Phương pháp tối ưu trong kinh tế

Câu 1 [<DE>]: Mơ hình hóa là gì? Các thành phần của mơ hình hóa bài tốn kinh tế?
[<$>] Đáp án:
-

Việc chuyển mơ hình thực tế trong kinh tế & quản lý thành mơ hình tốn học để tìm
ra lời giải tối ưu.
3 thành phần mơ hình hóa: biến quyết định, các ràng buộc và hàm mục tiêu

Câu 2 [<DE>]: Tại sao phải mơ hình hóa bài tốn kinh tế?
[<$>] Đáp án:
Vấn đề về tối ưu trong kinh tế và quản lý là rất quan trọng. Nhà quản lý buộc phải mơ tả
vấn đề tối ưu của mình dưới dạng cơng thức tốn. Sau đó sử dụng phần mềm để tìm ra kết
quả tối ưu. Từ đó ra trợ giúp cho q trình ra quyết định chính xác nhất.
Câu 3 [<TB>]: Mơ hình tốn có phản ánh hết được mối quan hệ trong thế giới thực của
vấn đề về kinh tế và quản lý hay không? Tại sao?
[<$>] Đáp án:
Không phản ánh hết được. Mơ hình tốn rất ngắn gọn, trong khi thế giới thực có rất nhiều
mối quan hệ giữa các yếu tố mà mơ hình tốn khơng phản ánh hết được.
Câu 4 [<TB>]: Nêu một số kỹ thuật sử dụng để mơ hình hóa bài tốn?
[<$>] Đáp án:
Một số kỹ thuật mơ hình hóa thuộc một trong hai dạng kỹ thuật giản đơn và kỹ thuật nâng
cao bao gồm: sử dụng biến với chỉ số dưới, ràng buộc ưu tiên, chọn K trong số N ràng
buộc, quyết định có/khơng.
Câu 5 [<KH>]: Theo anh chị thì yếu tố nào ảnh hưởng lớn nhất tới việc mơ hình hóa
chính xác bài tốn kinh tế? Giải thích tại sao?
[<$>] Đáp án:
Có nhiều yếu tố ảnh hưởng đến việc mơ hình hóa chính xác. Tuy vậy, việc xác định đúng
biến quyết định, hàm mục tiêu cũng như dạng bài toán ảnh hưởng lớn nhất…
[(<002078_C1BT>)] Tự luận, , Chương 1: Mơ hình hóa bài tốn kinh tế - Bài tập
Câu 6 [<KH>]: Cơng ty PQR lên kế hoạch sản xuất tối thiểu 800 van điều khiển cho mỗi
mẫu xe hơi, sử dụng ba dây chuyền sản xuất. Các dây chuyền sản xuất có chi phí chuẩn bị,

chi phí sản xuất đơn vị, và khả năng sản xuất được cho dưới đây. Xác định các dây chuyền
sản xuất sẽ được sử dụng để tối thiểu hố tổng chi phí.

Chi phí chuẩn bị là chi phí một lần của mỗi dây chuyền sản xuất và chỉ xuất hiện khi dây
chuyền được sử dụng. Chi phí sản xuất đơn vị là chi phí biến đổi, do đó tổng chi phí biến
đổi cho một đây chuyền sản xuất bằng số sản phẩm sản xuất trong dây chuyền này nhân
với chi phí sản xuất đơn vị.


[<$>] Đáp án:
Min Z 20x 1 + 750y1  55x 2 150y 2 35x 3  420y 3

St.

x 1  400y1 0
x 2  700y 2  0
x 3  600y3  0
x 1  x 2  x 3 800
x1 , x 2 , x 3  0

y1, y2, y3 binary
Câu 7 [<KH>]: Một loại sơn được sản xuất sử dụng bốn q trình sản xuất. Chi phí sản
xuất mỗi lít của bất cứ q trình sản xuất nào trong 4 quá trình sản xuất, khả năng sản xuất
lớn nhất của mỗi q trình, và các chi phí chuẩn bị được cho dưới đây:
Q trình

Chi phí chuẩn bị ($)

Chi phí xử lý ($/L)

Khả năng sản xuất (L)

P1
P2
P3
P4

5.000
6.000
10.000
6.000

0,6
0,5
0,4
0,3

20.000
15.000
40.000
25.000

Giả sử nhu cầu hàng ngày cần được thoả mãn là 45.000 L. Mơ hình hố bài tốn theo mơ
hình qui hoạch số nguyên để quyết định lịch sản xuất hàng ngày để tối thiểu hố tổng chi
phí.
[<$>] Đáp án:
MinZ 5 000y1  6 000y 2 10 000y3  6 000y 4  0.6x1  0.5x 2  0.4x3  0.3x 4

St. x1  20 000 y1 0
x2  15 000 y2 0

x3  40 000 y3 0
x4  25 000 y4 0
x1  x2  x3  x4 45 000
x1 , x2 , x3 , x4 0; x1 , x2 , x3 , x4 integer.
Câu 8 [<KH>]: Cho dự án có các cơng việc sau:

Mơ hình hóa bài tốn để xác định thời gian hoàn thành dự án.
[<$>] Đáp án:


Câu 9 [<TB>]: Hãng máy tính Dell đưa ra những quyết định sản xuất theo quý đối với hỗn
hợp sản phẩm của họ. Dây chuyền sản phẩm của họ gồm hàng trăm sản phẩm, ta chỉ xem
xét bài toán đơn giản chỉ với 2 sản phẩm: laptop và desktop (máy tính để bàn). Cơng ty
muốn biết sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tối đa hóa lợi nhuận theo quý. Có một
số giới hạn về những sản phẩm mà Dell có thể sản xuất. Thứ nhất, mỗi sản phẩm (hoặc là
laptop hoặc là desktop) địi hỏi phải có một Chip xử lý. Do sự khan hiếm trên thị trường
nhà cung cấp chỉ cung cấp 10 Chip cho Dell. Thứ hai, mỗi sản phẩm cũng địi hỏi phải có
bộ nhớ. Bộ nhớ lên tới 16MB chip set. Sản phẩm laptop có bộ nhớ 16MB (vì vậy sẽ cần 1
chip set) trong khi sản phẩm desktop yêu cầu 32MB (vì vậy cần 2 chip set). Ta đối mặt với
vấn đề này và ta có trong kho 15000 chip set để sử dụng trong toàn bộ quý tới. Thứ ba, mỗi
sản phẩm cần phải có thời gian lắp ráp. Do ràng buộc về dung sai (trong quá trình lắp ráp)
mỗi sản phẩm laptop cần nhiều thời gian lắp ráp hơn: 4 phút so với 3 phút với sản phẩm
desktop. Có 25000 phút để lắp ráp trong quý tới. Với điều kiện thị trường, chi phí nguyên
vật liệu, và hệ thống sản xuất hiện nay, lợi nhuận của mỗi loạt sản phẩm laptop và desktop
tương ứng là 750$ và 1000$ (loạt là 1000 sản phẩm). Mơ hình hóa bài tốn giúp cơng ty
đạt được mục tiêu đó.
[<$>] Đáp án:
Maximize = 750X1+1,000X2
Subject to
X1+X2<=10

X1+2X2<=15
4X1+3X2<=25
X1 >= 0; X2 >=0
Câu 10 [<TB>]: Mega Marketing đang lập kế hoạch cho một chiến dịch quảng cáo tập
trung trong một tuần đối với sản phẩm mới Cutseverything superKnife. Chiến dịch quảng
cáo được thiết kế và triển khai và bây giờ họ muốn xác định họ tiêu tốn bao nhiêu tiền cho
mỗi chương trình quảng cáo. Trên thực tế, họ có hàng trăm phương thức quảng cáo có thể
chọn. Ta minh họa bài toán của họ với 2 phương thức: trên truyền hình (TV) và tạp chí
mới. Bài tốn về tối ưu hóa lượng tiền (chi phí) quảng cáo có thể được mơ hình theo nhiều
cách. Ở đây, xác định mục tiêu đạt được trên mỗi khúc thị trường và tối thiểu hóa lượng
tiền cho những mục tiêu đó. Với sản phẩm này, khúc thị trường mục tiêu là Teenage Boys,


Affluent Women (age 40-49), và Retired Men. Mỗi phút quảng cáo trên TV và trang tạp
chí đạt được số lượng người (đơn vị triệu) như sau:

Mơ hình hóa giúp cơng ty đạt được mục tiêu đó.
[<$>] Đáp án:

Câu 11 [<TB>]: Một cơng ty tài chính có ngân sách 100.000.000$ để đầu tư. Có 5 hình
thức cho vay, mỗi hình thức có sức sinh lời và rủi ro cho ở bảng sau:
Cho vay/đầu tư

Sức sinh lời (%)

Rủi ro

Cho vay thế chấp lần 1

9

3

Cho vay thế chấp lần 2

12

6

Cho vay cá nhân

15

8

Cho vay thương mại

8

2

Đầu tư an ninh quốc gia

6

1

Tiền nếu không đầu tư sẽ thành một tài khoản tiết kiệm với sức sinh lời 3%. Mục tiêu của
tổ chức là phân bổ ngân sách tới các loại hình đầu tư miễn là:
-

Tối đa hóa tiền lãi trung bình trên mỗi đồng $.
Có rủi ro trung bình khơng hơn 5 (tổng của các tỷ số giữa mỗi rủi ro trên tổng
lượng tiền được đầu tư).
Đầu tư ít nhất 20% cho vay thương mại.
Lượng tiền đầu tư cho vay thế chấp lần 2 và cho vay cá nhân không lớn hơn lượng
tiền cho vay thế chấp lần 1

Mơ hình hóa giúp tổ chức đạt được mục tiêu đó.
[<$>] Đáp án:
Hàm mục tiêu Z =
Các ràng buộc:


Câu 12 [<TB>]: Một người ăn kiêng muốn giảm cân và phải thực hiện việc ăn uống kết
hợp với tập luyện. Được sư giúp đỡ của chuyên gia dinh dưỡng, người ăn kiêng phải đảm
bảo ăn các thực phẩm dưới đây theo đúng chỉ dẫn. Mặt khác với tài chính hạn hẹp người ăn
kiêng này cũng muốn tối thiểu hóa chi phí cho việc ăn kiêng. Sau khi tư vấn, chuyên gia
dinh dưỡng khuyến cáo người ăn kiêng phải có ít nhất 2000 kcal năng lượng, 55 g protein,
và 800 g calcium. Mơ hình hóa bài tốn giúp người ăn kiêng đạt được mục tiêu đó
Năng
lượng
Thực
phẩm

Định
mức

Protein

Calciu
m

Giá

Giới hạn
(số lượng định
mức/ngày)

kcal

(g)

(mg)

(cents/
định mức)

Yến
mạch

28g

110

4

2

3

4

Thịt gà

100g

205

32

12

24

3

Trứng

2 quả

160

13

54

13

2

Sữa

237 cc

160

8

285

9

8

Bánh
kem

170g

420

4

22

20

2

Thịt lợn
và đậu

260g

260

14

80

19

2

[<$>] Đáp án:


Câu 13 [<KH>]: Một đơn vị phi lợi nhuận muốn phân chia 3 nhóm sản phẩm (dịch vụ)
cho 3 khu vực khó khăn, mỗi khu vực một nhóm sản phẩm. Vì sự khác biệt của các khu
vực này với đơn vị phi lợi nhuận nên chi phí vận chuyển và thời gian vận chuyển từ đơn vị
phi lợi nhuận tới các khu vực là khác nhau. Sự khác nhau này phản ánh theo chi phí cho
mỗi giờ phục vụ được thể hiện trong hình dưới đây. Yêu cầu là phân cơng các nhóm sản
phẩm như thế nào để tối thiểu hóa chi phí phục vụ cho mỗi giờ tại mỗi khu vực.
Các khu vực
Nguồn cung

P1

P2

P3

S1

25

20

30

S2

20

15

35

S3

18

19

28

Bảng trên xác định các thông tin của bài tốn. Mơ hình hóa bài tốn trên.
[<$>] Đáp án:
Min Z = 25X11 + 20X12 + 30X13 + 20X21 + 15X22 + 35X23 + 18X31 + 19X32 + 28X33

Ràng buộc:
X11 + X12 + X13 = 1
Đội dịch vụ 1
X21 + X22 + X23 = 1 Đội dịch vụ 2
X31 + X32 + X33 = 1 Đội dịch vụ 3
X11 + X21 + X31 = 1
Vị trí 1
X12 + X22 + X32 =1
Vị trí 2
X13 + X23 + X33 =1
Vị trí 3
Xij ≥ 0,  ij, (Xij  0, 1)
Câu 14 [<KH>]: Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm A và B. Lợi nhuận đơn vị của sản
phẩm A và B lần lượt là 4 và 7 đơn vị tiền tệ. Để sản xuất 2 loại sản phẩm A và B cần sử
dụng 3 nguồn lực chủ yếu (R1, R2 và R3). Một sản phẩm A cần 2 đơn vị nguồn lực R1, 3
đơn vị nguồn lực R2 và 5 đơn vị nguồn lực R3; một sản phẩm B cần 1 đơn vị R1, 7 đơn vị
R2 và 6 đơn vị R3. Giới hạn nguồn lực R1, R2 và R3 lần lượt là 6000, 13000 và 12500.
Mô hình hóa bài tốn để lợi nhuận đạt tối đa. Khi bài toán chỉ yêu cầu tối đa 2 ràng buộc
trong số 3 ràng buộc chính trên được thỏa mãn.
[<$>] Đáp án:
Max Z = 4x1 + 7x2
Ràng buộc:
2x1 + x2 < 6.000 + M(1 – y1)
3x1 + 7x2 < 13.000 + M(1 – y2)
5x1 + 6x2 < 12.500 + M(1 – y3)
y1 + y2 + y3 = 2
x1, x2 > 0
và y1 = 0, 1 với mọi i

Câu 15 [<KH>]: Một thành phố có 30 triệu $ để đầu tư vào các dự án sau:
Dự án số
1
2
3
4
5

Chi phí chuẩn bị
($)
Đào tạo nghề
An tồn đường xá
Giảm tội phạm
Mở rộng đường
Chăm sóc trẻ em

Chi phí ($
triệu)
8
19
10
11
4

Lợi ích
18
16
12
25
14

a) Mơ hình hóa bài tốn để xác định dự án nào cần thực hiện để tối đa hóa lợi ích thu
được?
b) Mơ hình hóa các ràng buộc bổ sung sau đây:
- 2 trong 4 dự án đầu tiên cần phải được thực hiện?
- Dự án 1 và dự án 3 phải hoặc cùng được thực hiện hoặc cùng không được thực
hiện?
- Dự án 1 được thực hiện chỉ khi dự án 3 được thực hiện (việc thực hiện dự án 3
không phụ thuộc vào việc thực hiện dự án 1)?
[<$>] Đáp án:
…..
Max Z = 18x1 + 16x2 +..+ 14x5
St. 8x1+…+4x5 <= 30
Câu 16 [<KH>]: Woodco bán các loại miếng gỗ 3RB bổ sung: x1 + x2 + x3 + x4 >= 2 ft, 5-ft, 9-ft. Cầu khách hàng của woodco với các
loại miếng gỗ lần lượt là 25, 20, và 15 tấm. Woodco
phải đáp ứng nhu cầu này bằng cách cắt những tấm gỗ 17-ft muốn tối thiểu hóa lượng gỗ
lãng phí phải chịu. Mơ hình hóa bài tốn LP để giúp woodco đạt được mục tiêu.
[<$>] Đáp án:

Câu 17 [<TB>]: Công ty sản xuất quốc tế ABC sản xuất và phân phối 3 sản phẩm P 1, P2
và P3. Thời gian sản xuất P 1 gấp hai lần P2 và gấp ba lần P3. Các sản phẩm được sản xuất
theo tỷ lệ 3: 4: 5. Yêu cầu vật liệu cho mỗi sản phẩm và lượng vật liệu sẵn có được cho ở
bảng sau. Nếu tập trung sản xuất toàn bộ P 1 trong thời gian cho phép, có thể sản xuất 1600
sản phẩm. Yêu cầu SX ít nhất 185, 250 và 200 đơn vị sản phẩm P1, P2, P3 với lợi nhuận
đơn vị lần lượt là 50$, 40$, 70$. Tìm số lượng P1, P2, P3 được SX.
Yêu cầu cho mỗi đơn vị sản phẩm (kg)
Vật liệu

Tổng sẵn có
P1

P2

P3


R1

6

4

9

5000

R2

3

7

6

6000

[<$>] Đáp án:
Max Z = 50X1 + 40X2 + 70X3
s.t.
6X1 + 4X2 + 9X3 ¿ 5000 Vật liệu 1 sẵn có

3X1 + 7X2 + 6X3 ¿ 6000
Vật liệu 2 sẵn có
¿
X1 + (1/2)X2 + (1/3)X3
1600 Khả năng sản xuất
¿
X1
185
Nhu cầu P1
¿
X2
250
Nhu cầu P2
¿
X3
200
Nhu cầu P3
4X1 – 3X2 = 0 Tỉ lệ 1
5X2 – 4X3 = 0 Tỉ lệ 2
X1, X2, X3 ¿ 0
Câu 18 [<DE>]: Một xưởng mộc làm bàn và ghế. Một công nhân làm xong một cái bàn
phải mất 2 giờ, một cái ghế phải mất 30 phút. Khách hàng thường mua nhiều nhất là 4 ghế
kèm theo 1 bàn do đó tỷ lệ sản xuất giữa ghế và bàn nhiều nhất là 4:1. Giá bán một cái bàn
là 35USD, một cái ghế là 50USD. Hãy trình bày bài tốn quy hoạch tuyến tính để xưởng
mộc sản xuất đạt doanh thu cao nhất, biết rằng xưởng có 4 công nhân đều làm việc 8 giờ
mỗi ngày.
[<$>] X, Y: số bàn, ghế (=>0, nguyên)
Max Z = 35X + 50Y
X/4 – Y = 0
2X + 0.5Y <= 32

Câu 19 [<DE>]: Một nhà máy sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một cái mũ kiểu
thứ nhất nhiều gấp 2 lần thời gian làm ra một cái kiểu thứ hai. Nếu sản xuất tồn kiểu mũ
thứ hai thì nhà máy làm được 500 cái mỗi ngày. Hàng ngày, thị trường tiêu thụ nhiều nhất
là 150 cái mũ kiểu thứ nhất và 200 cái kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một cái mũ kiểu thứ
nhất là 8USD, một cái mũ thứ hai là 5USD. Hãy trình bày bài tốn quy hoạch tuyến tính để
nhà máy sản xuất đạt lợi nhuận cao nhất.
[<$>] X, Y: số lượng mũ kiểu 1,2 (=>0, nguyên)
Max Z = 8X + 5Y
t*X +t/2*Y <= 500t
X <=150
Y <=200
Câu 20 [<KH>]: Một công ty muốn sản xuất hai loại sản phẩm mới A và B bằng các
nguyên liệu I, II và III.


-

Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm A cần 2 đơn vị nguyên liệu I, 1 đơn vị
nguyên liệu II và 1 đơn vị nguyên liệu III.

-

Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm B cần 1 đơn vị nguyên liệu I , 2 đơn vị nguyên liệu
II và 1 đơn vị nguyên liệu III.

Dự trữ về nguyên liệu I, II và III là: 8, 7 và 3.
Tiền lãi từ một đơn vị A là 4$ và từ một đơn vị B là 5$.
Cần lập kế hoạch sản xuất sao cho công ty thu được tiền lãi lớn nhất trên cơ sở
nguyên liệu dự trữ hạn chế.
[<$>] Xij: nguyên liệu I, II, III để sản xuất A, B (=>0)

Max Z = 4(X1a + X2a + X3a) +5(X1b+X2b+X3c)
X1a + X1b <=8
X2a + X2b <=7
X3a + X3b <=3
X1a/2 = X2a/1 = X3a/1
X1b/1 = X2b/2 = X3b/1
Câu 21 [<DE>]: Một nhà nông có 100 héc-ta đất và dự định trồng ba loại cây. Hạt giống
cho ba loại cây A, B, C tốn lần lượt là 40$, 20$ và 30$ cho mỗi héc-ta. Nhà nơng đang có
ngân sách cho hạt giống là 3.200$. Thời gian để gieo trồng các hạt giống A, B, C trên một
héc-ta lần lượt là 1, 2, 1 ngày cơng, nhà nơng ước tính tổng giờ cơng sẵn có là 160 ngày.
Xác định diện tích trồng cho mỗi loại cây A, B, C sao cho có lợi nhất, biết rằng lợi nhuận
mỗi héc-ta cây A, B, và C lần lượt là 100$, 300$ và 200$.
Xác định biến quyết định, hàm mục tiêu và các ràng buộc cho bài toán
[<$>] Xa,b,c: diện tích trồng cây a,b,c (=>0)
Max = 100Xa + 300Xb + 200Xc
40Xa + 20Xb + 30Xc <=3200
Xa + 2Xb + Xc <=160
Xa + Xb + Xc <=100
Câu 22 [<KH>]: Cơng ty Hố phẩm Zenico sản xuất chất tẩy rửa cơng nghiệp làm sạch
thảm. Hỗn hợp hố chất này làm từ hỗn hợp 2 hoá chất khác cùng chứa chất làm sạch LIM
và chất làm sạch LOOM. Sản phẩm này phải chứa 175 đơn vị chất LIM và 150 đơn vị chất
LOOM và phải cân nặng ít nhất 100 pound (1 pound = 0.454 kg). Hố chất A có giá $8
mỗi pound, trong khi đó hóa chất B có giá $6 mỗi pound. Hóa chất A chứa một đơn vị chất
LIM và một đơn vị chất LOOM. Xây dựng bài tốn ở dạng quy hoạch tuyến tính và giải
bài tốn.
[<$>] Xlia, Xloa, Xlib, Xlob: số đơn vị chất lim, loom trong lượng hóa chất A, B được
mua (=>0, nguyên)
Min Z = 8((Xlia+Xloa)/2) + 6((Xlib + Xlob/2)/2)
Xlia = Xloa
Xlib = Xlob/2

Xlia + Xlib =175
Xloa + Xlob = 150


(Xlia+Xloa)/2 + (Xlib + Xlob/2)/2 => 100
Câu 23 [<KH>]: Công ty Sunco Oil sản xuất 3 loại xăng (X1, X2, X3). Mỗi loại xăng
được sản xuất bằng cách trộn ba loại dầu thơ (D1, D2, D3). Mỗi ngày, Sunco có thể mua
tối đa 5.000 thùng dầu mỗi loại. Ba loại xăng có chỉ số ốctan và hàm lượng lưu huỳnh khác
nhau, và hỗn hợp dầu thô dùng để tạo thành loại xăng đó phải có chỉ số ốctan tối thiểu và
hàm lượng lưu huỳnh tối đa như trong bảng dưới đây. Giá bán của mỗi loại xăng và giá
mua của mỗi loại dầu thô cũng được nêu trong bảng. Chi phí để chuyển đổi 1 thùng dầu
thành 1 thùng xăng là 4$. Nhà máy lọc dầu của Sunco có sản lượng tối đa là 14.000 thùng
xăng mỗi ngày.
Các khách hàng của Sunco đã ký hợp đồng mua các loại xăng như sau: 3000 thùng X1,
2000 thùng X2, 1000 thùng X3 mỗi ngày. Sunco cũng có thể quảng cáo sản phẩm để kích
cầu, và mỗi đơla chi cho quảng cáo cho một loại xăng nhất định mỗi ngày sẽ làm tăng nhu
cầu hàng ngày của loại xăng đó thêm 10 thùng/ngày. Hãy xây dựng mơ hình tuyến tính cho
phép Sunco tối đa hóa lợi nhuận (=doanh thu-chi phí) mỗi ngày của công ty.

[<$>] X11, X21, X31, X12, X22, X32, X13, X23, X33: lượng thùng dầu thô 1,2,3 dùng để
sản xuất xăng 1,2,3
Max Z = 70*3000+ 60*2000 + 50*1000 - 45*(X11 + X12 + X13) - 35*(X21 + X22 +
X23) - 25*(X31 + X32 + X33) - 4*Tổng Xij – 10*(3000+2000+1000)
Tổng Xij<= 5000
3000/10 => (X11+ X12 + X13)/12
…
3000/1<= (X11+ X12 + X13)/0.5
…
Câu 24 [<TB>]: Do tình trạng ơ nhiễm q mức ở sơng Cầu, chính phủ dự kiến xây một
số trạm xử lý nước thải để khống chế các chất gây ô nhiễm A và B. Yêu cầu đặt ra là phải

đảm bảo xử lý loại bỏ tối thiểu 8000 tấn A và tối thiểu 5000 tấn B từ nước sông Cầu. Có 3
địa điểm khác nhau được đề xuất để xây các trạm, với các thông số nêu trong bảng. Hãy
lập mơ hình IP để đáp ứng được u cầu đặt ra với chi phí tối thiểu.


[<$>] Xi: đặt nhà máy tại địa điểm 1,2,3 (=1 nếu được chọn, =0 nếu không được chọn)
Min Z = 100.000*X1 + 60000X2 + 40000X3 + 20*(8000/0,4 + 5000/0,3)*X1 +
30*(8000/0,25 + 5000/0,2)*X2 + 40*(8000/0,2 + 5000/0,25)*X3
X1 + X2 + X3 = 1
Câu 25 [<KH>]: Công ty sản xuất sơn với danh mục sản phẩm gồm 3 loại: sơn lót, sơn
màu (trong nhà) và sơn ngoại thất. Quá trình sản xuất 3 loại sơn đều trải qua 3 quá trình cơ
bản. Nguồn lực giới hạn và yêu cầu sản xuất của mỗi loại sơn được cho trong bảng:

Khơng có giới hạn cho các nguồn lực khác. Nhu cầu và lợi nhuận tính như sau:

Trong nhu cầu dự kiến hàng tháng, cơng ty ln có hợp đồng ổn định chuyển ít nhất 250
kl/ tháng sơn ngoại thất tới Home Mart. Nếu công ty không thể đáp ứng nhu cầu thị trường
dự kiến hàng tháng, thì chính sách của cơng ty là phần trăm nhu cầu không được thỏa mãn
phải bằng nhau đối với 3 loại sơn. Mơ hình hóa tuyến tính bài toán để xác định kế hoạch
sản xuất hàng tháng để tối đa hóa lợi nhuận.
[<$>] Xi: số lượng các loại sơn được sản xuất
Max Z = 5000X1 + 4000X2 + 3000X3
0.25X1 + 0.15X2 + 0.65X3 <= 550
3X1 + 4X2 + 6X3 <= 90
10X1 + 10X2 + 10X3 <= 75
X3 =>250
(150-X1)/150 = (350-X2)/350=(550-X3)/550
Câu 26 [<TB>]: Cửa hàng A định đổi mới việc kinh doanh hoa quả của mình bằng cách
trộn lân 3 loại quả táo, lê và đào để đưa ra 3 loại giỏ hoa quả cho thị trường địa phương.
Mỗi giỏ hàng nặng trung bình khoảng 5 kg. Thành phần của giỏ hàng cụ thể như sau:

Cửa hàng A mua táo với mức giá 1$/kg, lê 1.5$/kg, và đào 1.8$/kg và bán giỏ loại một với
mức giá 2,25 $/kg, loại 2 là 3$/kg và loại 3 là 2.6$/kg. Nguồn cung hàng ngày hoa quả giới
hạn với 60 kg táo, 70kg kg lê và 50 kg đào. Cửa hàng có khả năng bán hết tất cả giỏ hoa
quả mà họ chuẩn bị hàng ngày. Mơ hình hóa tuyến tính bài tốn để xác định hoa quả được
kết hợp như thế nào để tối đa hóa lợi nhuận.
[<$>] Xi: số lượng giỏ loại 1,2,3
Max Z = 2,25.X1 + 3.X2 + 2,6.X3 –1.(5.(0,3X1 + 0,6X2 + 0,2X3)) – 1,5.(5(0,2X1 +
0,4X2 + 0,5X3)) – 1,8.(5(0,5X1 + 0,2X2 + 0,3X3))
St
5.(0,3X1 + 0,6X2 + 0,2X3) <= 60
….
[(<002078_C2>)] Tự luận, , Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Câu 46 [<DE>]: Thủ tục giải bài tốn quy hoạch tuyến tính 2 biến bằng phương pháp hình
học?
[<$>] Đáp án:
-

Vẽ hình vẽ bài tốn cho mỗi ràng buộc.
Xác định miền khả thi thỏa mãn tất cả các ràng buộc.
Vẽ đường biểu diễn hàm mục tiêu.
Dịch chuyển song song hàm mục tiêu theo cách giá trị hàm mục tiêu lớn hơn.
Phương án khả thi đối với đường biểu diễn hàm mục tiêu với giá trị lớn nhất là
phương án tối ưu.

Câu 47 [<DE>]: Khái niệm vùng khả thi, điểm cực biên? Biến thừa và biến thiếu tồn tại
khi nào?
[<$>] Đáp án:
-

Vùng chứa tất cả các điểm thỏa mãn tất cả các ràng buộc của bài toán.
Điểm cắt nhau từng đôi một giữa các đường biểu diễn các ràng buộc của bài toán.
Biến thừa tồn tại khi vế trái của ràng buộc lớn hơn vế phải. Biến thiếu tồn tại khi vế
trái của ràng buộc nhỏ hơn vế phải.

Câu 48 [<DE>]: Phân tích độ nhạy là gì? Tại sao phải phân tích độ nhạy trong quy hoạch
tuyến tính?
[<$>] Đáp án:
Khi thay đổi thơng số đầu vào tìm kết quả đầu ra thay đổi như thế nào.
Phân tích độ nhạy là cần thiết…


Câu 49 [<DE>]: Giải thích khái niệm vùng tối ưu vế phải các ràng buộc và vùng tối ưu hệ
số hàm mục tiêu?
[<$>] Đáp án:
-

Vùng tối ưu VP các RB là đoạn mà nếu vế phải RB thuộc đoạn đó thì phương án
tối ưu khơng đổi.
Vùng tối ưu hệ số HMT là đoạn mà nếu vế phải hệ số HMT thuộc đoạn đó thì
phương án tối ưu khơng đổi

Câu 50 [<TB>]: Quy hoạch tuyến tính là gì? Lấy ví dụ thực tế về vấn đề mơ hình hóa bài
tốn trong thực tế kinh doanh
[<$>] Mơ hình hóa bài tốn quy hoạch tuyến tính phải đảm bảo các yêu cầu sau:
-

Các hệ số của HMT và RB phải là hằng số hoặc bằng 0.
Các biến ở dạng bậc nhất, khơng có số mũ và khơng có tích cũng như thương các

biến với nhau.

Câu 51 [<TB>]: Trình bày các phương pháp giải bài tốn quy hoạch tuyến tính? Sự giống
và khác nhau giữa các phương pháp này?
[<$>] Đáp án:
Có 1 phương pháp giải phổ biến nhất cho dạng BT quy hoạch tuyến tính đó là phương
pháp đơn hình (sử dụng với số biến quyết định bất kỳ). Ngồi ra, có phương pháp đồ thị
cũng được sử dụng (áp dụng cho MH bài tốn 2 biến quyết định).
Câu 52 [<TB>]: Giải thích ý nghĩa của Reduced Cost? Nguyên tắc 100% sử dụng trong
trường hợp nào?
[<$>] Đáp án:
-

Reduced Cost là lượng hệ số HMT cần phải thay đổi để biến quyết định trong
phương án tối ưu mới nhận giá trị khác 0.
Nguyên tắc 100% được sử dụng trong trường hợp khi thay đổi đồng thời 2 hệ số
của HMT

Câu 53 [<KH>]: Khi giải bài tốn quy hoạch tuyến tính lời giải tối ưu có những trường
hợp nào? Khi nào thì lời giải tối ưu là tập các điểm trên 1 đoạn thẳng (đối với bài toán 2
biến)?
[<$>] Đáp án:
-

-

Các trường hợp của bài toán quy hoạch tuyến tính: một nghiệm tối ưu duy nhất,
nghiệm là một đoạn thẳng (vô số nghiệm), không xác định được lời giải tối ưu, vô
nghiệm.
Khi một trong 2 ràng buộc cắt nhau có điểm tối ưu song song với đường HMT.

[(<002078_C2BT>)] Tự luận, , Chương 2: Quy hoạch tuyến tính – Bài tập
Câu 54 [<DE>]: Xem xét mơ hình qui hoạch tuyến tính sau:


Max 2x1 + 3x2
s.t.
x1 + x2 ≤ 10
2x1 + x2 ≥ 4
x1 + 3x2 ≤ 24
2x1 + x2 ≤ 16
x1, x2 ≥ 0
a.
b.
c.
d.
e.

Giải bài tốn sử dụng phương pháp hình học
Tính vùng tối ưu của các hệ số hàm mục tiêu của x1
Tính vùng tối ưu của các hệ số hàm mục tiêu của x2
Giả sử hệ số của x1 tăng từ 2 lên 5. Lời giải tối ưu mới là gì?
Giả sử hệ số hàm mục tiêu của x2 giảm từ 3 xuống 1. Lời giải tối ưu mới là gì?

[<$>] Đáp án:

Câu 55 [<DE>]: Xem xét mơ hình toán học sau đây
Min x1 + x2
s.t.
x1 + 2x2 ≥ 7

2x1 + x2 ≥ 5
x1 + 6x2 ≥ 11
x1, x2 ≥ 0
-

Giải bài tốn sử dụng phương pháp hình học
Tính vùng tối ưu của các hệ số hàm mục tiêu của x1
Tính vùng tối ưu của các hệ số hàm mục tiêu của x2
Giả sử hệ số của x1 tăng tới 1,5. Tìm lời giải tối ưu mới?
Giả sử hệ số hàm mục tiêu của x2 giảm tới 1/3. Tìm lời giải tối ưu mới?

[<$>] Đáp án:

Câu 56 [<DE>]: Xem xét mơ hình qui hoạch tồn số ngun sau:
Max: 5x1 + 8x2
s.t.


6x1 + 5x2 ≤ 30
9x1 + 4x2 ≤ 36
1x1 + 2x2 ≤ 10
x1, x2 ≥ 0 và là số nguyên
-

Vẽ đồ thị thể hiện các ràng buộc của mơ hình. Vẽ các điểm khả thi của các lời giải
số nguyên.
Tìm lời giải tối ưu của bài toán nới lỏng (bỏ điều kiện ràng buộc số ngun). Làm
trịn xuống để tìm lời giải khả thi.
Tìm lời giải tối ưu số nguyên. . Lời giải này có giống với lời giải ở phần (b) làm
tròn xuống.

[<$>] Đáp án:
Câu 57 [<TB>]: Xem xét mơ hình qui hoạch tồn số ngun sau:
Max 1x1 + 1x2
s.t.
4x1 + 6x2 ≤ 22
1x1 + 5x2 ≤ 15
2x1 + 1x2 ≤ 9
x1, x2 ≥ 0 và là số nguyên
-

Vẽ đồ thị thể hiện các ràng buộc của mơ hình. Vẽ các điểm khả thi của các lời giải
số nguyên.
Tìm lời giải tối ưu của bài toán nới lỏng (bỏ điều kiện ràng buộc số nguyên).

-

Tìm lời giải tối ưu số nguyên.

[<$>] Đáp án:


Câu 58 [<TB>]: Cho mơ hình hóa bài tốn sau:

a. Giải bài tốn bằng phương pháp đồ thị để tìm ra lời giải tối ưu. Hãy đưa ra kết luận
về kết quả đó trong trường hợp này. Xác định các biến thừa, biến thiếu?
b. Giả sử trong trường hợp môi trường kinh tế thay đổi, chi phí quảng cáo của 2
phương thức cũng thay đổi người quản lý muốn tổng chi phí cho quảng cáo khơng
đổi. Vậy phạm vi nào của chi phí mỗi phương thức quảng cáo cho người quản lý có
được mong muốn đó.

c. Xác định các giá trị Dual price và đưa ra kết luận về mỗi giá trị đó.
d. Sử dụng nguyên tắc 100 để xác định xem lời giải tối ưu ban đầu có thay đổi khơng
khi chi phí quảng cáo mỗi phương thức lần lượt là 625 và 570.
[<$>] Đáp án:

a. Lời giải tối ưu của bài tốn có kết quả Z = 4266,67 với x1 = 2,67; x2 = 5,33 Sẽ
quảng cáo 2,67 phút trên TV và 5,33 phút trên Mag. Có Tổng chi phí Min =
4266.67


Ràng buộc 1 và 3 có biến thừa/ biến thiếu =0; ràng buộc 2 có biến thiếu 16,67
b. Phạm vi C1 [500; 1250]; phạm vi C2 [240; 600]
c. Dual price của ràng buộc 1 là 33,33; của ràng buộc 2 là 0; của ràng buộc 3 là 144,4.
Kết luận: khi về phải của ràng buộc 1 giảm đi 1 đơn vị thì hàm mục tiêu tăng 33,33;
tương tự cho ràng buộc 3.
d. Từ bảng dưới đây có thể thấy tổng lượng thay đổi 73,85% <100%  lời giải tối ưu
không đổi
600

500

625

570

1250

600

25

70

650

100

3.85% 70.00% 73.85%
Câu 59 [<KH>]: Cho MHH bài toán sau:
Min z = 500x1 + 600x2
St.
5x1 + 3x2 ≥ 24
x1 + 5x2 ≥ 18
3x1 + 3x2 ≥ 24
x1, x2 ≥ 0
Hãy thực hiện những yêu cầu sau:
a. Giải bài toán bằng phương pháp đồ thị để tìm ra lời giải tối ưu. Xác định các biến
thừa, biến thiếu?
b. Phạm vi nào của các hệ số hàm mục tiêu cho lời giải tối ưu của bài tốn khơng đổi.
c. Xác định các giá trị Dual price và đưa ra kết luận về mỗi giá trị đó.
d. Sử dụng nguyên tắc 100 để xác định xem lời giải tối ưu ban đầu có thay đổi khơng
khi chi phí quảng cáo mỗi phương thức lần lượt là 525 và 610.
e. Tìm lời giải số ngun của bài tốn bằng cách nhanh nhất (khơng nhất thiết là lời
giải nguyên tối ưu).
[<$>] Đáp án:
a. Lời giải tối ưu x1 = 5,5; x2 = 2,5; HMT Z = 4250; Rb 1 có biến thừa là 11; rb 2 và
3 biến thiếu/thừa = 0
b. Phạm vi C1 và C2 tương ứng là [120;600] và [500;2500]

c. Các dual price tương ứng là: 0; 25; 158,33
d. Từ bảng ta thấy lời giải tối ưu không đổi vì 73,85% <100%
500

600

525

610

600

2500

25

10

100

1900

25.00%

0.53% 73.85%

e. Làm trịn lên ta có lời giải nguyên x1 = 6; x2 = 3 HMT Z = 500*6 + 600*3 =
4800
Câu 60 [<KH>]: Cho bài toán tối thiểu hóa sau:
Min

s.t.

x1 + x2
x1 + 3x2 ≥ 10
2x1 + x2 ≥ 6
x1 + 6x2 ≥ 10
x1, x2 ≥ 0

a. Giải bài toán sử dụng phương pháp đồ thị
b. Tính vùng thay đổi được phép của các hệ số hàm mục tiêu (của x1 và x2) mà không
làm thay đổi phương án tối ưu.
c. Tìm vùng tối ưu của vế phải các ràng buộc của bài toán để các ràng buộc quyết
định tối ưu không thay đổi.
d. Xác định các Dual prices (giá mờ) của bài tốn.
e. Nếu mơ hình bài tốn trên đổi từ Min sang Max hãy kết luận về lời giải tối ưu của
bài toán? Giải thích ý nghĩa của Reduced cost
[<$>] Đáp án:


Câu 61 [<KH>]: Cho mơ hình hóa bài tốn
Max z = 30x1 + 20x2
st.
x1 +2x2 ≤ 6
2x1 +x2 ≤ 8
-x1 + x2 ≤ 1
x2 ≤ 2
x1, x2 ≥ 0;
- Xác định lời giải tối ưu
- Vùng tối ưu hệ số HMT
- Vùng tối ưu về phải các RB

- Xác định “giá mờ”
- Đổi bài toán trên thành bài toán Min, hãy kết luận về phương án tối ưu của bài
toán “nới lỏng”.
[<$>] Đáp án:

Câu 62 [<TB>]: Cho MH bài toán sau

a. Giải bài toán sử dụng phương pháp đồ thị
b. Tính vùng thay đổi được phép của các hệ số hàm mục tiêu (của x1 và x2) mà không
làm thay đổi phương án tối ưu
c. Tìm vùng tối ưu của vế phải các ràng buộc của bài toán để các ràng buộc quyết
định tối ưu không thay đổi.
d. Xác định các Dual prices (giá mờ) của bài toán
[<$>] Đáp án:


Câu 63 [<TB>]: Cơng ty máy móc M&D sản xuất 2 sản phẩm để bán dưới dạng nguyên
vật liệu thô tới những công ty sản xuất xà bông và chất tẩy. Dựa trên việc phân tích mức
tồn kho hiện nay và nhu cầu tiềm năng theo tháng, quản lý M&D chỉ ra rằng kết hợp sản
xuất sản phẩm A và B phải mất ít nhất 350 gallon. Cụ thể, một khách hàng chính đặt 125
gallon sản phẩm A cũng phải được đáp ứng. Sản phẩm A cần 2 giờ sản xuất mỗi gallon,
còn B cần 1 giờ. Trong tháng tới, 600 giờ thời gian sẵn có cho sản xuất. Mục tiêu của
M&D là thỏa mãn những yêu cầu này tại mức chi phí sản xuất thấp nhất. Chi phí sản xuất
là 2$/gallon sản phẩm A và 3$/gallon sản phẩm B.
Xác định kế hoạch sản xuất tối thiểu hóa chi phí.
[<$>] A = 250, D = 100, Z = 800
Câu 64 [<TB>]: Công ty sản xuất đồ gỗ nội thất Lam Sơn có 02 nhà máy A và B sản xuất
bàn, ghế gỗ xuất khẩu. Mỗi ngày nhà máy A có thể sản xuất được 20 bàn và 60 ghế. Mỗi
ngày nhà máy B có thể sản xuất được 25 bàn và 50 ghế. Công ty vừa ký được hợp đồng
xuất khẩu 1000 bàn và 2500 ghế. Thời hạn hợp đồng giao hàng tối đa 30 ngày kể từ ngày

ký. Vì vậy, trong 30 ngày số lượng bàn ghế mà cả hai nhà máy A và B của công ty phải
sản xuất ít nhất phải bằng số lượng hợp đồng. Chi phí vận hành ở nhà máy A là
$1000/ngày và chi phí vận hành ở nhà máy B là $900/ngày. Sử dụng phương pháp đồ thị,
anh/chị hãy tìm miền khả thi và các ràng buộc cho bài toán và xác định số ngày hoạt động
cần cho mỗi nhà máy để sản xuất đủ số lượng bàn và ghế trong hợp đồng với chi phí thấp
nhất? Tính chi phí này? Biết rằng công ty bắt đầu sản xuất ngay sau khi ký hợp đồng.
[<$>]X1 = 22.22, X2 = 22.72, Z = 42676.8
Câu 65 [<TB>]: Một nhà máy cán thép có thể sản xuất hai loại sản phẩm: thép tấm và
thép cuộn. Nếu chỉ sản xuất một loại sản phẩm thì nhà máy chỉ có thể sản xuất 200 tấn thép
tấm hoặc 140 tấn thép cuộn trong một giờ. Lợi nhuận thu được khi bán một tấn thép tấm là
25USD, một tấn thép cuộn là 30USD. Nhà máy làm việc 40 giờ trong một tuần và thị
trường tiêu thụ tối đa là 6000 tấn thép tấm và 4000 tấn thép cuộn.
Vấn đề đặt ra là nhà máy cần sản xuất mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu trong một
tuần để đạt lợi nhuận cao nhất. Hãy trình bày bài tốn quy hoạch tuyến tính cho vấn đề
trên.
[<$>] X1 = 6000, X2 = 1400, Z = 192000
Câu 66 [<TB>]: Một xưởng mộc làm bàn và ghế. Một công nhân làm xong một cái bàn
phải mất 2 giờ, một cái ghế phải mất 30 phút. Khách hàng thường mua nhiều nhất là 4 ghế
kèm theo 1 bàn do đó tỷ lệ sản xuất giữa ghế và bàn nhiều nhất là 4:1. Giá bán một cái bàn
là 35USD, một cái ghế là 50USD. Hãy trình bày bài tốn quy hoạch tuyến tính để xưởng
mộc sản xuất đạt doanh thu cao nhất, biết rằng xưởng có 4 công nhân đều làm việc 8 giờ
mỗi ngày.