NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN HÌNH HỌC TRONG CÁC BÀI TOÁN THUỘC HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG VIỆT NAM
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

NGUYỄN THỊ HỒNG HUỆ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP
TIẾP CẬN HÌNH HỌC TRONG CÁC BÀI TOÁN
THUỘC HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH
LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT
LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành đến giáo viên hướng
dẫn PGS.TSKH Nguyễn Ngọc San, người đã tận tình chỉ bảo tôi trong định hướng
nghiên cứu, đề xuất các ý tưởng và giúp đỡ về mặt phương pháp luận cũng như việc
kiểm tra cuối cùng đối với luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông,
Lãnh đạo khoa Quốc tế và Đào tạo Sau đại học và các đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi rất
nhiều trong quá trình học tập, nghiên cứu và tạo điều kiện giúp tôi trong công tác để
tôi có thời gian thực hiện việc học tập và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới bố mẹ và dành tình
cảm tới chồng tôi, người động viên về tinh thần và hỗ trợ nhiều về mặt khoa học.
NGUYỄN THỊ HỒNG HUỆ
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC 2
THUẬT NGỮ, CHỮ VIẾT TẮT 3
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 5
LỜI NÓI ĐẦU 6
CHƯƠNG 1
KHÁI NIỆM HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH 9
I.1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ THUẬT NGỮ CƠ BẢN 9
I.2. CÁC ĐỊNH NGHĨA TỔNG QUAN CỦA HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH 11
I.3. KHÁI NIỆM ĐIỀU KHIỂN VÀ QUAN SÁT KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 13

I.4. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH 18
I.5. CÁC BÀI TOÁN TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG 25
CHƯƠNG II
CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÌNH HỌC
TRONG PHÂN TÍCH HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH
28
II.1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN CON 28
II.2. TÍNH BẤT BIẾN, KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN 30
II.3. KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC 36
II.4. KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN CÓ ĐIỀU KIỆN 38
II.5. KHÔNG GIAN CON CÓ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC 39
II.6. KHÔNG GIAN CON CÓ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC LỚN NHẤT 48
II.7. KHÔNG GIAN CON CÓ THỂ QUAN SÁT ĐƯỢC 52
CHƯƠNG III
ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT HÌNH HỌC
GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỦA HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH
54
III.1. VẤN ĐỀ TÁCH NHIỄU 54
III.2. PHÂN TÁCH TÍN HIỆU NHIỄU VỚI PHÂN BỐ GIÁ TRỊ RIÊNG 60
III.3. ĐIỀU KHIỂN KHÔNG TƯƠNG TÁC 63
KẾT LUẬN 67
TÀI LIỆU THAM KHẢO 69
THUẬT NGỮ, CHỮ VIẾT TẮT
A- CÁC CÔNG THỨC THÔNG THƯỜNG VÀ VIẾT TẮT
Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt
∀
For all Với mọi
∋
Such that Thỏa mãn
∃

there exists Tồn tại
⇒
implies Nghĩa là, hàm ý
⇔
implies and is implied by Bao hàm và kéo theo bởi
:
=
equal by definition Bằng theo định nghĩa
A
,
X
sets or vector spaces Tập hoặc các không gian véctơ
a, x elements of sets or vectors Các phần tử của tập hoặc của các véctơ
∅
the empty set Tập rỗng
{ }
i
x
the set whose elements are
i
x
Tập gồm các phần tử là
i
x
f
A
,
f
X
function spaces Không gian hàm

∈
belonging to Thuộc
⊂
contained in Chứa trong
⊆
contained in or equal to Chứa trong hoặc bằng với
⊃
containing Chứa trong
⊇
containing or equal to Chứa trong hoặc bằng với
⊕
direct sum Tổng trực tiếp
B
the set of binary symbols 0 and 1 Tập số nhị phân 0 và 1
¥
the set of all natural integers Tập các số tự nhiên nguyên
¢
the set of all integer numbers Tập các số nguyên
¡
the set of all real numbers Tập các số thực
£
the set of all complex numbers Tập các số phức
n
¡
the set of all n-tuples of real
numbers
Tập các số thực n chiều
0 1
[ ]t ,t
a closed interval Khoảng đóng

0 1
[ )t ,t
A right open interval Khoảng mở phải
(.)f
a time function Hàm thời gian
(.)f
&
the first derivative of function
(.)f
Đạo hàm đầu tiên của hàm
(.)f
( )f t
The value of
(.)f
at t Giá trị của
(.)f
tại thời điểm t
0 1
( )t ,t
f
|
a segment of
(.)f
Một đoạn của
(.)f
j
the imaginary unit Đơn vị ảo
n
x|| ||
the n-norm of vector x Trị chuẩn n của véctơ x

x,y
the inner or scalar product of
vectors x and y
Tính nội hay tính vô hướng của véctơ x
và y
{ }
i
span x
the span of vectors
{ }
i
x
Khoảng không gian phát triển của véctơ
{ }
i
x
dimX
the dimension of subspace
X
Chiều của không gian con
X
⊥
X
the orthogonal complement of
subspace
X
Phần bù trực giao của không gian con
X
T
A

the transpose of A Chuyển vị của ma trận A
*
A
the conjugate transpose of A Liên hợp chuyển vị phức của ma trận A
1
A
−
the inverse of A (A square
nonsingular)
Nghịch đảo của ma trận A
A
+
the pseudoinverse of A
(A nonsquare or singular)
Tựa nghịch đảo của ma trận A
( , )x
ε
O
The
ε
-neighborhood of x Lân cận
ε
của x
Im A
the image of A Ảnh của A
kerA
the kernel of A Nhân của A
B- CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VÀ VIẾT TẮT
V
: Không gian con bất biến điều khiển được nói chung

S
: Không gian con bất biến có điều kiện nói chung
Α
|
V
: Không gian con bất biến A tối thiểu chứa không gian con
V
( )
*
V K
: Không gian con bất biến điều khiển được lớn nhất chứa trong
K

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Trang
Hình 1.1: Biểu diễn dạng khối của một hệ thống 10
Hình 1.2: Phân tích một hệ động học thông thường 13
Hình 1.3: Tập các trạng thái điều khiển được 14
Hình 2.1: Mạng
0
Φ
32
Hình 2.2: Ổn định nội và ngoại của một bất biến
34
Hình 2.3: Ý nghĩa hình học của không gian con điều khiển được 37
Hình 2.4: Ý nghĩa hình học của không gian con có điều kiện
( , )A C
39
LỜI NÓI ĐẦU
Cùng với lịch sử phát triển lâu đời, lý thuyết điều khiển hệ thống động học là một

mảng nghiên cứu kết hợp của nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như toán học, lý
thuyết hệ thống… Trong đó, sự kết hợp của các khái niệm toán học cùng các phương
pháp tiếp cận đã tạo dựng được nhiều thành công trong nghiên cứu như: phương
pháp tiếp cận trong miền tần số; phương pháp tiếp cận trong miền thời gian; phương
pháp tần số trong miền đa thức - ma trận …Các các phương pháp tiếp cận này gặp
một số nhược điểm sau:
- Việc biểu diễn của các hệ thống, kể cả biểu diễn bởi hệ phương trình vi phân hay
dạng ma trận tần số, chúng bao gồm các thành phần là các giá trị số cần phải được
xác định một cách chính xác.
- Các thuật toán kèm theo của các phân tích và tổng hợp hệ thống đều dựa trên phép
tính ma trận mà không quan tâm đến việc hệ thống có cấu trúc đặc biệt hay không
hoặc hệ thống có hồi tiếp hay không.
- Do việc dựa vào các tính toán ma trận nên khi các hệ thống xem xét có bậc lớn và
phức tạp việc giải quyết các bài toán gặp nhiều khó khăn, thậm chí trở thành phi
thực tế, nhất là đối với các hệ điều khiển đòi hỏi các đáp ứng thời gian thực, bởi sự
phức tạp của các tính toán.
- Các bước tổng hợp hồi tiếp khi sử dụng các phương pháp nói trên chỉ thích hợp
cho các hệ thống có số đầu vào, số trạng thái và số đầu ra giới hạn. Đối với các hệ
thống lớn như hệ thống có sự rải rác (sparsity)…, thì các phương pháp này không
thể áp dụng được.
- Các phương pháp này không cung cấp được cái nhìn rõ ràng (insight) trực quan
cũng như ý nghĩa vật lý thực của các biểu diễn, biến đổi và các thuật toán.
- Một số phương pháp không thể áp dụng cho hệ thống đa biến MIMO.
Với các nhược điểm và hạn chế kể trên việc tìm kiếm một phương pháp đơn giản,
cung cấp tính thuận tiện trong phân tích biểu diễn hệ thống, đồng thời không làm
mất cái nhìn và ý nghĩa trực quan của các biến đổi là cần thiết. Và phương pháp hình
học là một trong các phương pháp đó.
Phương pháp tiếp cận hình học gồm hai phần cốt lõi là: lý thuyết đại số và phần
tính toán hay còn gọi là phần thuật toán. Phương pháp hình học được phát triển trên
cơ sở toán học không phụ thuộc vào hệ tọa độ, do đó có ưu điểm đơn giản, cho phép

không những đạt được những kết quả mong muốn mà còn cung cấp được cái nhìn
trực quan, toàn diện về bản chất cũng như ý nghĩa vật lý rõ ràng và các thủ tục thực
hiện các biến đổi. Hơn nữa, phương pháp này dễ dàng cho phép mở rộng với hệ
thống MIMO bậc cao.
Với các ưu điểm kể trên của phương pháp tiếp cận hình học, việc tìm hiểu, nghiên
cứu và áp dụng vào việc giải quyết các bài toán điều khiển là thực sự cần thiết và là
động lực cho luận văn này.
Luận văn được hoàn thành với mục đích cung cấp một cái nhìn tổng quan về
phương pháp tiếp cận hình học trong nghiên cứu và điều khiển hệ thống. Từ những
minh họa trong việc áp dụng lý thuyết hình học vào giải một số bài toán điều khiển
cổ điển điển hình nhằm tái khẳng định những nhận định về tính ưu việt của phương
pháp tiếp cận hình học. Bên cạnh đó cũng muốn tìm hiểu kỹ một số hạn chế (nếu có)
của phương pháp này để đề xuất những phương án khắc phục cũng như mở ra
hướng nghiên cứu trong kế hoạch tiếp theo (future work).
Do một số hạn chế khách quan và chủ quan nên luận văn chỉ tập trung vào hệ
thống động học tuyến tính bất biến. Hệ thống tuyến tính bất biến ở đây được mặc
định là hệ thống MIMO tổng quát với số đầu vào đầu ra và trạng thái xác định nào
đó. Dựa trên hệ thống này, các lý thuyết và khái niệm cũng như định nghĩa nền tảng
của phương pháp tiếp cận hình học như không gian con bất biến, các không quan con
có thể điều khiển được … sẽ được xây dựng và áp dụng cho các bài toán điều khiển
điển hình. Do sự hạn chế về không gian trình bày, một số kết quả của các định lý
hoặc các hệ quả sẽ được mặc nhiên thừa nhận mà không trình bày các chứng minh.
Bố cục của luận văn gồm 3 chương. Nội dung tóm tắt của các chương được trình
bày như sau:
Chương 1 sẽ trình bày lại một số khái niệm cơ bản của hệ thống động học tuyến
tính theo quan niệm lý thuyết điều khiển cổ điển nhằm cung cấp một cái nhìn toàn
diện trước khi thực hiện việc áp dụng cái nhìn mới của phương pháp tiếp cận hình
học trong nghiên cứu.
Các khái niệm nền tảng của phương pháp tiếp cận hình học chẳng hạn như các
định lý, tính chất hệ quả được trình bày trong chương 2.

Trong chương 3, từ các khái niệm cơ bản của phương pháp tiếp cận hình học đề
cập trong chương 2, chúng ta sẽ lần lượt xem xét các bài toán điều khiển dưới cái
nhìn mới.
Phần cuối cùng sẽ là kết luận của bản luận văn này.
CHƯƠNG I
HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH
I.6. CÁC KHÁI NIỆM VÀ THUẬT NGỮ CƠ BẢN
Ngày nay các thuật ngữ “ hệ thống”, “lý thuyết hệ thống”, “khoa học hệ thống” và
“kỹ thuật hệ thống” trở nên khá phổ biến và được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác
nhau như điều khiển, xử lý số liệu, công nghệ sinh học…. và khiến chúng được hiểu
theo hàm nghĩa liên quan đến lĩnh vực được sử dụng. Do đó, thấy cần có một định
nghĩa rõ ràng phù hợp với việc nghiên cứu trong luận văn này.
Trước hết, thuật ngữ hệ thống hay hệ được dùng để diễn tả một đối tượng, thiết
bị hoặc một hiện tượng mà có sự biến chuyển trong các đại lượng đo lường quan
tâm, chẳng hạn như các máy công cụ, các động cơ điện, một máy tính, một vệ tinh
nhân tạo, nền kinh tế của một quốc gia.
Đại lượng đo lường là một đặc tính có thể tương hỗ với một hoặc nhiều đại lượng
số, chẳng hạn điện áp, trở kháng của một đoạn mạch.… Đối với những hệ thống có
tham số phân tán, các đặc tính có thể được biểu diễn bởi các hàm thực hoặc phức
trong không gian tọa độ.
Mô hình toán học biểu diễn sự liên kết giữa các đại lượng đo lường hoặc biến số
của hệ thống thông qua một quá trình xấp xỉ nào đó. Mô hình toán học là một công
cụ hữu hiệu và cần thiết trong việc tái tạo và phân tích đặc tính, đáp ứng của một hệ
thống. Cùng một hệ thống, có thể được biểu diễn bởi một số mô hình toán học khác
nhau phụ thuộc vào các tiêu chí cũng như sự lựa chọn các mục tiêu (trái ngược giữa
sự đơn giản hóa trong biểu diễn phân tích và sự chính xác trong biểu diễn). Đôi khi
những tiêu chí cho việc xây dựng mô hình còn phải phụ thuộc vào những trường hợp
bài toán đặc biệt.
Các mô hình toán học tự thân chúng là các hệ thống, nhìn dưới góc độ giản lược,
được xây dựng để biểu diễn đối tượng nghiên cứu và mô hình toán học của đối

tượng đó. Khái niệm lý thuyết hệ thống gắn liền với việc xây dựng mô hình toán học
cho hệ thống, việc phân định, nghiên cứu các thuộc tính của hệ thống, và áp dụng
những nghiên cứu này trong việc giải quyết các bài toán khoa học kỹ thuật.
Một hệ thống tổng quát có thể được biểu diễn bởi một khối và các biến số của nó
trong liên kết với môi trường và các hệ thống khác như hình 1.1. Trong quá trình xây
dựng mô hình toán học, trước hết chúng ta cần phân các biến số của hệ thống thành
hai loại: Các biến có tính nguyên nhân hay còn gọi là các biến đầu vào (input); các
biến có tính kết quả hay còn gọi là các biến đầu ra (output). Sự phân biệt giữa các
biến đầu vào và đầu ra thường mang tính tự nhiên, các biến đầu vào tương ứng với
các biến độc lập, các biến đầu ra tương ứng với các biến phụ thuộc. Tuy nhiên, sự
phân biệt này có thể khá phức tạp trong một số trường hợp.
Hình 1.1: Biểu diễn dạng khối của một hệ thống
Các hệ thống có thể chia thành hai lớp chính: hệ thống không có nhớ hay còn gọi
là hệ thống thuần túy đại số; hệ thống có nhớ hay còn gọi là hệ thống động học. Hệ
thống không có nhớ là hệ thống trong đó giá trị của các biến đầu ra ở một thời điểm
nhất định nào đó chỉ phụ thuộc vào giá trị của các biến đầu vào ở cùng thời gian đó.
Khác với hệ thống không có nhớ, hệ thống có nhớ có giá trị các biến đầu ra không
những phụ thuộc vào giá trị các biến đầu vào ở cùng thời điểm mà còn phụ thuộc vào
giá trị các biến đầu vào trước đó trong quá trình biến đổi hệ thống. Trong luận văn
này, từ nay về sau chúng ta sẽ dùng khái niệm hệ động học thay vì hệ thống có nhớ.
Trong hệ thống học, khái niệm trạng thái đóng vai trò cơ sở nền móng. Một cách
trực quan, trạng thái của một hệ thống là thông tin cơ bản cần thiết ở một thời điểm
nhất định để dự đoán ảnh hưởng của quá khứ của hệ thống lên các đáp ứng của hệ
thống trong tương lai. Trạng thái là một tập các biến số của hệ thống, hoặc là một
hay một số hàm của không gian tọa độ của hệ thống tham số phân tán, mà tập này là
đối tượng của sự biến đổi theo thời gian của các chuyển biến theo thời gian của các
biến đầu vào.
Để đơn giản, các thuật ngữ “đầu vào”, “trạng thái”, và “đầu ra” của một hệ thống
thường được dùng để chỉ tập hợp toàn bộ các biến đầu vào, biến trạng thái và biến
đầu ra. Khái niệm hàm đầu vào, hàm đầu ra và sự vận động được dùng để chỉ sự

chuyển biến theo thời gian của các biến tương ứng nêu trên. Trong một số trường
hợp đặc biệt, các hàm đầu vào, các hàm đầu ra thường được gọi tương ứng là các
tín hiệu vào, tín hiệu ra. Đôi khi những khái niệm tín hiệu vào, tín hiệu ra được thay
thế bởi các khái niệm tương ứng là tín hiệu kích thích và tín hiệu đáp ứng.
Một hệ thống không kết nối với môi trường bởi bất cứ một đầu vào nào được gọi
là hệ thống tự do hay còn gọi là hệ thống tự trị (autonomous system). Ngược lại, nếu
có bất cứ một đầu vào nào biểu diễn sự kích thích từ môi trường, chúng thường
được gọi là các tín hiệu ngoại sinh, lên hệ thống thì hệ thống được gọi là hệ thống
chịu tác động (forced system). Trong các bài toán điều khiển, thường chúng ta phân
biệt các đầu vào thành 2 lớp chính: lớp biến có thể điều khiển được; lớp không thể
điều khiển được. Lớp các giá trị đầu vào được dùng trong suốt quá trình điều khiển
để nhằm đạt được mục tiêu điều khiển đặt ra được gọi là lớp đầu vào có thể điều
khiển được. Trong khi đó, lớp đầu vào không điều khiển được là lớp đầu vào thay đổi
một cách tùy ý và thường là không thể dự đoán được, chúng thường được gọi là tín
hiệu can nhiễu (disturbances)
I.7. CÁC ĐỊNH NGHĨA TỔNG QUAN CỦA HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH
Trước khi đưa ra các khái niệm chúng ta quy định một số ký hiệu toán học như
sau:
T
:

biểu diễn tập thời gian;
U
: biểu diễn tập đầu vào;
f
U
: biểu diễn tập hàm
đầu vào;
X
: biểu diễn tập trạng thái;

Y
: biểu diễn tập đầu ra.
ĐỊNH NGHĨA 1.2.1: (Hệ thống liên tục theo thời gian và hệ thống rời rạc theo thời gian)
Một hệ thống được gọi là liên tục theo thời gian nếu tập thời gian của hệ là tập số
thực
¡
, và được gọi là hệ thống rời rạc theo thời gian nếu tập thời gian của hệ là
tập số nguyên
¢
.
ĐỊNH NGHĨA 1.2.1: (Hệ thống thuần túy đại số) Một hệ thống không có nhớ hay còn gọi
là hệ thống thuần túy đại số là một hệ bao gồm các tập thời gian
T
, tập đầu vào
U
, tập đầu ra
Y
, và một hàm quan hệ vào-ra hay còn gọi là hàm ánh xạ vào ra
được biểu diễn bởi:
( ) ( ( ), )y t g u t t=
(1.1)
ĐỊNH NGHĨA 1.2.3: (Hệ động học liên tục theo thời gian) Một hệ thống động học liên
tục theo thời gian là hệ thống có các tập thời gian
=
¡T
, tập đầu vào
U
,
tập hàm đầu vào
f

U
, tập trạng thái
X
, tập đầu ra
Y
và hàm biến đổi trạng
thái được biểu diễn bởi:
( ) ( ( ), ( ), )x t g x t u t t
=
&
(1.2)
Có nghiệm duy nhất đối với bất kỳ trạng thái ban đầu, hàm đầu vào của một hàm
đầu ra hay còn goi là ánh xạ đầu ra:
( ) ( ( ), ( ), )y t g x t u t t=
(1.3)
ĐỊNH NGHĨA 1.2.4: (Hệ thống động học rời rạc theo thời gian) Một hệ thống động học
rời rạc theo thời gian là hệ thống có tập thời gian
= ¢T
, tập đầu vào
U
,
tập hàm đầu vào
f
U
, tập trạng thái
X
, tập đầu ra của một hàm trạng thái kế
tiếp
( 1) ( ( ), ( ), )x i f x i u i i+ =
(1.4)

và của một hàm đầu ra hay còn gọi là ánh xạ đầu ra
( ) ( ( ), ( ), )y i g x i u i i
=
(1.5)
ĐỊNH NGHĨA 1.2.5: (Hệ thống thuần túy động học) Một hệ thống thuần túy động học là
một hệ trong đó hàm ánh xạ đầu ra có thể đơn giản ở dạng:
( ) ( ( ), )y t g x t t=
(1.6)
Từ định nghĩa 1.2.5, chúng ta thấy với một hệ thống thuần túy động học, các đầu
vào không có ảnh hưởng trực tiếp đến đầu ra mà chỉ ảnh hưởng thông qua trạng thái
của hệ thống. Như vậy, một hệ thống thuần túy động học liên tục theo thời gian là
một hệ thống có đầu ra là hàm liên tục theo thời gian, và một hệ thống thuần túy
động học rời rạc theo thời gian là một hệ thống có đầu ra trễ ít nhất 1 chu kỳ mẫu so
với đầu vào. Bất kỳ một hệ thống động học nào cũng có thể được xem như cấu thành
từ một hệ thuần túy động học và một hệ thuần túy đại số, trong đó sự liên kết giữa
chúng được minh họa như trong hình 1.2. Hầu hết các bài toán trong lý thuyết hệ
thống được tiếp cận thông qua hệ thống thuần túy động học tương ứng, điều này dễ
dàng đạt được bởi vì mô hình toán học cho hệ thống thuần túy đại số khá đơn giản là
một hàm và dễ dàng mở rộng được cho với hệ thống tổng quát.
Hình 1.2: Phân tích một hệ động học thông thường
TÍNH CHẤT 1.2.1: (Khái niệm trạng thái) Trạng thái của một hệ động học là một thành
phần (của một tập hợp còn được gọi là tập trạng thái) mà đối tượng thay đổi theo
thời gian và giá trị của nó tại một thời điểm
0
t
nào đó là
0
( )x t
, cùng với một
đoạn cắt hàm đầu vào

0 1
[ , ]t t
u
, một cách duy nhất xác định một đoạn cắt hàm
đầu ra.
I.8. KHÁI NIỆM ĐIỀU KHIỂN VÀ QUAN SÁT KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
Khái niệm có thể điều khiển được diễn tả khả năng có thể ảnh hưởng đến chuyển
động
(.)x
hoặc đáp ứng
(.)y
của một hệ động học
Σ
bởi hàm đầu vào (hoặc
hàm điều khiển)
(.)
f
u
∈
U
.
Việc phân tích tính có thể điều khiển được liên hệ chặt chẽ với định nghĩa của các
tập con đặc biệt của không gian trạng thái
X
. Cụ thể :
- Tập có thể tiếp cận được ở thời điểm cuối
1
t t=
từ sự kiện
0 0

( , )t x
:
0 0 1 1 1 0 0
( , , { ( , , , (.)), (.) }
f
R t t x x x t t x u u
+
) := : = ϕ ∈ U
- Tập có thể tiếp cận ở một thời điểm bất kỳ trong khoảng thời gian
0 1
[ , ]t t

từ sự kiện
0 0
( , )t x
:
0 1 0 1 1 0 0 0 1
( , , { ( , , , (.)), [ , ], (.) }
f
W t t x x x t x u t t u
τ τ
+
) := : = ϕ ∈ ∈ U

- Tập có thể điều khiển được từ một sự kiện
1 1
( , )t x
từ một thời điểm khởi
đầu
0

t
:
0 1 1 0 0 1 0 0
( , , { ( , , , (.)), (.) }
f
R t t x x x t t x u u
−
) := : = ϕ ∈ U
- Tập có thể điều khiển được từ một sự kiện
1 1
( , )t x
từ một thời điểm bất
kỳ trong khoảng thời gian
0 1
[ , ]t t
:
0 1 1 0 0 1 0 0 1
( , , { ( , , , (.)), [ , ], (.) }
f
W t t x x x t x u t t u
τ τ
−
) := : = ϕ ∈ ∈ U
Trong các định nghĩa trên, ta luôn giả thiết thứ tự
0 1
t t
≤
. Từ đó dễ dàng
thấy rằng:
0 1 0 1

( , , ( , ,R t t x W t t x x
+ +
)∈ ), ∀ ∈X
(1.7)
0 1 0 1
( , , ( , ,R t t x W t t x x
− −
)∈ ), ∀ ∈X
(1.8)
Ý nghĩa hình học của các định nghĩa trên được minh họa trong hình 1.3, đặc biệt
khi
2
=
¡X
, trong không gian sự kiện,
0 1 0
( , ,t t x
+
)R
có thể đạt
được bằng cách giao tập
0 0
( ,t x )C
của tất cả các chuyển dịch có thể (bao
gồm cả sự kiện
0 0
( ,t x
)
) với mặt đa diện
1 1

: {( , }t x t t= ): =P
trong khi đó
0 1 0
( , ,t t x
+
)
W
có thể đạt được bằng cách chiếu tập
0 0
( ,t x )∩C M
, với
0 1
: {( , [t , ]}t x t t= ): ∈M
, lên mặt phẳng
1 1
: {( , }t x t t= ): =P
dọc theo trục thời gian t.
0 1 0
( , ,t t x
−
)R
và
0 1 0
( , ,t t x
−
)
W
được suy ra bằng cách tương tự.
Hình 1.3: Tập các trạng thái có thể điều khiển được
ĐỊNH NGHĨA 1.3.1: (Tính có thể tiếp cận được và tính có thể điểu khiển được của một

sự kiện) Tập trạng thái của một hệ thống động học ∑ hoặc hệ thống mở rộng của
chính nó ∑, được gọi là có thể tiếp cận được hoàn toàn từ sự kiện
0
( ,t x)
trong
khoảng thời gian
0 1
[ , ]t t
nếu
0 1
( , ,t t x
+
) =W X
, và hoàn toàn
điều khiển được từ sự kiện
0
( ,t x)
trong khoảng thời gian
0 1
[ , ]t t
nếu
0 1
( , ,t t x
−
) =W X
.
Trong các hệ thống bất biến theo thời gian,
0 1
( , ,t t x
+

)R
,
0 1
( , ,t t x
+
)W
,
0 1
( , ,t t x
−
)R
,
0 1
( , ,t t x
−
)W
, không phụ thuộc vào
thời điểm
0 1
,t t
mà chỉ phụ thuộc vào sự khác biệt
1 0
t t−
, do đó có thể giả thiết
0
0t =
mà không làm mất đi tính tổng quát của bài toán. Khi đó, các ký hiệu
trên có thể được giản lược như sau:
-
1

(
t
x
+
)
R
: Biểu diễn tập có thể tiếp cận được tại thời điểm
1
t t=
từ sự kiện
(0, )x
.
-
1
(
t
x
+
)W
: Biểu diễn tập có thể tiếp cận được tại bất cứ thời điểm nào trong
khoảng thời gian
1
[0, ]t
từ sự kiện
(0, )x
.
-
1
(
t

x
−
)
R
: Biểu diễn tập có thể điều khiển được tới x tại thời điểm
1
t t=
từ thời
điểm khởi đầu 0.
-
1
(
t
x
−
)W
: Biểu diễn tập có thể điều khiển được đến trạng thái x tại bất kỳ thời
điểm nào trong khoản thời gian
1
[0, ]t
từ thời điểm khởi đầu 0.
Với hai thời điểm cho trước
1 2
,t t
thỏa mãn
1 2
t t≤
, suy ra quan hệ:
1 2
( ( ,

t t
x x x
+ +
)⊆ ) ∀ ∈W W X
(1.9)
1 2
( ( ,
t t
x x x
− −
)⊆ ) ∀ ∈W W X
(1.10)
trong đó các ký hiệu
(x
+
)W
,
(x
−
)W
diễn tả các giới hạn
t
( lim (
t
x x
+ +
→∞
) := )W W
,
t

( lim (
t
x x
− −
→∞
) := )W W
. Tức là biểu diễn tập có thể tiếp cận được từ trạng thái x và
tập có thể điều khiển được đến trạng thái x trong một khoảng thời gian bất kỳ đủ
lớn.
ĐỊNH NGHĨA 1.3.2: (Hệ thống hoàn toàn có thể điều khiển được) Một hệ thống bất
biến theo thời gian được gọi là một hệ thống hoàn toàn điều khiển được hay được
kết nối nếu nó tiếp cận đến một trạng thái bất kỳ từ một trạng thái khác nào đó, và
do đó
( (x x
+ −
) = ) =
W W X
với mọi
x
∈
X
.
Thuật ngữ tính có thể quan sát được diễn tả một cách tổng quát khả năng của
việc suy dẫn trạng thái khởi đầu
0
(x t
)
hoặc trạng thái cuối
1
(x t )

của một hệ
thống động học ∑ khi sự chuyển biến thời gian của đầu vào và đầu ra trong khoảng
thời gian
0 1
[ , ]t t
được cho biết. Tính có thể quan sát trạng thái cuối cùng cũng
được biểu thị với thuật ngữ tính có thể tái cấu trúc được. Việc quan sát trạng thái và
các bài toán tái cấu trúc có thể không tồn tại lời giải, khi đó, với việc quan sát trạng
thái khởi đầu thuộc vào một lớp mà toàn bộ phần tử của lớp là không thể phân biệt
được trong khoảng thời gian
0 1
[ , ]t t
.
Cũng giống như tính có thể điều khiển được, tính có thể quan sát được cũng
được phân tích bằng cách xem xét các tập con thích hợp của tập trạng thái
X
, đặc tả
hệ thống động học dựa trên khả năng của các trạng thái suy diễn từ các chuyển biến
đầu vào và đầu ra. Nói một các cụ thể:
- Tập các trạng thái khởi đầu nhất quán với các hàm đầu vào
(.u )
, hàm đầu
ra
(.y )
trong khoảng thời gian
0 1
[ , ]t t
:
0 1 0 0 0 0 1
( , , (.), (.) { ( ) ( , , , (.)), [ , ]}t t u y x y t x u t t

τ τ τ
−
) := : = γ ∈Q
.
- Tập các trạng thái cuối nhất quán với các hàm đầu vào
(.u )
, hàm đầu ra
(.y
)
trong khoảng thời gian
0 1
[ , ]t t
:
0 1 1 1 1 0 0 0 0 1
( , , (.), (.) { ( , , , (.)), ( , , (.), (.) }t t u y x x t t x u x t t u y
+ −
) := : = ϕ ∈ )Q Q
Các quan hệ trên đây không phải là các quan hệ tùy ý, mà là những quan hệ được
bó hẹp trong tập các hàm đầu ra có thể khi xem xét tương ứng với các trạng thái khởi
đầu và hàm đầu vào. Tập này được định nghĩa như sau:
0 0 0 0 0
( , (.)): { (.) : ( ) ( , , , (.)), , }
f
t u y y t t t x u t t x
= = γ ≥ ∈
Y X
(1.11)
ĐỊNH NGHĨA 1.3.3: (Chẩn đoán, khu trú của một hệ thống) Tập trạng thái của một hệ
thống động học ∑, hoặc hệ thống mở rộng chính nó, được gọi là có thể quan sát
được trong khoảng thời gian

0 1
[ , ]t t
bởi một thí nghiệm quan sát thích hợp
(còn được gọi là chuẩn đoán) nếu tồn tại ít nhất một hàm đầu vào
(.)
f
u ∈U

sao cho tập được định nghĩa
−
Q
có thể giản lược thành một thành phần đơn với mọi
hàm đầu ra
0
(.) ( , (.))
f
y t u
∈
Y
; hệ thống được gọi là có thể tái cấu
trúc được trong khoảng thời gian
0 1
[ , ]t t
bởi một thí nghiệm thích hợp (còn
được gọi là khu trú) nếu tồn tại ít nhất một hàm đầu vào
(.)
f
u ∈U
sao cho
tập được định nghĩa

+
Q
có thể giản lược thành một thành phần đơn với mọi hàm
đầu ra
0
(.) ( , (.))
f
y t u∈Y
.
Một hệ động học mà không có trạng thái nào là không thể phân biệt được trong
khoảng thời gian
0 1
[ , ]t t
không nhất thiết là một hệ thống có thể quan sát được
trong khoảng thời gian đó bởi một thí nghiệm nào đó. Điều này bởi vì các hàm đầu
vào khác nhau có thể là yêu cầu để tách biệt các cặp trạng thái khởi đầu. Đây thường
là trường hợp điển hình của hệ thống có số trạng thái hữu hạn và khá phổ biến trong
các hệ thống phi tuyến.
ĐỊNH NGHĨA 1.3.4: (Hệ thống hoàn toàn quan sát được hoặc có thể tái cấu trúc một
các đầy đủ) Tập trạng thái của một hệ thống động học ∑, hoặc là mở rộng của chính
nó, được gọi là hoàn toàn quan sát được trong khoảng thời gian
0 1
[ , ]t t
nếu với
tất cả các hàm đầu vào
(.)
f
u
∈
U

và với tất cả các hàm đầu ra
0
(.) ( , (.))
f
y t u
∈
Y
tập được định nghĩa cho
−
Q
ở trên có thể giản
lược thành một phần tử đơn; và hệ thống gọi là hoàn toàn tái cấu trúc được trong