50 hsg9 sóc trăng

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

Học sinh giỏi 99

Tỉnh Sóc Trăng

Tự luận (10 điểm)
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

1  
x 2 
 2 x 1
x  16
A 

B
 : 1 

x  1   x  x  1  và
x x1

x
(4,0 điểm) Cho hai biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  A B .
(4,0 điểm)
a) Tìm số nguyên n sao cho các số n  2000 và n  2023 đều là số chính phương.
3
3
3
3
b) Cho M 1  2  3  ...  2022 và N 1  2  3  ...  2022 . Chứng minh rằng M chia hết
cho N .
(4,0 điểm)
2 x  2 y  xy 3
 2
2
a) Giải phương trình:  x  y 6
b) Nhà bạn Hoa muốn thuê lắp đặt Internet cáp quang. Khi tham khảo bảng giá của hai công ty,
được thông tin như sau: cơng ty V có thu phí lắp đặt ban đầu là 500 000 đồng và cước phí mỗi

tháng là 165 000 đồng; cơng ty F khơng thu phí lắp đặt ban đầu và cước phí mỗi tháng là
180 000 đồng.
Nếu chọn th cơng ty F thì sau một năm bạn Hoa phải trả hết bao nhiêu tiền?
Nếu chọn công ty V , bạn Hoa phải thuê liên tục ít nhất bao nhiêu tháng thì tổng số tiền thuê
phải trả sẽ ít hơn khi chọn cơng ty F .
(4,0 điểm) Cho tam giác ABC vng tại A , có AB 6 cm; AC 8cm và AD là đường phân
giác. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE 6 cm , trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao
cho AF 4 cm .

Câu 5.

a) Tính diện tích tam giác ADC .
b) Gọi H là hình chiếu của E trên BC . Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho EI EH . Gọi K


là trung điểm của IH . Chứng minh CIH HBK .
c) Gọi G là giao điểm của BC và EF . Tính độ dài đoạn thẳng EG .
(4,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB 2 . Lấy hai điểm M , N bất kỳ trên
nửa đường tròn sao cho MN 1 và M nằm trên cung AN . Gọi C là giao điểm của AM và
BN , I là giao điểm của AN và BM .
a) Chứng minh CI  AB và 4 điểm C , I , M , N cùng nằm trên một đường trịn.
b) Tính giá trị biểu thức: CM .CA  CN .CB .
c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABNM .
---Hết---

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 1 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

HƯỚNG DẪN GIẢI
Tự luận (10 điểm)
Câu 1.

1  
x 2 
 2 x 1
x  16
A 

B
 : 1 

x  1   x  x  1  và
x x1
x
(4,0 điểm) Cho hai biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  A B .
Lời giải
a) Rút gọn biểu thức A .
ĐKXĐ: x 0; x 1 .

 2 x 1
A 

x x1

A

A

A

A

A

1  
x 2 
 : 1

x  1   x  x 1 


 x  1  x 

 :x
x  1

2 x 1  x  x 1

2 x 1  x 



x1



:

x  x 1

x  x 1  x  2

 x

x  1 x  x 1
x





x 1   x  2 

x



x 3

:

 x

x  1 x  x 1



x 1



x 1

 x  1 .  x  x 1
 x  1  x  x 1 x  3
x

x
x 3

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  A B .
Với x  0; x 1 ta có:

T  A B 

T

x  16
x 3

x x  16
.
x 3
x


x  9  25
x 3





x 3





x  3  25
x 3
T 2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
Vậy MinT 4 khi
mãn).
Câu 2.

x 3 

25
x 3







x 3



x 3 .



2

25

 x  3

25 

x 3

25
x 3

25

 x 3

x 3

 6

 6 10  6 4

x  3 5 

.

x 2  x  4
(thỏa

(4,0 điểm)

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 2 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

a) Tìm số nguyên n sao cho các số n  2000 và n  2023 đều là số chính phương.
3
3
3
3
b) Cho M 1  2  3  ...  2022 và N 1  2  3  ...  2022 . Chứng minh rằng M chia hết
cho N .
Lời giải

a) Tìm số nguyên n sao cho các số n  2000 và n  2023 đều là số chính phương.
2
2
 m, k  
Đặt n  2000 k và n  2023 m với
m 2  k 2  n  2023   n  2000   m 2  k 2 23
Ta có:
  m  k   m  k  23

 m  k  1;  m  k  23
 m  k  23;  m  k  1
Xét
 m  k   1;  m  k   23
Xét
 m  k   23;  m  k   1
Xét
Xét

thì m 12; k 11 .
thì m 12; k  11 .

Suy ra n  1879 .

thì m  12; k  11 .
thì m  12; k 11 .

Suy ra n  1879 .

Suy ra n  1879 .

Suy ra n  1879 .

Vậy n  1879
3
3
3
3
b) Cho M 1  2  3  ...  2022 và N 1  2  3  ...  2022 . Chứng minh rằng M chia hết
cho N .
Áp dụng công thức:
n  n  1
1  2  3  ...  n 
2
;
Ta có:
13 12
2
23  1  2   12
2

33  1  2  3   1  2 

2

…
2

2

2

2

k 3  1  2  3  ...  k    1  2  3  ...   k  1 
n3  1  2  3  ...  n   1  2  3  ...   n  1 
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta có:
2
13  23  33  ...  n3  1  2  3  ...  n 
.

2

Câu 3.

M 13  23  33  ...  20223  1  2  3  ...  2022   M N
Vậy:
(4,0 điểm)
2 x  2 y  xy 3
 2
2
a) Giải phương trình:  x  y 6
b) Nhà bạn Hoa muốn thuê lắp đặt Internet cáp quang. Khi tham khảo bảng giá của hai công ty,
được thơng tin như sau: cơng ty V có thu phí lắp đặt ban đầu là 500 000 đồng và cước phí mỗi
tháng là 165 000 đồng; cơng ty F khơng thu phí lắp đặt ban đầu và cước phí mỗi tháng là
180 000 đồng.
Nếu chọn thuê công ty F thì sau một năm bạn Hoa phải trả hết bao nhiêu tiền?
Nếu chọn công ty V , bạn Hoa phải th liên tục ít nhất bao nhiêu tháng thì tổng số tiền th
phải trả sẽ ít hơn khi chọn cơng ty F .

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 3 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

Lời giải

2 x  2 y  xy 3
 2
2
a) Giải phương trình:  x  y 6

 *

 2 S  P 3

 2
S

2
P

6
S


x

y
;
P

xy

Đặt
ta có : 
 S  2
S 2  4 S  12 0  
 2  ta có
 S 6
Giải

 4 S  2 P 6

 2
 S  2 P 6

2 S  P 3
 2
 S  4S  12 0

 1
 2

 1 ta được P 7 . Suy ra x, y là nghiệm của phương trình:

Với S  2 thay vào
2

X 2  2 X  7 0   X  1  6 0

 * vô nghiệm.
(vô lý) Nên hệ phương trình
 1 ta được P  9 . Suy ra x, y là nghiệm của phương trình:
Với S 6 thay vào
 X  3 2  3
X 2  6 X  9 0  
 X 3 2  3 (thỏa)
 x  3 2  3
 x 3 2  3


*

y 3 2  3
y  3 2  3


Vậy hệ phương trình
có nghiệm:
hoặc 
.
b) Nhà bạn Hoa muốn thuê lắp đặt Internet cáp quang. Khi tham khảo bảng giá của hai công ty,
được thông tin như sau: cơng ty V có thu phí lắp đặt ban đầu là 500 000 đồng và cước phí mỗi
tháng là 165 000 đồng; cơng ty F khơng thu phí lắp đặt ban đầu và cước phí mỗi tháng là
180 000 đồng.

- Nếu chọn th cơng ty F thì sau một năm bạn Hoa phải trả số tiền là:
180 000.12 2 160 000 (đồng)
- Nếu chọn công ty V , bạn Hoa phải thuê liên tục ít nhất số tháng để tổng số tiền thuê phải trả
sẽ ít hơn khi chọn công ty F là
Gọi t (tháng) là số tháng cần tìm.
Số tiền Hoa trả khi chọn cơng ty V là 165 000.t  500 000 (đồng)
Số tiền Hoa trả khi chọn công ty F là 180 000.t (đồng)
Theo đề bài ta có: 165 000.t  500 000  180 000.t

Câu 4.

 500 000  15 000.t
100
t
3
Vậy Hoa phải thuê ít nhất 34 tháng thì tổng số tiền thuê phải trả cho cơng ty V sẽ ít hơn khi
chọn cơng ty F .
(4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB 6 cm; AC 8cm và AD là đường phân
giác. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE 6 cm , trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao
cho AF 4 cm .
a) Tính diện tích tam giác ADC .
b) Gọi H là hình chiếu của E trên BC . Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho EI EH . Gọi K


là trung điểm của IH . Chứng minh CIH HBK .
c) Gọi G là giao điểm của BC và EF . Tính độ dài đoạn thẳng EG .

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 4 

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

Lời giải

B

a) Tính diện tích tam giác ADC .
SACD
AC DC S ACD
AC




S ABD  S ACD AB  AC
Ta có AB BD S ABD

D

Hay
1
S ACD
4.S ABC 4. 2 .6.8 96

8
4

  S ACD 


(cm 2 )
SABC 6  8 7
7
7
7

C

A

B

I

K'
2

1
M
1

A

H

E

3

C

G

b) Cách 1: Kẻ EM  CI (M thuộc CI),
Khi đó ta có CME#CAI (g.g)  CE.CA=CM.CI , tương tự ta cũng có CE.CA =
CH.CB


Do đó CM.CI = CH.CB suy ra tứ giác BIMH nội tiếp suy ra HBM HIM (*) , gọi



K’ là giao điểm của BM với IH suy ra H 1 M 2 M 3
0
0




Mặt khác EHI 90  H 1 90  M 3 M 1 , do EH = EI (theo giả thiết) suy ra



 1

EHI
EIH
 EIH
M
. Suy ra tứ
giác IK’ME là tứ giác nội tiếp B
 ' I EMI

EK
900  EK '  HI suy ra
K’ là trung điểm của IH, do đó K’
trùng với K kết hợp với (*) suy ra



CIH
HBK
(đpcm).

Cách 2:
Kẻ EM  CI (M thuộc CI),
Khi đó ta có, tương tự như cách 1
ta có:
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

I

K
2

M
1

A

E

H

1

3

G

 Trang 5 

C


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023





BIMH nội tiếp suy ra HBM HIM (*) ,
Vì K là trung điểm của IH, mà EH =EI nên EK vng góc với IH
Suy ra tứ giác IKME nội tiếp đường tròn đường kính IE, gọi G là giao điểm của
0
0




KM với AC suy ra KIE M 1 90  M 3 90  IMK (1)
0
0




Do EH = EI suy ra KIE EHI 90  BHI 90  IMB (2)


IMK
Từ (1) và (2) suy ra IMB
suy ra M, K, B thẳng hàng, kết hợp vói (*) suy ra


CIH
HBK
(đpcm).
c) Gọi G là giao điểm của BC và EF . Tính độ dài đoạn thẳng EG .

Áp dụng định lý Menelaus ta có:
GB.FA.EC
1 
GC.FB.EA
EG.FA.CB
1 
EF . AB.CG

GB FB.EA 5
CG 6

 

GC FA.EC 6
CB 11 .
EG AB.CG 9


EF FA.CB 11
18 5
FE 2 5  EG 
 cm 
11
mà
.
18 5
EG 
cm
11
Vậy

.
Câu 5.

(4,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB 2 . Lấy hai điểm M , N bất kỳ trên
nửa đường tròn sao cho MN 1 và M nằm trên cung AN . Gọi C là giao điểm của AM và

BN , I là giao điểm của AN và BM .
a) Chứng minh CI  AB và 4 điểm C , I , M , N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tính giá trị biểu thức: CM .CA  CN .CB .
c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABNM .
C

N
M
I

B
A

H

O

Lời giải
a) Chứng minh CI  AB và 4 điểm C , I , M , N cùng nằm trên một đường trịn.

CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 6 

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023
C

N
M

I

B
A

O

 O  có: ABM nội tiếp  A, B, M   O   và đường kính AB nên ABM vuông tại M
Xét
Suy ra BM  AC nên BM là đường cao ABC
 O  có: ABN nội tiếp  A, B, N   O   và đường kính AB nên ABN vng tại N
Xét
Suy ra AN  BC nên AN là đường cao ABC
Xét ABC có : BM , AN là hai đường cao (chứng minh trên) và BM , AN cắt nhau tại I
Do đó I là trực tâm ABC nên CI  AB

CMB
90  BM  AC 



90  AN  BC 
CNA
Xét tứ giác CMIN có: 


Nên CMI  CNI 180 do đó tứ giác CMIN nội tiếp được đường trịn đường kính CI
Vậy 4 điểm C , I , M , N cùng nằm trên một đường trịn đường kính CI .
b) Tính giá trị biểu thức: CM .CA  CN .CB .
C

N
M

H
I

B
A

H

O

Kẻ tiếp tuyến CH của đường trịn đường kính AB .
2
2
2
2

Dễ thấy CM . AC CN .CB CH OC  OH OC  1 .
CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 7 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

Do đó

CM .CA  CN .CB 2 OC 2  1



.

0
0


Ta có tam giác OMN đều MAN 30  ACB 60 không đổi nên C thuộc cung trịn nhìn
cạnh AB khơng đổi một góc 60 suy ra OC thay đổi. Từ đó tích CM .CA  CN .CB khơng có
giá trị cụ thể.
Đổi lại, tính AM .CA  BN .CB .

AM .CA  BN .CB  AH . AB  CH . AB  AB  AH  CH   AB. AB  AB 2 2 2 4
Ta có:
.
AM
.
AC

BN
.
BC

4
Vậy
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABNM .
F

b

G
A
b
a

B

D

E

C

Cách 1: Trước hết ta chứng minh bài toán phụ: với tam giác nhọn ABC ta ln có:
 
1

  s in C
 2.sin B  C
S ABC  AB. AC .sin BAC
s in B
2 (*) và
2
(nếu góc A khơng tù), hoặc
1

S ABC  AB. AC.sin 1800  BAC
2
nếu góc A tù.
Kẻ đường cao AD của
tam giác ABC , CF vuông góc với phân giác ngồi tại A của tam giác ABC . Kẻ EF vng
góc với BC (Hình vẽ). Đặt AB a, AC b suy ra BF a  b .
AD
a
a.FE

 AD 
a b .
Ta có: FE a  b
 
  s in C

 2.sin B  C
s in B
2 .
Suy ra:
AD AD CF
FE
a.FE
CE






 FE CE
a
b
b
a  b b( a  b ) b
luôn đúng. Dấu “ ” xảy ra khi tam
ABC
giác
cân tại A . Ta có điều phải chứng minh



CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268



 Trang 8 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

F

b

G
A
b
a

E

D

C

B

Chú ý trường hợp tam giác ABC có góc B hoặc C là góc tù thì ta cũng có:
 
  s in C

 2.sin B  C
s in 1800  B
2
(nếu góc B là góc tù). Chứng minh hình vẽ.





Áp dụng các tính chất
S ABNM  S AOM  SOBN  SOMN

trên

ta

C

có:

N
M
60°

1

A

B

O

1
 1  1 .ON .OB.sin O
 2  1 .OM .OA.sin 60 0
 .OM .OA.sin O
2
2
2


1
 1  sin O
 2  3  1 .2  sin O1  O 2   3
 . sin O
 4
2
4
2 
2




2



3
3

3 3 3



4
2
4
4 (đơn vị diện tích).
Vậy diện tích tứ giác ABNM đạt giá trị lớn nhất là:
3 3
4 dấu bằng xảy ra khi tam giác BAC đều.

C

sin 600 

N
L
M

I

Cách 2.
A

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

G

Q

O R

B

 Trang 9 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

Gọi L là trung điểm của MN , G, Q, R lần lượt là hình chiếu vng góc của M , L, N trên AB .
Khi đó ta có:
3
MG  NR  2.LQ 2.OL 2.
 3
2
S ABNM S AOM  SOBN  SOMN

1
1
3
 OA.MG  ON .NR 
2
2
4

1
3
3
  MG  NR  
LQ 
2
4
4
3
3
3 3 3
OL 
 

4
2
4
4
Q
Dấu “ ”xảy ra khi
trùng O , tức là LO vng góc với AB nên MN //BA suy ra tam giác
ABC đều.
---Hết---

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 10 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.

CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 11 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 12 