Lý thuyết các hiện tượng tới hạn-Chương 2(tt) potx

2.3.
M
ộ
t s
ố
mô h
ì
nh đơn gi
ả
n
2.3.1. Mô hình Ising
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
c: vector bán kính kẻ từ gốc tọa đến tâm của ô
cơ sở  đặc trưng vị trí của ô;
•
kích thước dài của mạng tinh thể: L(Å)
 thể tích mạng: L
d
;
•
số ô cơ sở: L
d
(kích thước ô cơ sở: 1
Å
);
•
spin toàn phần (sau khi lấy trung bình) của các
hạt trong ô cơ sở có vector bán kính c: σ
c
;

•
1 ô cơ sở 1 spin ô
L
d
ô cơ sở L
d
spin ô
•
Ở đây ta không quan tâm đến spin của từng hạt trong ô cơ sở mà chỉ quan tâm
đến spin toàn phần của các hạt trong ô sau khi lấy trung bình.
•
Mỗi biến spin chỉ có thể nhận một trong hai giá trị: +1 hoặc -1 (spin định hướng
song song hoặc đối song với một trục nào đó của hệ).
 Mô hình Ising thường được dùng để mô tả các hệ từ bất đẳng hướng mạnh.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.3.
M
ộ
t s
ố
mô h
ì
nh đơn gi
ả
n
2.3.1. Mô hình Ising (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
• Số biến spin ô:


Số cấu hình spin khác nhau của hệ:
•
Mỗi cấu hình spin  một năng lượng xác định (hàm của tất cả các biến spin).
•
Hamiltonian Ising
2 2
d
N L

d
N L



c c c 1 2
c,c c
ˆ
H (c c )
I h S S
   



     
 
(1)
c


c


: lấy theo tất cả các ô lân cận của ô c cho trước;
: lấy theo tất cả các ô.
I: tích phân trao đổi; I > 0: hệ sắt từ, I < 0: hệ phản sắt từ.
S1: tương tác giữa các spin thuộc các ô khác nhau trong hệ thông
qua I.
S2: thế năng tương tác của các spin với từ trường ngoài h.
Lưu ý: (1) mô tả tương tác giữa các spin thuộc các ô cơ sở khác nhau,
không xét đến tương tác spin của các hạt trong cùng một ô.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.3.
M
ộ
t s
ố
mô h
ì
nh đơn gi
ả
n
2.3.2. Mô hình Heisenberg
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Các spin ô σ
c
có thể hướng theo các phương tùy ý
σ
c
= (σ

1c
,σ
2c
,σ
3c
) = {σ
ic
}, i=1,2,3 (2)
•
Hamiltonian Heisenberg:


c c c
c,c c
ˆ
H (c c )I
   



   
 
h
   
(3)
 bất biến đối với mọi phép quay hệ (hay quay tất cả spin) một góc bất kỳ.
Mô hình Heisenberg thích hợp để mô tả các hệ đẳng hướng.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.3.

M
ộ
t s
ố
mô h
ì
nh đơn gi
ả
n
2.3.3. Mô hình XY
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Là mô hình trung gian giữa mô hình Ising và mô hình Heisenberg.
•
Mỗi biến spin σ
c
là một vector hai thành phần:
σ
c
= (σ
1c
, σ
2c
)
•
Hamiltonian có cùng dạng (3) với Hamiltonian Heisenberg.
Mô hình XY dùng để mô tả các hệ từ có spin định hướng chủ yếu trên một mặt phẳng.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.3.

M
ộ
t s
ố
mô h
ì
nh đơn gi
ả
n
2.3.4. Số chiều của không gian và số thành phần của spin
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Hai tham số quan trọng trong lý thuyết các hiện tưởng tới hạn (quyết định giá trị các
chỉ số tới hạn):
1) Số chiều không gian d:
•
d = 1: chuỗi spin,
•
d = 2: lớp spin,
•
d = 3: khối spin.
2) Số thành phần của vector spin n:
•
n = 1: Ising,
•
n = 2: XY,
•
n = 3: Heisenberg.
Lưu ý: d và n có thể bằng nhau nhưng thông thường thì khác nhau.
•
Khối sắt từ đẳng hướng  mô hình Heisenberg  d=n=3;

•
Khối sắt từ có một trục bất đẳng hướng mạnh  mô hình Ising  d=3, n=1;
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.3.
M
ộ
t s
ố
mô h
ì
nh đơn gi
ả
n
2.3.5. Phân bố thống kê của các biến spin
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Giả sử vector spin ô σ
C
có n thành phần σ
ic
(i=1,2,…,n)
 số biến spin: N = nL
d
•
Biến spin σ
ic
: đại lượng ngẫu nhiên.
• Hàm phân bố:
 : hamiltonian ô


là tổng thống kê được xác định từ điều kiện chuẩn hóa (tích phân bội lấy theo
tất cả các thành phần của mỗi vector pin và theo tất cả các ô cơ sở của mạng
tinh thể).
•
(4)  xác suất của một cấu hình spin.


ˆ
1 H[ ]/
P e
T
Z


 



(4)
ˆ
H[ ]

ˆ
H[ ]/
c
,c
e
T
i

i
Z d







(5)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.3.
M
ộ
t s
ố
mô h
ì
nh đơn gi
ả
n
2.3.5. Phân bố thống kê của các biến spin (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Giả sử A là một đại lượng nhiệt động đặc trưng cho hệ và là hàm của các biến
spin.
•
Trị trung bình của A
 : trung bình thống kê được tính theo hàm phân bố P[σ].

•
Năng lượng tự do cho một đơn vị thể tích



ˆ
1 [ ]/
c
, ,c
e
H T
ic i
P
i c i
A AP d Z A d

  
 
 
 
 


(6)

P
(7)
d
F F
f

V L
 
/ /
e e
d
F T fL T
Z
 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.3.
M
ộ
t s
ố
mô h
ì
nh đơn gi
ả
n
2.3.5. Phân bố thống kê của các biến spin (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Một số đại lượng nhiệt động tính theo năng lượng tự do:
 Entropy:
 Nhiệt dung:
 Độ từ hóa:
 Độ cảm từ:
•

Nếu các đại lượng nhiệt động biến thiên theo T-T
c
, h, k theo các quy luật ở chương I

mô hình và tính toán lý thuyết cho kết quả phù hợp với thực nghiệm.
giải tích >< phân kỳ ?
,
f
S
T

 

2
2
,
S f
C T T
T T
 
  
 
,
T
f
m
h

 
 

 

 
2
2
.
T
T
m f
h h

 
 
 
   
 
 
 
 
 
,
 
ˆ
H
(8)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ

m v
à
ph
é
p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.1. Hamiltonian cụm
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Hamiltonian ô:
 Không cho phép mô tả tương tác giữa các spin bên trong cùng một ô cơ sở;
 Các tham số của Hamiltonian ô (tích phân trao đổi, …) đã tổng hợp và bao
hàm những hiệu ứng về biến diễn của hệ trên những khoảng cách r nhỏ hơn
kích thước của một ô cơ sở (r ≤ 1 );
 Chỉ cho thông tin về biến diễn spin trên những khoảng cách lớn hơn kích
thước ô cơ sở (r ≤ 1 );
 Hamiltonian ô có độ phân giải 1 .
•
Thực nghiệm cho thấy những miền có kích thước lớn (ở đó hầu hết các spin định
hướng song song) quyết định các tính chất tới hạn của hệ.
 Nhu cầu: từ các ô cơ sở ban đầu lập các cụm lớn hơn (blocks, clusters).
o
A
o
A
o
A

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
•
Chia hệ L
d
ô cơ sở ban đầu thành các cụm kích thước b chứa b
d
ô cơ sở ban đầu,
 cụm.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v
à
ph
é
p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
o
A
d
d
L
b
Trường hợp d = 2:

8×8 ô cơ sở ban đầu
16 cụm mới, mỗi cụm chứa 4
ô cơ sở ban đầu (b = 2).
Spin σ
x
: trung bình số học của tất cả spin ô trong cụm
: lấy tổng theo các ô thuộc cụm x.
b = 1: spin cụm ≡ spin ô.
x
x c
c
d
b
 



 
(1)
x

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v
à
ph
é

p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Hamiltonian ô (mô tả tương tác spin ô trên khoảng cách r ≥ 1 )  Hamiltonian cụm
(mô tả tương tác spin cụm trên khoảng cách r ≥ b ).
•
Giả sử:
 P(q
1
,q
2
): hàm phân bố của các biến ngẫu nhiên q
1
, q
2
;
 q: trung bình số học (TBC) của q
1
, q
2
: q = ½ (q
1
+ q
2
);

P(q
1
,q
2
)  P(q)
•
Quy tắc của xác suất thống kê:
o
A
o
A
?
?
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( , )
2 2
P
q q q q
P q dq dq q P q q q
 
 
   

   
   
   

(2)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v
à
ph
é
p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Áp dụng với:



 Hàm phân bố cho các biến spin cụm:
ˆ
[ ]/
1 2
( , ) [ ]
H T
P q q P e








(3)
x
q



x
1 2
c
c
2
d
i
q q
b





 
 
 
x
x c
c

,c
x
ˆ
H[ ]/ H[ ]/
x c c
c
,x ,c
~ e e
d
i i
i
P
T d T
i i j
i j
P b
b d
 
   
   

  

 
 



 


 


H[ ]/
e
T



H[ ]


Giả sử có thể đưa kết quả thu được về dạng
 hamiltonian cụm cần tìm trong không gian tọa độ.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v
à
ph
é
p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

•
Độ phân giải của hamiltonian cụm kém hơn b lần so với độ phân giải của
hamiltonian ô.
•
Nếu không quan tâm đến các tương tác spin trên khoảng cách r < b :
hamiltonian cụm tương đương hamiltonian ô (hàm phân bố ứng với chúng cho
cùng giá trị trung bình).
•
Trong các hiện tượng tới hạn, người ta thường quan tâm các dao động spin với
bước sóng λ lớn (λ >> hằng số mạng).
o
A
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v
à
ph
é
p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Hamiltonian cụm trong không gian vector sóng k
?

 thay thế các biến spin ô bởi các ảnh Fourier σ
k
của chúng
 KGTĐ:
 KGXL:
Khi đó:
 là hàm của
 : phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên σ
ik
(nL
d
biến).
/ 2 kc
c k
k
e
d i
L
 



 
/ 2 kc
k c
c
e
d i
L
 

 


 
(4)
ˆ
H[ ]


k


- H /
e
T
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v
à
ph
é
p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
KGTĐ và KGXL nghịch đảo nhau
 nếu spin cụm σ
x
mô tả các hiệu ứng trên những khoảng cách r ≥ b thì ảnh
Fourier của nó σ
k
chỉ cho thông tin về biến diễn spin đối với k thỏa k < Λ (Λ = 2π/b).
Khi lập hamiltonian cụm từ hamiltonian ô trong không gian vector sóng, ta chỉ quan
tâm đến các biến σ
k
có vector sóng k < Λ.
o
A
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v
à
ph
é
p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Hàm phân bố P [σ
k
] cho các biến σ
k
 P’ [σ
k
] cho các biến σ
k
với k < Λ.
•
Quy tắc xác suất thống kê:
P (q
1
,q
2
): hàm phân bố thống kê của các đại lượng ngẫu nhiên q
1
,q
2
.
 hàm phân bố P’ (q
1
) cho biến q
1
(không quan tâm tới biến q
2
):
• Áp dụng: do chỉ quan tâm đến các biến σ
k
với k < Λ nên ta lấy tích phân hàm

phân bố P [σ
k
] theo σ
ik
với k > Λ
?
1 2 1 2
( ) ( , )
P q dq P q q



(5)
ˆ
H[ ]/T H[ ]/T
k
,k
k>
~
i
i
P e d e
 

 






 

(6)
 hàm phân bố thống kê cho các đại
lượng σ
ik
có vector sóng k nằm bên
trong hình cầu có bán kính Λ.
•
Giả sử có thể đưa P’ về dạng
 : hamiltonian cụm trong không gian vector sóng, tương đương với
hamiltonian cụm (3).
H[ ]/T
e



H[ ]


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v
à
ph
é
p bi

ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Spin cụm:
•
Định nghĩa một spin cụm khác tương đương với σ
x
về mặt định tính
 Mô tả cấu hình spin trên những khoảng cách r ≥ b ~ Λ
-1
(thông tin về các σ
ik
với
k < Λ).
x
-
x c
c
d
b
 


 
-d/2 kx
k

k
( )
(x) e
i
k
L
 



 
(7)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v
à
ph
é
p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.2. Phép biến đổi Kadanoff
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Thu nhận hamiltonian cụm từ hamiltonian ô (phép biến đổi (3) hoặc (6)): phép

biến đổi Kadanoff.
 Mô tả quá trình này bởi toán tử K
b
:
ˆ
H[ ]/ H[ ]/
b
T T
 
 K
 
(8)
1
1

K
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v
à
ph
é
p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff

2.4.2. Phép biến đổi Kadanoff (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Mở rộng: xây dựng hamiltonian cụm mới H”[σ] với mỗi cụm có kích thước dài gấp
s lần kích thước dài của cụm vừa thu được.
 Định nghĩa spin cụm mới:
 x: vector bán kính cụm mới,
 y: vector bán kính cụm cũ bên trong cụm mới.
•
Sử dụng quy tắc (2):
•
mô tả tương tác giữa các spin của các cụm mới có kích thước sb.
•
Độ phân giải của H” là sb (giảm thêm s lần so với H).
x
-
x y
y
d
i
s
 



 
H [ ]/ H[ ] /
s
T T
 



K
 
(9)
x
H [ ]/ H[ ]/ -
x y y
y
,x ,y
e e ( )
T T d
i i j
i j
s d
 
   
 
 

 

 

 

(11)
(10)
H [ ]




Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v
à
ph
é
p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.2. Phép biến đổi Kadanoff (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Thay cho phép biến đổi (11), ta có thể làm tương tự biến đổi (6) để thu được H”[σ]
trong không gian vector sóng k.
•
Không gian tọa độ: khoảng cách r mà
biến diễn spin được mô tả tăng từ b lên sb.
•
Không gian vector sóng:
H [ ]/ H[ ]/
k
,k
>k> /s
e e

T T
i
i
d
 


 
 



 
(12)
Λ
Λ
Λ
Λ /s
Λ /s
Bước 1
Bước 2
Bước 1
Bước 2
b sb
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v

à
ph
é
p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.2. Phép biến đổi Kadanoff (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Phép biến đổi Kadanoff thỏa:
hay
ˆ ˆ
H[ ]/ H[ ]/ H[ ]/
s s b sb
T T T
  
 K K K K
  
(13)
s b sb

K K K
(14)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
•
Mô hình GL có vai trò rất quan trọng trong lý thuyết các hiện tượng tới hạn và đặc biệt
trong lý thuyết siêu dẫn.
•

Giả thuyết của mô hình: hamiltonian cụm có thể viết dưới dạng khai triển theo các lũy
thừa của spin cụm và đạo hàm của nó.
 : hệ số không chứa σ và phụ thuộc vào T, h;
 h σ: tương tác của hệ với từ trường ngoài.
 spin cụm:



2.5.
Hamiltonian Ginzburg
-
Landau
2.5.1. Mô hình Ginzburg - Landau
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
2 4 2
0 2 4
H[ ]/ x[ ( ) ]
d
T d a a a c
    
     

h
    
(1)
(x)



(x)



0 2 4
, , ,
a a a c
-d/2 kx
k
k
( )
(x) e
i
k
L
 



 
(2)
2 2
1
(x) (x) ( (x))
n
i
i
   

 

  

4 2 2
( )
 

 
2
2
1 1
( )
x
d n
i
i




 
 

 
 

 


(3)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.5. Hamiltonian Ginzburg

-
Landau
2.4.1. Hamiltonian GL trong biểu diễn xung lượng
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Sử dụng phép biến đổi Fourier (2) đưa H về dạng phiếm hàm của σ
k
:
(k k )x
0 2 k k
k,k ( )
2 (k k +k +k )x
4 k k k k
k,k ,k ,k ( )
2
k
k
1 1 k( )
H[ ]/ x x
x
x
x

d d d i
d d i
d n
d d i x
i
i k
T a d a d L e

a L d e
c d L e


  
   


 



  
 
  
  


  
  
 
 

 
 

 

 



 

  
   
/ 2 k
k
k ( )
1 2 3 4 5
x

d d i x
k
d L e
S S S S S




    


h

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.4.1. Hamiltonian GL trong biểu diễn xung lượng (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
1 0
(k k )x

2 2 k k 2 k -k
k,k ( ) k( )
2
3 4 k k k k
k,k ,k ,k ( )
4 k k k -k-k -k
k,k ,k ( )
2
4 k -k
k( )
;
x ;
(k k +k +k );
( )( );
k ;
d
d i d
k
d d
d
k
S a L
S a L e d a
S a L L
a L
S c
S
   
    
   

 

 


 

  
  


   
 



 
  
 

 
 




   
   
   
 

/ 2 / 2
5 k k=0
k( )
( ) .

d d d
k
L L L
  


   

h h h
 
2.5. Hamiltonian Ginzburg
-
Landau
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2.4.1. Hamiltonian GL trong biểu diễn xung lượng (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
2
0 k -k 2
k( )
/ 2
4 k k k -k-k -k 0
k,k ,k ( )
[ ]/ ( k )
( )( )

d
k
d d
H T a L a c
L a L
  
    


   
 

  
 


h
  
    
2.5. Hamiltonian Ginzburg
-
Landau
Hamiltonian GL trong không gian xung lượng:
Hàm phân bố cho các spin cụm:
[ ]/
[ ] /
H T
P T e







(4)
(5)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.