Hsg hình học 7

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 7
0

Bài 1: Cho  ABC có A  90 , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB,
AE vuông góc và bằng AC, CMR: DC=BE và DC vuông góc BE
E
HD:

  900 DAC

BAE
A
1
D
Ta có:

ABE ADC  c. g.c 

1

=>
=>BE=CD (Hai cạnh tương ứng)
Gọi I là giao của CD với AB, G là giao của CD với BE
 B

AEB ACD  c. g.c   D
1
1
Từ
  I B
  I 900

D
1
2
mà 1 1
=> BG  IG  CD  BE

A
1
1

I

2

G

1

C

B

Bài 2: Cho  ABC có góc A nhọn, về phía ngoài tam giác ABC vẽ  BAD vuông cân tại A và  CAE
vuông cân tại A, CMR:
a, DC=BE và DC vuông góc với BE
E
2
2
2
2

b, BD  CE BC  DE
1
c, Đường thẳng qua A và vuông góc với DE cắt BC tại K,
CMR: K là trung điểm của BC
Q
HD:
2

2

2

2

2

2

b, Ta có: CE ME  MC ; DB MD  MB
D
DE 2 MD 2  ME 2  BC 2 MB 2  MC 2
BD 2  CE 2  MD 2  MB 2    ME 2  MC 2 
=>
BC 2  DE 2  MB 2  MC 2    MD 2  ME 2 
=>
2
2
2
2
=> BD  CE BC  DE

c, Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP=DE,



Ta cm: ADE CPA (c.g.c) vì A2 E1 ( cùng phụ QAE )
0




=> CP  AD  CP  AB, và DAE PCA  PCA  BAC 180


Mà BAC , PCA là hai góc trong cùng phía nên AB// PC
 A
 ; ABC

  KAB KPC
 P
C
1
1
1
( g.c.g) => KB = KC

A
1 2

M

B

K

1

C

1

P

Bài 3: Cho  ABC. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các  ABM và  CAN vuông cân ở A, Gọi D, E, F
lần lượt là trung điểm của MB, BC và CN, CMR:
N
a, BN=CM
b, BN vuông góc với CM
c,  DEF là tam giác vuông cân
M
HD:
A

c, D là trung điểm của BM, E là trung điểm của BC

1
 DE  MC
2
Nên DE là đường trung bình của  BMC

1

F

I

D

B

E

C


1
EF  BN
2
Và DE//MC, tương tự:
và EF//BN, =>  DEF cân tại E
 MC  BN
 DE  BN
 BN  DE
 DE  EF


MC
/
/
DE
BN

/
/
EF
Lại có: 
, và 
Bài 4: Cho  ABC nhọn, trên nửa mp bờ AB không chứa C, dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và
AD= AB, trên nửa mp bờ AC không chứa B, dừng AE vuông góc AC và AE=AC, vẽ AH vuông góc với
BC, đường thẳng HA cắt DE ở K, CMR: K là trung điểm của DE
H

HD:
Trên AK lấy điểm H sao cho AH=BC
 C

A
A
1 Vì cùng phụ với góc
2
Ta có: 1
EHA ABC  c.g.c 
Nên
 AB HE ( Hai cạnh tương ứng)

E

1
K
D

1

3A 1



Và HEA BAC ,

2

0
0




Mà : BAC  DAE 180  HEA  DAE 180

Do đó : AD//HE
KAD KHE  g.c.g   KD KE
Khi đó :

1

1

B

C

H

0

Bài 5: Cho  ABC có A  90 , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB,
AE vuông góc và bằng AC, Gọi M là trung điểm của DE, kẻ MA, CMR: MA vuông góc với BC

HD:
Gọi H là giao điểm của AM và BC
Trên AM lấy điểm F sao cho MA= MF
AME FMD  c.g.c   AE DF

F
D
M

0


=>DF//AE=> FDA  DAE 180

E

1

A

0





Mà: DAE  BAC 180  FDA BAC
 B

 FDA CAB  c.g.c   A
1
1

2

  A 900  A  B
 90 0
A
2
2
1
Mà 1
=> AHB vuông tại H

1
C

B

H

N
0

Bài 6: Cho  ABC có A  90 , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB,
AE vuông góc và bằng AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC, CMR: HA đi qua trung D

điểm của DE
M
HD:

Tia AH cắt DE tại M, trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BC
Khi đó:  DNA=  ACB (c.g.c)


=>ND=AC và NDA CAB

E
A 1
2

2
1
C

H

B


0
0




Mà CAB  DAE 180  NDA  DAE 180 => AE//ND

Khi đó:  AME=  NMD ( g.c.g)
=> ME=MD hay M là trung điểm DE

Bài 7: Cho  ABC có ba góc nhọn, đường cao AH, ở miền ngoài tam giác ta vẽ các tam giác vuông cân
 ABE và  ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông, kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH, (M, N thuộc
AH)
a, CMR: EM+HC=NH
M
b, EN//FM
1
HD:

E

1

F

a, Chứng minh  FNA=  AHC (Cạnh huyền góc nhọn)
nên FN=AH và NA=CH
(1)
Chứng minh  AHB=  EMA (Cạnh huyền góc nhọn)
=> AH=ME,
Nên EM+HC=AH+NA=NH( đpcm)
b, Từ AH=FN =>ME=FN


=>  FNM=  EMN (c.g.c) => M1 N1
Vậy EN//FM

N

1

A1
3

2

1

C

B

H

0

Bài 8: Cho  ABC có A  90 , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB,
AE vuông góc và bằng AC, Gọi H là trung điểm của BC, CMR: HA vuông góc với DE
D
HD :
1

Trên AH lấy N sao cho AN=ED

M

AED BNA  c. g.c   BN  AE  AC

=>
,
N E



1
1 và EAD  NBA
0
0




Mà EAD  CAB 180  NBA  CAB 180  AC / / BN




=> N1  A2 (so le trong) => E1  A2
0
0




Mà A2  MAE 90  E1  MAE 90  AM  EM

E

1

A
2 1

1

C

B

H

M

1

N
E
0

Bài 9: Cho  ABC có A  90 , vẽ ra phía ngoài các tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông
góc và bằng
N
AB, AE vuông góc và bằng AC
a, CMR: DC=BE và DC vuông góc BE
b, Gọi N là trung điểm của DE, trên tia đối của tia NA, lấy M sao cho DNA=NM,
CMR: AB=ME và  ABC =  EMA
A

c, CMR: MA  BC
HD:

3
C

B
H


Tự chứng minh, giống các bài trên

Bài 10: Cho  ABC, trung tuyến AM, vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác vuông cân ở A là  ABD và
 ACE
E


 DAE
a, Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF=AM, CMR: ABF
b, CMR: DE 2. AM
HD:


AMC FMB  c. g.c   CAM
BFM
 AC / / BF
a, Cm:
D
A
0



Do đó: ABF  BAC 180
(1)
0
0




Và DAE  BAC 180 , do DAB  EAC 180
(2)


DAE
Từ (1) và (2) ta có: ABF

ABF DAE  c. g.c   AF CE

0

Bài 11: Cho  ABC có A  120 , Dừng bên ngoài các tam giác đều ABD, ACE

a, Gọi M là giao điểm của BE và CD, Tính BMC
b, CMR: MA+MB=MD


c, CMR: AMC BMC
HD:
 E


ADC ABE  c. g.C   C
1
1
A
a, Ta có :
1
Gọi N là giao điểm của AC và BE
Xét ANE và MNE có :
D
N  N
 ,E
 C
  A  M
 600  M
 1200

1

2

1

1

1

1

2

P

0

=> BMC 120
b, Trên tia MD lấy điểm P sao cho MB=MP
B
0

=> BMP đều=> BP BM , MBP 60



ABD
600  MBA
PBD
 PDB MBA  c.g.c 
Kết hợp với
=> AM DP => AM  MB DP  PM DM




BPD
1200  BMA
1200 =>
c, Từ PBD MBA  AMB DPB , mà
AMC 1200  AMC



BMC

4

C

M

B

b, Chứng minh:
Ta có: AF 2. AE  DE 2. AM

M

2

F

E
1

1
2

N

1
1

C


Bài 12: Cho  ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM, trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng
AB, vẽ AE vuông góc với AB và AE=AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B vẽ AD vuông góc với
AC và AD=AC
A
a, CMR: BD=CE
b, Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN=MA,
CMR :  ADE=  CAN
E
AD 2  IE 2
1
2
2
I
c, Gọi I là giao của DE và AM, CMR: DI  AE
D
HD:
a, Chứng minh

ABD AEC  c.g .c 

B

=> BD=EC

C

M

CMN BMA  c. g .c 

b, Chứng minh
=>CN=AB
ABC  NCM

DAE DAC




 BAE  BAC
900  900  BAC
và
, có:
0

= 180  BAC
(1)
0






Và ACN  ACM  MCN  ACB  ABC 180  BAC (2)

N

ADE CAN  c. g .c 


Từ (1) và (2) ta có: DAE  ACN => CM :


ADE CAN  cmt   ADE
CAN
c,
0
0
0






mà DAN  CAN 90  DAN  ADE 90 Hay DAI  ADI 90  AI  DE
Áp dụng định lý py-ta-go cho AID và AIE có:

AD 2  DI 2  AE 2  EI 2  AD 2  EI 2  AE 2  DI 2



AD 2  IE 2
1
DI 2  AE 2

Bài 13: Cho  ABC nhọn, AH là đường cao, về phía ngoài của tam giác vẽ các  ABE vuông cân ở B và
 ACF vuông cân tại C, Trên tia đối của tia AH, lấy điểm I sao cho AI=BC. CMR:
a,  ABI=  BEC
b, BI = CE và BI vuông góc với CE
I
c, Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại 1 điểm
HD :
0


a, Ta có : IAB  A1 180 ,
0





Mà EBC EBA  ABC  EBC  A1 180


IAB
EBC
 IAB EBC  c.g.c 
Nên


b, Vì IAB EBC  ABI BEC





 BEC
 EBI
 ABI
 EBI
90 0

A
F

1 2

E

Nên BI  EC
c, Chứng minh tương tự: BF  AC ,
Trong IBC có AH, CE,BF là đường cao
Nên đồng quy tại 1 điểm.

1

B

H

C

Bài 14: Cho  ABC đường cao AH, vẽ ra ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân  ABD,  ACE cân
tại B và C

a, Qua điểm C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt HA tại K, CMR : DC  BK
b, 3 đường thẳng AH, BE và CD đồng quy

5


HD :
K

0




0


a, Ta có: BCE BCA  90 => BCE  A1 180  BCE CAK



Và C1 E1 ( cùng phụ với góc C2 )
=>  ECB=  CAK (g.c.g)=> AK=BC
Chứng minh tương tự ta có :


 DBC=  BAK => C3 K 2
  CIH

  KIM


C
K
900
2
Mà : 3
=> KM  MI hay DC  BK

b,  KBC có ba đường cao nên đồng quy.

D

2

1

A

2

1

M

I

1
3

1

B

6

1

H

2

C

E


Bài 15: Cho  ABC cân tại A, trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho BM=MN=NC, Gọi H
là trung điểm của BC
a, CMR: AM=AN và AH vuông góc với BC
A
b, Tính độ dài AM khi AB=5cm, BC=6cm



c, CM: MAN  BAM CAN
HD:
a, Cm: ABM ACN  AM  AN
0



=> AHB  AHC 90

B

2
2
2
b, Tính AH  AB  BH 16  AH 4
2
2
2
Tính AM  AH  MH 17  AM  17

M

H

C

N

c, Trên AM lấy điểm K sao cho AM=MK
=>

AMN KMB  c. g.c 



=> MAN  BKM và AN=AM=BK
Do BA>AM=>BA>BK






=> BKA  BAK  MAN  BAM CAN

K

Bài 16: Cho  ABC cân tại A, trung tuyến AM, trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB
lấy điểm E sao cho BD = CE
a, CMR :  ADE cân tại A



b, CM: AM là phân giác DAE
c, Từ B và C hạ BH, CJ theo thứ tự vuông góc với AD và AE, CMR:  AHB=  AKC
d, CM: HK//DE
e, Gọi I là giao điểm của HB và AM, CM: AB vuông góc với DI
f, CM: HB, AM và CK cùng đi qua 1 điểm
A
HD:
0

2
1
 180  HAE
H
1
2

d, AHK cân tại A, nên
0

 180  HAE
D
1
H
2
ADE cân tại A nên 1
 
Mà H1; D1 là hai góc đồng vị nên HK//DE
1
D

e, ADI có hai đường cao là HI và DM
cắt nhau tại B nên B là trực tâm, do đó AB  DI
f, Điểm I nằm trên đường trung trực của DE nên ID=IE






Do đó : ADI  AEI  A1  ADI  A2  AEI  AC  IE
 AIE có hai đường cao là AC và ME cắt nhau tại C nên
IC  AE, mà CK  AE nên I, C, k thẳng hàng,
Hay ba đường thẳng HB, AM, CK đồng quy

7

2

B

M

I

K

1

C

2

E


 A  90  , trên cạnh BC lấy hai điểm D và E
0

Bài 17: Cho  ABC cân tại A

BH  AD, CK  AE  H  AD, K  AE 
sao cho BD=DE=EC. Kẻ
, BH cắt CK tại G, CM:

a, ADE cân
A

b, BH=CK
c, Gọi M là trung điểm của BC, CM: A, M, G thẳng hàng
d, CM: AC> AD



g, CM: DAE  DAB
HD:
c, Vì AB=AC nên A nằm trên đường trung trực của BC
Tương tự cho G nằm trên đường trung trực của BC
Do đó: A, M, G thẳng hàng

d,  CEK vuông tại K nên E1 là góc nhọn

Khi đó E2 là góc tù => AC > AE = AD
g,

M

B

D

E

H

2
1

C

K
G

Bài 18: Cho  ABC cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm D và E sao cho BD=CE ( D nằm giữa B và E)
a, CMR:  ABD=  ACE
A
b, Kẻ DM  AB và EN  AC, CMR : AM=AN
0

c, Gọi K là giao điểm của đường thẳng DM và EN, BAC 120 ,
M

CMR  DKE đều
HD:

N

2

B

1

1

D







c, Vì B C  D1 E1 E2 ,
0
0
0
 




Mà B  C 60  B C 30  E1 D1 60
Vậy  KDE đều



0

E

C

K

 

Bài 19: Cho  ABC có góc A 90 , B, C nhọn, đường cao AH, vẽ các điểm D và E sao cho AB là trung
trực HD, AC là trung trực của HE, Gọi I, K lần lượt là giao của DE với AB, AC

a, CMR:  ADE cân tại A


A
E
b, Tính số đo AIC , AKB
HD:
K
2
a, Chứng minh AD=AH, và AH=AE
1
5
I 4
=>AD=AE=>  ADE cân tại A
G
1 2 3
b,  IHK có IB là tia phân giác góc ngoài và
KC là tia phân giác góc ngoài cắt nhau tại A
D
Nên AH là tia phân giác góc trong,
1 2

 H

IHK


H
1
2

hay AH là tia phân giác góc
B
C

8

H
y
x


Lại có:
 H
 ,H
 H
  KHC


  KHC

H
 CHx
1800 , H
900
1
2
1
2
2



 KHC
CHx
=> HC là tia phân giác góc ngoài  IHK
KC là tia phân giác góc ngoài  IHK

I  I 4  I 3  I 2 900 hay AIC
900
=> IC là tia phân giác góc trong hay 3
0

Chứng minh tương tự AKB 90
Bài 20: Cho  ABC cân tại A và cả ba góc đều là góc nhọn
a, Về phía ngoài của tam giác vẽ  ABE vuông cân ở B, Gọi H là trung điểm của BC, trên tia đối của tia
AH lấy điểm I sao cho AI=BC, CMR:  ABI=  BEC và BI  CE




b, Phân giác của ABC , BDC cắt AC và BC lần lượt tại D và M, Phân giác BDA
cắt BC tại N, CMR:
1
BD  MN
2
HD:
I

0








b, Do D1 D4 D2  D3  D4 D2  D5 90 => DM  DN
Gọi F là trung điểm của MN, ta có: FM=FD=FN



 FDM cân tại F nên FMD D3  D4

 D

FMD
B
1
5 (Góc ngoài của  BDM)


=> B1 D4
(1)

A








Ta có: ACB  ABC 2.B1 , mà ACB D4  F (2)
E


Từ (1) và (2) suy ra: B1 F

1 D
2
5 3 4

K

1
BD  DF  MN
2
hay  DBF cân tại D, do đó:

1

B

H M

C

N

F

Bài 21: Cho  ABC có AB=AC, và M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia
đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE
a, CMR:  ABM=  ACM, từ đó suy ra AM  BC
N

b, CMR:  ABD=  ACE, từ đó suy ra AM là phân giác góc DAE
c, Kẻ

BK  AD  K  AD 

, trên tia đối của tia BK lấy điểm H sao cho BH=AE, trên tia đối của tia AM
3 A


 MBH
lấy điểm N sao cho AN=CE, CMR: MAD
2 1
d, CMR: DN  DH
HD:


 1800
 MAD
A
 MBK


3
 A
B


3
2
0

 MAD  MBK 180
c, Ta có:

K
D

3
2

B

1

M

C

9
H

E


 B
 1800

B
2
1


0



 A3  MAK 180  MAK B1


 A3 B2
Mà
d, Chứng minh BDH AND (c.g.c)


=> ADN H
0
0




Mà H  HDK 90  NDA  ADH 90  DN  DH

Bài 22: Cho  ABC cần tại A, trên BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE,
các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M và N
a, CMR: DM=EN
b, Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN

c, Đướng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên BC
HD:

A

b, Chứng minh IDM IEN (cạnh góc vuông-góc nhọn)
=> IM=IN
c, Gọi H là chân đường vuông góc kẻ tử A xuống BC,
O là giao AH với đường vuông góc MN tại I
Nên O nằm trên đường trung trực của BC


OAB OAC  c.c.c 
CM:
=> ABO  ACO


Mặt khác OBM OCN (c.c.c) => OBM OCN

M
I

1
0

180


OCN
OCA


900
2
Như vậy
hay OC  AN
Do AC cố định, AH cố định nên O cố định
Vậy đường thẳng vuông góc với MN tại trung điểm I
luôn đi qua O cố định

B

D

1

C

E

2

H

N

O

A

Bài 23: Cho  ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD=CE,

kẻ DH và EK vuông góc với đường thẳng BC ( H và K thuộc đường thẳng BC)
a, CM:  BDH=  CEK, từ đó suy ra BC= HK
b, DE cắt BC tại I, CM I là trung điểm của DE
D
c, So sánh BC và DE
d, Chứng minh chu vi của  ABC < chu vi  ADE
HD :
a,  BHD=  CEK ( cạnh huyền –góc nhọn)
=> BH CK  BC BH  HC CK  HC HK
b,  DHI=  EKI ( cạnh góc vuông- góc nhọn)
=> ID = IE

B

10

H

I

C

K

E


c, Ta có: BC=HK mà HK=HI+IK
 HI  DI
 HK HI  IK  DI  IE DE


IK  IE

Lại có:
=> BC < DE
d, Chu vi của  ABC là:
AB+AC+BC=2AB+BC

Chu vi của ADE là :
AD+AE+DE=AD+(AC+CE)+DE
=AD+(AC+BD)+DE=(AD+BD)+AC+DE=2AB+DE
Mà BC < DE => CABC  CADE





Bài 24: Cho  ABC có B  C , kẻ AH  BC
a, So sánh BH và CH
b, Lấy điểm D thuộc tia đối của tia BC sao cho BD=BA, lấy điểm E thuộc tia đối của tia CB sao cho





CE=CA, CM: ADE  AED từ đó so sánh AD và AE
c, Gọi G và K lần lượt là trung điểm của AD và AE, đường BG là các đường gì đối với  ABD?


d, Gọi I là giao điểm BG và CK, CM AI là phân giác góc BAC

e, CM đường trung trực của DE đi qua I
HD:

A

 
a, Vì B  C  AC  AB  HC  HB
G
 2.D

 B
1
1
2

1
3
1

C1 2.E1
B
H
D
b,




Mà B1  C1  D1  E1  AE  AD
c,  ABD cân tại B nên BG vừa là đường phân giác

vừa là đường cao vừa là trung tuyến
và cũng là đường trung trực của  ABD


d, Ta có: B2 B3  BG là phân giác góc ngoài  ABC
 C
 
C
2
3
CK là phân giác góc ngoài của  ABC
Mà BG cắt CK tại I nên AI là phân giác góc trong của  ABC
e, Chứng minh ID = IA, IA = IE => I nằm trên đường trung trực của DE

K

1

2

3

1

E

C

I

Bài 25: Cho  ABC, đường trung tuyến BD, trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE=DB, gọi M,N
theo thứ tự là trung điểm của BC và CE, Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của AM, AN với BE, CMR:
BI=IK=KE
A
E
HD:
I là trọng tậm của  ABC nên

K

N

D

11
B

I
M

C


2
BI  BD
3
tương tự K là trọng tâm của  ACE nên:
2
KE  DE
3

mà BD=DE=> BI=KE
Ta lại có
1
1
1
1
2
ID  BD, DK  DE  IK  BD  DE  BD KE
3
3
3
3
3
, Vậy BI=IK=KE

Bài 26: Cho  ABC, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, trên tia đối của tia NM, lấy điểm
D sao cho NM=ND
a, CMR:  AMN=  CDN=> MB=CD
A
1
b, CMR: MN//BC và MN= 2 BC
1
c, CMR: BD đi qua trung điểm của MC
HD:

M

A,  AMN =  CDN ( c.g.c) => CD=AM=MB



Và A1 C1  AB / /CD
B,  DCM=  BMC (c.g.c)
1
1
MN

MD

BC


 M1 C2  MN / / BC và
2
2
C, Gọi I là giao của BD và MC
 IMB ICD (g.c.g) => IM = IC

N

1

D
I

B

1
2

C

Bài 27: Cho  ABC đường trung tuyến AI, trên tia dối của tia IA lấy điểm D sao cho ID=IA, Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AC và CD, Gọi E, F lần lượt là giao của BN với AD
CM: AE=EF= FD
A
HD:
1
1
M
EI  AE  AI
2
3
 ABC có E là trọng tâm nên
1
1
E
IF  ID  AI
C
3
3
 BCD có F là trọng tâm nên
I
1
1
2
2
EF EI  IF  AI  ID  AI  ID
B
3
3

3
3
Nên
N
F
Vậy AE=EF=FD

12

D


Câu 28: Cho  ABC vuông tại A , K là trung điểm của BC, trên tia đối của tia KA lấy D sao cho KD=KA
a, CMR : CD//AB
b, Gọi H là trung điểm của AC, BH cắt AD tại M, DH cắt BC tại N, CMR :  ABH=  CDH
c, CMR :  HMN cân
B
D
HD:
a, Xét ABK và DCK có :


BK=CK (gt), BKA CKD (đối đỉnh) và AK=DK(gt)


=>  ABK=  DCK(c.g.c) => DCK  DBK ,
0
0






mà ABC  ACB 90  ACD  ACB  BCD 90



K
N

M
A

C

H



0

=> ACD 90  BAC  AB / /CD( AB  AC , CD  AC )
b, Xét hai  ABH và  CDH vuông có: BA=CD( Do  ABK=  DCK)
AH=CH=>  ABH=  CDH (c.g.c)
c, Xét hai tam giác vuông  ABC và  CDA có :
0





AB=CD, ACD 90  BAC , AC là cạnh chung =>  ABC=  CDA(c.g.c) => ACB CAD


mà AH=CH(gt) và MHA  NHC (Vì  ABH=  CDH)
=>  AMH=  CNH (g.c.g) => MH=NH. Vậy  HMN cân tại H
Bài 29: Cho  ABC, M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA.
CMR:
a, AC=EB và AC//BE
b, Gọi I là 1 điểm trên AC, K là 1 điểm trên EB sao cho AI=EK, CMR: I, M, K thẳng hàng
0
0




c, Từ E kẻ EH vuông góc với BC , biết HBE 50 , MEB 25 , Tính HEM , BME
A
HD:
I



a, AMC EMB có AM=EM(gt)=> AMC EMB (đ2)

AMC EMB  c. g .c 

BM=MC(gt) nên
=>AC=EB



Vì AMC EMB  MAC  MEB  AC / / BE
b, Xét AMI và EMK có AM=EM(gt)

B

M

H

C



MAI
MEK
, AI EK ( gt )  AMI EMK (c.g.c)
0
0





=> AMI EMK
, mà AMI  IME 180  EMK  IME 180
K
Vậy I, M, K thẳng hàng
E
 900 , HBE




BHE H
500 HBE
900  HBE
400
c, Trong
F
0
0
0
HEM HEB


 MEB 40  25 15
=>
0
0
0




BME
là góc ngoài tại đỉnh M của HEM nên BME HEM  MHE 15  90 105





E

I

Bài 30:  ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM, trên tia đối của tia MA lấy điểm D Sao cho
DM=MA, trên tia đối của CD lấy I sao cho CI=CA, Qua I vẽ đường thẳng songA song với AC, cắt AH tại
E, CMR : AE =BC
HD:
M
Đường thẳng AB cắt EI tại F,
C
B

13

H

D


ABM DCM , vì:



AM=DM(gt), MB=MC(gt) và AMB DMC (đ2)




=> BAM CDM  FB / / ID  ID  AC và FAI CIA (so le) (1)



IE / / AC  FAI
CIA
(2)

CIA

FIA
Từ (1) và (2) =>
vì có AI chung
IC

AC

AF
=>
(3)
0

Và EFA 90
(4)


 BAH
Mặt khác : EAF
(đ2)






BAH
 ACB
( cùng phụ ABC ) => EAF  ACB
(5)
Từ (3),(4) và (5) ta có : AFE CAB  AE  BC
Bài 31: Cho  ABC có trung tuyến AD, đường thẳng qua D và song song với AB cắt đường thẳng qua B
song song với AD tại E, AE cắt BD tại I, Gọi K là trung điểm của đoạn EC
A
a, CMR :  ABD =  EDB
b, IA=IE
1
c, Ba điểm A, D, K thẳng hàng
HD:
a,  ABD=  EDB (g.c.g)
b,  AIB=  EID (g.c.g) =>AI=EI
2
D
1
B 2
2
1
I
DC  IC
3
c,  AEC có CI là trung tuyến và
Nên D là trọng => AD là đường trung tuyến => AD đi qua K
K
Hay A, D, K thẳng hàng

C

1

E AC cắt đường
Bài 32: Cho  ABC vuông tại A, trung tuyến AM, đường thẳng qua B và song song với
thẳng AM tại D, CM:
A
a,  BMD=  CMA

1
AM  BC
2
b,  AMC cân từ đó suy ra
HD:

B

C

M

a,  BMD=  CMA (g.c.g)
b,  ABC có đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền
1
AM  BC
2
Nên

D

Bài 33: Cho  ABC cân tại A, Từ A hạ AH vuông góc với BC, Trên tia đối của HA lấy điểm M sao cho
HM=HA, Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN=BC
a, Chứng minh C là trọng tâm của  AMN
A
b, Gọi I là trung điểm của MN, CMR: A, C, I thẳng hàng
HD:
1
1
HC  BC  CN
2
2
a, HB=HC =>

B

H

14

N

C

I
M


CN 2

  C
NH 3
là trọng tâm  AMN
b, Vì C là trọng tâm  AMN
=> AC là đường trung tuyến ứng với MN
=> AC đi qua I hay A, I, C thẳng hàng


Bài 34: Cho  ABC (ABMA=MD
a, CMR:  ABM=  DCM
b, CMR: AC//BD
c, Trên nửa mp bờ AD không chứa B, vẽ tia Ax //BC trên tia Ax lấy điểm H sao cho AH=BC,
CMR: H, C, D thẳng hàng
HD:
x

A

a,  ABM =  DCM (c.g.c)
b, =>  AMC=  DMB (c.g.c)


=> A1 D1  AC / / BD

H

2 1

c,  HAC =  BCA (c.g.c)

 AB / / HC
 

 AB / /CD
H, C, D thẳng hàng.

1

B

3

1

M

2

C

1

D



0





Bài 35: Cho  ABC có B  90 , B 2.C , kẻ đường cao AH, trên tia đối cảu tia BA lấy điểm E sao cho
BE =BH, đường thẳng HE cắt AC tại D


a, CMR: BEH  ACB
b, CMR: BH=DC=DA
A
c, Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’, CMR:  AB’C cân
d, CMR: AE=HC
1
HD:
 H

E
D
1
a, BEH cân tại B nên

 H
 2.E





ABC
E
1

, mà ABC 2.C  BEH  ACB
b, CM DHC cân tại D, nên DC DH
2
1
C
DAH 900  C
 900  H
 DHA

B
H
B'
2
DHA có
Nên DAH cân tại D=> DA=DH
E



c, ABB ' cân tại A nên B ' B 2.C
 '  A  C
  2.C
 A
 C
  C
 A
  AB ' C
B
1
1

1
=>
cân tại B’
d, AB=AB’=CB’, BE=BH=B’H

15


Có AE=AB+BE, HC=CB’+B’H=>AE=HC



Bài 36: Cho  ABC có góc B là góc nhọn, và B 2.C , Dựng đường cao AH, trên tia đối của tia BA lấy
điểm E sao cho BE=BH, CMR:
A


a, BHE C
1
b, Đường thẳng EH di qua trung điểm AC
HD:
M


B
a, Ta có: 1 là góc ngoài của BEH
B
 E
 H
 2.H

 2.C
  H
 C

B
1
1
1
=>
b, Giả sử EH cắt AC tại M
E
 H

H
2 (đ2)=> MHC cân
=> 1
 H
 900 , A  C
 900  A
 H
 900
H
3
1
1
2
Lại có : 2
A  H
  AMH
3

=> 1
cân=> MA=MH=>MA=MH=MC

3

1
1

2

C

H

0



Bài 37: Cho  ABC có B  90 và B 2.C , kẻ đường cao AH, trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao
cho BE=BH, đường thẳng HE cắt AC tại D


a, CMR: BEH  ACB
b, CMR: DH=DC=DA
c, Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’, CMR:  AB’C cân
HD:

a, Ta có:

 E

 H
 2.E





B
1
1
1
1 , mà B1 2.C  E1 C
3

 H
 H
 C
  DH DC
E
1
1
2

b, Ta có :
A  C
 900 , H
 H
 900  H
 C
 900

1
3
2
3
mà 1
A H
  DA DH
3
=> 1
Vậy DA=DH=DC
 B
 ' B
 ' AC  B
 'CA 2C
  B
 ' AC C

B
1
c, ABB ' cân => 1
=> AB ' C cân
Bài 38: Cho  ABC vuông tại A, K là trung điểm của BC, qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK,
đường thẳng này cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt ở D và E, Gọi I là trung điểm của DE
a, CMR : AI vuông góc với BC
A
b, Có thể nói DE< BC được không?
HD:
a, ADE vuông tại A có đường trung tuyến AI
=> AIE cân tại I
A  E

 ,C
 CAK

1
và ACK cân tại K=> 1
  CAK

 C
 900  AH  CK
E
900  A
1
1
mà
b, Để so sánh DE với BC
ta so sánh IE với CK và AI với AK
AKI vuông => AI AK=>DE=BC khi K trùng với I
hay ABC vuông cân tại A

16

D
C
H

K
I

E

B


Bài 39: Cho  ABC (AB >AC), M là trung điểm BC, đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân
giác góc A tại H cắt hai tia AB và AC lần lượt ở E và F, CMR:
A
EF 2
 AH 2  AE 2
a, 4



b, 2.BME  ACB  B
c, BE=CF
HD:
1
C
a, AFH vuông tại H
2
2
2
=> HF  AH  AF

(1)
EF
AHE AHF  HF 
, AE  AF
2
mà
2

 FE 
2
2

  AH  FA
2

Thay vào (1) => 

1

E


 F

E
C
b, Ta có: 1
, ta có: CMF có 1 là góc ngoài nên :
 CMF

  CMF

  F

C
F
C
1

M
2

1

1

H

D

F

B

1


BME có E1 là góc ngoài
=>



 

 E
  B
  2.M
 M

 M
 C
  F
  E
  B

M
2
1
2
1
2
1
1

 => 2.M

2

  B

C
1

BME CMD  g.c. g   BE CD

c, Từ C vẽ CD//AB=>
 D
  D
 F

  CDF
E
1
1
mà 1
cân => CF=CD
Từ (1) và (2) => BE=CF

(1)
(2)

Bài 40: Cho  ABC có ABphân giác góc A, cắt tia này tại N, cắt AB tại E và cắt AC tại F, CMR:
a, AE=AF
b, BE=CF
AB  AC
AE 
2
c,
HD:
a,  AEF có AN vừa là tia phân giác vừa là đường cao nên
 AEF cân tại A => AE=AF
b, Từ B kẻ đường thẳng // AC cắt EF tại I
 ,F
 E
  I E
  BEI
I  F
1
1

1
1
1
Khi đó: 1
cân tại B
=>BE=BI
 MBI=  MCF(g.c.g)=>FC=BI
B

17

A

1

1
1

E

I

N

M

F
C

Từ hai điều trên ta có: FC=BI=BE
c, Ta có :
2.AE=AE+AE=(AB+BE)+AE
=AB+(BE+AE)=AB+(FC+AF)=AB+AC
AB  AC
AE 
2
=>
Bài 41: Cho  ABC cân tại A, góc A tù, trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao
cho BD =CE, trên tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho CI=CA
a, CMR:  ABD=  ICE và AB+ACb, Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB, AI lần lượt tại M và N, CMR: BM=CN
c, CMR: Chu vi  ABC nhỏ hơn chu vi  AMN
A
M

B

C
D

E

O
N

HD:

I

ABD ICE  c.g .c 

a, CM:
, Ta có :
AB+AC=AI, Vì ABD ICE  AD EI
Áp dụng BĐT trong AEI : AE  EI  AI hay AE+AD>AB+AC

BDM CEN  g .c. g   BM CN

b, CM:
c, Vì BM=CN=> AB+AC=AM+AN, có BD=CE (gt), =>BC=DE
Gọi O là giao của Mn và BC
OM  OD
 MO  ON  OD  OE  MN  DE  MN  BC

ON

OE

=>

(2)

từ (1) và (2) ta có : chu vi của  ABC nhỏ hơn chu vi của  AMN

Bài 42: Cho  ABC (ABgiác góc A, đường thẳng đó cắt AB và AC lần lượt ở M và N
a, CM :  AMN cân
b, CM: BM=CN
c, Cho AB = c, AC = b. Tính AM và BM theo b và c

A
HD:
b

a,  AMN có Ah vừa là đường phân giác góc A
vừa là đường cao nên  Amn cân tại A
b, Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt Mn tại I



 

=> BI=NC. Lại có I 1 B1  D1 C N1 M
=>  BMI cân tại B => BM=BI=NC
c, AM =AN = n, MB=AM – AB= b – c

18

c
1

B

1

1
1

M

I

H

2

D

N
C


Bài 43: Cho  ABC, tia phân giác AD, gọi I là trung điểm của BC, đường thẳng qua I và vuông góc với
AD cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N. kẻ BE// AC, E thuộc MI, CMR:
a,  IBE=  ICN
A
b,  AMN cân
1
c, BM=CN


d, ABC cần có thêm điều kiện gì để BME đều
0


e, Biết A 70 , tính BEN
HD:

1

N

2

B

2

1

a,  IBE =  ICN (g.c.g) => BE=NC



 

Và E1 B1  I1 C  I 2 N1
b,  AMN có AE vừa là đường cao vừa là tia phân giác
M
 N
 E
  BME
M
1
1
Nên  AMN cân tại A =>
cân
=> BM=BE=NC
0



0

d,  BME đều => B2 60  A  ABC cần có thêm ĐK A 60
0
0
0
0
0





e, A 70  A1 35  N1 55  BEN 180  M 125

1

D
1

C

I

E

Bài 44: Cho  ABC vuông tại C, kẻ CH vuông góc vói AB, trên các cạnh AB, AC lấy tương ứng hai
điểm M, N sao cho BM=BC và Cn=CH, CMR:
a, MN vuông góc với AC

b, AC+BC < AB+CH
A
HD:
a, Có BC=BM (gt)=> CBM cân tại B


 MCB
 ACM
900




MCB
CMB
 
 ACM
 MCH
0


CMB  MCH 90
=>


MNC MHC  c.g .c   MNC
 MCH

M

N

H

0
0


mà MCH 90  MNC 90 hay MN, AC vuông góc với nhau
b, Ta có: BM=BC, CN=CH
B
C
 900
AMN có N
=> AM là cạnh lớn nhất
=> MB+MA+CH>BC+CN+NC=>BA+CH>BC+CA
Bài 45: Cho  ABC đều, tia phân giác góc B cắt AC tại M, từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt
BM, BC tại N và E, CMR:
a,  ANC cân
b, NC  BC
c, Xác định dạng  BNE
d, NC là trung trực của BE
g, Cho AB=10cm, Tính diện tích của  NBE và chu vi  ABE
A
HD:

a,  ABC đều có BM là tia phân giác góc B
N
10
Nên BM là đường trung trực AC

M
Do N  BM  NA  NC  NAC cân tại N
5

19

1

B

2

C
10

10

E


 
b,  BAN =  BCN (c.g.c) => A C  NC  BE
0
0



c,  ABC đều => B 60  B1 B2 30 ,
0
0



 ABE vuông có ABE 60  E 30
Vậy  NBE cân tại N
d,  NBE cân tại N, có NC là đường cao nên NC là đường trung trực của BE
g,  ABE vuông tại E có AC=BC=CE=10cm
 AE 2 BE 2  AB 2 20 2  102 300  AE  300
1
1
 SABE  . AB. AE  .10. 300 5 300
2
2
S
5 300
10. 300
SABN SCBN SCNE  ABE 
 SNBE 2.SNCE 
3
3
3
Mà
Bài 46: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH, trên tia BC lấy điểm D sao cho BD= BA, đường vuông
góc với BC tại D cắt AC tại E,CM:
a, H nằm giữa B và D
A
b, BE là đường trung trực của AD
1 2


c, Tia AD là tia phân giác của góc HAC

HD:
a,  AHB vuông tại H => AB> BH mà BH = BA
 BD>BH, vậy H nằm giữa B và D
B
b,  ABE =  DBE ( cạnh huyền- cạnh góc vuông)
 AE=DE => E nằm trên đường trung trực của AD
Và BA =BD vậy B nằm trên đường trung trực của AD
Do đó BE là đường trung trực của AD
 DE  BC


BDE
BAE
900  
 AH / / DE
AH  BC



c, Vì ABE = DBE =>


 A1  ADE (so le trong)





Mà  ADE cân => A2  ADE  A1  A2 , vậy AD là phân giác HAC



H

E



0

C

D

0

Bài 47: Cho  ABC vuông tại A, góc B 54 , trên cạnh AC lấy điểm D sao cho ABD 36 , BE là tia

phân giác ABD , trên đoạn BD lấy điểm F sao cho BF=BA

a, Tính EFD
A
b,  BEC cân
c, FDE
d, BDHD:
D

F

20
B

C