Tải bản đầy đủ (.pdf) (169 trang)

lượng giác lý thuyết bài tập có lời giải

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.49 MB, 169 trang )

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC

I. Đònh nghóa
Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M
trên đường tròn lượng giác mà sđ

AM
=
β
với
02

β≤ π

Đặt
k2 ,k Zα=β+ π ∈
Ta đònh nghóa:
sin OKα=
cos OHα=
sin
tg
cos
α
α=
α
với
cos 0α≠
cos
cot g
sin
α


α=
α
với sin 0α≠
II. Bảng giá trò lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt

Góc
α

Giá trò
()
o
00

()
o
30
6
π

()
o
45
4
π

()
o
60
3
π


()
o
90
2
π

sinα

0
1
2

2
2

3
2

1
cosα

1
3
2

2
2

1

2

0
tgα

0
3
3

1
3

||
cot gα

||
3

1
3
3

0

III. Hệ thức cơ bản
22
sin cos 1α+ α=
2
2
1

1tg
cos
+α=
α
với
()
kkZ
2
π
α≠ + π ∈

2
2
1
tcotg
sin
+=
α
với
(
)
kkZα≠ π ∈

IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai
π
; phụ chéo)
a. Đối nhau:
α

−α


(
)
sin sin−α = − α

(
)
cos cos−α = α

(
)
(
)
tg tg−α = − α

(
)
(
)
cot g cot g−α = − α


MATHVN.COM
www.MATHVN.com
b. Buø nhau:
α
vaø
π−α
(
)

()
()
()
sin sin
cos cos
tg tg
cot g cotg
π−α = α
π−α =− α
π−α =− α
π−α =− α

c. Sai nhau
π
: vaø
α π+α
(
)
()
()
()
sin sin
cos cos
tg tg
cot g cot g
π+α =− α
π+α =− α
π+α = α
π+α = α


d. Phuï nhau:
α
vaø
2
π
−α

sin cos
2
cos sin
2
tg cotg
2
cot g tg
2
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠

π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠


e.Sai nhau
2
π
: vaø
α
2
π


sin cos
2
cos sin
2
tg cotg
2
cot g tg
2
π
⎛⎞
+α = α
⎜⎟
⎝⎠
π

⎛⎞
+α =− α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
+α =− α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
+α =− α
⎜⎟
⎝⎠

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
f.

()()
()()
()
()
+π=− ∈
+π=− ∈
+π= ∈
+π=
k
k
sin x k 1 sinx,k Z

cos x k 1 cosx,k Z
tg x k tgx,k Z
cotg x k cotgx


V. Công thức cộng
(
)
()
()
sin a b sinacosb sinbcosa
cos a b cosacosb sinasinb
tga tgb
tg a b
1tgatgb
±= ±
±=
±
±=




VI. Công thức nhân đôi
=
=−=− =
=


=

22 2 2
2
2
sin2a 2sinacosa
cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1
2tga
tg2a
1tga
cotg a 1
cotg2a
2cotga



VII. Công thức nhân ba:
3
3
sin3a 3sina 4sin a
cos3a 4cos a 3cosa
=−
=−


VIII. Công thức hạ bậc:
()
()
2
2
2
1

sin a 1 cos2a
2
1
cos a 1 cos2a
2
1 cos2a
tg a
1 cos2a
=−
=+

=
+


IX. Công thức chia đôi
Đặt
a
ttg
2
=
(với )
ak2≠π+ π
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
2
2
2
2
2t

sina
1t
1t
cosa
1t
2t
tga
1t
=
+

=
+
=



X. Công thức biến đổi tổng thành tích
()
()
ab ab
cosa cosb 2cos cos
22
ab ab
cosa cosb 2sin sin
22
ab ab
sina sin b 2cos sin
22
ab ab

sina sinb 2cos sin
22
sin a b
tga tgb
cosacosb
sin b a
cotga cotgb
sina.sin b
+−
+=
+−
−=−
+−
+=
+−
−=
±
±=
±
±=


XI. Công thức biển đổi tích thành tổng
() ()
() ()
()()
1
cosa.cosb cos a b cos a b
2
1

sina.sinb cos a b cos a b
2
1
sina.cosb sin a b sin a b
2
=
⎡++ −
⎣⎦


=
⎡+−−
⎣⎦

=
⎡++ −⎤
⎣⎦


Bài 1: Chứng minh
44
66
sin a cos a 1 2
sin a cos a 1 3
+−
=
+−

Ta có:
(

)
2
44 22 22 2
sin a cos a 1 sin a cos a 2sin acos a 1 2sin acos a+−= + − −=−
2

Và:
(
)
(
)
()
66 224224
4422
22 22
22
sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1
sin a cos a sin acos a 1
1 2sinacosa sinacosa 1
3sin acos a
+−= + − +
=+ − −
=− − −
=−


MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Do đó:
44 22

66 22
sin a cos a 1 2sin acos a 2
sin a cos a 1 3sin acos a 3
+−−
=
=
+−−


Bài 2: Rút gọn biểu thức
()
2
2
1cosx
1cosx
A1
sinx sin x



+
==+







Tính giá trò A nếu

1
cosx
2
=−

x
2
π
<


Ta có:
22
2
1cosxsinx12cosxcosx
A
sinx sin x
⎛⎞
++−+
=
⎜⎟
⎝⎠

(
)
2
21 cosx
1cosx
A.
sinx sin x


+
⇔=

(
)
2
2
33
21 cosx
2sin x 2
A
sin x sin x sinx

⇔= = =
(với
sinx 0

)
Ta có:
22
13
sin x 1 cos x 1
44
=− =− =

Do:
x
2
π

<<π
nên
sin

x 0>
Vậy
3
sinx
2
=
Do đó
244
A
sinx 3
3
===
3


Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:
a.
A =−

4422 2
2cos x sin x sin xcos x 3sin x+ +
b.
2cotgx1
tgx1 cotgx1
+
−−

B
=+


a. Ta có:
4422
A 2cos x sin x sin xcos x 3sin x=−+ +
2

(
)
(
)
(
)
()
2
42 22 2
42424
A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x
A 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x
⇔= −− +− + −
⇔= −− + + − +−
2

A2⇔=
(không phụ thuộc x)

b. Với điều kiện
sinx.cosx 0,tgx 1




Ta có:
2cotgx
B
tgx1 cotgx1
1
+
=+
−−

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
1
1
22
tgx
B
1
tgx1 tgx11tgx
1
tgx
+
+
⇔= + = +
−−

1tgx




(
)
21tgx
1tgx
B1
tgx 1 tgx 1
−−

⇔= = =−
−−
(không phụ thuộc vào x)

Bài 4: Chứng minh
()
2
22
22
222
1cosa
1cosa cosbsinc
1 cotg bcotg c cotga 1
2sina sin a sin bsin c
⎡⎤

+−

+−=
⎢⎥

⎢⎥
⎣⎦

Ta có:
*
22
22
22
cos b sin c
cotg b.cot g c
sin b.sin c



2
22
22
cotg b 1
cot g bcotg c
sin c sin b
=−−

(
)
(
)
22 222
cot g b 1 cot g c 1 cot g b cotg bcotg c 1=+−+− =−
(1)
*

()
2
2
1cosa
1cosa
1
2sina sin a



+








()
2
2
1cosa
1cosa
1
2sina 1 cos a



+

=−








1cosa 1cosa
1
2sina 1 cosa
+−


=−


+



1cosa2cosa
.c
2sina 1 cosa
+
==
+
otga
(2)

Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong.

Bài 5: Cho tùy ý với ba góc đều là nhọn.
ABCΔ
Tìm giá trò nhỏ nhất của
P tgA.tgB.tgC
=


Ta có:
AB C+=π−
Nên:
(
)
tg A B tgC+=−

tgA tgB
tgC
1 tgA.tgB
+
⇔=


+

tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC⇔+=−+

Vậy:
P tgA.tgB.tgC tgA tgB tgC==+
MATHVN.COM

www.MATHVN.com
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
tg
ta được
A,tgB,tgC
3
tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC++≥

3
P3P⇔≥
32
P3
P33
⇔≥
⇔≥

Dấu “=” xảy ra
==

π

⇔⇔=

π
<<


tgA tgB tgC
ABC
3

0A,B,C
2
==

Do đó:
MinP 3 3 A B C
3
π
=⇔===

Bài 6 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của
a/
84
y2sinxcos2x=+
b/
4
ysinxcos=−x

a/ Ta có :
4
4
1cos2x
y2 cos2x
2

⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠


Đặt với thì
tcos2x= 1t1−≤ ≤
()
4
4
1
y1t
8
=−+
t

=>
()
3
3
1
y' 1 t 4t
2
=− − +

Ta có : Ù
()

y' 0=
3
3
1t 8t−=

1t


2t−=

1
t
3
=

Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3;
11
y
32
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
7

Do đó : và

=
x
y3
Max

=
x
1
y
Min
27



b/ Do điều kiện :
sin

co
nên miền xác đònh
x 0≥ s x 0≥
π
⎡⎤
=π+π
⎢⎥
⎣⎦
Dk2, k2
2
với

k

Đặt
tcos= x
x
với thì
0t1≤≤
42 2
tcosx1sin==−
Nên
4
sin x 1 t=−
Vậy

8
4
y1t=−−t
trên
[
]
D' 0,1=
Thì
()

=−
<

3
7
4
8
t
y' 1 0
2. 1 t

[
)
∀∈t0;1

Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy :
(
)

=

=
xD
max y y 0 1,

(
)

=
=−
xD
min y y 1 1

MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Bài 7: Cho hàm số
44
ysinxcosx2msinxcos=+− x

Tìm giá trò m để y xác đònh với mọi x

Xét
44
f (x) sin x cos x 2m sin x cos x=+−
()
()
2
22 2
fx sinx cosx msin2x 2sinxcosx=+ − −
2


()
2
1
f x 1 sin 2x m sin 2x
2
=− −

Đặt : với
tsin2x=
[
]
t1,∈− 1
y xác đònh
x


()
fx 0x R≥∀∈

2
1
1t

[
]
mt
2
−−≥0
t1,1−∀∈



()
2
gt t 2mt 2 0=+ −≤
[
]
t1,1−
t
∀∈
Do

nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t
2
'm 20Δ= + > m
1
, t
2
Lúc đó t t
1
t
2
g(t) + 0 - 0
Do đó : yêu cầu bài toán ⇔
12
t11

−< ≤

⇔ ⇔

()
()
1g 1 0
1g 1 0
−≤






2m 1 0
2m 1 0
−−≤


−≤


1
m
2
1
m
2












11
m
22
−≤ ≤

Cách khác :

gt
()
2
t 2mt 2 0=+ −≤
[
]
t1,∀∈− 1

{
}
[,]
max ( ) max ( ), ( )
t
gt g g
∈−
⇔≤


⇔−≤
11
0110

{
}
max ), )mm⇔−−−+≤21210

1
m
2
1
m
2











m⇔− ≤ ≤
11
22



Bài 8 : Chứng minh
4444
357
A sin si n sin sin
16 16 16 16 2
π πππ
=+++
3
=

Ta có :
7
sin

sin cos
16 2 16 16
πππ π
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
πππ
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
55
sin cos cos
16 2 16 16
π3


MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Mặt khác :
(
)
2
44 22 2
sin cos sin cos 2sin cosα+ α= α+ α − α α
2


22
12sin cos
=
−αα


2
1
1sin2
2
=
−α

Do đó :
4444
73
A sin sin sin sin
16 16 16 16

π πππ
=+++
5


44 44
33
sin cos sin cos
16 16 16 16
ππ π
⎛⎞⎛
=+++
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
π





22
11
1 sin 1 sin
28 2 8
3
π
π
⎛⎞⎛
=− +−
⎜⎟⎜

⎝⎠⎝





22
13
2sinsin
28 8
π
π
⎛⎞
=− +
⎜⎟
⎝⎠


22
1
2sincos
28
8
π
π
⎛⎞
=− +
⎜⎟
⎝⎠


π
π
=
⎝⎠
3
do sin cos
88
⎛⎞
⎜⎟


13
2
22
=
−=


Bài 9 : Chứng minh :
oooo
16 sin 10 .sin 30 .sin 50 .sin 70 1
=

Ta có :
o
o
Acos10 1
A
cos10 cos10
==

o
(16sin10
o
cos10
o
)sin30
o
.sin50
o
.sin70
o

()
oo
o
11
o
A
8sin20 cos40 .cos20
2
cos10
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠


()
0o
o

1
o
A
4 sin 20 cos 20 . cos 40
cos1 0
=


()
oo
o
1
A
2sin40 cos40
cos1 0
=


o
o
oo
1cos10
A
sin 80 1
cos10 cos10
===


Bài 10 : Cho
A

BCΔ . Chứng minh :
A
BBCCA
tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
+
+=

Ta có :
A
BC
22

=−
2

Vậy :
A
BC
tg cot g
22
+
=


A
B
tg tg
1
22

A
BC
1tg .tg tg
22 2
+
=



A
BC A
tg tg tg 1 tg tg
222 2
⎡⎤
+=−
⎢⎥
⎣⎦
B
2

MATHVN.COM
www.MATHVN.com

A
CBCAB
tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
++
=



Bài 11 : Chứng minh :
()
πππ π
++ +=84tg 2tg tg cotg *
81632 32

Ta có : (*) ⇔
8cotg tg 2tg 4tg
32 32 16 8
ππ π
=−−−
π

Mà :
22
cos a sin a cos a sin a
cot ga tga
sin a cos a sin a cos a

−=−=

cos 2a
2cotg2a
1
sin 2a
2
==

Do đó :

(*)

cot g tg 2tg 4tg 8
32 32 16 8
ππ π π
⎡⎤
−−−
⎢⎥
⎣⎦
=


2cotg 2tg 4tg 8
16 16 8
ππ π
⎡⎤
−−
⎢⎥
⎣⎦
=


4cotg 4tg 8
88
ππ
−=


8cotg 8
4

π
=
(hiển nhiên đúng)

Bài :12 : Chứng minh :
a/
22 2
22
cos x cos x cos x
33
ππ
⎛⎞⎛⎞
3
2
+
++ −=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

b/
111 1
cot gx cot g16x
sin 2x sin 4x sin 8x sin16x
+++ =−


a/ Ta có :
22 2
22
cos x cos x cos x

33
ππ
⎛⎞⎛
+++−
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝




()
11 414
1cos2x 1cos2x 1cos 2x
22 323

π⎤ ⎡ π ⎤
⎛⎞ ⎛
=+ ++ + ++ −
⎜⎟ ⎜



⎥⎢
⎝⎠ ⎝



⎦⎣ ⎦

31 4 4

cos 2x cos 2x cos 2x
22 3 3
⎡π
⎛⎞⎛
=+ + + + −
⎜⎟⎜
⎢⎥
⎝⎠⎝
⎣⎦
π⎤




31 4
cos 2 x 2cos2x cos
22 3
π
⎡⎤
=+ +
⎢⎥
⎣⎦

31 1
cos2x 2cos2x
22 2
⎡⎤
⎛⎞
=+ + −
⎜⎟

⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦

3
2
=

b/ Ta có :
cos a cosb sin b cos a sin a cos b
cot ga cot gb
sin a sin b sin a sin b

−=−=

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
(
)
sin b a
sin a sin b

=

Do đó :
(
)
()
sin 2x x
1

cot gx cot g2x 1
sin x sin 2x sin 2x

−= =

(
)
()
sin 4x 2x
1
cot g2 x cot g4x 2
sin2xsin4x sin4x

−= =

(
)
()
sin 8x 4x
1
cot g4x cot g8x 3
sin4xsin8x sin8x

−= =

(
)
()
sin 16x 8x
1

cot g8x cot g16x 4
sin16x sin 8x sin16x

−= =

Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được
111 1
cot gx cot g16x
sin 2x sin 4x sin 8x sin16x
−=+++


Bài 13 : Chứng minh :
+
=
30 20
8sin 18 8sin 18 1

Ta có: sin18
0
= cos72
0
⇔ sin18
0
= 2cos
2
36
0
- 1
⇔ sin18

0
= 2(1 – 2sin
2
18
0
)
2
– 1
⇔ sin18
0
= 2(1 – 4sin
2
18
0
+4sin
4
18
0
)-1
⇔ 8sin
4
18
0
– 8sin
2
18
0
– sin18
0
+ 1 = 0 (1 )

⇔ (sin18
0
– 1)(8sin
3
18
0
+ 8sin
2
18
0
– 1) = 0
⇔ 8sin
3
18
0
+ 8sin
2
18
0
– 1 = 0 (do 0 < sin18
0
< 1)
Cách khác :
Chia 2 vế của (1) cho ( sin18
0
– 1 ) ta có
( 1 ) ⇔ 8sin
2
18
0

( sin18
0
+ 1 ) – 1 = 0

Bài 14 : Chứng minh :
a/
()
44
1
sin x cos x 3 cos 4x
4
+=+

b/
()
1
sin 6x cos 6x 5 3cos 4x
8
+=+

c/
()
88
1
sin x cos x 35 28cos 4x cos 8x
64
+= + +

a/ Ta có:
(

)
2
44 22 2
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x+= + −
2


2
2
1sin2
4
=−
x


()
1
11cos4
4
=− −
x


31
cos 4x
44
=+

b/ Ta có : sin6x + cos6x
()

(
)
224224
sin x cos x sin x sin x cos x cos x=+ − +
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
()
44 2
1
sin x cos x sin 2x
4
=+−

(
31 1
cos 4x 1 cos 4x
44 8
⎛⎞
=+ − −
⎜⎟
⎝⎠
)
( do kết quả câu a )
35
cos 4x
88
=+

c/ Ta có :
(

)
+= + −
2
88 44 4
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x
4

()
=+ −
2
4
12
3cos4x sin2x
16 16

()
()


=+ + − −




2
2
111
9 6cos4x cos 4x 1 cos4x
16 8 2


()
()
2
93 1 1
cos4x 1 cos8x 1 2cos4x cos 4x
16 8 32 32
=+ + + − − +

()
=+ + + − +
93 1 1 1
cos4x cos8x cos4x 1 cos8x
16 8 32 16 64


35 7 1
cos 4x cos 8x
64 16 64
=+ +


Bài 15 : Chứng minh :
33
sin 3x .sin x cos3x.cos x cos 2x+=
3

Cách 1:
Ta có :
s


333
in 3x.sin x cos 3x .cos x cos 2x+=
()
(
)
33 3 3
3sinx 4sinxsinx 4cosx 3cosxcosx=− + −
466
3sin x 4 sin x 4 cos x 3cos x=−+−
4

()
(
)
44 66
3sin x cos x 4sin x cos x=−−−
()
(
)
2222
3 sin x cos x sin x cos x=− +
()
(
)
224224
4 sin x cos x sin x sin x cos x cos x−− + +
22
3cos2x 4 cos 2x 1 sin x cos x



=− + −



2
1
3cos 2x 4 cos 2x 1 sin 2x
4
⎛⎞
=− + −
⎜⎟
⎝⎠

2
1
cos 2x 3 4 1 sin 2x
4
⎡⎤
⎛⎞
=−+−
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦

(
)
2
cos 2x 1 sin 2x=−
3

cos 2x=

Cách 2 :
Ta có :
si

33
n 3x .sin x cos 3 x .cos x+
3sin x sin 3x 3cos x cos 3x
sin 3x cos 3x
44
−+
⎛⎞⎛
=+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝




()
()
22
31
sin 3x sin x cos3x cos x cos 3 x sin 3x
44
=++−

MATHVN.COM
www.MATHVN.com

()
31
cos 3x x cos 6x
44
=−+

()
1
3cos2x cos3.2x
4
=+

()
=+−
3
1
3cos 2x 4 cos 2x 3cos2x
4
( bỏ dòng này cũng được)
3
cos 2x=

Bài 16 : Chứng minh :
oo ooo
31
cos12 cos18 4 cos15 .cos 21 cos 24
2
+
+− =−


Ta có :
(
)
oo oo
cos12 cos18 4 cos15 cos21 cos 24+−
o

(
)
oo o o
2cos15 cos 3 2cos15 cos 45 cos 3=− +
o

oo o o oo
2cos15 cos 3 2cos15 cos 45 2cos15 cos 3=− −

oo
2cos15 cos45=−

()
oo
cos 60 cos 30=− +
31
2
+
=−


Bài 17 : Tính
2o 2 o

Psin50 sin70cos50cos70=+−
o
Ta có :
()()()
=− +− − +
ooo
111
P 1 cos100 1 cos140 cos120 cos20
222
o

()
oo
111
P 1 cos100 cos140 cos20
222
⎛⎞
=− + − −+
⎜⎟
⎝⎠
o

()
oo
11
P 1 cos120 cos 20 cos 20
42
=− + −
o


oo
51 1 5
Pcos20cos20
42 2 4
=+ − =


Bài 18 : Chứng minh :
oooo
83
tg30 tg40 tg50 tg60 cos 20
3
+++=
o

Áp dụng :
(
)
sin a b
tga tgb
cos a cos b
+
+=

Ta có :
()
(
)
oo oo
tg50 tg40 tg30 tg 60+++

oo
oo o
sin 90 sin 90
cos 50 cos 40 cos 30 cos 60
=+
o

oo
o
11
1
sin 40 cos 40
cos 30
2
=+

oo
22
sin 80 cos 30
=+

oo
11
2
cos10 cos 30
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠


MATHVN.COM
www.MATHVN.com
oo
oo
cos 30 cos10
2
cos10 cos30
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎝⎠

po
oo
cos 20 cos10
4
cos10 cos 30
=

o
83
cos 20
3
=

Baøi 19 : Cho
A
BCΔ
, Chöùng minh :

a/
A
BC
sin A sin B sin C 4 cos cos c os
22
++=
2

b/
A
BC
socA cos B cos C 1 4 sin sin sin
22
++=+
2

c/
sin 2A sin 2B sin 2C 4 sin A sin B sin C
+
+=

d/
222
cos A cos B cos C 2cos A cos BcosC++=−
e/
tgA

tgB tgC tgA.tgB.tgC++=
f/
cot g


A.cot gB cot gB.c ot gC cot gC.cot gA 1++=
g/
++=
A
BC AB
cotg cotg cotg cotg .cotg .cotg
22222
C
2


a/ Ta coù :
()
A
BAB
sin A sin B sin C 2sin cos sin A B
22
+

++= + +

A
BAB AB
2sin cos cos
22 2
+− +
⎛⎞
=+
⎜⎟

⎝⎠


⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
CAB AB C
4 cos cos cos do
222 2 22


b/ Ta coù :
()
A
BAB
cos A cosB cosC 2cos cos cos A B
22
+

++= − +

2
A
BAB AB
2cos cos 2cos 1
22 2
+− +
⎛⎞
=−

⎜⎟
⎝⎠


A
BAB AB
2cos cos cos 1
22 2
+− +
⎡⎤
=−
⎢⎥
⎣⎦
+

A
BA B
4cos sin sin 1
22 2
+
⎛⎞
=− − +
⎜⎟
⎝⎠

CAB
4sin sin sin 1
222
=+


c/
(
)
(
)
sin 2A sin 2B sin 2C 2sin A B cos A B 2sin C cos C+= + −+
=−+2sinC cos(A B) 2sinC cosC
=−−2sinC[cos(A B) cos(A B)]+
2

=− −4 sin C sin A sin( B)

= 4 sin Csin A sin B

d/
++
22
cos A cos B cos C
()
2
1
1 cos 2A cos 2B cos C
2
=+ + +

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
()()
2
1cosABcosAB cosC=+ + − +

()
1 cosC cos A B cosC=− − −




do
(
)
(
)
cos A B cosC+=−
()
(
)
1 cosC cos A B cos A B=− − + +





12cosC.cosA.cosB=−
e/ Do nên ta có
ab C+=π−

()
tg A B tgC+=−

tgA tgB
tgC

1tgAtgB
+
=−



tgA tgB tgC tgAtgBtgC+=−+

tgA tgB tgC tgAtgBtgC++=
f/ Ta có : cotg(A+B) = - cotgC

1tgAtgB
cot gC
tgA tgB

=−
+


cot gA cot gB 1
cot gC
cot gB cot gA

=−
+
(nhân tử và mẫu cho cotgA.cotgB)

cot gA cot gB 1 cot gC cot gB cot gA cot gC−=− −

cot gA cot gB cot gB cot gC cot gA cot gC 1++=

g/ Ta có :
A
BC
tg cot g
22
+
=


A
B
tg tg
C
22
cot g
AB
2
1tg tg
22
+
=



A
B
cot g cot g
C
22
cot g

AB
2
cot g .cot g 1
22
+
=

(nhân tử và mẫu cho cotg
A
2
.cotg
B
2
)

A
BABC
cot g cot g cot g cot g cot g cot g
22222
+= −
C
2


A
BC AB
cotg cotg cotg cotg .cotg .cotg
22222
++=
C

2


Bài 20 : Cho
A
BCΔ
. Chứng minh :
cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0

Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1)
= 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos
2
C
= - 2cosCcos(A - B) + 2cos
2
C
= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC
Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0


MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Bài 21 : Cho
A
BCΔ
. Chứng minh :
cos3A + cos3B + cos3C = 1 -
3A 3B 3C
4 sin s in s in
22

2

Ta có : (cos3A + cos3B) + cos3C
2
33
2cos (A B)cos (A B) 1 2sin
22
=+ −+−
3C
2

Mà :
A
BC+=π− nên
()
33
AB
22
+=π−
3C
2

=>
()
33
cos A B cos
22
π
⎛⎞
+= −

⎜⎟
⎝⎠
3C
2

3C
cos
22
π
⎛⎞
=− −
⎜⎟
⎝⎠

3C
sin
2
=−

Do đó : cos3A + cos3B + cos3C
(
)
2
3A B
3C 3C
2sin cos 2sin 1
22 2

=− − +


(
)
3A B
3C 3C
2sin cos sin 1
22 2
−⎡⎤
=− + +
⎢⎥
⎣⎦

(
)
()
3A B
3C 3
2sin cos cos A B 1
222

⎡⎤
=− − + +
⎢⎥
⎣⎦


=+
3C 3A 3B
4sin sin sin( ) 1
22 2


3C 3A 3B
4 sin sin sin 1
222
=− +


Bài 22 : A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh :
sin A sin B sin C A B C
tg tg cot g
cos A cos B cosC 1 2 2 2
+−
=
+−+

Ta có :
2
A
BAB CC
2sin cos 2sin cos
sin A sin B sin C
22 2
AB AB C
cos A cos B cosC 1
2cos cos 2sin
22 2
2
+


+−

=
+−
+−+
+

CAB C
A
BA
2cos cos sin
cos cos
C
22 2
22
cot g .
B
A
BA
CAB C
2
cos cos
2sin cos sin
22
22 2

⎡⎤
B

+



⎢⎥
⎣⎦
==

+

⎡⎤
+
+
⎢⎥
⎣⎦

A
B
2sin .sin
C
22
cot g .
AB
2
2cos .cos
22
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
=

MATHVN.COM
www.MATHVN.com

CAB
cot g .tg .tg
222
=


Bài 23 : Cho
A
BCΔ
. Chứng minh :
A
BC BCA CAB
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
222 222 222
++

()
A
BC AB BC AC
sin sin sin tg tg tg tg tg tg *
222222222
=+++


Ta có :
A
BC
22
2
+

π
=−
vậy
A
BC
tg cot g
22 2
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠


A
B
tg tg
1
22
A
BC
1tg tg tg
22 2
+
=



A
BC A
tg tg tg 1 tg tg

222 2
⎡⎤
+=−
⎢⎥
⎣⎦
B
2


()
A
CBCAB
tg tg tg tg tg tg 1 1
22 22 22
++ =

Do đó : (*) Ù
A
BC BCA CA
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
222 222 222
++
B

A
BC
sin s in sin 1
222
=+
(do (1))


A
BC BC A BC CB
sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos 1
2 22 22 2 22 22
⎡⎤⎡
−+ +
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣

=




A
BC A BC
sin cos cos sin 1
22 22
++
+=


A
BC
sin 1
2
++
=


π
⇔sin 1
2
=
( hiển nhiên đúng)

Bài 24 : Chứng minh :
()
A
B C 3 cos A cosB cosC
tg tg tg *
2 2 2 sin A sin B sin C
+
++
++=
++

Ta có :
2
A
BAB C
cos A cos B cos C 3 2 cos cos 1 2sin 3
22 2
+−
⎡⎤
+++= +− +
⎢⎥
⎣⎦

2

CAB
2sin cos 4 2sin
22
C
2

=+−

CAB C
2sin cos sin 4
22 2

⎡⎤
=
−+
⎢⎥
⎣⎦

CAB AB
2sin cos cos 4
22 2
−+
⎡⎤
=
−+
⎢⎥
⎣⎦

CA B
4sin sin .sin 4

22 2
=
+
(1)
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
A
BAB
sin A sin B sin C 2sin co s s in C
22
+

++= +

CAB C
2cos cos 2sin cos
22 2
C
2

=+

CAB AB
2cos cos cos
22 2
−+


=+






CA
4 cos cos cos
22
=
B
2
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
(*) ⇔
A
BC ABC
sin sin sin sin sin sin 1
222222
A
BC ABC
cos cos cos cos cos c os
222 222
+
++=


A
BC B AC C AB
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
222 222 222
⎡⎤⎡⎤⎡

++
⎢⎥⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎦⎣





A
BC
sin sin sin 1
222
=
+


A
BC BC A BC CB
sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos 1
222 22 222 22
⎡⎤⎡
−+ +
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣

=





A
BC A BC
sin .cos c os sin 1
22 22
++
+=


A
BC
sin 1
2
++
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦


sin 1
2
π
=
( hiển nhiên đúng)
Bài 25 : Cho
A
BCΔ . Chứng minh:
A
BC
sin sin sin

222
2
BC CA AB
cos cos cos cos cos cos
22 22 22
+
+=

Cách 1 :
A
BAABB
sin sin sin cos sin cos
222222
BC CA ABC
cos cos cos cos cos cos cos
22 22 222
+
+=
Ta có :

A
BA
sin cos
1 sin A sin B
22
B
A
BC ABC
2
cos cos cos cos cos cos

222 222
+

+
==


⎛⎞

⎜⎟
⎝⎠
==
A
B
CAB
cos
cos .cos
2
22
A
BC A
cos .cos .cos cos cos
222 2
B
2

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Do đó : Vế trái
A

B
CABA
cos
sin cos cos
2
22
AB AB AB
cos cos cos cos cos c os
22 22 22

⎛⎞
B
2

+
+
⎜⎟
⎝⎠
=+=

A
B
2cos cos
22
2
AB
cos cos
22
==



Cách 2 :
Ta có vế trái
BC AC AB
cos cos cos
22
BC CA AB
cos cos cos cos cos cos
22 22 2
+++
=++
2
2

BC BC AC AC
cos cos sin sin cos cos sin sin
22 22 22 2
BC CA
cos cos cos cos
22 22
−−
=+
2

A
BA
cos cos sin sin
22 2
AB
cos cos

22

+
B
2


BC AC AB
3tgtgtgtgtgtg
22 22 22
⎡⎤
=− + +
⎢⎥
⎣⎦

Mà :
A
BBCAB
tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
++
=

(đã chứng minh tại bài 10 )
Do đó : Vế trái = 3 – 1 = 2

Bài 26 : Cho
A
BCΔ
. Có

A
B
cot g ,c ot g ,cot g
22
C
2
theo tứ tự tạo cấp số cộng.
Chứng minh
A
C
cot g .cot g 3
22
=

Ta có :
A
B
cot g ,c ot g ,cot g
22
C
2
là cấp số cộng

A
CB
cot g cot g 2 cot g
22
+=
2



+
=
A
CB
sin 2 cos
22
A
CB
sin si n sin
22 2

MATHVN.COM
www.MATHVN.com

BB
cos 2 cos
22
A
CB
sin si n sin
22 2
=


=
+
12
A
CA

sin sin cos
22 2
C
(do 0<B<
π
nên
B
cos 0
2
>
)

A
CAC
cos cos sin sin
22 22
2
AC
sin .sin
22

=

A
C
cot g cot g 3
22
=



Bài 27 : Cho
A
BCΔ . Chứng minh :
1111ABC A B C
tg tg tg cot g cot g cot g
sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 2
⎡⎤
++= +++ + +
⎢⎥
⎣⎦

Ta có :
A
BC AB
cotg cotg cotg cotg .cotg .cotg
22222
++=
C
2

(Xem chứng minh bài 19g )
Mặt khác :
sin cos 2
tg cot g
cos sin sin 2
α
α
α+ α= + =
α
αα


Do đó :
1A B C A B C
tg tg tg cotg cotg cotg
22 2 2 2 2 2
⎡⎤
+++ + +
⎢⎥
⎣⎦

1A B C1 A B C
tg tg tg cotg cotg cotg
22 2 22 2 2 2

⎤⎡
=+++ ++


⎥⎢ ⎥

⎦⎣ ⎦

1A A1B B1C C
tg cot g tg cot g tg cot g
22 222 222 2

⎤⎡ ⎤⎡
=+ ++ ++



⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

111
sin A sin B sin C
=++


BÀI TẬP
1. Chứng minh :
a/
21
cos c os
55
ππ
−=
2

b/
oo
oo
cos15 s in15
3
cos15 sin15
+
=


c/

246
cos cos cos
777
πππ
++=
1
2

3

d/
+=
33
sin 2x sin 6x cos 2x.cos 6x cos 4x
e/
oooo
tg20 .tg40 .tg60 .tg80 3
=

f/
ππππ
+++=
25 83
tg tg tg tg cos
691833
π
9

g/
7

234567
cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15 15 15 15 15 15 15 2
πππππππ
=
1

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
h/
tgx. tg x .tg x tg3x
33
ππ
⎡⎤⎡⎤
−+=
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦

k/
oo oo
tg20 tg40 3tg20 .tg40 3++ =

e/
ooo
3
sin20 .sin40 .sin80
8
=

m/

oooo
tg5 . tg55 .tg65 .tg75 1
=

2. Chứng minh rằng nếu
(
)
()
()
sin x 2sin x y
xy 2k1 kz
2
=+⎧


π
+≠ + ∈



thì
sin
()
cos
y
tg x y
y
+=

2


3. Cho
A
BCΔ có 3 góc đều nhọn và
A
BC≥≥
a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
b/ Đặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q
Chứng minh (p-1)(q-1)≥ 4
4. Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc x :
a/
()
(
)
424222
A
sin x 1 sin x cos x 1 cos x 5sin x cos x 1=++++ +
b/
()
(
)
88 6 6
B 3 sin x cos x 4 cos x 2 sin x 6sin x=−+−+
4

c/
(
)
(
)

(
)
(
)(
22
C cos x a sin x b 2 cos x a sin x b sin a b=−+−−−−−
)

5. Cho
A
BCΔ
, chứng minh :
a/
cosC cos B
cot gB cot gC
sin B cos A sin Ccos A
+=+

b/
333
A
BC 3A3B3
sin A sin B sin C 3cos cos cos cos cos cos
222 2 2 2
++= +
C

c/
A
BC B AC

sin A sin B sin C cos .cos cos .cos
22 22


++= +

CA
cos .cos
22
B

+

d/ cotgAcotgB + cotgBcotgC + cotgCcotgA = 1
e/
222
cos A cos B cos C 1 2cos A cos B cos C++=−
f/ sin3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 0
6. Tìm giá trò nhỏ nhất của :
a/
11
y
sin x c os x
=+
với
0x
2
π
<
<


b/
π
=++
9
y4x sinx
x
với
0x
<
<∞

c/
2
y2sinx4sinxcosx 5=+ +

7. Tìm giá trò lớn nhất của :
a/
y sin x cos x cos x sin x=+

b/ y = sinx + 3sin2x
c/
2
ycosx 2cosx=+−

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Chương 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN



=+ π

=⇔

=π− + π

uvk2
sin u sin v
uvk2

cos u cos v u v k2=⇔=±+π

π

≠+π

=⇔


=+ π

uk
tgu tgv
2
uvk'

(
)
k,k ' Z∈


uk
cot gu cot gv
uvk'
≠π

=⇔

=+ π



Đặc biệt :
sin u 0 u k=⇔=π
π
=
⇔=+πcos u 0 u k
2

(
sin u 1 u k2 k Z
2
π
=⇔= + π ∈
)

cos u 1 u k2
=
⇔= π

()

kZ∈
sin u 1 u k2
2
π
=− ⇔ =− + π

cosu 1 u k2
=
−⇔ =π+ π

Chú ý :
sin

u 0 cos u 1≠⇔ ≠±
cos u 0 sin u 1≠⇔ ≠±


Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002)
[
]
x0,14∈
nghiệm đúng phương trình Tìm
(
)
cos 3x 4 cos 2x 3cos x 4 0 *−+−=

Ta có (*) : ⇔
()
(
)

32
4 cos x 3cos x 4 2 cos x 1 3cos x 4 0

−−+−=


32
4cos x 8cos x 0

=

(
)
2
4cos x cosx 2 0

=


(
)
==cosx 0hay cosx 2 loại vìcosx 1≤


()
xkk
2
π
=+π∈Z


Ta có :
[]
x0,14 0 k 1
2
4
π
∈⇔≤+π≤


k14
22
ππ
−≤π≤ −

1141
0, 5 k 3, 9
22
−=−≤≤−≈
π

Mà nên kZ∈
{
}
k 0,1,2,3∈
. Do đó :
357
x ,,,
2222
π
πππ






⎩⎭

Bài 29 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2004)
Giải phương trình :
()( )
(
)
2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x *−+=−


Ta có (*) ⇔
()
(
)
(
)
−+=2cos x 1 2sin x cos x sin x 2 cos x 1−

MATHVN.COM
www.MATHVN.com

()( )
2cos x 1 2sin x cos x sin x 0

+−

⎡⎤
⎣⎦
=
)


()(
2cosx 1 sinx cosx 0

+=


1
cos x sin x cos x
2
=∨ =−

⇔ cos x cos tgx 1 tg
34
ππ
⎛⎞
=∨=−=−
⎜⎟
⎝⎠


()
ππ
=± + π∨ =− + π ∈xk2xk,k
34

Z


Bài 30 : Giải phương trình
+
++=cos x cos 2x cos 3x cos 4x 0 (*)

Ta có (*)

()
(
)
cos x cos 4x cos 2x cos 3x 0+++=


5x 3x 5x x
2cos .cos 2 cos .cos 0
22 22
+=


5x 3x x
2cos cos cos 0
22 2
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠



5x x
4 cos cos x cos 0
22
=


5x x
cos 0 cos x 0 cos 0
22
=
∨=∨=


ππ π
=+π∨=+π∨=+π
5x x
kx k k
22 2 22


()
ππ π
=+ ∨=+π∨=π+π ∈
2k
xxkx2,
55 2
kZ


Bài 31: Giải phương trình

(
)
22 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x *+=+

Ta có (*) ⇔
()()()()
1111
1 cos 2x 1 cos6x 1 cos 4x 1 cos 8x
2222
−+−=+++


()
cos2x cos6x cos4x cos8x−+ =+

2cos 4x cos2x 2 cos 6x cos 2x−=

(
)
2cos2x cos6x cos4x 0+=


4 cos 2x cos5x cos x 0
=


cos 2x 0 cos 5x 0 cos x 0
=
∨=∨=



ππ π
=+π∨ +π∨=+π∈]2x k 5x k x k ,k
22 2


ππ π π π
=+ ∨= + ∨=+π
kk
xx x
k
42 105 2


],k

Bài 32 : Cho phương trình
()
π
⎛⎞
−= −−
⎜⎟
⎝⎠
22
x7
sin x.cos 4x sin 2x 4 sin *
42 2

Tìm các nghiệm của phương trình thỏa:


<x1 3

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Ta có : (*)⇔
()
17
sin x.cos4x 1 cos 4x 2 1 cos x
22
⎡π⎤
⎛⎞
2

−=−−
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦


−+ =−−
11 3
sin x cos 4x cos 4x 2 sin x
22 2


1
sin x cos 4x cos 4x 1 2sin x 0
2

+++
=


⎛⎞⎛⎞
++ +=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
11
cos 4x sin x 2 sin x 0
22


()
1
cos 4x 2 sin x 0
2
⎛⎞
+
+=
⎜⎟
⎝⎠


()
cos 4x 2 loại
1
sin x sin
26
=−⎡


π


=− = −
⎜⎟

⎝⎠



π

=
−+ π


π

=



xk
6
7
x2
6
2
h


Ta có :

<x1 3
⇔ ⇔
3x13−< − <
2x4

<<
Vậy :
2k2
6
π
−<− + π<4


22k 4
66
ππ
−< π<+

11 21
k
12 12
−<<+
ππ

Do k nên k = 0. Vậy Z∈
x
6

π
=


π
−< + π<
7
2h2
6
4


π
π
−− < π< − ⇔− − < < −
ππ
77172
2h24 h
6612
7
12


h = 0

π
=
7
x
6

.Tóm lại

ππ
==
7
xhayx
66

Cách khác :

π
=− ⇔ = − + π ∈]
k
1
sin x x ( 1) k , k
26

Vậy :
−π − −
−<− +π< ⇔ <− + <
π
π
kk
21
2(1) k 4 (1) k
66
4

⇔ k=0 và k = 1. Tương ứng với


ππ
==
7
xhayx
66


Bài 33 : Giải phương trình
(
)
33 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x *+=

Ta có : (*)⇔
()
(
)
33 3 3 3
sin x 4 cos x 3cos x cos x 3sin x 4 sin x sin 4x−+ − =


33 3 3 33 3
4 sin x cos x 3sin x cos x 3sin x cos x 4 sin x cos x sin 4x−+− =

()
22 3
3sin x cos x cos x sin x sin 4x−=

3
3

sin 2x cos 2x sin 4x
2
=

MATHVN.COM
www.MATHVN.com

3
3
sin 4x sin 4x
4
=


3
3sin 4x 4sin 4x 0

=

⇔ sin12x = 0
⇔ ⇔
12x k=π
()
k
xk
12
Z
π
=∈


Bài 34 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2002)
Giải phương trình :
(
)
22 22
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6a *−=−

Ta có : (*)⇔
()()()()
11 1 1
1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x
22 2 2
−−+=− −+


cos 6x cos 8x cos10x cos12x+= +

2cos7xcosx 2cos11xcosx=

(
)
2cos x cos7x cos11x 0−=


cos x 0 cos7x cos11x=∨ =

π
=+π∨ =± + πxk7x11xk
2
2



πππ
=+π∨=− ∨= ∈]
kk
xkx x,k
229

Bài 35 : Giải phương trình
()()
sin x sin 3x sin 2x cos x cos 3x cos 2x++=++


2sin 2x cos x sin 2x 2 cos 2x cos x cos2x+= +

()
(
)
+= +sin 2x 2 cos x 1 cos 2x 2 cos x 1


()( )
2cos x 1 sin 2x cos 2x 0
+
−=


12
cos x cos sin 2x cos2x
23

π
=− = ∨ =


2
xk2tg2x1
34
tg
π
π
=± + π∨ = =


()
π
ππ
=± + π∨ = + ∈
2
xk2xk,k
382
Z


Bài 36: Giải phương trình
(
)
++ =+
23
cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x.cos x cos x 8 cos x.cos 3x *


Ta có : (*)⇔
(
)
(
)
3
cos10x 1 cos8x cos x 2cos x 4 cos 3x 3cos3x++ = + −


()
cos10x cos 8x 1 cos x 2 cos x.cos 9x++=+

2cos 9x cos x 1 cos x 2cos x.cos9x+= +

cos x 1=

(
)
xk2kZ=π∈


Bài 37 : Giải phương trình
MATHVN.COM
www.MATHVN.com

×