Bài tập cơ học lý thuyết

3


4

LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn “ Bài tập cơ lý thuyết ” in lần này là kết quả của nhiều lần rút kinh
nghiệm qua thực tế giảng dạy của Bộ môn cơ học lý thuyết Trường Đại học Thủy lợi
suốt bốn mươi năm qua.
So với hai tập giáo trình xuất bản năm 1976, chúng tôi đã chọn lọc sửa chữa và
rút bớt lại về số lượng bài, kết cấu lại các chương mục cho phù hợp với đề cương m
ôn
học đã được sửa đổi theo tinh thần cải cách giáo dục và đáp ứng yêu cầu đào tạo các
ngành nghề của Trường Đại học Thủy lợi.
Giáo trình này được dùng cho sinh viên chính quy hệ 5 năm của trường Đại học
Thủy lợi, ngành công trình và ngành máy(chương trình A). Tuy nhiên những sinh viên
học theo chương trình B hoặc sinh viên hệ tại chức, khi sử dụng giiaos trình này có sự
hướng dẫn của giáo viên cũng rất thuận lợi. Ngoài ra giáo trình này còn làm
tài liệu ôn
tập cho những học viên ôn tập để thi tuyển vào hệ cao học hay nghiên cứu sinh ngành
cơ học.
Chúng tôi mong có sự góp ý của các thầy giáo cô giáo và người sử dụng về nội
dung và hình thức để giúp chúng tôi hoàn thiện hơn về giáo trình này.
Hà Nội, tháng 10-2003
Tập thể bộ môn Cơ học lý thuyết
GS.TS.Nguyễn Thúc An PGS.TS.Khổng Doãn Điền
PGS.TS.Nguyễn Đình Chiều PGS.TS.Nguyễn Đăng Tộ
PGS.TS.Nguyễn Bá Cự PGS.TS.Lê Đình Don
TS.Nguyễn Đình Thông
TS.Nguyễn Thị Thanh Bình

5
PHẦN THỨ NHẤT: TĨNH HỌC
CHƯƠNG I: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN- HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
Tĩnh học là một phần của Cơ học lý thuyết, trong đó nghiên cứu điều kiện cân
bằng của vật rắn dưới tác dụng của lực. Vật rắn ở trạng thái cân bằng hiểu theo nghĩa
tĩnh học là vật rắn đứng yên.
Với qui ước ngay từ đầu vật rắn đã đứng yên, ta có thể đồng nhất khái niệm cân
bằng của vật rắn với khái niệm cân
bằng của hệ lực tác dụng lên nó. Do đó để nghiên
cứu điều kiện cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của hệ lực, ta chỉ cần nghiên cứu
điều kiện cân bằng của hệ lực tác dụng lên nó là đủ. Nội dung chủ yếu của các bài
toán tĩnh học là tìm phản lực để hệ lực tác dụng lên vật khảo sát cân bằng. Cơ sở lý
luận của phần tĩnh học là hệ tiên đề tĩnh học.
HỆ TIÊN ĐỀ:
Tiên đề 1: ( Tiên đề về sự cân bằng)
Điều kiện cần và đủ để hệ hai lực cùng tác dụng lên một vật rắn
cân bằng là chúng có cùng giá, cùng cường độ và ngược chiều
nhau.


(
)
12

,
F
F
rr
0
r

12
F
F⇔=−
rr
và cùng giá.
Tiên đề 2: ( Tiên đề thêm bớt hệ lực cân bằng )
Tác dụng của một hệ lực lên vật rắn không thay đổi nếu ta thêm vào hay bớt đi một hệ
lực cân bằng

(
)
12
, , ,
n
F
FF
rr r

(
)
m21n21
P, ,P,P;F, ,F,F
r

r
r
r
rr

Trong đó:
(
)
m21
P, ,P,P
r
r
r


0
r

Tiên đề 3: ( Tiên đề về hợp lực )
Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm có hợp lực đặt tại điểm chung
ấy, véc tơ biểu diễn hợp lực là véc tơ đường chéo của hình bình
hành mà hai cạnh là hai vectơ biểu diễn hai lực đã cho.

(
)
12
,
F
F
rr

R
r
;
12
RF F
=
+
u
rur ur

Tiên đề 4: (Tiên đề về lực tác dụng và phản tác dụng)
Lực tác dụng và phản tác dụng giữa hai vật là hai lực có cùng
giá, cùng cường độ và ngược chiều nhau.
F
F
F
1
F
2
F

6
Chú ý: Khác với tiên đề 1, trong tiên đề 4, lực tác dụng và phản tác dụng không phải
là hai lực cân bằng.
Tiên đề 5: ( Tiên đề hoá rắn )
Khi vật biến dạng đã cân bằng, thì hoá rắn lại, nó vẫn cân bằng.

HỆ QUẢ:
Những hệ quả phát biểu dưới đây được trực tiếp rút ra từ hệ tiên đề tĩnh học đã nêu ở
trên:

Hệ quả 1: ( Định lý trượt lực)
Tác dụng của một lực lên vật rắn không thay đổi, nếu ta trượt lực dọc theo giá
của nó.
Do đó lực tác dụng lên vật rắn được biểu diễn bằng véc tơ trượt.
Hệ quả 2:
Nếu một hệ lực cân bằng thì một lực bất kỳ thuộc hệ lấy theo chiều ngược lại, sẽ là
hợp lực của hệ lực còn lại.
Hệ quả 3:
Có thể phân tích một lực thành 2 lực theo qui tắc hình bình hành lực.
Hệ quả 4:
Vật rắn chịu tác dụng của một lực khác không, sẽ không ở trạng thái cân bằng.
Hệ quả 5: (Định lý về 3 lực cân bằng )
Nếu ba lực không song song, cùng nằm
trong một mặt phẳng mà cân bằng thì giá của
chúng đồng quy tại một điểm.
Liên kết và phản lực liên kết
Nắm vững các loại liên kết và phản lực liên kết là một trong những yếu tố quan trọng
để giải đúng các bài toán tĩnh học.
• Liên kết tựa:







N
A
N
B

N
C
N
N
A
B
C

7
• Liên kết thanh không trọng lượng:




• Liên kết ngàm:


• Liên kết dây mềm, thẳng, khôngdãn:




• Liên kết bản lề:
+ Bản lề trụ:
X
X
y
x
Y
Z

+ Bản lề cầu





+ Bản lề cối



X
Y
y
x
A
S

B
S
C
S
A

B

C
T
T
B

T
A
A B
RA
MA
X
A
M
A
A
Y
A
Y
X
x
y
Z
Z
Z
y
R
Z

Y
y
Z
x
X
x

Z
Y

X
Z
X
Y

8
A
B
C
D
O
K
P
A
B
C
D
K
P
T
D
N
A
N
X
α
F

y
x
z
F
xy
F

θ
ϕ
O
x
z
y
B
A
A'
B'
d
r
F
xy
F
O
h
Nguyên lý giải phóng liên kết
Vật không tự do có thể coi như tự do nếu thay các liên kết bằng những phản lực liên
kết tương ứng.
Vật không tự do Vật tự do
Để lập hệ phương trình cân bằng cho các loại hệ lực, chúng ta phải nắm vững cách

chiếu véc tơ lực lên các trục toạ độ và cách lấy mômen của lực đối
với một tâm cũng như đối với trục.
Chiếu lực:
Lực và trục cùng nằm trên
một mặt phẳng:
X= F.cosα
Lực và trục không cùng nằm trên một mặt phẳng:
X= F
xy
.cosϕ= F.cosθcosϕ
Y= F
xy
.sinϕ= F.cosθ.sinϕ
Z= F.sinθ

.
F
Xi Y j Zk=++
r
r
rr

Mômen của lực:
+ Mômen của lực đối với 1 tâm:

0
()mF r F=∧
rr
rr

()
0
ijk
mF x y z
XYZ
=
r
rr
r
r


0
() .mF Fh=
r


0
() 0mF=
r
r
r
khi giá của lực
F
r
đi qua tâm lấy
mômen 0.

+ Mô men của lực lấy đối với một trục:

9

() .
zxy
mF dF=±
r

Ta có
() 0
z
mF=
r
khi lực và trục lấy mômen cùng nằm trên một mặt phẳng nghĩa là
giá của lực
F
r
cắt trục z, hoặc giá của lực
F
r
song song với trục z.

10
CHƯƠNG II. HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC

I. Bài toán thu gọn hệ lực

(
)
12

, , ,
n
F
FF
rr r
∼
00
(, )RM
rr

0
111
nnn
KK K
KKK
RXiYjZk
===
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
∑∑∑
r
r
rr

00 0 0
11 1
() () ()
nn n

xK yK zK
KK K
M
mF i mF j mF k
== =
⎡
⎤⎡ ⎤⎡ ⎤
=++
⎢
⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣
⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
∑∑∑
r
rr r r
rr

Các trường hợp có thể gặp khi thu gọn hệ lực không gian về một tâm được tóm tắt ở bảng
dưới đây
0
R
r
.
0
M
r

≠ 0

0
R
r
.
0
M
r

= 0

R
r

≠ 0

R
r

= 0
0
R
r
.
M
r
0
> 0
0
R
r

.
M
r
0
<
0

M
r
0
= 0
M
r
0
≠ 0
M
r
0
≠ 0
M
r
0
= 0
Hệ lực thu
về xoắn
thuận
Hệ lực thu
về xoắn
nghịch
Hệ lực

thu về
hợp lực
có giá đi
qua tâm 0
Hệ lực thu
về hợp lực
có fgiá
không
đi qua tâm 0
Hệ lực thu về
một ngẫu có
mômen là
M
r
0

không phụ
thuộc tâm 0
Hệ
lực
cân
bằng
1. Thí dụ
Theo các cạnh của lăng trụ tác dụng các lực
123456
,,,,,
F
FFFFF
r
rrrrr

có chiều như hình vẽ.
Biết F
1
= F
6
= 10N,
F
2
= F
4
= 5N ,
F
3
= F
5
= 5 2 N,
OA =2.OB = 10m , α= 45
0
.
Thu gọn hệ lực về dạng tối giản.
Bài giải
y
F
4
x
Z
α
F
5
R

K
F
1
F
2
R
M
O
F
3
F
6
A
B
C

K
0
0
Hình 1

11
6
16
1
K
K
XFF
=
=+

∑
= 20N

6
53
1
2
()
2
K
K
YFF
=
=−
∑
= 0

6
42 35
1
2
()
2
K
K
ZFFFF
=
=−+ −
∑
= 0

0
20. 0. 0.Rijk=++
r
r
rr
⇒ R
0
= 20N

()
6
035
1
2
() 0 0
2
xK
K
mF F F B
=
=− =
∑
r


6
015 4154
1
2

() .0 . .0 .0 ( 22)0 50
2
yK
K
mF FCF AFA FF FB Nm
=
=+ −=+− =
∑
r


6
05 656
1
2
() 0 .0 ( 2 ).0 0
2
zK
K
mF F AFB F F B
=
=−=−=
∑
r


0
0. 50. 0.
M
ijk=+ +

r
r
r
r
⇒ M
0
= 50Nm.
Vậy, khi thu gọn hệ lực (
123456
,,,,,
F
FFFFF
rr rrrr
) về gốc toạ độ 0, ta được véc tơ chính
0
R
r
có chiều trùng với chiềucủa trục 0x và có trị số 20N, mômen chính
0
M
uur
có chiều
trùng với chiều của trục 0y và có trị số 50Nm.
0
0R ≠
r
,
0
0M ≠
r

,
00
.0RM =
rr
suy ra hệ lực đã cho thu về hợp lực.
Hợp lực có trị số và phương chiều trùng với trị số và phương chiều của véc tơ
chính
0
R
r
. Ta cần tìm điểm đặt của hợp lực:
0
0
50
02,5
20
M
Km
R
===

Điểm K là điểm đặt của hợp lực: (
123456
,,,,,
F
FFFFF
r
rrrrr
) ∼ R
r

K

Điểm K phải nằm về phía chiều dương của trục 0z, cách gốc toạ độ 0 một đoạn
2,5m mới phù hợp với trị số và phương chiều của véc tơ chính
0
R
r
và mômen chính
0
M
r
.
2. Thí dụ
Hệ ba lực (
123
,,)
F
FF
rr r
đặt tại các điểm A, B, C và
có chiều như hình vẽ. Biết 0A=0B=0C = a.
a. Tìm điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lực.
b. Tìm điều kiện để hệ lực thu về một lực.
B
z
x
O
y
A
C

F
3
F
2
F
1


12
Bài giải

Hình 2
Trước hết ta cần tìm véc tơ chính
0
R
r
và mômen chính
0
M
r
khi thu gọn hệ lực về
gốc toạ độ 0.

3
23
1
3
31
1
3

12
1
2
()
2
2
()
2
2
()
2
K
K
K
K
K
K
XFF
YFF
ZFF
=
=
=
⎧
=−
⎪
⎪
⎪
⎪
=−

⎨
⎪
⎪
=−
⎪
⎪
⎩
∑
∑
∑
suy ra
0233112
2
()()()
2
RFFiFFjFFk
⎡
⎤
=−+−+−
⎣
⎦
r
r
rr

Mômen của một lực lấy đối với một trục bằng không khi giá của lực cắt trục nên ta
dễ dàng tìm thấy tổng mômen của các lực
123
,,
F

FF
r
rr
đối với các trục tọa độ 0xyz.

3
01
1
3
02
1
3
03
1
2
()
2
2
()
2
2
()
2
xK
K
yK
K
zK
K
mF Fa

mF Fa
mF Fa
=
=
=
⎧
=
⎪
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎩
∑
∑
∑
r
r
r
suy ra
()
0123
2
0

2
a
MFiFjFk
=
++ ≠
r
r
rr


00
.0RM =
rr
;
0
0M
≠
r

Kết quả trên luôn luôn đúng đối với hệ lực đã cho (
123
,,
F
FF
r
rr
).
a.
Điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lực:
Để hệ lực thu về một ngẫu lực chỉ cần thêm điều kiện :

0
0R =
r
suy ra F
1
= F
2
= F
3
.
Ngẫu lực có véc tơ mômen là
0
M
r
.
b.
Điều kiện để hệ lực thu về một lực:
Để hệ lực đã cho thu về một lực chỉ cần thêm điều kiện:

123
0231
312
;
0;
.
F
FF
RFFF
F

FF
−≠ ≠
⎧
⎪
≠⇒− ≠ ≠
⎨
⎪
−≠ ≠
⎩
r


13

O

Z

x

K

y
y
Z

x
C
A

B
A
P

4
P

3

P

2

P

1

P

5

α

P
3
P
5

P

2

P

1

P
4

Hình 3
Hình 5

3. Theo các cạnh của lăng trụ tác dụng các lực có trị số P
1
=40N, P
2
=P
5
=10N; P
3
=15N; P
4

= 5N và có chiều như hình vẽ. Biết 0A=2; 0K=20cm, α = 30
0
. Thu gọn hệ lực về dạng tối
giản.
Trả lời: Hệ lực thu về hợp lực
K
R

r
đặt tại điểm K có chiều trùng với chiều trục y,
có trị số R
K
=20 3 N .

4. Cho 3 lực P
r
1
, P
r
2
, P
r
3
đặt tại các
điểm tương ứng A
1
(0,2,1) ; A
2
(1,-1,3);
A
3
(2,3,1) và chiếu của chúng lên các trục
toạ độ cho trong bảng bên.
Thu gọn hệ lực trên về gốc toạ độ.
Trả lời:
0
R
r

=0; M
0
= 23,4Nm; cos
(
)
0
,
M
i
r
r
= 0,679
cos
(
)
0
,
M
j
r
r
=0,085 ; cos
(
)
0
,
M
k
r
r

=-
0,727
5. Cho hệ lực
P
r
1
,
P
r
2
,
P
r
3
,
P
r
4
,
P
r
5
đặt ở các đỉnh của hình hộp chữ nhật có chiều như
hình vẽ. Biết P
1
=60N, P
2
=P
3
=10N, P

4
=10 5 N, P
5
=20N, 0A=0B=20cm, 0C=10cm.
Thu gọn hệ lực trên về dạng tối giản.
Trả lời:
0
R
r
có chiều ngược với chiều trục 0y và R=30N,

0
M
r
nằm trong mặt phẳng 0yz và M
0
=100 5 Nm. Hệ lực thu về xoắn.
6. Trên hình hộp chữ nhật có lực P
r
và Q
r
tác dụng. Tìm mômen của các lực ấy đối
với các trục toạ độ. Biết 0A = 3cm, 0C = 4cm, 0L=5cm, P= Q = 3N.
Trả lời: m
0x
60
()
34
P
=

r
Nm ; m
0y
45
()
34
P
=−
r
Nm ; m
0z
36
()
34
P
=
r
Nm
Lực X Y Z
P
r
1

3 5 4
P
r
2

-2 2 -6
P

r
3

-1 -7 2

14
C
A
B
D
z
x
y
3
P
1
P
2
P
O
E
z
y
x
3
P
1
P
2
P

O
m
0x
() 62Q =−
r
Nm ; m
0y
() 4,52Q =
r
Nm ; m
0z
() 0Q =
r
Nm

y
Z

x
O
A
F
C

B
K
D
E
P
Q

O
x
Z
y
P

6
P

1
P

5
P

4
P
2
P
3

Hình 6 Hình 7

7. Tại các đỉnh của một lập phương có cạnh bằng a đặt 6 lực cùng có trị số P, có chiều
như hình vẽ. Rút gọn hệ lực về dạng tối giản.
Trả lời: Hệ lực thu về một ngẫu lực với M
0
= 20 3 P đơn vị mômen lực

Hình 8 Hình 9
8. Trên một tứ diện đều ABCD đặt các lực
1
P
r
hướng theo AB,
2
P
r
hướng theo CD và
3
P
r
có điểm đặt tại trung điểm E của BD. Giá trị của
1
P
r
,
2
P
r
tuỳ ý. Chiếu của
3
P
r

lên 3
trục toạ độ là X
3
53
6
=
P
2
; Y
3
1
2
=−
P
2
; Z
3
2
3
=−
P
2
. Thu gọn hệ lực trên.
Trả lời:
00
.0RM =
rr
. Hệ lực thu về hợp lực.
9. Ba lực
1

P
r
,
2
P
r
,
3
P
r
đặt tại các điểm A, B, C cách gốc toạ độ 0 tương ứng a, b, c nằm
trong các mặt phẳng toạ độ và song song với các trục toạ độ. Hệ lực đã cho phải thoả
mãn điều kiện gì để hệ lực có hợp lực, điều kiện nào để hệ lực đưa về một xoắn có trục
đi qua gốc toạ độ.
Trả lời:
a.

1
a
P
+
2
b
P
+
3
c
P
=0

15
b
a
c
P
P

P
6
F
5
F
4
F
1
F
2
F
3
F
3
P
2
P
1
P

4
P

E F
B
C D
H
G
A
b.

312
31 2
P
PP
bP cP aP
==


Hình 10 Hình 11
Hình 12
10. Theo 3 cạnh không cắt nhau và không song song với nhau của một hình hộp tác
dụng 3 lực
P
r
có trị số bằng nhau. Tìm quan hệ giữa a, b và c để hệ lực đó thu về một
lực.
Trả lời: b = a+ c
11. Tại các đỉnh của một hình lập phương ta đặt các lực theo phương của cạnh như
hình vẽ. Tìm điều kiện để hệ lực (
F
r
1

,
F
r
2
,
F
r
3
,
F
r
4
,
F
r
5
,
F
r
6
) cân bằng.
Trả lời: F
1
= F
2
= F
3
= F
4
= F

5
= F
6

12. Tại 4 đỉnh A, B, D, H của hình lập phương đặt 4 lực có trị số bằng nhau P
1
= P
2

= P
3
= P
4
= P, trong đó
1
P
r
hướng theo AC,
2
P
r
hướng theo HF,
3
P
r
hướng theo BE
và
4
P
r

theo hướng DG. Hãy thu gọn hệ lực về điểm D. Tìm dạng tối giản của hệ lực.
Trả lời:
2( )RP jk=+
r
r
r
; 0
D
M
=
r
.
Hệ lực thu về một lực.

II. Bài toán cân bằng của hệ lực
13. Thí dụ
Vật nặng Q= 9
3
N được treo vào bản lề C. Thanh BC
nằm ngang. Thanh AC và BC bỏ qua trọng lượng được nối
với nhau bằng bản lề C và gắn vào tường thẳng đứng bằng
bản lề A, B. Biết
β= 60
0
. Xác định ứng lực ,
A
B
SS
′
′

r
r
trong thanh
AC, BC.
Bài giải
Hình 13
y

x
Q

S
A
S
B
A
B
C
b


16
a) Khảo sát cân bằng bản lề C.
b) Các vật liên kết: Thanh AC và thanh BC. (Hình 13)
c) Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm : Các lực tác dụng tích cực và phản
lực liên kết:
• Lực tác dụng tích cực là Q
r

• Liên kết là hai thanh thẳng bỏ qua trọng lượng hai đầu gắn bản lề nên hai

phản lực có phương dọc theo thanh, ký hiệu là
,
A
B
SS
r
r
và giả sử có chiều như hình vẽ.
• Hệ lực cân bằng tác dụng lên vật khảo sát là: (, , )
A
B
QS S
r
rr
∼ 0.
d) Hệ lực trên là hệ ba lực đồng qui phẳng. Ta có thể giải bằng phương pháp hình
học hoặc phương pháp giải tích.
Phương pháp hình học: Dựng tam giác lực khép kín.
Lực
Q
r
đã biết trước cả trị số và phương chiều nên trước hết ta
dựng

ab
uur
= Q
r
. Từ a và b dựng hai nửa đường thẳng song song với hai
giá của

,
A
B
SS
rr
. Chúng cắt nhau tại C. Để được tam giác lực khép
kín ta chọn chiều của
,
A
B
SS
rr
sao cho phù hợp với chiều (quay)
của
Q
r
. Vậy ta đã xác định được chiều của ,
A
B
SS
r
r
dựa vào tam giác lực khép kín.
Chiều giả sử của
,
A
B
SS
rr
ở trên là đúng. Do các cạnh tương ứng song song nên tam giác

lực abc đồng dạng với tam giác hình học ABC. Từ đó trị số S
A
, S
B
được xác định theo
định lý hàm số sin trong tam giác lượng:

000
18
sin90 sin30 sin 60
3
2
C
AB
A
SSS Q
SN== ⇒==
;
1
9
2
3
2
B
Q
SN==
.
Phương pháp giải tích: Hệ trục toạ độ Cxy được chọn như hình vẽ. Nên chọn gốc toạ
độ trùng với điểm đồng qui của hệ lực và các trục toạ độ hướng sao cho việc lập hệ
phương trình cân bằng đơn giản và dễ giải nhất.

Áp dụng hệ phương trình cân bằng đối với hệ lực phẳng đồng qui ta có:

3
1
cos 0
KBA
K
XSS
β
=
=− =
∑
(1)

3
1
sin 0
KB
K
YS Q
β
=
=−=
∑
(2)

b
c
Q
S

B
S
A
β

17
Từ (2) ta tìm được
23
18
sin 3
A
Q
SQN
β
== =
Từ (1) ta có:
1
cos 18. 9
2
B
SN
β
==
e) Nhận xét:
Nếu giải bằng phương pháp hình học thì dựa vào chiều của tam giác lực khép
kín ta xác định được phương chiều của các phản lực trước sau đó tìm môđuyn của
các phản lực sau. Nếu giải bằng phương pháp giải tích thì dựa vào hệ phương trình
cân bằng của hệ lực ta tìm được môđuyn của các phản lực trứơc. Dựa vào kết quả
tìm được, môđuyn của phản lực nào dương thì phương chiều của phản lực đó đúng
như chiều giả thiết, môđuyn của phản lực nào âm

thì phản lực đó có phương chiều
ngược lại với phương chiều giả thiết.
Trong bài toán này S
A
= 18N > 0; S
B
= 9N > 0 nên hai phản lực ,
A
B
SS
rr
có chiều như
giả thiết trên hình vẽ.
Ứng lực của thanh AC có môđuyn bằng môduyn của phản lực
A
S
r
.

18
AA
SS N
′
== ;
A
A
SS
′
=
−

r
r

Ứng lực của thanh BC có môđuyn bằng môduyn của phản lực
B
S
r
.

9
BB
SS N
′
== ;
BB
SS
′
=
−
r
r

Áp dụng tiên đề 4 và tiên đề 1 tĩnh học ta thấy thanh AC bị
kéo với cường độ 18N, còn thanh BC bị nén với cường độ 9N.
14. Thí dụ.
Một sợi dây không dãn hai đầu buộc vào trần nằm ngang
tại hai điểm A, B. Tại điểm C treo tải trọng trọng lượng P.
Các nhánh dây AC, BC lập với đoạn AB các góc
α, β. Hãy xác
định sức căng

T
r
của các nhánh dây AC, BC theo P, α và β.


Bài giải
a) Vật khảo sát : Nút C
b) Vật liên kết: hai nhánh dây AC, BC (Hình 14)
c) Hệ lực tác dụng lên nút C: ,,
A
B
P
TT
r
rr

d) Lập điều kiện cân bằng của hệ lực trên: (, , )
A
B
P
TT
r
rr
∼ 0
+ Phương pháp hình học:
x
a
b
A
B

C
T
A
P3
T
B
Hình 14

P

3

T

A

T

B

a+b



90-
b

90-a

18

Hình 15
B
N
A
R
O
D
C
A
B
P

Ta dễ dàng dựng được tam giác lực abc như hình vẽ và có:

cos cos sin( )
AB
TT P
β
ααβ
==
+

Suy ra :
cos
sin( )
A
TP
β
αβ
=

+
;
cos
sin( )
B
TP
α
αβ
=
+

+ Phương pháp giải tích:

3
1
cos cos 0
KB A
K
XT T
βα
=
=−=
∑
(1)

3
1
sin sin 0
KB A
K

YT T P
βα
=
=+−=
∑
(2)
Nhân hai vế phương trình (1) với sin
α , phương trình (2) với cosα rồi cộng từng vế
với nhau ta được:

(sin cos sin cos ) cos 0
B
TP
α
ββα α
+
−=
Suy ra:
cos
sin( )
B
TP
α
αβ
=
+

Thay giá trị T
B
vào (1) thu được:

cos
sin( )
A
TP
β
αβ
=
+

e) Nhận xét
Các góc
α, β nhọn ; 0 < α+β < π nên T
A
>0 ; T
B
> 0
Chiều của các phản lực
,
A
B
TT
rr
chọn như hình vẽ là đúng ( phản lực của dây cũng
như phản lực tựa là loại phản lực đã biết chiều).
Sức căng của dây: Một sợi dây mềm căng thẳng sẽ tách thành hai phần (I) và (II)
nếu ta cắt dây tại một điểm K. Nếu ký hiệu
0
t
u
r

là véc tơ đơn vị định hướng từ (I) đến
(II), thì sức căng T của dây tại điểm K là đại lượng vô hướng xác định bởi hệ thức :

12 0
.TTt=−
uur ur
hay
21 0
.TTt=
uur ur

Sợi dây xét luôn căng, và sức căng T là dương. Vậy,
sức căng
A
T
′
của nhánh dây AC,
B
T
′
của nhánh dây BC
có môđuyn bằng môđuyn T
A
, T
B
tương ứng:
A
A
TT
′

=
;
BB
TT
′
= .
15. Thí dụ
Xà AB bỏ qua trọng lượng nằm ngang, đầu A gắn vào
bản lề A, đầu B là gối tựa con lăn đặt lên mặt phẳng

19
nghiêng so với phương nằm ngang một góc
α= 45
0
. Tại điểm C của xà treo vật nặng P
= 20N. Biết AC =
1
3
BC = 2m. Xác định phản lực tại A, B.
Bài giải
a) Vật khảo sát: Xà AB cân bằng.
b) Liên kết: Bản lề A, gối tựa con lăn B. (Hình 15)
c) Hệ lực tác dụng lên xà: (, , )
BA
P
NR
rr r
∼ 0
d) Trong hệ ba lực cân bằng trên ta đã biết được phương chiều của hai lực P
r

và
B
N
r
, giá của chúng giao nhau tại điểm O, còn phương chiều của phản lực
A
R
r
chưa biết. Theo hệ quả 5 ta có giá của
A
R
r
cũng phải đi qua 0. Do đó ta có
thể giải bài toán này bằng phương pháp hình học hoặc giải tích như hai thí dụ
trên. Tuy nhiên trong trường hợp này ( khi đã đưa về dạng hệ ba lực đồng qui)
nên dùng phương pháp hình học để giải thì nhanh gọn hơn, còn
muốn sử dụng phương pháp giải tích không nhất thiết phải tìm
tâm đồng qui.
Phương pháp hình học
Từ điểm 0
1
tùy ý dựng véc tơ
0C
= P
r
. Từ gốc 0 và mút C dựng các nửa
đường thẳng song song với các giá của lực
B
N

r
,
A
R
r
, hai nửa đường
thẳng này cắt nhau tại điểm d. Dựa vào chiều của lực
P
r
và phản lực
B
N
r

ta có tam giác lực ocd. Tam giác giác lực ocd đồng dạng với tam giác hình học 0CD.
Dựa vào các điều kiện hình học ta dễ dàng tính được các cạnh:
0C = 6m; 0D=2
2 m ; CD= 2 5 m.
Do đó ta có:
6
25 22
AB
RNP
==
suy ra
5205
33
A
RP== (N);

2202
33
B
NP== (N).
Từ tam giác lực khép kín ocd ta có chiều của phản lực
A
R
r
.
16. Thí dụ:
Thanh đồng chất AB nặng P=2N treo vào tường thẳng đứng
nhờ bản lề A và dây BC. Biết
α= 30
0
. Xác định phản lực
A
R
r

của bản lề A, sức căng của dây BC.
Bài giải
a) Vật khảo sát: Thanh AB cân bằng
Hình 16
B
A
C
O
α
α
T

P

A
R
B
N
u
uur
P
ur
A
R
u
ur
o
c
d
b
a
q

20

b) Liên kết: Bản lề A, dây BC. (Hình 16)
c) Hệ lực tác dụng lên thanh AB: (,, )
A
P
TR
r
rr

∼ 0, trong đó giá của
trọng lực
P
r
và giá của phản lựcT
r
cắt nhau tại 0 nên giá của
phản lực
A
R
r
cũng phải qua 0.
d) Ta sử dụng phương pháp hình học để giải.
Dựng tam giác lực o
1
ac. Tam giác lực o
1
ac đồng dạng với tam giác hình học
0AC nên các góc tương ứng bằng nhau do đó ta có:

000
sin30 sin 60 sin90
A
RTP
==

Suy ra: R
A
= P.sin30
0

= 2.
1
2
= 1N
T= P.sin60
0
= 2.
3
3
2
=
N
e) Sức căng của dây BC có cường độ T
′
= T = 3 N và có chiều ngược với chiều
của phản lực
T
r
:

T
r
' = - T
r

Bài toán này cũng như các bài toán tĩnh học khác có thể được giải bằng phương
pháp giải tích:
Do điều kiện hình học đã cho, ta chọn gốc toạ độ trùng với tâm đồng qui còn hai
trục toạ độ trùng với giá của
A

R
r
, T
r
:

3
0
1
cos30 0
K
K
XTP
=
=− + =
∑
(1)

3
0
1
cos60 0
KA
K
YRP
=
=− =
∑
(2)

0
3
cos30 2. 3
2
TP===N ;
0
1
cos60 2. 1
2
A
RP
=
==N.

17. Thanh AC nằm ngang được nối với thanh BC bởi bản lề C và
cùng gắn vào tường thẳng đứng bởi bản lề A, B. Tại bản lề C treo tải
trọng Q = 30N. Biết AC=1,2m; BC=1,5m. Bỏ qua trọng lượng hai
thanh. Xác định ứng lực trong các thanh AC, BC.

Trả lời: Thanh AC bị kéo với cường độ
A
S
′
= S
A
= 40N

c
o
P

T

R
A
a
Hình 17
A
B
C
Q

21
Thanh BC bị nén với cường độ
B
S
′
= S
B
= 50N.
18. Dây AB được buộc chặt tại A đầu B treo vật nặng P. Dây BCD luồn qua ròng
rọc C và đầu D treo vật nặng Q=10N. Bỏ qua ma sát ở ròng rọc C. Biết dây AB và BC
lập với phương thẳng đứng các góc tương ứng
α=45
0
; β=60
0
. Tìm lực căng của dây
AB và trọng lượng P.
Trả lời: T= 12,2N ; P= 13,7N

Hình 18
19. Thanh AC và BC được nối với nhau và gắn vào tường thẳng đứng nhờ các bản lề
A, B, C. Tại C treo tải trọng Q=1000N.Bỏ qua trọng lượng hai thanh. Xác định ứng
lực trong các thanh AC, BC cho các trường hợp:
a.
α=60
0
; β=30
0
Trả lời: a) S
1
=866N ; S
2
= - 500N.

b.
α=30
0
; β=60
0
b) S
1
= 577N ; S
2
= - 1154N.

c.

α=60
0
; β=30
0
c) S
1
= 1154N ; S
2
= -577N


Hình 19a Hình 19b
Hình 19c

20. Thanh AC và BC không trọng lượng được nối với nhau và gắn vào trần nằm ngang
bởi các bản lề A, B, C. Tại C treo tải trọng Q=1000N. Xác định phản lực của hai thanh
AC, BC.
Trả lời: S
A
= S
B
= 707N

.
P
Q
A
B
C
α

β
D

Q
A
B
C
2
1
A
B
C
A
C

B
1
2
Q
1

2
Q
β
α
β

α

α

β

22
21. Một vật nặng 15N treo tại trung điểm B của dây ABC dài 20m. Biết A,C,D nằm
ngang, BD = 0,1m. Tìm lực căng của đoạn dây AB, BC.
Trả lời: T
A
= T
C
= 750N


Hình 20 Hình 21 Hình 22
22. Một đèn nặng 2N treo tại điểm B của dây ABC. Xác
định lực căng của các đoạn dây AB, BC. Biết
α=60
0
,
β=135
0
.
Trả lời: T
A
= 1,46N ; T
C
= 1,04N.



23. Đoạn dây CAEBD vắt qua hai ròng rọc nhỏ nằm ngang A, B, AB = l. Tại mút C và

D treo hai tải trọng cùng trọng lượng Q, tại E treo tải trọng P. Bỏ qua ma sát ở hai ròng
rọc. Tìm khoảng cách x từ E đến AB khi hệ ở vị trí cân bằng.
Trả lời:
22
24
Pl
x
QP
=
−

24. Thanh AB bỏ qua trọng lượng được gắn bản lề ở A, đầu B
được treo tải trọng P và buộc dây vắt qua ròng rọc nhỏ không ma
sát C có treo vật nặng Q. A, C cùng trên đường thẳng đứng,
AC=AB. Xác định ứng lực trong thanh AB và góc
α khi hệ cân
bằng.
Trả lời: S =-P,
sin
22
Q
P
α
=

25. Vật P=20KN treo trên cần trục ABC nhờ xích vắt qua hai
ròng rọc bỏ qua ma sát A và D. Các góc cho trên hình vẽ. Trọng
lượng các thanh và xích không đáng kể. Tìm ứng lực trong thanh
AB và AC.
Trả lời: S

1
=0 ; S
2
=-34,6KN
26. Tìm trị số tối thiểu của lực ngang
P
r
để nâng con lăn nặng
40KN, bán kính 50cm lên khỏi nền gạch cao 10cm.

C
Q
B
P
A
α
Hình 24
Hình 23
P
E

C
B
Q
Q
x
A
D
l
C

A
B
D
Q
30
o
30
o
60
o
Hình 25

A
B
Q
C

Q
B
C
A
A
C
B
45
45
O
O
β
α

D

23
Trả lời: P=30KN

27. Trên hai mặt phẳng nhẵn vuông góc với nhau AB và BC đặt quả cầu D đồng chất
nặng 60N. Xác định áp lực của quả cầu lên mỗi mặt phẳng nghiêng nếu BC tạo với
phương ngang góc 60
0
.
Trả lời: R
D
= 52N ; R
E
= 30N
28. Trên tường nhẵn, thẳng đứng AB treo một quả cầu đồng chất D nặng P nhờ dây
AC tạo với tường một góc
α. Xác định lực căng của dây và áp lực của quả cầu lên
tường.
Trả lời:
cos
P
T
α
= ; R=Ptgα.


r
P
O

O
D
E
C
B
A
O
B
A
C

60
O
α

Hình 26 Hình 27 Hình 28

29. Xà AB được giữ ở vị trí nằm ngang nhờ thanh CD và
các bản lề A, C, D. Xác định phản lực ở bản lề A, D nếu
tại B tác dụng lực thẳng đứng xuống dưới F=5KN. Bỏ qua
trọng luợng xà và thanh, AC=2m, BC=1m.
Trả lời: R
A
=7,9KN
R
D
=10,6KN

30. Thanh đồng chất AB nặng 2N được treo vào tường nhờ bản lề A và dây BC. Xác
định phản lực tại A.

Trả lời: R
A
= 1N,
(, )
A
RAC
=
r
60
0

Hình 29
B
A
C
D
45
0
2
1
F

24
31. Thanh đồng chất AB=2m, nặng 5N đầu A tựa vào tường thẳng đứng, đầu B buộc
vào sợi dây BC, biết góc
∠(DAB) =45
0
. Xác định khoảng cách AC cần thiết để buộc
dây vào tường, phản lực ở A và lực căng của dây khi thanh cân bằng.
Trả lời: AC=AD=1,41m

T=5,6 N ; N
A
=2,5N

C
B
A
60
O
O
30

B
C
A
45
O

P
l
h
A
B

Hình 30 Hình 31 Hình 32
32. Một cần trục được giữ bởi bản lề A, và bản lề cối B mang tải trọng P. Các kích
thước cho trên hình vẽ. Bỏ qua trọng lượng cần trục. Xác định phản lực các bản lề.
Trả lời: R
A
=

l
P
h
; R
B
=
2
2
1
l
h
+ P
33. Thanh đồng chất nặng P dài 2a tựa lên nửa hình cầu
lõm nhẵn bán kính r như hình vẽ. Xác định phản lực ở
A, B và góc
α giữa thanh và phương ngang khi thanh
cân bằng.
Trả lời:
22
32
cos
8
aa r
r
α
++
=
; R
A
= Ptgα ; R

B
=
cos2
cos
P
α
α


34. Tại điểm giữa của xà AB=4m bắt bản lề ở đầu A còn đầu B đặt trên con lăn tác
dụng lực P=20KN tạo với xà góc 45
0
. Xác định phản lực ở A, B trong hai trường hợp
(a) và (b). Bỏ qua trọng lượng xà.
Trả lời:
a.
R
A
= 15,8KN ; R
B
= 7,1KN
b.
R
A
= 22,4KN; R
B
= 10KN

Hình 33
A
B
O
α
r

A
B
B
A
45
O
45
45
2m
2m
O
O

2m
2m
P

P
Hình34 Hình35

25
35. Lực

P
r
tác dụng vào khung ABCD bỏ qua trọng lượng tại B theo phương nằm
ngang. Xác định phản lực tại bản lề A, con lăn D.
Trả lời: R
A
=
5
2
P
; R
D
=
2
P

36. Ở trục ròng rọc C treo tải trọng P=18N có thể trượt dọc theo dây cáp ACB, hai đầu
dây A, B được buộc chặt vào 2 tường có khoảng cách 4m, dây dài 5m. Bỏ qua trọng
lượng dây cáp và ma sát ở ròng rọc. Xác định sức căng của dây cáp khi ròng rọc cân
bằng.
Trả lời: T=15N và không phụ thuộc vào độ cao BF.
37. Thí dụ:
Cột 0A thẳng đứng được giữ nhờ hai dây AB và
AC tạo với cột góc
α=30
0
, góc giữa hai mặt phẳng
0AB và 0AC là
β=60
0

. Tại đầu Acủa cột buộc hai dây
vuông góc với nhau và song song với các trục 0x, 0y.
Biết lực kéo mỗi dây F=200N. Tìm áp lực thẳng
đứng của cột lên nền và sức căng của mỗi dây AB,
AC. Bỏ qua trong lượng cột và hai dây.
Bài giải
a) Vật khảo sát : Nút A cân bằng
b) Liên kết: Cột AB, hai dây AB, AC.(Hình 37)
c) Hệ lực tác dụng lên nút A: (
12
,,,,)
Bc
RT T F F
u
rurururur
0
d) Dựng hệ trục toạ độ như hình vẽ và áp dụng hệ
phương trình cân bằng đối với hệ lực đồng qui không gian ta có:

5
1
1
5
2
1
5
1
sin sin cos 0
sin sin 0
cos cos 0

KB C
K
KC
K
KB C
K
XT T F
YT F
ZRT T
ααβ
αβ
αα
=
=
=
⎧
=
+−=
⎪
⎪
⎪
=−=
⎨
⎪
⎪
=− − =
⎪
⎩
∑
∑

∑

z
O
y
x
A
C
B
F

2
R

T

C
T
B
F
1
a
a
b
Hình 37
P
A
C
F
B

4m
Hình 36

A
B
C
D
2
a

a
P

Hình35

26
P
A
B
C

D
O

C
B
D
A
E
60

O
α
Với F
1
= F
2
= F = 200N
Giải hệ phương trình trên ta thu được:

sin sin
C
F
T
α
β
= ;
()
1cot
sin
B
F
Tg
β
α
=− ; 1cot
2
RF tg g
β
α
⎛⎞

=+
⎜⎟
⎝⎠

Để đảm bảo dây luôn căng, thì cần điều kiện
β > 45
0
.
Thay số vào ta có: T
C
= 461N ; T
B
= 172N ; R= 546N
e) Các phản lực liên kết ,,
BC
RT T
rr r
có chiều như hình vẽ là đúng vì T
C
> 0 ; T
B
> 0;
R >0.
Vậy áp lực thẳng đứng của cột, sức căng của các dây AB, AC tương ứng là:

RR
′
=−
rr
;

BB
TT
′
=−
rr
;
CC
TT
′
=
−
r
r
.

38. Cột 0A thẳng đứng được giữ nhờ hai dây AB và AD tạo với cột góc α=30
0
, góc
giữa các mặt phẳng 0AB và 0AD là
ϕ=60
0
. Tại đầu A của cột
buộc hai dây vuông góc với nhau và song song với 0x, 0y.
Biết lực kéo mỗi dây P
1
=P
2
=P=100N. Bỏ qua trong lượng cột
và dây AB, AD. Tìm áp lực thẳng cột và sức căng mỗi dây.
Trả lời:

ϕ>45
0
; T
D
= 231N ; T
B
= 85N ; R= 273N


H
Hình 38
39. Hai dây điện thoại được buộc vào cột AB tại A lập với nhau góc
∠
(DAE)=90
0
. Sức căng
của các dây AD và AE tương ứng bằng 12N và 16N. Cột chống AC lập với phương ngang góc
60
0
. Bỏ qua trọng lượng hai cột. Xác định góc α lập bởi hai mặt phẳng BAC và BAE và ứng
lực cột chống AC.
Trả lời :
α = 36
o
50', S = -40 N.

z
O
x
y
B
A

α
α
P
1
P
2
ϕ

27

Hình 39 Hình
40
40. Tại đỉnh A của giá 3 chân AB, AC, AD treo vật P=100N. Khoảng cách từ A đến đất
0A=3m, độ dài mỗi chân l=10m, 3 đỉnh B, C, D tạo thành tam giác đều. Tìm lực nén lên mỗi
thanh.
Trả lời: S= - 41,67N
41. Cột AB được giữ ở vị trí thẳng đứng nhờ 4 dây neo sắt đặt đối xứng. Góc giữa hai dây kề nhau
là
α=60
0
Sức căng mỗi dây bằng 1000N, trọng lượng cột là 2000N. Xác định áp lực của cột lên mặt
đất.

Trả lời: R= 4828N
Hình 41 Hình 42 Hình 43

42. Vật nặng Q=100N được giữ bởi xà 0A, bỏ qua trọng lượng, bắt bản lề tại A
và nghiêng so với phương thẳng đứng góc
α=45
0
và hai xích nằm ngang 0B, 0C
dài như nhau trọng lượng không đáng kể. Biết
∠
(CBO)=
∠
(BCO)=α=45
0
. Tìm
sức căng của xích và ứng lực của xà.
Trả lời: T= 71N ; S= 41N
43. Tìm ứng lực
12
,SS
r
r
trong các thanh AB, AC và sức căngT
r
của dây AD của
cần trục, nếu CBA=BCA=60
0
, EAD=30
0
, P=300N, mặt phẳng ABC nằm ngang.

Các thanh được bắt bản lề tại A, B, C.
Trả lời: T = 600N ; S
1
= S
2
= - 300N

B
E
F
C
D
A
ϕ
Q
A
B
O
D
a
a
a
P
A
B
C
D
E