Đối ngẫu liên hợp cho bài toán tối ưu đa mục tiêu và ứng dụng tt

❱■➏◆ ❍⑨◆ ▲❹▼ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❱⑨ ❈➷◆● ◆●❍➏ ❱■➏❚ ◆❆▼

❱■➏◆ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
❚❘❺◆ ❱❿◆ ❚❍➁◆●

✣➮■ ◆●❼❯ ▲■➊◆ ❍ÑP ❈❍❖ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➮■ ×❯
✣❆ ▼Ö❈ ❚■➊❯ ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆●
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❞ö♥❣
▼➣ sè✿ ✻✷ ✹✻ ✵✶ ✶✷
❚➶▼ ❚➁❚ ▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❍⑨ ◆❐■✲◆❿▼ ✷✵✶✹


▼ð ✤➛✉
❚❤❡♦ ●✳ ❉❛♥t③✐❣✱ ❧þ t❤✉②➳t ✤è✐ ♥❣➝✉ ✤÷ñ❝ ♣❤ä♥❣ ✤♦→♥ ❜ð✐ ❏✳ ❱✳ ◆❡✉✲
♠❛♥♥ tr♦♥❣ ❧þ t❤✉②➳t trá ❝❤ì✐ ♥❣❛② s❛✉ ❦❤✐ ●✳ ❉❛♥t③✐❣ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✈➜♥
✤➲ ✈➲ q✉② ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ◆➠♠ 1951✱ ♠ët ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➛② ✤õ ✈➲ ✤è✐
♥❣➝✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è ❧➛♥ ✤➛✉ ❜ð✐ ❆✳
❲✳ ❚✉❝❦❡r ✈➔ ♥❤â♠ ❝õ❛ æ♥❣✳ ❚ø ✤â ❧þ t❤✉②➳t ✤è✐ ♥❣➝✉ ✤➣ trð tr➔♥❤ ♠ët
❝❤÷ì♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t tè✐ ÷✉✱ ❝↔ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ❞✐➺♥ ❧þ t❤✉②➳t ❧➝♥
t➼♥❤ t♦→♥ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ t❤ü❝ t➳ ✈➔ t❤✉ ❤ót ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ q✉❛♥ t➙♠
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ tr♦♥❣ ✤â ✤→♥❣ ❝❤ó þ ❧➔ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❆✳ ❲✳ ❚✉❝❦❡r✱ ❘✳
❚✳ ❘♦❝❦❛❢❡❧❧❛r✱ ❨✳ ❙❛✇❛r❛❣✐ ✈➔ ð ❱✐➺t ◆❛♠ ❧➔ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝
❣✐↔ ❍♦➔♥❣ ❚ö②✱ P❤↕♠ ❍ú✉ ❙→❝❤✱ ✣✐♥❤ ❚❤➳ ▲ö❝✱ P❤❛♥ ❚❤✐➯♥ ❚❤↕❝❤✱ ❱ô
◆❣å❝ P❤→t✱ ◆❣✉②➵♥ ✣à♥❤✱ ✳✳✳ ❇❛♥ ✤➛✉ ❧þ t❤✉②➳t ✤è✐ ♥❣➝✉ ✤÷ñ❝ ①➙② ❞ü♥❣
❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜ð✐ ❆✳ ❲✳ ❚✉❝❦❡r ✈➔ ♥❤â♠ ❝õ❛ æ♥❣✱ s❛✉
✤â ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♣❤✐ t✉②➳♥✱ tè✐ ÷✉ ✤❛ ♠ö❝
t✐➯✉ ✈➔ ❝↔ tr♦♥❣ tè✐ ÷✉ ✤❛ trà✳ ▲þ t❤✉②➳t ✤è✐ ♥❣➝✉ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ r❛ t❤ü❝ sü ❝â
þ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❦❤✐ ♥â ✤↔♠ ❜↔♦ ✤÷ñ❝ ✤è✐ ♥❣➝✉ ♠↕♥❤✳ ❚✉②
♥❤✐➯♥✱ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ tê♥❣ q✉→t ✈✐➺❝ ❝â ✤÷ñ❝ ✤è✐ ♥❣➝✉ ♠↕♥❤ ❧➔ r➜t ❦❤â

❦❤➠♥✳ ❈❤♦ ✤➳♥ ♥❛② ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ♠î✐ ❝❤➾ ✤÷❛ r❛ ✤÷ñ❝ ✤è✐ ♥❣➝✉ ♠↕♥❤
❝❤♦ ♠ët sè ❧î♣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t❤ä❛ ♠➣♥ ♠ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥➔♦ ✤â✳ ✣➣ ❝â
♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣ ✈➲ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉✱ ❝→❝ ❦➳t q✉↔
♥➔② ❝❤õ ②➳✉ ❝â ✤÷ñ❝ ❞ü❛ tr➯♥ ❧þ t❤✉②➳t ✤è✐ ♥❣➝✉ ▲❛❣r❛♥❣❡ ✈➔ ✤è✐ ♥❣➝✉
❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❞ü❛ ✈➔♦ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ♥❤÷ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❧✐➯♥ ❤ñ♣
✶


ờ tỹ ủ ởt số ờ ủ
ợ t tố ữ ổ ữợ t ồ t ữủ ố
ợ t tố ữ ỗ ố r ố
ữ t ừ t r
r ử r trữớ ủ t tố ữ ổ ỗ ởt số
t q ữủ õ ừ P
ợ t tố ữ ử t t ữủ ố tr
õ ỡ ữỡ ừ ỹ tr ỵ
tt ố r ố ổ ữợ õ
ử t ú t tr ợ t tố
ữ ữủ t số t ố ữủ ỹ
ữỡ tr tữớ t tố ữ ổ ữợ tố ữ
tr õ sỡ ỗ ố t ữủ tữớ ổ ố ự r
tr t q õ ố t t
t tố ữ ỗ
r ỵ tt ố ủ t ố ừ ởt t
ố tr ổ X
max(min){f (x)| A X}

ữủ ỹ tr ổ ố X
max(min){g(p)| A X },

tr õ g ủ ừ f A t ủ ừ A s
t q t ợ t q ự
t ố s tổ t t ố ú
t ố ỡ tr trữớ ủ tốt t ố
ủ ữủ sỷ ử ởt rở r ờ tr
tố ữ ỗ ố ợ ợ t tờ qt ỡ ởt số t q ữủ
r ừ P t ữ r ố



ợ t tỹ ỗ ỹ tr ờ tỹ ủ ừ
f : Rn R {} ữủ

inf{f (x) : pT x 1} p Rn \ {0}
H
f (p) =
sup{f (x) : x Rn } p = 0.
t q ữủ ổ ố tr ổ tr ữủ ữớ
t ữủ t ồ tr tử ự
ừ ố ủ P ử
ờ tỹ ủ
1

f (p) =
{sup{f (x) : pT x 1, x 0}
ợ t q t t r r t ố
ừ t ỹ ởt t t ổ tr t ỗ tr Rn+
t s t t ú ỵ r tr trữớ ủ t t
t ố ữủ ỵ tt ố r ố
trũ ụ t q t t t q

t ú P r trữ t ữ
tứ tr t s t t ỹ tr ố ố ỳ
s t ữ sỹ tỗ t
trữ ữ r ở t r ở ỡ ỡ ố s
t t q ỏ r t ỳ ự ử rở ỡ
r ú tổ tr ởt số t q ợ
ự rở sỡ ỗ ố ủ ỹ tr ờ tỹ ủ
ợ t rở ỡ ỗ t tố ữ ổ
ữợ tố ữ ử t t ỗ tớ ự ử t q ố
t ữủ ự ởt số t tr t
ỗ ữỡ
ữỡ P ờ tỹ ủ ự
trữ ợ tọ t õ q



ờ tỹ ủ t q ú ú t t ữủ t ố ự ừ
ố t ốố s ữủ tr tr ữỡ
t t t ổ tr Rn+ s t
t ỳ trữớ ủ r ừ ợ ó t
t ữỡ ỡ t tr Rn ú tổ ự ữủ r
ợ tọ t õ q ờ tỹ
ủ sỹ rở t ợ t t ữủ t
trữợ õ ởt t q rở ỡ ụ ữủ ữ r ú tổ ự
ữủ r ợ ỷ tử tr tỹ ó ỡ t
tr Rn ợ tờ qt tọ t ố ợ
ờ tỹ ủ ợ ợ s t
tr ổ t ữ s t t
s t rở s rở ữỡ
ụ ữ r tỹ ữợ ự ởt số t t

ừ tỹ ữợ ử ử ự t q ố
ữỡ s
ữỡ ố ủ t tố ữ tr
ừ tố ữ ữợ rở ừ ỵ rt
t tố ữ ổ ữợ ứ ỳ t q ợ ờ tỹ ủ
tr tr ữỡ ú tổ ữ r sỡ ỗ ố ủ
ợ t tố ữ ổ ữợ tố ữ ử t ợ tt ử
t ó t t ữỡ ỡ t tr Rn
tờ qt ỡ ỳ t ợ ử t tỹ ó tử
ỡ t t tr Rn+ t q ú t t ữủ ố
ố ự t ố ừ t tố ữ ử t ụ
t tố ữ ử t r ú tổ ỏ ữ r ữủ tự
ố ú trữ ỳ ừ t tố ữ
ử t ố ố



❈❤÷ì♥❣ ✸ ✧Ù♥❣ ❞ö♥❣✧ tr➻♥❤ ❜➔② ù♥❣ ❞ö♥❣ sì ✤ç ✤è✐ ♥❣➝✉ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✈➔♦
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ s↔♥ ①✉➜t tr♦♥❣ ❦✐♥❤ t➳✳ ◆❤í ✤è✐ ♥❣➝✉ ❧✐➯♥ ❤ñ♣
❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥ s↔♥ ①✉➜t ✈î✐ ♠ët r➔♥❣
❜✉ë❝ ♣❤➙♥ ❜è ♥❣✉ç♥ ❧ü❝ ✭❜➔✐ t♦→♥ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤✐ t✉②➳♥✮ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ❜➔✐
t♦→♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ♠ët ❤➔♠ ❧ã♠ ❝❤➦t tr➯♥ ♠ët ✤❛ ❞✐➺♥ ❧ç✐✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❣✐ó♣ ❝❤➾ r❛
r➡♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✈î✐ ♠ët r➔♥❣ ❜✉ë❝ ♣❤➙♥ ❜è ♥❣✉ç♥ ❧ü❝ ❝â ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❞✉②
♥❤➜t ✈➔ ✤÷ñ❝ ❣✐↔✐ ❜ð✐ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❧ç✐ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❤ì♥✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♠ð rë♥❣
t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥ s↔♥ ①✉➜t ✈î✐ k ✭k > 1✮ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ♣❤➙♥ ❜è ♥❣✉ç♥ ❧ü❝ t÷ì♥❣
✤÷ì♥❣ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉ ✈î✐ ❝→❝ ♠ö❝ t✐➯✉ ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ s↔♥
①✉➜t ❈♦❜❜✲❉♦✉❣❧❛s✱ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ❣✐ó♣ ❝❤ó♥❣ t❛ q✉② ♠ët ❧î♣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥
tè✐ ÷✉ ❦❤æ♥❣ ❧ç✐ ✈î✐ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ♣❤➙♥ ❜è ♥❣✉ç♥ ❧ü❝ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉
tr➯♥ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ P❛r❡t♦ ❝õ❛ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉✳ ❇➔✐
t♦→♥ ✤÷ñ❝ q✉② ✈➲ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❝â t❤➸

✤÷ñ❝ ❣✐↔✐ ❜ð✐ ♠ët sè t❤✉➟t t♦→♥ ✤➣ ❜✐➳t✳ ❇➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t✐➳♣ ❝➟♥ ❝õ❛
P✳ ❚✳ ❚❤↕❝❤✱ ❍✳ ❑♦♥♥♦ ✈➔ ❉✳ ❨♦❦♦t❛✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ q✉② ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ tr➯♥
t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ P❛r❡t♦ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ❤➔♠ tü❛ ❧ç✐ tr➯♥ ♠ët t➟♣
❧ç✐ ❝♦♠♣➢❝ tr♦♥❣ Rk+ ✈➔ ❞♦ ✤â t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ①➜♣ ①➾ ♥❣♦➔✐✳ ❱î✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t✐➳♣ ❝➟♥ ❦❤→❝✱ ❞ü❛ tr➯♥ q✉② ❤♦↕❝❤
❤❛✐ ❝➜♣ ✈➔ ❧þ t❤✉②➳t tè✐ ÷✉ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ ❍♦➔♥❣ ❚ö②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤➾ r❛ ❜➔✐
t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈î✐ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ♣❤➙♥ ❜è ♥❣✉ç♥ ❧ü❝ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ♠ët ❜➔✐
t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ tè✐ ÷✉ ✤ì♥ ✤✐➺✉✳
❈→❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❜→♦ ❝→♦ ✈➔ t❤↔♦ ❧✉➟♥ t↕✐✿
✲ ❍ë✐ ♥❣❤à ❚è✐ ÷✉ ✈➔ ❚➼♥❤ t♦→♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ❇❛ ❱➻✱ ❍➔ ◆ë✐ ✭✷✵✶✵✮✳
✲ ❍ë✐ ♥❣❤à ❚è✐ ÷✉ ✈➔ ❚➼♥❤ t♦→♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ❇❛ ❱➻✱ ❍➔ ◆ë✐ ✭✷✵✶✶✮✳
✲ ✣↕✐ ❤ë✐ ❚♦→♥ ❤å❝ t♦➔♥ q✉è❝✱ ◆❤❛ ❚r❛♥❣✱ ❑❤→♥❤ ❍á❛ ✭✷✵✶✸✮✳
✲ ❙❡♠✐♥❛r ❝õ❛ P❤á♥❣ ❚è✐ ÷✉ ✈➔ ✣✐➲✉ ❦❤✐➸♥✱ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ❱✐➺♥ ❍➔♥
❧➙♠ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❈æ♥❣ ♥❣❤➺ ❱✐➺t ◆❛♠✳
✺


✲ ❍ë✐ ♥❣❤à ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s✐♥❤ ❤➔♥❣ ♥➠♠ t↕✐ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ❱✐➺♥ ❍➔♥ ❧➙♠
❑❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❈æ♥❣ ♥❣❤➺ ❱✐➺t ◆❛♠✳
❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è ð t↕♣ ❝❤➼ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢
▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ t↕♣ ❝❤➼ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ●❧♦❜❛❧ ❖♣t✐✲
♠✐③❛t✐♦♥ ✈➔ ♠ët ❜➔✐ ❜→♦ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❣û✐ ✤➠♥❣✳

✻


❈❤÷ì♥❣ ✶
P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tü❛ ❧✐➯♥ ❤ñ♣
Ð ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ s❛✉ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝
❦➳t q✉↔ ✤➣ ✤↕t ✤÷ñ❝ ✈➲ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ♠ët ❤➔♠ t❤ä❛ ♠➣♥ t➼♥❤ ♣❤↔♥ ①↕ ✈➔

❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ tü❛ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✶❪ ✈➔ ❬✸❪ tr♦♥❣ ❞❛♥❤
♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔✳

✶✳✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✷ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tü❛ ❧✐➯♥ ❤ñ♣
P❤➛♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tü❛ ❧✐➯♥
❤ñ♣ ❝õ❛ ❤➔♠ f ✳ ❚ø ✤➙② ❝❤♦ ✤➳♥ ❤➳t ❝❤÷ì♥❣ t❛ ❧✉æ♥ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ f (x) ❧➔
❤➔♠ sè ❦❤æ♥❣ ➙♠✱ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ❤ú✉ ❤↕♥ tr➯♥ Rn+ ✈➔ f (x) > 0 ∀x > 0✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ tü❛ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ f ♥➳✉
f (p) =

1
sup{f (x) :

pT x
✼

≤ 1, x ≥ 0}

∀p ∈ Rn+


1
✭q✉② ÷î❝ +∞
= 0✮✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✳ ❈❤♦ x ∈ Rn+ ✈➔ p ∈ Rn+✳ ◆➳✉ pT x ≤ 1✱ t❤➻

✭✶✳✶✮

f (x)f (p) ≤ 1.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✹✳ ❍➔♠ sè f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝â t➼♥❤ ♣❤↔♥ ①↕ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣

❜✐➳♥ ✤ê✐ tü❛ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ♥➳✉ (f )
f (x) =

= f✱

♥❣❤➽❛ ❧➔✿

1
∀x ∈ Rn+ .
T
sup{f (p) : p x ≤ 1, p ≥ 0}

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✻✳ ◆➳✉ f ❧➔ ❤➔♠ ❧ã♠ ✤❛ ❞✐➺♥✱ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❞÷ì♥❣ ✈➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉

t➠♥❣ tr➯♥ Rn✱ t❤➻ ❤➔♠ tü❛ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ f ❝ô♥❣ ❧➔ ❤➔♠ ❧ã♠ ✤❛ ❞✐➺♥✱ t❤✉➛♥
♥❤➜t ❞÷ì♥❣ ✈➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ tr➯♥ Rn✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ (f ) = f ✳

❑➳t q✉↔ ✤÷ñ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ tr♦♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✻ ❧➔ sü ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣
❜✐➳♥ ✤ê✐ tü❛ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝❤♦ ❧î♣ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ð ❜➔✐ ❜→♦
❬✶❪ tr♦♥❣ ❞❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✽✳ ❍➔♠ f ❧➔ tü❛ ❧ã♠ ✈➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ tr➯♥ Rn+✳
✣à♥❤ ❧þ s❛✉ ❝❤♦ t❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tê♥❣ q✉→t ✤➸ ♠ët ❤➔♠ sè t❤ä❛ ♠➣♥ t➼♥❤
♣❤↔♥ ①↕ q✉❛ ♣❤➨♣ tü❛ ❧✐➯♥ ❤ñ♣✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✶✵✳ ◆➳✉ f ❧➔ ❤➔♠ tü❛ ❧ã♠✱ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✈➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉
t➠♥❣ tr➯♥ Rn+✱ t❤➻ f ❝â t➼♥❤ ♣❤↔♥ ①↕ q✉❛ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tü❛ ❧✐➯♥ ❤ñ♣✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶✶✳ ◆➳✉ f ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ Rn+✱ t❤➻ f ♥û❛ ❧➯♥ tö❝ tr➯♥ t↕✐ ♠å✐

p ≥ 0 ✈➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ t↕✐ ♠å✐ p > 0.
❑þ ❤✐➺✉ Fγ ✈➔ F ∗γ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ♠ù❝ tr➯♥ ❝õ❛ f ✈➔ f t↕✐ γ > 0✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶✷✳ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝✱ tü❛ ❧ã♠ ✈➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ ❝❤➦t
tr➯♥ Rn+✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ γ > 0 s❛♦ ❝❤♦ Fγ = ∅, F ∗ ✈➔ Fγ ❧➔ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ tr➯♥
❝õ❛ ♥❤❛✉✳
1
γ

✽


ỹ ữợ
r ỹ tố ữ t tố ữ ổ
ỗ ú tổ ữ r tỹ ữợ rt ự ởt số
t t ử ử tt t q tr ữỡ s
tỡ p Rn+ ữủ ồ tỹ ữợ rt ừ f t
x
pT x = 1 f (x)f (p) 1.
ỗ tỹ ữợ rt ừ f t x ữủ ồ tỹ ữợ
ừ f t x ỵ f (x)
ỵ f tử tỹ ó ỡ t t tr Rn+
õ f (x) t ỗ rộ t ồ x > 0 r
p f (x) x f (p).

f tử tỹ ó ỡ t t tr

Rn+

t ừ p f (x) pT x = 1 pT z 1 z Ff (x)
f tử tỹ ó ỡ t t

tr Rn+ õ ợ ồ x > 0 ú t õ
p (f (x)) \ {0}

1
p f (x),
pT x

tr õ (f (x)) t ữợ ừ f t x
f tử tỹ ó ỡ t t
tr Rn+ f t x > 0 tọ f (x) = 0 t
1
f (x)T x

f (x) f (x),

tr õ f (x) rt ừ f t x




❈❤÷ì♥❣ ✷
✣è✐ ♥❣➝✉ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥
tè✐ ÷✉
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② sì ✤ç ✤è✐ ♥❣➝✉ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉
❦❤æ♥❣ ❧ç✐ ❜❛♦ ❣ç♠ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈æ ❤÷î♥❣ ✈➔ tè✐ ÷✉ ✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉✳
❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ ✤è✐ ♥❣➝✉ ②➳✉ ✈➔ ♠↕♥❤ ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ r❛ ❝ò♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ✤➥♥❣
t❤ù❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝❤♦ ❝➦♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✶❪ ✈➔ ❬✸❪ tr♦♥❣ ❞❛♥❤
♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔✳

✷✳✶ ✣è✐ ♥❣➝✉ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈æ ❤÷î♥❣
❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ tè✐ ÷✉ ❞÷î✐ ❞↕♥❣
♥❣✉②➯♥ ❧þ ❋❡r♠❛t ♠ð rë♥❣ ✈➔ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈æ ❤÷î♥❣ s❛✉
✤➙②✳
max{f (x) : x ∈ X},
✭✷✳✶✮
tr♦♥❣ ✤â f ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝✱ tü❛ ❧ã♠✱ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ ❝❤➦t✱ ❤ú✉ ❤↕♥✱ ❦❤æ♥❣
➙♠ tr➯♥ Rn+❀ X ❧➔ t➟♣ ❝❤✉➞♥ t➢❝✱ ❧ç✐✱ ❝♦♠♣➢❝ ✈î✐ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣
✶✵


tr Rn+

ỵ ừ x X tố ữ ừ
t

0 f (x) N (x, X).



P ủ ữợ ừ X t ố ừ t
ữủ ữ s
max{f (p) : p P }.

X P ủ ữợ ừ ỗ tớ f tọ t
t ụ t ố ừ õ
sỡ ỗ ố ú t ữ r tọ t ố ự
ỵ ợ ồ x X p P t õ f (x)f (p) 1.
ố ữủ t tr ỵ s
ỵ x X p P õ x tố ữ ừ

p tố ữ ừ
f (x)f (p) = 1.


t ỵ ố t
tr trữớ ủ f ó t t ữỡ ỡ
t tr Rn+ ữủ ú tổ ự ởt ỡ ỡ tr
tr ử ổ tr ừ t

ứ t q ừ ỵ ú t õ t õ tự ố
t õ ú t õ ố
ợ t tố ữ ổ ỗ t
q x X p P õ x tố ữ ừ
p tố ữ ừ
p f (x).



ố ủ t tố ữ ử
t
max(f1 (x), f2 (x), ..., fk (x))



x X.

tr õ fi :

Rn R X

ởt t tr Rn.

sỷ Rn t ừ ổ Rn , i = 1, 2, ..., k (k 1)
i

k
n

R ni ,

R =
i=1

tr õ n = ki=1 ni ni 1 i = 1, 2, ..., k. t x = (x1, x2, ..., xk )
tr õ xi Rn+ ợ ồ i = 1, 2, ..., k ứ t ữỡ
ú t ổ t t ợ tt fi(x) = fi(xi) fi
ỳ tr Rn+ tọ t tử tỹ ó ỡ t t
t fi(xi) > 0 xi Rn++ i = 1, 2, ..., k X t t ỗ
õ tr rộ tr Rn+ fi tử tr Rn+ ợ
ồ i = 1, 2, ..., k X t t õ ỳ

i

i

i

i

t ố ừ ữủ

max(f1 (p1 ), f2 (p2 ), ..., fk (pk ))
p = (p1 , p2 , ..., pk ) P, pi Rn+i , i = 1, 2, ..., k,

tr õ fi tỹ ủ ừ fi tr Rn+ ợ ồ i = 1, 2, ..., k P
ủ ữợ ừ X. t ố ữủ fi ỷ tử
i




tr➯♥ ð tr➯♥ Rn+ ✈î✐ ♠å✐ i = 1, 2, ..., k ✈➔ P ❝♦♠♣➢❝✳ ❉♦ X ❝ô♥❣ ❧➔ ❧✐➯♥ ❤ñ♣
❞÷î✐ ❝õ❛ P ✈➔ fi ♣❤↔♥ ①↕ ✈î✐ ♠å✐ i = 1, 2, ..., k✱ ♥➯♥ sì ✤ç ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤♦
❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉ ❧➔ ✤è✐ ①ù♥❣✳
i

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✶✵✳ ❱î✐ ♠å✐ x ∈ X ✈➔ p ∈ P ✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
k

fi (xi )fi (pi ) ≤ 1.

✭✷✳✼✮

i=1

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✶✶✳ ❈❤♦ x ∈ X ✈➔ p ∈ P ✳ ◆➳✉ ❝➦♣ (x, p) t❤ä❛ ♠➣♥ ✤➥♥❣

t❤ù❝

k

fi (xi )fi (pi ) = 1,

✭✷✳✽✮

i=1

t❤➻ x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ P❛r❡t♦ ❝õ❛ ✭✷✳✺✮ ✈➔ p ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉
P❛r❡t♦ ❝õ❛ ✭✷✳✻✮✳

❈❤ó♥❣ t❛ ❝â ✤à♥❤ ❧þ ✤è✐ ♥❣➝✉ ♠↕♥❤ s❛✉✳
✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✶✹✳ ◆➳✉ x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ P❛r❡t♦ ❝õ❛ ✭✷✳✺✮✱ t❤➻ tç♥
t↕✐ ✈➨❝tì p ∈ P s❛♦ ❝❤♦ (x, p) t❤ä❛ ♠➣♥ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✽✮✳ ❚÷ì♥❣ tü✱ ♥➳✉ p
❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ P❛r❡t♦ ❝õ❛ ✭✷✳✻✮✱ t❤➻ tç♥ t↕✐ ✈➨❝tì x ∈ X s❛♦ ❝❤♦
(x, p) t❤ä❛ ♠➣♥ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✽✮✳
◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳✶✺✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ fi ❧➔ ❤➔♠ ✤❛ ❞✐➺♥✱ ❧ã♠✱ t❤✉➛♥ ♥❤➜t
✈➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ tr➯♥ Rn ✈î✐ ♠å✐ i = 1, 2, ..., k✱ t❤➻ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✶✹ ❝â t❤➸
✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤➾ ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❝æ♥❣ ❝ö ❝õ❛ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❧ç✐✳
i

❑➳t q✉↔ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✶✹ ✈➔ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✶✶ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ✭✷✳✽✮ ❧➔ ✤➥♥❣
t❤ù❝ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❣✐ó♣ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝❤♦ ❝➦♣ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ P❛r❡t♦ ❝❤♦ ❝→❝
❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉ ✭✷✳✺✮ ✈➔ ✭✷✳✻✮✳ ❉♦ ✤â✱ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✶✹ ✤÷ñ❝ ①❡♠
❧➔ ✤à♥❤ ❧þ ✤è✐ ♥❣➝✉ ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉ ♥➔②✳

✶✸


❈❤÷ì♥❣ ✸

Ù♥❣ ❞ö♥❣
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ù♥❣ ❞ö♥❣ sì ✤ç ✤è✐ ♥❣➝✉ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✤÷ñ❝
tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ s↔♥ ①✉➜t tr♦♥❣
❦✐♥❤ t➳✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❞ü❛ tr➯♥ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✷❪ tr♦♥❣ ❞❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣
tr➻♥❤ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔✳

✸✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ✈î✐ ♠ët r➔♥❣ ❜✉ë❝ ♣❤➙♥ ❜è ♥❣✉ç♥ ❧ü❝
❈❤♦ m ✈➨❝tì ai ∈ Rn++,

i = 1, . . . , m

✈➔ α ∈ Rn+ s❛♦ ❝❤♦
n

αji

> 0 ∀j = 1, . . . , n;

αj = 1.
j=1

✶✹

✭✸✳✶✮


t t t tỡ x Rn+ p Rn+ tọ tự
t tự s
m

m
i

i a , i 0 i = 1, 2, . . . , m,

x=
i=1

i = 1,
i=1

T i

pj 0 j = 1, 2, . . . , n, p a 1 i = 1, 2, . . . , m,
pj xj = j j = 1, 2, . . . , n.





t õ t tr t ở ừ ởt ổ
t õ m s t n s t
ởt ỗ ỹ t õ tờ ữủ ố
sỷ ai minj=1,...,n aij > 0 tỡ trữ ỹ ừ
tự i tự i t ổ st õ t s t
ữủ aij ỡ õ tự j j = 1, . . . , n ố pj t ỗ ỹ
ữủ ố s t ởt ỡ õ tự j xj tờ
ữủ õ tự j s t ổ t õ pj xj tờ
ỗ ỹ ữủ ố s t õ tự j tự ố

s t ữủ õ tự j tr tr t
trữớ tt r pj xj = j , j = 1, . . . , n, tr õ 1, . . . , n
số trữợ t t r t ởt ữỡ t ở t
tự t ởt tỡ (x, p) Rn+ ì Rn+, tọ tỡ
ữủ ồ tỡ ố ỗ ỹ
ỵ X t tỡ x Rn+ tọ P t
tỡ p Rn+ tọ t X P ỗ
ừ tỡ (x, p) X ì P tọ
tự tự t
t ổ ỡ t s
r r tữỡ ữỡ ợ ởt t tố ữ ỗ
r t ỏ r r õ ởt ớ t (x, p) X ì P



✣➦t

n

n
α
xj j ,

f (x) =
j=1

α

pj j .

g(p) =

✭✸✳✺✮

j=1

❳➨t ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥
max{f (x) : x ∈ X},
max{g(p) : p ∈ P }.

✭✸✳✻✮
✭✸✳✼✮

❱î✐ x > 0 ✈➔ p > 0✱ ✤➦t
1
∇f (x),
∇f (x)T x
1
˜
∇g(p)
=
∇g(p),
∇g(p)T p

˜ (x) =
∇f

tr♦♥❣ ✤â ∇f (x) ❧➔ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ f t↕✐ x✱ ∇g(p) ❧➔ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ g t↕✐ p✳
✣à♥❤ ❧þ s❛✉ ❝❤♦ t❤➜② r➡♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✻✮ ✈➔ ✭✸✳✼ ✮ ❧➔ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛
♥❤❛✉✳

˜ (x) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠
✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✳✸✳ ◆➳✉ x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✻✮✱ t❤➻ ∇f
˜
❝õ❛ ✭✸✳✼✮✳ ✣↔♦ ❧↕✐✱ ♥➳✉ p ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✸✳✼✮✱ t❤➻ ∇g(p)
❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐
t♦→♥ ✭✸✳✻✮✳
✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✳✹✳ ◆➳✉ (x, p) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✭✸✳✷✮✲✭✸✳✹✮✱ t❤➻ x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠
❝õ❛ ✭✸✳✻✮ ✈➔ p ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✸✳✼✮✳ ✣↔♦ ❧↕✐✱ ♥➳✉ x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✸✳✻✮✱
˜ (x) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✭✸✳✷✮✲✭✸✳✹✮❀ ♥➳✉ p ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛
t❤➻ (x, p) ✈î✐ p = ∇f
˜
❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✭✸✳✷✮✲✭✸✳✹✮✳
✭✸✳✼✮✱ t❤➻ (x, p) ✈î✐ x = ∇g(p)
❉➵ t❤➜② ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✻✮ ✈➔ ✭✸✳✼ ✮ t÷ì♥❣ ù♥❣ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ❜➔✐
t♦→♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ❤➔♠ ❧ã♠ s❛✉✿
max{ln(f (x)) : x ∈ X},
✭✸✳✽✮
max{ln(g(p)) : p ∈ P }.
✭✸✳✾✮
❈→❝ ❤➔♠ ln(f (x)) ✈➔ ln(g(p)) ❧➔ ❧ã♠ ❝❤➦t tr➯♥ Rn++✱ ♥➯♥ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❝→❝
❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✻✮ ✈➔ ✭✸✳✼ ✮ ❧➔ tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t✳ ❉♦ ✤â✱ tø ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✳✹ ❝❤ó♥❣
✶✻


t ừ tỗ t t ỗ tớ
õ ữủ t ú ỵ r
t tữỡ ữỡ ợ t tố ữ ỗ
t ỡ ỡ t

t ợ r ở ố ỗ ỹ

r ú t t t rở ừ ổ
t õ k 1 ỗ ỹ ữủ sỷ ử s t n s tr m
ợ àr tr ừ ỗ ỹ tự r (r = 1, . . . , k). ổ t t
tờ qt t õ t tt r kr=1 àr = 1.
sỷ jr ỗ ỹ tự r ữủ ố s t s
tự j t ở ỗ ỹ ữủ sỷ ử t õ t õ
n

0

jr

jr = 1

1,

r = 1, . . . , k.



j=1

tỡ = (1, . . . , n) Rn+ ợ j = kr=1 àr jr tờ tr ỗ
ỹ ữủ sỷ ử s t s tự j j = 1, . . . , n, ữủ ồ
tỡ ố ỗ ỹ t t ỗ tt tỡ ố
ỗ ỹ
k

=

Rn+ |

k
r

=

àr = 1, àr 0 r = 1, 2, . . . , k .

àr ,
r=1

r=1



ợ ộ tỡ ố ỗ ỹ tỡ x Rn+ tọ
s ữủ ồ ởt ữỡ s t tỡ p = (p1, . . . , pn)
ợ pj tờ tr ỗ ỹ ữủ sỷ ử s t ởt ỡ
õ tự j tự ố s t ừ ỡ õ tự j s
ữủ ồ tỡ s t ỡ



❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛ ❧➔ t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥ s↔♥ ①✉➜t x ∈ Rn+ ✈➔ ✈➨❝tì ❝❤✐ ♣❤➼ s↔♥
①✉➜t ✤ì♥ ✈à p ∈ Rn+✱ t❤ä❛ ♠➣♥ (p1x1, . . . , pnxn) ∈ ∆, tr♦♥❣ ✤â ∆ ✤÷ñ❝ ❝❤♦
❜ð✐ ✭✸✳✶✶✮✳ ✣✐➲✉ ✤â ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➛♥ ❣✐↔✐ ❤➺ s❛✉✿
m

m
i

θi a , θi ≥ 0 i = 1, 2, . . . , m,

x=
i=1

θi = 1,

✭✸✳✶✷✮

i=1

✭✸✳✶✸✮
pj xj = αj j = 1, 2, . . . , n,
✭✸✳✶✹✮
α = (α1 , . . . , αn ) ∈ ∆.
✭✸✳✶✺✮
❙❛✉ ✤➙②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❤➺ ✭✸✳✶✷✮✲✭✸✳✶✺✮ ✤÷ñ❝ q✉② ✈➲ ✈✐➺❝
❣✐↔✐ ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉✳
T i

pj ≥ 0 j = 1, 2, . . . , n, p a ≤ 1 i = 1, 2, . . . , m,

❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
n

αr

xj j r = 1, 2, . . . , k,

fr (x) =
j=1
n

αr

pj j r = 1, 2, . . . , k.

gr (p) =
j=1

❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉
fr (x) → max r = 1, 2, . . . , k,
x ∈ X,

✭✸✳✶✻✮

✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉
gr (p) → max r = 1, 2, . . . , k,
p ∈ P,

✭✸✳✶✼✮

tr♦♥❣ ✤â X ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ✈➨❝tì x t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✸✳✶✷✮ ✈➔ P ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ✈➨❝tì p
t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✸✳✶✸✮✳
❇ê ✤➲ ✸✳✷✳✶✳ x ∈ X ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ P❛r❡t♦ ❝õ❛ ✭✸✳✶✻✮ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉
tç♥ t↕✐ µ ∈ Rk+ s❛♦ ❝❤♦ x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ tè✐ ÷✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥

k

fr (x)µr | x ∈ X}.

max{
r=1

✶✽

✭✸✳✶✽✮


ờ p P ỳ Prt ừ

tỗ t à Rk+ s p P tố ữ ừ t
k



gr (p)àr | p P }.

max{
r=1

x ỳ Prt ừ p ỳ
Prt ừ õ (x, p) ữủ ồ ỳ Prt
ốố tỗ t à Rk+ s x ỳ Prt ừ
p ỳ Prt ừ
ỵ s r ố ủ ừ
ỵ (x, p) ừ õ (x, p)

ỳ Prt ốố
ỵ sỷ (x, p) ỳ Prt ốố
õ (x, p) ừ

ố ữ ợ r ở ố ỗ ỹ
t t
max q(x)
m

m

i ai , i 0 i = 1, 2, . . . , m,

x=
i=1

i = 1,
i=1

T i

pj 0 j = 1, 2, . . . , n, p a 1 i = 1, 2, . . . , m,
pj xj = j j = 1, 2, . . . , n,
= (1 , . . . , n ) .

tr õ q(x) ó tử tr Rn+ s q(x) > 0

x > 0


◆➳✉ q(x) ❧➔ ❤➔♠ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❧ñ✐ ➼❝❤ ❝õ❛ ❝æ♥❣ t② t↕✐ ♣❤÷ì♥❣ →♥ s↔♥ ①✉➜t
x ∈ Rn+ t❤➻ ✭✸✳✷✵✮ ✲ ✭✸✳✷✹✮ trð t❤➔♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥ s↔♥ ①✉➜t s❛♦
❝❤♦ ❧ñ✐ ➼❝❤ ❝õ❛ ❝æ♥❣ t② ❧➔ ❧î♥ ♥❤➜t✳
❑þ ❤✐➺✉ XE ❧➔ t➟♣ ❣ç♠ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ →♥ s↔♥ ①✉➜t✱ ❧ó❝ ♥➔② ❜➔✐ t♦→♥
✭✸✳✷✵✮✲✭✸✳✷✹✮ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ ♥❤÷ s❛✉✿
✭✸✳✷✺✮

max{q(x)| x ∈ XE }.

❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✷✳✸ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✷✳✹✱ XE ❝ô♥❣ ❝❤➼♥❤ ❧➔ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉
❤✐➺✉ P❛r❡t♦ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉ ✭✸✳✶✻✮✳ ❉♦ ✤â✱ ✭✸✳✷✺✮ ❧➔ ❜➔✐
t♦→♥ tè✐ ÷✉ tr➯♥ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ P❛r❡t♦ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✤❛ ♠ö❝
t✐➯✉✳
✣➦t
k

M =

η = (η1 , η2 , . . . , ηk ) ∈

Rn+ |

frηr (x) ≤ 3 ,

max
x∈X

r=1

k

frηr (x) ≥ 3, x ∈ X

h(η) = max q(x)|

∀η ∈ Rn+ .

r=1

❇ê ✤➲ ✸✳✸✳✶✳ M ❧➔ t➟♣ ❧ç✐✱ ❝♦♠♣➢❝ ✈➔ ❦❤→❝ ré♥❣ tr♦♥❣ Rk+✳
❇ê ✤➲ ✸✳✸✳✷✳ ❍➔♠ h ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✈➔ tü❛ ❧ç✐ ð tr➯♥ Rk+.
❇➙② ❣✐í ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✷✺✮ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐
❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ❤➔♠ tü❛ ❧ç✐ tr➯♥ t➟♣ ❧ç✐ ❝♦♠♣➢❝ s❛✉✳
max{h(η) : η ∈ M }.

✭✸✳✷✻✮

✣à♥❤ ❧þ ✸✳✸✳✸✳ ●✐→ trà tè✐ ÷✉ ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✷✺✮ ✈➔ ✭✸✳✷✻✮ ❧➔ ❜➡♥❣

♥❤❛✉✿ q∗ = h∗✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ♥➳✉ η∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ tè✐ ÷✉ ❝õ❛ ✭✸✳✷✻✮ t❤➻ ✤✐➸♠ ❝ü❝
✤↕✐ x∗ ❝õ❛ ❤➔♠ kr=1 frη (x) tr➯♥ X ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ tè✐ ÷✉ ❝õ❛ ✭✸✳✷✺✮✳
∗
r

◆❤÷ ✈➟②✱ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❦❤æ♥❣ ❧ç✐ ♣❤ù❝ t↕♣ ✭✸✳✷✺✮ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ n
❝❤✐➲✉ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❤ì♥ ✭✸✳✷✻✮ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
✷✵


k r tỹ t t k tữớ ọ ỡ s ợ n õ
ú t õ t t s ờ ữỡ


tố ữ ỡ
r ú tổ s r r t tữỡ ữỡ
ợ t ỡ ừ tố ữ ỡ
x X ởt ữỡ s t ự ợ tỡ ố ỗ
ỹ = kr=1 àr r ởt ủ v õ t ử tở x
à, v(à, x) = q(x) c(à, x) tr õ q(x) tờ t
ỹ tr c(à, x) tờ t ở ỗ s
t
ớ ú t t t ỹ v(à, x) tr t tỡ
(à, x) Rk+ ì X s x argmaxx X kr=1 frà (x ),
r

v(à, x) max,
à Rk+ , x X
x argmaxxX

k
àr
r=1 fr (x).

t
G = {(à, t)| t maxxX
F (à, t) = max{v(à, x)| x X,

k
àr
r=1 fr (x)}
t kr fràr (x)}.




ờ tữỡ ữỡ ợ t
tố ữ s

max{F (à, t)| (à, t) G}.






✣➦t
k
µr
¯
r=1 fr (x)} ≤ t ∀x

max{v(µ, x)| kr=1 frµr (x) ≥ t¯,

G := {µ ∈ Rk+ |
F (µ) :=

∈ X},
x ∈ X }.

✭✸✳✸✸✮
✭✸✳✸✹✮

❈❤ó♥❣ t❛ ❝â ✤à♥❤ ❧þ s❛✉✳
✣à♥❤ ❧þ ✸✳✹✳✷✳ ◗✉② ❤♦↕❝❤ ❤❛✐ ❝➜♣ ✭✸✳✷✼✮✲✭✸✳✷✾✮ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥
tè✐ ÷✉ ✤ì♥ ✤✐➺✉ s❛✉✿
✭✸✳✸✺✮
max{F (µ)| µ ∈ G}.

◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✹✳✸✳ Ð ✤➙②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ✭✸✳✸✺✮ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✤ì♥

✤✐➺✉ ❝ì ❜↔♥✳ ❇ð✐ ✈➟②✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✸✺✮ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ✤➣ ❜✐➳t ❝õ❛ tè✐ ÷✉ ✤ì♥ ✤✐➺✉✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❦❤✐ v(µ, x) = q(x) t❛ ❝â
F (µ) = max{q(x)| kr=1 frµ (x) ≥ t¯, x ∈ X}. ❱➻ 3 ≤ maxx∈X kr=1 frµ (x)✱
♥➯♥ t❛ ❝â t❤➸ ❧➜② t¯ = 3✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔②✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✸✺✮ trò♥❣ ✈î✐
❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✷✻✮✱ ❞♦ ✤â ♥â ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ❣✐↔✐ ❜ð✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①➜♣ ①➾ ♥❣♦➔✐
♥❤÷ ✤➣ ❝❤➾ r❛ tr♦♥❣ ▼ö❝ ✸✳✸✳
r

r

✷✷

t ừ
r ú tổ t ữủ ỳ t q s
ợ tỹ ó ỷ tử tr ỡ t tr Rn+
tọ t tỹ ủ ố ợ ờ tỹ ủ ữ r
tỹ ữợ ự ởt số t t
ợ
ữ r ừ tố ữ ữợ ỵ rt
rở ỹ sỡ ỗ ố ố ự t tố ữ
ổ ữợ ổ ỗ
ữ r ố ố ự t tố ữ ử t
ổ ỗ r ú tổ ỏ ữ r tự ố ú
trữ ỳ Prt ừ t ố
ố
r ỡ s ừ t q t ữủ ố ủ ú
tổ ử ự t s t tr t
t ữủ t q s
t ợ ởt r ở ố ỗ ỹ tữỡ ữỡ ợ
t tố ữ ỗ
t ợ r ở ố ỗ ỹ tữỡ ữỡ ợ
t tố ữ ỗ ử t
t tố ữ ổ ỗ ợ r ở ố ỗ ỹ ữủ
q t ỹ tỹ ỗ tr t ỗ
t ỡ ừ tố ữ ỡ




❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥

→♥
❬✶ ❪ P✳ ❚✳ ❚❤❛❝❤ ❛♥❞ ❚✳ ❱✳ ❚❤❛♥❣✱ ❈♦♥❥✉❣❛t❡ ❞✉❛❧✐t② ❢♦r ✈❡❝t♦r✲♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥
♣r♦❜❧❡♠s✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✶✭✷✵✶✶✮✾✹✲✶✵✷✳
❬✷ ❪ P✳ ❚✳ ❚❤❛❝❤ ❛♥❞ ❚✳ ❱✳ ❚❤❛♥❣✱ Pr♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥
❝♦♥str❛✐♥ts ❛♥❞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦✈❡r t❤❡ ❡❢❢✐❝✐❡♥t s❡t✱ ❏✳ ●❧♦❜✳ ❖♣t✐♠✳✱
✺✽✭✷✵✶✹✮ ✹✽✶✲✹✾✺✳
❬✸ ❪ ❚✳ ❱✳ ❚❤❛♥❣✱ ❈♦♥❥✉❣❛t❡ ❞✉❛❧✐t② ✐♥ ♥♦♥❝♦♥✈❡① ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s
❛♥❞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦✈❡r t❤❡ ✇❡❛❦❧② ❡❢❢✐❝✐❡♥t s❡t ✭✤➣ ❣û✐ ✤➠♥❣✮✳

✷✹