Tính chuẩn tắc của họ hàm phân hình một biến và bài toán duy nhất đối với đa thức vi phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN VĂN THÌN

TÍNH CHUẨN TẮC CỦA HỌ HÀM
PHÂN HÌNH MỘT BIẾN VÀ BÀI TOÁN DUY
NHẤT ĐỐI VỚI ĐA THỨC VI PHÂN

Tai Lieu Chat Luong

TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUN - 2016


Cơng trình được hồn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TSKH Trần Văn Tấn
2. PGS. TS. Hà Trần Phương

Phản biện 1: GS. TSKH Đỗ Đức Thái
Phản biện 2: PGS. TSKH Tạ Thị Hoài An

Luận án đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp cơ sở
họp tại: Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên
Vào hồi 8 giờ 30 ngày 10 tháng 7 năm 2016


i

Mửc lửc
M Ưu
1

2

3

1

Hồ chuân tưc cĂc hm phƠn hẳnh

11

1.1

Lỵ thuyát Nevanlinna cho hm phƠn hẳnh

. . . . . . . .

11

1.2

Hồ chuân tưc cừa cĂc hm phƠn hẳnh . . . . . . . . . . .

12

Mët số nh lỵ kiu Lappan cho hm

- chuân tưc v hồ

chuân tưc

18

2.1

Hm phƠn hẳnh - chuân tưc . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

nh lỵ kiu Lappan cho hồ chuân tưc . . . . . . . . . .

20

Sü duy nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh vợi a thực Ôo hm
v

3.1

q

- sai phƠn chung nhau mởt hm nhọ

Sỹ duy nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh vợi a thực Ôo h m
chung nhau mët h m nhä . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

24

24

Sỹ duy nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh vợi a thùc q - sai
ph¥n chung nhau mët h m nhä . . . . . . . . . . . . . .

Kát luên v à ngh

27
30


1

M Ưu
1. Lỵ do chồn à ti

ữủc hẳnh thnh tứ nhỳng nôm Ưu cừa thá k XX, vợi nguỗn gốc
tứ nhúng cỉng tr¼nh cõa J. Hadamard, E. Picard, E. Borel v c biằt
cổng trẳnh nôm 1925 cừa R. Nevanlinna, Lỵ thuyát Nevanlinna luổn thu
hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh toĂn hồc trong v ngoi nữợc, ngy
cng Ôt ữủc nhiÃu kát quÊ sƠu sưc v cõ nhiÃu ựng dửng trong mởt số
lắnh vỹc khĂc nhau cừa toĂn hồc nhữ hẳnh hồc phực, lỵ thuyát số.
Cốt lói cừa Lỵ thuyát Nevanlinna chừ yáu nơm hai dÔng nh lỵ,

ữủc gồi l cĂc nh lỵ cỡ bÊn thự nhĐt v thự hai. Sỹ kát hủp cừa hai
nh lỵ ny cho ta thỉng tin v· sü ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c hm (Ănh xÔ)
phƠn hẳnh. Mội thnh tỹu Ôt ữủc và cĂc nh lỵ ny thữớng ko theo
cĂc ựng dửng trong viằc nghiản cựu hm (Ănh xÔ) phƠn hẳnh. Ngữủc lÔi
 giÊi quyát nhiÃu bi toĂn và hm (Ănh xÔ) phƠn hẳnh, ta cụng cƯn xƠy
dỹng nhỳng dÔng nh lỵ cỡ bÊn tữỡng thẵch. Trong thỹc tá õ, chúng
tổi chồn à ti Tẵnh chuân tưc cừa hồ hm phƠn hẳnh mởt bián
v bi toĂn duy nhĐt ối vợi a thực vi phƠn

 nghiản cựu hai

ựng dửng tiảu biu v àp  cừa Lỵ thuyát Nevanlinna.  giÊi quyát
ữủc cĂc vĐn à trong luên Ăn, nhữ  bẳnh luên trản, khổng ch khai
thĂc sỷ dửng cĂc kát quÊ Â biát cừa Lỵ thuyát Nevanlinna, chúng tổi
phÊi thiát lêp nhỳng dÔng nh lỵ cỡ bÊn thự hai phũ hủp vợi tẳnh huống
cừa bi toĂn ang t ra.
Sau Ơy chúng tổi à cêp chi tiát hỡn và bối cÊnh nÊy sinh tứng vĐn
Ã.
VĐn à nghiản cựu và hồ chuân tưc ữủc khi nguỗn tø nhúng n«m


2

Ưu cừa thá k XX bơng cĂc cổng trẳnh cừa P. Montel, G. Julia, P.
Fatou. Nôm 1912, P. Montel ữa ra kh¡i ni»m hå chu©n t­c: Mët hå F
c¡c h m phƠn hẳnh trản miÃn D C ữủc gồi l chuân tưc náu vợi mồi
dÂy {fn } F luổn chựa mởt dÂy con {fnk } hởi tử Ãu trản mội têp con
compact cừa D theo khoÊng cĂch cƯu tợi hm phƠn hẳnh f hoc .
Nôm 1931, F. Marty ữa ra tiảu chuân quan trồng nhên biát hồ chuân
tưc: Mởt hồ F cĂc hm phƠn hẳnh f trản mởt miÃn D C l chuân

tưc náu v ch náu trản mội têp con compact K cừa D, Ôo hm cƯu
|f 0 (z)|
#
cõa f bà ch°n bði mët h¬ng sè C(K) phư thc K
f (z) =
1 + |f (z)|2
nh÷ng khỉng phư thuởc vo f.
Nguyản lỵ Bloch nõi rơng: Mội nh lỵ kiu Picard (tiảu chuân cho
mởt hm l hơng) Ãu tữỡng ựng vợi mởt tiảu chuân hồ chuân tưc. Nhơm
trin khai nguyản lỵ Bloch, nôm 1975, L. Zalcman ữa ra kát qu£ chuyºn
sü kiºm tra mët hå chu©n t­c v· vi»c ch ra sỹ khổng tỗn tÔi cĂc dÂy con
nhiạu hởi tử Ãu trản cĂc têp con compact tợi mởt hm khĂc hơng. Nôm
1998, ổng xem xt lÔi vĐn à trản v Ôt ữủc kát quÊ quan trồng sau:
Cho hồ F cĂc hm phƠn hẳnh xĂc nh trản ắa ỡn v U sao cho måi
khæng iºm cõa c¡c h m trong hå F cõ bởi ẵt nhĐt p v mồi cỹc im
cõ bởi ẵt nhĐt q. Cho l số thỹc thọa m¢n −p < α < q. Khi â hå F
khỉng chuân tưc tÔi z0 U náu v ch náu tỗn tÔi số thỹc 0 < r < 1,
dÂy im zn : |zn | < r v  zn → z0 , d¢y h m fn ∈ F v  d¢y sè thüc d÷ìng

ρn → 0+ sao cho gn (ξ) = ραn fn (zn + ρn ξ) hëi tư ·u theo kho£ng c¡ch
c¦u trản mội têp con compact cừa C án g(), trong õ g l hm phƠn
hẳnh khĂc hơng trản C, mồi khỉng iºm v  cüc iºm cõa g câ bëi t÷ìng
ùng ½t nh§t p v  q. Hìn núa g # (ξ) g # (0) = 1.
Kát quÊ trản thữớng ữủc gồi l Bờ Ã Zalcman.  ỵ rơng, khi phừ
nh kát luên trong Bờ Ã Zalcman, ta thu ữủc hm hëi tư g l  h¬ng.
Trong khi â mët trong nhúng ựng dửng àp  cừa Lỵ thuyát Nevanlinna l nõ cho ta tiảu chuân  kim tra mởt hm l hơng, chng hÔn
tứ nh lỵ cỡ bÊn thự nhĐt v nh lỵ cỡ bÊn thự hai, ta dạ dng nhên


3

lÔi nh lỵ Picard b: Mởt hm phƠn hẳnh trản mt phng phực l hm
hơng náu nõ khổng nhên ba giĂ tr phƠn biằt. Nhữ vêy, Bờ Ã Zalcman
l cƯu nối quan trồng thuên tiằn cho viằc sỷ dửng Lỵ thuyát Nevanlinna
vo nghiản cựu Lỵ thuyát hồ chuân tưc.
Theo quan im nảu trản cừa Bloch, nh lỵ Picard b ựng vợi tiảu
chuân chuân tưc sau cừa Montel: Mởt hồ F cĂc hm phƠn hẳnh trản
miÃn D l chuân tưc náu méi h m trong hå bä qua ba gi¡ trà ph¥n biằt
cho trữợc no õ.
Nhơm lm giÊm số giĂ tr m hm bọ qua trong nh lỵ Picard b,
nôm 1959, W. Hayman  chựng minh mởt nh lỵ kiu Picard cho hm
v Ôo hm: Mởt hm phƠn hẳnh f l hm hơng náu f khổng Ơu triằt
tiảu v f (k) khổng nhên giĂ tr 1, trong õ k l số nguyản dữỡng cho
trữợc. Dỹa theo nguyản lỵ Bloch, W. Hayman  ữa ra giÊ thuyát vÃ
tẵnh chuân tưc cừa hồ cĂc hm phƠn hẳnh tữỡng ựng vợi nh lỵ trản.
Kát hủp tiảu chuân Marty v Lỵ thuyát Nevanlinna, D. Drasin  trÊ
lới giÊ thuyát ny trong trữớng hủp hồ cĂc hm chnh hẳnh. Sau õ, Y.
X. Gu  trÊ lới giÊ thuyát cừa Hayman nhữ sau: Cho k l số nguyản
dữỡng, mởt hồ F cĂc hm phƠn hẳnh f trản miÃn D trong mt phng
phực, khổng Ơu triằt tiảu s chuân tưc náu f (k) 6= 1 (Ôo hm cĐp k cừa

f khổng nhên giĂ tr 1) vợi mồi f F.
Chú ỵ rơng trong kát quÊ cừa Gu, hm cƯn tr¡nh tỵi hai gi¡ trà (méi
f v  f (k) tr¡nh mët gi¡ trà). Trong mët sü cè g­ng nh¬m gi£m số im
xuống mởt, nôm 1989, W. Schwick Ôt ữủc kát quÊ tữỡng tỹ m õ
iÃu kiằn trản và Ôo hm ữủc thay thá bi (f n )(k) 6= 1, vợi n, k l số
tỹ nhiản cho trữợc thọa mÂn n ≥ k + 3. Trong tr÷íng hđp hå c¡c h m
ch¿nh h¼nh, Schwick chùng minh i·u ki»n n ≥ k + 3 câ thº gi£m th nh
n ≥ k + 1. Nôm 2010, J. M. Chang cụng  tờng quĂt kát quÊ cừa Gu v
nhên ữủc kát quÊ: Hồ F cĂc hm phƠn hẳnh khổng cõ khổng im trản

miÃn D s chuân tưc náu f (k) 1 cõ nhiÃu nhĐt k khổng im phƠn biằt
vợi mội f F, trong õ k l số nguyản dữỡng. NhiÃu cổng trẳnh cừa c¡c
t¡c gi£ kh¡c nh÷ X. C. Pang v  L. Zalcman, M. L. Fang v  L. Zalcman,


4

P. C. Hu v  D. W. Meng, L. Yang, W. Bergweiler v J. K. Langley cụng
 nghiản cựu tiảu chuân cho hồ chuân tưc cĂc hm phƠn hẳnh dữợi iÃu
kiằn khổng im cừa cĂc a thực Ôo hm cử th.
Trong bối cÊnh nhữ vêy, chúng tổi t ra vĐn à thự nhĐt trong luên

Nghiản cựu tiảu chuân cho hồ chuân tưc ựng vợi iÃu kiằn trản
a thực Ôo hm tờng quĂt. VĐn à ny ữủc giÊi quyát trong Chữỡng 1
Ăn l:

cừa luên Ăn.
Liản quan cht ch tợi khĂi niằm hồ chuân tưc l khĂi niằm hm chuân
tưc, nõ ữủc bưt Ưu nghiản cựu tứ cĂc cổng trẳnh cừa K. Noshiro, O.
Lehto v K. L. Virtanen. Mởt hm phƠn hẳnh f trản ắa ỡn v U ữủc
gồi l chuân tưc náu hå {f ◦ τ : τ ∈ T } chu©n tưc trản U, trong õ

T l têp tĐt cÊ cĂc Ănh xÔ bÊo giĂc cừa U vo chẵnh nõ. Lehto v
Virtanen ch ra rơng: Hm phƠn hẳnh f trản ắa ìn và U ⊂ C l  chu©n
t­c khi v  ch¿ khi supz∈U (1 − |z|2 )f # (z) < ∞. Kẵ hiằu N l têp cĂc
hm phƠn hẳnh chuân tưc trản U. VÃ ỵ nghắa hẳnh hồc, vợi mởt hm
|z − w|
chu©n t­c f, ta ln câ χ(f (z), f (w)) ≤ ||f ||N supξ∈[z,w]
, trong
1 − |ξ|2

â ||f ||N = supz∈U (1 − |z|2 )f # (z).
Quan s¡t k¸t quÊ trản cừa Lehto v Virtanen, C. Pommerenke Â
ữa ra c¥u häi: Cho sè thüc M > 0, li»u câ tỗn tÔi têp E hỳu hÔn sao
cho vợi mội hm phƠn hẳnh f trản ắa ỡn v U thọa mÂn i·u ki»n
(1 − |z|2 )f # (z) ≤ M vỵi måi z ∈ f −1 (E) th¼ f l  h m chuân tưc? Nôm
1974, P. Lappan  trÊ lới mÔnh m cho cƠu họi trản, ổng ch ra tỗn tÔi
têp E C gỗm 5 im phƠn biằt.
Nôm 1995, A. Hinkkanen v P. Lappan  ởc lêp chựng minh kát
quÊ tữỡng tü cho hå chu©n t­c: Mët hå F c¡c h m phƠn hẳnh trản miÃn
D C l chuân tưc khi v ch khi vợi mội têp compact K D, tỗn
tÔi têp con E C chựa 5 im phƠn biằt v hơng số dữỡng M sao cho
sup{f # (z) : f ∈ F, z ∈ f −1 (E) ∩ K} < M.
VĐn à nghiản cựu chẵnh thự hai trong luên Ăn l: Thiát lêp cĂc dÔng
nh lỵ Lappan cho trữớng hủp ẵt hỡn 5 im. VĐn à ny ữủc gi£i


5

quyát trong Chữỡng 2 cừa luên Ăn.
Viằc nghiản cựu sỹ xĂc nh duy nhĐt hm phƠn hẳnh dữợi iÃu kiằn
và nghch Ênh cừa mởt têp hủp im ữủc khi nguỗn tứ cổng trẳnh cừa
Nevanlinna nôm 1926, ổng chựng minh rơng: Náu hai hm phƠn hẳnh
trản mt phng phực cõ cũng Ênh ngữủc khổng tẵnh bởi cừa 5 im
phƠn biằt thẳ chúng trũng nhau v chúng l biu diạn phƠn tuyán tẵnh
cừa nhau náu cõ cũng Ênh ngữủc tẵnh cÊ bởi cừa 4 im phƠn biằt. K
tứ õ, vĐn à ny thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh toĂn hồc
trong v ngoi nữợc nhữ: H. H. KhoĂi, D. D. ThĂi, T. V. TĐn, T. T. H.
An, H. T. Phữỡng, S. . Quang, V. H. An, G. Gundersen, C. C. Yang,
M. Shirosaki, S. Mori .
Khi x²t b i to¡n duy nh§t hm phƠn hẳnh dữợi iÃu kiằn nghch Ênh

cừa a thực Ôo hm dÔng f n f 0 , nôm 1997, C. C. Yang v X. H. Hua
chựng minh rơng: Náu hai hm phƠn hẳnh f v g khĂc hơng sao cho cĂc
a thực Ôo hm f n f 0 1 v  g n g 0 −1 câ cịng khỉng iºm tẵnh cÊ bởi (vợi

n nguyản dữỡng no õ, n 11) th¼ f = c1 ecz v  g = c2 e−cz ho°c f = tg,
trong â c¡c h¬ng sè c1 , c2 , c v  t thäa m¢n 4(c1 c2 )n+1 c2 = −1, tn+1 = 1.
Kº tø ¥y, nhi·u nh toĂn hồc  thu ữủc cĂc kát quÊ theo hữợng
nghiản cựu ny cho cĂc dÔng a thực Ôo hm kh¡c nhau: K. Boussaf,
A. Escassut v  J. Ojeda, R. S. Dyavanal, J. Grahl v  S. Nevo, C. C. Yang
v  H. X. Yi, M. L. Fang, . . . . Chó ỵ rơng khi xt nhỳng dÔng a thực
Ôo hm khĂc nhau, cĂc tĂc gi cụng  thiát lêp ữủc cĂc kiu nh lỵ
cỡ bÊn thự hai tữỡng thẵch.
Nôm 2007, Lỵ thuyát Nevanlinna  ữủc nghiản cựu cho toĂn tỷ q
- sai phƠn trong cổng trẳnh cừa R. G. Halburd v c¡c cëng sü. Kº tø
â, vi»c nghi¶n cùu ùng dưng cừa Lỵ thuyát Nevanlinna cho toĂn tỷ q
- sai phƠn  thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh toĂn hồc trản
thá giợi nhữ J. Zhang v R. Korhonen, A. Fletcher, J. K. Langley v 
J. Meyer, T. B. Cao, K. Liu v  N. Xu, K. Liu v  X. Qi. Hiằn nay, cĂc
nghiản cựu theo hữợng ny têp trung vo cĂc vĐn Ã: sỹ duy nhĐt cừa
cĂc hm phƠn hẳnh kát hủp vợi a thực q - sai phƠn, phƠn bè gi¡ trà cõa


6

a thực q - sai phƠn, phữỡng trẳnh q - sai phƠn. Và vĐn à phƠn bố giĂ
tr cừa a thực q - sai phƠn, nôm 2010, J. Zhang v R. Korhonen chựng
minh mởt kát quÊ phƠn bố giĂ tr kiu Hayman cho a thực q - sai phƠn
dÔng f n (z)f (qz) ỗng thới cĂc ổng cụng chựng minh kát quÊ duy nhĐt
kiu Yang - Hua cho a thực q - sai ph¥n: Cho f (z) v  g(z) l  hai hm
phƠn hẳnh (nguyản) siảu viằt vợi bêc khổng. GiÊ sû r¬ng q l  h¬ng sè

phùc kh¡c khỉng v  n l mởt số nguyản dữỡng thọa mÂn n 8 (n ≥ 6).
N¸u f n (z)f (qz) − 1 v  g n (z)g(qz) − 1 câ cịng sè khỉng iºm v  cüc iºm
kº c£ bëi th¼ f ≡ tg, trong õ t l hơng số thọa mÂn tn+1 = 1. Nôm
2015, Q. Zhao v J. Zhang chựng minh rơng: (f n (z)f (qz + c))(k) 1 cõ
vổ hÔn khổng im náu f (z) l hm phƠn hẳnh siảu viằt vợi bêc khổng,
trong õ q 6= 0, c l cĂc số phực v n, k l cĂc số nguyản dữỡng thäa
m¢n n > k + 5. Hìn núa, Q. Zhao v J. Zhang cụng chựng minh nh lỵ
duy nhĐt tữỡng ựng: Náu hai hm nguyản siảu viằt f (z) v g(z) vợi bêc
khổng thọa mÂn (f n (z)f (qz + c))(k) − 1 v  (g n (z)g(qz + c))(k) − 1 câ cịng
sè khỉng iºm kº c£ bëi th¼ f ≡ tg, trong â q 6= 0, c l  c¡c số phực, n, k
l cĂc số nguyản dữỡng v t l hơng số thọa mÂn tn+1 = 1, n > 2k + 5.
VĐn à nghiản cựu thự ba trong luên ¡n l : Mð

rëng k¸t qu£ cõa Zhao

v  Zhang khi thay f n bði mët a thùc P (f ). V§n à ny ữủc giÊi quyát
trong Chữỡng 3 cừa luên Ăn.
2. Mửc ẵch cừa à ti luên Ăn
2.1.

Mửc ẵch thự nhĐt cừa à ti luên Ăn l thiát lêp tiảu chuân chuân

tưc cho hồ cĂc hm phƠn hẳnh ối vợi trữớng hủp a thực Ôo hm tờng
quĂt, thay vẳ cĂc a thực Ôo hm cử th nhữ cĂc tĂc giÊ i trữợc.
2.2.

Mửc ẵch thự hai cừa à ti luên Ăn l thiát lêp tiảu chuân chuân

tưc cho hm phƠn hẳnh v cho hồ cĂc hm phƠn hẳnh dữợi iÃu kiằn Ôo
hm cƯu b chn trản têp tÔo Ênh cừa mởt số giĂ tr.

2.3.

Mửc ẵch thự ba cừa à ti luên Ăn l nghiản cựu bi toĂn xĂc nh

duy nhĐt hm phƠn hẳnh dữợi iÃu kiằn Ênh ngữủc cừa a thực Ôo h m
v  q - sai ph¥n, ph¥n bè gi¡ trà cõa a thực q - sai phƠn kát hủp vợi Ôo
hm.


7

3. ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu

Hồ chuân tưc cừa cĂc hm phƠn hẳnh, hm phƠn hẳnh chuân tưc, bi
toĂn duy nhĐt hm phƠn hẳnh vợi a thực Ôo h m v  q - sai ph¥n, ph¥n
bè gi¡ trà cõa a thực q - sai phƠn kát hủp Ôo hm.
4. Phữỡng phĂp v cổng cử nghiản cựu

Luên Ăn sỷ dửng cĂc phữỡng phĂp v k thuêt cừa GiÊi tẵch phực mởt
bián, Lỵ thuyát Nevanlinna.
5. ị nghắa khoa hồc

Luên Ăn gõp phƯn lm sƠu sưc thảm nhỳng nghiản cựu và ựng dửng
cừa Lỵ thuyát Nevanlinna trong cĂc bi toĂn và hồ chuân tưc, hm chuân
tưc, bi toĂn duy nhĐt hm phƠn hẳnh v phƠn bố giĂ tr cừa a thực
Ôo hm.
6. CĐu trúc v kát quÊ luên Ăn

Ngoi cĂc phƯn m Ưu, kát luên, ti liằu tham khÊo, Luên Ăn ữủc
chia lm ba chữỡng tữỡng ựng vợi ba vĐn à nghiản cựu chẵnh:

Chữỡng 1 dnh cho viằc nghiản cựu tiảu chuân chuân tưc cho hồ cĂc
hm phƠn hẳnh dữợi iÃu kiằn và têp khổng im cừa a thực Ôo hm.
Trong chữỡng ny, chúng tổi nghiản cựu hồ chuân tưc theo quan iºm
cõa Bloch. Bê · Zalcman âng vai trá quan trång trong c¡c k¸t qu£
cõa chóng tỉi. º chùng minh c¡c kát quÊ cừa mẳnh, mởt mt chúng
tổi thiát lêp cĂc nh lỵ kiu Picard, mt khĂc chúng tổi phÊi sỷ lỵ khõ
khôn gp phÊi trong viằc Ăp dửng Bờ Ã Zalcman trong tẳnh huống nh
lỵ kiu Picard cừa chúng tổi khổng cho tiảu chuân hm hơng. nh lỵ
1.8, nh lỵ 1.10 v nh lỵ 1.12 l cĂc tiảu chuân cho hồ chuân tưc cừa
cĂc hm phƠn hẳnh, chnh hẳnh dữợi iÃu kiằn khổng im cừa a thực
Ôo hm tờng quĂt. Trong nh lỵ 1.8, cho q = 1 v `1 = +, chúng
tổi nhên ữủc Hằ quÊ 1.9. Khi n = 0, k = 1, Hằ quÊ 1.9 nhên lÔi kát
quÊ cừa Schwick cho hồ cĂc hm phƠn hẳnh. Trong nh lỵ 1.10, cho

q = 1 v `1 = +, chúng tổi nhên ữủc Hằ quÊ 1.11. Hằ quÊ 1.11 v
nh lỵ 1.12 l tờng quĂt kát quÊ cừa Schwick cho hồ cĂc hm nguyản.
Nhữ vêy nh lỵ 1.8, nh lỵ 1.10 v nh lỵ 1.12 l nhỳng m rởng


8

thỹc sỹ cĂc kát quÊ cừa W. Schwick nôm 1989. Tiáp theo l nh lỵ
1.19 và hồ chuân tưc cừa cĂc hm phƠn hẳnh khổng cõ khổng im. Cho

n = 0, k = 1, n1 = 1, uI (z) = 0 vợi mồi I, khi õ nh lỵ 1.19 nhên lÔi
mởt kát quÊ cừa J. M. Chang.
Nởi dung Chữỡng 1 ữủc cổng bố trong cĂc cổng trẳnh [1, 2].
Chữỡng 2 nghiản cựu hm phƠn hẳnh chuân tưc theo quan im cừa
Lappan. Cử th, chúng tổi thiát lêp cĂc nh lỵ kiu Lappan cho hm
chuân tưc vợi số im ẵt hỡn nôm.

Nôm 2011, R. Aulaskari v J. R
atty
a  ữa ra khĂi niằm hm chuân tưc nhữ sau: Cho hm tông : [0, 1) (0, ) thọa mÂn ϕ(r)(1 −
ϕ(|a + z/ϕ(|a|)|)
r) → ∞ khi r −→ 1− v Ra (z) =
hởi tử Ãu trản
(|a|)
mội têp con compact cõa C ¸n 1 khi |a| → 1− (ta gåi l hm tông
trỡn). Mởt hm phƠn hẳnh f trản ắa ỡn v U ữủc gồi l - chuân
f # (z)
tưc náu supzU
< +. Kẵ hiằu N l têp cĂc hm phƠn hẳnh
(|z|)
- chuân tưc trản U. VÃ mt hẳnh hồc, vợi mởt hm - chuân t­c
f, ta luæn câ χ(f (z), f (w)) ≤ ||f ||N ϕ supξ∈[z,w] ϕ(|ξ|)|z − w|, trong â
f # (z)
||f ||N = supzU
.
(|z|)
KhĂi niằm - chuân tưc nhữ trản khổng bao hm khĂi niằm chuân
tưc. Trong Chữỡng 2, chóng tỉi mð rëng kh¡i ni»m h m ϕ - chu©n tưc
nõi trản tợi mởt lợp cĂc hm - chuân t­c rëng hìn v  trong tr÷íng
hđp °c bi»t cõa ϕ, chúng tổi nhên lÔi khĂi niằm hm chuân tưc thổng
thữớng. Sau õ, chúng tổi thiát lêp cĂc nh lỵ kiu Lappan cho cĂc
trữớng hủp m têp E chựa 1, 3 v 4 im. nh lỵ 2.5 v nh lỵ 2.6 l
cĂc nh lỵ kiu Lappan cho hm - chuân tưc vợi ba im, bốn im.
1
, chúng tổi nhên ữủc c¡c H» qu£ 2.7 v  2.8
Khi chån ϕ(|z|) =
1 − |z|

cho hm chuân tưc theo nghắa thổng thữớng.
ối vợi hồ chuân tưc, chúng tổi thiát lêp nh lỵ 2.9, nh lỵ 2.10,
nh lỵ 2.11 v nh lỵ 2.12, chúng l cĂc kát quÊ kiu Lappan vợi mởt,
ba v bốn im. nh lỵ 2.10 v nh lỵ 2.12 ỗng thới tờng qu¡t ti¶u


9

chuân chuân tưc cừa Montel.
CĂc nh lỵ kiu Lappan cho cĂc trữớng hủp 3 v 4 im ữủc thiát
lêp dỹa trản iÃu kiằn b chn cừa Ôo hm cƯu cừa cĂc hm ang xt
v nh lỵ cỡ bÊn thự hai cõa Nevanlinna âng vai trá quan trång trong
chùng minh (l÷u þ r¬ng º sû dưng ành lþ n y, chóng ta cƯn ẵt nhĐt 3
im). nh lỵ kiu Lappan cho trữớng hủp cõ úng 1 im ữủc dỹa
trản iÃu kiằn b chn cừa Ôo hm cƯu cừa mởt a thực Ôo hm. 
chựng minh kát quÊ ny, chúng tổi cƯn sỷ dửng mởt dÔng nh lỵ cỡ
bÊn thự hai kiu Hayman cho hm v Ôo hm. Kát quÊ kiu Lappan
vợi úng 1 im ữủc phĂt biu nhữ sau: Vợi cĂc số nguyản dữỡng n, k
thọa mÂn n > k + 3 + k2 , hồ F cĂc hm phƠn hẳnh f tr¶n mi·n D, måi
khỉng iºm cõa f câ bëi khỉng b hỡn k s chuân tưc náu vợi mội têp
compact K D, tỗn tÔi a C \ {0} v hơng số dữỡng M = M (K) sao
cho (f n f (k) )# (z) ≤ M, vỵi måi f ∈ F v  måi z ∈ K ∩ {f n f (k) = a}.
Mët i·u thó và l  m°c dị ữủc nhẳn nhên theo mởt hữợng khĂc, kát
quÊ trản ỗng thới m rởng kát quÊ cừa Pang-Zalcman tợi trữớng hủp

f n f (k) − a câ khỉng iºm.
Nëi dung Ch÷ìng 2 ữủc cổng bố trong cổng trẳnh [3].
Chữỡng cuối cũng cừa luên Ăn têp trung vo viằc nghiản cựu bi toĂn
xĂc nh duy nhĐt hm phƠn hẳnh dữợi iÃu kiằn và Ênh ngữủc cừa a
thực Ôo hm v a thực q - sai ph¥n, ph¥n bè gi¡ trà cõa a thực Ôo

hm kát hủp vợi q - sai phƠn.
Ưu tiản, chúng tổi nghiản cựu bi toĂn xĂc nh duy nhĐt hm phƠn
hẳnh dữợi iÃu kiằn Ênh ngữủc cừa a thực Ôo hm [f n P (f )](k) , trong
õ P (z) l a thực cõ dÔng
P (z) = (z b1 )m1 . . . (z − bv )mv Q(z),
v, mi , i = 1, . . . , v l cĂc số nguyản dữỡng v Q(z) l mởt a thực.
Tiáp theo, chúng tổi nghiản cựu ựng dửng cừa Lỵ thuyát Nevanlinna
cho toĂn tỷ q - sai phƠn trong cĂc bi toĂn: xĂc nh duy nhĐt hm phƠn
hẳnh dữợi iÃu kiằn Ênh ngữủc cừa a thực Ôo hm kát hủp vỵi q - sai


10

phƠn dÔng [P (f (z))f (qz + c)](k) , phƠn bố giĂ tr kiu Hayman cho a
thực Ôo hm kát hủp q - sai phƠn dÔng [P (f (z))f (qz + c)](k) , trong â

P (f ) l  a thùc kh¡c h¬ng v  q 6= 0, c l  c¡c h¬ng số phực.
Kát quÊ Ưu tiản cừa chữỡng ny l nh lỵ 3.10 và sỹ duy nhĐt cừa
cĂc hm phƠn hẳnh vợi a thực Ôo hm chung nhau mởt hm nhọ. CĂc
kát quÊ tiáp theo cừa Chữỡng 3 l nh lỵ 3.14 v nh lỵ 3.14 và phƠn
bố giĂ tr cừa a thực q - sai phƠn v Ôo hm cừa cĂc hm phƠn hẳnh,
nh lỵ 3.16 và sỹ duy nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh vợi a thực q - sai
phƠn v Ôo hm chung nhau mởt hm nhọ. Trong nh lỵ 3.14, khi
m = 1, n 2k + 6, chúng tổi nhên lÔi kát quÊ cừa Zhao v Zhang. Khi
m = 1, n 5, nh lỵ 3.15 l  c£i ti¸n mët k¸t qu£ cõa Zhao v  Zhang.
ành lỵ 3.16 l mởt m rởng kát quÊ duy nhĐt cho a thực Ôo hm kát
hủp q - sai phƠn cõa Zhao v  Zhang.
Nëi dung cõa Ch÷ìng 3 ÷đc cỉng bố trong cổng trẳnh [4].
Kát quÊ nghiản cựu cừa luên Ăn õng gõp mởt phƯn vo à ti nghiản
cựu cỡ bÊn Nafosted Lỵ thuyát Nevanlinna v hồ chuân tưc cĂc Ănh xÔ

phƠn hẳnh cừa PGS. TSKH TrƯn Vôn TĐn v à ti cĐp Ôi hồc Hồ
chuân tưc cừa cĂc hm phƠn hẳnh v ựng dửng cừa tĂc giÊ. CĂc kát quÊ
cừa luên Ăn ữủc bĂo cĂo tÔi hởi ngh: Ôi sè - tỉpỉ - h¼nh håc, Qu£ng
Ninh 2015, Seminar Gi£i tẵch - Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản 2012 2016, Seminar nhõm nghiản cựu tÔi Viằn ToĂn hồc.


11

Chữỡng 1

Hồ chuân tưc cĂc hm phƠn hẳnh
1.1

Lỵ thuyát Nevanlinna cho hm phƠn hẳnh

Cho l mởt divisor trản C.

Hm ám cừa divisor ữủc nh nghắa

bi
Zr

N (r, ) =

X
n(t)
dt (r > 1), trong â n(t) =
ν(z).
t
z∈D(0,t)

1

Cho f l  mët hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản C. Ta kẵ hiằu νf l  divisor
cüc iºm cõa f v  divisor ν f ữủc nh nghắa bi f (z) = min{f (z), 1}.

Hm ám tÔi cĂc cỹc im v cỹc im khổng k bởi cừa f

ữủc nh

nghắa bi

N (r, f ) = N (r, νf ) v  N (r, f ) = N (r, ν f ).
Cho a l  mët sè phùc, khi â divisor a - iºm cõa f ÷đc ành nghắa bi

fa = 1/(f a) . Divisor af ữủc ành ngh¾a bði ν af = ν 1/(f −a) . Hm ám
tÔi cĂc a - im v a - im khổng k bởi cừa f ữủc nh nghắa tữỡng
ựng bi
1
1
N (r,
) = N (r, νfa ) v  N (r,
) = N (r, ν af ).
f −a
f −a

H m

x§p x¿ cõa f ữủc nh nghắa bi
1

m(r, f ) =
2

Z2
0





log+
f (reiθ )
dθ,


12

trong â log+ x = max{log x, 0} vỵi måi x 0.
Hm

c trững cừa f ữủc nh nghắa bi

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ).

Cho f l hm phƠn hẳnh
khĂc hơng trản C v k l số nguyản dữỡng. Khi õ ng thực
Bờ Ã 1.1. (Bờ Ã Ôo hm logarithmic

m(r,

)

f (k)
) = o(T (r, f ))
f

óng vỵi måi r ∈ [1, ∞) ngo i mởt têp cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn.
nh lỵ 1.2. (nh lỵ cỡ bÊn thự nhĐt) Cho f l hm phƠn hẳnh
trản C v a l mởt số phực. Khi â
T (r,

1
) = T (r, f ) + O(1).
f −a

Cho f l hm phƠn hẳnh khĂc
hơng trản C. Cho a1, . . . , aq l  q sè phùc ph¥n biằt trong C. Khi õ
nh lỵ 1.3. (nh lỵ cỡ b£n thù hai)

(q − 1)T (r, f ) 6 N (r, f ) +

q
X
i=1

N (r,

1
) + S(r, f ),
f − ai

úng vợi mồi r [1, ) ngoi mởt têp cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn, trong
õ S(r, f ) = o(T (r, f )) khi r −→ ∞.
1.2

Hå chu©n tưc cừa cĂc hm phƠn hẳnh

1.2.1. Tiảu chuân chuân tưc ối vợi hồ cĂc hm phƠn hẳnh dữợi
iÃu kiằn khổng im cừa a thực Ôo hm

Trong phƯn ny chúng tổi trẳnh by cĂc kát quÊ ữủc cổng bố trong
[1]. Mửc ẵch cừa chúng tổi l chựng minh mởt số tiảu chuân chuân tưc
cho hồ cĂc hm phƠn hẳnh trong trữớng hủp a thực Ôo hm dÔng
tờng quĂt. M rởng kát quÊ cừa Schwick, chúng tổi Ôt ữủc kát quÊ
nhữ sau.


13

Cho q (q ≥ 1) gi¡ trà phùc ph¥n bi»t kh¡c khæng a1, . . . , aq
v  q sè nguyản dữỡng (hoc + ) `1, . . . , `q . Cho n l mởt số nguyản
khổng Ơm v cho n1, . . . , nk , t1, . . . , tk l cĂc số nguyản dữỡng (k 1).
Cho F l mởt hồ cĂc hm phƠn hẳnh x¡c ành tr¶n mi·n D trong m°t
ph¯ng phùc sao cho vỵi måi f ∈ F v  vỵi måi m ∈ {1, . . . , q}, måi khæng
iºm cõa f n(f n )(t ) · · · (f n )(t ) am cõ bởi ẵt nhĐt `m. GiÊ sỷ rơng
a) nj tj vợi mồi 1 6 j 6 k, v  `i ≥ 2 vỵi måi 1 6 i 6 q;
P
nh lỵ 1.8

1

Pq

1
i=1 `i

b)

<

1

k

k

qn2+ kj=1 q(nj tj )
P
.
n+ kj=1 (nj +tj )

Khi õ hồ F l chuân tưc trản D.
Cho q = 1 v  `1 = +∞, chóng tỉi nhên ữủc hằ quÊ sau Ơy.

Cho a l mởt số phực khĂc khổng, cho n l mởt số nguyản
khổng Ơm v  n1, . . . , nk , t1, . . . , tk l cĂc số nguyản dữỡng. Cho F l mởt
hồ cĂc hm phƠn hẳnh trản miÃn D sao cho måi f ∈ F, f n(f n )(t ) · · · (f n )(t )−
a khỉng ¥u triằt tiảu trản D. GiÊ sỷ rơng
a) nj tj vỵi måi 1 6 j 6 k;
H» qu£ 1.9

1

1

k

Pk
n
≥
3
+
j
j=1 tj .
j=1
Khi õ hồ F l chuân tưc trản D.
Trong Hằ qu£ 1.9, cho k = 1, n = 0, chóng tổi nhên lÔi kát quÊ cừa
Schwick cho hồ cĂc hm phƠn hẳnh.
Trong nh lỵ 1.8, khi F l hồ cĂc hm nguyản, chúng tổi chựng minh
cĂc kát quÊ sau.
nh lỵ 1.10. Cho q (q ≥ 1) gi¡ trà phùc ph¥n bi»t kh¡c khæng a1 , . . . , aq
v  q số nguyản dữỡng (hoc +) `1, . . . , `q . Cho n l mởt số nguyản
khổng Ơm v  cho n1, . . . , nk , t1, . . . , tk l cĂc số nguyản dữỡng (k ≥ 1).
Cho F l  mët hå c¡c h m ch¿nh hẳnh xĂc nh trản miÃn D cừa mt
phng phực sao cho vỵi måi f ∈ F v  vỵi måi m ∈ {1, . . . , q}, måi
khæng iºm cõa f n(f n1 )(t1) · · · (f nk )(tk ) am cõ bởi ẵt nhĐt `m. GiÊ sỷ

b) n +

Pk

rơng

a) nj tj vợi mồi 1 6 j 6 k,
P
Pq 1
qn−1+ kj=1 q(nj −tj )
P
b)
.
i=1 `i <
n+ k n
j=1

j

v  `i ≥ 2 vỵi måi

1 6 i 6 q;

k


14

Khi õ hồ F l chuân tưc trản D.
Hằ quÊ 1.11. Cho a l  sè phùc kh¡c khæng, cho n l số nguyản khổng Ơm
v n1, . . . , nk , t1, . . . , tk l  c¡c số nguyản dữỡng. Cho F l mởt hồ cĂc hm
chnh hẳnh xĂc nh trản D sao cho mồi f F, f n(f n )(t ) · · · (f n )(t ) a
khổng Ơu triằt tiảu trản D. GiÊ sỷ rơng

a) nj tj vợi mồi 1 6 j 6 k;
1

b) n +

Pk

j=1 nj

≥2+

1

k

k

Pk

j=1 tj .

Khi â hå F l chuân tưc trản D.
Trong Hằ quÊ 1.11, cho k = 1, n = 0, chúng tổi nhên lÔi kát quÊ cừa
Schwick cho hồ cĂc hm chnh hẳnh ngoÔi trứ trữớng hủp n = k + 1.
Tiáp theo, chúng tổi ữa ra chựng minh mợi ỡn gian hỡn kát quÊ cõa
Schwick trong tr÷íng hđp n = k + 1.

Cho k l mởt số nguyản dữỡng v a hơng số khĂc khỉng.
Cho F l  mët hå c¡c h m ch¿nh h¼nh x¡c nh trản miÃn D cừa mt
phng phực sao cho vợi måi f ∈ F, (f k+1)(k)(z) 6= a tr¶n D. Khi õ hồ

F chuân tưc trản D.
nh lỵ 1.12

Nhữ vêy Hằ quÊ 1.11 v nh lỵ 1.12 l m rởng kát quÊ cừa Schwick
cho hồ cĂc hm chnh hẳnh.
Nhên xt 1.7.

nh lỵ 1.8 v nh lỵ 1.10 văn úng khi thay

f n (f n1 )(t1 ) · · · (f nk )(tk )
bi a thực Ôo hm tờng quĂt
n

n1 (t1 )

H(f ) = f (f )

nk (tk )

· · · (f )

+

X

cI f nI (f n1I )(t1I ) · · · (f nkI )(tkI ) ,

I

trong â cI l  c¡c hm chnh hẳnh trản D v nI , njI , tjI l cĂc số nguyản

khổng Ơm thọa mÂn
Pk
t
j=1 tj
j=1 jI
<=
.
I =
Pk
Pk
nI + j=1 njI
n + j=1 nj
Pk

1.2.2. Hå chu©n t­c cừa cĂc hm phƠn hẳnh khổng cõ khổng
im


15

Trong phƯn trữợc chúng tổi thiát lêp cĂc tiảu chuân chuân tưc cho hồ
cĂc hm phƠn hẳnh dữợi iÃu khổng im cừa a thực Ôo hm cõ bởi
lợn. Mởt vĐn à tỹ nhiản ữủc t ra l: Náu cĂc khổng im cừa a
thực Ôo hm khổng tẵnh bởi thẳ liằu rơng ta văn cõ ữủc tiảu chuân
chuân tưc? Trong phƯn ny chúng tổi thiát lêp mởt kát quÊ và hồ chuân
tưc cừa cĂc hm phƠn hẳnh khổng cõ khổng im trản miÃn D trong mt
phng phực v lữủng cĂc khổng im cừa a thực Ôo hm l hỳu hÔn.
Kát quÊ ny ữủc cổng bố trong bi bĂo [2].
Trữợc hát, chúng tổi giợi thiằu mởt kát quÊ nời tiáng cừa Hayman vÃ
nh lỵ kiu Picard cho hm v Ôo hm.

Cho f l hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản mt phng phực
C v k l số nguyản dữỡng. Khi õ f hoc f (k) 1 cõ ẵt nhĐt mởt khổng
im. Hỡn nỳa náu f l hm phƠn hẳnh siảu viằt thẳ f hoc f (k) 1 cõ
vổ hÔn khổng im.
nh lỵ 1.14.

Vợi mội hm phƠn hẳnh khĂc hơng f trản mi·n D ⊂ C v  n ∈
N, nv , tv , v = 1, . . . , k l  cĂc số nguyản dữỡng. Khi õ chúng tổi xt

a thực Ôo hm cõ dÔng
n

n1 (t1 )

H(f ) = f (f )

nk (tk )

· · · (f )

X

+

uI (z)f nI (f n1I )(t1I ) · · · (f nkI )(tkI ) ,

I

trong õ uI (z) l cĂc hm chnh hẳnh trản D v  nI , njI , tjI l  c¡c sè

nguy¶n khổng Ơm thọa mÂn
Pk

I =

nI +

v=1 tvI
Pk
v=1 nvI

Pk

<=

v=1 tv

n+

Pk

v=1 nv

.

Sau Ơy, chúng tổi tờng quĂt kát quÊ cừa Hayman cho a thực Ôo
hm f n (f n1 )(t1 ) Ã · · (f nk )(tk ) .

Cho f l  h m phƠn hẳnh siảu viằt trản mt phng phực.
Khi õ f ho°c f n(f n )(t ) · · · (f n )(t ) 1 cõ vổ hÔn khổng im.

nh lỵ 1.16. Cho q số phực phƠn biằt khĂc khổng a1 , . . . , aq , trong â
q 2 l số nguyản dữỡng. Cho n l số nguyản khổng Ơm v n1 , . . . , nk , t1 , . . . , tk
nh lỵ 1.15.

1

1

k

k


16

l cĂc số nguyản dữỡng (k 1). Cho f l hm phƠn hẳnh siảu viằt
trản mt phng phực. Khi â f ho°c f n(f n )(t ) · · · (f n )(t ) − am vỵi
m ∈ {1, . . . , q} cõ vổ hÔn khổng im.
1

1

k

k

Tiáp theo chóng tỉi têng qu¡t k¸t qu£ cõa Chang cho a thực Ôo
hm vợi dÔng f n (f n1 )(t1 ) . . . (f nk )(tk ) . Thüc t¸, chóng tỉi chùng minh k¸t
qu£ têng qu¡t hìn khi thay f n (f n1 )(t1 ) . . . (f nk )(tk ) bi a thực Ôo hm

H(f ).

Cho F l hồ cĂc hm phƠn hẳnh khổng cõ khổng iºm
tr¶n mi·n D sao cho H(f ) − 1 câ khæng qu¡ n + Pkj=1 nj + Pkj=1 tj − 1
khổng im phƠn biằt. Khi õ hồ F chuân tưc trản D.
nh lỵ 1.19.

Nhên xt 1.8.

Trong nh lỵ 1.19, cho k = 1, n = 0, uI = 0, chóng tổi

nhên lÔi kát quÊ cừa Chang.


17

Kát luên cừa Chữỡng 1

Trong Chữỡng 1, chúng tổi nghiản cựu ựng dửng cừa Lỵ thuyát Nevanlinna trong lỵ thuyát hồ chuân tưc cừa cĂc hm phƠn hẳnh. Cử th, luên
Ăn  Ôt ữủc cĂc kát quÊ chẵnh sau:
- nh lỵ 1.8 v nh lỵ 1.10 và hồ chuân tưc cừa cĂc hm phƠn hẳnh,
chnh hẳnh dữợi iÃu kiằn khổng im cừa a thực Ôo hm tờng quĂt.
CĂc kát quÊ ny l m rởng kát quÊ cừa Schwick.
- nh lỵ 1.15 v nh lỵ 1.16 kiu Picard cho hm phƠn hẳnh v Ôo
hm. nh lỵ 1.15 l m rởng kát quÊ cừa Hayman.
- nh lỵ 1.19 và hồ chuân tưc cừa cĂc hm phƠn hẳnh khổng cõ khổng
im. Kát quÊ n y l  mð rëng mët k¸t qu£ cõa Chang.


18

Chữỡng 2

Mởt số nh lỵ kiu Lappan cho
hm - chuân tưc v hồ chuân tưc
Trong chữỡng ny, chúng tổi nghiản cựu lợp hm - chuân tưc, mởt
m rởng cừa lợp hm chuân tưc. Chúng tổi chựng minh mởt số tiảu
chuân kiu Lappan cho lợp hm ny. Ngoi ra, chúng tổi cụng thiát lêp
cĂc tiu chuân chuân kiu Lappan tữỡng ựng cho hồ chuân tưc khi têp

E cõ số im ẵt hỡn 5. Nởi dung cừa chữỡng ny ữủc cổng bố trong bi
bĂo [4].
2.1

Hm phƠn hẳnh



- chuân tưc

Trong phƯn ny, chúng tổi xt lợp hm tông trỡn nhữ sau:
nh nghắa 2.1.

trỡn náu

Mởt hm tông : [0, 1) (0, ) ữủc gồi l

tông

(r)(1 r) 1 vỵi måi r ∈ [0, 1)

(2.1)

v 

Ra (z) =

ϕ(|a + z/ϕ(|a|)|)
→1
ϕ(|a|)

·u trản mội têp compact con cừa C khi |a| 1− .

(2.2)