Tính chuẩn tắc của họ hàm phân hình một biến và bài toán duy nhất đối với đa thức vi phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN VĂN THÌN

TÍNH CHUẨN TẮC CỦA HỌ HÀM
PHÂN HÌNH MỘT BIẾN VÀ BÀI TOÁN DUY
NHẤT ĐỐI VỚI ĐA THỨC VI PHÂN

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TSKH Trần Văn Tấn
2. PGS. TS. Hà Trần Phương

Phản biện 1: GS. TSKH Đỗ Đức Thái
Phản biện 2: PGS. TSKH Tạ Thị Hoài An

Luận án đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp cơ sở
họp tại: Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên
Vào hồi 8 giờ 30 ngày 10 tháng 7 năm 2016


✐

▼ö❝ ❧ö❝

▼ð ✤➛✉
✶

✷

✸

✶

❍å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤

✶✶

✶✳✶

▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✷

❍å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

▼ët sè ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ▲❛♣♣❛♥ ❝❤♦ ❤➔♠

ϕ

✲ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✈➔ ❤å

❝❤✉➞♥ t➢❝

✶✽

✷✳✶

❍➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ϕ ✲ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✷✳✷

✣à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ▲❛♣♣❛♥ ❝❤♦ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

❙ü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠
✈➔

✸✳✶

q

✲ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä

❙ü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠
❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✳✷

✷✹

✷✹

❙ü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ q ✲ s❛✐
♣❤➙♥ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ✤➲ ♥❣❤à

✷✼
✸✵





ỵ ồ t

ữủ t tứ ỳ ừ t ợ ỗ ố
tứ ỳ ổ tr ừ r Pr r t
ổ tr ừ ỵ tt ổ t
út ữủ sỹ q t ừ t ồ tr ữợ
t ữủ t q s s õ ự ử tr ởt số
ỹ ừ t ồ ữ ồ ự ỵ tt số
ốt ó ừ ỵ tt ừ ỵ
ữủ ồ ỵ ỡ tự t tự ỹ t ủ ừ
ỵ t tổ t sỹ ố tr ừ

ộ t tỹ t ữủ ỵ tữớ t
ự ử tr ự ữủ
qt t t ụ
ỹ ỳ ỵ ỡ tữỡ t r tỹ t õ ú
tổ ồ t t ừ ồ ởt
t t ố ợ tự

ự

ự ử t ừ ỵ tt qt
ữủ tr ữ tr ổ
t sỷ ử t q t ừ ỵ tt ú tổ
tt ỳ ỵ ỡ tự ũ ủ ợ t ố
ừ t t r
ú tổ tt ỡ ố s tứ

ự ồ t ữủ ỗ tứ ỳ




ừ t ổ tr ừ P t P
t P t ữ r ồ t ởt ồ F
tr D C ữủ ồ t ợ ồ
{fn } F ổ ự ởt {fnk } ở tử tr ộ t
t ừ D t tợ f .
rt ữ r t q trồ t ồ
t ởt ồ F f tr ởt D C
t tr ộ t t K ừ D,
|f (z)|

ừ f ởt số C(K) ử tở K
f # (z) =
1 + |f (z)|2
ữ ổ ử tở f.
ỵ õ r ộ ỵ Pr t
ởt tữỡ ự ợ ởt t ồ t
tr ỵ ữ r t q
sỹ tr ởt ồ t r sỹ ổ tỗ t
ở tử tr t t tợ ởt
ổ t tr t ữủ t q q trồ s
ồ F tr ỡ U s ồ
ổ ừ tr ồ F õ ở t t p ồ ỹ
õ ở t t q. số tỹ tọ p < < q. õ ồ F
ổ t t z0 U tỗ t số tỹ 0 < r < 1,
zn : |zn | < r zn z0 , fn F số tỹ ữỡ

n 0+ s gn () = n fn (zn + n ) ở tử t
tr ộ t t ừ C g(), tr õ g
tr C, ồ ổ ỹ ừ g õ ở tữỡ
ự t t p q. ỡ ỳ g # () g # (0) = 1.
t q tr tữớ ữủ ồ ờ ỵ r ừ
t tr ờ t t ữủ ở tử g
r õ ởt tr ỳ ự ử ừ ỵ tt
õ t t tr ởt
tứ ỵ ỡ tự t ỵ ỡ tự t


✸

❧↕✐ ✣à♥❤ ❧þ P✐❝❛r❞ ❜➨✿ ▼ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ ❧➔ ❤➔♠

❤➡♥❣ ♥➳✉ ♥â ❦❤æ♥❣ ♥❤➟♥ ❜❛ ❣✐→ trà ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❇ê ✤➲ ❩❛❧❝♠❛♥
❧➔ ❝➛✉ ♥è✐ q✉❛♥ trå♥❣ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝ sû ❞ö♥❣ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛
✈➔♦ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ▲þ t❤✉②➳t ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝✳
❚❤❡♦ q✉❛♥ ✤✐➸♠ ♥➯✉ tr➯♥ ❝õ❛ ❇❧♦❝❤✱ ✣à♥❤ ❧þ P✐❝❛r❞ ❜➨ ù♥❣ ✈î✐ t✐➯✉
❝❤✉➞♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ s❛✉ ❝õ❛ ▼♦♥t❡❧✿ ▼ët ❤å F ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥
♠✐➲♥ D ❧➔ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ♥➳✉ ♠é✐ ❤➔♠ tr♦♥❣ ❤å ❜ä q✉❛ ❜❛ ❣✐→ trà ♣❤➙♥ ❜✐➺t
❝❤♦ tr÷î❝ ♥➔♦ ✤â✳
◆❤➡♠ ❧➔♠ ❣✐↔♠ sè ❣✐→ trà ♠➔ ❤➔♠ ❜ä q✉❛ tr♦♥❣ ✣à♥❤ ❧þ P✐❝❛r❞ ❜➨✱
♥➠♠ ✶✾✺✾✱ ❲✳ ❍❛②♠❛♥ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ P✐❝❛r❞ ❝❤♦ ❤➔♠
✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠✿ ▼ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f ❧➔ ❤➔♠ ❤➡♥❣ ♥➳✉ f ❦❤æ♥❣ ✤➙✉ tr✐➺t
t✐➯✉ ✈➔ f (k) ❦❤æ♥❣ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà 1, tr♦♥❣ ✤â k ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❝❤♦
tr÷î❝✳ ❉ü❛ t❤❡♦ ♥❣✉②➯♥ ❧þ ❇❧♦❝❤✱ ❲✳ ❍❛②♠❛♥ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❣✐↔ t❤✉②➳t ✈➲
t➼♥❤ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ✤à♥❤ ❧þ tr➯♥✳
❑➳t ❤ñ♣ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ▼❛rt② ✈➔ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✱ ❉✳ ❉r❛s✐♥ ✤➣ tr↔
❧í✐ ❣✐↔ t❤✉②➳t ♥➔② tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤✳ ❙❛✉ ✤â✱ ❨✳
❳✳ ●✉ ✤➣ tr↔ ❧í✐ ❣✐↔ t❤✉②➳t ❝õ❛ ❍❛②♠❛♥ ♥❤÷ s❛✉✿ ❈❤♦ k ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥
❞÷ì♥❣✱ ♠ët ❤å F ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f tr➯♥ ♠✐➲♥ D tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣
♣❤ù❝✱ ❦❤æ♥❣ ✤➙✉ tr✐➺t t✐➯✉ s➩ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ♥➳✉ f (k) = 1 ✭✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ k ❝õ❛

f ❦❤æ♥❣ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ✶✮ ✈î✐ ♠å✐ f ∈ F.
❈❤ó þ r➡♥❣ tr♦♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ●✉✱ ❤➔♠ ❝➛♥ tr→♥❤ tî✐ ❤❛✐ ❣✐→ trà ✭♠é✐
f ✈➔ f (k) tr→♥❤ ♠ët ❣✐→ trà✮✳ ❚r♦♥❣ ♠ët sü ❝è ❣➢♥❣ ♥❤➡♠ ❣✐↔♠ sè ✤✐➸♠
①✉è♥❣ ♠ët✱ ♥➠♠ ✶✾✽✾✱ ❲✳ ❙❝❤✇✐❝❦ ✤↕t ✤÷ñ❝ ❦➳t q✉↔ t÷ì♥❣ tü ♠➔ ð ✤â
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr➯♥ ✈➲ ✤↕♦ ❤➔♠ ✤÷ñ❝ t❤❛② t❤➳ ❜ð✐ (f n )(k) = 1, ✈î✐ n, k ❧➔ sè
tü ♥❤✐➯♥ ❝❤♦ tr÷î❝ t❤ä❛ ♠➣♥ n ≥ k + 3. ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❤å ❝→❝ ❤➔♠
❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤✱ ❙❝❤✇✐❝❦ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ n ≥ k + 3 ❝â t❤➸ ❣✐↔♠ t❤➔♥❤
n ≥ k + 1. ◆➠♠ ✷✵✶✵✱ ❏✳ ▼✳ ❈❤❛♥❣ ❝ô♥❣ ✤➣ tê♥❣ q✉→t ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ●✉ ✈➔
♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❦➳t q✉↔✿ ❍å F ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ tr➯♥
♠✐➲♥ D s➩ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ♥➳✉ f (k) − 1 ❝â ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t k ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t
✈î✐ ♠é✐ f ∈ F, tr♦♥❣ ✤â k ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ◆❤✐➲✉ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❝→❝

t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝ ♥❤÷ ❳✳ ❈✳ P❛♥❣ ✈➔ ▲✳ ❩❛❧❝♠❛♥✱ ▼✳ ▲✳ ❋❛♥❣ ✈➔ ▲✳ ❩❛❧❝♠❛♥✱




P rr ụ
ự t ồ t ữợ
ổ ừ tự ử t
r ố ữ ú tổ t r tự t tr

ự t ồ t ự ợ tr
tự tờ qt ữủ qt tr ữỡ


ừ
q t tợ ồ t
t õ ữủ t ự tứ ổ tr ừ sr
t rt ởt f tr ỡ U ữủ
ồ t ồ {f : T } t tr U, tr õ

T t tt ừ U õ t
rt r r f tr ỡ U C
t supzU (1 |z|2 )f # (z) < . N t
t tr U. ỵ ồ ợ ởt
|z w|
t f, t ổ õ (f (z), f (w)) ||f ||N sup[z,w]
, tr
1 ||2
õ ||f ||N = supzU (1 |z|2 )f # (z).
st t q tr ừ t rt Pr

ữ r ọ số tỹ M > 0, õ tỗ t t E ỳ s
ợ ộ f tr ỡ U tọ
(1 |z|2 )f # (z) M ợ ồ z f 1 (E) t f t
P tr ớ ọ tr ổ r tỗ t
t E C ỗ 5 t
P ở ự t
q tữỡ tỹ ồ t ởt ồ F tr
D C t ợ ộ t t K D, tỗ
t t E C ự 5 t số ữỡ M s
sup{f # (z) : f F, z f 1 (E) K} < M.
ự tự tr t
ỵ trữớ ủ t ỡ ữủ




qt tr ữỡ ừ
ự sỹ t ữợ
ừ ởt t ủ ữủ ỗ tứ ổ tr ừ
ổ ự r
tr t ự õ ũ ữủ ổ t ở ừ
t t ú trũ ú t t
ừ õ ũ ữủ t ở ừ t
tứ õ t út ữủ sỹ q t ừ t ồ
tr ữợ ữ
Pữỡ rs
rs r
t t t ữợ
ừ tự f n f ,
ự r f g s

tự f n f 1 g n g 1 õ ũ ổ t ở ợ

n ữỡ õ n 11) t f = c1 ecz g = c2 ecz f = tg,
tr õ số c1 , c2 , c t tọ 4(c1 c2 )n+1 c2 = 1, tn+1 = 1.
tứ t ồ t ữủ t q t ữợ
ự tự ss
ssst r
ú ỵ r t ỳ tự
t ụ tt ữủ ỵ
ỡ tự tữỡ t
ỵ tt ữủ ự t tỷ q
s tr ổ tr ừ r ở sỹ tứ
õ ự ự ử ừ ỵ tt t tỷ q
s t út ữủ sỹ q t ừ t ồ tr
t ợ ữ r tr
r
ự t ữợ t tr sỹ t ừ
t ủ ợ tự q s ố tr ừ




tự q s ữỡ tr q s ố
tr ừ tự q s r ự
ởt t q ố tr tự q s
f n (z)f (qz) ỗ tớ ổ ụ ự t q t
tự q s f (z) g(z)
s t ợ ổ sỷ r q số
ự ổ n ởt số ữỡ tọ n 8 n 6
f n (z)f (qz) 1 g n (z)g(qz) 1 õ ũ số ổ ỹ

ở t f tg, tr õ t số tọ tn+1 = 1.
ự r (f n (z)f (qz + c))(k) 1 õ
ổ ổ f (z) s t ợ ổ
tr õ q = 0, c số ự n, k số ữỡ tọ
n > k + 5. ỡ ỳ ụ ự ỵ
t tữỡ ự s t f (z) g(z) ợ
ổ tọ (f n (z)f (qz + c))(k) 1 (g n (z)g(qz + c))(k) 1 õ ũ
số ổ ở t f tg, tr õ q = 0, c số ự n, k
số ữỡ t số tọ tn+1 = 1, n > 2k + 5.
ự tự tr

rở t q ừ

t f n ởt tự P (f ). ữủ qt
tr ữỡ ừ
ử ừ t


ử tự t ừ t tt t

t ồ ố ợ trữớ ủ tự tờ
qt t tự ử t ữ t trữợ


ử tự ừ t tt t

t ồ ữợ
tr t t ừ ởt số tr

ử tự ừ t ự t

t ữợ ữủ ừ tự
q s ố tr ừ tự q s t ủ ợ



✼

✸✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

❍å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❝❤✉➞♥ t➢❝✱ ❜➔✐
t♦→♥ ❞✉② ♥❤➜t ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ✈➔ q ✲ s❛✐ ♣❤➙♥✱ ♣❤➙♥
❜è ❣✐→ trà ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ q ✲ s❛✐ ♣❤➙♥ ❦➳t ❤ñ♣ ✤↕♦ ❤➔♠✳
✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✈➔ ❝æ♥❣ ❝ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

▲✉➟♥ →♥ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✈➔ ❦ÿ t❤✉➟t ❝õ❛ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ♠ët
❜✐➳♥✱ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳
✺✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝

▲✉➟♥ →♥ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❧➔♠ s➙✉ s➢❝ t❤➯♠ ♥❤ú♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ù♥❣ ❞ö♥❣
❝õ❛ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝✱ ❤➔♠ ❝❤✉➞♥
t➢❝✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❞✉② ♥❤➜t ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝
✤↕♦ ❤➔♠✳
✻✳ ❈➜✉ tró❝ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❧✉➟♥ →♥

◆❣♦➔✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥✱ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ▲✉➟♥ →♥ ✤÷ñ❝
❝❤✐❛ ❧➔♠ ❜❛ ❝❤÷ì♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❜❛ ✈➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤➼♥❤✿
❈❤÷ì♥❣ ✶ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝❤♦ ❤å ❝→❝
❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❞÷î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈➲ t➟♣ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠✳

❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ t❤❡♦ q✉❛♥ ✤✐➸♠
❝õ❛ ❇❧♦❝❤✳ ❇ê ✤➲ ❩❛❧❝♠❛♥ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔
❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ♠➻♥❤✱ ♠ët ♠➦t ❝❤ó♥❣
tæ✐ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ P✐❝❛r❞✱ ♠➦t ❦❤→❝ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♣❤↔✐ sû ❧þ ❦❤â
❦❤➠♥ ❣➦♣ ♣❤↔✐ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ →♣ ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ❩❛❧❝♠❛♥ tr♦♥❣ t➻♥❤ ❤✉è♥❣ ✤à♥❤
❧þ ❦✐➸✉ P✐❝❛r❞ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❦❤æ♥❣ ❝❤♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❤➔♠ ❤➡♥❣✳ ✣à♥❤ ❧þ
✶✳✽✱ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✷ ❧➔ ❝→❝ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❝❤♦ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛
❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❞÷î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝
✤↕♦ ❤➔♠ tê♥❣ q✉→t✳ ❚r♦♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✽✱ ❝❤♦ q = 1 ✈➔

= +∞, ❝❤ó♥❣
tæ✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❍➺ q✉↔ ✶✳✾✳ ❑❤✐ n = 0✱ k = 1, ❍➺ q✉↔ ✶✳✾ ♥❤➟♥ ❧↕✐ ❦➳t
q✉↔ ❝õ❛ ❙❝❤✇✐❝❦ ❝❤♦ ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ❚r♦♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵✱ ❝❤♦
q = 1 ✈➔ 1 = +∞, ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✶✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✶ ✈➔
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✷ ❧➔ tê♥❣ q✉→t ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❙❝❤✇✐❝❦ ❝❤♦ ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✳
◆❤÷ ✈➟② ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✽✱ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✷ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ♠ð rë♥❣
1




tỹ sỹ t q ừ t ỵ
ồ t ừ ổ õ ổ

n = 0, k = 1, n1 = 1, uI (z) = 0 ợ ồ I, õ ỵ
ởt t q ừ
ở ữỡ ữủ ổ ố tr ổ tr
ữỡ ự t t q ừ
ử t ú tổ tt ỵ
t ợ số t ỡ

sr
tt
ữ r
t ữ s t : [0, 1) (0, ) tọ (r)(1
(|a + z/(|a|)|)
r) r 1 Ra (z) =
ở tử tr
(|a|)
ộ t t ừ C 1 |a| 1 t ồ t
trỡ ởt f tr ỡ U ữủ ồ
f # (z)
t supzU
< +. N t
(|z|)
t tr U. t ồ ợ ởt t
f, t ổ õ (f (z), f (w)) ||f ||N sup[z,w] (||)|z w|, tr õ
f # (z)
||f ||N = supzU
.
(|z|)
t ữ tr ổ
t r ữỡ ú tổ rở t
õ tr tợ ởt ợ t rở ỡ tr trữớ
ủ t ừ , ú tổ t tổ
tữớ õ ú tổ tt ỵ
trữớ ủ t E ự 1, 3 4 ỵ ỵ
ỵ t ợ ố
1
, ú tổ ữủ q
ồ (|z|) =

1 |z|
t t tổ tữớ
ố ợ ồ t ú tổ tt ỵ ỵ
ỵ ỵ ú t q ợ ởt
ố ỵ ỵ ỗ tớ tờ qt t




t ừ t
ỵ trữớ ủ ữủ tt
ỹ tr ừ ừ t
ỵ ỡ tự ừ õ trỏ q trồ tr
ự ữ ỵ r sỷ ử ỵ ú t t t
ỵ trữớ ủ õ ú ữủ ỹ
tr ừ ừ ởt tự
ự t q ú tổ sỷ ử ởt ỵ ỡ
tự t q
ợ ú ữủ t ữ s ợ số ữỡ n, k
tọ n > k + 3 + k2 , ồ F f tr D, ồ
ổ ừ f õ ở ổ ỡ k s t ợ ộ t
t K D, tỗ t a C \ {0} số ữỡ M = M (K) s
(f n f (k) )# (z) M, ợ ồ f F ồ z K {f n f (k) = a}.
ởt tú ũ ữủ t ởt ữợ t
q tr ỗ tớ rở t q ừ P tợ trữớ ủ

f n f (k) a õ ổ
ở ữỡ ữủ ổ ố tr ổ tr
ữỡ ố ũ ừ t tr ự t
t ữợ ữủ ừ

tự tự q s ố tr ừ tự
t ủ ợ q s
t ú tổ ự t t
ữợ ữủ ừ tự [f n P (f )](k) , tr
õ P (z) tự õ
P (z) = (z b1 )m1 . . . (z bv )mv Q(z),
v, mi , i = 1, . . . , v số ữỡ Q(z) ởt tự
t ú tổ ự ự ử ừ ỵ tt
t tỷ q s tr t t
ữợ ữủ ừ tự t ủ ợ q s


✶✵

♣❤➙♥ ❞↕♥❣ [P (f (z))f (qz + c)](k) , ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà ❦✐➸✉ ❍❛②♠❛♥ ❝❤♦ ✤❛
t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❦➳t ❤ñ♣ q ✲ s❛✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ [P (f (z))f (qz + c)](k) , tr♦♥❣ ✤â

P (f ) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ ✈➔ q = 0, c ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ♣❤ù❝✳
❑➳t q✉↔ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❧➔ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✵ ✈➲ sü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛
❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä✳ ❈→❝
❦➳t q✉↔ t✐➳♣ t❤❡♦ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❧➔ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✹ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✹ ✈➲ ♣❤➙♥
❜è ❣✐→ trà ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ q ✲ s❛✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱
✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✻ ✈➲ sü ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ q ✲ s❛✐
♣❤➙♥ ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä✳ ❚r♦♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✹✱ ❦❤✐
m = 1, n ≥ 2k + 6, ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➟♥ ❧↕✐ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❩❤❛♦ ✈➔ ❩❤❛♥❣✳ ❑❤✐
m = 1, n ≥ 5, ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✺ ❧➔ ❝↔✐ t✐➳♥ ♠ët ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❩❤❛♦ ✈➔ ❩❤❛♥❣✳
✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✻ ❧➔ ♠ët ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❦➳t
❤ñ♣ q ✲ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❩❤❛♦ ✈➔ ❩❤❛♥❣✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❬✹❪✳
❑➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ✤â♥❣ ❣â♣ ♠ët ♣❤➛♥ ✈➔♦ ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥

❝ù✉ ❝ì ❜↔♥ ◆❛❢♦st❡❞ ✏▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✈➔ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕
♣❤➙♥ ❤➻♥❤✑ ❝õ❛ P●❙✳ ❚❙❑❍ ❚r➛♥ ❱➠♥ ❚➜♥ ✈➔ ✤➲ t➔✐ ❝➜♣ ✤↕✐ ❤å❝ ✏❍å
❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣✑ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔
❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ✤÷ñ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐ ❤ë✐ ♥❣❤à✿ ✣↕✐ sè ✲ tæ♣æ ✲ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ◗✉↔♥❣
◆✐♥❤ ✷✵✶✺✱ ❙❡♠✐♥❛r ●✐↔✐ t➼❝❤ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✷✵✶✷ ✲
✷✵✶✻✱ ❙❡♠✐♥❛r ♥❤â♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t↕✐ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳


✶✶

❈❤÷ì♥❣ ✶

❍å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤
✶✳✶

▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤

❈❤♦ ν ❧➔ ♠ët ❞✐✈✐s♦r tr➯♥ C.

❍➔♠ ✤➳♠ ❝õ❛ ❞✐✈✐s♦r ν ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛

❜ð✐
r

n(t)
dt (r > 1), tr♦♥❣ ✤â n(t) =
t

N (r, ν) =
1

ν(z).
z∈D(0,t)

❈❤♦ f ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C. ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ νf ❧➔ ❞✐✈✐s♦r
❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ f ✈➔ ❞✐✈✐s♦r ν f ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ν f (z) = min{νf (z), 1}.

❍➔♠ ✤➳♠ t↕✐ ❝→❝ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ✈➔ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ❦➸ ❜ë✐ ❝õ❛ f

✤÷ñ❝ ✤à♥❤

♥❣❤➽❛ ❜ð✐

N (r, f ) = N (r, νf ) ✈➔ N (r, f ) = N (r, ν f ).
❈❤♦ a ❧➔ ♠ët sè ♣❤ù❝✱ ❦❤✐ ✤â ❞✐✈✐s♦r a ✲ ✤✐➸♠ ❝õ❛ f ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

νfa = ν1/(f −a) . ❉✐✈✐s♦r ν af ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ν af = ν 1/(f −a) . ❍➔♠ ✤➳♠
t↕✐ ❝→❝ a ✲ ✤✐➸♠ ✈➔ a ✲ ✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ❦➸ ❜ë✐ ❝õ❛ f ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t÷ì♥❣
ù♥❣ ❜ð✐
1
1
N (r,
) = N (r, νfa ) ✈➔ N (r,
) = N (r, ν af ).
f −a
f −a

❍➔♠

①➜♣ ①➾ ❝õ❛ f ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

2π

1
m(r, f ) =
2π

log+ f (reiθ ) dθ,
0


✶✷

tr♦♥❣ ✤â log+ x = max{log x, 0} ✈î✐ ♠å✐ x ≥ 0.
❍➔♠

✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ f ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ).

❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤
❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C ✈➔ k ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â ✤➥♥❣ t❤ù❝
❇ê ✤➲ ✶✳✶✳ ✭❇ê ✤➲ ✤↕♦ ❤➔♠ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝

m(r,

✮

f (k)
) = o(T (r, f ))
f

✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ r ∈ [1, ∞) ♥❣♦➔✐ ♠ët t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤ú✉ ❤↕♥✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳ ✭✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t✮ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤
tr➯♥ C ✈➔ a ❧➔ ♠ët sè ♣❤ù❝✳ ❑❤✐ ✤â
T (r,

1
) = T (r, f ) + O(1).
f −a

❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝
❤➡♥❣ tr➯♥ C✳ ❈❤♦ a1, . . . , aq ❧➔ q sè ♣❤ù❝ ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr♦♥❣ C✳ ❑❤✐ ✤â
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳ ✭✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐✮

q

(q − 1)T (r, f )

N (r, f ) +

N (r,
i=1

1
) + S(r, f ),
f − ai

✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ r ∈ [1, ∞) ♥❣♦➔✐ ♠ët t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤ú✉ ❤↕♥✱ tr♦♥❣
✤â S(r, f ) = o(T (r, f )) ❦❤✐ r −→ ∞.
✶✳✷

❍å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤

✶✳✷✳✶✳ ❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✤è✐ ✈î✐ ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❞÷î✐
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠

❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣
❬✶❪✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❧➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝
❝❤♦ ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ð ❞↕♥❣
tê♥❣ q✉→t✳ ▼ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❙❝❤✇✐❝❦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤↕t ✤÷ñ❝ ❦➳t q✉↔
♥❤÷ s❛✉✳


✶✸

❈❤♦ q (q ≥ 1) ❣✐→ trà ♣❤ù❝ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ a1, . . . , aq
✈➔ q sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ (❤♦➦❝ + ∞) 1, . . . , q . ❈❤♦ n ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥
❦❤æ♥❣ ➙♠ ✈➔ ❝❤♦ n1, . . . , nk , t1, . . . , tk ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ (k ≥ 1).
❈❤♦ F ❧➔ ♠ët ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ D tr♦♥❣ ♠➦t
♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ f ∈ F ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ m ∈ {1, . . . , q}, ♠å✐ ❦❤æ♥❣
✤✐➸♠ ❝õ❛ f n(f n )(t ) · · · (f n )(t ) − am ❝â ❜ë✐ ➼t ♥❤➜t m. ●✐↔ sû r➡♥❣
a) nj ≥ tj ✈î✐ ♠å✐ 1 j k, ✈➔ i ≥ 2 ✈î✐ ♠å✐ 1 i q;
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✽

1

q
1
i=1 i

b)

<

1

qn−2+
n+

k

k

k
j=1

q(nj −tj )
k
j=1 (nj +tj )

.

❑❤✐ ✤â ❤å F ❧➔ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tr➯♥ D✳
❈❤♦ q = 1 ✈➔

= +∞, ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❤➺ q✉↔ s❛✉ ✤➙②✳
❍➺ q✉↔ ✶✳✾ ❈❤♦ a ❧➔ ♠ët sè ♣❤ù❝ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣✱ ❝❤♦ n ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥
❦❤æ♥❣ ➙♠ ✈➔ n1, . . . , nk , t1, . . . , tk ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❈❤♦ F ❧➔ ♠ët
❤å ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ D s❛♦ ❝❤♦ ♠å✐ f ∈ F, f n(f n1 )(t1) · · · (f nk )(tk )−
a ❦❤æ♥❣ ✤➙✉ tr✐➺t t✐➯✉ tr➯♥ D. ●✐↔ sû r➡♥❣

a) nj ≥ tj ✈î✐ ♠å✐ 1 j k;
b) n + kj=1 nj ≥ 3 + kj=1 tj .
❑❤✐ ✤â ❤å F ❧➔ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tr➯♥ D.
❚r♦♥❣ ❍➺ q✉↔ ✶✳✾✱ ❝❤♦ k = 1, n = 0, ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➟♥ ❧↕✐ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛
❙❝❤✇✐❝❦ ❝❤♦ ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳
❚r♦♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✽✱ ❦❤✐ F ❧➔ ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
❝→❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵✳ ❈❤♦ q (q ≥ 1) ❣✐→ trà ♣❤ù❝ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ a1 , . . . , aq
✈➔ q sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ (❤♦➦❝ +∞) 1, . . . , q . ❈❤♦ n ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥
❦❤æ♥❣ ➙♠ ✈➔ ❝❤♦ n1, . . . , nk , t1, . . . , tk ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ (k ≥ 1).
❈❤♦ F ❧➔ ♠ët ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ D ❝õ❛ ♠➦t
♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ f ∈ F ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ m ∈ {1, . . . , q}, ♠å✐
❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ f n(f n1 )(t1) · · · (f nk )(tk ) − am ❝â ❜ë✐ ➼t ♥❤➜t m. ●✐↔ sû

r➡♥❣

a) nj ≥ tj
b)

q
1
i=1 i

1

✈î✐ ♠å✐
<

qn−1+
n+

1

j

k,

k
j=1 q(nj −tj )
k
j=1 nj

.

✈➔

i

≥ 2 ✈î✐

♠å✐

1

i

q;

õ ồ F t tr D.
q a số ự ổ n số ổ
n1, . . . , nk , t1, . . . , tk số ữỡ F ởt ồ
tr D s ồ f F, f n(f n )(t ) ã ã ã (f n )(t ) a
ổ trt t tr D. sỷ r
a) nj tj ợ ồ 1 j k;
1

b) n +

k
j=1 nj

2+

1

k

k

k
j=1 tj .

õ ồ F t tr D.
r q k = 1, n = 0, ú tổ t q ừ
ồ trứ trữớ ủ n = k + 1.
t ú tổ ữ r ự ợ ỡ ỡ t q ừ
tr trữớ ủ n = k + 1.

k ởt số ữỡ a số ổ
F ởt ồ tr D ừ t
ự s ợ ồ f F, (f k+1)(k)(z) = a tr D. õ ồ
F t tr D.
ỵ

ữ q ỵ rở t q ừ
ồ
t

ỵ ỵ ú t

f n (f n1 )(t1 ) ã ã ã (f nk )(tk )
tự tờ qt

H(f ) = f n (f n1 )(t1 ) ã ã ã (f nk )(tk ) +

cI f nI (f n1I )(t1I ) ã ã ã (f nkI )(tkI ) ,
I

tr õ cI tr D nI , njI , tjI số
ổ tọ

I =

nI +

k
j=1 tjI

k
j=1 njI

<=

n+

k
j=1 tj
.
k
n
j=1 j

ồ t ừ ổ õ ổ



✶✺

❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ tr÷î❝ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝❤♦ ❤å
❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❞÷î✐ ✤✐➲✉ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝â ❜ë✐
❧î♥✳ ▼ët ✈➜♥ ✤➲ tü ♥❤✐➯♥ ✤÷ñ❝ ✤➦t r❛ ❧➔✿ ◆➳✉ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛
t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ t➼♥❤ ❜ë✐ t❤➻ ❧✐➺✉ r➡♥❣ t❛ ✈➝♥ ❝â ✤÷ñ❝ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥
❝❤✉➞♥ t➢❝❄ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ t❤✐➳t ❧➟♣ ♠ët ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❤å ❝❤✉➞♥
t➢❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ tr➯♥ ♠✐➲♥ D tr♦♥❣ ♠➦t
♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ ✈➔ ❧÷ñ♥❣ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥✳
❑➳t q✉↔ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✷❪✳
❚r÷î❝ ❤➳t✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ♠ët ❦➳t q✉↔ ♥ê✐ t✐➳♥❣ ❝õ❛ ❍❛②♠❛♥ ✈➲
✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ P✐❝❛r❞ ❝❤♦ ❤➔♠ ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠✳

❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝
C ✈➔ k ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â f ❤♦➦❝ f (k) − 1 ❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët ❦❤æ♥❣
✤✐➸♠✳ ❍ì♥ ♥ú❛ ♥➳✉ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ s✐➯✉ ✈✐➺t t❤➻ f ❤♦➦❝ f (k) − 1 ❝â
✈æ ❤↕♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✹✳

❱î✐ ♠é✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ f tr➯♥ ♠✐➲♥ D ⊂ C ✈➔ n ∈
N, nv , tv , v = 1, . . . , k ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â ❝❤ó♥❣ tæ✐ ①➨t

✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝â ❞↕♥❣

uI (z)f nI (f n1I )(t1I ) · · · (f nkI )(tkI ) ,

H(f ) = f n (f n1 )(t1 ) · · · (f nk )(tk ) +
I

tr♦♥❣ ✤â uI (z) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ D ✈➔ nI , njI , tjI ❧➔ ❝→❝ sè
♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥

αI =

nI +

k
v=1 tvI
k
v=1 nvI

<α=

n+

k
v=1 tv
.
k
n
v
v=1

❙❛✉ ✤➙②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tê♥❣ q✉→t ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❍❛②♠❛♥ ❝❤♦ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦
❤➔♠ f n (f n1 )(t1 ) · · · (f nk )(tk ) .

❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ s✐➯✉ ✈✐➺t tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝✳
❑❤✐ ✤â f ❤♦➦❝ f n(f n )(t ) · · · (f n )(t ) − 1 ❝â ✈æ ❤↕♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✻✳ ❈❤♦ q sè ♣❤ù❝ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ a1 , . . . , aq , tr♦♥❣ ✤â
q ≥ 2 ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❈❤♦ n ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠ ✈➔ n1 , . . . , nk , t1 , . . . , tk
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✺✳

1

1

k

k


✶✻

❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ (k ≥ 1). ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ s✐➯✉ ✈✐➺t
tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝✳ ❑❤✐ ✤â f ❤♦➦❝ f n(f n )(t ) · · · (f n )(t ) − am ✈î✐
m ∈ {1, . . . , q} ❝â ✈æ ❤↕♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠✳
1

1

k

k

❚✐➳♣ t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tê♥❣ q✉→t ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❈❤❛♥❣ ❝❤♦ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦
❤➔♠ ✈î✐ ❞↕♥❣ f n (f n1 )(t1 ) . . . (f nk )(tk ) . ❚❤ü❝ t➳✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦➳t
q✉↔ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥ ❦❤✐ t❤❛② f n (f n1 )(t1 ) . . . (f nk )(tk ) ❜ð✐ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠

H(f ).

❈❤♦ F ❧➔ ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠
tr➯♥ ♠✐➲♥ D s❛♦ ❝❤♦ H(f ) − 1 ❝â ❦❤æ♥❣ q✉→ n + kj=1 nj + kj=1 tj − 1
❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳ ❑❤✐ ✤â ❤å F ❝❤✉➞♥ t➢❝ tr➯♥ D.
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✾✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✽✳

❚r♦♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✾✱ ❝❤♦ k = 1, n = 0, uI = 0, ❝❤ó♥❣ tæ✐

♥❤➟♥ ❧↕✐ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❈❤❛♥❣✳

✶✼

❑➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✶

❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥✲
❧✐♥♥❛ tr♦♥❣ ❧þ t❤✉②➳t ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ❈ö t❤➸✱ ❧✉➟♥
→♥ ✤➣ ✤↕t ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ s❛✉✿
✲ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✽ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵ ✈➲ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱
❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❞÷î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ tê♥❣ q✉→t✳
❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❙❝❤✇✐❝❦✳
✲ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✺ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✻ ❦✐➸✉ P✐❝❛r❞ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✤↕♦
❤➔♠✳ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✺ ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❍❛②♠❛♥✳
✲ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✾ ✈➲ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â ❦❤æ♥❣
✤✐➸♠✳ ❑➳t q✉↔ ♥➔② ❧➔ ♠ð rë♥❣ ♠ët ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❈❤❛♥❣✳


✶✽

❈❤÷ì♥❣ ✷

▼ët sè ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ▲❛♣♣❛♥ ❝❤♦
❤➔♠ ϕ ✲ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✈➔ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧î♣ ❤➔♠ ϕ ✲ ❝❤✉➞♥ t➢❝✱ ♠ët
♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ❧î♣ ❤➔♠ ❝❤✉➞♥ t➢❝✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè t✐➯✉
❝❤✉➞♥ ❦✐➸✉ ▲❛♣♣❛♥ ❝❤♦ ❧î♣ ❤➔♠ ♥➔②✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝ô♥❣ t❤✐➳t ❧➟♣
❝→❝ t✐➸✉ ❝❤✉➞♥ ❝❤✉➞♥ ❦✐➸✉ ▲❛♣♣❛♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝❤♦ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❦❤✐ t➟♣

E ❝â sè ✤✐➸♠ ➼t ❤ì♥ 5. ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜➔✐
❜→♦ ❬✹❪✳
✷✳✶

❍➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤

ϕ

✲ ❝❤✉➞♥ t➢❝

❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ①➨t ❧î♣ ❤➔♠ t➠♥❣ trì♥ ϕ ♥❤÷ s❛✉✿
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳

trì♥ ♥➳✉

▼ët ❤➔♠ t➠♥❣ ϕ : [0, 1) → (0, ∞) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

t➠♥❣

ϕ(r)(1 − r) ≥ 1 ✈î✐ ♠å✐ r ∈ [0, 1)

✭✷✳✶✮

✈➔

Ra (z) =

ϕ(|a + z/ϕ(|a|)|)
→1
ϕ(|a|)

✤➲✉ tr➯♥ ♠é✐ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ❝♦♥ ❝õ❛ C ❦❤✐ |a| → 1− .

✭✷✳✷✮






ởt t trỡ t õ r

f tr ỡ U t
f # (z)
sup
< .
zU (|z|)
1
tọ õ ồ
1r
tr t

t r 0 (r) =

1
1r
t
t q s ờ t
ờ : [0, 1) (0, ) t trỡ f
tr ỡ D ồ ổ ỹ õ ở t t p
q. số tỹ tọ p < < q. f ổ
0 (r) =

t õ tỗ t
(i) {an } D an 1
zn

(ii) {zn } D zn z wn = an +
(|an |)
(iii) n 0+
n
s gn() = n f wn + (|a
ở tử tr ộ t t
n |)
ừ C t g(), tr õ g
tr C, ồ ổ ỹ õ ở tữỡ ự t t
p q.

ú tổ tt ỵ ố
t

: [0, 1) (0, ) t trỡ f
tr ỡ U. sỷ r tỗ t t E = {a1, a2, a3, a4} C
ỗ t s
ỵ

1
f # (z) <
1
(|z|)
zf (E)
sup

sup

(f )# (z) < .

zf 1 (E\{})

õ f t
ỵ : [0, 1) (0, ) t trỡ f
tr ỡ U. sỷ r E = {a1, a2, a3} C ỗ


✷✵

✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t s❛♦ ❝❤♦
1
f # (z) < ∞,
z∈f −1 (E) ϕ(|z|)

sup (f )# (z) < ∞ ✈➔

sup

z∈f −1 (E)

sup ϕ(|z|)(f )# (z) < ∞.
z∈f −1 (E)

❑❤✐ ✤â f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ϕ ✲ ❝❤✉➞♥ t➢❝✳

1
✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❤➺ q✉↔ t÷ì♥❣
1 − |z|
ù♥❣ s❛✉ ✤➙② ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✺ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✻ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❤➔♠ ❝❤✉➞♥
t➢❝✳
❍➺ q✉↔ ✷✳✼✳ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ✤➽❛ ✤ì♥ ✈à U ✈➔ E ⊂ C ❧➔
❈❤å♥ ❤➔♠ ϕ(|z|) =

♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝❤ù❛ ❜è♥ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳ ●✐↔ sû r➡♥❣
sup (1 − |z|)f # (z) < ∞,
z∈f −1 (E)

sup

(f )# (z) < ∞.

z∈∩f −1 (E\{∞})

❑❤✐ ✤â f ❧➔ ❤➔♠ ❝❤✉➞♥ t➢❝✳
❍➺ q✉↔ ✷✳✽✳ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ✤➽❛ ✤ì♥ ✈à U ✈➔ E ⊂ C ❧➔
t➟♣ ❝♦♥ ❝❤ù❛ ❜❛ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳ ●✐↔ sû r➡♥❣
sup (1 − |z|)f # (z) < ∞,
z∈f −1 (E)

sup (f )# (z) < ∞
z∈f −1 (E)

✈➔

1
(f )# (z) < ∞.
z∈f −1 (E) (1 − |z|)
sup

❑❤✐ ✤â f ❧➔ ❤➔♠ ❝❤✉➞♥ t➢❝✳
✷✳✷

✣à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ▲❛♣♣❛♥ ❝❤♦ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝

❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ▲❛♣♣❛♥ ✈î✐ ❜è♥
✤✐➸♠ ✈➔ ❜❛ ✤✐➸♠ ❝❤♦ ❤å ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ❑➳t q✉↔ ❝õ❛
❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤÷ s❛✉✳

❈❤♦ F ❧➔ ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ D ⊂ C. ●✐↔
sû r➡♥❣ ✈î✐ ♠é✐ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t K ⊂ D, tç♥ t↕✐ E = E(K) ⊂ C ❝❤ù❛ ❜è♥
✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✈➔ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣ M = M (K) s❛♦ ❝❤♦
max f # (z) ≤ M ✈➔
max
(f )# (z) ≤ M ✈î✐ ♠å✐ f ∈ F.
z∈K∩f (E)
z∈K∩f (E\{∞})
✣à♥❤ ❧þ ✷✳✾✳

−1

−1

õ ồ F t
ỵ F ồ tr D C.
sỷ r ợ ộ t t K D, tỗ t t E = E(K) C ự
t số ữỡ M = M (K) s
f # (z) M, (f )# (z) M (f )# (z) M
ợ ồ f F ợ ồ z K f 1(E). õ ồ F t
t

r ỵ f 1 (E) = , õ

f # (z) M, (f )# (z) M (f )# (z) M
ợ ồ f F ợ ồ z K f 1 (E) tỹ õ tứ ỵ
ú tổ ỵ t

F ồ tr D C.
sỷ r ợ ộ t t K D, tỗ t E = E(K) C ự ố
t số ữỡ M = M (K) s
ỵ

max
1

zKf

f # (z) M
(E)

|f (z)|
M
(E\{}) 1 + |f (z)|2

max
1

zKf

ợ ồ f F.

õ ồ F t
ỵ F ồ tr D C.
sỷ r ợ ộ t t K D, tỗ t t E = E(K) C ự
t số ữỡ M = M (K) s
f # (z) M,

|f (z)|
M
1 + |f (z)|2

|f (z)|
1 +
M
|f (z)|2

ợ ồ f F ợ ồ z K f 1(E). õ ồ F t
P ự t q s
ồ t ừ

n k số ữỡ a C \ {0}
F ồ tr D C ồ ổ õ
ở t t k. sỷ r f nf (k) a ổ trt t ợ ồ f F.
õ ồ F t tr D.

ỵ


✷✷

❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ▲❛♣♣❛♥ ✈î✐ ✤ó♥❣ ♠ët ✤✐➸♠✳
❚❤➟t ❧➔ t❤ó ✈à✱ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ❝❤♦ t❛ ♠ët ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✸
tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ f n f (k) − a ❝â ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠
tr♦♥❣ D.

❈❤♦ n, k ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦ n > k + 3 + k2 .
❈❤♦ F ❧➔ ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ D ⊂ C ♠➔ ♠å✐ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠
❜ë✐ ➼t ♥❤➜t k. ●✐↔ sû r➡♥❣ ✈î✐ ♠é✐ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t K ⊂ D, tç♥ t↕✐ a ∈ C \{0}
✈➔ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣ M = M (K) s❛♦ ❝❤♦
(f n f (k) )# (z) ≤ M ✈î✐ ♠å✐ f ∈ F ✈➔ ♠å✐ z ∈ K ∩ {f n f (k) = a}.
❑❤✐ ✤â ❤å F ❧➔ ❝❤✉➞♥ t➢❝✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✹✳