51 hsg9 sơn la

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

Học sinh giỏi 99

Tỉnh Sơn La
ĐỀ BÀI

Câu 1: (4,0 điểm).
A
a) Rút gọn biểu thức:
b) Cho biểu thức

x 1
1 2x  2 x 2 x  x


x x x x
x2  x
1  x x với x  0, x 1.

P  x3  12 x  31

2023

.

3
3
Tính giá trị của biểu thức P tại x  16  8 5  16  8 5.
Câu 2: (4,0 điểm).

2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình y 2 x  a và parabol (P) có
2
phương trình: y ax (a  0).

a) Tìm a để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A vàB. Chứng minh rằng khi đó
A và B nằm bên phải trục tung.
b) Gọi x A , xB là hoành độ của A vàB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
1

.
x A  x B x A .x B
Câu 3: (4,0 điểm).
a)
T

Giải hệ phương trình:
b)

2
6 x  3 xy  x 1  y
.
 2
2

 x  y 1









a 2  b2  9ab 11
a 2  b 2 11.
a
,
b


.
Cho
Chứng minh rằng: Nếu
thì
Câu 4: (6,0 điểm).
Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi BD và CE là hai đường cao của ABC. Gọi R là
giao điểm của BD với (O ) (R khác điểm B ), S là giao điểm của CE với (O) (S khác điểm C ).

Tia AO cắt BC tại M và cắt cung nhỏ BC tại N . Tia BO cắt AC tại P. Tia CO cắt AB tại F .
Chứng minh rằng:
a)
Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.
b) DE // SR và AN là tia phân giác của góc SAR.

MB.MC PC.PA FA.FB


1.
2
PB 2
FC 2
c) MA
Câu 5: (2,0 điểm).
x, y, z thỏa mãn xyz 1. Chứng minh rằng:
a) Cho các số thực dương
xy  1 yz  1 zx  1
x yz


.
y 1 z 1 x 1

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 1 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

b) Xét 100 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3,...,100. Gọi A là số thu được bằng cách sắp một cách tùy ý
100 số đó thành một dãy, B là số thu được bằng cách đặt một cách tùy ý các dấu cộng vào giữa các
chữ số của A. Chứng minh rằng cả A và B cùng không chia hết cho 2046.
-------------Hết-------------

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 2 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: (4,0 điểm)

A
a) Rút gọn biểu thức:



x 1
x x x x

3



P  x  12 x  31

b) Cho biểu thức:



1 2 x  2 x
2

x 

x



2 x x
1 x x với x  0, x 1.

2023

.

3
3
Tính giá trị của biểu thức P tại x  16  8 5  16  8 5 .
Giải

a) Với x  0, x 1 , ta có:

A

x 1
x x x x







1 2 x  2 x
2

x 

x



2 x x
1 x x

x 1
1 2 x  2 x


x x  x 1
x x  1 x  x 1

A













x 1





 

 
 
x  x  1  x  x  1

x 2 x
x  1 x  x 1

x  1  1 2 x  2 x  x x  2 x







x  1 1  2 x 2 x  x x  2 x
x  x  1 x x 1
x x x 2 x
x  x  1 x  x 1
x  x  1 x 2 
x  x  1 x  x 1
x 2
x x 1
A

Vậy

x 2
x  x  1 , với x  0, x 1
3

3

x 3 16  8 5  3 16  8 5  3  1 5   3  1 5  1 

b) Ta có:
Thay x  2 vào biểu thức P , ta được:

P  23  12.2  31

2023

5  1  5 2

12023 1

3
3
Vậy với x  16  8 5  16  8 5 thì biểu thức P có giá trị bằng 1 .
Câu 2: (4,0 điểm)
2
d
P
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng   có phương trình y 2 x  a và parabol   có
y  ax 2  a  0  .
phương trình:
d
P
a) Tìm a để đường thẳng   cắt parabol   tại hai điểm phân biệt A và B . Chứng minh rằng
khi đó A và B nằm bên phải trục tung.
b) Gọi x A , xB là hồnh độ của A và B . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 3 

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

T

4
1

x A  xB x A . x B

Giải
d
P
a) Ta có hồnh độ giao điểm của đường thẳng   và parabol   là nghiệm của phương trình
ax 2  2 x  a 2  ax 2  2 x  a 2 0  *
hoành độ:
 ' 1  a 3
 d  cắt  P  tại hai điểm phân biệt  phương trình  * có hai nghiệm phân biệt
  '  0  1  a3  0  a  1
Kết hợp với điều kiện a  0 , ta có: 0  a  1
*
Với 0  a  1 , phương trình   có hai nghiệm phân biệt, theo định lí Viet, ta có:
2

 x A  xB  a


2
 x x  a a
 A B a
2

 xA  0
 x A  xB   0

a

 xB  0
 xA xB a  0
0

a

1
Với
, ta có:
Do đó hai điểm A và B có hồnh độ dương nên A và B nằm bên phải trục.tung
2

 x A  xB 
a

 x x a
b) Theo câu a, ta có:  A B
4 1
1
T   2a 

2 a
a
a
Khi đó:
. Vì 0  a  1 nên áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương, ta
1
1
T 2a  2 2a. 2 2
a
a
được:

0  a  1
1
2

  TM 
1  a

2
2
 2a  a
Dấu “=” xảy ra khi 
1
min T 2 2  a  .
2
Vậy:
Câu 3: (4,0 điểm)
2
6 x  3 xy  x 1  y

.
 2
x  y 2 1


a) Giải hệ phương trình:
 a 2  b2  9ab  11 thì  a 2  b2  11.
b) Cho a, b  . Chứng minh rằng: Nếu
Giải
2
6 x  3 xy  x 1  y
.
 2
x  y 2 1


a) Giải hệ phương trình:
CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 4 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023
2
2

Ta có: 6 x  3 xy  x 1  y  6 x  3xy  2 x  y  3 x  1 0.
 3 x(2 x - y) - (2x - y) +(3x - 1)= 0  (2 x - y +1) (3x - 1)= 0.

 3 x  1 0

.
 2 x  y  1 0
* Với:
* Với:

1
8
2 2
3x  1 0  x  .
y 2   y 
.
2
2
x

y

1
3 Thay x vào phương trình
9
3
, ta có:
2 x  y  1 0  y 2 x  1

2

2
Thế y vào phương trình x  y 1 , ta có:
 x 0
2
5 x  4 x 0  x (5 x  4) 0  
 x  4
5

) x 0  y 1.
4
3
) x   y  .
5
5
1 2 2 1 2 2
 4 3
 ;
 ;  ; 
 ;(0;1);   ;   .
3 3  3
3 
 5 5
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm: 
 a 2  b2  9ab  11 thì  a 2  b2  11.
b) Cho a, b  . Chứng minh rằng: Nếu
2
2
Ta có: a  b  9ab 11.

 a 2  b 2  2ab  11ab 11.

 (a  b) 2  11ab 11  ( a  b) 2 11.
 a  b 11 (vì 11 là số nguyên tố).
2
2
Mặt khác: a  b (a  b)(a  b) vì a  b 11 nên (a  b)(a  b) 11.
2
2
Hay a  b 11 (điều phải chứng minh).
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi BD và CE là hai đường cao của ABC . Gọi R là
giao điểm của BD với (O ) (R khác điểm B ), S là giao điểm của CE với (O) (S khác điểm C ).

Tia AO cắt BC tại M và cắt cung nhỏ BC tại N . Tia BO cắt AC tại P. Tia CO cắt AB tại F .
Chứng minh rằng:
b)
Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.
b) DE // SR và AN là tia phân giác của góc SAR.
MB.MC PC.PA FA.FB


1.
2
PB 2
FC 2
c) MA
Giải

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 5 

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

A
R
G

F

I

S
E

K
J

P
O

H

B

Q

D

C

M
N

a) Chứng minh: ADE ∽ ABC.



Vì BD và CE là hai đường cao của ABC (GT) nên BEC BDC 90
 tứ giác BEDC nội tiếp


 BCA
 AED (cùng bù BED
)
Xét ADE và ABC


Có: DAE BAC

BCA
 AED (cmt)  ADE ∽ ABC (g – g)
b) Chứng minh DE // SR và AN là tia phân giác của góc SAR.

Ta có: Tứ giác BEDC nội tiếp (chứng minh trên)




 CBD
CED
(hai góc nội tiếp cùng chắn DC )



Xét (O) có: CBR CSR (hai góc nội tiếp cùng chắn CR )



 CED
CSR
(CBD
) mà hai góc này ở vị trí đồng vị  DE // SR



Lại có: EBD ECD (hai góc nội tiếp cùng chắn DE )




Tức là: ABR  ACS  AR  AS  AR  AS  ASR cân tạiA.
Mặt khác: OS OR kết hợp với AR = AS suy ra AO là đường trung trực của SR. ASR cân tại A
có AO là đường trung trực của SR nên đồng thời là đường phân giác của góc SAR. Do đó AN là tia
phân giác của góc SAR.
MB.MC PA.PB FA.FB



1.
2
PB 2
FC 2
c) Chứng minh: MA
BO với cung nhỏ AC là Q, giao điểm của tia tia CO với cung nhỏ AB tại
Gọi giao điểm của tia

G.
MN MC
MN MB.MC



MB MA
MA
MA2
Dễ thấy: MNC ∽ MBA (g – g)
PQ PC
PQ PA.PC




PQC ∽ PAB (g – g)
PA PB
PB
PB 2



CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 6 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

FG FB
FG FA.FB



FGB ∽ FAC (g – g)
FA FC
FC
FC 2
MB.MC PA.PC FA.FB MN PQ FG





MA2

PB 2
FC 2
MA PB FC
Gọi H là giao điểm của BD và CE; K là giao điểm của AH và BC; J là giao điểm của AH và cung
nhỏ BC
Ta có: AK  BC


BAK
BCJ
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BJ)
BAK BCH

Lại có:
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung EK)


 BCJ BCH  CHJ cân tại C do đó HK = KJ (1)


Lại có : AJN 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên JN // BC
MN KJ

Theo định lí Ta – Lét, ta có: MA KA
MN HK S HBC


(2)
MA
KA

S

ABC
Kết hợp với (1) ta có


PQ S AHC
FG S AHB


PB
S
FC
S ABC (4)
ABC
C/m tương tự:
(3)
MN PQ FG S HBC S AHC S AHB S ABC







1
MA
PB
FC
S

S
S
S
ABC
ABC
ABC
ABC
Từ (2), (3) và (4)

Câu 5: (2,0 điểm)
x, y, z thỏa mãn xyz 1. Chứng minh rằng:
a) Cho các số thực dương
xy  1 yz  1 zx  1
x yz


.
y 1 z 1 x 1
b) Xét 100 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3,...,100. Gọi A là số thu được bằng cách sắp một cách tùy ý

100 số đó thành một dãy, B là số thu được bằng cách đặt một cách tùy ý các dấu cộng vào giữa các
chữ số của A. Chứng minh rằng cả A và B cùng không chia hết cho 2046.
Giải
xy  1 yz  1 zx  1 
xy  1  
yz  1  
zx  1 
x yz 



  x 1
   y 1 
   z 1
 3
y

1
z

1
x

1
y

1
z

1
x

1






a) Ta có:
x y yz zx




3
y 1 z 1 x 1
  x  y   z  1  x  1   y  z   y  1  x  1   z  x   y  1  z  1 3  x  1  y  1  z  1

  x  y   z  1  x  1   y  z   y  1  x  1   z  x   y  1  z  1 3  x  1  y  1  z  1

 xy 2  yz 2  zx 2  3( xy  yz  zx)  x 2  y 2  z 2  3xyz  2( x  y  z ) 3( xyz  xy  yz  zx  x  y  z  1)
(vì xyz 1 )
 xy 2  yz 2  zx 2  x 2  y 2  z 2  x  y  z  3 (*)
2
3
 y  1 0  y 2 2 y  1 , tương tự z 2 2 z  1; x 2 2 x  1
Ta có x  y  z 3 xyz 3 ;
xy 2  yz 2  zx 2  x 2  y 2  z 2  x  2 y  1  y  2 z  1  z  2 x  1  x 2  y 2  z 2
Suy ra:
Do đó để chứng minh BĐT (*) ta chỉ cần chứng minh:
CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 7 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

x  2 y  1  y  2 z  1  z  2 x  1  x 2  y 2  z 2  x  y  z  3
2

  x  y  z   x  y  z  x  y  z  3   x  y  z  3  x  y  z  1 0
Ln đúng vì x  y  z 3 . Dấu “=” xảy ra khi x = y = z =1.
b) Xét 100 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3,...,100. Gọi A là số thu được bằng cách sắp một cách tùy ý
100 số đó thành một dãy, B là số thu được bằng cách đặt một cách tùy ý các dấu cộng vào giữa các
chữ số của A . Chứng minh rằng cả A và B cùng không chia hết cho 2046.
Nhận xét: Ta thấy 2046 3 do đó nếu số tự nhiên m chia hết cho 2046 thì m cũng chia hết cho 3 ,
suy ra S(m) chia hết cho 3. Với S(m) là tổng các chữ số của số tự nhiên m.
+ Kí hiệu: S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n.
Ta thấy từ 1 tới 100 xuất hiện 21 chữ số 1, xuất hiện 20 chữ số từ 2 đến 9.
Suy ra: S(A) = 21.1 + 20.(2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 901.
Mà: A S(A)(mod 3) tức là: A 901(mod 3) 1(mod 3) hay A không chia hết cho 3 suy ra A
không chia hết cho 2046. (1)
+ Giả sử sau khi đã đặt các dấu cộng vào giữa các chữ số của A, ta được:
B b1  b2  ...  bm S (b1 )  S (b2 )  ...  S (bm ) (mod 3) S ( A) (mod 3)
(Vì ta có n S (n) (mod 3) )
Suy ra S(B) không chia hết cho 2046. (2)
Từ (1) và (2) suy ra cả A và B cùng không chia hết cho 2046.
---------Hết------

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 8 