Chủ đề 3 ứng dụng của vòng tròn lượng giác giải bài toán dao động điều hòa ở 4 mức độ hay và khó

CHỦ ĐỀ 3: ỨNG DỤNG CỦA VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC TRONG
DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa (DĐĐH) và chuyển động trịn đều (CĐTĐ):
a) DĐĐH
Được xem là hình chiếu vị trí của một chất điểm CĐTĐ lên một trục nằm trong mặt phẳng quỹ đạo &
ngược lại với A R;  

v
R

b) Các bước thực hiện:
 Bước 1: Vẽ đường tròn (O; R = A).
 Bước 2: Tại t = 0, xem vật đang ở đâu và bắt đầu chuyển động theo chiều âm hay dương:
+ Nếu   0 : vật chuyển động theo chiều âm (về bên âm)
+ Nếu   0 : vật chuyển động theo chiều dương (về biên dương)
 Bước 3: Xác định điểm tới để xác định góc quét  , từ đó xác định được thời gian và quãng đường
chuyển động.
c) Bảng tương quan giữa DĐĐH và CĐTĐ:
Dao động điều hòa x = Acos(ωt+φ)t+φ)φ))

Chuyển động tròn đều (O, R = A)

A là biên độ

R = A là bán kính

ω là tần số góc

ω là tần số góc

(ωt+φ) là pha dao động

(ωt+φ) là tọa độ góc

vmax  A là tốc độ cực đại

v R là tốc độ dài

amax  A 2 là gia tốc cực đại

aht R 2 là gia tốc hướng tâm

Fph max mA 2 là hợp lực cực đại tác dụng lên vật

Fht mA 2 là lực hướng tâm tác dụng lên vật

2. Cỏc dng dao ng cú phng trỡnh c bit
Biên độ A

a) x a A cos  t    với a = const  Biên độ:  Täa ®é VTCB: x = A
Tọa độ vị trí biên x = A

2
b) x a A cos  t    với a = const  Biên độ

A
;  2;  2
2

3. Phân dạng và phương pháp giải các dạng bài tập

 DẠNG 1: TÍNH THỜI GIAN VÀ ĐƯỜNG ĐI TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA
a) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x 1 đến

x2:

* Cách 1: Dùng mối liên hệ DĐĐH và CĐTĐ
T  360


 t 

.T

 360
 t  ?  
* Cách 2: Dùng cơng thức tính & máy tính cầm tay
Trang 1


x
1
 Nếu đi từ VTCB đến li độ x hoặc ngược lại t  arcsin

A
x
1
 Nếu đi từ VT biên đến li độ x hoặc ngược lại: t  arccos

A
b) Tính quãng đường đi được trong thời gian t:

 Biểu diễn t dưới dạng: t nT  t ; trong đó n là số dao động nguyên; t là khoảng thời gian còn lẻ ra

 t  T 
 Tổng quãng đường vật đi dược trong thời gian t: S n.4A  s
Với s là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t , ta tính nó bằng việc vận dụng mối liên hệ
giữa DĐĐH và CĐTĐ:
Ví dụ: Với hình vẽ bên thì s 2A   A  x1    A  x 2



 NÕu t = T thì s = 4A

Các tr ờng hợp đặc biệt:
T
Nếu t = 2 thì s = 2A
NÕu t = n.T th× s = n.4A

 
T
NÕu t = nT + 2 th× s = n.4A + 2A
 DẠNG : TÍNH TỐC ĐỘ TRUNG BÌNH VÀ VẬN TỐC TRUNG BÌNH
1. Tốc độ trung bình: v tb 

S
với S là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t .
t

 Tốc độ trung bình trong 1 hoặc n chu kì là: v tb 

4A 2.v max


T


2. Vận tốc trung bình:
x x 2  x1

với x là độ dời vật thực hiện được trong khoảng thời gian t
t
t
Độ dời trong 1 hoặc n chu kì bằng 0  vận tốc trung bình trong1 hoặc n chu kì bằng 0
v

 DẠNG 3: XÁC ĐỊNH TRẠNG THÁI DAO ĐỘNG CỦA VẬT SAU (TRƯỚC) THỜI ĐIỂM T
MỘT KHOẢNG T
Với loại bài toán này, trước tiên ta kiểm tra xem .t  nhận giá trị nào:
Trang 2


- Nếu  2k thì x 2 x1 và v 2 v1
- Nếu   2k  1 thì x 2  x1 và v 2  v1
- Nếu  có giá trị khác, ta dùng mối liên hệ DĐĐH và CĐTĐ để giải tiếp:
 Bước 1: Vẽ đường tròn có bán kính R = A (biên độ) và trục Ox nằm ngang
 Bước 2: Biểu diễn trạng thái của vật tại thời điểm t trên quỹ đạo và vị trí tương ứng của M trên đường
trịn.
Lưu ý: Ứng với x đang giảm: vật chuyển động theo chiều âm; ứng với x đang tăng; vật chuyển động theo
chiều dương.
 Bước 3: Từ góc  t mà OM quét trong thời gian t , hạ hình chiếu xuống trục Ox suy ra vị trí,
vận tốc, gia tốc của vật tại thời điểm t  t hoặc t  t
 DẠNG 4: TÍNH THỜI GIAN TRONG MỘT CHU KÌ ĐỂ X , V , A NHỎ HƠN HOẶC LỚN

HƠN MỘT GIÁ TRỊ NÀO ĐĨ (DÙNG CƠNG THỨC TÍNH & MÁY TÍNH CẦM TAY).
a) Thời gian trong một chi kì vật cách VTCB một khoảng
x
1
 nhỏ hơn x1 là t 4. t1  arcsin 1

A
x
1
 lớn hơn x1 là t 4. t1  arccos 1

A
b) Thời gian trong một chu kì tốc độ
v
1
 nhỏ hơn v1 là t 4. t1  arcsin 1

A
v
1
 lớn hơn v1 là t 4. t1  arccos 1

A
(Hoặc sử dụng cơng thức độc lập từ v1 ta tính được x1 rồi tính như trường hợp a)
c) Tính tương tự với bài toán cho độ lớn gia tốc nhỏ hơn hoặc lớn hơn a1 !!!
 DẠNG 5: TÌM SỐ LẦN VẬT ĐI QUA VỊ TRÍ ĐÃ BIẾT X (HOẶC V, A, W T, WĐ, F) TỪ THỜI
ĐIỂM T1 ĐẾN T2.
Trong mỗi chu kì, vật qua mỗi vị trí biên 1 lần cịn các vị trí khác 2 lần (chưa xét chiều chuyển động) nên:
 Bước 1: Tại thời điểm t1, xác định điểm M1: tại thời điểm t2, xác định điểm M2
 Bước 2: Vẽ đúng chiều chuyển động của vật từ M1 tới M2, suy ra số lần vật đi qua x 0 là A.

+ Nếu t  T thì a là kết quả, nếu t  T  t n.T  t 0 thì số lần vật qua x 0 là 2n + A
+ Đặc biệt: nếu vị trí M1 trùng với vị trí xuất phát thì số lần vật qua lò xo là 2n + a + 1.
 DẠNG 6: TÍNH THỜI ĐIỂM VẬT ĐI QUA VỊ TRÍ ĐÃ BIẾT X (HOẶC V, A, W T, WĐ, F) LẦN
THỨ N
 Bước 1: Xác định vị trí M 0 tương ứng của vật trên đường tròn ở thời điểm t = 0 & số lần vật qua vị trí x
để bài u cầu trong 1 chu kì ( thường là 1, 2 hoặc 4 lần )
 Bước 2: Thời điểm cẩn tìm là: t n.T  t 0 ; Với:

Trang 3


+ n là số nguyên lần chu kì được xác định bằng phép chia hết giữa số lần “gần” số lần đề bài yêu cầu với
số lần đi qua x trong 1 chu kì  lúc này vật quay về vị trí ban đầu M 0 , và cịn thiếu số lần 1, 2,… mới
đủ số lần để bài cho.
+ t 0 là thời gian tương ứng với góc quét mà bán kính OM 0 quét từ M 0 đến các vị trí M1, M2,… cịn lại để
đủ số lần.
Ví dụ: nếu ta đã xác định được số lần đi qua x trong 1 chu kì 2 lần và đã
tìm được số nguyên n lần chu kì để vật quay về vị trí ban đầu M 0 , nếu cịn
thiếu 1 lần thì t 0 

gãc M 0 OM1
.T thiếu 2 lần thì
360
t0 

gãc M 0 OM 2
.T
360

 DẠNG 7: TÍNH QUÃNG ĐƯỜNG LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT

Trước tiên ta so sánh khoảng thời gian t đề bài cho với nửa chu kì T/2
 Trong trường hợp t  T / 2 :
* Cách 1: Dùng mối liên hệ DĐĐH và CĐTĐ
Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi
qua vị trí biên (VTB) nên trong cùng một khoảng thời
gian quãng đường đi được càng lớn khi càng gần
VTCB và càng nhỏ khi càng gần VTB. Do có tính đối
xứng nên qng đường lớn nhất gồm 2 phần bằng nhau
đối xứng qua VTCB, còn quãng đường nhỏ nhất cũng
gồm 2 phần bằng nhau đối xứng qua VTB. Vì vậy cách
làm là: Vẽ đường trịn, chia góc quay  t thành 2 góc bằng nhau, đối xứng qua trục sin thẳng đứng
( S max là 2 lần đoạn P1P2).và đối xứng qua trục cos nằm ngang (Smin là 2 lần đoạn PA)
* Cách 2: Dùng cơng thức tính & máy tính cầm tay
Trước tiên xác định góc qt  t , rồi thay vào công thức:
 Quãng đường lớn nhất: S max 2A sin


2

 

 Quãng đường nhỏ nhất: S min 2A  1  cos
2 

 Trong trường hợp t  T / 2 : tách t n.
- Trong trường hợp n

T
T
 t , trong đó t n  N * , t  

2
2

T
quãng đường luôn là 2na.
2

- Trong thời gian t  thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như một trong 2 cách trên.
Chú ý:
+ Nhớ một số trường hợp t  T / 2 để giải nhanh bài toán:

Trang 4




A 3
A 3
S max A 3 nÕu vËt ®i tõ x = 
x= 


T
2
2
t   
3

A
S A nÕu vËt ®i tõ x =   x A  x = A


 min
2
2



A 2
A 2
S max A 2 nÕu vËt ®i tõ x = 
x= 


T


2
2
t   
4

S A 2  2 nÕu vËt ®i tõ x = A 2  x A  x = A 2

 min
2
2

A
A



S max A nÕu vËt ®i tõ x =   x = 


T
2
2

t   
6

S A 2  3 nÕu vËt ®i tõ x = A 3  x A  x = A 3

 min
2
2









+ Tính tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất: v tb max 

S max
S
và v tb min  min ; S max và S min tính như trên.

t
t

 Bài tốn ngược: Xét trong cùng quãng đường S, tìm thời gian dài nhất và ngắn nhất:
- Nếu S < 2A: S 2A sin

t 

t min
( t min ứng với S max ); S 2A  1  cos max  ( t max ứng với S min )
2 
2


- Nếu S > 2A: tách S n.2A  S ; thời gian tương ứng: t n

T
 t  , tìm t max , t min như trên.
2

Ví dụ: Nhìn vào bảng tóm tắt trên ta thấy, trong cùng quãng đường S = A, thì thời gian dài nhất là
t max T / 3 và ngắn nhất là t min T / 6 , đây là 2 trường hợp xuất iện nhiều nhất trong các đề thi!!!
 Từ cơng thức tính S max và

S min ta có cách tính nhanh qng đường đi được trong thời gian từ t1 đến t2:

Ta có:
- Độ lệch cực đại: S 

S max  S min

0, 4A
2

- Quãng đường vật đi sau một chu kì ln là 4A nên quãng đường đi được “trung bình” là:
S

t 2  t1
.4A
T

- Vậy quãng đường đi được S S S hay S  S S S  S hay S  0, 4A S S  0, 4A
CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x 4 cos  6 t   / 3 cm
a) Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 2cm theo chiều dương lần thứ 2 kể từ thời điểm ban đầu.
Giải
+φ) Cách 1: Dùng phương pháp đại số:

Ta có x 4 cos  6 t   / 3 2 (cm)  cos  6t   / 3 1 / 2   6 t   / 3   2k
3
Vật qua vị trí x = 2 cm theo chiều dương  6 t 



  k.2 
6
3
Trang 5


 6 t 

2
1 k
 k.2   t   0 với k   1,2,3... 
3
9 3

Vậy vật đi qua lần thứ 2, ứng với k = 2.  t 

1 2 5
  s
9 3 9

+ Cách 2: Dùng đường tròn lượng giác

Ta thấy trong 1 chu kì vật đi qua vị trí M 1 lần. Vậy để vật đi qua M 2 lần thì cần 2 chu kì nhưng phải trừ
phần dư ứng với cung MM 0
2
5
 t 2.T  3   s 
6 9
b) Thời điểm vật qua vị trí x 2 3 cm theo chiều âm lần thứ 3 kể từ t = 2s.
Giải
+ Cách 1: Dùng phương pháp đại số

Ta có x 4 cos  6 t   / 3 2 3  cm   cos  6 t   / 3   3 / 2   6 t   / 3    2k
6
Vật qua vị trí x 2 3 cm theo chiều âm:
 


  k.2   6t   k.2
3 6
6
1 k
 t 

36 3
 6 t 

Vì t 2  t 

1 k
 2 . Vậy k   7,8,9,... 
36 3

- Vật đi qua kần thứ ứng với k = 9
 t 

1 k 1 9
   2,97s
36 3 36 3

+ Cách 2: Dùng đường tròn lượng giác
Sau thời gian t = 2(s) vật đi được một đoạn ứng với góc quét
 6.2 12  rad   Vị trí này vẫn trùng với vị trí M 0
Trong 1 chu kì vật đi qua vị trí M1 1 lần  Để đi qua M1 3 lần thì cần 3 chu kì nhưng phải trừ đi phần dư
ứng với cung tròn M1M
Trang 6


 t 3.T  6 2,97  s 
6
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hịa theo phương trình x 10 cos  10t   / 2  (cm). Xác định thời điểm
vật qua vị trí x = 5 cm lần thứ 2008.
Giải:
1
 
Ta có 5 10 cos  10t   / 2   cos  10t   / 2   cos   
2
 3
 

10t    k2



2 3
 10t    k.2  

2
3
 10t      k2 

2
3


 t 


 t 


1 k

60 5
5 k

60 5

Vì t > 0 nên khi vật qua vị trí x = 5 cm lần thứ 2008 ứng với k = 1004
Vậy t 

1 k
1 1004
 

201  s 
60 5
60
5

Ví dụ 3: Vật dao động điều hòa theo phương trình x 5cos  t  (cm) sẽ qua vị trí cân bằng lần thứ ba (lể
từ lúc t = 0) vào thời điểm nào?
Giải

1
Ta có 0 5cos  t   cos  t  0  t   k  t   k
2
2

Vì t > 0 nên k = 0,1,2,3,…
Vật qua vị trí cân bằng lần thứ ba ứng với k = 2
1
Vậy t   2 2,5  s 
2
Ví dụ 4: Vật dao động điều hịa với phương trình x 4 cos  t   / 3  cm. Khoảng thời gian ngắn nhất kể
từ khi vật dao động đến khi gia tốc đổi chiều 2 lần 7/16s.
a) Tìm chu kì dao động của vật
b) Tính quãng đường vật đi được từ t = 0 đến t = 2,5 s
Giải
a) Vật dao động từ t = 0, thay vào phương trình x, v ta được tại t = 0
x 2
thì 
v  0
Gia tốc vật đổi chiều tại vị trí cân bằng, sử dụng trục thời gian ta dễ
dàng tìm được khoảng thời gian mà vật đi ứng với vật di chuyển từ
li độ x = 2 đến biên âm rồi quay về vị trí cân bằng.
  

7
7
8
.     rad/s   T 3 / 4s
6
16
3

 8t  
  cm
b) Thay T = 3/4s  x 4 cos 

 3 3
Trang 7


Khi ta có  t 2,5 
 t 3T 

t 2,5 10


T 0,75 3

T
3

x1 2
+ Tại t = 0 ta có 
ứng với vị trí M 0 trên đường trịn
v  0
x1  4
+ Tại t = 2,5s ta có 
ứng với vị trí M trên đường trịn
v  0
Suy
ra
qng
đường
S 3.4A  S  48  4  2 54cm

vật

đi

được

là

Ví dụ 5: Vật dao động điều hịa với phương trình x 10 cos  4 t   / 6  cm . Tính quãng đường vật đi
5
được từ t = 0 đến t  s
6
Giải:
5 5
2
Ta có: T = 0,5s; t   T T  T
6 3
3
 S 4A  S 

x 5 3
+ Tại t = 0 ta có  1
ứng với vị trí M 0
 v  0
5
+ Tại t  s ta có
6

x 2  5 3
ứng với vị trí M


 v  0

Quãng đường đi của vật như trên hình vẽ.









Suy ra quãng đường vật đi được là S 4.10  10  5 3  20  10  5 3 62,68cm


Ví dụ 6: Một vật dao động điều hịa với phương trình x 5cos  5t   cm . Tính quãng đường vật đi
3

được từ t=1//5s đến t=11/8s
Giải
Ta có: T 0, 4 s; t 

47
47
15
( s)  T 2T  T
40
16
16

 S 8 A  S '

 x1  2,5
Tại t  ta có 
ứng với vị trí M1
 v 0
 x1  3,97
Tại t s ta có 
ứng với vị trí M2
 v 0
Quãng đường đi được của vật như trên hình vẽ, ta dễ dàng
tính được S 8,5  7,5  10  (5  3,97) 58,53 cm

Trang 8




Ví dụ 7: Một vật dao động điều hòa với phương trình x 6 cos  4 t   cm , Trong một giây đầu tiên vật
3

qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần.
Giải
Cách 1:
- Mỗi dao động vật qua vị trí cân bằng 2 lần (1 lần theo chiều âm – 1 lần
theo chiều dương)
- 1s đầu tiên vật thực hiện được số dao động là:
f



2Hz
2

 Số lần vật qua vị trí cân bằng trong s đầu tiên là: n = 2.f = 4 lần.

Cách 2:
- Vật qua vị trí cân bằng
 
  k.
3 2

 4 t   k.
6
1 k
 t  
23 4
 4 t 

Trong một giây đầu tiền  0 t 1  0 

1 k
 1
23 4

  0,167 k 3,83 . Vậy k = (0;1;2;3)

II. BÀI TẬP
A. KHỞI ĐỘNG: NHẬN BIẾT
Bài 1: Vật dao động điều hòa với biên độ 6cm, chi kì 1,2s. Trong một chu kì, khoảng thời gian để li độ ở
trong khoảng [-3cm + 3cm] là:

A. 0,3s
B. 0,2s
C. 0,6s
D. 0,4s
Bài 2: Vật dao động điều hòa theo phương trình x  5cos  10t  cm. Thời gian vật đi quãng đường dài
12,5 cm kể từ lúc bắt đầu chuyển động là:
A. 1/15s
C. 1/30s

B. 2/15s
D. 1/12s

Bài 3: Một chất điểm dao động dọc theo trục Ox. Phương trình dao động là x 2 cos  t    cm. Thời
gian ngắn nhất vật đi từ lúc bắt đầu doa động đến lúc vật có li độ x  3
A. 2,4s
B. 1,2s
C. 5/6s
D. 5/12s
Bài 4: Một con lắc đơn gồm một hòn bi nhỏ khối lượng m, treo vào một sợi dây không giãn, khối lượng
dây không đáng kể. Khi con lắc đơn này dao động điều hịa với chu kì 3s thì hịn bi chuyển động trên
cung tròn 4cm. Thời gian để hòn bi đi được 5cm kể từ vị trí cân bằng là:
A. 15/12s
B. 2s
C. 21/12s
D. 18/12s
Trang 9


Bài 5: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox xung quanh gốc O với biên độ 6cm và chu kì 2s.
Mốc để tính thời gian là khi vật đi qua vị trí x = 3cm theo chiều dương. Khoảng thời gian chất điểm đi

được quãng đường 249cm kể từ thời điểm ban đầu là:
A. 127/6s
B. 125/6s
C. 62/3s
D. 61/3s
Bài 6: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x 4 cos  8t  2  / 3  cm. Thời gian vật đi được





quãng đường s  2  2 2 cm kể từ lúc vật bắt đầu dao động là:
5
1
B.
 s
 s
96
96
29
25
C.
D.
 s
 s
96
96
Bài 7: Con lắc lò xo gồm một vật nhỏ nặng m = 100g và lị xo có độ cứng k = 10 N/m dao động với biên
độ A = 2cm. Trong mỗi chu kì dao động thời gian mà vật nặng ở cách vị trí cân bằng lớn hơn 1 cm là bao
nhiêu?

A. 0,314s
B. 0,419s
C. 0,242s
D. Một kết quả khác
Bài 8: Một con lắc lị xo có độ cứng 1N/m, vật nặng có khối lượng 100g dao động điều hịa theo phương
A.

ngang, trong q trình dao động, vận tốc có độ lớn cực đại 6πcm/s, lấy cm/s, lấy 2 10 . Thời gian ngắn nhất vật
đi từ vị trí x = 6cm đến vị trí  3 3 (cm) là:
A. 0,833
B. 0,167
C. 0,333
D. 0,667
Bài 9: Con lắc lò xo gồm một vật nặng có khối lượng m = 100g và lị xo có hệ số đàn hồi k = 100N/m,
dao động trên mặt phẳng ngang. Kéo vật khỏi vị trí cân bằng một đoạn 3cm. Tại thời điểm t = 0, truyền
cho vật một vận tốc bằng 30 30 cm/s theo chiều hướng ra xa vị trí cân bằng để vật bắt đầu dao động điều
hòa. Khoảng thời gian ngắn nhất kể từ khi vật bắt đầu dao động cho đến khi lò xo bị nén cực đại là:
A. 2/15
B. 1/15
C. 3/20
D. 1/10
Bài 10: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí
A
, chất điểm có tốc độ trung bình là:
2
6A
9A
A.
B.
T

2T
3A
4A
C.
D.
2T
T
Bài 11: Vật dao động điều hịa với biên độ A. Trong một chu kỳ thời gian dài nhất vật đi từ vị trí có li độ
biên có li độ x1 A đến vị trí x 2 

A
A 3
theo chiều dương đến vị trí có li độ x 2 
là 0,45s. Chu kì dao động của vật là:
2
2
A. 1s
B. 2s
C. 0,9s
D. 1,8s

x1 

Trang 10


Bài 12: Một con lắc lò xo dao động với biên độ A. Trong một chu kì thời gian dài nhất để con lắc di
chuyển từ vị trí có li độ x1  A đến vị trí có li độ x 2 A / 2 là 1s. Chu kì dao động của con lắc là:
A. 1,5s
C. 3s

B. 2s
D. 4s

Bài 13: Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình x 4 cos  5t  cm thời gian ngắn nhất vật đi
từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vật đi được quãng đường 6cm là:
A. 0,15s
B. 2/15s
C. 0,2s
D. 0,3s
Bài 14: Một con lắc đơn gồm một hòn bi nhỏ khối lượng m, treo vào mọt sợi dây không giãn, khối lượng
dây không đáng kể. Khi con lắc đơn này dao động điều hịa với chu kì 3s thì hòn bi chuyển động trên
cung tròn 4cm. Thời gian để hịn bi đi được 2cm kể từ vị trí cân bằng là:
A. 1s
B. 2s
C. 0,75s
D. 4s
Bài 15: Một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa với biên độ 10cm, chu kì 1s. Trong một chu kì,
quãng thời gian mà khoảng cách từ vật tới vị trí cân bằng lớn hơn 5 3 cm là
1
s
3
5
s
C.
12
A.

1
s

12
1
D. s
6
B.

Bài 16: Một vật thực hiện dao động điều hịa theo phương trình x 6 cos  10t  cm. Tốc độ trung bình kể
từ khi vật ở vị trí cân bằng đang chuyển động theo chiều dương đến thời điểm đầu tiên vật có li độ 3cm là
A. 2,7m/s
B. 3,6m/s
C. 0,9m/s
D. 1,8m/s
Bài 17: Vật dao động điều hịa theo phương trình x cos  t  2  / 3 (dm). Thời gian vật đi được quãng
đường S = 5cm kể từ thời điểm ban đầu (t = 0) là
A. 1/9s
B. 1/3s
C. 1/6s
D. 7/3s
B. TĂNG TỐC: THÔNG HIỂU
Bài 1: Một vật dao động điều hịa với phương trình x 10 cos  t   / 2  cm. Quãng đường mà vật đi
được tính từ t = 0 đến thời điểm t = 2,75s là



C.  50  5 3  cm

A. 60  5 2 cm




D.  60  5 3  cm

B. 40  5 3 cm



Bài 2: Một vật dao động điều hịa với phương trình x 10 cos  5t   cm . Độ dài quãng đường mà vật
2

đi được trong khoảng thời gian 1,55s tính từ lúc vật bắt đầu dao động là:
A. 140  5 2cm

B. 150  5 2cm

C. 160  5 2cm

D. 160  5 2cm

Bài 3: Một vật dao động điều hịa theo phương trình x 12 cos  50t   / 2   cm  . Tính quãng đường vật
đi được trong thời gian πcm/s, lấy /12s, kể từ lúc bắt đầu dao động
Trang 11


A. 90cm
C. 102cm

B. 96cm
D. 108cm

Bài 4: Một con lắc lò xo dao động với phương trình: x 4 cos  4t   cm  . Quãng đường vật đi được

trong thời gian 30s kể từ lúc t 0 0 là:
A. 16cm
C. 6,4cm

B. 3,2cm
D. 9,6cm

Bài 5: Một vật dao động điều hịa với phương trình x 8cos  2 t    cm . Độ dài quãng đường mà vật đi
được trong khoảng thời gian 8/3s tính từ thời điểm ban đầu là:
A. 80cm
B. 82cm
C. 84cm

D. 80  2 3cm

Bài 6: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x 4 cos  2t   / 3  . Tính quãng đường mà vật đi
được trong thời gian 3,75s
A. 78,12cm
C. 58,3cm

B. 61,5cm
D. 69cm

Bài 7: Một chất điểm dao động điều hịa có phương trình x 2 cos  20t / 6   / 2  cm tóc độ trung bình
chất điểm chuyển động trong 1,3s đầu tiên là:
A. 12,31cm/s
B. 6,15cm/s
C. 13,64cm/s
D. 12,97cm/s
Bài 8: Một con lắc gồm một lị xo có độ cứng k = 100N/m và một vật có khối lượng m = 250g, dao động

điều hòa với biên độ A = 6cm. Chọn gốc thời gian lúc vật đi qua vị trí cân bằng. Quãng đường vật đi
dược trong πcm/s, lấy /20s đầu tiên là
A. 24cm
B. 6cm
C. 9cm
D. 12cm
Bài 9: Một vật dao động điều hào trên trục Ox, theo phươngg trình x 5cos  2 t   / 3  cm . Quãng
đường vật đi trong khoảng thời gian từ lúc t1 2s đến t 2 4,75s
A. 56,83cm
C. 50cm

B. 46,83cm
D. 55cm

Bài 10: Vật dao động điều hịa với phương trình x 5cos  t   / 3 cm . Quãng đường s vật đi được
trong khoảng thời gian 0,5s có giá trị
A. từ 2,93 cm đến 7,07 cm
B. bằng 5cm
C. từ 4cm đến 5cm
D. bằng 10cm
Bài 11: Một vật dao động điều hịa theo phương trình x 5cos  2t  2 / 3  cm  . Quãng đường vật đi
được sau thời gian t = 2,4s kể từ lúc bắt đầu dao động là:
A. 7,9cm
B. 32,9cm
C. 47,9cm
D. 46,6cm
Bài 12: Một vật dao động điều hịa với phương trình x 5cos  t   / 2   cm  . Quãng đường vật đi được
từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = 2,5s là:
Trang 12

A. 10cm
C. 25cm

B. 20cm
D. 5cm

Bài 13: Một vật dao động điều hòa với pt x A cos  t   / 3  cm  . Biết quãng đường vật đi được trong
quãng thời gian 1s là 2A và trong 2/3s kể từ thời điểm t = 0 là 9cm. Giá trị của biên độ A (cm) và tần số
góc ω (rad/s) là
A.  , A 6cm

B.  2 , A 6 2cm

C.  , A 6 2cm

D.  2 , A 6cm

Bài 14: Một con lắc gồm một lị xo có độ cứng k = 100πcm/s, lấy (N/m) và một vật có khối lượng m = 250/πcm/s, lấy (g),
dao động điều hòa với biên độ A = 6cm. Lấy 2 10 . Nếu chọn gốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị trí cân
bằng thì qng đường vật đi được trong 0,125s đầu tiên là:
A. 24cm
B. 6cm
C. 12cm
D. 30cm
Bài 15: Một con lắc lò xo dao động điều hịa với biên độ 6cm và chu kì 1s. Tại t = 0, vật đi qua vị trí cân
bằng theo chiều âm của trục tọa độ. Tổng quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian 2,375s kể
từ thời điểm được chọn làm gốc là:
A. 48cm
B. 50cm

C. 55,76cm
D. 42cm
Bài 16: Một vật dao động điều hòa theo x 4 cos  20t  5 / 6   cm  . Tính tốc độ trung bình của vật khi
vật đi từ thời điểm t1 0 đến t 2 5,225s
A. 160,28cm/s
C. 125,66cm/s

B. 158,95cm/s
D. 167,33cm/s

Bài 17: Vật dao động điều hịa theo phương trình x 2 cos  4 t   / 3  cm  . Quãng đường vật đi được
trong 0,25s đầu tiên là:
A. -1cm
C. 2cm

B. 4cm
D. 1cm

Bài 18: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x 4 cos  t   / 6   cm  . Quãng đường
chất điểm đi được sau 6,5s giây kể từ thời điểm ban đầu là
A. 53,46cm
B. 52cm
C. 50cm
D. 50,54cm
Bài 19: Một con lắc lị xo gồm lị xo nhẹ có độ cứng k = 100(N.m 1) và vật nhỏ có khối lượng m = 250(g),
dao động điều hòa với biên độ A = 6cm. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng. Tính từ gốc
thời gian (t0=0s) sau 7πcm/s, lấy /120s vật đi được quãng đường?
A. 9cm
B. 15cm
C. 3cm

D. 14cm
Bài 20: Một con lắc gồm một lò xo nhẹ ccó độ cứng k = 100N/m, và một vật nhỏ khối lượng 250g, dao
động điều hòa với biên độ bằng 10cm. Chọn gốc thời gian lúc vật đi qua vị trí cân bằng. Quãng đường vật
đi được trong thời gian πcm/s, lấy /24s, kể từ lúc t = 0 bằng bao nhiêu?
A. 7,5cm
B. 5cm
C. 15cm
D. 20cm

Trang 13


Bài 21: Một vật dao động điều hòa với phương trình x 4 cos  t   / 4   cm  . Sau 4,5s kể từ thời điểm
đầu tiên vật đi được đoạn đường:
A. 34cm

B. 36cm

C. 32  4 2cm
D. 32  2 2cm
Bài 22: Một con lắc lị xo gồm một lị xo có độ cứng k = 100N/m và vật có khối lượng m = 250g, dao
động điều hòa với biên độ A = 6cm. Chọn gốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị trí cân bằng. Quãng đường
vật đi được trong 10πcm/s, lấy (s) đầu tiên là
A. 9m
B. 24m
C. 6m
D. 1m
Bài 23: Một con lắc lị xo gịm một lfo xo có độ cứng k = 100N/m và vật có khối lượng m = 250g, dao
động điều hòa với biên độ A = 6cm. Chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng.Quãng đường vật đi
được trong 0,05πcm/s, lấy s đầu tiên là:

A. 24cm
B. 9cm
C. 6cm
D. 12cm
Bài 24: Vật dao động điều hịa với phương trình: x 8cos  t   / 2   cm  . Sau thời gian t1 0,5s kể từ
thời điểm ban đầu vật đi được quãng đường S1 4cm .Sau khoảng thời gian t 2 12,5s (kể từ thời điểm
ban đầu) vật đi được quãng đường:
A. 160cm
B. 68cm
C. 50cm
D. 36cm
Bài 25: Một con lắc lị xo dao động điều hịa có biên độ 2,5cm. Vật có khối lượng 250g và độ cứng lò xo
100N/m. Lấy gốc thời gian khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương quy ước. Quãng đường vật đi
được sau πcm/s, lấy /20s đầu tiên và vận tốc của vật khi đó là:
A. 5cm; -50cm/s
B. 6,25cm; 25cm/s
C. 5cm; 50cm
D. 6,25cm; -25cm/s
Bài 26: Một con lắc lò xo gồm một lị xo có độ cứng k = 100N/m và vật có khối lượng m = 250g, dao
động điều hòa với biên độ A = 6cm. Chọn gốc thời gian lúc vật đi qua vị trí cân bằng. Quãng đường vật đi
được trong 0,15πcm/s, lấy s đầu tiên là:
A. 12cm
B. 6cm
C. 24cm
D. 36cm
Bài 27: Một vật dao động theo phương trình x 2 cos  0,5t   / 4   cm  . Trong thời gian 2011s tính từ
thời điểm bao đầu vật đi được quãng đường là:
A. 4027,5cm
B. 4020cm
C. 4023cm

D. 4024cm
C. BỨT PHÁ: VẬN DỤNG
Bài 1: Một vật dao động điều hịa với chu kì T và biên độ A. Tốc độ trung bình lớn nhất của vật thực hiện
được trong khoảng thời gian 2T/3 là:
A.

9A
2T

B.

C.

3 3A
2T

D.

3A
T
6A
T

Trang 14


Bài 2: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, quãng vị trí cân bằn O với chu kì T và biên độ dao
động là A. Tìm quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian T/3 là:
A.





B. A

3 1 A



C. A 3

D. 2 



2 A

Bài 3: Một vật dao động điều hào với phương trình x 4 cos  4t   / 3  . Tính quãng đường lớn nhất mà
vật đi được trong khoảng thời gian 1/6s
A.

B. 2 3cm

3cm

C. 3 3cm

D. 4 3cm

Bài 4: Một vật dao động điều hòa với phương trình x 4 cos  4t   / 3   cm  . Quãng đường nhỏ nhất
mà vật đi được trong khoảng thời gian t 1 / 6  s 





A. 2 4  2 3 cm

B. 2 3 cm

C. 4cm

D. 4 3 cm
Bài 5: Một con lắc lò xo dao động điều hòa tự do theo phương nằm ngang với chiều dài quỹ đạo là 14cm.
Vật có khối lượng m = 100g, lị xo có độ cứng k = 100N/m. Lấy xấp xỉ   10 . Quãng đường lớn nhất
mà vật đi được trong 1/15s là
A. 10,5cm
B. 21cm
C. 14 3 cm
D. 7 3 cm
Bài 6: Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T. Tỉ số giữa tốc độ trung bình nhỏ nhất và lớn nhất
của chất điểm trong thời gian 2T/3 là:



A. 5  3 2

B. 4 

C.

D.

21



3 /3

3/3

D. VỀ ĐÍCH: VẬN DỤNG CAO
Bài 1: Một con lắc lò xo dao động điều hịa với chu kì T và biên độ 10cm. Biết trong một chu kì, khoảng
thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn vận tốc khơng nhỏ hơn 10 2 cm/s là T/2. Lấy 2 10 . Tần
số dao động của vật là:
A. 3Hz
B. 2Hz
C. 4Hz
D. 1Hz
Bài 2: Một con lắc lị xo có vật nặng với khối lượng m = 100g và lo xo có độ cứng k = 10N/m dao động
với biên độ 2 cm. Thời gian mà vật có vận tốc nhỏ hơn 10 3 cm/s trong mỗi chu kì có bao nhiêu?
A. 0,219s
B. 0,417s
C. 0,628s
D. 0,523s
Bài 3: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x 8cos  3t   / 17  cm , số lần vật đạt tốc độ cực
đại trong giây đầu tiên là:
A. 1 lần
C. 3 lần

B. 2 lần
D. 4 lần

Trang 15


 2

t    . Khoảng thời gian kể từ lúc vật
Bài 4: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x A cos 
 T

đi qua vị trí có tọa độ A/2 theo chiều dương đến lúc vật đạt vận tốc cực đại lần đầu tiên là:
T
5T
s
s
A.
B.
12
36
T
5T
s
C. s
D.
4
12
Bài 5: Một con lắc lò xo dao động điều hịa với chu kì T và biên độ 10cm. Biết trong một chu kì khoảng

thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn vận tốc khơng vượt q 5πcm/s, lấy cm/s là T/3. Tần số dao động của vật
là:
A. 1 / 2 3Hz

B. 0,5 Hz

C. 1 / 3Hz

D. 4Hz

Bài 6: Một con lắc lò xo dao động điều hịa với chu kì T và biên độ 10cm. Biết trong một chu kì T,
khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc khơng vượt quá 8 m/s 2 là T/3. Lấy 2 10 . Tần
số dao động của vật là:
A. 8 Hz
B. 6 Hz
C. 2 Hz
D. 1 Hz
Bài 7: Một vật dao động điều hịa có chu kì T. Nếu chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí A/2 theo chiều
dương. Trong nửa chu kì đầu tiên, vận tốc của vật có trị cực đại ở thời điểm
A. t = T/4
B. t = 5T/12
C. t = 3T/8
D. t = T/2
Bài 8: Một con lắc lò xo gồm hòn bi nhỏ khối lượng m, gắn vào một lị xo nhẹ có độ cứng k = 100 N/m,
đầu kia của lò xo gắn cố định. Kích thích cho con lắc dao động điều hịa, người ta thấy khoảng thời gian
từ lúc con lắc có vận tốc bằng nửa vận tốc cực dại và đang chuyển động nhanh dần cho đến thời điểm gần
nhất con lắc có vận tốc bằng 0 là 0,1s. Lấy 2 10 . Khối lượng của hòn bi bằng:
A. 72g
B. 144g
C. 14,4g

D. 7,2g
Bài 9: Một vật dao động điều hòa với chu kì T, ban đầu kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 4cm rồi thả nhẹ
cho vật dao động. Trong nửa chu kì đầu, khoảng thời gian nhỏ nhất để gia tốc của vật có độ lớn khơng
vượt q 20 2 cm/s2 là T/4. Lấy 2 10 . Tần số dao động của vật bằng:
A. 1 Hz
B. 2 Hz
C. 4 Hz
D. 5 Hz
Bài 10: Một vật dao động điều hòa với phương trình x 4 cos  10t   / 6  cm . Thời điểm vật đi qua vị
trí có vận tốc 20 2 cm/s lần thứ 2012 là:
A. 201,19s
B. 201,11s
C. 201,12s
D. 201,21s
Bài 11: Một vật dao động điều hòa với biên độ là 4cm. Quãng đường nhỏ nhất đi được trong 1s là 20 cm.
Tính gia tốc lớn nhất của vật đạt được
A. 280,735 cm/s2
B. 109,55 cm/s2
C. 246,49 cm/s2
D. 194,75 cm/s2
III. HƯỚNG DẪN GIẢI
Trang 16


A. KHỞI ĐỘNG: NHẬN BIẾT
Bài 1: Chọn đáp án D
Bài 2: Chọn đáp án B
Bài 3: Chọn đáp án C
Bài 4: Chọn đáp án C
Bài 5: Chọn đáp án B

Bài 6: Chọn đáp án A
Bài 7: Chọn đáp án B
Bài 8: Chọn đáp án A
Bài 9: Chọn đáp án A
Bài 10: Chọn đáp án B
Bài 11: Chọn đáp án D
Bài 12: Chọn đáp án A
Bài 13: Chọn đáp án B
Bài 14: Chọn đáp án C
Bài 15: Chọn đáp án A
Bài 16: Chọn đáp án D
Bài 17: Chọn đáp án C
B. TĂNG TỐC: THÔNG HIỂU
Bài 1: Chọn đáp án A
Bài 2: Chọn đáp án C
Bài 3: Chọn đáp án C
Bài 4: Chọn đáp án D
Bài 5: Chọn đáp án C
Bài 6: Chọn đáp án C
Bài 7: Chọn đáp án C
Bài 8: Chọn đáp án D
Bài 9: Chọn đáp án A
Bài 10: Chọn đáp án A
Bài 11: Chọn đáp án C
Bài 12: Chọn đáp án C
Bài 13: Chọn đáp án A
Bài 14: Chọn đáp án D
Bài 15: Chọn đáp án C
Bài 16: Chọn đáp án A
Bài 17: Chọn đáp án B

Bài 18: Chọn đáp án A
Bài 19: Chọn đáp án B
Bài 20: Chọn đáp án C
Bài 21: Chọn đáp án C
Bài 22: Chọn đáp án B
Trang 17


Bài 23: Chọn đáp án D
Bài 24: Chọn đáp án B
Bài 25: Chọn đáp án A
Bài 26: Chọn đáp án D
Bài 27: Chọn đáp án C
C. BỨT PHÁ: VẬN DỤNG
Bài 1: Chọn đáp án A
2T T
2T T T
 nên ta phảo tách t 
  ứng với quãng đường
Ta có t 
3
2
3
2 6
S max 2.A  Smax
T

Trong thời gian t   thì góc qt  t  
6
3

Để vật đi đi được quãng đường lớn nhất thì  phải đối xứng qua trục tung.
Từ đường tròn lượng giác
A A
 Smax   A
2 2
2T
là S max 2.A  A 3A
3
Tốc độ trung bình lớn nhất của vật thực hiện được trong khoảng thời gian 2T/3 là:
 Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong thời gian

S max 9A

t
2T
Bài 2: Chọn đáp án B
T
2.
Trong thời gian t  thì góc quét  t 
3
3
Để vật đi được quãng đường nhỏ nhất thì  phải đối xứng qua trục hịanh. Từ đường tròn lượng giác
v max 

A A
 A
2 2
Bài 3: Chọn đáp án D

Ta có T  0,5s ; thời gian chuyển động t 1/6s

2
1
2.
Trong thời gian t  thì góc qt  t 
6
3
Để vật đi được qng đường lớn nhất thì  phải đối xứng qua trục
tung. Từ đường tròn lượng giác
 Smax 

A 3 A 3

A 3 4 3cm
2
2
Bài 4: Chọn đáp án C

Ta có T  0,5s ;thời gian chuyển động t 1/6s2
 Smax 

Trang 18


1
2
thì góc qt  .t 
6
3
Để vật đi được qng đường nhỏ nhất thì  phải đối xứng qua trục hồnh. Từ đường trịn lượng giác

Trong thời gian t 

A A
 A 4cm
2 2
Bài 5: Chọn đáp án D
Chiều dài quỹ đạo L = 14cm = 2.A  A = 7cm
 Smax 

Ta có  

 1
k
10 rad/s  T   s
2 5
m

Góc quét  t 

2.
3

Để vật đi được quãng đường lớn nhất thì  phải đối xứng qua trục tung. Từ
đường tròn lượng giác
A 3 A 3

A 3 7 3cm
2
2
Bài 6: Chọn đáp án B

2T T
2T T T
 nên ta phải tách t 
 
Giải t 
ứng với quãng
3
2
3
2 6
đường S max 2.A  Smax
 Smax 

T

Trong thời gian t   thì góc qt  t  
6
3
Để vật đi đi được quãng đường lớn nhất thì  phải đối xứng qua trục
tung. Từ đường trịn lượng giác
A A
 Smax   A
2 2
2T
 Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong thời gian
là S max 2.A  A 3A
3
Tốc độ trung bình lớn nhất của vật thực hiện được trong khoảng thời gian 2T/3 là:
v max 

S max 9A

(1)
t
2T

Tương tự đối với S min thì S min 2.A  Smin

A 3
Smin 2  A 
 2A  A 3  S min 4A  A 3
2


Tốc độ trung bình min là v  S min 
min
t
Từ (1) và (2) suy ra

 4A  A 3  .3  2 
2T

v min 4  3

v max
3

D. VỀ ĐÍCH: NÂNG CAO
Bài 1: Chọn đáp án D
Trang 19

 v  10 2
Ta có v  10 2  
 v   10 2
Biểu diễn trên đường trịn.
Để vật nhỏ của con lắc có độ lớn vận tốc không nhỏ hơn 10 2
 M và M
 M
cm/s thì ứng với cung trịn M
1

2

3

4

A
10 2  .A 20
2
  2 rad / s
 v

Tần số dao động của vật là f = 1Hz
Bài 2: Chọn đáp án D
Ta có  


k

10 rad/s  T  s  v max .A 20cm / s vận tốc
5
m

nhỏ hơn 10 3cm / s .
Từ đường trịn lượng giác ta có góc quét:
 5
 2   t  t 0,523s
3 3
Bài 3: Chọn đáp án C
Vật có tốc độ cực đại tại vị trí cân bằng. Chu kì dao động T = 2/3s; thời
gian chuyển động t = 1s
Góc  t 3
Lúc đầu vật ở vị trí M0 ứng với góc πcm/s, lấy /17
Sau 1 vòng tròn vật đi qua vị trí cân bằng 2 lần. thêm nữa đường trịn nữa
vật đi qua vị trí cân bằng thêm 1 lần nữa  số lần vật đạt tốc độ cực đại
trong giây đầu tiên là: 3 lần
Bài 4: Chọn đáp án D
Vật qua vị trí A/2 theo chiều dương ứng với điểm M1 trên đường trịn.
Khi vật có vận tốc cực đại tại vị trí cân bằng có 2 điểm M 1 và M2 trên
đường trịn
  5 2
5T
Góc qt      .t  t 
3 2 6
T
12
Bài 5: Chọn đáp án B
 v  5
Ta có v  5  

 v   5
Biểu diễn trên đường trịn
Để vật nhỏ của con lắc có độ lớn vận tốc khơng nhỏ hơn

10 2

 M và M
 M
cm/s thì ứng với cung tròn M
1
2
3
4
.A
5  .A 10
2
   rad / s
 v

Tần số dao động của vật là f = 0,5 Hz
Trang 20