Đối ngẫu liên hợp cho bài toán tối ưu đa mục tiêu và ứng dụng

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CỈNG NGH› VI›T NAM

VI›N TON HÅC
TR†N V‹N THNG

ÈI NGˆU LI–N HÑP CHO B€I TON TẩI ìU
A MệC TIU V NG DệNG

Tai Lieu Chat Luong

Chuyản ng nh: To¡n Ùng dưng
M¢ sè: 62 46 01 12
LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC

H€ NËI-N‹M 2014


VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CỈNG NGH› VI›T NAM

VI›N TON HÅC
TR†N V‹N THNG

ÈI NGˆU LI–N HÑP CHO B€I TON TẩI ìU
A MệC TIU V NG DệNG
Chuyản ngnh: ToĂn ng dưng
M¢ sè: 62 46 01 12
LUŠN N TI˜N Sž TON HC
NGìI HìẻNG DN KHOA HC
1. TS. Phan Thiản ThÔch
2. GS. Ho ng Töy

H€ NËI-N‹M 2014


LI CAM OAN
Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi. CĂc kát quÊ
ny ữủc thỹc hiằn dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS. Phan Thiản ThÔch v
GS. Hong Tửy. CĂc kát quÊ trong luên Ăn viát chung vợi cĂc thƯy hữợng
dăn Ãu  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa cĂc thƯy khi ữa vo luên Ăn. CĂc số
liằu, kát quÊ nảu trong luên Ăn l trung thỹc v chữa tứng ữủc ai cổng
bố trong bĐt cự cổng trẳnh no khĂc.

TĂc giÊ
TrƯn Vôn Thưng

i


LI CM èN
Luên Ăn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh, chu Ăo, Ưy
trĂch nhiằm cừa TS. Phan Thiản ThÔch v GS. Hong Tửy.
TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy Phan Thiản ThÔch
và cổng lao ThƯy  tên tẳnh hữợng dăn trong suốt thới gian tĂc giÊ lm
viằc vợi ThƯy.
TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy Hong Tửy, ngữới
 tiáp tửc tên tẳnh cổng viằc hữợng dăn v giúp ù tĂc giÊ sau khi thƯy
Phan Thiản ThÔch b èm n°ng.
T¡c gi£ xin tr¥n trång c£m ìn PGS. TS. Trữỡng XuƠn ực H, GS.
TSKH. Vụ Ngồc PhĂt, GS. TSKH. Lả Dụng Mữu, PGS. TS. Bũi Thá
TƠm, GS. TSKH. Nguyạn ổng Yản, nhỳng ngữới  luổn tên tẳnh giúp
ù tĂc gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc Cao håc v  l m nghiản cựu sinh.

TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban lÂnh Ôo Viằn ToĂn hồc, Trung
tƠm o tÔo Sau Ôi hồc v têp th cĂn bở cổng nhƠn viản cừa Viằn
ToĂn hồc  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi cho t¡c gi£ trong thíi gian håc
Cao håc v  l m nghi¶n cùu sinh.
T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban hi»u trững trữớng Ôi hồc iằn
lỹc, Ban lÂnh Ôo S GiĂo dửc v o tÔo Bưc Giang, trữớng THPT
Bố HÔ, Yản Thá, Bưc Giang, cĂc thƯy cổ v ỗng nghiằp trong trữớng
THPT Bố HÔ v Khoa Khoa hồc cỡ bÊn trữớng Ôi hồc iằn lỹc.
Xin cĂm ỡn gia ẳnh, cĂc bÔn nghiản cựu sinh v bÔn b và sỹ khuyán
khẵch, giúp ù tĂc giÊ trong quĂ trẳnh hồc têp v nghi¶n cùu.

ii


TM TT
Luên Ăn ny trẳnh by mởt số kát quÊ và ối ngău liản hủp cho cĂc
bi toĂn tối ữu vổ hữợng v tối ữu a mửc tiảu v Ăp dửng cĂc kát quÊ
ối ngău ny  nghiản cựu mởt số bi toĂn trong kinh tá. Luên Ăn bao
gỗm 3 chữỡng.
Trong Chữỡng 1, chúng tổi nghiản cựu cĂc iÃu kiằn c trững cho
lợp hm thọa mÂn tẵnh phÊn xÔ v õng kẵn qua php bián ời tỹa liản
hủp, ữa ra khĂi niằm tỹa dữợi vi phƠn v chựng minh mởt số tẵnh chĐt
cừa tỹa dữợi vi phƠn.
Trong Chữỡng 2, chúng tổi trẳnh by lỵ thuyát ối ngău liản hủp cho
cĂc bi toĂn tối ữu vổ hữợng v tối ữu a mửc tiảu.
Trong Chữỡng 3, chúng tổi ựng dửng sỡ ỗ ối ngău liản hủp  nghiản
cựu mởt số bi toĂn trong kinh tá nhữ sau: bi toĂn vợi mởt rng buởc
phƠn bố nguỗn lỹc, bi toĂn vợi nhiÃu rng buởc phƠn bố nguỗn lỹc v
bi toĂn tối ữu khổng lỗi vợi cĂc rng buởc phƠn bố nguỗn lỹc.

iii


ABSTRACT
This thesis is devoted to the study of conjugate duality in scalar and
multiobjective optimization problems. The obtained results are applied
to study some optimization problems in economy.
The thesis consists of three chapters.
In Chapter 1 necessary and sufficient conditions are established for
the reflexivity and closedness of the quasi-conjugate transformation. Also
the concept of quasi-subgradient is introduced and some basic properties
of quasi-subgradient are proved.
In Chapter 2 the conjugate duality for scalar and multiobjective optimization problems is studied.
In Chapter 3 we apply the conjugate duality scheme to production
planning and optimization problems with one or multiple resource allocation constraints

iv


Mửc lửc
Mửc lửc

1

Mởt số kỵ hiằu

3

M Ưu

4

1 Php bián ời tỹa liản hủp

10

1.1

Mởt số kián thực chuân b . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2

Php bián ời tỹa liản hủp . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3

Tỹa dữợi vi phƠn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2 ối ngău liản hủp cho cĂc bi toĂn tối ữu

35

2.1

ối ngău liản hủp cho bi toĂn tối ữu vổ hữợng . . . . .

36

2.2

ối ngău liản hủp cho bi toĂn tối ữu a mửc tiảu . . . .

43

3 ng dửng
3.1

57

Bi toĂn vợi mởt rng buởc phƠn bố nguỗn lỹc

1

. . . . .

58


3.2

Bi toĂn vợi rng buởc phƠn bố nhiÃu nguỗn lỹc . . . . .

63

3.3

Tối ữu vợi cĂc rng buởc phƠn bố nguỗn lỹc . . . . . . .

67

3.4

Quy hoÔch hai cĐp v tối ữu ỡn iằu . . . . . . . . . . .

73

K¸t luên

77

Danh mửc cổng trẳnh cừa tĂc giÊ liản quan án luªn ¡n

78

T i li»u tham kh£o

79

2


Mởt số kỵ hiằu
R

têp cĂc số thỹc

R+

têp số thỹc khổng

N

têp cĂc số tỹ nhiản

Rn

khổng gian Euclide nchiÃu

Rn+

têp cĂc vctỡ khổng Ơm nchiÃu

Rn++

têp cĂc vctỡ dữỡng nchiÃu

aT x

tẵch vổ hữợng cừa hai vctỡ trong Rn

kxk

chuân cừa x Rn

{xn }

dÂy số thỹc hay dÂy vctỡ

N (x, X)

nõn vctỡ phĂp tuyán cừa têp X tÔi im x

f (x)

gradient cừa f tÔi x

f (x)

dữợi vi phƠn

\ f (x)

tỹa dữợi vi phƠn

intX

phƯn trong cừa têp X

cl(X)

bao õng cừa têp X

conv(X)

bao lỗi cừa têp X

co(X)
M

bao nõn lỗi cừa têp X

XE

têp nghiằm hỳu hiằu cừa bi toĂn tối ữu vctỡ

tờng trỹc tiáp

argmax{f (x) : x X} têp cĂc im cỹc Ôi cừa hm f (x) trản têp X

f\

hm tỹa liản hủp cừa f

F :XY

Ănh xÔ a tr tứ X vo Y

3


M Ưu
Theo G. Dantzig, lỵ thuyát ối ngău ữủc phọng oĂn bi J. V.
Neumann trong lỵ thuyát trỏ chỡi ngay sau khi G. Dantzig trẳnh by cĂc
vĐn à và quy hoÔch tuyán tẵnh ([18]). Nôm 1951, mởt chựng minh Ưy

ừ và ối ngău cho bi toĂn quy hoÔch tuyán tẵnh  ữủc cổng bố lƯn
Ưu bi A. W. Tucker v nhõm cừa ổng ([6]). Tứ õ lỵ thuyát ối ngău
 tr trnh mởt chữỡng quan trồng cừa lỵ thuyát tối ữu, cÊ và phữỡng
diằn lỵ thuyát lăn tẵnh toĂn v ùng dưng thüc t¸ v  thu hót nhi·u nh 
to¡n håc quan tƠm nghiản cựu, trong õ Ăng chú ỵ l c¡c cỉng tr¼nh cõa
A. W. Tucker ([6], [9]), R. T. Rockafellar ([15]), Y. Sawaragi ([17], [20])
v  ð Vi»t Nam l  c¡c cỉng tr¼nh cõa c¡c t¡c gi£ Ho ng Tưy ([3]), PhÔm
Hỳu SĂch ([16]), inh Thá Lửc ([10]), Phan Thiản ThÔch ([21]-[27]), Vụ
Ngồc PhĂt ([14]), Nguyạn nh ([5]), ... Ban Ưu lỵ thuyát ối ngău ữủc
xƠy dỹng cho cĂc bi toĂn tối ữu tuyán tẵnh bi A. W. Tucker v nhõm
cừa æng, sau â c¡c nh  to¡n håc ¢ mð rëng cho trữớng hủp phi tuyán,
tối ữu a mửc tiảu v cÊ trong tối ữu a tr. Lỵ thuyát ối ngău ữủc
ữa ra thỹc sỹ cõ ỵ nghắa v cõ nhiÃu ựng dửng khi nõ Êm bÊo ữủc
ối ngău mÔnh. Tuy nhiản, trong trữớng hủp tờng quĂt viằc cõ ữủc ối
ngău mÔnh l rĐt khõ khôn. Cho án nay cĂc nh toĂn hồc mợi ch ữa
ra ữủc ối ngău mÔnh cho mởt số lợp cĂc bi toĂn thọa mÂn mởt số
iÃu kiằn no õ.  cõ nhiÃu kát quÊ quan trồng và ối ngău cho cĂc
bi toĂn tối ữu, cĂc kát quÊ ny chừ yáu cõ ữủc dỹa trản lỵ thuyát èi
4


ngău Lagrange v ối ngău liản hủp dỹa vo cĂc php bián ời liản hủp
nhữ php bián ời liản hủp Fenchel, php bián ời tỹa liản hủp v mởt
số php bián ời liản hủp khĂc.
Vợi bi toĂn tối ữu vổ hữợng, cĂc nh toĂn hồc  thu ữủc ối ngău
mÔnh cho lợp cĂc bi toĂn tối ữu lỗi bi ối ngău Lagrange hay ối ngău
Fenchel nhữ cĂc kát cừa cĂc t¡c gi£: R. T. Rockafellar ([15]), H.W. Kuhn
v  A. W. Tucker ([9]), Ho ng Tưy ([3]). Trong tr÷íng hđp b i to¡n tối
ữu khổng lỗi, mởt số kát quÊ hay ữủc nõi án l cừa P. T. Thach ([21],
[22], [23]), [24]).

Vợi bi toĂn tối ữu a mửc tiảu, viằc thu ữủc ối ngău mÔnh tr
nản khõ khôn hỡn. Cho án nay cĂc phữỡng phĂp chừ yáu l dỹa trản lỵ
thuyát ối ngău Lagrange v ối ngău Fenchel bơng cĂch vổ hữợng hõa
hm mửc tiảu hay nhúng bi toĂn ban Ưu vo trong lợp cĂc bi toĂn tối
ữu ữủc nhiạu bi cĂc tham số. CĂc bi toĂn ối ngău ữủc xƠy dỹng
bi cĂc phữỡng phĂp trản thữớng l bi toĂn tối ữu vổ hữợng hay tối
ữu a tr, do õ sỡ ỗ ối ngău thu ữủc thữớng l khổng ối xựng ([8],
[17]). Ngoi ra, trong nhiÃu kát quÊ  cõ ối ngău mÔnh thẳ bi toĂn
ban Ưu phÊi l bi toĂn tối ữu lỗi ([17], [19], [20]).
Trong lỵ thuyát ối ngău liản hủp, bi toĂn ối ngău cừa mởt bi toĂn
gốc trong khổng gian X :

max(min){f (x)| A X}
ữủc xƠy dỹng trong khổng gian ối ngău X :

max(min){g(p)| A X ∗ },
trong â g l  h m li¶n hđp cõa f v A l têp liản hủp cừa A sao cho
hai bi toĂn liản quan cht ch vợi nhau, th hiằn qua viằc nghiản cựu
bi toĂn ối ngău s cung cĐp thỉng tin v· b i to¡n gèc hay º gióp cho
vi»c giÊi bi toĂn gốc dạ dng hỡn trong trữớng hủp tèt nh§t. Hi»n nay,
5


ối ngău liản hủp Fenchel ữủc sỷ dửng mởt cĂch rởng rÂi v phờ bián
trong tối ữu lỗi. ối vợi lợp cĂc bi toĂn tờng quĂt hỡn, mởt số kát quÊ
ữủc k ra Ơy l cừa Phan Thiản ThÔch, tĂc giÊ Â ữa ra ối ngău
mÔnh cho lợp cĂc bi toĂn tỹa lỗi dỹa trản php bián ời tỹa li¶n hđp
cõa h m f : Rn → R ∪ {±∞} ÷đc x¡c ành bði:

− inf{f (x) : pT x ≥ 1} n¸u p ∈ Rn \ {0}

H
f (p) =
− sup{f (x) : x ∈ Rn } n¸u p = 0.
C¡c kát quÊ ny  ữủc cổng bố trong cĂc cổng trẳnh ữủc nhiÃu ngữới
biát án ([21], [22], [23], [24]) v ữủc nhiÃu nh toĂn hồc trẵch dăn.
Tiáp tửc cĂc nghiản cựu cừa mẳnh và ối ngău liản hủp, nôm 2003, Phan
Thiản ThÔch Ăp dửng php bián ời tỹa liản hủp dÔng

f \ (p) =

1
sup{f (x) : pT x 1, x 0}

cho lợp cĂc bi toĂn quy hoÔch tuyán tẵnh v ch ra rơng bi toĂn ối
ngău cừa bi toĂn cỹc Ôi mởt hm tuyán tẵnh khổng giÊm trản têp lỗi
trong Rn+ l bi toĂn sÊn xuĐt Leontief. Chú ỵ rơng, trong trữớng hủp
tuyán tẵnh, bi toĂn ối ngău ữủc lêp bi lỵ thuyát ối ngău Lagrange
hay ối ngău Fenchel l  trịng nhau v  cơng l  b i to¡n quy hoÔch tuyán
tẵnh. Kát quÊ khĂc biằt ny giúp Phan Thiản ThÔch ch ra cĂc c trững
cho tẵnh phi dữ thứa trong bi toĂn sÊn xuĐt Leontief dỹa trản mối liản
hằ ối ngău giỳa nguyản liằu sÊn xuĐt v giĂ nguyản liằu, chng hÔn nhữ
sỹ tỗn tÔi giĂ c trững  ữa rng buởc ti nguyản và rng buởc ỡn
giÊn hỡn và vốn sÊn xuĐt. Kát quÊ v ựng dửng cừa sỡ ỗ ối ngău ny
ựng vợi trữớng hủp tuyán tẵnh  ữủc cổng bố trong [2] v [25]. Kát
quÊ m ¦u n y cán mð ra cho ta nhúng ùng dưng rởng hỡn.
Trong luên Ăn ny, chúng tổi trẳnh by mởt số kát quÊ mợi khi nghiản
cựu m rởng sỡ ỗ ối ngău liản hủp dỹa trản php bián ời tỹa liản
hủp  ữủc trẳnh by trong cĂc bi bĂo [2] v  [25] cho lỵp c¡c b i to¡n
6

rởng hỡn bao gỗm cĂc bi toĂn tối ữu vổ hữợng v tối ữu a mửc tiảu
phi tuyán, ỗng thới ựng dửng kát quÊ ối ngău  Ôt ữủc vo nghiản
cựu mởt số bi toĂn trong kinh tá. Luên Ăn bao gỗm 3 chữỡng.
Chữỡng 1 "Php bián ời tỹa liản hủp" nghiản cựu cĂc iÃu kiằn c
trững cho lợp hm thọa mÂn tẵnh phÊn xÔ v õng kẵn qua php bián
ời tỹa liản hủp. Kát quÊ ny giúp chúng ta thu ữủc tẵnh ối xựng cừa
ối ngău cho cp bi toĂn gốc-ối ngău s ữủc trẳnh by trong chữỡng
2. Nhên thĐy cĂc hm tuyán tẵnh khổng giÊm trản Rn+ v hm sÊn xuĐt
Leontief Ãu l nhỳng trữớng hủp riảng cừa lợp hm a diằn lóm thuƯn
nhĐt dữỡng v ỡn iằu tông trản Rn , chúng tổi  chựng minh ữủc
rơng lợp hm ny thọa mÂn tẵnh phÊn xÔ, õng kẵn qua php bián ời
tỹa liản hủp v Ơy l sỹ m rởng gƯn nhĐt cho lợp hm tuyán tẵnh Â
ữủc xt trữợc õ. Mởt kát quÊ m rởng hỡn cụng ữủc ữa ra khi chúng
tổi chựng minh ữủc rơng lợp c¡c h m nûa li¶n tưc tr¶n, tüa lãm v  ìn
i»u tông trản Rn+ l lợp hm tờng quĂt thọa mÂn tẵnh phÊn xÔ ối vợi
php bián ời tỹa liản hủp. Lợp cĂc hm ny bao hm phƯn lợn cĂc hm
sÊn xuĐt trong cĂc mổ hẳnh kinh tá, chng hÔn nhữ c¡c h m s£n xu§t
Leontief, Cobb-Douglas, Leontief mð rëng, Cobb-Douglas mð rëng ([4],
[7]), .... Ch÷ìng n y cơng ÷a ra kh¡i ni»m tỹa dữợi vi phƠn v chựng
minh mởt số tẵnh chĐt cừa tỹa dữợi vi phƠn  phửc vử cho viằc chựng
minh cĂc kát quÊ và ối ngău cĂc chữỡng sau.
Chữỡng 2 "ối ngău liản hủp cho cĂc bi toĂn tối ữu" trẳnh by iÃu
kiằn cƯn v ừ tối ữu dữợi dÔng nguyản lỵ Fermat m rởng cho bi toĂn
tối ữu vổ hữợng. Tứ nhỳng kát quÊ mợi và php bián ời tỹa liản hủp
 trẳnh by trong Chữỡng 1, chúng tổi ữa ra sỡ ỗ ối ngău liản hủp
cho lợp cĂc bi toĂn tối ữu vổ hữợng v tối ữu a mửc tiảu vợi giÊ thiát
mửc tiảu l cĂc hm a diằn lóm, thuƯn nhĐt dữỡng, ỡn iằu tông trản
Rn+ v tờng quĂt hỡn nỳa khi xt vợi cĂc h m mưc ti¶u ch¿ tüa lãm, li¶n
7

tửc v ỡn iằu tông cht trản Rn+ . Kát quÊ, chúng ta thu ữủc ối ngău
mÔnh, ối xựng v bi toĂn ối ngău cừa bi toĂn tối ữu a mửc tiảu
cụng l bi toĂn tối ữu a mửc tiảu. Ngo i ra, chóng tỉi cán ÷a ra ÷đc
¯ng thùc èi ngău giúp c trững cho cp nghiằm hỳu hiằu cừa cĂc bi
toĂn tối ữu a mửc tiảu gốc v ối ngău.
Chữỡng 3 "ng dửng" trẳnh by ựng dửng sỡ ỗ ối ngău liản hủp
vo nghiản cựu mởt số bi toĂn sÊn xuĐt trong kinh tá. Nhớ ối ngău
liản hủp chúng tổi chựng minh ữủc bi toĂn tẳm phữỡng Ăn sÊn xuĐt
vợi mởt rng buởc phƠn bố nguỗn lỹc (bi toĂn giÊi hằ phi tuyán) tữỡng
ữỡng vợi bi toĂn cỹc Ôi mởt hm lóm cht trản mởt a diằn lỗi. iÃu
ny giúp ch ra rơng bi toĂn vợi mởt rng buởc phƠn bố nguỗn lỹc
cõ mởt nghiằm duy nhĐt v ữủc giÊi bi bi toĂn tối ữu lỗi ỡn giÊn
hỡn. Bi toĂn m rởng tẳm phữỡng Ăn sÊn xuĐt vợi k (k > 1) rng buởc
phƠn bố nguỗn lỹc tữỡng ữỡng vợi bi toĂn tối ữu a mửc tiảu vợi cĂc
mửc tiảu l cĂc hm sÊn xuĐt Cobb-Douglas, kát quÊ ny giúp chúng ta
quy mởt lợp cĂc bi toĂn tối ữu khổng lỗi vợi cĂc rng buởc phƠn bố
nguỗn lỹc và bi toĂn tối ữu trản têp nghiằm hỳu hiằu Pareto cừa mởt
bi toĂn tối ữu a mửc tiảu. Bi toĂn ữủc quy và  ữủc nhiÃu tĂc
giÊ quan tƠm nghiản cựu v cõ th ữủc giÊi bi mởt số thuêt toĂn Â
biát ([11],[13], [22]). Bơng phữỡng phĂp tiáp cên nhữ trong b i b¡o [27]
cõa P. T. Thach, H. Konno v  D. Yokota, chúng tổi quy bi toĂn tối ữu
trản têp nghiằm hỳu hiằu Pareto và bi toĂn cỹc Ôi hm tỹa lỗi trản
mởt têp lỗi compưc trong Rk+ v do õ ta cõ th giÊi bi toĂn ny bơng
phữỡng phĂp xĐp x ngoi ([27]). Vợi phữỡng phĂp tiáp cên khĂc, dỹa
trản quy hoÔch hai cĐp v lỵ thuyát tối ữu ìn i»u cõa H. Tuy ([33]),
chóng tỉi ch¿ ra b i toĂn tối ữu vợi cĂc rng buởc phƠn bố nguỗn lỹc
tữỡng ữỡng vợi mởt bi toĂn cỡ bÊn cừa tối ữu ỡn iằu.
CĂc kát quÊ trong luên Ăn  ữủc bĂo cĂo v thÊo luên tÔi:

8


- Hởi ngh Tối ữu v Tẵnh toĂn khoa hồc, Ba Vẳ, H Nởi (2010).
- Hởi ngh Tối ữu v Tẵnh toĂn khoa hồc, Ba Vẳ, H Nởi (2011).
- Ôi hëi To¡n håc to n quèc, Nha Trang, Kh¡nh Háa (2013).
- Seminar cõa Pháng Tèi ÷u v  i·u khiºn, Vi»n To¡n håc, Vi»n H n
l¥m Khoa håc v  Cỉng ngh» Vi»t Nam.
- Hởi ngh nghiản cựu sinh hng nôm tÔi Viằn ToĂn håc, Vi»n H n
l¥m Khoa håc v  Cỉng ngh» Vi»t Nam.
C¡c kát quÊ chẵnh cừa luên Ăn  ữủc cổng bố tÔp chẵ Journal
of Mathematical Analysis and Applications, tÔp chẵ Journal of Global
Optimization v mởt bi bĂo  gỷi ông trản tÔp chẵ Acta Mathematica
Vietnamica.

9


Chữỡng 1
Php bián ời tỹa liản hủp
é chữỡng ny, sau mởt số kián thực chuân b, chúng tổi trẳnh by cĂc
kát quÊ  Ôt ữủc và iÃu kiằn  mởt hm thọa mÂn tẵnh phÊn xÔ
qua php bián ời tỹa liản hủp v chựng minh mởt số tẵnh chĐt cừa tỹa
dữợi vi phƠn.
Mửc 1.1 nhưc lÔi mởt số kián thực cỡ bÊn cừa GiÊi tẵch. Mửc 1.2 ữa
ra cĂc iÃu kiằn tờng quĂt  mởt hm số thọa mÂn tẵnh phÊn xÔ. KhĂi
niằm tỹa dữợi vi phƠn v mởt số tẵnh chĐt cừa khĂi niằm ny ữủc trẳnh
by trong mửc 1.3.
Nởi dung cừa Chữỡng ny dỹa trản cĂc kát quÊ và php bián ời tỹa
liản hủp, tỹa dữợi vi phƠn  ữủc cổng bố trản cĂc bi bĂo [28] v [30].

1.1 Mởt số kián thực chuân b
0

Trong luên Ăn ny, vợi hai vctỡ bĐt ký x = (x1 , x2 , ..., xn ), x =
0

0

0

0

0

0

(x1 , x2 , ..., xn ) Rn , kỵ hiằu x x (x < x ) ÷đc hiºu l  xi ≤ xi (xi <
0

xi ) vỵi måi i = 1, 2, ..., n.
10


Cho X l  mët tªp con trong khỉng gian Rn .

nh nghắa 1.1.1. Cho X l têp lỗi. Têp liản hủp dữợi cừa X l
X 0 = {p Rn+ | pT x 1 x X}.
Têp liản hủp tr¶n cõa X l 

X ∗ = {p ∈ Rn+ | pT x ≥ 1 ∀x ∈ X}.

ành ngh¾a 1.1.2. V²ctì y 6= 0 ÷đc gåi l  mët ph÷ìng lịi xa cừa têp
lỗi X náu {x + y| 0} X x X .
Têp tĐt cÊ cĂc phữỡng lũi xa cừa têp lỗi X cũng vợi vctỡ 0 lm thnh
mởt nõn lỗi (dạ chựng minh). Nõn lỗi Đy gồi l

nõn lũi xa cừa X.

nh nghắa 1.1.3. Têp con F cừa têp lỗi X ữủc gồi l mởt diằn

náu:

x, y ∈ X, (1 − λ)x + λy ∈ F, 0 < λ < 1 ⇒ [x, y] ⊂ F,
ð ¥y [x, y] = {z| z = λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1]}.

¿nh hay iºm cüc
bi¶n. Mët diằn cõ thự nguyản bơng 1 ữủc gồi l cÔnh. Hữợng cừa cÔnh
ữủc gồi l hữợng vổ hÔn cừa têp X.
Mởt diằn cõ thự nguyản bơng 0 ữủc gồi l mởt

nh nghắa 1.1.4. Têp X ữủc gồi l têp lỗi a diằn

náu X ữủc biu

diạn nhữ l giao cừa mởt số hỳu hÔn nỷa khổng gian õng.

Mằnh à 1.1.5. (xem [31]) Náu X l têp lỗi a diằn trong Rn v khổng

chựa trồn mởt ữớng thng no, thẳ têp X ữủc biu diạn dữợi dÔng l

tờng cừa tờ hủp lỗi cõa c¡c ¿nh v  tê hđp khỉng ¥m cõa c¡c hữợng vổ
hÔn cừa X.
Cho f : X R l mët h m sè b§t ký.
11


nh nghắa 1.1.6. Hm f ữủc gồi l lỗi trản têp lỗi X náu
f (x1 + (1 )x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ X, ∀λ ∈ [0; 1].

lãm tr¶n têp lỗi X náu f l lỗi trản X .
nh nghắa 1.1.7. Hm f ữủc gồi l lỗi cht trản têp lỗi X náu
Hm f ữủc gồi l

f (x1 + (1 − λ)x2 ) < λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) ∀x1 6= x2 ∈ X, ∀λ (0; 1).

lóm cht trản têp lỗi X náu f l lỗi cht trản X .
nh nghắa 1.1.8. Hm f ữủc gồi l tỹa lỗi trản têp lỗi X náu

Hm f ÷đc gåi l 

f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ max{f (x1 ); f (x2 )} ∀x1 , x2 X, [0; 1].

tỹa lóm trản têp lỗi X náu f l tỹa lỗi trản X .
Mằnh à 1.1.9. (xem [3]) Hm f tỹa lỗi trản têp lỗi X khi v ch khi
vợi mồi R têp mực dữợi {x X : f (x) } l têp lỗi. Hm
f tỹa lóm trản têp lỗi X khi v ch khi vợi mồi R têp mùc tr¶n
{x ∈ X : f (x) ≥ α} l  têp lỗi.
nh nghắa 1.1.10. Hm f ữủc gồi l lỗi a diằn náu trản ỗ th
Hm f ữủc gồi l

(epigraph) cừa hm f l têp lỗi a diằn. Hm f : Rn R ữủc gồi l

lóm a diằn

náu hm f l lỗi a diằn.

Dạ thĐy, hm f l lóm a diằn trản Rn khi v ch khi f ữủc biu
diạn dữợi dÔng

f (x) = min{(q i )T x αi : i = 1, 2, ..., s}
trong â q 1 ∈ Rn , q 2 ∈ Rn , ..., q s Rn khổng ỗng thới bơng 0 v

i ∈ R, i = 1, 2, ..., s.

ành ngh¾a 1.1.11. Hm f ữủc gồi l ỡn iằu tông trản X n¸u:
f (x1 ) ≤ f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 .
12


Hm f ữủc gồi l

ỡn iằu tông cht trản X n¸u:

f (x1 ) < f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ X, x1 < x2 .
H m f ÷đc gåi l 

ìn iằu giÊm (ỡn iằu giÊm cht) trản X náu f

ỡn iằu tông (ỡn iằu tông cht) trản X .
Trữớng hủp f l hm lóm a diằn, thuƯn nhĐt dữỡng v ỡn iằu

tông trản Rn thẳ f ữủc xĂc nh bi:

f (x) = min{(q i )T x : i = 1, 2, ..., s}
trong â q 1 ∈ Rn+ , q 2 ∈ Rn+ , ..., q s ∈ Rn+ khæng ỗng thới bơng 0.

nh nghắa 1.1.12. Hm f (x) ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi tÔi x0 X
náu lim inf
f (x) ≥ f (x0 ). H m f (x) ữủc gồi l
0
xx

nỷa liản tửc trản

tÔi

x0 X náu lim supf (x) ≤ f (x0 ). N¸u f l  nûa liản tửc dữợi (nỷa liản
xx0

tửc trản) tÔi mồi im thuởc X , thẳ f ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi (nỷa
liản tửc trản) trản X.

nh nghắa 1.1.13. Hm f (x) ữủc gồi l liản tửc tÔi x0 náu f (x)
ỗng thới l nỷa liản tửc trản v nỷa liản tửc dữợi tÔi x0 . Náu f liản tửc
tÔi mồi im thuởc X , thẳ f ữủc gồi l li¶n tưc ð tr¶n X.

M»nh · 1.1.14. (xem [31]) H m f (x) l nỷa liản tửc dữợi trản têp

õng X khi v  ch¿ khi vỵi måi α ∈ R têp mực dữợi {x X : f (x) }
l têp õng. Hm f (x) nỷa liản tửc trản trản X khi v ch khi vợi mồi
R têp mực trản {x X : f (x) } l têp õng.

Mằnh à 1.1.15. (xem [31]) Náu hm f (x) l nỷa liản tửc dữợi trản

têp compưc khĂc rộng X , thẳ f (x) Ôt giĂ tr nhọ nhĐt trản X . Náu hm
f (x) nỷa liản tửc trản trản têp compưc khĂc rộng X , thẳ f (x) Ôt giĂ
tr lợn nhĐt trản X .
13


Tiáp theo, chúng ta nhưc lÔi khĂi niằm hm cên trản (dữợi) cừa mởt
hồ cĂc hm cho trữợc. Xt hồ c¡c h m {fα : α ∈ I} x¡c ành tr¶n têp
lỗi X .

nh nghắa 1.1.16. Hm bao trản cừa hồ hm {f :
lỗi X ữủc nh nghắa bi f (x) := sup{f (x) : I}

bao dữợi

I} trản têp
x X . Hm

cừa hồ hm {f : I} trản têp lỗi X ữủc nh nghắa bði

g(x) := inf{fα (x) : α ∈ I} ∀x ∈ X .

nh lỵ 1.1.17. (xem [31]) Náu f liản tửc trản têp X vợi mồi I

v têp ch số I l hỳu hÔn, thẳ f (x) = max{fα(x) : α ∈ I} v  g(x) =
min{fα (x) : I} cụng liản tửc trản têp X.
nh lỵ 1.1.18. (xem [15]) Náu f l hm lỗi trản têp lỗi X vợi mồi

I , thẳ hm f (x) = max{f (x) : I} lỗi trản têp X . Náu f l hm
lóm trản têp lỗi X vợi mồi I , thẳ hm g(x) = min{f(x) : I}
lóm trản têp X.

nh nghắa 1.1.19. (xem [32]) Cho X l mởt têp con trong Rn+. Têp

chuân tưc (normal ) náu 0 x x, x X thẳ x X .
Têp X ữủc gồi l ối chuân tưc (conormal ) náu 0 ≤ x ≤ x , x ∈ X th¼
0

X ữủc gồi l

0

0

0

x X.
CĂc nh lỵ sau cho ta mối liản hằ giỳa tẵnh ỡn iằu tông cừa hm
số vợi tẵnh chuân tưc (ối chuân tưc) cừa têp mực.

nh lỵ 1.1.20. (xem [32]) Náu hm f (x) l nỷa liản tửc trản v ỡn
iằu tông trản Rn+, thẳ têp mùc tr¶n {x ∈ Rn+ : f (x) ≥ 1} l ối chuân
tưc v õng. Êo lÔi, náu X l têp ối chuân tưc v õng, thẳ tỗn tÔi
hm f (x) nỷa liản tửc trản v ỡn iằu tông trản Rn+ sao cho X = {x ∈
Rn+ : f (x) 1}.

nh lỵ 1.1.21. (xem [32]) Náu hm f (x) nỷa liản tửc dữợi v ỡn iằu
tông trản Rn+, thẳ têp mực dữợi {x Rn+ :

14

f (x) 1}

l chu©n t­c v 


õng. Êo lÔi, náu X l têp chuân tưc v õng, thẳ tỗn tÔi f (x) nỷa liản
tửc dữợi v ỡn iằu tông trản Rn+ sao cho X = {x ∈ Rn+ : f (x) ≤ 1}.
Sau cịng, chóng ta nhưc lÔi mởt số kián thực và GiÊi tẵch a tr.
Cho Ănh xÔ a tr F : X Rm .

nh nghắa 1.1.22. (xem [17]) nh xÔ a tr F ữủc gồi l nỷa liản
tửc dữợi

tÔi x0 náu vợi mồi dÂy {xk } Rn hởi tử tợi im x0 Ãu tỗn

tÔi dÂy {y k } Rm , y k ∈ F (xk ) sao cho y k → y 0 F (x0 ). Náu F nỷa
liản tửc dữợi tÔi mồi im thuởc X , thẳ F ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi
trản X.

nh nghắa 1.1.23. (xem [17]) nh xÔ a tr F ữủc gồi l nỷa liản
tửc trản

tÔi x0 náu {xk } Rn , xk → x0 , y k ∈ F (xk ) v  y k → y 0 , th¼

y 0 ∈ F (x0 ). Náu F nỷa liản tửc trản tÔi mồi im thuởc X , thẳ F ữủc
gồi l nỷa liản tửc trản trản X.

nh nghắa 1.1.24. (xem [17]) nh xÔ a tr F ữủc gồi l liản tửc

tÔi x0 náu F ỗng thới nỷa liản tửc dữợi v nỷa liản tửc trản tÔi x0 . Náu

F liản tửc tÔi mồi im thuởc X , thẳ F ữủc gồi l liản tửc trản X.

nh nghắa 1.1.25. (xem [17]) nh xÔ a tr F ữủc gồi l compưc Ãu
(uniformly

compact ) gƯn x0 X náu tỗn tÔi mởt lƠn cªn V

cõa x0 sao

cho cl(∪x∈V F (x)) l  tªp comp­c.
Cho Ănh xÔ a tr Q : U Rn xĂc ành bði:

Q(u) = {x ∈ V : g(x, u) ≤ 0},
trong â V l  mët tªp con trong Rn , U l  mët tªp con trong Rm v  g l 
h m v²ctì tø V × U v o Rs .

M»nh · 1.1.26. (xem [17], Mằnh à 2.2.1) Náu mội thnh phƯn cừa

hm vctỡ g l nỷa liản tửc dữợi trản têp V ì u v V õng, thẳ Q nỷa
liản tửc trản tÔi u.
15


M»nh · 1.1.27. (xem [17], M»nh · 2.2.2) N¸u méi thnh phƯn cừa

hm vctỡ g lỗi theo x khi cố nh u U v liản tửc trản têp Q(u) ì u;
V lỗi v tỗn tÔi mởt vctỡ x ∈ V sao cho g(x, u) < 0, th¼ Q nỷa liản tửc
dữợi tÔi u.

Xt hồ cĂc bi toĂn tối ữu vổ hữợng ữủc nhiạu bi tham số u

inf{f (x, u) : x ∈ Q(u)},
trong â f : Rn × U → R v  Q : U ⇒ Rn l  Ănh xÔ a tr bĐt ký.
Kỵ hiằu

w(u) = inf{f (x, u) : x Q(u)}.
nh lỵ sau cho ta biát và tẵnh liản tửc cừa Ănh xÔ w.

nh lỵ 1.1.28. (xem [17], nh lỵ 4.1.1) (i) Náu Q l Ănh xÔ nỷa liản

tửc dữợi tÔi u v f nỷa liản tửc trản trản têp Q(u) ì u, thẳ w nỷa liản
tửc trản tÔi u.

Náu Q l Ănh xÔ nỷa liản tửc trản tÔi u, compưc Ãu gƯn u v f
nỷa liản tửc dữợi trản Q(u) ì u, thẳ w l hm nỷa liản tửc dữợi tÔi u.
(ii)

1.2 Php bián ời tỹa liản hủp
PhƯn ny, chúng tổi ữa ra mởt số kát quÊ và php bián ời tỹa liản
hủp cừa hm f . Tứ Ơy cho án hát chữỡng ta luổn giÊ thiát rơng f (x)
l hm số khổng Ơm, nhên giĂ tr hỳu hÔn trản Rn+ v f (x) > 0 x > 0.
Nhữ trong [2], hm tỹa liản hủp cừa hm f ữủc nh nghắa nhữ sau.

nh nghắa 1.2.1. Hm f \ ữủc gồi l tỹa liản hủp cõa f n¸u
f \ (p) =

1
∀p ∈ Rn+
T

sup{f (x) : p x ≤ 1, x ≥ 0}
16


(quy ữợc

1
+

= 0).

Vẳ f (x) > 0 x > 0, sup{f (x) : pT x ≤ 1, x ≥ 0} > 0 ∀p ∈ Rn+ . Do
â, f \ nhªn giĂ tr hỳu hÔn trản Rn+ .
Tứ nh nghắa cừa php bián ời tỹa liản hủp chúng ta chựng minh
ữủc c¡c m»nh · sau.

M»nh · 1.2.2. Cho x ∈ Rn+ v p Rn+. Náu pT x 1, thẳ
(1.1)

f (x)f \ (p) ≤ 1.

Chùng minh. N¸u f (x) = 0, thẳ f (x)f \(p) = 0 1. Náu f (x) > 0, th¼
tø pT x ≤ 1 suy ra

f (x)f \ (p) = f (x)

1
0

sup{f (x ) :

pT x 0

0

≤ 1, x ≥ 0}

≤ f (x)

1
= 1.
f (x)

M»nh à 1.2.3. Náu f l hm thuƯn nhĐt dữỡng trản Rn+, thẳ f \ cụng
l hm thuƯn nhĐt dữỡng trản Rn+.

Chựng minh. Náu p = 0, thẳ vợi x0 > 0 ta câ pT (kx0) = 0 ≤ 1

∀k ∈ N

v  f (kx0 ) = kf (x0 ) → +∞ khi k → +∞. Suy ra

f \ (0) =

1
1
=
= 0.
sup{f (x) : x 0} +

Náu p 6= 0, thẳ vỵi måi θ > 0 ta câ

1 0
0
0
sup{f (x) : θpT x ≤ 1, x ≥ 0} = sup{f ( x ) : pT x ≤ 1, x ≥ 0}
θ
1
0
0
0
=
sup{f (x ) : pT x ≤ 1, x ≥ 0},
θ
do â, f \ (θp) = θf \ (p). Vªy, f \ thuƯn nhĐt dữỡng.

17


nh nghắa 1.2.4. Hm số f ữủc gồi l cõ tẵnh phÊn xÔ ối vợi php
bián ời tỹa liản hủp náu (f \ )\ = f , nghắa l:

f (x) =

sup{f \ (p)

1
∀x ∈ Rn+ .
T
: p x ≤ 1, p 0}

Tẵnh phÊn xÔ cừa f Êm bÊo cho sỡ ỗ ối ngău s ữủc trẳnh by
trong Chữỡng 2 v 3 l ối xựng, nghắa l náu lĐy ối ngău cừa bi toĂn
ối ngău thẳ ta ữủc bi toĂn gốc. Do õ, tẵnh phÊn xÔ cừa f l mởt
tẵnh chĐt quan trồng m chúng ta cƯn quan tƠm nghiản cựu. Sau Ơy,
chúng ta s thÊo luên và tẵnh phÊn xÔ cừa hm f v cĂc iÃu kiằn  f
cõ tẵnh chĐt quan trồng ny.
Trong trữớng hủp f l tuyán t½nh ta câ m»nh · sau.

M»nh · 1.2.5. (xem [25]) Cho f l hm tuyán tẵnh v ỡn iằu tông

trản Rn+, ÷đc x¡c ành bði

f (x) = cT x, c = (c1 , c2 , ..., cn ) > 0.

Khi õ, f cõ tẵnh phÊn xÔ v f \ l hm sÊn xuĐt Leontief xĂc nh trản
Rn+ :
f \ (p) = min{

pi
: i = 1, 2, ...n}
ci

∀p ∈ Rn+ .

K¸t qu£ n y ÷đc P. T. Thach chùng minh trong [25]. Tứ kát quÊ
ny, TS. Phan Thiản ThÔch  ch ra mối liản hằ ối ngău giỳa nguyản
liằu sÊn xuĐt v giĂ nguyản liằu trong bi toĂn sÊn xuĐt Leontief. Ngoi
ra, kát quÊ trản cụng ch ra rơng php bián ời tỹa liản hủp khổng õng
kẵn ối vợi lợp hm tuyán tẵnh, nghắa l f \ khổng cỏn tuyán tẵnh. iÃu

ny thúc ây chúng ta tẳm mởt lợp hm rởng hỡn thọa mÂn tẵnh õng
kẵn qua php bián ời tỹa liản hủp.
Nhên thĐy hm tuyán tẵnh, ỡn iằu tông v hm sÊn xuĐt Leontief
Ãu l cĂc trữớng hủp riảng cừa lợp cĂc hm lóm a diằn, thuƯn nhĐt
18


dữỡng v ỡn iằu tông trản Rn , chúng tổi  ch ra rơng lợp cĂc hm
lóm a diằn, thuƯn nhĐt dữỡng v ỡn iằu tông trản Rn thọa mÂn tẵnh
phÊn xÔ v õng kẵn qua php bián ời tỹa liản hủp. Kát quÊ ny ữủc
th hiằn nh lỵ sau Ơy.

nh lỵ 1.2.6. Náu f l hm lóm a diằn, thuƯn nhĐt dữỡng v ỡn

iằu tông trản Rn, thẳ h m tüa li¶n hđp cõa f cơng l  h m lãm a diằn,
thuƯn nhĐt dữỡng v ỡn iằu tông trản Rn. Hìn núa, (f \)\ = f .
Chùng minh. °t F = {x ∈ Rn+ :

f (x) ≥ 1}. V¼ f l hm a diằn lóm,

nản F l mởt têp lỗi a di»n. Gåi {y 1 , y 2 , ..., y r } l têp gỗm tĐt cÊ cĂc
nh cừa F . Dạ thĐy y i Rn+ , y i 6= 0

∀i = 1, 2, ..., r. V¼ f l hm liản

tửc, ỡn iằu tông trản Rn+ , nản F l têp ối chuân tưc trong Rn+ v do
õ Rn+ l  nân lịi xa cõa tªp F . Theo M»nh · 1.1.5, chóng ta câ

F = conv{y 1 , y 2 , ..., y r } + Rn+ .
°t

g(p) = min{(y i )T p : i = 1, 2, ..., r} ∀p ≥ 0.
B¥y gií, chóng ta s³ chùng minh f \ = g. Vẳ f thuƯn nhĐt dữỡng, nản f \
thuƯn nhĐt dữỡng (theo Mằnh à 1.2.3). t F ∗ = {p ∈ Rn+ : f \ (p) ≥ 1}.
Khi â

f \ (p) = max{γ ≥ 0 : p ∈ γF ∗ }.

19