4
2
2
9
5 t
85 t 
85 t 
 - 2sin(
- )sin
= 0  sin(
- )=0
36
2

2
72
72
108 144
36 144
 t=
+
k hoặc t =
+
k;
85
85
85
85
5 t
72
72
36
hoặc sin
=0t=
k hoặc t =
+
k.
36
5
5
5
Nghiệm dương nhỏ nhất trong 4 họ nghiệm này là t = 0,4235 s.
Đáp án C.
13. 1 =

7. Con lắc đơn chịu thêm các lực khác ngồi trọng lực.
* Cơng thức:
+ Nếu ngồi lực căng của sợi dây và trọng lực, quả nặng của con lắc đơn còn chịu thêm tác dụng của
→

→

→

→

ngoại lực F khơng đổi thì ta có thể coi con lắc có trọng lực biểu kiến: P ' = P + F và gia tốc rơi tự do
→

→

→

F
l
biểu kiến: g ' = g + . Khi đó: T’ = 2
.
g'
m
+ Các lực thường gặp:
→

→

→

→

Lực điện trường F = q E . Lực quán tính: F = - m a .
+ Các trường hợp đặc biệt:
→
→
→
F
F có phương ngang ( F ⊥ P ) thì g’ = g 2 + ( ) 2 ; vị trí cân bằng mới lệch so với phương thẳng đứng
m
a
F
một góc  với tan =
= .
P
g
→
F

F có phương thẳng đứng hướng lên thì g’ = g ; vật chịu lực đẩy Acsimet: g’ = g(1 - mt ).
m
 vat
→

F có phương thẳng đứng hướng xuống thì g’ = g +

F
.

m