Giáo trình bài tập cơ học lý thuyết phần 1

Đ À O V ĂN DŨNG_(Chủ biên)
NGUYỄN XUÂN BỘI - PHẠM THỊ OANH - PHẠM CHI VINH

BÀI TẬP

ÌHNLtmnÉi

o m
CIPG
Hà Noi NHÀ XUẤT BÀN ĐAI HOC QUỐC GIA HÀ NÔI




M Ụ C LỤC
Phần I. TĨN H HỌC

1

C hương l ẳ Hệ lực phầng

1

1 . 1. Các lực tác dụng theo một đường thẳng hoặc song song

1

1.2. Các lực có đường tác dụng giao nhau tại m ột điểm

2

1.3. Các lực song song và ngẫu lực

8

1.4. Hệ lực phẳng bất kỳ

10

1.5. T ĩnh học đồ thị

12

C hương 2. Hệ lực không gian

13

2.1. Đ ư a hệ lực về dạng đơn giản

13

2.2. Cân bằng của hê lưc bất kỳ

14

2.3. Trọng tâm

15

Phần II. Đ Ộ N G HỌC

17

C hương 3. Chuyển động của điểm

17

3.1. Q uý đạo và phương trình chuyển động của điểm

17

3.2. V ận tốc điểm

17

3.3. Gia tốc điểm

18

C hương 4. Các chuyển động đơn giản nhất của cố thể

19

4.1. Cố th ể quay quanh m ột trục cố định

19

4.2. B iến đổi các chuyển động đơn giản của cố thể

20

C hương 5. P hân và hợp các chuyển động của điểm

21

C hương 6 . Chuyển động phẳng của cố thể

26

6 . 1 . P h ư ơ ng trình chuyển động của hình phẳng và các điểm của nó

26

6 .2 . V ận tốc các điểm của cố thể trong chuyển động phẳng. T âm

vận tốc tức thời

27

6.3. X entrôit cố định và xentrôit động

29

6.4. G ia tốc các điểm của cố thể trong chuyền động phằng. T âm gia
tốc tức thời

31

6.5. Hợp chuyền động phẳng của cố thể

31

Chương 7. c ố thể quay quanh m ột điểm cố định

33

7.1. Cố thể quay quanh m ột điểm cố định

33

7.2. Hợp các chuyển động quay của cố thể quay quanh các trục cắt
nhau

34

Phần IIIề Đ Ộ N G LỰC HỌC

36

Chương 8 . Đ ộng lực học điểm

36

8.1. Phương trình vi phân chuyển động - Các bài toán cơ bản của động
lực học

36

8.2. Ba định lý cơ bản: Biến thiên động lượng, biến thiên m ô m en
động lượng, biến thiên động năng

41

C hương 9. Đ ộng lực học hệ chất điểm và vật rắn

45

9.1. Đ ộng lực học hệ chất điểm

45

9.2. Đ ịnh lý biến thiên động lượng và chuyển động của khối tâ m

48

9.3. Đ ịnh lý biến thiên mô men động lượng

49

9.4. Đ ịnh lý biến thiên động năng

52

9.5. Khảo sát m ột số chuyển động đặc biệt

54

9.6. M ột số bài toán hỗn hợp

59

M Phần IV. Đ Ộ N G L ự c HỌC GIAI TÍCH T R O N G T Ọ A ĐỘ SU Y R Ộ N G ,
DAO Đ Ộ N G , VA CHẠM

62

Chương 10 . N guyên lý độ dời khả dĩ, nguyên lý D ’A lem bert-E uler-L agrange 62
C hương 11. Phương trình Lagrange II
C hương 12 . Phương trình R auss, phưong trình chính tắc H am ilton, định lí
H am ilton-Jacobi, định lí Poisson

66

72

Chương 13. On dịnh chuỳển động

74

C hương 14. D ao động

76

14.1. D ao động của hệ có m ột bậc tự do

76

14.2. Dao động nhỏ của hệ nhiều bậc tự do

80

Chưcrng 15. Va chạm

82

Phần V. M ỘT s ó ĐỀ THI OLYMPIC c ơ HỌC T Ừ N Ă M 1989 Đ E N 1998 85

iv


D Á P SỐ v à H Ư Ớ N G D Ẫ N
Phần Iệ TĨNH HỌC

91

C hương 1. Hệ lực phẳng

91

l . l ề Các lực tác dụng theo m ột đường thẳng hoặc song song

91

l ế2. Các lực có đường tác dụng giao nhau tại m ột điểm

91

i ẵ3. Các lực song song và ngẫu lực

97

1.4Ể Hệ lực phẳng bất kỳ

100

1.5. T ĩnh học đồ thị

103

C hương 2 . Hệ lực không gian

103

2.1. Đ ư a hệ lực về dạng đơn giản

103

2.2. Cân bằng của hệ lực bất kỳ

105

2.3. Trong tâm

106

Phần II. Đ Ộ N G HỌC

109

C hương 3. Chuyển động của điểm

109

3.1. Q uỹ đạo và phương trình chuyển động của điểm

109

3.2. V ận tốc điểm

109

3.3. G ia tốc điểm

111

C hương 4. Các chuyển động đơn giản nhất của cố thể

112

4.1. Cố th ể quay quanh m ột trục cố định

112

4.2. B iến đổi các chuyển động đơn giản của cố thể

112

C hương 5. P hân và hợp các chuyển động của điểm

113

C hương 6 . Chuyển động phẳng của cố thể

116

6.1. P h ư ơ ng trình chuyển động của hình phẳng và các điểm của nó
6.2. V ận tốc các điểm của cố thể trong chuyển động phầng. T âm
vận tốc tức thời
6.3. X entrôit cố định và xentrôit động
6.4. G ia tốc các điểm của cố th ể trong chuyền động phẳng. T âm gia
tốc tứ c thời
6.5. Hợp chuyển động phầng của cố th ể

116
117
119
120
121


C hương 7. c ố thể quay quanh m ột điểm cố định

121

7 . 1 Ế Cố thể quay quanh m ôt điểm cố đinh

121

7.2. Hợp các chuyển động quay của cố thể quay quanh các trục cắt
nhau

123

Phần III. Đ Ộ N G LỰC HỌC

124

C hương 8 . Đ ộng lực học điểm

124

8.1. Phương trình vi phân chuyển động. Các bài toán cơ bản của động
lực hoc

124

8.2. Ba định lý cơ bản: Biến thiên động lượng, biến thiên m ô m en
động lượng, biến thiên động năng

129

C hương 9. Đ ộng lực học hệ chất điểm và vật rắn

134

9 Ỗ1. Đ ộng lực học hệ chất điểm

134

9.2. Đ ịnh lý biến thiên động lượng và chuyển động của khối tâ m

136

9.3. Đ ịnh lý biến thiên m ôm en động lượng

136

9.4. Đ ịnh lý biến thiên động năng

137

9.5. Khảo sát m ột số chuyển động đặc biệt

139

9.6. M ột số bài toán hỗn hợp

142

Phần IV. Đ Ộ N G LỰ C HỌC GIAI TÍCH T R O N G T Ọ A ĐỘ SU Y R Ộ N G ,
DAO Đ Ộ N G , VA CHẠM

145

C hương 10. N guyên lý độ đữi k*hả dĩ, nguyên lý D ’A lem bert-E uler-L agrange 145
C hương 11 . P h ư ang trình Lagrange II

148

C hương 12. Phương trình R auss, phương trình chính tắc H am ilton, định lý

H am ilton - Jacobi, định lý Poisson

155

C hương 13. On định chuyến động

159

C hương 14. Dao động

162

14.1. Dao động của hệ có m ột bậc tự do

162

14.2. Dao động nhỏ của hệ nhiều bậc tự do

166

C hương 15. Va chạm

168

Phần V. M ỘT s ó ĐẾ THI OLYM PIC c ơ HỌC T Ừ N Ă M 1989 Đ E N 1998

171


LỜI N Ó I D Ầ U

Cơ học lý th u yết là khoa học về các quy luật chuyển động, cân bằng v à sự
tư ơng tác giữa các vật thể trong không gian, theo thời gian, là m ột trong những
môn học trong điềm cho sinh viên ngành Cơ học ờ các trường Đ ại học Quốc gia
và Đ ại học Kỹ thuật.
Việc vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập cơ học lý th u yết là
yêu cầu hàng đầu đối với sinh viên, qua đó giúp họ hiểu sâu th êm về lý th u yết
đồng thời nâng cao tư duy và kỹ năng trong học tập.
Giáo trình bài tập cơ học lý thuyết được soạn thảo theo chương trình giảng
dạy cơ học lý th u yết cho sinh viên ngành Cơ học của Khoa Toán - Cơ - T in học,
Trường Đ ai hoc K hoa học T ư nhiên, Đ ại học Quốc gia Hà Nội. Nội dung gồm bốn
phần chính (15 chương) và phần V là m ột số đề thi O lym pic C ơ học. Các bài
tập được chọn lọc gồm đủ các thể loại phù hợp với các phần của lý th u y ết, được
phân loại thành các chủ đề chi tiết. Cuối phần bài tập có đáp số hoặc hướng dẫn
để người đọc th am khảo và tự kiểm tra lời giải của mình.
T ham gia biên soạn giáo trinh bài tập gồm có N guyễn X uân Bội (P hần I:
T ĩnh học), Phạm Chí V ĩnh (Phần II: Đ ộng học), Phạm T hị O anh (P hần III: Đ ộng
lực học), Đ ào V an D ũng (Phần IV: Đ ộng lực học giải tích trong tọa độ suy rộng,
dao động, va chạm ); Đ ào Văn Dũng chủ biên.
Giáo trìrih được hoàn thành nhờ sự quan tâm v à tạo điều kiện của lãnh đạo
Khoa Toán - C ơ - T in học, lãnh đạo Trường Đ ại học Khoa học T ự nhiên. Các tác
giả bày tỏ lời cảm ơn chân thành.
Các tác giả chân thành cảm ơn G S-T SK H Đ ào Huy Bích, G S-T S N guyễn
Thúc An đã đóng góp những ý kiến quý báu nhằm hoàn thiện nội dung cuốn sách.
N hân dịp này các tác giả cảm ơn Nhà X uất bản Đ ại học Quốc gia Hà Nội đã
nhiệt tìn h giúp đỡ trong việc xuất bản giáo trình này.
Vì nội dung giáo trình đa dạng, thời gian hạn chế cho nên các vấn đề được
trình bày chắc chắn cịn có những thiếu sót. Chúng tơi m ong nhận được ý kiến
của bạn đọc để bổ sung cho giáo trình ngày càng được hồn thiện hơn. Các nhận
xét, góp ý xin gử i về K hoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đ ại học K hoa học T ự

nhiên, Đ ại học Quốc gia Hà Nội.
Hà nội, ngày 10 tháng 11 năm 1999

Các tác giả



P h ầ n I ẳ T ĨN H H Ọ C
C h ư ơ n g 1.

HỆ LỰC P H Ẳ N G

1.1. C ác lư c tá c d u n g th e o m ô t d ư ò n g th ẳ n g h o ă c so n g so n g
1. Các lực P\ = 1 0 kG, p 2 = 2 0 kG, p 3 = 12 kG, p 4 = 18 kG cùng tác dụng vào
m ột điểm nào đấy
Hãy xác định lực cân bằng của chúng trong hai trường hợp sau:
a) các lực đã cho tác dụng theo một đường thẳng và cùng chiều.
b) hai lực đầu cùng chiều, hai lực sau theo chiều ngược lại.
2. Hai quả cân 1 0 kG và 5kG treo trên m ột sợi dây tại những điểm khác nhau,
trong đó quả cầu lớn treo thấp hơn quả cầu nhỏ.
Hỏi sức cấng của các đoạn dây bằng bao nhiêu ?

/////////

3 . Tải trọng Q = 30 kG được giữ cân bằng nhờ đối trọng
côt vào đầu dây cáp ABC vắt qua ròng rọc. Trọng lượng
của dây cáp bằng 5k G . Bò qua độ cứng của dây, m a sát và
bán kính của rịng rọcẵ Hãy xác định trọng lượng p , các
ứng lực Fa , F c căng dây tại các đầu A, c và ứng lực Fb
tại tiết diện giữ a B của dây trong các trường hợp sau:

a) khi các điểm A và c nằm trên cùng m ột độ cao.
b) khi điềm A nhận vị trí cao nhất.
c) khi điểm A nhận vị trí thấp nhất.

Hình bài s

4 . M ột người nặng 64 kG đứng tại đáy giếng mỏ ghì giữ m ột tải trọng 48 kG nhờ
m ột sợi dây m ềm nhẹ, khơng dãn vắt qua rịng rọc cố định.
a) Hỏi người đó đã tác động lên đáy giếng m ột áp lực bằng bao nhiêu ?
b) N gười đó có th ể ghì giữ m ột tải trọng lớn nhất bằng bao nhiêu ?
5. M ột đoàn tàu gồm đầu máy, toa chở than trọng lượng 45 tấn, toa hành lý
trọng lượng 20 tấn và 5 toa chở khách m ỗi toa trọng lương 48 tấn.
Hỏi các m óc nối toa xe bị căng m ột lực bằng bao nhiêu v à lực kéo của đầu
m áy bằng bao nhiêu ? B iết rằng sức cản chuyển động của đồn tàu có thể xem
bằng —— trọng lượng của nó và khi giải bài tốn ta th ừ a nhận rằng sức căng này
200
phân tỷ lệ vớ i trọng lượng của các thành phần đoàn tàu và đoàn tàu đang chuyển
động đều.
1


Si

1.2. C ác lư c có d ư ờ n g tá c d u n g giao n h au
tạ i m ộ t điểm
6 . Các thanh AC và BC nối với nhau và với tư ờ n g thẳng

c

đứng nhờ các bản lề. Tại bu lông khớp c tác dụng m ột lực

thẳng đứng p — 1.000 kG.
Hãy xác định phàn lực của các thanh này lên bu lơng
khớp c , nếu góc lập bỏ-i các thanh với tư ờng bằng OL = 30°,
(5 = 60°.

p

Hình bà 16

7. Chiếc đèn đưạc treo tại điểm giữa B của sợi dây A B C , các đầu m út của dây
bị buộc chặt vào các móc ở A và c nằm trên m ôt đường nằm ngang.
Hãy xác định sức căng Tị và T 2 tai các phần A B , BC của dây. B iết trong
lượng đèn 15 kG, toàn bộ dây ABC dài 20 m và điểm treo đèn cách đ ư ờ n g nằm
ngang m ột khoảng B D = 0 ,1 m. Bò qua trọng lượng của dây.
8 . M ột vật nặng p — 2 kG treo lên trần nhà bằng sợi dây AB và bị kéo v ào tư ờ n g

nhờ sợi dây BC.
Hãy xác định sức căng T a của dây AB và sức căng T c của dây B C , biết góc
Oi — 60° và góc ¡3 = 135°. Bỏ qua trọng lượng của dây.
X

Hình bài 7

Hình bài 8

Hình bàt 9

9 . M ột quả cầu nặng p kG được treo bằng sợi dây AB hợp vớ i ph ư ơ ng th ẳn g
đứng góc a , đồng thời quả cầu bị kéo ngang bằng sợi dây BC.
Hãy xác định sức căng của dây AB và BC.

1 0 . Trên m ặt phẳng nhẵn nghiêng m ột góc Q so với
m ặt phẳng ngang, có m ột quả cầu nặng p kG buộc vào
đỉnh A bằng m ột sợi dây m ềm , khơng dãn nghiêng góc
¡3 so với phương thẳng đứng.
Hãy tính sức căng của dây v à áp lực của quả cầu
lên m ặt nghiêng.

2

Hình bàI 10

X


1 1 . Sợi dây C A E B D vắt qua hai rịng rọc nhỏ khơng đáng kể A và B nằm theo
phương ngang với khoảng cách A B — í. Tại các đầu dây c v à D có treo các quả
cầu, mỗi quả có trọng lượng p k G , còn tại điểm E treo quả cầu p kG. Bổ qua m a
sát tại các ròng roc và trong lương của dây, hãy xác định khoảng cách X từ điểm
E đến đường ngang AB tai vị trí cân bằng.

e

Ể3

0

c

¡y

D

N

N
Hình bàĩ 12

Hình bài 11

1 2 . Tải trọng p và sợi dây BCD cùng buộc vào đầu B của sợi dây A B , đầu A
cột chặt vào tư ờ ng. Sợi dây BCD vắt qua ròng rọc nhỏ tại c , còn tại đầu D buộc
quả cầu có trọng lư ạng Q = 10 kG.
Bỏ qua m a sát tai ròng roc, hãy xác đinh sức căng T của dây AB v à đô lớn
của tải trọng p nếu tại vị trí cân bằng các góc giữa dây v à đường thẳng đứng BE
bằng a — 45°, (3 = 60°.
1 3 . Quả cầu đồng chất trọng lượng p được đặt ở các vị trí sau:
a) p = 6 kG nằm trên hai m ặt nghiêng trơn AB v à BC vng góc vớ i nhau.
T ìm áp lực của quả cầu lên m ỗi m ặt nghiêng, biết rằng m ặt phẳng BC tạo với
phương ngang góc 60°.
b) p = 20 kG được giữ trên m ặt phẳng nghiêng trơn nhờ m ột sợi dây buộc
vào cân lò so gắn chặt ở bên trên m ặt phẳng. Cân lị so chỉ 10 kG. Góc nghiêng của
m ặt phẳng so với phương nằm ngang bằng 30°, hãy xác định góc giữ a phương
của sợi dây với đường thẳng đứng và áp lực Q của quả cầu lên m ặt phẳng, khi
bỏ qua trọng lượng của cân lò so.
c) Q uả cầu p treo lên tư ờ n g tran thẳng đứng AB nhờ sợi dây AC lập với
tường góc a . Hãy xác định sức căng T của dây và áp lực Q của quả cầu lên
t '
s
s

Hình bài 13

3


1 4 . Thanh đồng chất AB gắn vào tư ờng thẳng đứng nhờ bản lề A và giữ nghiêng
góc 60° so với đường thẳng đứng nhờ sợi dây BC tạo với thanh m ột góc 30°.
Hãy xác định độ lớn và hướng phản lực R của bản lề, biết trọng lư ợng của
thanh bằng 2 k G .
1 5 . X à đồng chất AB dài 2 m nặng 5kG tự a đầu trên A vào tư ờ n g trơn th ẳng
đứng. Sai dây BC buôc vào đầu dưới B của xà.
Hãy tìm xem cần phải cơt dây vào tư ờng ở khoảng cách AC bằng bao nhiêu,
để xà với tường tao thành góc B A D — 45° ờ trang thái cân bằng, đồng th ời tìm
sức căng T của dây và phản lưc R của tường.

Hình bài 14

Hình bài 15

Hình bài 16

1 6 . D ầm AB được giữ ờ vị tri nằm ngang nhờ thanh CD. T ại A, c và D có gắn
bản lề.
Hãy xác định phản lực Ở các chỗ tự a A và D, nếu cho tác dụng lực th ẳng
đứng F = 5 tấn tại đầu B của dầm. Các kích thước được cho th eo hình vẽ, bỏ
qua trong lượng các thanh.
1 7 . D ầm AB gắn bản lề tại gối đỡ A và đặt trên con lăn tai đầu B. T ại trung
điểm của dầm có tác dụng lực p = 2 tấn nghiêng góc 45° so với trục của' Aó. Hãy
xác định phản lực của các gối tự a trong trường hạp a và b. Lấy kích th ư ớc theo
hình vẽ và bỏ qua trọng lượng của dầm .

Hình bàt 17

1 8 . Dây điện ACB căng giữa hai cột sao cho nó tạo thành m ột đư ờng cong th oải,
độ võng của nó C D = / = 1 m. Khoảng cách giữa hai cột A B = í = 40 m . Trọng
lương của dây Q = 4 0 kG.
Hãy xác định sức căng của dây: Tc tại điểm giữa, TA và T B tại các đầu m ú tử
Cho biết trọng lượng của m ỗi nửa dây đặt cách cột gần nhất m ột khoảng bằng
¿/ 4 .

4


Hình bài 18

Hình bài 19

1 9 . Hai dây dẫn của xe điện treo vào các dây cáp ngang, m ỗi dây cáp lai cột chặt
vào hai cột. Các cột được bố trí dọc theo đường cách nhau 40 m. Đ ối với m ôi
dây cáp ngang, các khoảng cách AK = KL = LB = 5 m , KC = LD = 0,5 m.
Bỏ qua trọng lượng của dây cáp, hãy tìm sức căng Ti , T 2 và Tz tại các phần
AC, CD và D B của nó, cho biết trọng lượng của m ột m ét dây dẫn bằng 0 ,7 5 kG.
2 0 . Đ ể vư ợ t sông người ta dùng quang chuyển tải L, quang này treo vào dây cáp

AB nhờ con lăn c . D ây cáp AB cột chặt vào các đỉnh tháp A v à B. Đ ể chuyển
con lăn c về bờ trái, người ta dùng dây CAD vắt qua ròng rọc A và quấn vào
tời D; tư ơ ng tự cũng có m ột sợi dây để kéo quang lại bờ phải. Các điểm A và B
nằm trên m ột đường nằm ngang và cách nhau m ột khoảng AB = 100 m; độ dài
của dây cáp AC B bằng 102 m; trọng lượng của quang chuyển tải bằng 5 tấn.
Bỏ qua trọng lượng của các dây cũng như m a sát giữa con lăn và dây cáp,

hãy xác định sức cẳng của dây CAD và sức căng của dây cáp AC B khi khoảng
cách từ c đến tháp A là 20 m.

Hình bài 20

Hình bài 21

2 1 ắ Đ ể nén khối xi m ăng lập phương M theo 4 m ặt, người ta dùng cơ cấu khớp
bản lề, trong đó các thanh A B, BC và CD trùng với các cạnh của hình vng
ABCD; cịn các thanh 1, 2, 3, 4 bằng nhau và hướng theo các đường chéo của
hình vng này. Hai lực trực đối p đặt tại các điểm A và D.
Hãy xác định các ứng lực N i , N 2, N 3, N 4 nén khối lập phương và các ứng
lực s 1, S 2, s 3 trong các thanh AB, BC và CD; biết rằng độ lớn của các lực đăt
tại các điểm A và D bằng p = 5 tấn.

5


2 2 . Đ a giác thanh khớp gồm 4 thanh bằng nhau, các đầu m út A v à E gắn khớp
bản lề, các m út B, c và D chịu tải trọng thẳng đứng Q như nhau. T ại vị trí cân
bằng góc nghiêng của các thanh bên so với phương nằm ngang a — 60°.
Hãy xác định góc nghiêng của các thanh giữa so với phương nằm ngang (góc
/3 trên hình vẽ)

Hình bài 22

Hình bài 23

2 3 . Khung cử a AB biểu thị trên hình vẽ theo m ặt cắt, khung nặng 1 0 0 kG có thể
quay quanh trục nằm ngang A. c ử a m ở nhờ kéo dây BC D vắt qua các rịng rọc

D và c (bổ qua kích thước của các ròng rọc). B iết ròng rọc c v à điểm A nằm
trên m ột đường thẳng đứng, trọng lượng của khung đặt tại tâm của nó, A B =
AC và bỏ qua m a sát; hãy tìm sự thay đổi của sức căng T của dây th eo góc tp
hợp b&i khung AB với đường nằm ngang AH, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
sưc căng này.
2 4 . Hai quả cầu nhò A và B, quả th ứ nhất nặng 0,1 kG, quả th ứ hai nặng 0,2 kG,
đều nẳm trên m ột trụ trịn nhăn có trục nằm ngang và bán kính OH = 0,1 m . Các
quả cầu nối với nhau bằng sợi dây AB dài 0,2 m.
Hãy xác định các góc đứng o c tại vị trí cân bằng và áp lực N i , 7V2 của các quả cầu lên trụ tại các điểm
A và B. Bổ qua kích thước cùa các quả cầu.

Hình bài 24

Hình bài 25

2 5 . V ịng nhẵn A có thể trư ợt khơng ma sát theo m ột dây kim loại cố định bị
uốn cong theo đường tròn nằm trong m ặt phẳng thẳng đứng. Q uả cân p treo vào
vòng, đồng thời buộc vào vòng m ột sợi dây ABC vắt qua ròng rọc cố định B nằm

6


tại điểm cao nhất của đường tròn; tại đầu c treo quả cân Q.
Hãy xác đinh góc ờ tâm ip của cung AB tai vi trí cân bằng v à chỉ ra điều
kiện cân bằng, bổ qua trọng lượng của vịng, kích thước của rịng rọc và m a sát
tại đó.
2 6 . Đ iểm M bị hút về ba tâm cố định M l ( z i , t/l), M 2 (x 2, ĩ/2) và M s (x 3 , 2/ 3) bờ i các
lực tỷ lệ với khoảng cách: F\ = k\T\, F 2 = k,2ĩ 2 và F3 — k^rs, Ở đây ri = M M 1,
r 2 = M M 2, r 3 = M M 3, còn k ị , /c2, ^3 là các hệ số tỷ lệ.

Hãy xác định các tọa độ

X,

y của điểm M tại vị trí cân bằng.

2 7 . Mạch đầu m út của m ột chiếc cầu xích đặt trong m óng đá
có dang hình hộp chữ nhật, tiết diện giữa của nó là A B C D .
Các cạnh AB = AC = 5 m; trọng lượng riêng của m óng đá
bằng 2 ,5 G /c m 3, m ạch đặt theo đường chéo BC.
Hãy tìm độ dài cần th iết a của cạnh th ứ ba hình hộp,
cho biết sức căng của mạch T — 100 tấn (cần dự tính m óng
lật nhào quanh mép D và bỏ qua sức cản cùa đất).
2 8 . T háp nước gồm m ột bể chứa hình trụ cao 6 m, đường
kính 4 m gắn trên bốn cột đặt đối xứ ng và nghiêng so với
phương nằm ngang, đáy bể nằm ờ đô cao 17 m trên mức
các chỗ tựa; trọng lượng của tháp là 8 tấn , áp lực gió được
tính trên diện tích hình chiếu của m ặt bể lên m ặt phẳng
vng góc với hướng gió, trong đó áp lực riêng của gió bằng
125 k G /m 2.
Hãy xác định khoảng cách cần th iết AB giữa các chân
cột (dự tính tháp bị lật nhào do áp lực gió theo hướng
ngang) ệ

Hình bài 28

2 9. T ấm thép nặng 40 kG dịch chuyển thẳng đều trên m ặt phẳng nằm ngang của
một giá bằng gang không bôi trơn .
Hãy xác định lực cần cho dịch chuyển này, biết rằng hệ số m a sát bằng 0,18
và lực hướng song song với dịch chuyển.

3 0 . Chiếc hòm trọng lượng p đặt trên m ặt phẳng
nháp nằm ngang với hệ số m a sát ụ,.
Hãy tìm xem cần phải đặt lực Q nghiêng m ột
góc ß bằng bao nhiêu và giá trị nhổ nhất của Q
để có th ể xê dịch hòm .

7


1.3. C ác lư c son g so n g v à n g ẫ u lư c

LU-

3 1 . T hanh đồng chất AB dài 1 m, nặng 2 kG treo
nằm ngang trên hai sợi dây song song AC và BD.
Tải trọng p = 12 kG treo vào thanh tại điểm E
với khoảng cách A E = - m.
4
Hãy xác định sức căng T c v h T p của các dây
3 2 . M ôt dầm ngang nằm trên hai gối đỡ, khoảng cách giữ a chúng bằng 4 m; ta
đặt trên nó hai tải trọng: Tải trọng c 200 kG, tải trọng D 100 kG, sao cho phản
lực của gối đỡ A lớn gấp hai phản lực của gối đỡ B, khoảng cách giữ a các tải
trọng CD = 1 m, bỏ qua trọng lượng của dầm. Hãy tìm xem tải trọng c đặt cách
gối đỡ A m ơt khoảng X bằng bao nhiêu?

H

>ỷj>

im

H-m

Hình bài 32

B

Á

------- 7'

Ip
Hình bài s s

3 3 . Dầm AB dài 10 m nặng 200 kG nằm trên 2 gối đỡ c và D, gối đỡ c đăt cách
đầu m út A 2 m; gối đỡ D cách dầu m út B là 3 m. Đầu m út A của dầm được kéo
thẳng lên trên nhờ tải trọng Q — 300 kG và sợi dây vắt qua ròng rọc. Tải trọng
p = 800 kG treo vào dầm tai điểm cách đầu m út A là 3 m
Hãy xác định phản lực của các gối đỡ, bỏ qua m a sát tại ròng rọc.
3 4 . M ột dầm ngang đồng chất dài 4 m, nặng 0,5 tấn đặt sâu vào tư ò n g có chiều
dày 0,5 m sao cho dầm tự a tai các điểm A và B'
Hãy xác định phản lực tại những điểm này (A, B ) nếu ta treo tải trọng p = 4
tấn vào đầu m út tư do c của dầm.

Hình bài 3ị

Hình bài 35

3 5 ề Một dầm ngang ngàm chặt một đầu vào tư ờ n g, còn đầu kia đỡ lấy ổ trục. Do
trọng lượng của trục, của các puli và ổ trục, dầm chịu m ột tải trọng th ẳn g đứng

Q = 120 kG.
Bỏ qua trọng lượng của dầm và coi tải trọng Q tác dụng tại điểm cách tư ờ n g
m ột khoảng a = 750 m m , hãy xác định phản lực ngàm (phàn lực và m ôm en phản
lực).

8


3 6 . Dầm ngang đỡ bao lơn chịu tải trọng phân bố đều với cường độ p — 200
k G /m . Một tải trọng p — 200 kG truyền từ cột lên dầm tại đầu m út tự do.
Khoảng cách từ trục cột đến tường t — 1 ,5 m. Hãy xác định phản lực ngàm .
p

m t m ủ n

11

.

/>
M in
1 )>
a

B

"
a.

p>1. T# ịp

—
ũ

a

ỉ
Hình bàt 36

Hình bàt 37

3 7 . N gẫu lưc (p , p ) tác dụng lên dầm có hai m út thừa nằm ngang. Tải trọng
phân bố đều với cường đô p tác dung lên m út thừa bên trái và tải trọng thẳng
đứng Q tác dụng tại điểm D của mút thừa bên phải của dầm.
Hãy xác định phản lực của các gối đỡ, cho trước p — 1 tấn , Q = 2 tấn , p — 2
tấ n /m é t, a = 0 , 8 m.
3 8 . Cần truc đường sắt tư a trên các đường ray, khoảng cách giữa chúng bằng
1,5 m. Trọng lượng của xe tời cần trục là 3 tấn, trọng tâm của nó tại điểm A trên
giao tuyến KL cùa m ặt phẳng đối xứng của xe tời với m ặt phẳng hình vẽ.
Tời B nặng 1 tấn, trọng tâm của nó tại điểm c cách đường th ẳng KL 0,1 m.
Trọng lượng của đối trọng D bằng 2 tấn, trọng tâm của nó tại điểm E, cách đường
thẳng KL 1 m. c ầ n FG nặng 0,5 tấn, trọng tâm của nó tại điểm H cách đường
thẳng KL 1 m. T ầm vươn của cần trục L M = 2 m .
Hãy xác định tải trọng lớn nhất Q, mà cần trục vẫn khơng bị lật.

Hình bài 38

Hình bài 39

3 9 . Trọng lượng của dàn cẩu di động không kể đối trọng là 50 tấn tác dụng theo
đường thẳng cách đường thẳng đứng qua ray phải A 1,5 m. Tải trọng phải cẩu

25 tấn mắc vào xe tờ iẵ Tầm vư ơn tính từ đường thẳng đứng qua ray phải bằng
10 m.

9


Hãy xác định trọng lượng nhổ nhất Q và khoảng cách lớn nhất X từ trọng
tâm của đối trọng đến đường thẳng đứng qua ray trái B đe cho dàn cau khơng
bi lật với mọi vị trí của xe tời đã chịu tải cũng nhu' chưa chịu tải. Bổ qua trọng
lượng của xe tời.
4 0 . Cầu AB đưac nâng lên nhờ hai xà CD dài 8 m nặng 400 kG, bo trí m ơi bên
cầu m ột chiếc. Đ ộ dài của cầu AB = CE = 5m ; độ dài của dây xích AC = B E ,
trọng lượng của cầu bằng 3 tấn và có thể xem như đăt tại trung điem của A B.
Hãy tính đối trọng p làm cân bằng cầu.

Hình bài ị l

Hình bài ịO

4 1 ế Dầm đứt đoạn nằm ngang AEB có đầu A bị ngàm vào tư ờ n g, đầu B tự a trên
gối đỡ di đông, điểm E gắn khớp bản lề. Dầm chiu tải của cần truc năng Q = 5
tấn, m ang thêm tải trọng p = 1 tấn, tầm vươn K L = 4 m; trọng tâ m của cần
trục nằm trên đường thẳng đứng EK. Các kích thước cho trên hình vẽ.
Bỏ qua trọng lượng của dầm, hãy xác định các phản lực tại các điểm A và B
khi cần trục nằm trong một mặt phẳng thẳng đứng cùng với dầm A B.

1.4. H ê lư c p h ẳ n g b ấ t kỳ
42.

Quả cầu đồng chất có trọng lượng p

—

9 8 ,1 kG chịu nằm ở vị trí cân bằng nhờ hai dây
m ềm , không dãn, n h ẹ.A B và CD tạo với nhau
góc 150°, cùng nằm trong một m ặt phẳng thẳng
đứng (hình vẽ).
Dây AB tạo với phương ngang góc 45°. Hãy
xác định sức căng T b , T c của các dây.
43.

Hình bài ị 2

0

Quả cầu đồng chất trọng lượng Q bán kính a và quả

cân trọng lượng p cùng treo vào điểm o trên các sại dây
m ềm , nhẹ, không dãn, khoảng cách O M = b. Hãy xác định
xem khi cân bằng, đưòng thẳng OM tạo với đường thầng
đứng m ột góc íp bằng bao nhiêu?

10

íầ \p
Hình bài 43


4 4 ắ Dầm đồng chất AB trọng lượng p tự a trên hai đường thẳng nghiêng trơn
CD và DE trong m ặt phẳng thẳng đứng. Góc nghiêng của đường thẳng th ứ nhất

so với phương nằm ngang bằng a , cịn của đường thứ hai bằng 90°-o;.
Hãy tìm góc nghiêng 0 của dầm so với phương nằm ngang tại vị trí cân bằng
và áp lực của nó lên các đường thẳng tựa.
4 5 . T hanh đồng chất AB nặng 1 0 0 kG tựa một đầu trên sàn ngang trơn, còn
đầu kia tự a trên mặt phẳng trơn nghiêng một góc 30° so với phương nằm ngang.
T hanh đươc giữ bằng sơi dây buôc vào đầu B vắt qua ròng rọc c và m ang tải
trọng p , phần BC của dây nằm song song với mặt phẳng nghiêng.
Bỏ qua m a sát tai ròng rọc, hãy xác đinh tải trọng p và các áp lực N a , N b
lên sàn và m ặt phẳng nghiêng.
yi

Hình bài 44

Hình bài ị 5

Hình bài 46

4 6 . Chiếc thang đồng chất AB tư a vào tư ờng trơn và nghiêng m ơt góc 45° so với
phương nằm ngang, thang nặng 2 0 kG. Một người nặng 60 kG đứng tại điểm D

Hãy tìm áp lực của thang lên chỗ tư a A và lên tư ờng.
4 7 . T hang AB
trên sàn ngang
hơn ụ, N, trong
lưc pháp tuyến

trọng lượng p dựa vào tư ờng trơn và tựa
nháp. Lực ma sát tại điểm B khơng lớn
đó ụ, là hệ số ma sát tĩnh, còn N là phản
của sàn.

Cần phải đặt thang nghiêng một góc a đối với sàn
bằng bao nhiêu để m ột người có trọng lương p có thể trèo
lên đến tân đỉnh thang.

Hình bài ị 7

4 8 . Hai quả cầu nhăn đồng chất Ci và c 2 có bán
kính R 1, R 2, trọng lượng Pi , p 2 cùng treo vào điểm
A bằng các dây AB và AD. Biết A B = i \ \ A D — ¿2,
£] -f- R\ — ¿2 "H ỉ^2\ §óc A B D = Oi.
Hãy xác định góc d lập với dây AD với mặt phẳng
nằm ngang AE, sức căng Tị , T2 của các dây và áp lực
của quả cầu này lên quả cầu kia.
Hình bài \ 8

11


p nằm
4 9 . Hai trụ tròn đồng chất như nhau cùng bán kính r và cùng trong lượng
\
trên m ột m ặt phẳng nằm ngang; đồng thời tâm của chúng đư ạc nối với nhau bang
sợi dây không dãn dài 2r. Một trụ đồng chất th ứ ba bán kính R, trọng lư(7n s Q

đăt nằm yên lên hai trụ trên.
Hãy xác định sức căng của dây, áp lực của các trụ lên m ặt phầng va aP ^ c
tương hỗ giữa các trụ. Bỏ qua ma sát.

Hình bài Ạ9

50.

Hình bài 50

Hãy xác đinh lưc kéo p để vât lăn đều theo m ặt phẳng n gan g trong các

trường hợp sau.
a) Con lăn hình tru đường kính 6 0 cm nặng 3 0 0 kG, hê số m a sát lăn / =
0, 5 cm và lực kéo p lập với mặt phẳng nằm ngang góc Oi = 30°
b) Quả cầu bán kính R trọng lượng Q , hệ số m a sát trư ợ t g iữ a quả cầu với
mặt phẳng bằng ụ,, hệ số ma sát lăn bằng / (lực p coi như tác dụng vào tâm cầu).

1 .5 ẵ T ĩn h h ọ■c dồ th ị•
5 1 ế Ba tải trọng 2 tấn, 3 tấn và 1 tấn đăt trên m ôt dầm có nhịp dài 8 m sắp đăt
như hình vẽ.
Hãy xác định bằng đồ thị và thử lai bằng phương pháp giải tích các phản lực
gối tựa. Bỏ qua trọng lượng của dầm.
Ỉ.Sm

u

A

3m

2ễ5w

&

\ lm\

< y
1

Hình bài 51

A

2 T

Ẳ
1

2/77

/¿ T
Á

eo°

ẫ

3m

Hình bài 52

5 2 . Dầm không trọng lương AB chiu tác dụng của hai lực (m ỗi lực 2 tấn) như
trên hình vẽ.
Hãy xác định bằng đồ thị và th ử lại bằng phương pháp giải tích phản lực ờ

các gối tựa.
5 3 . Hãy xác đinh bằng đồ thị và thử lai bằng phương pháp giải tích các phản lực
tự a và ứng lực trong các thanh của m ôt dàn vì kèo chịu lực (các lực 3 tấ n , 2 tấn
và 1 tấn) như trên hình vẽ.

12


5 4 . Hãy xác định phàn lực của các gối tự a và ứng lực trong các thanh của m ột
dàn cầu chịu lực như trên hình vẽ (bằng phương pháp đồ thị v à giải tích).

C h ư ơ n g 2.

HỆ L ự c K H Ô N G G IA N

2.1. D ư a h ê lư c v ề d a n g dơn giàn
5 5 . Một cột góc gồm hai thanh AB và AC đồng nghiêng gắn bản lề tại đỉnh. Góc
B A C — 30°. Côt đỡ hai dây dẩn nằm ngang AD và AE hơp với nhau thành m ơt
góc vng. Sức căng của dây dẫn là 100 kG. Giả thiết rằng m ặt phẳng BA C chia
đơi góc DAE và bổ qua trọng lượng của thanh; hãy xác định ứng lực trong các
thanh.
5 6. Dây dẫn nằm ngang của tuyến điện thoại treo trên cột AB với cột chống
nghiêng AC. Hai dây lập thành góc D A E = 90°, sức căng của dây AD v à AE
tương ứng bằng 12 kG và 16 kG. T ại điểm A gắn bản lề.
Hãy xác định góc a giữa hai m ặt phẳng BAC và B A E , sao cho cột không
chịù uốn ngang và xác định ứng lực s trong cột chống, nếu nó làm với phương
nằm ngang m ột góc 60°. Bỏ qua trọng lượng của cột và cột chống.

5 7 ề Hãy xác định ứng lực trong dây cáp AB và trong các thanh A C, AD dùng

13


để đỡ tải trọng Q = 18 0 kG, nếu cho trước A B — 1 7 0 cm , A C — A D — 100 cm ,
C D = 19 0 cm , CK = KD và mặt phẳng CDA nằm ngang. T ại các điểm A , c , D
thanh gắn bản lề.
5 8 . Tại bốn đỉnh A, H, B và D của hình lập phương đặt 4 lực băng nhau:
P l = p 2 = p 3 = p 4 = p , trong đó lực Pị hướng theo AC, p 2 theo H F , p 3 theo
BE và p 4 theo DG. Hãy rút gọn hệ lực đó về dạng đơn giản.
5 9 . Tại các đỉnh của hình lập phương có cạnh bằng 5 c m đặt 6 lực bằng nhau,
mỗi lưc 2kG (như hình vẽ). Hãy rút gọn hê lực này về dạng đơn giản.
Zí

z

y
A

Hình bài 58

Hình bài 59

Hình bài 60

2.2. C ân b ằ n g củ a hê lư c b ấ t kỳ
6 0 . Ta nâng nắp chử nhật ABCD của hòm nhờ thanh nhỏ DE. Trọng lư ợng nắp
là 12 kG, AD = AE, góc D A E = 60°. Hãy xác định phàn lực cùa điểm tự a A, B
và ứng lưc s trong thanh; bỏ qua trọng lương của thanh.
6 1 . Chỗ nằm A BCD trên toa xe lứa có thể quay quanh trục AB và giữ ở vị trí
nằm ngang nhờ thanh ED, thanh này gắn vào tư ờng thẳng đứng B A E nh ờ khớp

E. Trọng lượng của chỗ nằm cùng tải trọng p trên đó bằng 80 kG đặt tại giao
điểm của hai đường chéo hình chữ nhật A BCD .
Z|
y

Hình bài 61

Hình bài 62

Cho trước các kích thước AB = 150 cm , AD = 60 cm , AK = BH = 25 cm .
Chiều dài thanh ED = 75cm. Hãy xác định ứng lực s trong thanh ED và
phản lực của bàn lề K, H. Bồ qua trọng lượng của thanh.

14


6 2 . M ột tấm nằm ngang đồng chất nặng p kG có dạng hình hộp thẳng gắn chặt
xuống đất nhờ 6 thanh thẳng. Hãy xác định ứng lực trong các thanh gây ra bởi
trọng lượng của tấm , nếu các đầu thanh gắn vào tấm và vào các cột biên cố định
nhờ khớp cầu.
6 3 . M ột trục truyền động nằm ngang có thể quay trong ổ trục A và B m ang 2
bánh đai truyền c và D. Bán kính bánh đai rc = 2 0 cm , Td = 2 5 cm , khoảng cách
từ bánh đai đến ổ trục a = b = 50 cm, khoảng cách giữa hai bánh đai c = 100 cm.
Sức căng của dây đai mắc vào bánh c hưóng nằm ngang và có giá trị Ti , t ị , trong
đó T\ = 2t\ = 500 kG; sức căng của dây đai mắc vào bánh D tạo với phương thẳng
đứng một góc a = 30° và có giá trị r 2, í 25 trong đó r 2 = 212.
Hãy xác định sức căng T2, 12 khi hệ cân bằng và phản lực ổ trục gây ra bởi
sự căng của dây đai.

Hình bài 63

2.3. T ron g tâ m
6 4 . Hãy xác định trọng tâm của đĩa tròn đồng chất có lỗ hổng trịn, cho trước
bán kính của đĩa là r 1? bán kính của lỗ hổng là r2, tâm của lỗ hổng nằm cách tâm
đĩa một khoảng Tị/2.

Hình bài 64

Hình bài 65

6 5 . Hãy tìm trọng tâm tiết diện ngang hình thước th ợ có chiều OA = a OB =
b và độ dày AC = BD = d.

15


6 6 . Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a, hãy tìm điểm E bên trong hình, sao

cho nó là trọng tâm của hình vng đã cắt đi tam giác cân A EB.
6 7 Ể Hãy tính trọng tâm của vật có dạng chiếc ghế gồm m hửng thanh cùng chiều
dài và cùng trọng lượng. Chiều dài thanh bằng 44 cm.
6 8 . N gười ta cho tứ diện cụt đồng chất A B C D E F với hai đáy song song v à diện

tích đáy A B C = a, diện tích đáy D E F = b và khoảng cách giữa chúng bằng h.
Hãy tìm khoảng cách z từ trọng tâm tứ diện cụt này đến đáy A B C .

Hình bài 67

Hình bài 68

Hình bài 69

6 9 . Thân quả thủy lơi có dang hình trụ với hai đáy lồi hình cầu, bán kính vỏ trụ
r = 0 ,4 m; chiều cao vỏ trụ h = 2r, chiều cao chỏm cầu tư ơng ứng bằng /1 = 0, 5r
và /2 = 0 , 2 r
Hãy tìm trọng tâm của vỏ thủy lơi.
7 0 . Hãy tìm chiều cao giới han h của hình trụ, sao cho vật
thể hình trụ và bán cầu cùng m ật độ, cùng bán kính r m ất
Ổn định tại vị trí cân bằng; khi vật thể này tự a m ặt bán cầu
lên m ăt nhán nằm ngang.
Chỉ dẫn: Trọng tâm của toàn bộ vật thể phải trùng với
tâm bán cầu. Khoảng cách của trọng tâm bán cầu đồng chất
3
đến đáy của nó bằng - r ề
Hình bài 70

16