Phát triển năng lực mô hình hoá toán học thông qua dạy học chủ đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh lớp 9

ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠ HÌNH HỐ TỐN HỌC
THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
2 ẨN LỚP 9


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU...........................................................................................................3
1. Lí do chọn đề tài........................................................................................3
2. Mục đích nghiên cứu.................................................................................6
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................6
4. Giả thuyết khoa học...................................................................................6
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.............................................................6
5.1. Đối tượng nghiên cứu..........................................................................6
5.2. Phạm vi nghiên cứu.............................................................................6
5.3. Đối tượng khảo sát.............................................................................6
6. Phương pháp nghiên cứu...........................................................................6
6.1. Nghiên cứu lí luận...............................................................................6
6.2. Quan sát – điều tra...............................................................................6
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm....................................................6
6.4. Phương pháp thớng kê tốn học..........................................................7
7. Dự kiến kết quả nghiên cứu.......................................................................7
7.1. Về mặt lí luận......................................................................................7
7.2. Về mặt thực tiễn..................................................................................7
8. Cấu trúc luận văn.......................................................................................7
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.............................................8
1.1. Một sớ vấn đề về năng lực mơ hình hố toán học..................................8
1.1.1. Quan niệm về năng lực.....................................................................8
1.1.2. Năng lực toán học.............................................................................9
1.1.3. Năng lực mơ hình hố tốn học......................................................10

1.1.4. Biểu hiện năng lực mơ hình hố tốn học......................................14
1.2. Tình h́ng dạy học..............................................................................16
1.2.1. Quan niệm về tình h́ng dạy học..................................................16
1.2.2. Một sớ u cầu trong việc thiết kế tình huống dạy học..................18
1.3. Một số vấn đề về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn...............................22
1.3.1. Vị trí, vai trị của chủ đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.............22
1.3.2. Một sớ biểu hiện của năng lực mơ hình hóa tốn học trong học tập
hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Đại số 9.................................................24
1.3.3. Tiềm năng phát triển năng lực mô hình hóa trong dạy hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn Đại số 9...................................................................26
1.4. Thực trạng dạy học chương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Đại sớ 9 29
1.4.1. Thực trạng việc dạy chủ đề phương trình bậc nhất hai ẩn..............29
1.4.2. Thực trạng việc học chủ đề phương trình bậc nhất hai ẩn..............38
CHƯƠNG 2: DẠY HỌC HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN NHẰM
PHÁT TRIỂN NĂNG MƠ HÌNH HĨA CHOHỌC SINH 9.............................44
2.1. Định hướng sư phạm trong việc thiết kế các tình h́ng dạy học hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn Đại số 9 nhằm giúp học sinh phát triển năng
lực mơ hình hóa cho học sinh......................................................................44
2.1.1 Định hướng sư phạm trong thiết kế tình h́ng...............................44
2.1.2 Quy trình thiết kế tình h́ng dạy học hệ phương trình bậc nhất hai
ẩn nhằm phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học..................................47
2.2.Thiết kế tình h́ng dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm phát
triển năng lực mơ hình hóa tốn học............................................................49
2.2.1. Thiết kế tình h́ng dạy học khái niệm hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn........................................................................................................49


2.2.2. Thiết kế tình h́ng dạy học cách giải hệ phương trình bậc nhất hai
ẩn..............................................................................................................53
2.2.3. Thiết kế tình h́ng dạy học ứng dụng hệ phương trình bậc nhất hai

ẩn..............................................................................................................57
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.....................................................61
3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm.............................................................61
3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm.........................................................61
3.2.1 Tổ chức thực nghiệm sư phạm........................................................61
3.2.2 Nội dung thực nghiệm.....................................................................64
3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm.................................................64
3.3.1 Đánh giá định tính...........................................................................64
3.3.2 Đánh giá định lượng........................................................................65
Bảng 3.3: Đánh giá mức độ hứng thú của học sinh sau thực nghiệm............66
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ...........................................................................69
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................72
PHỤ LỤC 1.....................................................................................................76
PHỤ LỤC 2.....................................................................................................83


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Dạy học theo hướng tiếp cận năng lực là một xu hướng chung của các
nước trên thế giới, đồng thờiphù hợp với sự phát triển của khoa học kỹ thuật.
Chương trình giáo dục phổ thông 2018 được xây dựng theo
hướng phát triển phẩm chất và năng lực người học, xác định: “Giáo
dục toán học góp phần hình thành và phát triển cho học sinh các phẩm
chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực tốn học: tư duy và lập luận
tốn học, mơ hình hoá toán học, giải quyết vấn đề toán học, giao tiếp
tốn học, sử dụng các cơng cụ và phương tiện học toán” [2]. Một trong
những năng lực toán học cần tập trung phát triển trong dạy học mơn
Tốn là năng lực mơ hình hóa tốn học. Phát triển năng lực mơ hình
hóa tốn học có ý nghĩa quan trọng trong việc học toán, là cơ sở cho
việc giải quyết vấn đề liên quan đến thực tiễn cũng như học các mơn

học khác.
Trong chương trình Tốn THCS, Hệ phương trình bậc nhất hai
ẩn là một chương khá quan trọng xuyên suốt từ cấp THCS đến cấp
THPT. Nội dung hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có mới liên quan với
cácmơn học khác và giúp giải quyết nhiều vấn đề trong thực tiễn cuộc
sớng. Khi học phần này, HS thường gặp khó khăn trong các bài tốn có
liên quan đến thực tế đưa về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như
khơng hiểu vấn đề đặt ra từ thực tế, khó khăn trong việc nhận ra các
mối liên hệ để thiết lập mơ hình tốn học, lựa chọn phương pháp giải
phù hợp... Giáo viên ít tổ chức dạy phát triển năng lực mơ hình hóa từ
bài tốn thực tiễn cho học sinh mà giáo viên dạy cho học sinh cách tìm
lời giải từ bài toán thuần tuý. Một nguyên nhân cho khó khăn này đó là
năng lực mơ hình hố tốn học bị hạn chế. Vì vậy, nếu việc hình thành


và phát triển năng lực mơ hình hố cho HS sẽ góp phần giải qút khó
khăn trên.
Có nhiều cơng trình nghiên cứu liên quan đến việc dạy học
nhằmphát triển năng lực mơ hình hóa cho học sinh như:
* Nguyễn Thị Thu Ba (2019), Vận dụng mơ hình hóa tốn học
trong dạy học chủ đề “Hàm Số Bậc Hai” (đại số 10), Luận văn thạc sĩ.
Trường Đại học Sài Gòn.Luận văn đãvận dụng quy trình dạy học mơ
hình hóa tốn học vào dạy học chủ đề Hàm số bậc hai và nêu các
ngun tắc để mơ hình hóa một bài tốn.
* Đỗ Thị Bích Định (2018), Phát triển năng lực mô hình hóa tốn
học cho học sinh trong dạy học đại số lớp 8, Luận văn thạc sĩ, Trường
Đại học Hùng Vương. Luận văn đã đưa ra một số biện pháp để bồi
dưỡng năng lực mơ hình hóa cho HS trong dạy Đại số lớp 8.
* Bùi Văn Nam (2019), Dạy học đại sớ theo hướng phát triển
năng lực mơ hình hóa tốn học cho HS THCS, Ḷn văn thạc sĩ,

Trường Đại học Thái Nguyên. Luận văn đã đưa ra một sớ biện pháp để
phát triểnnăng lực mơ hình hóa cho HS trong dạy học cho HS THCS.
* Thái Hán Nguyên (2020), Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn
học cho HS thông qua dạy học hàm số bậc nhất và bậc hai – đại số 10,
Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Đồng Tháp. Luận văn đã đưa ra 6
định hướng và 5 giải pháp nhằmbồi dưỡng và phát triểnnăng lực mơ
hình hóa cho HS thơng qua chủ đề “hàm số bậc nhất và bậc hai” Đại số
10.
- Mai Thuỳ Linh (2019), Phát triển năng lực mơ hình hố tốn học
thông qua dạy học số học cho học sinh lớp 4, Luận văn thạc sĩ Giáo dục
học, Đại học Vinh.


- Nguyễn Thị Tân An (2014), Sử dụng Toán học hóa để phát
triển các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh lớp 10, Luận án
tiến sĩ Giáo dục học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh,
- Huỳnh Quang Nhật Linh (2013), Phát triển năng lực vận dụng
kiến thức vào thực tiễn cho học sinh tiểu học thông qua dạy học các
yếu tố thống kê, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học, Đại học Sư phạm – Đại
học Huế.
- Phạm Thị Diệu Thùy, Dương Thị Hà (2018), "Phát triển năng
lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh trung học cơ sở trong dạy học
giải toán bằng cách lập phương trình", Tạp chí giáo dục, sớ 422 (kì 1/2018), tr.31 – 34.
-Nguyễn Danh Nam (2016), Phương pháp mơ hình hóa trong
dạy học mơn Toan ở trường phổ thông (2016), NXB Đại học Thái
Nguyên.
- Nguyễn Danh Nam, Hà Xn Thành (2016), "Vấn đề mơ hình
hóa trong chương trình sách giáo khoa mơn Tốn phổ thơng", Tạp chí
Khoa học Giáo dục, số127, tr.10 – 12.
- Nguyen Danh Nam (2016), "Modelling in Vietnamese School

Mathematics", International Journal of Learning, Teaching and
Educational Research,Vol. 15, No. 6, pp, 114 – 126.
- Nguyễn Danh Nam (2016), "Năng lực mơ hình hóa của giáo
viên tốn phổ thơng", Tạp chí Giáo dục, sớ 380 (kì 2 – 4/2016), tr.43 –
49.
- Nguyễn Danh Nam (2015), "Năng lực mơ hình hóa tốn học của
học sinh phổ thơng", Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Hà Nội, tập 60,
số 8, tr.44 - 52.


-Nguyễn Danh Nam (2013), "Phương pháp mơ hình hóa trong
dạy học toốnở trường phổ thơng", Kỉ yếu hội thảo khoa học cán bộ trẻ
các trường sư phạm toàn quốc, NXB Đà Nẵng, tr.512 – 516.
- Nguyễn Danh Nam (2015), "Quy trình mơ hình hóa trong dạy
học tốn ở trường phổ thơng", Tạp chí Khoa học Đại học Quốc gia Hà
Nội: Nghiên cứu Giáo dục, tập 31, số 3, tr.1 – 10.
- Nguyễn Danh Nam (2015), "Thiết kế hoạt động mô hình hóa
trong dạy học mơn Tốn", Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Hà Nội,
tập 60, số 8A, tr.152 – 160.
Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào nghiên cứu về phát triển
năng lực mơ hình hố tốn học thơng qua dạy học chủ đề hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn nhằm phát triển năng lực mơ hình hóa cho học
sinh lớp 9.
Từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Phát
triển năng lực mơ hình hố tốn học thơng qua dạy học chủ đề hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm phát triển năng lực mô hình
hóa cho học sinh lớp 9”.
2. Mục đích nghiên cứu
Thiết kế các tình h́ng dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
nhằm góp phần phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh

lớp 9 và nâng cao chất lượng giảng dạy bộ mơn Tốn ở trường trung
học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu được thực hiện nhằm thực hiện các nhiệm vụ chính như
sau:


(1) Nghiên cứu cơ sở lý luận về rèn luyện năng lực mơ hình hố tốn
học cho học sinh thơng qua dạy học nội dung hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn lớp 9
(2) Nghiên cứu thực trạng của việc dạy học nội dung hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn ở trường THCS hiện nay.
(3) Thiết kế các tình h́ng dạy học chủ đề hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn như thế nào để phát triển năng lực mơ hình hóa toán học cho học
sinh lớp 9.
(4) Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm định tính hiệu quả và tính khả thi
của phương pháp dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm góp
phần phát triển năng lực mơ hình hóa toán học cho học sinh lớp 9
4. Giả thuyết khoa học
Nếu thiết kế tình h́ng dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
phù hợp nhằm phát triển năng lựcmô hình hóa tốn học cho học sinh
lớp 9 thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn cho HS.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu
Các hoạt động giảng dạy để phát triển năng lực mơ hình hóa tốn
học được thể hiện qua dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cho học
sinh lớp 9.
5.2. Phạm vi nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu các biện pháp nhằm để phát triển
năng lực MHHcho học sinh thơng qua dạy học hệ phương trình bậc

nhất hai ẩn cho học sinh lớp 9.
5.3. Đối tượng khảo sát


Học sinh khối 9 trường THCS …………và giáo viên dạy khối 9
ở một số trường THCS trên địa bàn……...
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Nghiên cứu lí luận
Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục, lí luận dạy học bộ môn Tốn
liên quan đến năng lực mơ hình hóa. Các cơng trình nghiên cứu về phát
triển năng lực mơ hìnhhóa cho học sinh thơng qua dạy học hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn Đại sớ 9 trong chương trình giáo dục phổ thơng
mơn Tốn 2018.
6.2. Quan sát – điều tra
Dự giờ, điều tra, trao đổi với một số giáo viên dạy toán lớp 9 về
thực trạng việc rèn luyện khả năng mơ hình hóa liên quan hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn Đại số 9 ởtrường THCS ………và giáo viên dạy
khối 9 ở một số trường THCS trên địa bàn huyện……...
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Quan sát quá trình học tập của học sinh trong các giờ học mà
giáo viên dạy thực nghiệm sư phạm với lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng trêncùng một đối tượng. Thu thập kết quả, thống kê, phân tích so
sánh để đánh giácác biện pháp đề xuất.
6.4. Phương pháp thớng kê tốn học
Phát phiếu thăm dò, phân tích định tính, định lượng và rút ra kết
luận.
7. Dự kiến kết quả nghiên cứu
7.1. Về mặt lí luận

- Xác định các thành tố cơ bản của năng lực mơ hình hóa trong
dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Đại số 9
- Đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển năng lực MHH trong
dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Đại sớ 9
7.2. Về mặt thực tiễn
- Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung hệ phương trình bậc nhất hai
ẩn Đại số 9, tăng cường tính ứng dụng thực tiễn của tốn học trong chương
trình mơn Tốn ở trường THCS.
- Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS
trong quá trình giảng dạy và học tập mơn Tốn ở trường THCS.
8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận
văn gồm 3 chương cụ thể như sau:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm phát triển năng mơ
hình hóa cho học sinh 9.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm


CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một sớ vấn đề về năng lực mơ hình hố tốn học
1.1.1. Quan niệm về năng lực
Thuật ngữ về năng lực được quan tâm rất sớm từ những năm 1970, có
rất nhiều khái niệm được đưa ra xuất phát từ nhiều hướng tiếp cận trong những
bối cảnh khác nhau. McClelland (1973) mô tả “năng lực như là một đặc tính cơ
bản để thực hiện công việc”. Boyatzis (1982) mở rộng thêm định nghĩa của
McClelland và quan niệm rằng “năng lực như là các đặc tính của một cá nhân
có liên quan đến việc thực hiện công việc đạt hiệu quả cao”. Spencer and
Spencer (1993) dựa trên định nghĩa về năng lực của Boyatzis và mô tả “năng
lực như là đặc tính cơ bản của một cá nhân (kiến thức, kỹ năng, thái độ, động

cơ, nét tiêu biểu và ý niệm về bản thân) có liên quan đến các tiêu chí đánh giá
hiệu suất công việc” [39]. Tương tự, Dubois (2004) định nghĩa “năng lực là các
đặc tính mà cá nhân có được và sử dụng chúng trong những ngữ cảnh thích hợp
và nhất quán để đạt được kết quả mong muốn”. Những đặc tính này bao gồm
kiến thức, kỹ năng, động cơ, nét tiêu biểu, cách suy nghĩ, cảm nghĩ, hành
động… [Error: Reference source not found].
Đặt trên quan điểm chung về năng lực trong giảng dạy các môn học
phổ thông, Christian Delory cho rằng năng lực là “tập hợp đầy đủ các kiến
thức, kỹ năng làm việc, kỹ năng sống giúp thích nghi, giải quyết vấn đề và
thực hiện dự án trong một tình h́ng nào đó” (Christian Delory, 2000).
Khái niệm này cho chúng ta thấy đầy đủ hơn về các yếu tố cấu thành “năng
lực”. Như vậy, năng lực trước tiên là một tập hợp của các yếu tố “kiến
thức” và “kỹ năng” để thực hiện một việc gì đó (giải quyết vấn đề hay thực
hiện dự án) nhưng phải đặt trong một “tình huống” cụ thể. Khái niệm này
đưa ra có tính bao hàm đầy đủ các ́u tớ cấu thành đối tượng của việc học,
dạy trong trường học. [Error: Reference source not found]


* Phân loại năng lực:
Tùy theo quan điểm tiếp cận mà người ta chia năng lực thành các dạng
thức khác nhau và theo đó cũng xuất hiện nhiều kiểu năng lực khác nhau. Tuy
nhiên, phổ biến nhất vẫn là cách phân loại năng lực thành năng lực
chung và năng lực riêng (còn gọi là năng lực chuyên biệt).
Cũng trong lĩnh vực giáo dục, khi tiến hành xây dựng chương trình và
đánh giá chất lượng đào tạo đại học theo quan điểm tiếp cận kết quả đầu ra, các
nhà nghiên cứu và quản lý giáo dục cũng đã đề cập và tiến hành phân loại năng
lực, theo hướng này Deborah Nusche (thuộc OECD) [Error: Reference source
not found], đã chia năng lực đầu ra thành: năng lực nhận thức và năng lực phi
nhận thức.
Cùng hướng tiếp cận kết quả đầu ra trong giáo dục, năng lực đầu ra cịn

được thành 3 nhóm [Error: Reference source not found]:
- Năng lực nhận thức: Những năng lực này đóng góp vào mục tiêu phát
triển kiến thức cá nhân, đồng thời cũng là những yếu tố hỗ trợ giúp ta áp dụng
thành công những kiến thức sẵn có.
- Năng lực thái độ: Đó là các hành động, giá trị và chuẩn mực nhằm chỉ
ra hoặc tạo ra hiệu suất cao, đồng thời cũng cho thấy các loại kiến thức khác
nhau đã được người học phát triển một cách hữu hiệu như thế nào.
- Năng lực nghề nghiệp: Kiến thức chuyên biệt về các nguồn thông tin,
khả năng tiếp cận, công nghệ, dịch vụ, quản lý, cùng khả năng đánh giá có
phê phán một cách hiệu quả, chọn lọc và sử dụng kiến thức này để hoàn thành
những công việc cụ thể và đạt đến những kết quả mong ḿn.
1.1.2. Năng lực tốn học
Quan niệm về năng lực toán học của HS theo nghiên cứu của V.A
Krutexki cho rằng: “Năng lực học tập toán học là đặc điểm tâm lí cá nhân


(trước hết là đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng nhu cầu hoạt động học toán
và giúp cho việc nắm giáo trình tốn một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm
một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo
toán học” [39]. Đây là cơ sở cho định hướng phát hiện và bồi dưỡng HS giỏi
toán của Phạm Văn Hoàn [15] và Hoàng Chúng [10]. Ý tưởng này đã dược cụ
thể phần nào trong các nghiên cứu về năng lực toán học của Trần Luận [22]
và của Trần Đình Châu [8].
Cho đến nay, quan niệm năng lực tốn học đã có những thay đổi, phát
triển đáng kể. Một trong những nguyên nhân quan trọng cho sự thay đổi đó là
do quan niệm về mục tiêu giáo dục tốn học đã có sự điều chỉnh để phù hợp
hơn với yêu cầu của sự phát triển kinh tế xã hội.
Trong bới cảnh đó, Niss Mogens từ dự án nghiên cứu về năng lực toán
học tại Đan Mạch cuối thế kỉ 20, đã đưa quan niệm về năng lực toán học được
PISA lựa chọn ([53], [54]). Theo đó, PISA 2015 quan niệm: Năng lực tốn

học là khả năng cá nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ) và
giải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh. Nó bao gồm suy ḷn tốn
học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, cơng cụ tốn học để mơ tả, giải
thích và dự đốn các hiện tượng. Nó giúp con người nhận ra vai trị của tốn
học trên thế giới và đưa ra phán đoán, quyết định của cơng dân biết góp ý,
tham gia và suy ngẫm” ([11], [30]). Đây cũng là quan niệm về năng lực tốn
học được chúng tơi sử dụng trong nghiên cứu của Ḷn văn.
1.1.3. Năng lực mơ hình hố tốn học
Theo từ điển Tiếng Việt, mơ hình là "hình thức diễn đạt hết sức ngắn
gọn theo một ngơn ngữ nào đó các đặc trưng chủ yếu của một đối tượng để
nghiên cứu đối tượng ấy" [19, tr. 617]].


Theo Nguyễn Danh Nam (2016), "Mơ hình có thể hiểu là đới tượng vật
lý (ví dụ mơ hình hình khơng gian), mơ hình trong trí não sử dụng trong nhiều
ngữ cảnh học tập khác nhau hoặc mơ hình tổng qt (như hệ tiên đề của hình
học Ơcơlít)" [13, tr. 15].
Như vậy, mơ hình chứa đựng các đặc trưng của đới tượng thực tế.
Thơng qua việc thao tác trên mơ hình, ta có thể khám phá được những thuộc
tính, bản chất của đới tượng mà khơng cần đến vật thật. Có 2 loại mơ hình chủ
́u: (1) Mơ hình trực quan (theo ý nghĩa vật lý) là bản sao thu nhỏ mang
những đặc điểm đặc trưng của đối tượng thực tế mà mơ hình đó biểu diễn
(chẳng hạn như các hình phẳng, hình khới, mơ hình đồng hồ... trong bộ đồ
dùng mơn Tốn ở tiểu học); (2) Mơ hình lý thút (mơ hình trừu tượng) là tập
hợp các quy tắc biểu diễn một sự vật, hiện tượng trong đầu của người quan sát
(chẳng hạn đồ thị, bảng biểu, sơ đồ, biểu thức đại sớ...). Khi các quy tắc đó là
quy tắc tốn học thì một mơ hình tốn học được tạo ra [13].
Theo Nguyễn Danh Nam (2015), "Mơ hình sử dụng trong dạy tốn là
một mơ hình trừu tượng sử dụng ngơn ngữ tốn học để mơ tả về một hệ thớng
nào đó. Nó có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm sớ, đồ thị, phương trình,

hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các mơ hình ảo
trên máy vi tính" [17]. Trong dạy học tốn ở tiểu học, ta có thể liệt kê 5 loại
mơ hình sau đây:
- Mơ hình sớ học là mơ hình được biểu diễn bởi bảng phép tốn, bộ sớ
có thứ tự;
- Mơ hình hình học là mơ hình được biểu diễn bởi các hình hình học;
- Mơ hình được biểu diễn bởi sơ đồ biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng;
- Mơ hình đại sớ giải tích là mơ hình được biểu diễn bởi một sớ loại
phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tập hợp... ở tiểu học (yếu tố


phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tập hợp được dạy 1 cách
không tường minh thông qua những bài tốn tìm thành phần chưa biết của
phép tốn, giải bài tốn bằng phương pháp đại sớ...)
- Mơ hình thớng kê là mơ hình đưược biểu diễn bởi các biểu đồ, bảng
thớng kê.
- Mơ hình hỗn hợp bao gồm các loại mơ hình nêu trên.
a) Quan niệm về mơ hình hóa tốn học
Theo Edwards và Hamson (2001) "Mơ hình hóa tốn học là quá trình
chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và
giải qút các mơ hình tốn học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh
thực tế, cải tiến mơ hình nếu cách giải qút khơng thể chấp nhận" [trích theo
13].
Theo Lê Thị Hoài Châu (2015), "Mơ hình tốn học là sự giải thích bằng
toán học cho một hệ thớng ngoài tốn học với những câu hỏi xác định mà
người ta đặt ra trên hệ thớng này. Q trình mơ hình hóa tốn học là q trình
thiết lập một mơ hình tốn học cho vấn đề ngoài tốn học, giải qút vấn đề
trong mơ hình đó rồi thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải
tiến mơ hình nếu cách giải qút khơng thể chấp nhận" [4].
Theo Nguyễn Danh Nam (2016), "Mơ hình hóa tốn học là toàn bộ quá

trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán học và ngược lại cùng với mọi
thứ liên quan đến q trình đó, từ bước xây dựng lại tình h́ng thực tế, qút
định một mơ hình tốn phù hợp, làm việc trong mơi trường tốn, giải thích
đánh giá kết quả liên quan đến tình h́ng thực tế và đôi khi cần phải điều
chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả
hợp lý". [13].


Như vậy, mơ hình hóa tốn học là một hoạt động phức hợp bao gồm sự
chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai chiều, đòi hỏi HS phải vận
dụng linh hoạt các thao tác tư duy phân tích tổng hợp, so sánh, tương tự, khái
quát hóa, trừu tượng hóa, có khả năng sử dụng tớt hệ thớng ngơn ngữ tốn học
và có kiến thức liên quan đến các tình h́ng thực tế được xem xét.
Trong đề tài để tḥn tiện cho việc trình bày, chúng tơi sử dụng tḥt
ngữ "mơ hình hóa", viết tắt là MHH, thay cho tḥt ngữ "mơ hình hóa tốn
học"
b) Q trình mơ hình hóa tốn học
Tùy thuộc vào cách tiếp cận, mức độ phức tạp của tình h́ng thực tế
được xem xét, hoặc mục đích nghiên cứu, các tác giả thường sử dụng các sơ
đồ khác nhau để chỉ ra bản chất của quá trình MHH, nhưng tất cả sơ đồ đều
nhằm minh họa cho quá trình bắt đầu với một tình huống thực tế và kết thúc
với việc đưa ra lời giải hoặc lặp lại quá trình để đạt được kết quả tớt hơn.
Theo Nguyễn Danh Nam (2016), q trình mơ hình hố trong dạy học mơn
tốn ở phổ thơng diễn ra theo các bước sau đây:
- Bước 1 (Toán học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giả
thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mơ tả và diễn đạt vấn đề bằng các cơng cụ và
ngơn ngữ tốn học. Đây là quá trình chuyển các vấn đề từ thực tiễn sang tốn
học bằng cách tạo ra các mơ hình tốn học tương ứng của chúng. Q trình
này địi hỏi phải hiểu vấn đề, có thể là vấn đề mở hoặc có độ phức tạp khác
nhau, lập các giả thuyết, đơn giản hóa vấn đề để có thể giải được bài toán, xác

định các khái niệm toán học liên quan, các biến số, biểu diễn vấn đề bằng
ngôn ngữ tốn học và lập mơ hình tốn học như bảng biểu, hình vẽ, đồ thị,
hàm sớ hay phương trình hay cơng thức tốn học.


- Bước 2 (Giải bài tốn): Sử dụng các cơng cụ và phương pháp
toánhọc thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài tốn đã được tốn học hóa.
u cầu học sinh lựa chọn, sử dụng các phương pháp và cơng cụ tốn học
thích hợp để thành lập và giải qút vấn đề sử dụng ngơn ngữ tốn học. Ở giai
đoạn này, công nghệ thông tin sẽ hỗ trợ học sinh phân tích dữ liệu, thực hiện
tính toán phức tạp và đưa ra đáp sớ của bài tốn.
- Bước 3 (Thơng hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài tốn đới với tình
h́ng trong thực tiễn (bài tốn ban đầu), trong đó cần nhận ra được những
hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào tình h́ng thực
tiễn.
- Bước 4 (Đới chiếu): Xem xét lại các giả thút, tìm hiểu các hạn chế
của mơ hình tốn học cũng như lời giải của bài tốn, xem lại các cơng cụ và
phương pháp tốn học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã
xây dựng. Đây là giai đoạn địi hỏi học sinh có hiểu biết rõ về các cơng cụ
tốn học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong
cuộc sớng. Từ đó, xem lại các phương pháp và cơng cụ tốn học đã sử dụng;
xem lại các giả thút, hạn chế của mơ hình và tiến tới cải tiến mơ hình cũng
như lời giải của bài toán [13, tr. 29 - 30].


Hình 1. Quy trình mơ hình hố trong dạy học Tốn [13, tr.29]
1.1.4. Biểu hiện năng lực mơ hình hố tốn học
Theo Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn được ban hành năm 2018
của Bộ Giáo dục và đào tạo thì các biểu hiện của năng lực mơ hình hóa tốn
học được thể hiện qua các việc cụ thể như sau:

(1) Xác định được mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, bảng
biểu, đồ thị,…) cho tình h́ng xuất hiện trong bài toán thực tiễn
(2) Giải quyết được các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập
(3) Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực thế và cải tiến
được mơ hình nếu cách giải quyết không phù hợp
Theo Ludwig và Xu (2018) năng lực mơ hình tốn học được cấu thành từ 08
kỹ năng cụ thể như sau:
(1) Đơn giản hóa giả thiết;
(2) Làm rõ mục yêu (yêu cầu của đề bài);
(3) Thiết lập vấn đề tốn học;
(4) Xác lập biến sớ, hằng số (kèm theo điều kiện;
(5) Thiết lập mệnh đề tốn học;
(6) Lựa chọn mơ hình;
(7) Biểu diễn mơ hình bằng đồ thị;
(8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn
Các cấp độ trong năng lực mơ hình hóa tốn học của học sinh cụ thể như sau
(Ludwig và Xu, 2018)
Bảng 1. 1 Cấp độ trong năng lực mơ hình hóa tốn học
Mức

Các kỹ năng có
thể thực hiện

Biểu hiện của học sinh


Mức 0

Học sinh đọc khơng hiểu tình h́ng, khơng
thể viết, vẽ hay phác thảo những gì liên quan

tới vấn đề, bị đánh lừa bởi những tình h́ng
gây nhiễu

Mức 1

Học sinh chỉ hiểu được tình h́ng thực tiễn
trong bới cảnh, nhưng khơng cấu trúc lại hoặc
chưa tìm ra được mới liên hệ giữa các giải
thiết với nhau, khơng thể tìm được sự kết nới
với ý tưởng tốn học nào

Mức 2 Học sinh cần đạt Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh
02 kỹ năng MHH biết tìm mơ hình thật qua cấu trúc và đơn
(1) và (2)

giản hóa, nhưng chưa biết chuyển đổi thành
vấn đề toán học

Mức 3

HS cần đạt được Khơng chỉ tìm ra mơ hình thật mà cịn phiên
các kỹ năng (1) dịch nó thành vấn đề toán học, nhưng vẫn
(2) (3) (4)

chưa thể làm việc với nó một cách rõ ràng
trong thế giới tốn học.

Mức 4

HS cần đạt được Học sinh có thể thiết lập vấn đề tốn học từ

các kỹ năng (1) các tình h́ng thực tiễn, làm việc với bài
(2) (3) (4) (5) (6) tốn đó với các kiến thức tốn học và có cho
(7)

Mức 5

ra được kết quả cụ thể.

HS cần đạt được Học sinh có thể trỉa nghiệm q trình mơ
tất cả 8 kỹ năng hình hóa tốn học và kiểm nghiệm lời giải bài
thành phần nói tốn trong mới quan hệ với tình h́ng đã
trên

cho.