Tài liệu CƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU TRONG KINH DOANH-BÀI TẬP pdf

Đặng Công Thức K47QTKD
Ngô Lan Anh
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU TRONG KINH DOANH
Sinh Viên : Đặng Công Thức
Ngô Lan Anh
Lớp: K47QTKD
CHƯƠNG II: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
BÀI 1: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính.
F(x) = 2x
1
+ 5x
2
+ x
3
– 4x
4
→ MAX
3x
1
+ 2x
3
– 5x
4
≤ 46
4x
1
+ x
3
– 4x
4
≤ 72

x
2
- 2x
3
+ 2x
4
= 28
2x
1
+ x
3
– 3x
4
≥ 24
x
j
≥ 0 j = 1, 2…4
BÀI LÀM
BÀI 1: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính.
f(x) = 2x
1
+ 5x
2
+ x
3
– 4x
4
→ MAX
3x
1

+ 2x
3
– 5x
4
≤ 46
4x
1
+ x
3
– 4x
4
≤ 72
x
2
- 2x
3
+ 2x
4
= 28
2x
1
+ x
3
– 3x
4
≥ 24
x
j
≥ 0 j = 1, 2…4
Đưa vào biến bù x

5,
x
6
, x
7
chúng ta chuyển bài toán đã cho về dạng chính tắc:
f(x) = 2x
1
+ 5x
2
+ x
3
– 4x
4
+ 0x
5
+ 0x
6
+ 0x
7
→ MAX
3x
1
+ 2x
3
– 5x
4
+ x
5
= 46

4x
1
+ x
3
– 4x
4
+ x
6
= 72
x
2
- 2x
3
+ 2x
4
= 28
2x
1
+ x
3
– 3x
4
- x
7
= 24
x
j
≥ 0 j = 1, 2…7
Đưa vào biến giả t
4

, ta có bài toán phụ sau
g(X,T) = t
4
→ min
3x
1
+ 2x
3
– 5x
4
+ x
5
= 46
4x
1
+ x
3
– 4x
4
+ x
6
= 72
x
2
- 2x
3
+ 2x
4
= 28
2x

1
+ x
3
– 3x
4
- x
7
+ t
4
= 24

x
j
≥ 0 j = 1, 2…7, t
4
≥ 0
Giải bài toán phụ
1
Đặng Công Thức K47QTKD
Ngô Lan Anh
hệ
số
Cơ sở PA 0 0 0 0 0 0 0 1
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
Ф
0 A2 28 0 1 -2 2 0 0 0 0 -
0 A5 46 3 0 2 -5 1 0 0 0 46/3
0 A6 72 4 0 1 -4 0 1 0 0 18
1 A8 24 │2│ 0 1 -3 0 0 -1 1 12
g(X,T) 24 2 0 1 -3 0 0 -1 0

0 A2 28 0 1 -2 2 0 0 0 -
0 A5 10 0 0 1/2 -1/2 1 0 3/2 -
0 A6 24 0 0 -1 2 0 1 2 -
0 A1 12 1 0 1/2 -3/2 0 0 -1/2 -
g(X,T) 0 0 0 0 0 0 0 0
Bảng đơn hình của bài toán chính như sau:
hệ
số
Cơ sở PA 2 5 1 -4 0 0 0 0
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
Ф
5 A2 28 0 1 -2 2 0 0 0 -
0 A5 10 0 0 │1/2│ -1/2 1 0 3/2 - 20
0 A6 24 0 0 -1 2 0 1 2 -
2 A1 12 1 0 1/2 -3/2 0 0 -1/2 - 24
f(X) 164 0 0 -10 11 0 0 -1 -
5 A2 68 0 1 0 0 4 0 6 -
1 A3 20 0 0 1 -1 2 0 3 -
0 A6 44 0 0 0 1 2 1 5 -
2 A1 2 1 0 0 -1 -1 0 -2 -
f(X) 364 0 0 0 1 20 0 29 -
Do Δ
j
≥ 0 , j = 1, 2…7
Nên phưong án tối ưu của bài toán là: X
opt
=(2, 68, 20, 0, 0, 44, 0)
vậy f
max
= 364

DẠNG BÀI TOÁN PHA CẮT VẬT LIỆU.
BÀI 14: Một DN cần cắt những thanh thép dài 2m ra những thanh dài 0,5m, 0,6m, và
0,8m để SX sản phẩm. Theo kế hoạch sản xuất DN cần phải có 800 thanh dài 0,5m, 600
thanh dài 0,6m và 400 thanh dài 0,8m. hãy xác định số thanh thép được cắt theo các
mẫu khác nhau để DN hoàn thành kế hoạch sản xuất với tổng số thép dư thừa là nhỏ
nhất. có bao nhiêu cách cắt để tổng số thép dư thừa là nhỏ nhất
BÀI LÀM
Doanh nghiệp có 8 mẫu cắt đó là:
- mẫu 1: Cắt 4 đoạn 0,5m thừa 0m
- mẫu 2: cắt 2 đoạn 0,5m, 1 đoạn 0,6m, thừa 0,4m
- mẫu 3: cắt 2 đoạn 0,5m, 1 đoạn 0,8m, thừa 0,2m
- mẫu 4: cắt 1 đoạn 0,5m , 2 đoạn 0,6m, thừa 0,3m
- mẫu 5: cắt 1 đoạn 0,5m, 1 đoạn 0,6m, 1 đoạn 0,8m, thừa 0,1m
- mẫu 6: cắt 2 đoạn 0,6m, 1 đoạn 0,8m, thừa 0m
2
Đặng Công Thức K47QTKD
Ngô Lan Anh
- mẫu 7: cắt 3 đoạn 0,6m, thừa 0,2m
- mẫu 8: cắt 2 đoạn 0,8m, thừa 0,4m
gọi x
j
là số thanh thép được cắt theo mẫu j(j= 1,2,3…8), để tìm cách cắt tối ưu cho DN
chúng ta cần giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
f(X) = 0,4x
2
+ 0,2x
3
+ 0,3x
4
+ 0,1x

5
+ + 0,2x
7
+ 0,4x
8
→ min

4x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ x
4
+ x
5
≥ 800

x
2
+ 2 x
4
+ x
5
+ 2x
6
+ 3x
7
≥ 600

x
3
+ x
5
+ x
6
+ 2x
8
≥ 400
x
j
≥ 0, j=1, 2…8
Nếu gọi x
9
, x
10,
x
11
là số đoạn 0,5m, 0,6m, và 0,8m cắt thừa ra so với yêu cầu thì đây
cũng là phần thép dư thừa cần cực tiểu hoá. Về mặt kinh tế bài toán trên tương đương
với bài toán ở dạng chính tắc sau.
f(X) = 0,4x
2
+ 0,2x
3
+ 0,3x
4
+ 0,1x
5

+ 0,2x
7
+ 0,4x
8
+0,5x
9
+ 0,6x
10
+ 0,8x
11
→min
4x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ x
4
+ x
5
- x
9


= 800

x
2
+ 2x

4
+ x
5
+ 2x
6
+ 3x
7
- x
10
= 600

x
3
+ x
5
+ x
6
+ 2x
8
- x
11
= 400
x
j
≥ 0, j=1, 2…11
Biến đổi tương đương chúng ta có
f(X) = 0,4x
2
+ 0,2x
3

+ 0,3x
4
+ 0,1x
5
+ 0,2x
7
+ 0,4x
8
+0,5x
9
+ 0,6x
10
+ 0,8x
11
→min
x
1
+ 1/2x
2
+ 1/2x
3
+ 1/4x
4
+ 1/4x
5
- 1/4x
9


= 200

1/3x
2
+ 2/3 x
4
+ 1/3x
5
+ 2/3x
6
+ x
7
- 1/3x
10
= 200
1/2 x
3
+ 1/2x
5
+ 1/2x
6
+ x
8
- 1/2x
11
= 200
x
j
≥ 0, j=1, 2…11
giải bài toán chính.
3
Đặng Công Thức K47QTKD

Ngô Lan Anh
hệ
số
Cơ
sở
PA 0 0,4 0,2 0,3 0,1 0 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11
Ф
0 A1 200 1 1/2 1/2 1/4 1/4 0 0 0 -1/4 0 0
0,2 A7 200 0 1/3 0 2/3 1/3 │2/3│ 1 0 0 -1/3 0 300
0,4 A8 200 0 0 1/2 0 1/2 1/2 0 1 0 0 -1/2 400
f(X
)
120 0 -0,3 0 -1/6 1/6 1/3 0 0 -0,5 -2/3 -1
0 A1 200 1 1/2 -1/4 1/4 1/4 0 0 0 -1/4 0 0 -
0 A6 300 0 1/2 0 1
1/2
1 3/2 0 0 -1/2 0 -
0,4 A8 50 0 -1/4 1/2 -1/2 1/4 0 -3 1 0 1/4 -1/2 -
f(X
)
20 0 -0,5 0 -0,5 0 0 -1,4 0 0 -0,5 -1
Do ∆
I j
≤ 0, j=1,2…8 nên phương án trên là phương án tối ưu
Vậy phương án này là cắt: 200 theo mẫu 1, 300 theo mẫu 6 và 50 theo mẫu 8 thì tổng số
thép dư thừa là ít nhất là 20m.
Do có ∆
3
= 0 và

bằng việc đưa A3 vào cơ sở ta sẽ có được phương án tối ưu thứ 2 là

4
Đặng Công Thức K47QTKD
Ngô Lan Anh
DẠNG BÀI TOÁN LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT.
BÀI 15: Một DN trong tháng có thể sản xuất 3 loại sản phẩm là S1, S2, S3 để cung cấp
cho khách hàng. Để sản xuất 3 loại sản phẩm này DN phải sử dụng 4 loại NVL là N1,
N2, N3, N4. Số lượng NVL tối đa mà doanh nghiệp được sử dụng trong tháng đối với
từng loại lần lượt là 15.000, 12.000, 10.000 và 500.000 đơn vị. Định mức sử dụng NVL
để sản xuất SP (đơn vị/sp) được cho trong bảng sau
sản phẩm
nguyên liệu
S1 S2 S3
N1 4 5 6
N2 2 4 3
N3 3 5 2
N4 10 7 6
Lợi nhuận thu được từ 1 đơn vị sản phẩm mỗi loại (nghìn đồng/sp) lần lượt là 8,10 và 7.
hãy tìm phương án SX để tổng lợi nhuận mà DN thu được trong tháng là lớn nhất.
BÀI LÀM:
Gọi x
1,
x
2
và x
3
lần lượt là khối lượng SP S1, S2, S3 mà DN sẽ tiến hành sản xuất trong
quý. Phương án sản xuất tối ưu sẽ là lời giải của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

f(x) = 8x
1
+ 10x
2
+ 7x
3
→ max
4x
1
+ 5x
2
+ 6x
3
≤ 15.000
2x
1
+ 4x
2
+ 3x
3
≤ 12.000
3x
1
+ 5x
2
+ 2x
3
≤ 10.000
10x
1

+ 7x
2
+ 6x
3
≤ 500.000
x
j
≥ 0 , j = 1,2,3
đưa vào 4 biến bù x
4 ,
x
5,
x
6 ,
x
7
ta chuyển bài toán đã cho về dạng chính tắc
f(x) = 8x
1
+ 10x
2
+ 7x
3
→ max
4x
1
+ 5x
2
+ 6x
3

+ x
4
= 15.000
2x
1
+ 4x
2
+ 3x
3
+ x
5
= 12.000
3x
1
+ 5x
2
+ 2x
3
+ x
6
= 10.000
10x
1
+ 7x
2
+ 6x
3
+ x
7
= 500.000

x
j
≥ 0 , j = 1,2,3
giải bài toán chính.
5
Đặng Công Thức K47QTKD
Ngô Lan Anh
Hệ số Cơ sở PA 8 10 7 0 0 0 0
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
Ф
0 A4 15.000 4 5 6 1 0 0 0 3.000
0 A5 12.000 2 4 3 0 1 0 0 3.000
0 A6 10.000 3 5 2 0 0 1 0 2.000
0 A7 500.00
0
10 7 6 0 0 0 1 Lớn
f(x) 0 -8 -10 -7 0 0 0 0
0 A4 5.000 1 0 4 1 0 -1 0 1250
0 A5 4.000 -2/5 0 7/5 0 1 -4/5 0 2857
10 A2 2.000 3/5 1 2/5 0 0 1/5 0 5.000
0 A7 486.00
0
29/5 0 16/5 0 0 -7/5 1 151875
f(x) 20.000 -2 0 -3 0 0 2 0
7 A3 1250 1/4 0 1 1/4 0 -1/4 0 5000
0 A5 2250 -3/4 0 0 -7/20 1 -9/20 0
10 A2 1.500 1/2 1 0 -1/10 0 3/10 0 3000
0 A7 482.00
0
5 0 0 -4/5 0 -3/5 1 96.400

f(x) 23.750 - 5/4 0 0 3/4 0 5/4 0
7 A3 500 0 -1/2 1 3/5 0 2/5 0
0 A5 4500 0 3/2 0 5/7 1 0 0
8 A1 3000 1 2 0 -1/5 0 3/5 0
0 A7 467000 0 -10 0 -1/8 0 -18/5 1
27500 0 5/2 0 6 0 38/5 0
Vậy phương án SX tối ưu là SX 3000 SP S1 và 500 SP S3.
Lợi nhuận lớn nhất mà DN thu được trong tháng là 27.500đ
BÀI 17: Một DN phải cắt những tấm bìa với kích thước cố định ra thành những tấm
nhỏ hơn để làm hộp đựng cho 3 loại SP là S1, S2, S3. Có tất cả 4 mẫu cắt. Số hộp đựng
cho từng loại SP và phần bìa dư thừa của từng mẫu cắt được cho trong bảng sau:
Hộp đựng SP
Mẫu cắt
S1 S2 S3 Phần bìa dư
thừa (cm
2
)
1 4 4 1 80
2 3 1 1 40
3 2 2 2 55
4 1 3 5 60
Trong tuần DN cần 3000 hộp để đựng SP S1, 2000 hộp để đựng SP S2 và 1000 hộp để
đựng SP S3. Hãy xác định số tấm bìa được cắt theo từng mẫu để phần bìa dư thừa là ít
nhất, DN có bao nhiêu cách cắt tối ưu.
6
Đặng Công Thức K47QTKD
Ngô Lan Anh
GIẢI:
Gọi x
j

là số tấm bìa được cắt theo mẫu j(j= 1,2,3, 4), để tìm cách cắt tối ưu cho DN
chúng ta cần giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
f(X) = 80x
1
+ 40x
2
+ 55x
3
+ 60x
4


→ min

4x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
+ x
4


= 3000
4x
1
+ x
2
+ 2x

3
+ 3x
4


= 2000
x
1
+ x
2
+ 2x
3
+ 5x
4


= 1000
x
j
≥ 0, j=1, 2, 3, 4
Nếu gọi x
9
, x
10,
x
11
là số tấm để làm ra 3 SP là S1, S2, S3, cắt thừa ra so với yêu cầu thì
đây cũng là phần bìa dư thừa cần cực tiểu hoá. Về mặt kinh tế bài toán trên tương
đương với bài toán ở dạng chính tắc sau.
f(X) = 80x

1
+ 40x
2
+ 55x
3
+ 60x
4
+ 0x
5
+ 0x
6
+ 0x
7
→ min
4x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
+ x
4


= 3000
4x
1
+ x
2
+ 2x

3
+ 3x
4


= 2000
x
1
+ x
2
+ 2x
3
+ 5x
4


= 1000
x
j
≥ 0, j=1,
Đưa vào 3 biến giả ta giải bài toán phụ sau:
g(X, T) =t
1
+ t
2
+ t
3
→ min
4x
1

+ 3x
2
+ 2x
3
+ x
4


+

t
1
= 3000
4x
1
+ x
2
+ 2x
3
+ 3x
4


+ t
2
= 2000
x
1
+ x
2

+ 2x
3
+ 5x
4


+ t
3


= 1000
x
j
≥ 0, j=1, 2…7
giải bài toán phụ:
Hệ
số
Cơ sở Phương
án
0 0 0 0 1 1 1
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
Ф
1 A5 3000 4 3 2 1 1 0 0 3000/4
1 A6 2000 4 1 2 3 0 1 0 500
1 A7 1000 1 1 2 5 0 0 1 1000
g(X,T) 6000 9 5 6 9 0 0 0
1 A5 1000 0 2 0 -2 1 - 0 500
0 A1 500 1 1/4 1/2 3/4 0 - 0 2000
1 A7 500 0 3/4 3/2 17/4 0 - 1 2000/3
g(X,T) 1.500 0 11/4 3/2 9/4 0 - 0

7
Đặng Công Thức K47QTKD
Ngô Lan Anh
0 A2 500 0 1 0 -1 - - 0 -
0 A1 125 1 0 1/2 1 - - 0 125
1 A7 375 0 0 3/2 5 - - 1 75
g(X,T) 375 0 0 3/2 5 - - 0
0 A2 575 0 1 3/10 0 - - -
0 A1 50 1 0 1/5 0 - - -
0 A4 75 0 0 3/10 1 - - -
g(X,T) 0 0 0 0 0 - - -
giải bài toán chính.
Hệ số Cơ sở Phương
án
80 40 55 60 0 0 0
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
Ф
40 A2 575 0 1 3/10 0 - - -
80 A1 50 1 0 1/5 0 - - -
60 A4 75 0 0 3/10 1 - - -
g(X,T) 0 0 -39 0 - - -
CHƯƠNG III:BÀI TOÁN VẬN TẢI
BÀI 13, 14, 15, 16, 17 (TRANG 114, 115, 116) SÁCH GIÁO TRÌNH
DẠNG BÀI TOÁN CÂN BẰNG THU PHÁT(sử dụng phương pháp thế vị)
Bước 1: Xây dựng phương phán cực biên xuất phát cho bài toán vận tải
BÀI 12: Giải bài toán vận tải
Điểm thu
Điểm phát
320 180 360 30
100 6 3 16 6

420 7 8 9 18
230 11 5 13 18
410 13 18 17 27
Bài toán có bao nhiêu lời giải tối ưu? nếu có thể hãy chỉ ra các lời giải tối ưu khác
8
Đặng Công Thức K47QTKD
Ngô Lan Anh
Bài làm:
Ta có:
m
∑a
i
= 100 + 420 + 230 + 410 = 1160
i=1
m
∑b
j
= 320 + 180 + 360 + 300 = 1160
j=1
Vậy bài toán đã cho là bài toán vận tải cân bằng thu phát
Sử dụng phương pháp cực tiểu cước phí ta xác định được phương án cận biên xuất phát
của bài toán vận tải. Phương án có 7 thành phần dương với các ô cơ sở lần lượt là: (1,3),
(2,1), (2,3), (3,2), (3,3), (4,3), (4,4)
Cho u
1
=0, ta tìm được các thế vị u
i
và v
j
của phương án cực biên, nó được thực hiện

trong bảng sau:
v
j
9 3 11 21
u
i
Điểm thu
Điểm phát
320 180 360 300
0 100 6 3
100
16 6
-2
420 7
320
8 9
100
28
2
230 11 5
80
13
150
18
6
410 13 18 17
110
27
300
Đối với các ô ( i,j) mà x

i j
=0, ta tính các số kiểm tra theo công thức:
∆
i j
= u
i
+ v
j
– c
i j
Ta có:
∆11= 3, ∆13= -5 , ∆14= 15, ∆22= -7, ∆24= -9, ∆31= 0, ∆34= 5, ∆41= 2,
∆42= -9
Do có ∆11, ∆14, Δ34, Δ41 >0 nên phương án đang xét chưa phải là phương án tối ưu,
Đưa ô(1,4) vào ô cơ sở chúng ta có một chu trình bao gồm các ô (1,4), (1,2), (3,2),
(3,3), (4,3), (4,4), (1,4), Ф = 100 luân chuyển lượng hàng 100 trên chu trình này chúng
ta có một Phương án cực biên mới của bài toán vận tải, Cho u
1
=0, ta tìm được các thế vị
u
i
và v
j
của phương án cực biên, nó được thực hiện trong bảng sau:
v
j
-6 -12 -4 6
u
i
Điểm thu

Điểm phát
320 180 360 300
0 100 6 3 16 6
100
9
Đặng Công Thức K47QTKD
Ngô Lan Anh
13 420 7
320
8 9
100
28
17 230 11 5
180
13
50
18
21
410 13 18 17
210
27
200
Đối với các ô (i,j) mà x
i j
=0, ta tính các số kiểm tra theo công thức:
∆
i j
= u
i
+ v

j
– c
i j
Ta có:
∆11= -12, ∆12= -15 , ∆13= -20, ∆22= -7, ∆24= -9, ∆31= 0,
∆34= 5, ∆41= 2, ∆42= -9
Do có Δ34, Δ41 >0 nên phương án đang xét chưa phải là phương án tối ưu,
Đưa ô(3,4) vào ô cơ sở chúng ta có một chu trình bao gồm các ô (3,4), (3,3) (4,3), (4,4),
(3,4),Ф = 50 luân chuyển lượng hàng 50 trên chu trình này chúng ta có một phương án
cực biên mới của bài toán vận tải, Cho u
1
=0, ta tìm được các thế vị u
i
và v
j
của phương
án cực biên, nó được thực hiện trong bảng sau:
v
j
- 6 -7 -4 6
u
i
Điểm thu
Điểm phát
320 180 360 300
0 100 6 3 16 6
100
13
420 7
320

8 9
100
28
12 230 11 5
180
13 18
50
21 410 13 18 17
260
27
150
Đối với các ô ( i,j) mà x
i j
=0, ta tính các số kiểm tra theo công thức:
∆
i j
= u
i
+ v
j
– c
i j
Ta có:
∆11= -12, ∆12= -10 , ∆13= -20, ∆22= -2, ∆24= -9, ∆31= -5,
∆33= -5, ∆41= 2, ∆42= -4
Do có Δ41 >0 nên phương án đang xét chưa phải là phương án tối ưu,
Đưa ô(4,1) vào ô cơ sở chúng ta có một chu trình bao gồm các ô (4,1), (2,1), (2,3),
(4,3), (4,1), Ф = 260 luân chuyển lượng hàng 260 trên chu trình này chúng ta có một
Phương án cực biên mới của bài toán vận tải, Cho u
1

=0, ta tìm được các thế vị u
i
và v
j
của phương án cực biên, nó được thực hiện trong bảng sau:
v
j
-8 -7 -6 6
u
i
Điểm thu 320 180 360 300
10