Chương 8: Thiết kế Bộ lọc Số pptx

BK
TP.HCM
2011
dce
Chương 8
Thiết kế Bộ lọc Số
©2011, TS. Đinh Đức Anh Vũ
2011
dce
2
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Nội dung
• Bộ lọc lý tưởng
• Bộ lọc thực tế
– Bộ lọc với đáp ứng xung hữu hạn (FIR)
• Bộ lọc tuyến tính pha
– Phương pháp cửa sổ
– Phương pháp mẫu tần số
• Bộ lọc tuyến tính pha tối ưu
• Bộ biến đổi Hilbert
• So sánh các phương pháp thiết kế
– Bộ lọc với đáp ứng xung vô hạn (IIR)
• Phương pháp xấp xỉ đạo hàm
• Phương pháp bất biến xung
2011
dce
3
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Giới thiệu
• Phương pháp thiết kế bộ lọc tần số
– Đặc tính bộ lọc được mô tả bởi đáp ứng biên độ và pha

– Tùy theo đáp ứng mong muốn, bộ lọc nhân quả FIR hoặc
IIR sẽ được chọn
• FIR
– Được dùng khi có yêu cầu đáp ứng pha tuyến tính trong passband
– Nhiều thông số hơn IIR → Độ phức tạp tính toán cao
• IIR
– Có các thuỳ biên ở dải stopband thấp hơn bộ lọc FIR có cùng số tham
số → được dùng nhiều hơn so với FIR (khi độ méo pha trong
passband có thể chấp nhận được)
– Độ phức tạp tính toán không cao và tiêu tốn ít bộ nhớ
– Xác định các hệ số bộ lọc
2011
dce
4
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Tính nhân quả
• Xét bộ lọc lý tưởng



≤<
≤
=
πωω
ωω
ω
c
c
H
0

1
)(





≠
=
=
0
0
)(
)sin(
n
n
nh
n
n
c
cc
c
ω
ω
π
ω
π
ω
ω
H(ω)

1
ω
c
-ω
c
Bộ lọc không nhân quả
→ không hiện thực được
ω
c
= π/4
2011
dce
5
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Đ/k để bộ lọc nhân quả
• Định lý Paley-Wiener
– H(ω) chỉ được phép = 0 tại một tập hữu hạn các tần số
– |H(ω)| không được là hằng số cho một khoảng tần
• Việc chuyển từ passband sang stopband không được thẳng góc
– H
R
(ω) và H
I
(ω) phụ thuộc nhau → Phổ biên độ và phổ pha không thể
chọn độc lập được
∞<
∫
−
π
π

ωω
dH )(ln
h(n) có năng lượng hữu hạn
h(n) = 0 ∀n<0
∫
∫
−
−
∞<
∞<
π
π
π
π
ωω
ωω
dH
dH
2
)(
)(ln
()
(), () ()
( ):
j
Voi H H e
h n nhânqua
ω
ωω ω
Θ

Θ=
2011
dce
6
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
)()()
( nhnhnh
oe
+=
[ ]
[ ]
)()()(
)()()(
2
1
2
1
nhnhnh
n
hnhnh
o
e
−−=
−
+=
1)()0
()()(2)(
0)(
)0()()(2)(
≥+=

≥−=
nnhnu
nhnh
nnhnunh
nh
o
ee
δ
δ
h(n) nhân quả
)()()(
ωωω
IR
jHHH +=
)()()
( nhnhnh
oe
+=
FF
∫
−
−
−=
π
π
λω
π
λλω
dHH
RI

)cot()()(
22
1
BĐ Hilbert rời rạc
1)()( ≥= nnhnh
eo
h(n) được mô tả bởi h
e
(n)
H(ω) được mô tả bởi H
R
(ω)
H(ω) được mô tả bởi H
I
(ω) và h(0)
h(n) thực
Đ/k để bộ lọc nhân quả
2011
dce
7
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Đ/k để bộ lọc nhân quả
• Ví dụ: xác định đáp ứng tần số của h/t ổn định với đáp ứng xung là hàm
thực và chẵn, nếu biết
1
cos21
cos1
)(
2
<

+−
−
= a
aa
a
H
R
ω
ω
ω
[ ]
ωω
ω
jj
ee
−
+=
2
1
cos
azaROC
azaz
za
z
az
za
zza
zH
R
/1:

)1)((
2/)
1(
)(
1
)(1
)(
2
21
1
2
1
<<
−−
+
−
=
++−
+−
=
−
−
)()(
2
1
2
1
nanh
n
e

δ
+=
)()( nuanh
n
=
ω
ω
j
ae
H
−
−
=
1
1
)(
2011
dce
8
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc tần số trong thực tế
• LTI
• Đặc trưng
|H(ω)|
ω
1+δ
1
1-δ
1
δ

2
Passband ripple
Transition Band
StopBand
0
ω
p
ω
s
π
δ
1
: Passband ripple
δ
2
: Stopband ripple
ω
p
: Passband edge ripple
ω
s
: Stopand edge ripple
∑∑
==
−+−−=
M
k
k
N
k

k
knxbkn
yany
01
)()()
(
∑
∑
=
−
=
−
+
=
N
k
kj
k
M
k
kj
k
ea
eb
H
1
0
1
)(
ω

ω
ω
2011
dce
9
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng
∑
−
=
−=
1
0
)()()(
M
k
knxkhny
• Bộ lọc FIR • Bộ lọc FIR tuyến tính pha
– H(ω) có pha Ө(ω) là hàm tuyến tính
– Đ/k: h(n) = ± h(M–1–n)
n = 0, 1, …, M-1
∑
−
=
−=
1
0
)()(
M
k

k
kn
xbny
h(k) = b
k
∑
−
=
−
=
1
0
)()(
M
k
k
zkhzH
)()(
1)1(
zHzHz
M
±=
−−−
• Thay z bởi z-1
• Nhân 2 vế với z-(M-1)
• h(n) = ± h(M–1–n)
z
1
z
1

*
1/z
1
*
1/z
1
1
1/z
2
z
2
• Nếu z
1
là nghiệm (hoặc zero) của H(z)
thì 1/z
1
cũng là nghiệm
• Để h(n) thực thì z
1
*
cũng là nghiệm
và 1/ z
1
*
cũng là nghiệm
2011
dce
10
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng

• Hàm h/t
• Đáp ứng xung đơn vị đối xứng h(n) = h(M – 1 – n)
3
2
(1) (12) (12)
2 22
2
(1) (12) (12)
2 22
1 ( 1)
1
2
0
1
0
( ) (0) (1) ( 1)
( ) ()
()
M
M Mn Mn
M
M Mn Mn
M
M
n
n
Hz h h z hM z
z h h n z z M le
z h n z z M chan
−

− −− −−
− −− −−
− −−
−−
−
=
−
−−
=
= + ++ −




+±






=



±



∑

∑
3
2
2
12
1
22
0
1
12
2
0
( ) 2 ( )cos ( )
()
2 ( )cos ( )
M
M
Mn
M
n
r
Mn
n
h h n M le
H
h n M chan
ω
ω
ω
−

−−
−
=
−
−−
=

+


=




∑
∑



<+−
>−
=Θ
−
−
0)()(
0)()(
)(
2
1

2
1
ωπω
ωω
ω
r
M
r
M
H
H
2
)1(
)()(
−
−
=
M
j
r
eHH
ω
ωω
Đặc tính pha
Tuyến tính
Biên độ thực
2011
dce
11
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ

• Đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng h(n) = –h(M–1–n)
– Khi M lẻ h[(M–1)/2] = 0
• Đối xứng hay phản đối xứng ?
– Tùy
Bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng
3
2
2
12
2
0
1
12
2
0
2 ( )sin ( )
()
2 ( )sin ( )
M
M
Mn
n
r
Mn
n
h n M le
H
h n M chan
ω
ω

ω
−
−−
=
−
−−
=



=




∑
∑



<−
>−
=Θ
−
−
0)()(
0)()(
)(
2
1

2
3
2
1
2
ωω
ωω
ω
π
π
r
M
r
M
H
H
][
22
)1(
)()(
π
ω
ωω
−−
−
=
M
j
r
eHH

Đặc tính pha
Tuyến tính
h(n) = –h(M–1–n)
M lẻ
H
r
(0) = 0
H
r
(π) = 0
Không thích hợp
cho các bộ lọc thông thấp
và thông cao
Biên độ thực
2011
dce
12
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Giả sử
– H
d
(ω): hàm đáp ứng tần số mong muốn
– h
d
(n): hàm đáp ứng xung đơn vị mong muốn
• h
d
(n) có chiều dài vô hạn
• Để chiều dài h
d

(n) hữu hạn, cắt h
d
(n) tại điểm n = M-1
– Nhân h
d
(n) với hàm cửa sổ w(n)
– Cửa sổ hình chữ nhật
• Đáp ứng xung mẫu của bộ lọc
– Với H
d
(ω) cho trước, thì W(ω) có tác dụng làm trơn H
d
(ω)
– Một W(ω) tốt khi
• Có thuỳ chính phải rộng, cao hơn nhiều so với thuỳ phụ
• w(n) không nên giảm xuống 0 tại hai bên cạnh
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP cửa sổ
∑
∞
=
−
=
0
)()(
n
nj
dd
enhH
ω
ω




−=
=
otherwise
Mn
nw
0
1, ,1,01
)(



−
=
=
=
otherwise
Mnnh
nwnhnh
d
d
0
1, ,1,0)(
)()()(
ωω
ω
π
π

π
deHnh
nj
dd
∫
−
= )()(
2
1
∫
−
−=
π
π
π
ωω
dvvWvHH
d
)()()(
2
1
2011
dce
13
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP cửa sổ
Nhận xét:
- Thuỳ chính hẹp hơn khi M tăng
- Các thuỳ phụ tương đối lớn so với thuỳ
chính và không thay đổi khi M tăng

- Chiều cao thuỳ phụ tăng khi M tăng
)2/sin(
)2/sin(
1
1
)(
2/)1(
1
0
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
M
e
e
e
eW
Mj
j
Mj
M
n
nj
−−
−
−

−
=
−
=
−
−
==
∑



<−
≥
−
=Θ
≤≤−=
−
−
0)sin()(
0)sin()(
)(
)sin(
)
sin(
)(
22
1
22
1
2

2
M
M
M
M
M
W
ω
ω
ω
ω
ωπ
ω
ω
πω
πω
Độ rộng của thùy chính: 4π /M
[được đo bởi điểm zero đầu tiên của W(ω)]
2011
dce
15
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP lấy
mẫu tần số
• H
d
(ω) được định nghĩa tại M điểm tần số cách đều
2
1
2

2
1
2
( ) 0,1, ,
0,1, , 1
0|
M
k
M
M
k k M le
k M chan
π
ωα
α
−
=+=
= −
=


∑
−
=
−
=
1
0
)()(
M

n
nj
dd
enhH
ω
ω
1,,1,0)()(
1,,1,0)()(
)]([)(
1
0
/)(2
1
1
0
/)(2
2
−=+=
−==+
+≡+
∑
∑
−
=
+
−
=
+−
MnekHnh
MkenhkH

kHkH
M
k
Mnkj
d
M
d
M
n
Mnkj
dd
M
dd


απ
απ
π
α
α
αα
α=0, 2 công thức
này chính là công thức
DFT và IDFT
)()(
*
αα
−−=+ kMHkH
dd
Chuỗi h(n) thực

Chỉ cần định nghĩa H
d
(ω) tại (M+1)/2 điểm khi M lẻ
hoặc tại M/2 điểm khi M chẵn
2011
dce
16
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP lấy
mẫu tần số
• Mẫu tần số
• Định nghĩa các mẫu tần số thực G(k+m)
• Tùy theo giá trị α (0|½) và β (0|1), H(k) và h(n) sẽ có công thức đơn giản
– Ví dụ khi α = 0 và β = 0
( )
[ ]
MMkj
M
rd
ekHkH
2/)1)((22/
2
)()(
−+−
+=+
απβπ
π
αα
0 { ( )}
1 { ( )}

h n doi xung
h n phandoi xung
β
β
=


=

( )
)()1()(
2
αα
π
+−=+ kHkG
M
r
k
[ ]
MMkjjk
d
eekGkH
2/)1)((22/
)()(
−+−
+=+
απβππ
αα
Với
( )

)()(
)1()(
1,,1,0)()(
2
/
kMGkG
HkG
MkekGkH
M
k
r
k
Mkj
−−=
−=
−==
π
π

2
1
2
1
1
2
2
1
( ) (0) 2 ( )cos ( )
1
U

k
M
k
M
M
hn G Gk n
M
khi M le
voi U
khi M chan
π
=
−

=++



=

−

∑
2011
dce
17
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – Phương
pháp tối ưu
• Bài toán xấp xỉ Chebyshev

– Tối ưu: sai số xấp xỉ giữa đáp ứng t/s mong muốn
và thực tế phân bố đều trên passband và
stopband ⇒ tối thiểu hóa các sai số cực đại
– Bộ lọc có gợn sóng trong cả passband và
stopband
2011
dce
18
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu
• Trường hợp 1: đáp ứng xung đơn vị đối xứng và M lẻ
∑
−
=
−−
−+=
2/)3(
0
2
1
2
1
)(cos)(2)()(
M
n
MM
r
nnhhH
ωω
∑

−
=
=
2/)1(
0
cos)()(
M
k
r
kka
H
ωω



=−
=
=
−−
−
2
1
2
1
2
1
,,2,1)(2
0)
(
)(

MM
M
kkh
kh
k

α
k = (M-1)/2 – n
2011
dce
19
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu
• Trường hợp 2: đáp ứng xung đơn vị đối xứng và M chẵn
∑
−
=
−
−=
12/
0
2
1
)(cos)(2)(
M
n
M
r
nnhH
ωω

∑
=
−=
2/
1
2
1
)(cos)()(
M
k
r
kkbH
ωω
22
,,2
,1)(2)(
MM
kk
hkb =−=
k = M/2 – n
∑
−
=
=
12/
0
2
cos)('cos)(
M
k

r
kkbH
ωω
ω
)(2)1('
2,,2,1)(2)1(')('
)1()0
('
22
2
2
1
MM
M
b
b
kkbkbkb
bb
=−
−==−+
=

2011
dce
20
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu
• Trường hợp 3: đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng và M lẻ
∑
−

=
−
−=
2/)3(
0
2
1
)(sin)(2
)(
M
n
M
r
nnhH
ωω
∑
−
=
=
2/)1(
1
sin)()(
M
k
r
kkcH
ωω
2
1
2

1
,,2,1)(2)(
−−
=−=
MM
kkhkc 
k = (M-1)/2 – n
∑
−
=
=
2/)3(
0
cos)('sin
)(
M
k
r
kkcH
ωωω
)1()2(
')0('
2)(2)1
(')1('
)(2)
('
)()('
2
1
2

5
2
3
2
5
2
1
2
3
ccc
kkckckc
cc
c
c
M
MM
M
M
=+
≤≤=
+−−
=
=
−
−−
−
−

2011
dce

21
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu
• Trường hợp 4: đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng và M
chẵn
∑
−
=
−
−=
12/
0
2
1
)(sin)(2)(
M
n
M
r
nnhH
ωω
∑
=
−=
2/
1
2
1
)(sin)()(
M

k
r
kkdH
ωω
22
,,2,1)(2)(
MM
kk
hkd =−=
k = M/2 – n
∑
−
=
=
12/
0
2
cos)('sin)(
M
k
r
kkdH
ωω
ω
)1()1(')0('
12)(2)
(')1('
)(2)1
('
2

1
2
22
ddd
k
kdkdkd
dd
M
MM
=−
−≤≤=−−
=−
2011
dce
22
DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu
• Tổng quát
)()()(
ωωω
PQH
r
=
2
2
11
cos 2
()
sin 3
sin 4

truong hop
truong hop
Q
truong hop
truong hop
ω
ω
ω
ω



=




∑
=
=
L
k
kkP
0
cos)()(
ωαω
( 1) / 2 1
/2 1 2
( 3) / 2 3
/2 1 4

M truong hop
M truong hop
L
M truong hop
M truong hop
−


−

=

−


−
