Full tài liệu tổng hợp và giải đề cơ học cơ sở 2

CƠ HỌC CƠ SỞ 2
Dạng 1:

Tính momen quán tính của khung

**Cơng thức**
- Momen qn tính của thanh đồng chất một đầu đi qua trục.
ml 2
trong đó : m là khối lượng ; O là đầu đi qua trục ; l là
J Zo 
3
chiều dài thanh
- Momen quán tính của thanh đồng chất có trung điểm đi qua trục.
ml 2
trong đó : O là trung điểm thanh
J Zo 
12
- Momen quán tính của đĩa trịn đồng chất.

1
J Zo  mR2
2

trong đó : O là tâm đĩa tròn ; R là bán kính

- Momen quán tính rời trục.
J Zo  J Zo'  m * OO '2 trong đó : OO’ là khoảng cách giữa 2 trục
**Bài tập**
Bài 1 ( đề 2017)
Vật rắn là khung tam giác đều được ghép từ 3
thanh đồng chất; cùng chiều dài 0.3m ; cùng

khối lượng 3kg. khung nằm trong mặt phẳng
hình vẽ. Tinhs momen qn tính của khung lấy
đối với trục đi qua đỉnh I của khung và vuong
góc với mặt phẳng hình vẽ.
Giải

J ZI  J Z(1)  J Z(2)  J Z(3)
I

I

I

1


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD

ml 2 3*0.32
JZ  JZ 

 0.09
I
I
3
3
ml 2
(3)
(3)

2
J Z  J Z  m * MI 
 m * MI 2
I
M
12
0.32 3 3
(3)
 J Z  3*(

)  0.8
I
12
20
 J ZI  0.09  0.09  0.8  0.98
(1)

(2)

Bài 2 . ( đề 02 năm 2017)
Cho vật rắn khung chữ L đồng chất , có cạnh dài 2a
(m) , khối lượng 2m (kg) , cạnh ngắn dàn a (m) ; nặng
m (kg) . Khung đặt trong mặt phẳng hình vẽ. tính
momen quán tính đối với trục đi qua đỉnh A của khung
và vng góc với mặt phẳng hình vẽ.
Giải

J Z A  J Z( AB )  J Z( BC )
A

A

2m *(2a)2 8m * a2
JZ 

A
3
3
ma2
a
13
( BC )
( BC )
2
J Z  J Z  m * AM 
 m *((2a)2  ( )2 )  ma2
A
A
12
2
3
8ma2 13 2
 J ZA 
 ma  7ma2
3
3
( AB )

2

Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD

Bài 3 ( đề 2018)
Cho bánh đà như hình vẽ là đĩa trịn đồng chất bán
kính R bị kht đi 4 hình trịn nhỏ bán kính r . Các
hình tịn nhỏ này cách đều nhau và có tâm cách đều
tâm O của bánh đà một khoảng R1. Biết phân bố
khối lượng trên dơn vị diện tích của bánh đà là :
  100kg / m2 ( khối lượng m  .S ,S là diện tích).
R=300 mm , R1 = 180 mm , r = 100 mm. tính
momen quán tính của bánh đà lấy với trục zO đi qua
tâm O và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ.
Giải

J ZO  J Z( R )  4 J Z( r )
O

O

1
2

1
2

- J Z( R)  mR2  *(100 *0.32 )*0.32 
O

1
2

81

200

1
2

- J Z( r )  mr 2  m1 * R12  (100 *0.12 )*( *0.12  0.182 )  0.0374
O

 J ZO 

81
  0.0374  0.8
200

3


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD

Dạng 2: Tính vận tốc, vận tốc góc, gia tốc, gia
tốc góc bằng định lý biến thiên momen động
lượng, định lý động năng.
**Các công thức**
- Momen động lượng đối với tâm O của 1 chất điểm có khối lượng m

chuyển động với vận tốc v được xác định bằng biểu thức:

L  r  mv trong đó : r là bán kính véc tơ của chất điểm đối với O.
- Momen động lượng của một vật rắn chuyển động quay quanh trục cố
định. :

L  J *

trong đó :  là vận tốc góc

 định lý biến thiên momen động lượng : đạo hàm theo thời gian
momen động lượng của hệ đối với một trục cố định bằng tổng các
momen ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với trục đó.

dL
M
dt
- Thế năng của hệ

Thê  Ti

1
2

+ Vật chuyển động tịnh tiến : T  mv2

1
2

+ Vật chuyển động quay quanh trục cố định : T  m 2

1
2

1
2

+ Vật chuyển động song phẳng : T  mv2  m 2
4


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD
- Công của hệ :

Ahe   A(Fi )   Fi * hi

Trong đó : Fi là các lực sinh cơng khơng vng góc với phương chuyển
động của vật và dịch chuyển được và có thể thay đổi độ cao.

 Định lý động năng : Thê  To   A

trong đó To là thế năng ban đầu

 Định lý động năng dạng vi phân :

 dA  dT
**Bài tập**
Bài 1 . ( đề 1 năm 2016 )
Cho một thanh đồng chất (OA) , có độ dài l = 2m có khối lượng m1 =

4Kg có thể quay quanh trục cố định nằm ngang đi qua đầu O. Đầu A
gắn chất điểm khối lượng m2 = 1 Kg.
a) Xác định momen quán tính của cơ hệ đối vơi trục quay.
b) Hãy xác định độ lớn vận tốc góc của cơ hệ khi OA thẳng đứng và khi
OA hợp với phương ngang một góc 60o . Biết rằng hệ chuyển động
khơng vận tốc ban đầu từ vị trí OA nằm ngang dưới tác dụng của trọng
lực. Cho gia tốc trọng trường là g = 10 m/s2
Giải
a) J ZO

m1l 2
4*22
28
2

 m2l 
 1*22 
3
3
3

b) + Khi OA thẳng đứng .
- Công của hệ có : P1 , P2 sinh cơng :

l
2
A( P1 )  P1 * h1  m1 * g *  4*10*  40 J
2
2
5

Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD
( lực cùng hướng với chuyển động nên lấy dấu + )

  A  60 J

A( P2 )  P2 * h2  m2 * g * l  1*10*2  20 J

- Thế năng của hệ : vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định.

1
1 28
14
 The  * J Zo * 2  * *  2  *  2
2
2 3
3
- Áp dụng định lí động năng :

Thê  To   A



14 2
3 70
*   0  60   
(rad )
3

7

+ Khi OA hợp với phương ngang 1 góc 60o
- Cơng của hệ : P1 , P2 sinh công.

l
A( P1 )  P1 * h1'  m1 * g * *sin60
2
2
3
 A( P1 )  4*10* *
 20 3( J )
2 2

A( P2 )  P2 * h1'  m2 * g * l *sin 60  1*10*2*
- Thế năng của hệ :

1
14
The  * J Zo *  2  *  2
2
3
- Áp dụng định lý động năng :

Thê  To   A    1.93(rad )
6

3
 10 3( J )
2

Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD
Bài 2 (đề 2018)
Cho khung cứng OAB được tạo thành từ
hai thanh mảnh đồng chất cùng độ dài a =
2m. Khối lượng m = 2Kg , OA và AB (
OAB đều).
Khung có thể quay quanh trục cố định nằm
ngang qua O . Cơ hệ chuyển động trong
mặt phẳng đứng chứa khung.
a) Xác định momen quán tính của khung
đối với trục quay?
b) Xác địnhvận tốc góc của hệ tại thời
điểm mà OA thằng đứng ( như hình vẽ) ,
Biết rằng hệ chuyển động khơng vận tốc
ban đầu từ vị trí OA nằm ngang . cho g =
10 (m/s2) và bỏ qua mọi ma sát.

Giải
a) J ZO

ma2 ma 2 a 3 2


(
) *m
3
12

2

 J ZO

7ma2 28


6
3

b) – Công của hệ : P1 , P2 sinh công

h1 

a
a a 3 3 3
; h2  a  

*a
4
4
4
2
a

 A  A(P )  A(P )  mg 2  mg
1

2

3 3
5 3
a(
)mga
4
4

- Thế năng của hệ : Vật chuyển động quay quanh trục cố định
7


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD

1
7
14
 The  * J Zo *  2  ma2 *  2  *  2
2
12
3
- Áp dụng định lí động năng :

Thê  To   A



7
5 3
ma 2 *  2  0 

mga
12
4

   2.65

Bài 3 ( đề 1 năm 2015)
Đĩa đồng chất khối lượng m, bán kính R có thể
quay quanh trục thẳng đứng như hình vẽ (mặt
phẳng vng góc với trục quay) . Trên đĩa có
chất diểm M , khối lượng m/5 di chuyển dọc
theo phương bán kính ra mép đĩa với vận tốc
tương đối u . Ban đầu đĩa có vận tốc góc là o ,
chất điểm nằm cách trục quay 1 đoạn R/2. Xác
định độ lớn momen động lượng của cơ hệ đối
với trục quay tại thời điểm ban đầu?

Giải
- Động lượng của đĩa chuyển động quay quanh trụ.

LZo  J Zo * 
đồng hồ)

(  quay theo chiều dương là quay ngược chiều kim

1
 LZo  mR2
2
- Động lượng của chất điểm M
8

Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD

m
LZo  mo ( * vM )
5
Ta có : vM  v e  v r
Mà v e có phương vng góc với OM, chiều theo chiều của  và độ lớn
bằng OM *
- vr  u
Lại có : v e  vM *cos

 LM 

m
m
m
* vM * OM *cos  * m * OM * ve  * OM 2 * 
5
5
5

1
1
 Lhe  mR2  m
2
20
- Tại thời điểm ban đầu :   o ; OM 

1
1
11
 Lhe  mR2o  mR2o  mR2o
2
20
20
Bài 4 . ( đề 1 năm 2017)

9

R
2


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD
Cho cơ hệ đặt trong mặt phẳng đứng. Các vật
1,2,3 có khối lượng lần lượt là m1=100Kg;
m2=20Kg; m3=250Kg. Tang tời 2 tầng có khối
tâm trùng với O. Bán kính vành trong là r ,
vành ngồi là 2r. Momen qn tính JZo =
2m2*r2 . Vật 1 trượt trên mặt phẳng nghiêng
một góc α so với phương ngang với hệ số ma
sát f=0.4 . Giả thiết dây mềm không dãn, bỏ
qua trọng lượng , phương nhánh dây song song
với phương nghiêng . Bỏ qua ma sát tại ổ trục
O . Ban đầu hệ đứng yên α = 60o .
1) thả cho hệ chuyển động . Vật 3 chuyển

động đi xuống. Xác định gia tốc vật 3?
2) Xác định sức căng trong các nhánh dây
và phản lực gối tựa.

Giải
Giả sử vật 1 chuyển động tịnh tiến đi lê với vận tốc v
 vC  v (do dây không dãn )
1
1
 vD  vC  v do RC  2RD
2
2
v
do dây không dãn
v3  vD 
2
- Động năng của cơ hệ
T  T1  T2  T3
1
T1  m1v2
2

10


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD

1
1

v2
1
2
2
T2  J Zo  * 2m2 * r *

m2v 2
2
2
2
(2r )
4
1
v
1
T3  m3 ( )2  m3v2
2
2
8
1
1
1
 T  T1  T2  T3  (m1  m2  m3 )v2
2
2
4
Vi phân động năng :
1
1
1

1
1
1
dT  (m1  m2  m3 )vdv  (m1  m2  m3 )v * adt
2
2
4
2
2
4
do (dv  adt )
+ Công nguyên tố của hệ : Fms ; P1; P3 sinh công
Giả sử vật 1 dịch chuyển 1 đoạn bằng 1 thì vật 3 di chuyển 1
1
đoạn bằng  3  1 theo phương mặt phẳng nghiêng.
2
dA( Fms )  Fms d (1 )   f * P cos * d (1 )   fm1g cos * vd (t )
dA( P1 )   P1 cos .d (1 )  m1 g cos * vd (t )
1
1
dA( P3 )  P3. .d (1 )  m3 g * vd (t )
2
2
1


  dA    m1 g cos 1  f   m3 g  * vd (t )
2



Áp dụng định lý động năng dạng vi phân ta có :
 dA  dT

1
1
1


   m1 g cos 1  f   m3 g  * vd (t )  (m1  m2  m3 )v * adt
2
2
4



11


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD

1
100*10*cos(60o ) *(1  0.4)  * 250*10
2
a
 11.3 (rad/s2)
1
1
100  * 20  * 250
2

4
Bài 5 ( đề 2019)
Cho cơ hệ như hình vẽ . Vật A khối lượng m0
được buộc vào sợi dây vắt qua ròng rọc cố
định 1 , coi như đĩa trịn đồng chất có khối
lượng m1 , bán kính r1 và được quấn vào tang
tời 2 là trụ trịn đồng chất có khối lượng m2
bán kính r2 . A được kéo đi lên nhờ ngẫu lực
có momen không đổi M. Lấy gia tốc trọng
trường g . Tính gia tốc của vật A khi nó được
kéo lên

Giải
Giả sử vật A chuyển động với vận tốc :
vA  v  vB  vC  vD  v
Động năng của hệ :
T  TA  T1  T2
1
v
1
1
T1  m1r12 .( )2  m1v 2
TA  mov2 ;
2
r1
2
2
1
v
1

T2  m2 r22 .( )2  m2v 2
2
r2
2
12


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD

1
 T  TA  T1  T2  (mo  m1  m2 )v2
2
dT  (mo  m1  m2 )v * adt
Giả sử vật A di chuyển được 1 đoạn ds thì tang quay được 1 góc
ds
d 
r2
* Cơng nguyên tố : P1 và M sinh công.

dA( P1 )  mo gds  mo gvdt
dA(M )  Md 

  dA  (

M
M
ds  .vdt
r2
r2

M
 mo g )vdt
r2

Áp dụng định lý động năng dạng vi phân ta có :

 dA  dT
(

M
 mo g )vdt  (mo  m1  m2 )v * adt
r2

M
 mo g
r2
a
mo  m1  m2

13


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD

Dạng 3:

Phương trình lagrange loại II

**Cơng thức**

d  T  T
 Qi


dt  qi  qi

**Bài Tập**
Bài 1 (đề 1 năm 2017)
Cơ hệ trong mặt phẳng đứng gồm thanh
thẳng đứng đồng chất AB được nối với con
trượt A bằng liên kết bản lề , con trượt có thể
trượt dọc rãnh có phương ngang. Bỏ qua ma
sát rãnh trượt và các ma sát bản lề A. Kích
thích cho hệ giao động. Biết con trượt A có
khối lượng m1 , thanh dài l, khối lượng m2 .
Chọn tọa độ suy rộng là s (là độ biến dạng
của lị xo ) và góc  (góc tạo bởi AB và
phương đứng). Lập phương trình vi phân dao
động của hệ theo tọa độ suy rộng đã chọn.
Biết lị xo có độ cứng c

Giải
* Tính lực suy rộng.

14


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ

đại cương đến chuyên ngành XD

s  0
- xét Qs : cho 
 chỉ có Fdh sinh công



0


  dA  c * sds  Qs  c.s
s  0
- xét Qφ : cho 
 chỉ có P1 sinh cơng



0

l
l
 y1  *cos  y1   *sin 
2
2

l
  dA  P1 * y1  m2 g *sin .
2
 Q  

m2 gl *sin 
2

* Tính động năng

1
1
TA  m1vA2  m1s 2
2
2

v1  vA  v1A

trong đó : v1A có phương vng góc

l
với A1 , chiều theo chiều của  và độ lớn bằng A1*   *
2

 v12  v2A  v12A  2vAv1A cos
l2
 v  s   *  sl cos
4
2
1

2

2

1
1 ( AB ) 2
 TAB  m2v12  J ZA

2
2
2
1
1 1
2
2 l
 TAB  m2 (s   *  sl cos )  * * m2l 2 *  2
2
4
2 3
15


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD

1
1 7
1
 The  TA  TAB  (m1  m2 )s 2  * * m2l 2 * 2  m2 sl *cos
2
2 12
2
* Viết phương trình vi phân

+) Phương trình cho s

T
1
 (m1  m2 )s  m2l *cos
s
2
d  T 
1
1
 (m1  m2 )s  m2l *cos  m2 2l *sin 


dt  s 
2
2

T
0
s
Ta có phương trình :

d  T  T

 Qs
dt  s  s

1
1
 cs  (m1  m2 )s  m2l *cos  m2 2l *sin 

2
2
+) Phương trình cho φ :

T 7
1
 m2l 2  m2 sl *cos
 12
2
d  T  7
1
1
2

m
l


m
sl
*cos


m2 sl *sin 
2
2
dt    12
2
2

T
1
  m2 sl *sin 

2

16


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD
Ta có phương trình :



d  T  T

 Q
dt    

7
1
1
m2l 2  m2 sl *cos   m2 gl *sin 
12
2
2

Bài 2 (đề 3 năm 2016)
Cho một con trượt O, khối lượng m1 . Có thể trượt

trong rãnh thẳng nằm ngang dưới tác dụng của lực
R . Con trượt liên kết bản lề với thanh cứng OA,
khối lượng không đáng kể, độ dài L. Đầu A của
thanh có gắn một chất điểm khối lượng m2 , cơ hệ
chuyển động trong mặt phẳng đứng. các liên kết
đều lí tưởng. Chọn hệ tọa độ suy rộng ( x ; φ ; ᵹ)
trong đó φ là góc giữa OA với phương thẳng đứng,
Hãy thiết lập phương trình lagrange loại 2 của cơ
hệ theo hệ tọa độ suy rộng đã chọn.

Giải
* Tính lực suy rộng .

s  0
 chỉ có R sinh công
- xét Qx : cho 



0


  dA  Rdx  Qx  R
s  0
 chỉ có PA sinh công
- xét Qφ : cho 



0


 yA  L *cos  y A   L *sin 
17


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD

  dA  PA *(L *sin  )  m2 gL *sin .
 Q 

 dA  m gL *sin 


2

+) Tính thế năng của hệ.

The  To  TA
1
1
To  m1vo2  m1 x2
2
2
1
TA  m2vA2 mà (vA2  v2Ao  vo2  2vAovo cos 2  x2  L2 2  2 x L cos
2
1
 TA  m2 ( x2  L2 2  2x L cos )
2

1
1
 The  To  TA  (m1  m2 ) x2  m2 L2 2  m2 x L cos
2
2
* Viết phương trình Lagrange loại II
- Phương trình cho x :

T
 (m1  m2 ) x  m2 L *cos
x
d  T 
 (m1  m2 ) x  m2 L *cos  m2 2 L *sin 


dt  x 

T
0
x

18


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD
Ta có phương trình :

d  T  T


 Qx
dt  x  x

 R  (m1  m2 ) x  m2 L *cos  m2 2 L *sin 
- Phương trình cho φ :

T
 m2 L2  m2 xL *cos

d  T 
 m2l 2  m2 xL *cos  m2 xL *sin 


dt   

T
  m2 x L *sin 

Ta có phương trình :

d  T  T

 Q
dt    

 m2 L2  m2 xL *cos   m2 gL *sin 
Bài 3 ( đề 1 năm 2015 )
Ống OA ( được coi như thanh mảnh đồng chất) độ dài l, khối lượng
m1 =9m , có thể quay quanh trục nằm ngang qua O trong mặt phẳng
đứng. Trong ống có chất điểm M khối lượng m2 = 2m có thể chuyển

động dọc theo ống. Bỏ qua ma sát ở trục quay và ma sát giữa chất điểm
và thành ống. Chọn hệ tọa độ suy rộng là (  , s ) tróng đó  là góc giữa
OA với phương ngang (hình vẽ) . s = OM
a) Hãy xác định lực suy rộng tương ứng với các tọa độ suy rộng đã chọn.
b) Hãy tính động năng của cơ hệ theo l , , s, , s
19


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD
c) Thiết lập phương trình Lagrange loại II của cơ hệ theo tọa độ suy rộng
đã chọn.
Giải
a) Tính lực suy rộng:

s  0
- xét Qs : cho 
 chỉ có PM sinh công



0


  dA  m2 g *sin s
 Qs 

 dA  m g *sin 
s

2

s  0
- xét Qφ : cho 
 chỉ có PM và PAB sinh công



0


  dA  (m1l  m2 s) g *cos
 Q  (m1l  m2 s) g *cos
b) Tính động năng

xM  s *cos  xM  s *cos  s *sin 
yM  s *sin   yM  s *sin   s *cos

vM2  xM2  yM2  s 2 (cos2   sin 2 )  s 2 2 (sin   cos )
 vM2  s 2  s 2 2
1
1
1
TM  m2vM2  m2 s 2  m2 s 2 2
2
2
2
20

Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD

1
1 m1l 2 2 1 2 2
2
TAB  J ZA 
  m1l 
2
2 3
6
1
1
1
 T  TM  TAB  m2 s 2  (m2 s 2  m1l 2 ) 2
2
2
6
c) Thiết lập phương trình Lagrange loại II
+) Phương trình cho s

T
 m2 s
s

T
 m2 s 2
s

d  T 

 m2 s
dt  s 

d  T  T

 Qs


dt  s  s

Ta có phương trình :

 m2 s  m2 s 2  m2 g *sin 
+) Phương trình cho φ :

T 1 2
 m1l 
 3

T
0


d  T  1 2
 m2l 
dt    3
Ta có phương trình :

d  T  T


 Q
dt    

1
 m1l 2  (m1l  m2 s) g *cos
3
Bài 4 ( đề 3 năm 2018)
21


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD
Cho lăng trụ tam giác khối lượng m1 , có thể
trượt không ma sát trên mặt đường thẳng nằm
ngang. Trên mặt nghiêng của lăng trụ có vật nhỏ
M, khối lượng m, có thể trượt khơng ma sát. Vật
nhỏ được gắn với 1 lò xo độ cứng c , độ dài tự
nhiên lo , đầu còn lại của lò xo được gắn vào đỉnh
lăng trụ. Góc giữa mặt phẳng nghiêng của lăng
trụ với mặt phẳng ngang là α . Cơ hệ chuyển động
trong mặt phẳng đứng. Chọn hệ tọa độ suy rộng
x, s như hình vẽ
a) Xác định lực suy rộng?
b) Thiết lập phương trình Lagrange loại II
Giải

s  0
- xét Qs : cho 
 chỉ có Fdh và PM sinh cơng


x

0


  dA  mg *sin   c(s  lo )s
 Qs 

dA
 mg *sin   c(s  lo )
s

x  0
 khơng có lực nào sinh cơng
- xét Qx : cho 

s

0


  dA  0  Qx  0
b) Tính động năng

vM2  x2  s 2  2 xs *cos
1
1
 T  m1 x2  m( x2  s 2  2xs *cos )
2
2

22


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD
* Thiết lập phương trình
- Phương trình cho x :

T
 (m1  m) x  ms *cos
x
d  T 
 (m1  m) x
dt  x 

T
0
x
d  T  T

 Qx
dt  x  x

Ta có phương trình :

 (m1  m) x  0
+) Phương trình cho s

T
 ms  mx *cos

s
d  T 
 ms
dt  s 

T
0
s

Ta có phương trình :

d  T  T

 Qs


dt  s  s

 ms  mg *sin   c(s  lo )
Bài 5 ( đề 3 năm 2017 )

23


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD
Cơ hệ trong mặt phẳng đứng gồm con lắc toán học có
khối lượng tập trung tại đầu B, được nối với con trượt
A bằng liên kết bản lề, con trượt A có thể trượt dọc
rãnh theo phương đứng. Bỏ qua giữa rãnh trượt và ma

sát bản lề A . Kích thích cho hệ giao động. Biết con
trượt A có khối lượng m1 ; thanh AB dài l ; khối lượng
tập trung tại đầu B là m2 ; lị xo có độ cứng c . Chọn tọa
độ suy rộng là s (độ biến dạng lị xo) và φ ( góc tạo bởi
AB và phương đứng) . Lập phương trình vi phân giao
động của hệ theo tọa độ suy rộng đã chọn

Giải
* Tính lực suy rộng :

s  0
 có Fdh , PA , PB sinh công
- xét Qs : cho 



0


  dA  (m1 g  m2 g  cs)ds
 Qs 

 dA  m g  m g  cs
s

1

2

s  0

 chỉ có PB sinh cơng
- xét Qφ : cho 



0


  dA  m2 gl *sin 

 Q  m2 gl *sin 
* Tính động năng.
24


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các môn từ
đại cương đến chuyên ngành XD

1
1
T  TA  TB  m1vA2  m2vB2
2
2
Mà ta lại có :

vB2  v2A  v 2BA  2vAvBA cos vA  s; vBA  l )
 vB2  s 2  l 2 2  2s L cos
1
1
 T  (m1  m2 )s 2  m2 (l 2 2  2s L cos )

2
2
* Thiết lập phương trình:
+) Phương trình cho s
Ta có phương trình :

d  T  T

 Qs
dt  s  s

T
 (m1  m2 )s  m2 L *cos
s
T
0
s
d  T 
 (m1  m2 ) s  m2 L *cos  m2 L 2 *sin 


dt  s 

 (m1  m2 )s  m2 L *cos  m2 L 2 *sin   m1g  m2 g  cs
+) Phương trình cho φ :

T
 m2l 2  m2 Ls *cos



d  T 
 m2l 2  m2 Ls *cos  m2 Ls *sin 


dt   
25