Đồ án tốt nghiệp đại học nghiên cứu thuật toán FFT và xây dựng ứng dụng phân tích phổ

Môc Lôc
Më ®Çu 2
Mở đầu
Cuộc cách mạng khoa học và công nghệ đang diễn ra một cách sôi
động cha từng thấy nh hiện nay trên toàn thế giới thúc đẩy loài ngời nhanh
chóng bớc sang một kỷ nguyên mới. Đó là kỷ nguyên của nền văn minh
dựa trên cơ sở công nghiệp trí tuệ. Mở đầu cho cho cuộc cách mạng khoa
học và công nghệ lần này có thể đợc đánh dấu bằng sự ra đời và phát triển
của máy tính cũng nh các phơng tiện xử lý thông tin khác, đặc biệt là các hệ
thống sử lý song song với tốc độ ngày càng cao. Cùng với sự phát triển
ngày càng nhanh chóng các công cụ sử lý tín hiệu số hiện đại. Đặc biệt các
phơng pháp sử lý số này phải áp dụng có hiệu quả trong các lĩnh vực thông
tin liên lạc,phát thanh truyền hình,tự động điều khiển và các nghành công
nghệ khác. ở bất cứ nơi đâu bạn cũng sẽ gặp rất nhiều những vật dụng
trong cuộc sống đợc áp dụng kỹ thuật số, từ những vật dụng rất đơn giản
nh những món đồ chơi trẻ em đến các vật dụng loại Hi End đắt tiền
trong gia đình, ứng dụng trong truyền thông, các thiết bị chuyên dùng trong
truyền thông, phát thanh, truyền hình, các thiết bị của ngành khoa học, y tế,
giáo dục đều đ ợc các nhà sản xuất tận dụng tối đa những u thế của công
nghệ số đa vào trong sản phẩm của mình. Những chiếc máy ảnh kỹ thuật
số, máy tính số với tốc độ phân giải cao nh ng kích thớc chỉ cỡ một bao
thuốc lá, thậm chí là mỏng và nhỏ hơn, rất thời trang và rất nhẹ đang dần
thay thế những chiếc máy ảnh vận hành bằng cơ khí cổ điển rất thịnh hành
ở những năm cuối thế kỷ trớc mà có lẽ bây giờ khi đi du lịch, mang theo nó
là một vấn đề cần phải cân nhắc, xem xét. Còn về các dịch vụ viễn thông đa
phơng tiện, chắc chúng ta còn nhớ đến những chiếc máy điện thoại để bàn
quay tay, muốn thực hiện cuộc gọi thì phải đăng ký với tổng đài, thì bây giờ
tổng đài số đã đợc thay thế, các cuộc điện thoại dùng cách gọi trực tiếp
2
quay số IDD hết sức dễ dàng, tiện dụng. Sự phát triển bùng nổ của công
nghệ thông tin làm cho các dịch vụ Internet trở nên gần gũi và giúp cho con

ngời trên toàn thế giới có thể trao đổi và cập nhật thông tin trực tuyến.
Đó chính là những thành quả thấy rất rõ của việc áp dụng kỹ thuật số
mà trong đó phân tích và xử lý tín hiệu số là vấn đề cốt lõi, căn bản của hệ
thống số. Đề tài: Nghiên cứu thuật toán FFT và xây dựng ứng
dụng phân tích phổ của tín hiệu sẽ làm rõ hơn về vấn đề này.
Trong phạm vi của đề tài, em đã giải quyết đợc một số vấn đề sau:
Chơng I: Tổng quan về tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu số
Chơng II: Biến đổi tín hiệu Fourier rời rạc
Chơng III: Thuật toán biến đổi nhanh Fourier (FFT) và Cấu
trúc file Wave.
Chơng IV: Thiết kế và xây dựng chơng trình hiển thị phổ tín
hiệu file Wave.
Qua thời gian nghiên cứu, tìm hiểu ứng dụng. Đặc biệt đợc sự giúp đỡ
tận tình của Thầy giáo Tiến sỹ Dơng Tử Cờng, đề tài của em đã đợc hoàn
thành. Tuy vậy, không thể không có những thiếu sót vì đây là một vấn đề
còn mới, ít tài liệu đề cập đến hoặc có đề cập thì cũng chỉ sơ sài chung
chung, khó có thể thuật toán hoá, chơng trình hoá. Em rất mong đợc sự
đóng góp chân thành của các thầy cô giáo và những ngời quan tâm đến vấn
đề này để đề tài của em đợc hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn sự
giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè, thầy cô giáo đặc biệt là Thầy giáo TS Dơng
Tử Cờng đã hớng dẫn và quan sát quá trình thực hiện đề tài của em.
3
Chơng 1: Tổng quan về Tín hiệu và hệ thống
xử lý tín hiệu số
1.1. Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu số.
1.1.1. Tín hiệu rời rạc theo thời gian:
Định nghĩa tín hiệu: Tín hiệu là biểu diễn vật lý của thông tin.
Về mặt toán học, tín hiệu đợc biểu diễn bởi hàm của một hoặc nhiều
biến số độc lập. Nếu biến độc lập của sự biểu diễn toán học của một tín
hiệu là liên tục thì tín hiệu đó đợc gọi là tín hiệu liên tục. Còn nếu tín hiệu

đợc biểu diễn bởi hàm của các biến rời rạc, thì tín hiệu đó đợc gọi là tín
hiệu rời rạc( rời rạc ở đây đợc hiểu là rời rạc theo biến số). Hàm của tín
hiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu đó đợc gọi là tín hiệu số.
Tín hiệu rời rạc theo thời gian là một chuỗi số có chỉ số( đợc định chỉ
số) các số thực hoặc số phức. Nh vậy tín hiệu rời rạc theo thời gian là hàm
của biến độc lập có kiểu số nguyên n( biến nguyên n), ta kí hiệu là x(n).
Một điều quan trọng cần phải lu ý là tín hiệu rời rạc theo thời gian không đ-
ợc định nghĩa ở các thời điểm nằm giữa hai mẫu liên tiếp nhau. Cũng sẽ
không đúng nếu cho rằng x(n) sẽ có giá trị bằng 0 nếu giá trị của x(n)
không phải là số nguyên. Rất đơn giản, tín hiệu x(n) chỉ đợc định nghĩa đối
với các giá trị nguyên của n. Do vậy một tín hiệu có giá trị thực x(n) sẽ đợc
biểu diễn bằng đồ thị ở dạng giản đồ lollipop nh đợc trình bày trong hình
1.1.
4
Trong nhiều bài toán cũng nh trong nhiều ứng dụng, để thuận lợi ta
xem x(n) nh là một vector. Các giá trị từ x(0) đến x(N-1) của chuỗi thờng đ-
ợc khảo sát nh là các phần tử của một vector cột nh sau:
x= [x(0), x(1), , x(N-1)]
T
.
Trong khi nghiên cứu, chúng ta giả sử rằng tín hiệu rời rạc theo thời
gian đợc định nghĩa đối với giá trị nguyên của n thuộc khoảng - < n < +
. Theo qui ớc chúng ta cũng sẽ xem x(n) nh là mẫu thứ n của tín hiệu,
thậm chí nếu tín hiệu này vốn đã là tín hiệu rời rạc( không phải là kết quả
của quá trình lấy mẫu tín hiệu rời rạc). Nếu cho rằng x(n) là tín hiệu nhận
đợc do quá trình lấy mẫu của tín hiệu tơng tự x
a
(t) thì x(n) = x(nT), trong
đó T là chu kỳ lấy mẫu( thời gian giữa hai lần lấy mẫu liên tiếp nhau).
Chú ý: Chúng ta sẽ sử dụng x(n) nh là cách viết đơn giản của x(nT)

hoặc hiểu là với T = 1.
Thông thờng ta nhận đợc các tín hiệu rời rạc theo thời gian từ việc lấy
mẫu một tín hiệu thời gian liên tục( continuous-time signal) kết hợp với bộ
biến đổi tơng tự số ADC( analog to digital converter). Thí dụ nh tín hiệu
liên tục x
a
(t) đợc lấy mẫu với tần số lấy mẫu là f
s
= 1/T
s
( nghĩa là trong 1
Hình 1.1. Biểu diễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời gian

n
0 1 2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
1.3
1.8
2.5
1.8
- 1.3
- 1.8
3
0.5

2
5
giây ta có f
s
mẫu) để tạo ra tín hiệu đợc lấy mẫu ( rời rạc theo thời gian )
x(n), x(n) quan hệ với x
a
(t) nh sau: x(n) = x
a
(nT
s
).
Tuy nhiên không phải tất cả các tín hiệu rời rạc theo thời gian đều có
đợc theo cách trên. Một số tín hiệu đợc khảo sát là các chuỗi xuất hiện một
cách tự nhiên rời rạc theo thời gian mà không cần đến bộ biến đổi tơng tự -
số để biến đổi tín hiệu tơng tự thành tín hiệu rời rạc theo thời gian. Ví dụ
cho tín hiệu loại này nh giá cả hàng ngày trên thị trờng cổ phiếu, thống kê
dân số, kiểm kê kho hàng và các số vệt đen ở bề mặt của mặt trời.v.v
Ngoài phơng pháp sử dụng đồ thị nh mô tả trên hình 1.1 còn có một số
phơng pháp khác tơng đối thuận tiện đợc dùng để biểu diễn tín hiệu( hoặc
dãy) rời rạc theo thời gian. Các phơng pháp này bao gồm:
a. Biểu diễn bằng hàm
Ví dụ:
b. Biểu diễn bằng bảng
Ví dụ:
n -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x(n) 0 0 0 1 3 0 1 0 0

c. Biểu diễn qua dãy số

Ví dụ:
Tín hiệu hoặc dãy vô hạn đợc mô tả qua ví dụ dới đây:
x(n) = { 0, 0, 0, 1, 3, 0, 1, 0, 0, } (1.1.2)
x(n) =
1, với n = 1, 4
3, với n = 2 (1.1.1)
0, với các giá trị n khác
6
Trong đó kí hiệu dùng để chỉ thời điểm gốc( n = 0).
Dãy x(n) có giá trị bằng 0 với n < 0 đợc biểu diễn bằng cách sau:
x(n) = {0, 1, 3, 0, 1, 0, 0, } (1.1.3)
ở đây thời điểm gốc đối với dãy x(n) với giá trị bằng 0 nếu n < 0 đợc
hiểu nh là điểm bên trái nhất của dãy.
Dãy hữu hạn có thể đợc biểu diễn bằng cách:
x(n) = {3, -1, -2, 5, 0, 1, 0, 9} (1.1.4)
Nếu dãy hữu hạn thoả mãn điều kiện x(n) = 0 với n < 0 thì dãy có thể
đợc biểu diễn theo cách nh sau:
x(n) = {0, 1, 3, 0, 1} (1.1.5)
Tín hiệu trong (1.1.4) có chứa 8 giá trị mẫu hoặc tám điểm (theo thời
gian) và đợc gọi là dãy có tám điểm. Cũng tơng tự nh vậy, dãy biểu diễn bởi
(1.1.5) là dãy 5 điểm.
1. Tín hiệu phức
Một cách tổng quát, tín hiệu rời rạc theo thời gian có thể có giá trị
phức. Thật vậy, trong một số ứng dụng quan trong nh thông tin số, các tín
hiệu phức phát sinh một cách tự nhiên. Tín hiệu phức có thể đợc biểu diễn
bằng các phần thực ( real part ) và phần ảo( imaginary part).
z(n) = a(n) + jb(n) = Re{z(n)} + jIm{z(n)}
hoặc đợc biểu diễn ở dạng cực( polar form) theo biên độ( amplitude) và
pha( phase)
z(n) = z(n)exp[jarg{z(n)}]

Biên độ có thể đợc suy ra từ các phần thực và phần ảo nh sau:
z(n)
2
= Re
2
{z(n)} + Im
2
{z(n)}
Trong khi đó pha đợc tính theo công thức
arg{z(n)} = tan
-1
Im{z(n)}/Re{z(n)}
Nếu z(n) là một chuỗi phức, liên hợp phức( complex conjugate) ký
hiệu là z
*
(n) đợc thành lập bằng cách thay đổi dấu trong phần ảo của z(n)
7
z
*
(n) = Re{z(n)} - jIm{z(n)} = z(n)exp[- jarg{z(n)}]
2. Một vài tín hiệu rời rạc cơ bản.
Mặc dù hầu hết các tín hiệu mang thông tin trong thực tế là các hàm
phức tạp theo thời gian( complicated functions of time ), nhng dới đây là
một số tín hiệu rời rạc theo thời gian tuy đơn gian nhng rất quan trọng. Nó
rất hay xuất hiện và thờng đợc sử dụng trong lý thuyết về tín hiệu và hệ
thống rời rạc theo thời gian để biểu diễn và mô tả các tín hiệu phức tạp hơn.
Các tín hiệu cơ bản này là: xung đơn vị( unit sample), nấc đơn vị( unit
step), tín hiệu dốc đơn vị và hàm mũ( exponential)
a. Dãy mẫu đơn vị
Tín hiệu này còn đợc gọi là dãy xung đơn vị và đợc định nghĩa nh sau:

Nh vậy, dãy mẫu đơn vị là tín hiệu chỉ có một giá trị duy nhất bằng 1
đơn vị tại thời điểm n = 0 trong khi tất cả các giá trị còn lại đều bằng 0.
Khác với xung đơn vị

(n) của tín hiệu tơng tự, dãy mẫu đơn vị về mặt toán
học không vớng và phức tạp nh tín hiệu này. Tín hiệu dãy xung đơn vị đóng
một vai trò hết sức quan trọng và đợc mô tả bằng đồ thị nh trên hình 1.2.
b. Dãy nhảy bậc đơn vị
(n) =
0 1
2
3
-1
-2
-3
1
.
n
8
Hình 1.2. Biểu diễn đồ thị của tín hiệu mẫu đơn vị
(n)
1, với n = 0
0, với n 0
(1.1.6)
Dãy này còn đợc gọi là tín hiệu nhảy bậc đơn vị hay hàm bậc thang và
đợc định nghĩa qua hàm sau:
Giữa tín hiệu nhẩy bậc đơn vị và tín hiệu xung đơn vị có mối quan hệ:

=
=

n
k
knnu
0
)()(

Tơng tự, một xung đơn vị có thể đợc viết thành sai biệt của hai tín hiệu
nấc đơn vị:

(n) = u(n) u(n - 1)
Tín hiệu nhảy bậc đơn vị đợc mô tả trên hình 1.3.
c. Tín hiệu dốc đơn vị
Tín hiệu này đợc ký hiệu bằng u
r
(n) và đợc định nghĩa qua công thức:

Tín hiệu này đợc mô tả trên hình 1.4.
(n) =
0 1
2
3
-1
-2
-3
1
Hình 1.3. Biểu diễn bằng đồ thị tín hiệu nhẩy bậc đơn vị
u(n)

n
9

1, với n 0
0, với n < 0
n, với n 0
0, với n < 0
(1.1.8)
(1.1.7)
u
r
(n) =
d. Hàm mũ
Chuỗi hàm mũ đợc định nghĩa bởi x(n) = a
n
trong đó a là số thực hoặc
số phức. Chuỗi hàm mũ có tầm quan trọng đặc biệt khi
0

j
ea
=
với
0


là một số thực. Trong trờng hợp này, x(n) là một hàm mũ phức:
)sin()cos(
00
0


njne

j
+=
.
Nghiên cứu các hàm mũ phức rất hữu ích trong việc phân rã
Fourier( Fourier decomposition) các tín hiệu.
3. Phân loại tín hiệu rời rạc
Các phơng pháp toán học đợc dùng trong việc phân tích tín hiệu và hệ
thống rời rạc theo thời gian hoàn toàn phụ thuộc vào đặc thù của tín hiệu.
Dới đây chúng ta sẽ phân loại các tín hiệu rời rạc theo thời gian tuỳ theo
các đặc thù này.
a. Tín hiệu năng lợng và tín hiệu công suất
Năng lợng E của tín hiệu x(n) đợc định nghĩa bằng công thức:


=
=
n
nxE
2
|)(|

(1.1.9)
Trong đó |x(n)| là modul của tín hiệu. Với cách định nghĩa này thì công
thức (1.1.9) có thể đợc sử dụng để tính năng lợng của tín hiệu phức cũng
nh tín hiệu thực.
0 1
2
3
-1
-2

-3
Hình 1.4. Biểu diễn bằng đồ thị tín hiệu dốc đơn vị
u
r
(n)

n
10
Năng lợng của tín hiệu có thể là hữu hạn hay vô hạn. Nếu E là hữu hạn
(0<E<) thì x(n) đợc gọi là tín hiệu năng lợng. Để phân biệt năng lợng của
tín hiệu rời rạc, thông thờng ngời ta sử dụng thêm chỉ số x đối với E và viết
là: E
x
Rất nhiều tín hiệu với năng lợng vô hạn lại có công suất hữu hạn. Công
suất trung bình của tín hiệu rời rạc theo thời gian x(n) đợc định nghĩa bằng
biểu thức sau:

=

+
=
N
Nn
N
nx
N
P
2
|)(|
12

1
lim
(1.1.10)
Nếu định nghĩa năng lợng tín hiệu của dãy x(n) trong khoảng hữu hạn
N n N là:

=
=
N
Nn
N
nxE
2
|)(|
(1.1.11)
thì có thể xác định năng lợng tín hiệu E qua biểu thức:

=
N
N
EE lim
và công suất trung bình của tín hiệu x(n):
N
N
E
N
P
12
1
lim

+
=

(1.1.12)
Rõ ràng rằng nếu E là hữu hạn thì P = 0. Trong khi đó nếu E là vô hạn
thì công suất trung bình P có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Nếu P là hữu hạn(
và khác 0) tín hiệu sẽ đợc gọi là tín hiệu công suất. Dới đây sẽ mô tả một ví
dụ về kiểu năng lợng này.
Ví dụ 1: Xác định năng lợng và công suất của dãy nhẩy bậc đơn vị
Công suất trung bình của tín hiệu nhẩy bậc đơn vị là:
2
1
/12
/11
lim
12
1
lim)(
12
1
lim
0
2
=
+

=
+

=

+
=

=


N
N
N
N
nu
N
P
N
N
n
NN
Từ đây suy ra rằng tín hiệu nhẩy bậc đơn vị là tín hiệu công suất.
11
Cũng tơng tự nh vậy có thể nhận thấy rằng hàm mũ phức x(n) = Ae
j

n
có công suất trung bình là A
2
vì vậy đây là tín hiệu công suất. Tuy vậy có
thể thấy rằng tín hiệu dốc đơn vị không phải là tín hiệu năng lợng cũng
không phải là tín hiệu công suất.
b. Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn
Các tín hiệu rời rạc theo thời gian luôn luôn có thể đợc phân loại thành

tín hiệu tuần hoàn(periodic) và tín hiệu không tuần hoàn( aperiodic). Tín
hiệu x(n) đợc gọi là tuần hoàn với chu kỳ N nếu với mỗi số nguyên dơng N,
ta có:
x(n+N) = x(n) với mọi n (1.1.13)
Giá trị nhỏ nhất của N thoả mãn biểu thức (1.1.13) đợc gọi là chu kỳ
cơ bản. Nếu không có bất cứ một giá trị nào của N để (1.1.13) là đúng thì
tín hiệu đợc gọi là không tuần hoàn. Hình 1.5 là một ví dụ về tín hiệu tuần
hoàn
Khi khảo sát tín hiệu hình Sin ta cũng thấy rằng tín hiệu:
x(n) = Asin2f
0
n (1.1.14)
là tín hiệu tuần hoàn nếu f
0
là một số hữu tỷ, hay nói cách khác f
0
có thể đợc
biểu diễn qua biểu thức:
1
x(n)
0
1 2 3
-1
4
-2
n
Hình 1.5. Mô tả bằng đồ thị của tín hiệu tuần hoàn
12
f
0

= k/N (1.1.15)
trong đó k và N là những số nguyên.
Năng lợng của tín hiệu tuần hoàn x(n) trong một chu kỳ hay trong một
khoảng 0 n N 1 là hữu hạn nếu x(n) nhận các giá trị hữu hạn trong
một chu kỳ. Tuy vậy, năng lợng của tín hiệu tuần hoàn với - n là vô
hạn. Mặt khác, công suất trung bình của tín hiệu tuần hoàn là hữu hạn và
bằng công suất trung bình trong một chu kỳ. Nh vậy, nếu x(n) là tín hiệu
tuần hoàn với tần số cơ bản N và có các giá trị hữu hạn thì công suất của nó
đợc xác định qua biểu thức:


=
=
1
0
2
|)(|
1
N
n
nx
N
P
(1.1.16)
Suy ra rằng tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu công suất.
1.1.2. Các hệ thống xử lý tín hiệu số
1. Mô tả vào/ra hệ thống
Một hệ thống rời rạc theo thời gian là một toán tử toán học hoặc phép
ánh xạ biến đổi một tín hiệu( ngõ vào) thành một tín hiệu khác( ngõ ra) dựa
vào một tập cố định các quy luật và các phép toán. Các tính chất vào ra

của một hệ thống có thể đợc chỉ ra theo một trong nhiều cách khác nhau.
Quan hệ vào/ra này có thể đợc biểu diễn nhờ vào một quy luật toán học
hoặc bằng biểu thức toán học:
y(n) T[x(n)]
trong đó T là ký hiệu của phép biến đổi hoặc toán tử.
Hoặc biểu diễn:
T
x(n)
y(n)
13
Theo cách biểu diễn này thì y(n) là đáp ứng của hệ thống T với kích
thích là x(n).
Việc phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc đợc thực hiện thông
qua các điều kiện ràng buộc đối với phép biến đổi T.
2. Biểu diễn hệ thống rời rạc theo thời gian bằng sơ đồ khối.
Để có thể biểu diễn các hệ thống rời rạc theo thời gian bằng sơ đồ khối
việc trớc tiên là cần phải xây dựng một số khối thực hiện một số công việc
cơ bản. Thông qua các khối này chúng ta có thể xây dựng nên các hệ thống
phức tạp hơn.
a. Bộ nhân với hằng số( constant multiplier).
Phép toán này đợc mô tả trên hình 1.11 và biểu diễn một phép lấy tỷ lệ
của tín hiệu đầu vào x(n). Chú ý rằng đây cũng là phép toán tức thì.
b. Bộ cộng( Adder)
Hình 1.12 mô tả một hệ thống (bộ cộng) thực hiện cộng hai dãy tín
hiệu với kết quả là một dãy khác dãy tổng y(n).
Chú ý rằng trong quá trình thực hiện thao tác cộng ta không cần phải l-
u trữ bất cứ một giá trị trung gian nào bởi vì phép cộng đợc thực hiện tức
thì không nhớ.
Hệ thống rời rạc
theo thời gian

T[.]
x(n)
y(n)
Tín hiệu hoặc kích
thích vào
Tín hiệu hoặc đáp
ứng ra

Hình 1.10. Biểu diễn bằng sơ đồ khối của hệ thống rời rạc theo thời gian
x(n) c y(n) = cx(n)
Hình 1.11. Biểu diễn qua sơ đồ của hệ nhân với hằng số
14

c. Bộ nhân tín hiệu( signal multiplier)
Hình 1.13. biểu diễn một bộ nhân của hai dãy tín hiệu với kết quả là
một dãy tích y(n). Cũng giống nh hai trờng hợp trớc, ở đây phép nhân cũng
là phép toán không nhớ.
d. Phần tử trễ đơn vị.
Phần tử trễ đơn vị( unit delay element) là hệ thống đặc biệt có tác dụng
làm trễ tín hiệu đi qua với thời gian bằng một đơn vị. Hệ thống này đợc mô
tả trên hình 1.14. Nếu tín hiệu đầu vào là x(n) thì tín hiệu ra là y(n) = x(n -
1), rõ ràng rằng để có thể nhận đợc tín hiệu đầu ra y(n) ở thời điểm n thì giá
trị mẫu đầu vào x(n) ở thời điểm trớc đó (n - 1) cần đợc lu trữ lại.
Nh vậy hệ thống này là hệ thống có nhớ. Trong miền Z phần tử này đ-
ợc ký hiệu bởi z
-1
.
x
1
(n)

x
2
(n)
+
y(n) = x
1
(n) + x
2
(n)
Hình 1.12. Hình biểu diễn qua sơ đồ bộ cộng
x
1
(n)
x
2
(n)
X
y(n) = x
1
(n) x
2
(n)
Hình 1.13. Hình biểu diễn qua sơ đồ của hệ nhân
Z
-1
y(n) = x(n - 1)
x(n)
Hình 1.14. Biểu diễn qua sơ đồ của phần tử trễ
15
e. Phần tử vợt trớc đơn vị( Unit advance element).

Trái ngợc với hệ trễ đơn vị, hệ vợt trớc đơn vị sẽ chuyển đầu vào x(n)
dịch về trớc một mẫu theo thời gian để có thể nhận đợc ở đầu ra tín hiệu
y(n) = x(n+1). Hình 1.15 là cách biểu diễn hệ thống này trong đó z là ký
hiệu của hệ thống.
3. Phân loại các hệ thống rời rạc theo thời gian.
Các hệ thống rời rạc theo thời gian có thể đợc phân loại dựa vào các
tính chất mà hệ thống có đợc. Các tính chất quan trọng thờng dùng nhất là:
Tuyến tính, bất biến, nhân quả, nhớ và không nhớ, ổn định và khả đảo .
a. Hệ thống nhớ và không nhớ
Hệ thống rời rạc theo thời gian đợc gọi là không nhớ( memoryless)
hoặc tĩnh( static) nếu tín hiệu ra của nó ở mọi thời điểm chỉ phụ thuộc vào
tín hiệu đầu vào ở cùng một thời điểm mà không phụ thuộc vào các giá trị
mẫu của các tín hiệu đầu vào trong quá khứ hoặc tơng lai. Ngợc lại hệ
thống là có nhớ hoặc biến đổi( dynamic).
Các hệ thống đợc mô tả bằng các quan hệ vào/ra.:
y(n) = cx(n)
y(n) = nx(n) + bx
3
(n)
đều là các hệ thống không nhớ bởi vì các giá trị của y(n) chỉ phụ thuộc vào
giá trị tín hiệu đầu vào ở cùng một thời điểm.
Z
y(n) = x(n + 1)
x(n)
Hình 1.15. Biểu diễn qua sơ đồ của phần tử vợt trớc
16
Ngợc lại hệ thống: y(n) = x(n) + x(n - 1) là hệ thống có nhớ vì y(n)
không chỉ phụ thuộc vào giá trị tín hiệu đầu vào ở cùng một thời điểm mà
còn phụ thuộc vào quá khứ.
b. Hệ thống bất biến và không bất biến theo thời gian

Một hệ thống đợc gọi là bất biến theo thời gian nếu nh đặc trng vào/ra
của nó không thay đổi theo thời gian tức là:
Nếu:
)()( nynx
T

thì suy ra:
)()( knyknx
T

đối với mọi tín hiệu đầu vào x(n) và mọi thời gian dịch chuyển k.
c. Hệ tuyến tính và không tuyến tính.
Các hệ thống có thể đợc chia làm hai loại: tuyến tính và không tuyến
tính. Hệ thống đợc gọi là tuyến tính nếu nó thoả mãn nguyên lý xếp chồng.
Nguyên lý này đòi hỏi rằng đáp ứng của hệ thống với tác động là tổng của
các tín hiệu sẽ bằng tổng các đáp ứng của hệ thống khi tác động đầu vào là
từng tín hiệu riêng lẻ tức là:
T[a
1
x
1
(n) + a
2
x
2
(n)] = T[a
1
x
1
(n)] + T[a

2
x
2
(n)]
đối với mọi dãy tín hiệu đầu vào x
1
(n), x
2
(n) và các hằng số a
1
, a
2
.
d. Hệ nhân quả và không nhân quả
Một hệ thống đợc gọi là nhân quả nếu tín hiệu đầu ra của nó tại một
thời điểm bất kỳ n( nghĩa là y(n)) chỉ phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong
quá khứ và tại thời điểm đang xét. [ tức là chỉ phụ thuộc vào x(n), x(n - 1),
x(n - 2), ] và không phụ thuộc vào các tín hiệu đầu vào trong tơng lai
[x(n+1), x(n+2), ]. Nh vậy tín hiệu đầu ra y(n) có thể đợc biểu diễn nh
sau:
y(n) = F[x(n), x(n - 1), x(n - 2), ]
trong đó F[.] biểu diễn một hàm số bất kỳ.
17
Ngợc lại, hệ thống đợc gọi là không nhân quả nếu tín hiệu đầu ra
không những chỉ phụ thuộc vào các tín hiệu đầu vào ở hiện tại và quá khứ
mà còn phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong tơng lai.
e. Hệ ổn định và không ổn định.
Trong nhiều ứng dụng, đáp ứng y(n) của hệ thống đợc giới hạn mỗi khi
biên độ tín hiệu đầu vào bị giới hạn. Một hệ thống có tính chất này đợc gọi
là hệ thống có tính ổn định theo nghĩa đầu vào giới hạn và đầu ra giới hạn là

BIBO( bounded input bounded output) nghĩa là tồn tại hai số hữu hạn M
x
và M
y
để:
x(n) M
x
<
y(n) M
y
<
đối với mọi n. Nếu dãy đầu vào là hữu hạn và dãy đầu ra là vô hạn thì hệ
thống đợc gọi là không ổn dịnh.
1.2. Lấy mẫu và khôi phục tín hiệu.
Trong đa số trờng hợp, các tín hiệu rời rạc theo thời gian nhận đợc từ
việc lấy mẫu một tín hiệu liên tục theo thời gian, chẳng hạn nh các tín hiệu
âm tần và tiếng nói, các dữ liệu radar và siêu âm, các tín hiệu địa chấn và
sinh học Quá trình biến đổi các tín hiệu liên tục này thành dạng số đ ợc
gọi là biến đổi tơng tự thành số ( analog-to-digital conversion: A/D). Quá
trình ngợc lại, tái tạo tín hiệu tơng tự từ các mẫu của tín hiệu này đợc gọi là
biến đổi số thành tơng tự (digtal-to-analog conversion: D/A). Chúng ta sẽ
khảo sát các vấn đề liên quan đến biến đổi A/D và D/A. Nền tảng cho việc
khảo sát này là định lý lấy mẫu (sampling theorem), định lý này cung cấp
cho ta các điều kiện cần có để một tín hiệu tơng tự có thể đợc biểu diễn
duy nhất theo các mẫu của tín hiệu này.
1.2.1. Lấy mẫu.
Một bộ biến đổi A/D sẽ biến đổi tín hiệu tơng tự thành một chuỗi
số( lấy mẫu). Tín hiệu ngõ vào đa đến bộ biến đổi A/D; x
a
(t) là hàm có giá

18
trị thực theo một biến liên tục t. Nh vậy, với mỗi giá trị của t, hàm x
a
(t) có
thể có một giá trị thực nào đó.
Tín hiệu ngõ ra của bộ biến đổi A/D la một dòng bit (bit stream) tơng
ứng với một chuỗi rời rạc theo thời gian x(n), chuỗi này có biên độ đợc lợng
tử hoá đối với mỗi giá trị của n, nghĩa là biên độ là một trong một số hữu
hạn các giá trị có thể có đợc. Các thành phần của một bộ biến đổi A/D đợc
mô tả trong hình dới.
Đầu tiên là bộ lấy mẫu (sampler), bộ này đôi khi còn gọi là bộ biến
đổi liên tục thành rời rạc (continuous-to-discrete C/D) hoặc bộ biến đổi
A/D lý tởng. Bộ lấy mẫu biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian x
a
(t) tại
những thời điểm là bội số nguyên của chu kỳ lấy mẫu T
s
, x(n) = x
a
(nT
s
).
Các tín hiệu rời rạc theo thời gian, một cách điển hình, đợc tạo thành
bằng cách lấy mẫu có chu kỳ hay tuần hoàn( periodically sampling) một tín
hiệu liên tục theo thời gian x(n) = x
a
(nT
s
).
Khoảng cách giữa các mẫu T

s
đợc gọi là chu kỳ lấy mẫu và f
s
= 1/T
s
là
tần số lấy mẫu tính bằng số mẫu trong 1 giây. Một phơng pháp tiện lợi để
khảo sát quá trình lấy mẫu này là trớc tiên tín hiệu liên tục đợc nhân với
chuỗi xung tuần hoàn


=
=
n
Sa
nTtts )()(

để tạo ra tín hiệu đợc lấy
mẫu( sampled signal):


=
==
n
SSaaaS
nTtnTxtstxtx )()()().()(

Kế đến, tín hiệu đợc lấy mẫu đợc biến đổi thành tín hiệu rời rạc theo
thời gian bằng cách ánh xạ các xung có khoảng cách thời gian là T
s

thành
một chuỗi tín hiệu là x(n) trong đó các giá trị của các mẫu đợc định chỉ số
bằng các biến nguyên n:
x(n) = x
a
(nT
s
)
19
Ta hãy xét một ví dụ: Giả sử x
a
(t) là tín hiệu tuần hoàn bị giới hạn
băng thông sao cho X
a
(j

) = 0 với |

| >

0
nh minh họa ở hình 1.16.
Nếu x
a
(t) đợc lấy mẫu với tần số lấy mẫu là

s
2

0

, biến đổi Fourier
của x
s
(t) đợc tạo thành bằng cách lập lại có chu kỳ X
a
(j

) nh đợc minh họa ở
hình 1.17.
Tuy nhiên nếu

s
< 2

0
, phổ bị dịch X
a
(j

- jk

s
) sẽ chồng lấp và khi
các phổ này đợc cộng để tạo ra X
s
(j

), kết quả đợc minh họa ở hình 1.18.
Việc chồng lấp các thành phần phổ đợc gọi là aliasing. Khi aliasing
xuất hiện (hay còn gọi là bị alias), phổ tần suất (frequency content) của

x
a
(t) bị sai lệch và X
a
(j

) không đợc tái tạo từ X
s
(j

).
Hình 1.16. Hình dạng phổ khi băng thông của tín hiệu bị giới hạn
X
s
(j)


0
-
0

s
-
s
Hình 1.17. Chu kỳ lấy mẫu đợc lặp lại
20
X
a
(j)

0
-
0
X
s
(j )

s

s
/2-
s
/2-
s
Hình 1.18. Hiện tợng phổ bị chồng lấp
Nh đã đợc minh họa trong ví dụ trên, nếu x
a
(t) hoàn toàn bị giới hạn
băng thông sao cho tần số cao nhất của x
a
(t) là

0
, và nếu tần số lấy mẫu lớn
hơn 2

0
,

s
2

0
, aliasing không xuất hiện và tín hiệu x
a
(t) có thể đợc khôi
phục từ các mẫu x
a
(nT
s
) của tín hiệu này bằng một bộ lọc thấp. Sau đây là
phát biểu của định lý lấy mẫu Nyquist:
Định lý lấy mẫu: Nếu x
a
(t) là tín hiệu hoàn toàn bị giới hạn băng
thông, X
a
(j

) = 0 với |

| >

0
thì x
a
(t) có thể đợc khôi phục từ các mẫu
x
a

(nT
s
) của tín hiệu này nếu
0
2
2
=
s
s
T

.
Tần số

0
đợc gọi là tần số Nyquist và tần số lấy mẫu tối thiểu

s
=
2

0
đợc gọi là tốc độ Nyquist ( Nyquist rate).
Do các tín hiệu đợc tim thấy trong các hệ thống vật lý không bao giờ
có băng thông bị giới hạn hoàn toàn, một bộ lọc tơng tự nhằm loại bỏ
aliasing đợc sử dụng để lọc tín hiệu trớc khi lấy mẫu. Mục đích của việc lọc
này là tối thiểu hoá các năng lợng trên tần số Nyquist và giảm số lợng
aliasing trong bộ biến đổi A/D.
1.2.2. Khôi phục tín hiệu.
Nh đã đợc phát biểu trong định lý lấy mẫu, nếu x

a
(t) là tín hiệu hoàn
toàn bị giới hạn băng thông, X
a
(j

) = 0 với |

| >

0
và nếu T
s
< /
0

thì
x
a
(t) có thể đợc khôi phục từ các mẫu x(n) = x
a
(nT
s
) . Quá trình khôi phục
bao gồm hai bớc nh đợc minh họa trong hình 1.19.
Biến đổi các
xung
Bộ lọc thông
thấp lý t
ởng

x(n)
x
s
(t)
x
a
(t)
Hình 1.19. Bộ khôi phục tín hiệu rời rạc thành liên tục có bộ lọc khôi phục
thông thấp
21
Trớc tiên các mẫu x(n) đợc biến đổi thành một chuỗi xung,


=
=
n
ss
nTtnxtx )()()(

và kế đến x
a
(t) đợc lọc bằng một bộ lọc khôi phục
(reconstruction filter), bộ lọc này là bộ lọc thông thấp lý tởng có đáp ứng
tần số cho bởi:

>

=
s
s
s
r
T
T
T
jH


||,0
||,
)(
. Hệ thống này đợc gọi là bộ biến
đổi rời rạc thành liên tục lý tởng (D/C). Do đáp ứng xung của bộ lọc khôi
phục là:
s
s
r
Tt
Tt
th
/
)/sin(
)(

=
tín hiệu đầu ra của bộ lọc này sẽ là:


=

=



==
n
s
ss
ss
n
sra
nTt
TnTt
TnTt
nxnTthnxtx )(
/)(
/)(sin
)()()()(



Công thức nội suy này trình bày cách thức x
a

(t) đợc khôi phục từ các
mẫu x(n) = x
a
(nT
s
). Trong miền tần số, công thức nội suy trên trở thành:


=

=
n
Tj
ra
s
ejHnxjX

)()()(
)()()()()(
ss
Tj
r
n
Tjn
ra
eXjHenxjHjX


=

==


Dạng trên tơng đơng với:





<
=

,0
||),(
)(
s
Tj
s
a
T
eXT
jX
s

Nh vậy X(e
j

) đợc lập tỉ lệ theo tần số (

=

T
s
) và sau đó bộ lọc thông
thấp loại bỏ mọi tần số trong phổ tuần hoàn
)(
s
Tj
eX

, các tần số này cao
22
Trong các trờng hợp khác
hơn tần số cắt

c
=

/T
s
. Do ta không thể thực hiện một bộ lọc thông thấp
lý tởng, nhiều bộ biến đổi D/A sử dụng một bộ giữ bậc 0( zero-order
holder) cho bộ lọc khôi phục.
Đáp ứng xung của bộ giữ bậc 0 là:




=
,0

0,1
)(
0
s
Tt
th
Và đáp ứng tần số là:
2/
)2/sin(
)(
2/
0


=

s
Tj
T
ejH
s
Sau khi chuỗi các mẫu của x
a
(nT
s
) đã đợc biến đổi thành các xung, bộ
giữ bậc 0 tạo ra một xấp xỉ dạng bậc thang cho x
a
(t) nh đợc trình bày trong
hình 1.20. Với bộ giữ bậc thang 0, ta thờng xử lý sau tín hiệu ngõ ra với

một bộ lọc khôi phục bổ chính( reconstruction compensation filter), đáp
ứng tần số lấy gần đúng là:







>



=

s
s
Tj
s
s
c
T
T
e
TSin
T
jH
s

||;0
||;
)2/(
2/
)(
2/
sao cho việc ghép nối tầng H
0
(e
j

) với H
c
(e
j

) cho ta kết quả gần đúng với
một bộ lọc thông thấp có độ lợi T
s
trên toàn dải thông. Lu ý là việc ghép nối
tầng H
c
(j

) với bộ giữ bậc 0 cho ta một bộ lọc thông thấp lý tởng.
t
4T
s
3T
s

2T
s
T
s
0-T
s
-2T
s
t
4T
s
3T
s
2T
s
T
s
0-T
s
-2T
s
23
Trong các trờng hợp khác
Hình 1.20. Sử dụng bộ lọc giữ bậc 0 để nội suy giữa các mẫu trong x
s
(t)
1.3. Xử lý tín hiệu trong miền thời gian và miền tần số.
1.3.1. Xử lý tín hiệu trong miền thời gian.
Khi khảo sát các tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian, hiển nhiên
có liên quan đến các thao tác trên tín hiệu. Một cách tổng quát các thao tác

này là kết hợp của một vài phép biến đổi cơ bản trên tín hiệu. Các phép biến
đổi này có thể đợc phân loại thành các phép biến đổi độc lập n hoặc thành
các phép biến đổi theo biên độ của x(n).
Đối với các phép biến đổi theo biến độc lập, thông thờng các chuỗi đ-
ợc biến đổi và đợc thao tác bằng cách sửa đổi chỉ số n nh sau: y(n) =
x(f(n)), trong đó f(n) là một hàm nào đó của n. Nếu có một giá trị nào đó
của n làm cho f(n) không phải là một số nguyên, y(n) = x(f(n)) không xác
định. Việc xác định ảnh hởng của việc sửa đổi chỉ số n luôn luôn có thể
thực hiện đợc bằng cách sử dụng phơng pháp liệt kê dạng bảng đơn giản,
với mỗi một giá trị của n ta tính giá trị của f(n) và kế đến thiết lập y(n) =
x(f(n)).
Tuy nhiên với nhiều phép biến đổi chỉ số, điều này không cần thiết và
chuỗi có thể đợc xác định hoặc vẽ đồ thị trực tiếp. Các phép biến đổi thông
dụng nhất bao gồm dịch, đảo ngợc và lập tỷ lệ.
1. Tịnh tiến( dịch): Đây là phép biến đổi đợc xác định bởi f(n) = n
k. Nếu y(n) = x(n k). Tín hiệu x(n) có thể đợc dịch chuyển theo thời gian
bằng cách thay thế biến độc lập n bởi n k , trong đó k là số nguyên. Nếu k
là số nguyên dơng thì kết quả của sự dịch chuyển về thời gian sẽ là sự trễ
của tín hiệu với k đơn vị của thời gian. Nếu k là số âm thì kết quả của sự
dịch chuyển theo thời gian là sự vợt trớc của tín hiệu với k đơn vị thời gian.
2. Đảo ngợc( reversal): Phép biến đổi này đợc cho bởi f(n) = - n và
đơn thuần bao gồm việc hoán đổi tín hiệu x(n) tơng ứng với chỉ số n. Kết
quả của thao tác này là đợc gọi là sự phản xạ của tín hiệu đối với thời điểm
gốc n = 0.
24
3. Lập tỷ lệ thời gian( time scaling): Phép biến đổi này đợc xác định
bởi f(n) = Mn hoặc f(n) = n/N, trong đó M và N là các số nguyên dơng.
Trong trờng hợp f(n) = Mn, chuỗi x(Mn) đợc thành lập bằng cách trích lấy
các mẫu thứ M của x(n) (thao tác này đợc gọi là lấy mẫu xuống[down -
sampling]). Với f(n) = n/N, chuỗi y(n) = x(f(n)) đợc xác định nh sau:

Thao tác này còn đợc gọi là lấy mẫu lên [up - sampling].
Các phép biến đổi biên độ thờng dùng nhất là cộng, nhân và lập tỷ lệ.
Việc thực hiện các phép toán này không phức tạp và chỉ bao gồm các phép
toán trên từng điểm của tín hiệu.
1. Cộng: Tổng của hai tín hiệu x
1
(n) và x
2
(n) là một tín hiệu y(n) với
giá trị ở mỗi thời điểm bằng tổng các giá trị của x
1
(n) và x
2
(n) tơng ứng ở
các thời điểm đó. Và nh vậy:
y(n) = x
1
(n) + x
2
(n), - < n <
2. Nhân: Tích của hai tín hiệu x
1
(n) và x
2
(n) là một tín hiệu y(n) với
giá trị ở mỗi thời điểm bằng tích các giá trị của x
1
(n) và x
2
(n) tơng ứng ở các

thời điểm đó. Và nh vậy:
y(n) = x
1
(n) * x
2
(n), - < n <
3. Lấy tỷ lệ: Phép lấy tỷ lệ còn đợc gọi là phép nhân của dãy với hằng
số và đợc thực hiện bằng cách nhân giá trị của mỗi mẫu với chính giá trị
của hằng số đó. Giả sử hằng số đợc ký hiệu là C, khi đó ta có thể viết:
y(n) = Cx(n), - < n <
1. Kỹ thuật phân tích hệ thống tuyến tính.
Xung đơn vị có thể đợc sử dụng để phân rã một tín hiệu ngẫu nhiên
x(n) thành tổng của các xung đơn vị bị dịch và có trọng số nh sau:
)2()2()1()1()()0()1()1( )(
++++++=
nxnxnxnxnx

y(n) =
25
x(n/N), với n = 0, N, 2N,
0, các trờng hợp khác