Cơ học lý thuyết-Chương 14 pptx

-203-
Phần 4
Các nguyên lý cơ học
Cùng với hai vấn đề đã nghiên cứu là phơng trình vi phân của chuyển
động và các định lý tổng quát của động lực học; các nguyên lý cơ học trình bày
dới đây sẽ cho ta một phơng pháp tổng quát khác giải quyết có hiệu quả và
nhanh gọn nhiều bài toán động lực học của cơ hệ không tự do.
Các nguyên lý cơ học là phần cơ sở của cơ học giải tích. Căn cứ vào nguồn
năng lợng và đặc điểm kết cấu của cơ hệ, cơ học giải tích sử dụng công cụ giải
tích toán học để thiết lập phơng trình vi phân chuyển động và tìm cách tích
phân các phơng trình đó. Trong phần này chỉ giới thiệu một số vấn đề cơ bản
nhất của cơ học giải tích cụ thể là chỉ thiết lập phơng trình vi phân chuyển động
cho cơ hệ không tự do và nêu lên một số tính chất của nó mà ta không đi sâu vào
phơng pháp tích phân các phơng trình đó.

Chơng 14
Nguyên lý di chuyển khả dĩ
14.1. Các khái niệm cơ bản về cơ hệ
Để làm cơ sở cho việc thiết lập các nguyên lý cơ học trớc hết nêu một số
khái niệm cơ bản về cơ hệ không tự do.
14.1.1. Liên kết và phân loại liên kết
14.1.1.1. Cơ hệ không tự do
Cơ hệ không tự do là một tập hợp nhiều chất điểm mà trong chuyển động
của chúng ngoài lực tác dụng ra vị trí và vận tốc của chúng còn bị ràng buộc bởi
một số điều kiện hình học và động học cho trớc.

-204-
14.1.1.2. Liên kết và phân loại liên kết
Liên kết là điều kiện ràng buộc chuyển động lên các chất điểm của cơ hệ
không tự do. Các biếu thức toán học mô tả các điều kiện ràng buộc đó gọi là

phơng trình liên kết. Dạng tổng quát của phơng trình liên kết có thể viết :
f
i
(r
k
,v
k
,t) 0 j = 1 m ; k = 1 n
j là số thứ tự các phơng trình liên kết.
k là số thứ tự các chất điểm trong hệ.
Phân loại liên kết
Căn cứ vào phơng trình liên kết ta có thể phân loại liên kết thành : liên
kết dừng hay không dừng ,liên kết giữ hay không giữ , liên kết hình học hay
động học
Nếu liên kết mà phơng trình không chứa thời gian t gọi là liên kết dừng.
Ngợc lại phơng trình liên kết chứa thời gian t gọi là liên kết không dừng hay
hữu thời
Nếu liên kết mà phơng trình mô tả bằng đẳng thức ta gọi là liên kết giữ
hay liên kết hai phía. Nếu liên kết có phơng trình mô tả bằng bất đẳng thức gọi
là liên kết không giữ hay liên kết một phía.
Nếu liên kết có phơng trình không chứa vận tốc v gọi là liên kết hình học
hay liên kết hô nô nôm. Ngợc lại nếu liên kết có phơng trình chứa yếu tố vận
tốc v gọi là liên kết động học hay không hô nô nôm.
Sau đây nêu một vài thí dụ về các loại liên kết.
Cơ cấu biên tay quay OAB biểu diễn trên hình (14-1) có phơng trình liên
kết :
x
A
2
+ y

A
2
= r
2
;
(x
B

+ x
A
)
2
+ y
A
2
= l
2
;
y
B
= 0 .
Các phơng trình liên kết trên thể hiện liên kết dừng, giữ và hô nô nôm.

-205-
Bánh xe bánh kính R lăn không trợt trên đờng thẳng (hình 14-2) có
phơng trình liên kết :
y
0
R ;
V

P
= 0 ;
Liên kết này là liên kết dừng, không giữ và không hô nô nôm.
Vật A treo vào đầu sợi dây vắt qua ròng dọc cố định B. Đầu kia của dây
đợc cuốn lại liên tục theo thời gian. Giữ cho vật dao động trong mặt phẳng oxy
thẳng đứng (hình 14-3). Phơng trình liên kết đợc viết :
x
A
2
+ y
A
2
= l
2
(t) ;
z
A
= 0 .
Liên kết này không dừng, không giữ và hô nô nôm.

y
P
M
R
x




A

1
2
O
y

A
P(t)
B
C
B


H
ình 14.3
H
ình 14.2
H
ình 14.1
14.1.2. Toạ độ suy rộng.
Toạ độ suy rộng là các thông số định vị của cơ hệ. Ký hiệu toạ độ suy
rộng là q
j
; q
j
có thể đo bằng đơn vị độ dài, đơn vị góc quay, điện lợng
Nếu số các toạ độ suy rộng đủ để xác định vị trí của hệ ta gọi là toạ độ suy
rộng đủ. Nếu số toạ độ d thừa nghĩa là vợt quá số toạ độ cần thiết để xác định
vị trí của hệ gọi là toạ độ d. Số các toạ độ d đợc liên hệ với nhau bằng biểu
thức dạng :
f

i
(q
k
,q
k
,t) 0 gọi là phơng trình liên kết.

-206-
Cơ cấu tay quay thanh truyền biểu diễn trên hình 14-1 nếu chọn q
1
= và
q
2
= thì giữa q
1
và q
2
có phơng trình :
rsinq
1
- lsinq
2
= 0.
Nếu chọn q
1
= x
A
và q
2
= y

A
thì giữa q
1
và q
2
có phơng trình :
q
1
2
+ q
2
2
= r
2
;
q
1
= Rcosq
3
.
14.1.3. Di chuyển khả dĩ của cơ hệ
Di chuyển khả dĩ là di chuyển vô cùng nhỏ của cơ hệ tại vị trí đang xét
sang vị trí lân cận mà cơ hệ có thể thực hiện phù hợp với liên kết đặt liên hệ. Để
phân biệt với di chuyển thực dr ta ký hiệu di chuyển khả dĩ là r .
Nếu gọi
và
k
r
r
'

k
r
r
là véc tơ định vị của chất điểm thứ k trong hệ tại vị trí
đang xét và tại vị trí lân cân thì
'
kkk
rrr
r
r
r

=

ta có :
f
j
(r
k
'
,v
k
'
,t) - f
j
(r
k
,v
k
,t) = 0 (j = 1 m).

Với định nghĩa trên ta thấy di chuyển thực khác với di chuyển khả dĩ ở
chỗ :
Di chuyển thực
r
d
r
phụ thuộc vào lực tác dụng và điều kiện đầu và liên kết
đặt lên hệ còn di chuyển khả dĩ chỉ phụ thuộc
vào liên kết đặt lên hệ mà thôi. Chính vì thế di
chuyển thực chỉ có một còn di chuyển khả dĩ
có thể có một hoặc nhiều. Đối với hệ chịu liên
kết dừng di chuyển thực sẽ trùng với một
trong số các di chuyển khả dĩ. Trong cơ cấu
tay quay thanh truyền (hình 14-1) di chuyển khả dĩ của hệ là một tập hợp các véc
tơ
và thoả mãn điều kiện liên kết nh sau : Hình chiếu lên AB của
bằng hình chiếu lên Ab của
A
r
B
r
A
r
B
r

. Chất điểm đặt lên mặt cong (hình 14-4) có
di chuyển khả dĩ là tập hợp các véc tơ
r
r

tiếp tuyến với mặt cong tại vị trí đang
xét.

r

M
H
ình 14.4

-207-
14.1.4. Bậc tự do của cơ hệ
Di chuyển khả dĩ của cơ hệ là có nhiều tuy nhiên mức đọ nhiều có hạn
chế. Trong số các di chuyển khả dĩ của cơ hệ có thể có một hay một số m di
chuyển cơ sở. Các di chuyển còn lại đợc biểu diễn qua các di chuyển cơ sở nói
trên. Các di chuyển cơ sở độc lập tuyến tính với nhau và đúng bằng thông số
định vị của cơ hệ tức là bằng số toạ độ suy rộng đủ. Ta goi các số di chuyển khả
dĩ cơ sở của hệ là số bậc tự do m của hệ.
Trong cơ cấu tay quay thanh truyền rõ ràng số bậc tự do m = 1, và có thể
chọn một trong hay à làm di chuyển cơ sở.
Số bậc tự do của hệ càng cao thì mức độ tuỳ ý của các di chuyển khả dĩ
càng lớn có thể xác định số bậc tự do của cơ hệ bằng biểu thức : m = r - s.
Trong đó r là số toạ độ d và s là số phơng trình liên kết.
14.1.5. Liên kết lý tởng - Lực suy rộng
14.1.5.1. Liên kết lý tởng
Nếu tổng cộng nguyên tố của phản lực liên kết trong mọi di chuyển khả dĩ
của cơ hệ đều triệt tiêu thì liên kết đặt lên cơ hệ đợc gọi là liên kết lý tởng.
Gọi
là phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm M
k

N
r
k
; r
k
là véc tơ di
chuyển khả dĩ của chất điểm đó thì theo định nghĩa trên ta có :

=
=
n
1k
kk
0r.N
r
r
(14-1)
Trong thực tế nếu cần bỏ qua lực ma sát và tính đàn hồi của vật thể tạo
thành cơ hệ thì đa số các cơ hệ thoả mãn biểu thức trên vsf nh vậy chúng chịu
các liên kết lý tởng. Khi phải kể đến các lực ma sát và tính đàn hồi của vạt thể
ta vẫn dùng dợc khái niệm liên kết lý tởng trên đây nhng phải xem các lực do
ma sát hoặc do tính đàn hồi của vật thể tác dụng lên cơ hệ nh là các hoạt lực.
Vật rắn tuyệt đối tự do là một cơ hệ chịu liên kết lý tởng.

-208-
Quả vậy nếu ta xét một cặp chất điểm M, N bất kỳ trong vật thì lực tác
dụng tơng hỗ giữa chúng là F, F' với F = -F'. Gọi r và r' là các véc tơ di
chuyển khả dĩ của chất điểm M, N, ta có :
(
)

'''
2
1k
kk
rrFrFr.FrN
rr
r
rr
r
r
r
+=+=

=
.
Theo động học vật rắn ta có :
MN
r
r
'

+=
r
r
nghĩa là :
MN
r
r
'

=



r
r
. Véc tơ MN có độ lớn không
đổi nên
(
)
'
rrMN
r
r
= vuông góc với
F
r
. Cuối cùng suy ra
()
0rr.F
'
=
r
r
r
,
hay
, điều này chứng tỏ vật rắn tự do là cơ hệ chịu liên kết lý tởng.

=

=
n
1k
kk
0rN
r
r
Hai vật rắn có bề mặt trơn nhẵn tiếp xúc với nhau tạo thành một cơ hệ chịu
liên kết lý tởng.
Cũng dễ dàng nhận thấy hai vật rắn có bề mặt trơn nhẵn tiép xúc với nhau
tạo thành một cơ hệ chịu liên kết lý tởng.
Dây mềm không dãn vắt qua ròng rọc khi bỏ qua sự trợt của dây và bỏ
qua ma sát ổ trục cũng là một cơ hệ chịu liên kết lý tởng.
14.1.5.2. Lực suy rộng
Xét cơ hệ N chất điểm, có m toạ độ suy rộng đủ q
1
q
2
q
m
. Biểu thức tổng
công của các hoạt lực trong một di chuyển khả dĩ nào đó của cơ hệ có thể viết:


==
=
n
1k
n
1k

k
a
k
a
k
rFA
r
r
. (a)
Trong đó
a
k
F
r
là tổng các hoạt lực tác dụng lên chất điểm M
k
; r
k
là di
chuyển khả dĩ của chất điểm M
k
tại vị trí đang xét.
Biểu diễn véc tơ định vị
r
r
k
và di chuyển khả dĩ
r
r
k

qua các toạ độ suy
rộng ta có :

()
m21kk
q., qqrr
r
r
=
;

-209-

m
m
k
2
2
k
1
1
k
k
q
q
r
q
q
r
q

q
r
r


+


+


=
r
r
r
r
.
Thay kết quả vào biẻu thức (a) ở trên ta đợc


==

+


+


=
N
1k
N
1k
m
m
k
2
2
k
1
1
k
k
a
k
q
q
r
q
q

r
q
q
r
FA
r
r
r
r


m
m
k
N
1k
a
k2
2
k
N
1k
a
k1
1
k
N
1k
a
k

q
q
r
F q
q
r
Fq
q
r
F


+


+


=

===
r
r
r
r
r
r


=

=++
n
1j
jjnn2211
qQqQ qQqQ
Đại lợng
j
k
N
1k
a
kj
q
r
FQ


=

=
r
r
đợc gọi là lực suy rộng tơng ứng với toạ độ
suy rộng q
j
.
Ta có định nghĩa : Lực suy rộng Q
j
ứng với toạ độ suy rộng q
j

là đại lợng
vô hớng biểu thị bằng hệ số của biến phân tơng ứng trong biểu thức tổng công
của các hoạt lực tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển khả dĩ bất kỳ của cơ hệ đó.
Bản chất vật lý của lực suy rộng phụ thuộc vào bản chất vật lý của toạ độ
suy rộng tơng ứng. Chẳng hạn ta thờng gặp :
Toạ độ suy rộng q
j
là độ dài thì Q
j
là lực; là góc quay thì Q
j
là mô men lực
; q
j
là điện lợng thì Q
j
là điện thế. q
j
là điện thế thì Q
j
là điện lợng.
Trong thực hành để xác định lực suy rộng Q
j
ta có phơng pháp sau đây.
Cho hệ một di chuyển khả dĩ với
q
j
còn các biến phân khác của toạ độ suy
rộng cho bằng không, sau đó tính công của các lực trong di chuyển đố của hệ.
Theo định nghĩa trên ta có :

==
=
N
1k
n
1j
jj
a
k
qQA
Vì các biến phân
q q
j
đều triệt tiêu nên biểu thức trên viết đợc :

-210-



==
=
N
1k
n
1j
jj
a

k
qQA
Từ đây suy ra biếu thức xác định lực suy rộng Q
j
;

j
N
1k
a
k
j
q
A
Q


=

=

Thí dụ 14.1 : Xác định lực suy rộng tơng ứng với toạ độ suy rộng của hệ
con lắc vật lý kép biểu diễn trên hình (14-5). Cho biết trọng lợng của mỗi con
lắc đều bằng P và đặt tại điểm giữa C1, Chứng từ của các con lắc ; Độ dài của
mỗi con lắc là 1.
O
x
y

C
2
C
1

A
P
2
P
1

2

1
Bài giải :
Chọn toạ độ suy rộng đủ của hệ là các góc

1

2

nh trên hình vẽ. Gọi các lực tơnh ứnh là Q
1
, Q
2
. Trớc
hết xác định Q
1
, ta cho hệ một di chuyển khả dĩ sao cho

1
0 còn
2
= 0. Công của các hoạt lực P
1
, P
2
trong di
chuyển đó tính đợc :
H
ình 14.5

=
=
k
11211
a
k
sinlP,sin
2
1
.PA ;
1111
Qsinl
2
Pl3
==
.
Suy ra :
11

sinl
2
Pl3
Q = .
Để tính Q
2
cho hệ một di chuyển khả dĩ với
1
= 0 còn
2
0. Khi đó
chỉ có con lắc AB di chuyển và công của hoạt lực trong di chuyển này là :
2222222
N
1k
a
k
Qsin
2
1
.Psin
2
1
.PA ===

=
.
Suy ra :
= sin
2

1
.PQ
2
.

-211-
14.2.1. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Khi cơ hệ chịu liên kết dừng và lý tởng thì điều kiện cần và đủ để nó cân
bằng tại vị trí đang xét là tổng công của các hoạt lực trong mọi di chuyển khả dĩ
của hệ tại vị trí đạng xét bằng không.

.

==
=
0r.FA
kka
N
1k
a
k
r
r
Trớc hết ta chứng minh điều kiện cần. Xét cơ hệ chịu liên kết dừng và lý
tởng. Giả sử ở vị trí đang xét hệ can bằng. Ta phải chứng minh điều kiện cần có
là

= 0r.F
kka
r

. Thật vậy, vì hệ cân bằng nên chất điểm M
k
trong hệ cũng cân
bằng. Nếu gọi
và là hoạt lực và phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm khảo
sát ta sẽ có :
a
k
F
r
k
N
r
. 0NF
k
a
k
=+
rr
Cho hệ một di chuyển khả dĩ tại vị trí đang xét và gọi
k
r
r

là di chuyển của
chất điểm M
k
ta cũng có thể viết :
0r.Nr.F
kkk

a
k
=+
r
r
r
r
.
Viết cho cả hệ, nghĩa là cho k tiến từ 1 đến N sau đó cộng vế với vế của
các biểu thức sẽ đợc :
0r.Nr.F
k
N
1k
kk
N
1k
a
k
=+

==
r
r
r
r
.
Vì liên kết là lý tởng nên
0r.N
k

N
1k
k
=

=
r
r
do đó cần phải có

0r.F
k
a
k
=
r
r
.
Sau đây chứng minh điều kiện đủ.
Giả thiết cơ hệ thoả mãn điều kiện
0r.F
k
N
1k
a
k
=

=
r

r
ta phải chứng minh rằng
điều kiện này đủ để cho hệ tự cân bằng ở vị trí đang xét. Thật vậy nếu cơ hệ thoả
mãn điều kiện trên mà không cân bằng thì chứng tỏ nó phải khởi động tại vị trí
đang xét đó. Nh vậy biến thiên của hệ phải dơng. dT > 0. Theo định lý động
năng ta có :

-212-


+==
=
kk
N
1k
k
a
k
a
k
r.Nr.FdAdT
r
r
r
r
.
Với hệ chịu liên kết dừng thì di chuyển thực dr sẽ trùng với một trong các
di chuyển khả dĩ. Ta có
k
rdr

r

=
.
Thay vào biểu thức trên ta đợc :


==
>+=
N
1k
N
1k
kkk
a
.k
0r.NrFdT
r
r
r
r

Vì hệ chịu lực liên kết lý tởng nên :

.
0r.N
k
N
1k
k

=+

=
r
r
Chỉ còn lại :
.

=
>=
N
1k
k
a
.k
0rFdT
r
r
Điều này trái với giả thiết đã nêu, chứng tỏ cơ hệ không thể khởi động tại
vị trí đang xét nghĩa là khi thoả mãn điều kiện
0r.N
k
N
1k
k
=

=
r
r

thì chác chắn cơ hệ
sẽ cân bằng.
14.2.2. Phơng trình cân bằng tổng quát của cơ hệ không tự do
Từ điều kiện cân bằng
0r.N
k
N
1k
k
=

=
r
r
có thể thiết lập phơng trình tổng
quát cho cơ hệ dới hai dạng toạ độ Đề các và toạ độ suy rộng.
- Dạng toạ độ Đề các .
Gọi X
k
a
, Y
k
a
, Z
k
a
là hình chiếu của hoạt lực
a
k
F

r
và x
k
, y
k,
z
k
, là hình
chiếu của di chuyển
lên các trục toạ độ oxyz. Ta có thể viết phơng trình cân
bằng của hệ dới dạng phơng trình sau đây:
k
r
r

(

==
++==
N
1k
k
a
kk
a
kk
a
kk
N
1k

a
kk
zZyYxXr.FA
r
r
)
. (14-3)
Phơng trình này gọi là phơng trình cân bằng tổng quát của hệ dới dạng
toạ độ Đè các.
- Dạng toạ độ suy rộng.
Xét hệ có m toạ độ suy rộng đủ q
1
q
2
q
m
. Điều kiện cân bằng của hệ có
thể viết :

-213-

.

==
===
N
1k
jjk
N
1k

s
kk
0qQr.FA
r
r
Nếu hệ chịu liên kết hình học (hô nô nôm) thì các
q
j
là độc lập với nhau
và dễ dàng suy ra các điều kiện cân bằng sau đây :
Q1 = 0 ; Q2 = 0 ; Qm = 0. (14-4)
Các phơng trình (12-3) và (12-4) chính là điều kiện cân bằng tổng quát
của cơ hệ chịu liên kết dừng, hô nô nôm là lý tởng.
Sau đây là các bài toán thí dụ.
Thí dụ 14 .1
Xà kép gồm hai đoạn AC và chuyển động nối với nhau bằng khớp bản lề ở
C. Trên đoạn chuyển động có lực tập trung P tác dụng theo phơng vuông góc
với xà tại E. Xác định phản lực tại gối đỡ di động B. Kích thớc két cấu xà cho
trên hình (14-6a).

A
l
1

a
B
C
E D
N
B

b
l
2

A D
B
C

E

s
B

s
E

s
C

P





H
ình 14.6b
H
ình 14.6a

Bài giải :
Để xác định phản lực N
B
ta giải phỏng liên kết (gối tựa di động) tại B và
thay vào đó phản lực N
B
.
Cho hệ di chuyển khả dĩ với
S
B
, S
c
, S
cE
nh hình vẽ.
Phơng trình cân bằng tổng quát cho hệ viết đợc :
0S.PSNA
EBB
a
k
=
=

. Trong đó :
B
2
1
E
S

l
l
a
b
S = .Phơng trình cân bằng còn viết đợc :
0S
l
l
.
a
b
.PSN
B
2
1
BB
= hay 0
l
l
a
b
.PN
2
1
B
=

-214-
Suy ra :

2
1
B
l
l
a
b
.PN =
.
Kết quả cho ta giá trị dơng chứng tỏ chiều của phản lực N
B
chọn nh
hình vẽ là đúng.
Thí dụ 142: Cho cơ cấu chịu tác dụng các lực cân bằng biểu diễn trên
hình (14-7).
Xác dịnh độ biến dạng h của lò xo nếu cho Q = 100N; độ cứng lò xo c = 5N/cm;
r
1
= 20cm; r
2
= 40cm; r
3
= 10cm; OA = 50cm; = 30
0
; = 90
0
.
O
1

P

r
1

r
2

1

1

s
K


3

s
1

G
3

G
1

r
3

3
o
2



F
B
x

s
A

A
y
s
B



H
ình 1
4
.7
Q
Bài giải:
Xét hệ bao gồm vật D đến con trợt B. bỏ qua ma sát ở trục và mặt trợt
liên kết đặt lên hệ là dừng, một phía, hô nô nôm và lý tởng.
Hoạt lực tác dụng lên hệ gồm trọng lợng
P,G,G,Q

31
r
r
r
r
và các lực đàn hồi
F
r
của lò xo. Trong các lực trên chỉ có lực Q
r
và
F
r
là sinh công.
Cho hệ một di chuyển khả dĩ với
s là di chuyển của vật D làm cơ sở. Ta
có thể tìm đợc ci chuyển của điểm B nh sau :

-215-
Ta có :
1
1
r
s
=

Điểm tiếp xúc K giữa hai bánh răng 2 và 3 có di chuyển
s
1
với :

s
r
r
rs
1
2
111
== . di chuyển góc quay của bánh răng 3 sẽ là
31
21
3
rr
rs
=
.
Vì thanh O
3
A gắn với bánh răng A nên điểm A có di chuyển :
s
rr
r
l.AOs
31
2
33A
== .
Ta có thể xác định di chuyển của B thông qua
s
A
. Vì thanh AB chuyển

động song phẳng với P là tâm vận tốc tức thời nên suy ra :
A
B
s
s
PB
PA


=
, hay :
AB
s
PB
PA
a =
.
Trong tam giác APB ta có :
0
30cos
1
PA
PB
=
.
Nên :
s
30cosrr
r
s

0
31
2
B
= .
Thiết lập điều kiện cân bằng cho hệ nhờ nguyên lý di chuyển khả dĩ. Ta
có:

Thay F = c . h

== 0sFsQrF
Bkk
r
r
ta đợc :
0s
30cosrr
r
h.csQ
0
31
2
= .
Suy ra :
cm74,1
50.40.5
87,0.10.20.100
s
r
30cosrr

c
Q
h
2
0
31
===
.
Nh vậy hệ cân bằng khi lò xo bị nén một đoạn h = 1,74cm.

-216-
Chơng 15
nguyên lý da lam be
15.1. Lục quán tính và nguyên lý Da lam be đói với chất điểm
Xét chất điểm có khối lợng m chuyển động với gia tốc dới tác dụng
các của lực
(hình 15-1).
W
r
n21
F F,F
rrr
M
F
n

H
ình 15.1
F
2

F
1

F
qt
Phơng trình cơ bản của động lực học
viết cho chất điểm :

=
=++=
N
1i
in21
FF FFWm
r
rrrr
.
W
Chuyển các số hạng của phơng trình trên
sang một vế đợc :
()
0WmF
i
=+

rr
. (1)
Số hạng
(

)
Wm
r

có thứ nguyên của lực bằng tích số giữa khối lợng m
với gia tốc w, cùng phơng nhng ngợc chiều với gia tốc đợc gọi là lực quán
tính của chất điểm và ký hiệu là
qt
F
r
.
Ta có
.
WmF
qt
rr
=
Thay vào phơng trình (1) ta đợc :
0FF
N
1i
qti
=+

=
rr
.
Các lực

i

F
r
và lực đồng quy tại chất điểm vì vậy có thể viết :
qt
F
r
(
)
0F,F FF
qtn21
=
rrrr
. (15-1)
Biểu thức (15-1) biểu diễn nguyên lý Đa Lam Be cho chất điểm và đợc
phát biểu nh sau :
Khi chất điểm chuyển động, các lực thực sự tác dụng lên chất điểm (bao
gồm các hoạt lực và phản lực liên kết) cùng với lực quán tính của nó tạo thành
một hẹ klực cân bằng.

-217-
Điều kiện cân bằng của hệ lực biểu diễn nguyên lý Đa Lam Be cho chất
điểm viết đợc :
X
i
= X
1
+ X
2
+ + X
n

+X
qt
= 0.
Y
i
= Y
1
+ Y
2
+ + Y
n
+Y
qt
= 0.
Z
i
= Z
1
+ Z
2
+ + Z
n
+Z
qt
= 0.
Trong đó :
X
i
, Y
i

, Z
i
và X
qt
, Y
qt
, Z
qt
là các hình chiếu của lực F
i
thực sự rác động len
chất điểm của lực quán tính
lên các trục oxyz.
qt
F
r
Chú ý :
1. Lực quán tính
không đặt lên chất điểm, đó là lực tởng tợng thêm
vào để có nguyên lý Đa Lăm Be. Thực tế lực quán tính đặt vào liên kết của chất
điểm. Thí dụ khi buộc một vật nặng vào đầu một sợi dây và quay thì lực thực sự
tác dụng lên vật trong trờng hợp này chỉ có trọng lực, lực căng của dây, lực cản
không khí, còn lực quán tính của vật lại đặt lên sợi dây và có xu hớng đứt dây.
qt
F
r
2. Khi chất điểm chuyển động cong, gia tốc của chất điểm có hai thành
phần tiếp tuyến và pháp tuyến do đó lực quán tính cũng có hai thành phần tơng
ứng. Ta có :
n

WWW
rrr
+=

.
n
qtqt
n
qt
FFWmWmWmF
r
r
r
rrr
+===

.
Trong đó lực quán tính tiếp tuyến

qt
F
r
có phơng tiếp tuyến với quỹ đạo có
chiều phụ thuộc vào tính chất chuyển động của chất điểm. Nếu
0
dt
dv
W >= thì
lực quán tính tiếp tuyến ngợc chiều với vận tốc của chất điểm.

0
dt
dv
W <=

thì lực quán tính tiếp tuyến cùng chiều với vận tốc của chất
điểm. Vì vậy gia tốc pháp tuyến W
n
luôn luôn cùng hớng vào tâm của đờng
conh tại vị trí đang xét nen
n
qt
F
r
luôn luôn có chiều hớng từ tâm đờng cong ra
ngoài vì thế
đợc gọi là lực quán tính ly tâm (hình 15-2)
n
qt
F
r

-218-

M
n

F
qt
W

n
F
qt

v
W

F
qt

W
n

M
W

v
n
F
qt






H
ình 15.2

Nhờ nguyên lý Đa Lăm Be ta có thể giải thích các bài động lực học của

chất điểm bằng phơng pháp giải bài toán cân bằng của hệ lực đồng quy đã biết
trong tĩnh học.
Thí dụ 15-1
M
W
O

P
F
e
qt
T
F
qt
P
T

Một bóng đèn có trọng lợng P treo
trên trần của toa tầu đang chạy. Tại một thời
điểm nào đó ngời ta thấy dây treo đèn lệch
đi so với phơng đứng một góc
. Tình gia
tốc của tầu tại thời điểm đó. Tính lực căng
của dây (hình 15-3).
H
ình 15.3
Bài giải :
Xét chuyển động của bóng đèn. Gọi gia tốc của bóng đèn là ta có : các
lực thực sự tác dụng lên bóng đèn là trọng lực
P

W
r
r
, lực căng
T
r
của dây. Lực quán
tính của bóng đèn là :
W
g
P
F
qt
r
r
=
.
Theo nguyen lý Đa Lăm Be có :
(
)
qt
F,T,P
rrr
0
Hệ lực này gồm 3 lực đồng quy ta có thể thiết lập điều kiện cân bằng của
chúng bằng tam giác khép kín nh trên hình (15-3b).
Từ tam giác lực này suy ra : F
qt
= Ptg.
Hay mw = ptg

= mgtg;

-219-
w = gtg
.
Tại thời điểm xét coi bóng đèn là cân bằng tơng đối trong toa tầu do đó
gia tốc của bóng đàn cũng chính là gia tốc của toa xe.
Cuối cùng lực căng T tính đợc ;
P
cos
1
cos
P
T

=

= .
Ta có phơng chièu biểu diễn nh hình vẽ.
Thí dụ 15-2 : Một bình hình trụ chứa chất lỏng
quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc không đổi
0
.
Tìm dạnh mặt thoáng chất lỏng ở vị trí cân bằng tơng
đối (hình 15-4).
Bài giải:
Xét mọt phần tử chất lỏng M nằm trên mặt
thoáng.
Giả thiết mặt phẳng oxy cắt mặt thoáng theo
giao tuyến AOB di qua điểm M (hình 15-4). Các lực

thực sự tác đọng lên chất điểm M gồm : Trọng lực
P
r
phản lực của phần chất
lỏng còn lại tác dụng lên chất điểm có hớng theo pháp tuyến Mn.
N
r
O
M
B


F
qt
x
P

N
r
n
y

A
H
ình 15.4
Lực quán tính của chát điểm là
WmF
qt
r
r

=
vì khối lỏng quay đều quanh
trục quay nên gia tốc
chỉ gồm thành phần pháp tuyến và lực quán tính
có phơng chiều nh hình vẽ :
W
r
n
W
r
qt
F
r
F
qt
= F
qt
n
= m
2
.x ,
ở đây x là toạ độ của điểm M.
áp dụng nguyên lý Đa Lăm Be cho chất điểm M ta có :
(
)
qt
F,N,P
rrr
0.
Phơng trình cân bằng của hệ lực này trên trực tuyến M

viết đợc :
m x

2
cos - mgsin = 0 ;
là góc nghiêng của đờng tiếp tuyến với trục x.
Suy ra
x.
g
tg
2

=


-220-
Thay
dx
dy
tg =
ta đợc : x.
gdx
dy
2

=

Hay
dx.x.
g

dy
2

=
.
Láy tích phân hai vế theo các cận tơng ứng có :
dx.x.
g
dy
y
0
2
y
0


=
,
Hay
2
2
x.
g2
y

= .
Nh vậy đờng AOB là đờng parabol và mặt thoáng của chất lỏng là một
mặt paraboloit tròn xoay nhận trục oy là trục đối xứng.
15.2. Nguyên lý Đa Lăm Be đối với hệ
15.2.1. Nguyên lý

Xét hệ gồm n chất điển : M
1
,M
2
, M
n
.
Tách một chất điểm M
k
ra xét. Gọi
i
k
F
r
và
e
k
F
r
là tổng các nội lực và tổng
các ngoại lực tác dụng lên chất điểm. Nếu chất điểm chuyển động với gia tốc
thì lực quán tính của chất điểm sẽ là
k
W
r
kkqtk
WmF
r
r
=

.
áp dụng nguyên lý Đa Lăm Be cho chát điểm ta có :
(
)
qtk
e
k
i
k
F,F,F
rrr
0.
Cho k tiến từ 1 n ta đợc n hệ lực cân bằng viết theo dạng trên. Tất cả
các hệ lực đó hợp lại thành một hệ lực cân bằng :
(
)
qtk
e
k
i
k
F,F,F
rrr
0. (k = 1 n) (15-3)
Biểu thức (15-3) biểu diễn nguyên lý Đa Lăm Be đối với hệ và đợc phát
biểu nh sau :
Khi hệ chuyển động các lực thực sự tác dụng lên hệ (kể cả nội lực và
ngoại lực) cùng với lực quán tính của hệ tạo thành một hệ lực cân bằng.
Hệ lực biểu diễn bởi biểu thức (15-3) là hệ lực bất kỳ trong không gian và
vậy điều kiện cân bằng của hệ có thể viết nh sau :

-221-
()

=
=++
N
1ki
qtk
e
k
i
k
0FFF
rrr
;
[]

=
=++
N
1ki
qtk0
e
k0
i
k0
0)F(m)F(m)F(m
r
r

r
r
r
r
.
Vì
nên phơng trình còn lại :
0F
N
1ki
i
k
=

=
r
()

=
=+
N
1ki
qte
k
0RF
rr
;
[

=

=+
N
1ki
qt
0
e
k0
0M)F(m
rr
r
]
(15-4)
Trong đó
qt
R
r
và là véc tơ chính và mô men chính lực quán tính của
hệ.
qt
0
M
r
Nếu viết dới dạng hình chiếu ta có 6 phơng trình sau :

=+ 0XX
qte
k
;

=+ 0YY

qte
k
;

=+ 0ZZ
qte
k
;

=+ 0M)F(m
qt
x
e
kx
;

=+ 0M)F(m
qt
y
e
ky
;

=+ 0M)F(m
qt
z
e
kz
.
Trong đó : X

k
e
, Y
k
e
, Z
k
e
, X
qt
, Y
qt
, Z
qt
là các thành phần hình chiếu lên
các trục oxyz của ngoại lực
0
k
F
r
và véc tơ chính của lực quán tính
qt
R
r
còn
và M
)F(m),F(m),F(m
e
kz
e

ky
e
kx
rrr
x
qt
, M
y
qt
, M
z
qt
là mô men đối với ba trục oxyz
của ngoại lực
và mô men chính của lực quán tính đối với ba trục.
0
k
F
r
Cũng nh đối với chất điểm nguyên lý Đa Lăm Be đối với hệ cho ta
phơng pháp giải các bài toán động lực học cho hệ theo phơng pháp tĩnh học và
đợc gọi là phơng pháp tĩnh động Phơng pháp tĩnh động đợc áp dụng rộng
rãi để giải các bài toán động lực học đặc biệt là những bài toán xác định các
phản lực liên kết. Khi sử dụng phơng pháp khó khăn chính là việc xác định véc

-222-
tơ chính
qt
R
r

và mô men chính, M
c
qt
. Sau đây sẽ trình bày kết quả thu gọn hệ lực
quán tính trong một số trờng hợp đặc biệt.
15.2.2. Thu gọn hệ lực quán tính
15.2.2.1. Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động tịnh tiến
Các chất điểm trong vật có gia tốc nh nhau và bằng gia tốc khối tâm :
.
()
n 1kWW
ck
==
rr
Khi thu gọn hệ lực quán tính về khối tâm C ta đợc :

==
cck
qt
c
WMWmR
r
rr
;
()

==== 0WxrMWxmrWmmM
cccckkkkc
qt
c

r
r
r
r
r
r
.
Vì
0r
cc
=
r
do ta chọn C làm tâm thu gọn.
Nh vậy trong trờng hợp vật chuyển động tịnh tiến hợp lực của các lực
quán tính bằng véc tơ chính
c
qt
c
WMR
r
r
= và đi qua khối tâm C.
15.2.2.2. Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động quay quanh một
trục cố định đi qua khối tâm C
Gọi vận tốc và gia tốc của vật là
và ta có :
0WMWmR
ckk
qt
c

===

r
rr
vì 0W
c
=
r
.
()
(
)
(
)
qt
n
N
1k
cz
qt
N
1k
cz
qt
N
1k
cz
qt
k
FmFmFmM

r
r
r

=

==
+==
.
Các lực quán tính pháp tuyến luôn luôn đi qua trục quay do đó :
()

=
k
qt
ncz
0Fm
r
. Ta có :
()

=

===
N
1k
ozkkk
qt
cz
qt

cz
JdmdFmM
r
.
M
cz
qt
= - J
oz
.
Với J
oz
là mô men quán tính của vật đối với trục quay.
Kết quả thu gọn hệ lực quán tính của hệ chuyển động quay quanh một trục
đi qua khối tâm là :
0R
qt
c
=
r
và M
cz
qt
= - J
oz
.

-223-
15.2.2.3. Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động song phẳng
Theo động học chuyển động song phẳng của vật có thể phân tích thành hai

chuyển động cơ bản là tĩnh tiến theo khối tâm và chuyển động quay quanh trục z
đi qua khối tâm C vuông góc với mặt phẳng cơ sở. Thu gọn hệ lực quán tính với
từng chuyển động cơ bản đó đã đợc trình bày trong hai trờng hợp trên. Dễ
dàng nhận thấy khi thu gọn các lực quán tính của hệ chuyển động song phẳng có
kết quả sau :
c
qt
C
WMR
r
r
=
và M
cz
qt
= - J
oz
.
trong đó M và J
oz
là khối lợng và mô men quán tính của hệ đối với trục
quay cz. W
c
và là gia tốc khối tâm và gia tốc góc của hệ.
Sau đây giải một số bài toán có vận dụng nguyên lý Đa Lăm Be cho hệ.
Thí dụ 15-3:
Hai vật A và B có trọng lợng P
1
và P
2

liên kết với nhau bằng một sợi dây
không dãn trọng lợng không đáng kể. Hai vật chuyển động trên mặt phẳng nằm
ngang có hệ số ma sát f nhờ tác dụng lực Q vào vật B theo phơng ngang ( hình
15-5 ). Xác định gia tốc của hai vật và lực căng của sợi dây.
Bài giải :
Xét hệ gồm cả hai vật. Các lực ngoài tác dụng lên hệ gồm trọng lợng
, phản lực pháp tuyến
21
P,P
rr
21
N,N
r
r
, lực ma sát trợt
21
F,F
r
r
và lực kéo Q.

N
1

F
1

qt
N
2

P
2

F
2

qt
F
1

B A
Q
P
1
F
2

P
2

N
2

F
2

qt
T
F

2





b)
a)

H
ình 15.5

Gọi lực quán tính đặt lên vật A và B là
qt
2
qt
1
F,F
r
r
ta có :
2
2
qt
21
1
qt
1
W
g

P
F;W
g
P
F
r
r
r
r
==


-224-
với
WWW
21
r
r
r
==
.
Theo nguyên lý Đa Lăm Be ta có :
(
)
0F,F,Q,F,F,N,N,P,P
qt
2
qt
1212121
=

r
r
r
rrrrrr

Các lực này đợc biểu diễn trên hình (15-5a). Phơng trình cân bằng theo
phơng trục ox nằm ngang viết đợc:
0FFFFQ
11
qt
2
qt
1
=
rr
r
r
,
hay
()
0fPPW
g
PP
Q
12
12
=+
+
=
r

.
Suy ra gia tốc hai vật :
g.f
PP
Q
W
12









+
=

Từ kết quả tìm đợc nhận thấy vật chuyển động khi :








+
<

12
PP
Q
f
.
Để tính lực căng T của dây ta phải tách một trong hai vật ra để xét chẳng
hạn xét vật B. Các lực thực sự tác dụng lên vật B là :
(
)
T,Q,F,N,P
222
rr
r
r
. lực quán
tính là
. Các lực này đợc biểu diển trên hình (15-5b).
qt
2
F
r
áp dụng nguyên lý Đa Lăm Be ta có :
(
, P
r
N
r
,
2
F

r
, , T ,
qt
Q
r
r
F
r
2
) 0.
Viết phơng trình của hệ cân bằng này lên phơng ngang ta có:
Q - T - F
2
- F
2
qt
= 0
Q - T - p
2
.f - p
2
g
w
= 0
Thay giá trị tìm đợc của w vào phơng trình trên tính đợc :
T =
21
1
PP
QP

+
.
Kết quả cho thấy lực căng của dây không phụ thuộc lực ma sát.


-225-

Thí dụ 15-4:
Thanh đồng chất có chiều dài l, trọng lợng
P
r
. Đầu A đợc giữ bằng khớp
bản lề và đầu B đợc giữ bằng sợi dây (hình 15.6). Xác định lực căng
của dây
BD khi trục quay đều với vận tốc

T
r
o
.
Cho biết góc hợp bởi giữa thanh AB và trục quay AD là .
Bài giải:
Xét chuyển động của thanh AB. Các lực ngoài tác dụng lên thanh là:
Trọng lực
P , phàn lực R
r r
A
và lực căng T
r
của dây. Gọi hợp lực của các lực quán

tính là
qt
R
r
. Theo nguyên lý Đa lam be ta có:
(
, ,P
r
T
r
R
r
A
,R
qt
r
) 0.
Ta có nhận xét: Lực quán tính
F
r
qt
k
của các phần tử trên thanh có cùng
phơng chiều và tỷ lệ với toạ độ x
của nó.
k
y
A
y
A

x
A
P

x

2
xdm
R
n
E
E
B

o
D
T
C


H
ình 15.8
h
Điều này cho phép vẽ biểu đồ phân bố
các lực quán tính theo hình (15-6). Ta nhận
thấy rằng hợp lực của hệ lực này
R
r
qt
= M.

W
r
c
và đi qua trọng tâm của tam giác ABE,
nghĩa là đi qua điểm F cách A một đoạn
bằng 21/3. Dễ dàng tìm thấy phơng trình
cân bằng cho hệ lực:

=+
+
= 0RXTX
qt
A
;
Y=Y
A
- P = 0 ;
2
1
Pcos
3
2
.Rcos.l.T)F(m
qt
iA
=

0sin =
.Thay
2

c
qt
sin
2
l
g
P
W.MR ==
và giải hệ phơng trình trên ta đợc :








+

= tg
2
1
sin
g3
l
PT
2
0
;
PY

A
=
và
2
0
2
0
A
sin
2
l
g
P
tg
2
1
sin
g3
l
PX








+

=
.

-226-
Chơng 16
Phơng trình tổng quát của động lực học -
Phơng trình lagrang loại 2
16.1. Phơng trình tổng quát của động lực học
Nh đã biết ở chơng 12 và chơng 13, nguyên lý Đa Lăm Be cho ta
phơng pháp tĩnh để giải quyết các bài toán động lực học, còn nguyên lý di
chuyển khả dĩ cho ta phơng pháp tổng quát giải các bài toán cân bằng của cơ hệ
tự do. Kết hợp hai nguyên lý trên cho chúng ta thiết lập phơng trình vi phân
chuyển động của cơ hệ tự do gọi là phơng trình tổng quát của động lực học.
Xét cơ hệ chịu liên kết dừng và lý tởng chuyển động dới tác dụng của
các hoạt lực và phản lực liên kết. Gọi
k
a
k
N,F
r
r
là hoạt lực và phản lực liên kết tác
dụng lên chất điểm M
k
. Nguyên lý Đa Lăm Be cho chất điểm M
k
có thể viết ;
0WmNF
kkkk
=+

rrr
. (a)
Cho hệ di chuyển khả dĩ, gọi
k
r
r

là di chuyển của chất điểm M
k
. Nhân hai
vế của phơng trình (a) với
k
r
r

ta đợc
0rWmrNrF
kkkkkk
a
k
=+
r
r
r
r
r
r
. (b)
Viết phơng trình (b) cho tất cả các chất điểm trong hệ nghĩa là cho k = 1
N ta sẽ đợc hệ N phơng trình :

0rWmrNrF
111111
a
=+
r
r
r
r
r
r
;
0rWmrNrF
222222
a
=+
r
r
r
r
r
r
;

0rWmrNrF
nnnnnn
a
n
=+
r
r

r
r
r
r
.
Tiến hành cộng vế với vế của hệ N phơng trình trên ta đợc :
0rWmrNrF
N
1k
kkk
N
1k
kk
N
1k
k
a
k
=+

===
r
r
r
r
r
r
. (c)
Vì liên kết đặt lên hệ là liên kết lý tởng nên số hàng thứ hai trong phơng
trình (c) triệt tiêu :

.
0rN
N
1k
kk
=

=
r
r

-227-
Cuối cùng ta có :
0rWmrF
N
1k
kkk
N
1k
k
a
k
=

==
r
r
r
r

Hay :
0r)WmF(
kkk
N
1k
a
k
=

=
r
r
r
(16-1)
Phơng trình (16-1) là phơng trình vi phân chuyển động của hệ đợc gọi
là phơng trình tổng quát của động lực học dới dạng véc tơ.
Cũng có thể viết phơng trình này dới dạng toạ độ Đề các sau đây.

===
=++
N
1k
N
1k
kkk
a
kkkk
a
k
N

1k
kkk
a
k
0z)zmZ.(y)ymY.(x)xmX.(
rrr
(16-2)
Từ các phơng trình tổng quát của động lực học ta thấy khi cơ hệ chịu liên
kết dừng và lý tởng tổng vi phân công của các hoạt lực và các lực quán tính
luôn luôn bằng không. Ta có :
0A.A.
N
1k
qa
k
N
1k
a
k
=+

==
(16-3).
Thí dụ 16-1
Trục của bộ điều chỉnh ly tâm đặt
thẳng đứng và quay với vận tốc góc

(hình 16-1). Trọng lợng của mỗi quả
văng là P
1

= P
2
= P. Trọng lợng của con
trợt CC
1
là Q. Xác địng góc của thanh
A
1
O
1
và A
2
O
2
hợp với trục quay là hàm
theo vận tốc góc
. Cho A
1
O
1
= A
2
O
2
=
1; O
1
B
1
= O

2
B
2
= B
1
C
1
= B
2
C
2
= a
Bài giải :
Xem bộ điều chỉnh bao gồm quả
văng A
1
A
2
và con trợt là một cơ hệ. Nếu
bỏ qua lực ma sát ở các ổ trục và các
khớp nối ta có thể xem cơ hệ này chịu liên kết dừng và lý tởng. Các hoạt lực tác
dụng lên hệ bao gồm trọng lợng của các quả văng và con trợt là
21
P,P
r
r
và Q.
Khi hệ quay ổn định với vận tốc góc
thì lực quán tính của hệ chỉ bao gồm các

y
O
1

O
2

Q
3

x
P
1

F
1
n
A
2

A
1

B
2

B
1

C
1

C
2

P
2

F
2
n
H
ình 16.1