Giáo trình bài tập cơ học lý thuyết phần 2

D Á P SỐ v à H Ư Ớ N G D Ẫ N
P h ầ n I. T ĩn h h ọc
C h ư ơ n g 1.

HỆ LỰC P H Ẳ N G

l . l ẵ Các lưc tác dụng theo một dường thẳng hoăc song song
1.

l ế Cộng đại số các lực Pị + P2 + -P3 + P4 = 10 + 20 + 12 + 18 = 6 0 kG.
2. P\ + P 2 = 10 + 20 = 30 kG, tác dụng về m ột phía,
p 3 + p 4 = 12 + 18 = 3 0 kG, tác dụng về phía ngược lại.
Lực cân bằng có độ lớn: (Pị + p 2) — { P 3 + ^ 4) — OkG.

2.

1 ) F\

— ƠI —lOkG,

2)

=

3ề

1) p = 3 0 kG, Fa = 3 0 kG, FB = 3 2 ,5 k G , Fc = 3 0 kG.

^1

“I” ^2 = 15kG.

2) p = 25 kG, Fa = 3 0 kG, FB = 2 7 ,5 k G , Fc = 25 kG.
3) p = 35 kG, F a = 3 0 kG, FB = 3 2 ,5 k G , Fc = 35 kG.
4ế

1) Áp lực của người th ợ lên đáy giếng là: 64 kG - 48 kG = 16 kG,
2 ) Người th ợ có thể giữ được tối đa là 64 kG.

5. Cái nối đầu m áy phải chịu một lực (lực kéo của đầu máy) là:
(5.48 + 20 + 4 5 ).— = 1,525 tấn = 1525 kG.
v
' 200
Cái nối ở toa cuối cùng phải chịu
m ột
lực
là Tab — 4 8 .1 0 0 0 .—
= 2 4 0 kG.
í
V
“
2 0—
0
Cái nối ở toa giáp chót chịu m ột lực là: T5 = 2.240 = 480 kG, v .v ...

l ễ2. Các lưc có dường tác dung giao nhau tai môt diềm
6.

&

Q

10.15

2 s in a

2 .0,1

= 750 kG.
91


8.

Q = T a cos 30°
Te

+ T c COS 45°,

sin 45° = T a sin 30o; T A = T C y J 2 ,
fV2

M Í yT '^
vgg
=
(\/3 + l)

e =
Tc

ĨA =

2Q

+T

)'

= 1,04 kG,
Sơ đô lục

= 1,46 fcơ ế

(x/3 + 1)

9 . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có điều kiện cân bằng là
^2 Fx - 0 => - T i sin a

0

Ỵ2 F y =

=?■

p
Ti =
Sơ đồ /ực

cos a

T2 = 0,

—Ti COS a

r, =

p

cos Q

= 0,

sin Q = P t g a .

1 0 . Chọn hệ tọa độ như hình vẽ ta có điều kiện cân bằng là
Y ^ F t. = P

sin a — T s in (a + ß) = 0 ,

-- —p
p
T -

COS

a + T c o s(a + /5) + iV = 0,

sin Gi

_
ã,

i V

sin (a + /? )

p

sin ò

.

s in (a + ß)

Tính đồng dạng của 2 tam giác
i
X

2

2 y /4p 2 — p 2

12.
Q sin ^ = T sin a ,

= Q S m ^ = 1 2 ,2 k G ,
sin Q
p = T cos a + Ọ cos ß = 13, 7 kG.
T

13.

= 6 cos 60° = 3k G ,
yVß = 6 s in 6 0 c = 5 ,2 k G ,

92


Đ ịnh lý hàm số cosin
102 = Ọ 2 + 202 - 2Ọ .20 cos 30°,
Q 2 - 3 4 ,6 Q = - 3 0 0 ,
Q = 17,3 ± v/300 - 300 = 1 7 ,3 k G .

= 0 ,8 6 6 -> a = 60°.

Q = p tg a ,
p
T = -í— •
cos Ct
1 4. Phương trình m ơm en đối với điểm A (độ dài thanh bằng í)
lỵ -

1

2

2

rz

1 1

i

\ỉ3

2

2

s • - y / i ■¿ - - y/3 - s • - ■- i - G ■5 =

2

2

= 0,

ơ \/3

G
4

Ry = G{ 1

— + — = - = lk G ,
16
16
2
tg a = —— = \/3 => a = 60°.
Ry

15. Phương trình đối với B

p
R ■- 7 =
V2

c
—

p
c
■ - 7 = = 0 => i ỉ = — = 2 ,5 kG,
2 y/2
2

—

T cos a — R = — ; T sin a = G, tgQ = — — = 2
2
G
X+
tg a =

AC = x = ~

v/2

=

1,41m, r = \/— + G 2 = V

4

2

93


16 .
s_

f t y*x
\
sN
\
My s\

Ä D = 10,6 tấn,

7T
-,

2m

F ■3 = - 7 = • 2; 5 = i?D = “7 =-^>
v/2
V2

im
up

R
= Rd = SF
Rax~ ^ 2 ~ 2 i
ÄA

Ay~ 2 ’

= ^ Â Ỉ , + Â Ẵy = | v l Õ = 7 *9 t ấ n -

17ề
i?ß = — 7= = 0, 71 tấn,
2V 2

-R4 —

P\

- +

2

4 -2

= 1, 58 tấn,

P
1 — 0 \
v ế ' 2 a = v ỉ a (a = 2 m ) ’

■Rß

o

_

R ß = — = 1 tấn.
R

a

= p

\ A ự ! + 2Ự 2)

+ 4T 2

= — v/5 « 2, 24 tấn.
2
1 8.

2 0 . Vì độ dài dây cáp A CB là 102 mét, gọi độ dài dây cáp t ừ A đến
dài dây cáp từ c đến B là X. Ta có X + y = 102 mét.
Gọi độ võng của

94

c là

2 so với mức ngang AB ta có

c là y,

độ


A
í y 2 = 2 0 2 + z2,
\

)
y

X 2 = 802 + z 2 ,

X2 - y 2 = 8 0 2 - 202ẻ

----------z
.
-r-V"
) f

'

_______________

Tz

X

100m

* 2Z7/”

Thay X = 102 — y vào ta có
X2 = 1022 - 2 - 1 0 2 • y + y 2; X2 - y 2 = 1022 - 2 • 102 • y = 802 - 202,

y = 2 1,6 ,

X

= 80 ,4 ,

COS

80

o

,

a = —— ~ 0, 995, a « 5 40 ,
80,4

20
cos ò = ô 0,925; /3 ô 2220'.
M
21,6
Do sức căng trong hai phần của dây ACB bằng
nhau, ta ký hiệu là r 2) sức căng của dây kéo CAD là

T\ (xem sơ đồ lực).
Gọi T\ + Ỵ 2 = T ta có T sin ß + T 2 sin a = p ,

T cos ß = T 2 COS a ,

„ . „cosa
_
p
cos a
T 2 sin/?— ^ + r 2 s i n a = p -» T2 = — ------—- — :---- \ T = T. ’
/Q5
cos fj
tgp COS a + sin a
COS p
0,411

0 ,9 9 5 + 0,116

— 9 ,5 6 tấn — T c b — T c a

5

T = 10, 31; Tị = T c AD = 0, 75 tấn

21.

Cân bằng tại các điểm

A, B, c, D cho

ta

N 1 = N 2 = N 3 = N 4 = P V 2 « 7 ,0 7 tấn,

Sị =

s2 = s3 =

p = 5 tấn.

Tại khớp

22.

Ivà IIcác

lực cân

bằng
Tì =
7z

Q

2 s i n /3’

r 2 cos a = Ti cos ß

2 s in /? ’

T2 sin a = Ọ + Ti sin /3 =

3Q
2 ’

3Q
2
= 3tg/5,
Ọ eos /?
2 sin /3
vi a = 60° -» ß = 30°.

95


T = G sin ( 45 o - I ) ,
Tmax: V = O,
r max = G sin 45° = 7 ,7 0 kG,
T

Tmin: y? = 90°, Tm-mn = 0.

Theo cơng thú’c tìm độ dài cung í = a R ,

0 ,2
ơ đây 0 ,1

= 2 — <£>2

Si = G\ sinG2

sin 2 COS
G1

sinv?2

2 = sin 2cotg
tg
sin 2
2 + COS 2


8 4 °4 5 /,

0,91

V2

2 9 °5 0 /,

1 -0 ,4 1 5

JVâ

G ! cos <£>1

0 ,0 0 9 2

N2

G 2 cos <£>2

0 ,1 7 3 fcG.

25ế
5 = /> sin ^ ,
2

2

: 'P
Qrr ■
Sin
— _= —
2
2P
Sự cân bằng có thể đạt được
khi Q < 2P\ khi (p = 7T thì sư cân
bằng có thể đạt được với p tùy ý.

26 .

k i(x - Xi) - fc2(i - x2) + M x3 - x) = 0,
fci(xi - x) + /c2(x2 - x) + /c3(x3 - z) = 0,

/ciXi + k2x2 + /C3 X3
X=
+ Ả:2 + /¿3

y =

96

^1^1 + Á-23/2 + ^3^/3
+ /C2 + ¿3


—

\

■

\ \

/

X
ữ '

b=ĩm

/

,

/

a =

//////////,

28. XJJ ■í = G •

Ty/'ằ2
i P

100 • \/2
= f ĩ ^ Ế ’ a - 2’Z i a -

AB

2 ’
w ■ 2
• w — p ■h • d,

AB

kG ,
p = 125— /i = 6 m , a = 4 m,
—)^
w = 3.000 kG = 3 tấn, £ = 20 m,
ylB > 15 m.
N

29.

'
/ 777
\

/

\

/////// // /

\

R

R = N ụ = 0,1 8

30.
QSinỷ

Qcos/3 = [ P — Q sin
Q(cos (3 + sin /3 ■ụ,) = Pụ,,
0

_ _______^ _______ _ P]Ị
(cos /3 + sin ¡3 • ụ)
K

A

Điều kiện cực tiểu
dk

*///////////
p

= - sin /3 + ụ, cos /3 = 0 -> ụ = tgp,

cos /3 =

1

;

HCoìỹ

Pị l

ụ-

sin /3

;

\ f i + ụ-

Qmin —

ụ-

1 . 3 ế C á c lư c s o n g s o n g v à n g ẫ u lư c
31.

/ọ //

//ỰH//
G: trọng lượng của thanh,
T q = p ■— h G ■ - = 9 + 1 — ÌOkG,
4
2
1
1
r D = P - - + G - r = 3 + l = 4kG.

97


x[D + c) + D

32.

B -4 - D { x + 1) - C x = 0; B
A ■4 - C(4 - x) — D ( 3 — x) = 0;

=Ã>

ĩ

4

4 C + 3 D - x ( D + C)

A =

4

Điều kiện A — 2 B,
2x ( D + C) + 2 D
4A
800 + 100

4 C + 3 D - x [ D + C)
4A
4c

+D

3(D + cy

=>■

X=

_

— ---------------------r =

3(100 + 200)

^

3 x (£) + C) = 4 c + D

lm .

33ẽ

M ũ = 0 : Q • 7 + R c - 5 — P - 4 — G - 2 = 0,
Rc = P

4 + G ' 2 - Q ' 7 ^ R c = 3 0 0 kG.
5

ỵ t Py = 0 : Q + R c - P - G + R D = 0 ,
R d = 800 + 200 - 300 - 300 => R D = 400 kG.
M b = 0 : R a 0 ,5 — G - 2 — F - 4 = 0 ,
34-

*
R a = G - 4 + / 3 -8 = 34 tấn.
^ Py = 0 : R b + G + p = R a ,
R b = R a - G - p = 2 9 ,5 tấn.

35.
M = 75 • 120 = 9 .000kG .cm = 90 kG .m ,

ểT

75em~

/VÀ-4"

R = 120 kG ỗ.

1ZQKữ

36.

w
„
2 0 0 -2 ,2 5
M = — + p • £ = ------- —— + 200 • 1, 5,
2
2
=> M = 525 kG ếm.
¿2 = p£ + p = 200 • 1, 5 + 200 = 500 kG.

37.

E ^ = 0 :
+ P a + R s ^ a — Q3 a = 0,

£

3Q - p - P
i

R b = ---------—------— = 2Ễ, 1IẪ tấn.
» .

£ P y= 0 :
98

=

Ọ+ p

- a - R b = 2 + 1 ,6 - 2 ,1 = 1,5 tấn.

a

X =


38.
ổ

Im

M A = 0, điều kiện R b — 0 ;
Q - 1,25 + 0 , 5 - 0 , 2 5 =
= 3 - 0 , 7 5 + 1 - 0 ,8 5 + 2 - 1 , 7 5 ,
2 ,2 5 + 0 ,8 5 + 3 ,5 - 0,125
Q ~

1,25

Q = 5,18 tấn.
39. Khơng có tải trọng

R a = 0; p = 0,
Y , M b = 0 : Ọ - X - 4 , 5 C = 0,

£

= 0 :Q + c

- Rb

(I)

= 0,

(II)

Có tải trọng: -Rß = 0.
£ M B = 0 : Q ã z - 4, 5C + 3ặa - 13P = 0(111)
£ P y = 0 : Q + C + P - Ä A = 0.

(IV)

Từ (I) và (III): R a = — p = 108,5 tấn.
3
100
Từ (IV) Q = — tấn.

„

Từ (I)

X = 6, 75 m.

Từ (II)

R g = — p = 8 3 ,3 tấn.

40.

= 0:
-P • 3 cos

ip — G \

-1 COS
+ G 2

• 2,5 COS
p = g j J L t g l J l * . Ơ! = 0 ,4 tấn,
*

3

G2 —

3

tấn,

p = 1,383 tấn = 1383 kG.

41.

iì

rạÍ

8/11

*11

-km

*z>


1-5 + 5 1
p ■5 + G • 1 = R d • 2 - * R d = --------------- = 5 tấn,
R c = p + G — R-d = 1 tấn.
£ M g = 0 (hay £ M e = 0):
Rò ã8



R u 1,

Ê Py = 0, R a = R c + R d - R
y i M a = 0, M a = -ßc ■3 +

b

Rß

—

-----------

—

0 ,6 2 5 tan.

= 5,375 tan.

ệ 5 — Äß • 12 —> M a = 3 + 25 — 7 ,5 = 2 0 ,5 tan.

1 .4 . H ê lư c p h ẳ n g b ấ t kỳ
42.
Cách th ứ 1 Ế
Tam giác lực, theo định lý hàm số sin
p
=
Tc
=
rB
sin 30°
sin 45°
sin 75° ’

T c = 138,

3kG,

T b = 185,4 kG.

C á c h t h ứ 2. Chọn trục tọa độ như hình vẽ
^

= 0 : T b — p COS 45° — T c sin 30° = 0,

Y^Yt = 0 : T c COS 60° — p COS 45° = 0.
Kết quả như cách 1.

43Ề
Q ■b • sin </9 = p [ a — 6 sin £>),
a
s n

T Ể

b

p
-------•
P + Q

44.
Dầm AB chỉ ở vị trí cân bằng khi N A , N b
và p cắt nhau tại một điểm
90° + 0 + 2 a = 180°,

ớ = 90° - 2a,
N a = P cosa;

100

Nß — P sin a .


4 5 . Tại vị trí cân bằng, chọn hệ trục tọa độ A x y (hình vẽ)
X = 0: N b cos 60° — p cos 30° = 0,
=

^

(1)

0:

N a — G + N b cos 30° + p cos 60° = 0
1
\/3
(1) =► N b • - - p ■Y = 0 -

(2)

Nb = pự ĩ.

/0
ị
(2) =>• N a — 100 + N b —— + p ■ - = 0.

¿Ẩ

N

a

— 100 +

p

¿i

\/3 Ẻ—— h — = 0,

-> N a + 2 P = 100.
Mb =0:

—G ■ - cos Cí + N A ■í cos a = 0,
2
G
rN a = — = 5 0 kG; F = 25kG; N B = 25 ã ^ 3 ô 43 ,3 kG.
2

46.
Tương tự như bài trên, dùng hệ tọa độ A x y (hình
vẽ) và 3 phương trình cân bằng

E * = °. E

y

= 0. E

M*

= 0.

Ta có:
X A = 3 0 kG,
Y a — —8 0 kG.(chứng tỏ HA quay xuống dưới),
X ịị =

—30 kG (chứng tỏ X B phải theo chiều

Ax).

£ M A = 0:
[ P + p) í cos a — ( p + p)£ sin a ■ụ

tg a >

p + 2p
2 ị i { P + p)

101


4 8 . Giả thiết ¿1 + R\ — ¿2 + R h B A D — a.
Ta đi tìm góc 6 = ( A D , A E ) ,
Ti , T 2 của 2 dây, áp lực N i , N 2 = N .

E M a=0:
1) P\ (¿1 + i?i) sin(o; - ớ + 90°) = iV ự i + fli) cos ^
2) p 2 ự 2 + R 2) sin (ớ - 90°) = N ự 2 + R 2) cos
P 2 cos 0
a >
cos —
2
Pi s in (a - ớ + 90°) = p 2 sin(ớ - 90°),

N = ±

p 2 + P\ cos a
tgớ = ----. — -----F\ sin a
Vì tam giác A C 1 C 2 cân -> đường cao A H _L C 1C 2 là đường phân giác, cho
nên chiếu sức căng Tt và lực P l lên đường AH ta có:

Ti = P i

— ÕT cos —

T, =

49.

a
cos —
2
Áp lực mỗi trụ lên mặt phẳng p +
sin tp =

r + R

; cos

Q
2JV’

Nx = s = N sin Q
2 cos
=

=

1

Q
2
1-

Q{ r + R)

Ọ ■r

2 V R 2 + 2r R

2 v /f í2 + 2r R

I =>• (Q - P) si

5 0 a)

p =
b) £ M m = 0 - + Q - / < Q n R ,
f
< /i.
R
/
R

102

r + /2

Q ■f
= 5, 72 kG.
r cos a + / sin Q

N5 1*0

Sin
in (*-2)

sin (ớ -


l Ế5 ễ T ĩn h h o c d ồ t h i

Đáp số R a = 3, 25 tấn, R g = 2, 75 tấn.

52. Đáp số R a = 2 ,1 7 tấn,

= 1,81 tấn.

Đáp số R a = 3 ,4 tan, R ịị = 2 ,6 tấn.
số hiệu
của thanh
ứng lực
theo tấn

1

2

3

4

5

6

7

-7 ,3

+ 5 ,8

- 2,44

-4 ,7

-4 ,7

+ 3 ,9

- 0,8 1

8

9

- 5 , 5 + 4 ,4

Chú ý ( + ) : kéo, ( —): nén
Đáp số Y A = 2,1 tấn, X b = —2 tấn,
số hiệu
của thanh
ứng lực
theo tấn

1

2

- 2 , 97 + 2 ,1

Chương 2 ẻ

3

+ 2 ,1

4

= 2 ,9 tấn.

5

6

- 2 , 1 +1, 5 + 0 ,9

7

8

9

0

--4 ,1

+ 0 ,9

H Ệ L ự c K H Ô N G G IA N

2 . 1 ề D ư a h ê lư c v ề d a n g d ơ n g iâ n
55.
P)ÍT

Hợp lực trong mặt phẳng BCA
R = P y /2,
----- =
2 sin 15°
- S c = 273 kG.

103


5 6.

Để khỏi gây ra mômen uốn, hạp lực của hai lực phải nằm trong m ặt phầng BCA
12
3
1 6 s in a = 12sin(90° — a) —*• t g a = — = - —> a «
v
7
16
4
Hợp lực R = 16 cos a 4 - 12 sin a =>■ R = 20 kG.

s = cosR60°
57 .

= 40 kG lực nén.

Cho trước Q = 1 8 0 kG, A B = 1 7 0 cm,
A C = A D — lOOcm c D = 120cm;
cK = KD

mặt phầng C D A nằm ngang

Goi

D

BK

V*
s \

Q
N

P-

170

S AB

R

Sab = Q

L

80
150

Q ~ 1

R • 100
—Tan =

5 8.

_

2 • 80

150

= 204 kG,

96 kG.

= 60 kG lực nén.

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ với ỉ,

k là

các véc tơ đơn vị dọc theo các trục. Ta có
dạng véc tơ của các lực
lự c P , - F , = ^ ỡ + j ) ,
lực p 2 ^ F2 =
lực p 3
lực p 4 —

F3 = ^ ~ ( ĩ c - / ) ,

M
= — r— r(j +. A
:),
V7 = Fi + F 2 + F 3 Hr F4 ,

Hợp lực
= p V 2 { j +ic) = 2 FA.
Vậy hạp lực có độ lớn 2 p và chiều cùa F 4

104/


5 9. Khi chọn hệ tọa độ như hình vẽ ờ đầu bài với các vectơ đơn vị dọc theo các
trục là ĩ, J, k. Ta đễ dàng thấy hợp lực = 0. Mô men tổng
CL _ a
„
a
_
a
Mx = F 4 ■ 2 +
2 + 6 2 +
2 ’
a
„ a
„
a
_
a
M y = - F , • I - F , ■- - Ft • ị - F , • I ,

M2 = F2 • ^ + ^5 • 2 + -^6 ắ 2 +

' 2 ’ wớỉ a = 5 cm’ Fl = 2 kG’

M = 20 ( 1 - j + k) = 2 0 \ / 3 ^ ^ - ^ ; |M | = 2 0 \/3 k G .c m ,
V3
cos a = —cos ß — cos 7 = - \ / 3 .
Vậy hệ lực này rút về một ngẫu có mơmen bằng 2 0 \/3 kG.cm và hợp với các trục
tọa độ các góc a , ß , 7 giá trị COS a = — cos ß — COS 7 =

3

■

2.2. Cần bằng của hê lưc bất kỳ
60Ề

Tam giác A DE đều (cân có 1 góc 60°)
Mab = 0 : ọ • -

COS

60° =

s ẳa ■COS 30°,

S = 3 , 45kG .
£ M Ai = 0 : Q - ~
b - Z B -b = 0- Z B = 6 k G .
£ pz = 0 :

+ Z B + 5 COS 30° - p = 0,
= 3 kG.

£ M Az = 0 : X b = 0.
£ P* =

0

: 5 COS 60° - X a - X B = 0,
= 1,73 kG.

61 .

Chọn hệ trục như hình vẽ đầu bài
à Ẽ = \ / 7 5 2 - 6 0 2 = 45 cm,
' £ M AB
ÃẼ = 0 : P . 3 0 - S ^ 6 0 = 0,

s

6 6 - kGề
3

£ M Hi = 0 :
P.50 -

45

zk.100 - s • 125—

75
zk = —lOkG.

= 0,

105


E M H z = 0 : Xfc.lOO + 5 ^ 1 2 5 = 0, Xfc = - 6 6 ? k G ,
75

£ P * = 0:
„
£ p * = 0:

3

00
X í/ + X fc + 5 ^ = 0 ,
75

+

1
X tf = + 1 3 ^ k G ,
ổ

45
+ S J Ị - P = 0, Ztf = 50kG .
75

Ghi chú. Trong khi giải bài toán bằng phương pháp giải tích, ta c ứ chọn hướng
của lực tùy ý nào đó, chiếu lên các trục, thiết lập phương trình cân bằng lực,
mơ men. Nếu kết quả (+ ) chiều đã chọn là đúng, nếu kết quả ( —) chiều thực tế
ngược với chiều đã chọn.
62.
£ Mi c = °
s M~ÃẼ = 0

E %

= 0

E %

= 0

s4= 0,
s

= _L
2 ’

Sz — 0,
p
~2 ’

E M BE

£

= 0 ^ s5 = 0.

6 3 . Chọn hê toa độ như hình vẽ của đề bài

{Ti — t ị ) r i — (T 2 - t 2) r 2, Tị — 2t ị , T 2 — 2í 2; t xr x — t 2r 2,
f 2 — 200 kG,
r 2 = 400kG .
M z = 0 : 3 íia + 3 í 2(a + c) sin a + X B (a + c + b) = 0 -*

= - 4 1 2 , 5 kG.

Ỵ2 Px = 0 '• X a + 3í X+ 3Í2 sin 30° + X b — 0 —» X a = —6 3 7 ,5 kG.
Y J M x = ữ \ Z B (a + b + c) - 3 í 2 c o s a ( a + c) = 0 -> Z B = 3 9 0 kG.
X] p z = 0 : Z A + Z B - 3 í 2 c o s a = 0 -> Z A = 130 kG.
2 .3 . T r o n g t ả m
64.
Gọi trọng tâm là 5 ( x s , y s ),
= 0,
7rrj0 - — 7T7-2
1
2
2
X, =
__2
_ ?
7T7*I — 7T7*2

2(r? - r ị) '

106


(b đ
d) dG
r Tb au ã d Ể—
_
E M y = 0=>xs = 22
2
ad, + d(6 — d)
a 2 + bd — d 2
=

2 (a + b — d)

Xd
b
(a — d) - + b ■d
a d + d (b _ d) 2 .

ỵ j Mx - 0 ^ y s -

ò2 + ad. — d 2
b—

2 (ữ “I“

Trọng tâm là S ( x s , y s )
Gọi i£ là trọng tâm của hình bị cắt. E( x e ,yg)

66 .

Hình vng bị cắt vẫn cịn trục đối xứng nên
X
0 a
CL *

2 ’
a

a
X
11
2
4
6 =
VE — --------- õ------------ — — 0'-n
18
a

67. G\ = G,2 = G 3 = -- , = G n\ a = 44 cm; Trọng tâm S { x s , y s , z s )\
(Ơ! + G

2

+ G

3

+ G

4

)-

— (Gg + G io + G n ) -

= 0,

vì vậy z s = 0.
V
a
Do đối xứng x s = ---- = —22 cm,
a( G 4 + G 3 + G 7) + - ( G s + G e)
a
________________
L__________ _ _
Vs =
2
ẸGi

8G

11G

16 cm.

68.

h

H =

H —h = a = H

1{ H - z) 2 = H - - a
C = { H 2 - 2 H z + z 2)

a
H

107


h
Ị zềv

¡ 1 *

~ị

- ~h

’

I [ H 2 - 2H z + z ẫl)dz

J

0

H 2h 2

2

2H h 3
~

6 \ 2-1

h4

3
2H h 2
H 2h ----- — ----- h
2

6 - 8 1 -

i 1 - \ l ỉ ) + 3( ì

T
h3
—
3

t>
Ồ1
h 1 + 2\/.ễ —
+ 3
a

aJ
b
b
4 + 4\/- + 4a
a

/1

a
ò\2

12

12

-

a■

h

ũ -ị- 2 y/b.a

4

a +

-ị- 3 b

+ 36

)
v
6 9 ẵ O’ đây do đổi x ứ ng x s = y s = 0 trọng tâm S ( x s , y s , 2S),

's

2S =

-^1

+ -^2 22 + ^ 3 23
-^1 + -^2 + -P3

*1 = 2 ,4 5 r; F i = l,25?rr2

= 2,4 5

22 = 1, 2r ; F 2 = 47rr2
2 3

= 0, l r ;

Fz ~

1,25 + 1 , 2 - 4 + 0 , 1 - 1 , 0 4
1,2 5 + 4 + 1 ,04

1 ,047Tr2

= 1, 267r = 0, 507 m.

70.

vb=

Va = 7ĩ r 2 h,

va-a = vb-b

Va

h
a = —
2
____ L
\ s ±

- 7rr3 ,
3

±

Tĩr 2 hl 2
— 7Tr

b = —r
8
-.r/>

12

1 2

Ị_

r

X

r \/2

Vây h 2 — - r
h = —7= - - 4 —
“
2 ’
v^2
2

108


P h ầ n II. D ôn g h oc
C h ư ơ n g 3.

CHUYÊN

đ ộ n g c ủ a d iê m

3.1ề Qũy dạo và phương trình chuyển dộng của diểm

7 1 . l) N ửa đường thẳng 4x — 3y = 0; s = 5£2.
2) Đường trịn X2 + y 2 = 9; s = 3í.
3) Đoạn thẳng X + y — a = 0 với 0 < X < a; s = a \ f 2 sin2 t.
4) Đ ường tròn X2 + y 2 — 25ằ, s = 25í 2ề
72. Elip
-----—^ c o s(a — /?) = sin2( a — /3).
ab
73.

Con chạy B:
XB~2rcosa,

a — ut,

X b — 160 cos 10Í.

Điểm M:
x

XM — |r c o s u ; í = 1 2 0 c o s l0 í ,
Vm — 2r s inu;£ = 4 0 s i n l 0 í ,

74. x = r i p ~ s , y — r — r cos
u

ut = r

_

y

1

, r = 1 m,

X — 20í — sin 20£, y = 1 — cos 20£.

3ẵ2. Vần tốc diểm
7 5. 1) Vận tốc điểm giữa M
a
V = -cư V 8 s in 2 tưí + 1.
2
2) Vận tốc con trượt
V — 2au sincưí.


76. 1) y = h - g

2v ị ’

2) V = \A Ổ + 2#/i; c o s(v ,x ) = — , c o s(v ,y ) =

y/2gh

V

3) X = Vo
4) Đ ường thẳng đứng tính từ điểm cách gốc tọa độ một khoảng Vo, Viy — —g

1000
7 7.
Vo = 72 •
= 20 m /s ,
3600
'

X — R(ip — sin y = i2 (l - cos V?),
(Xem hướng dẫn bài 74)
R = 1 m, (p = U)t,
Vo
u
; u t — lĩ — a.
R
X = R ( u — u cos w í ) , ỷ = iỉcư sin iưí,

X=

ỳ = Vo s i n ( 7 T

i > o ( l — cos(7T — a ) ) ,

— a),

s = \ / X2 + ỷ 2
=

Y 1 — 2cos(7T

—a )

+ c o s 2 (7T — q ) + s i n 2 (7T

—a )

•

v0

= ƯQ • \ / 2 [ l — cos(7T — a)] = 2vữ • cos —;

V — 40cos

a
2’

Chiều:
t ò
V o(l-cos(7T -a)}
c o s ( S ,z ) = ------

1
r ------ - 7 - ------ a
= - ^ v 1 - COSÍTT - a ) = cos - •

Vậy vận tốc có hướng của đường thẳng MA.
Tốc đồ: X = Xi, ỷ — y 1
XỊ
— 1 = — cos u t

Ru
y1 _ .
,
= sinu;£
Ru
=> (x — /?w)2 + y 2 = Ì?2CJ2 = Vq.
Vậy tốc đồ là một đường trịn bán kính V o , tâm bị chuyển dịch theo hướng
X\ một đoạn VQ. Phương trình của tốc đồ trong tọa độ cực có dạng
p = 2vo cos 9.
110


Vận tốc của điểm vẽ nên tốc đồ:

Vi

78. Xiclôit kéo dài :
X = 10Í — 0 ,6 s in 2 0 í,

y = 0 ,5 — 0 ,6 c o s2 0 £ .

Với t — — giây (fc Ễ z ) M có vị trí thấp nhất, khi đó:
vx = - 2 m /s,

ưy = 0;

Với í = — (2/c + 1) giây (k E Z) M có vị trí cao nhất, khi đó
20

v x = 22 m / s ,

Vy = 0.

.

_ dy
= aJ x ’
y — reos (£5, X = rsiny?,

79.

£• = 90° — [ip — a),
tge = cotg(cotg (

dr cos

ip

— r d ( p sin (p

dr sin

với cotg(

1 + c o tg a ■cotgc o tg a — cotgip

dr
Do vay: — = —co tg a • dtp,

r
r — c • e - cots a
Xác định hằng số

c

= r0 ;

Vậy r = r 0e ~ 7T

Khi Oi = — ta có đường trịn bán kính r0, khi a = 0 và a = 7T ta có đường
thẳng.
3 .3 . G ia t ố c d iể m
8 0 . w = 2 , 9 4 m / s 2; t = 3 ,4 s .
8 1 . w = 3, 86 m / s 2.
8 2 . Wo — 0 ,3 0 8 m / s 2; w = 0 , 1 2 9 m / s 2; T = 80s.

111


8 3 . Vận tốc có giá trị 207rcm/s và hướng ngược lại chiều tính 5; VJT =
w = w n = 207T2 c m / s 2.
8 4 . Đ ư ờ ng trịn bán kính 1 0 cm, vận tốc V — 47rcm/s, hướng theo tiếp tuyến
với chiều chuyển từ trục O x sang trục O y qua góc 90°, gia tốc w = 1,67T2 c m /s 2
hướng về tâm.

85.

V —

27rcm/s;

w

= 0,47T2 c m / s 2.

C h ư ơ n g 4.

CÁC

chuy

Ển

đ ộ n g d ơ n g iả n n h a t

C Ủ A CỐ THỂ
4 .1 . C ố t h ể q u a y q u a n h m ô t trụ c
8 6 . £ — 7T5- 2 .

8 7 . 1) <75 = —- sin - 7 rí rad,
'
■ 16
4
~
2) ờ vị trí thẳng đứng, u max —
— e ,1
64

8 8. iyn = 5 m

2„-l

/ s 2.

89.
w = y/ rvị + U)ị, WT = w 0 ,
V2

Wn = ~R' v =
u;

I

A w " ịh 2

u; = —y
R
90 . 1)

t

0 ’

\ / R 2

+ 4/i2

= ls.

2) í = 2 s.
3)

w —

282,95

c m / s 2.

4 . 2 Ế B iế n dổi cá c c h u y ể n d ô n g dom g ià n c ủ a c ố t h ể
91 .

k

= 1/35.
V
^1,2

£2 _ , .
_
— <5Ị 2 3 4 —

2l

23

X = 5 í2, £ = 10Í, £ .= 10,
XI

= 2 0 c m /s,

X
0 -1
,
CƯ4 = ---- — — 2 5
20/2

_ 7
•>


<jjị — u>4 Ềí'i 2 ' ^3 4 — 2.3.7 — 42s

,

= 40.42 = 1680 c m / s — 16,8 m / s ,
_2

00

= 20/2 = l s

’

ỄTx = 1.3.7 = 21 s - 2 ; iurA = ễtị.40 = 840 c m / s 2 = 8 ,4 m / s 2,
WnA

ư2

16.82

R

0,4

= 705 m / s

,

= xA ^ Ã + Ĩ ^ I a = 705,9 m / s 2.
9 3. X = 2 r c o s w 0í, Ui = —2rcư0 sin CJ0Í, 1^1 = —cưqX.
94. X — a cos V? + r \ / l — À2 sin 2 <£>

s .

95.

s-h

sin a = —; sin

í
r
h
r .
sin £ * = - + - sin V?,
r cos

Xo =

Xo = r cos
a,

+ V 1' ( ỉ

+ £ sin ^ ) 2 ’

ì 2 -— /i2
/ỉ.2 —
k. —
X — y / ( r + £)2
- In.
Xo, -— = k,
- = JX,
Vậy X = r [ \ / ( l + À)2 — k 2 — ^ / à 2 — (/c + sinv?)2 — cos V?].

C h ư ơ n g 5.

PH ÂN VÀ HỢP C Á C CHUYÊN đ ộ n g

của

d iê m

96. y — 2 , 5sin(507rí) cm.
ÍV
_ 9t2 ■
9 7T. ££ _= - u t+, rì _= - - 1g t+2 , rj =
là parabôn, trục 0 £ , Or} vẽ trên bản và có hướng như sau: trục 0 £ nằm ngang

theo hướng chuyển động của bản, trục Ori hướng từ trên xuống dưới.
98.

Các tọa độ của qũy đạo điểm trên
đường tròn: £, r]
Ệ = X — n, ĨỊ = xsink
n
sin — = — , sin — = — ,
2
2x
2
k
k2
2 'P
n = — = 2 i s i n —, U)t =
2x
2
.

.

.

£ = asin(£> — 2 x s in

2 ^

•

— = a sin <£>cos 2

113


rì = a s i n 2 <£>.
Suy ra £2 = a 2 —( l — - } = arj — T]2.
a \

™ „
o
/
Ta được £ + (*7

a)

a\2
2)

a2
=

4 '

r sin ut
9 9 . X = r cos u t , z — rsintưí, tg

a + X
a + r cos ut
Chuyền đông của con chạy
u>r cos OL = —£,
7T

a = ip + Ip, ĩp = - - ut,

u r cos(<£> + ĩịj) = —

u r c o s ----- (cưt — u>r [sin u t cos

Thay tg

£

uarsmut

V a 2 + r 2 + 2ar cos u t
€ = Ị £dt, z = a? + r2 + 2arcoscưí,
— = —2aru; sintưí,
dt
dz
suy ra £ = \ / a 2 + r2 + 2ar cos ut .
í
- J 2ự Ẽ
1 0 0 . í — 2 0 0 m, u = 2 0 0 m /p h , t; = 1 2 m / p h .
1 0 1 . í; = 0 , 9 4 2 m / s .
1 0 2 . vr = 1 0 , 0 6 m /s , {vTTR) = 4 1 °5 0 'ẳ
£wtg(p

103.

V,

cos ip

1 0 4 . Vi = lO m /s , v 2 = 3 0 m / s , Vs = v 4 — 2 2 , 3 6 m / s .
105ễ
1)

Ulícosip = U)\s,

U!Í s i n ĩỊ) = V T,

sinV> = J , COS0 = J ,
a2 = h 2 +

114

(s —

x ) 2, £2 =

h2 + I 2,


í2+s 2 - a2

X — ------- r----------,
25

i X

u

a' = us t = s x'
.h
u (
t 2 —a2\
Vr = u t-t = Uh , Ul = ^ [ i + - ^ ) ,
u>
Vr
.

2S

.

1/2

(£ + S' + ữ)(^ + 5 — ữ)(_

2) W1 max

t
^ n

i

t —a

) W1 min — ^ n , _ i

i + a

max — aÍÁj) v r min — 0-

3) U)\ = U! khi 0 \ B _L 0 \ 0 .
4
106. U)J = ~7T5

,

U)JỊ

= U j v — 0, UỊ Ị Ị = 1 ,5 s

,

107. w = 6320 cos 4 n t c m / s 2.
108.

r = vectơ chỉ vị trí của v ật p.

ĩ s á ,
+ iS■ ■ IẢ -j S
2 J
2

r =

X = const, s — const,
^
"\/2 \
.~ \/2
f = i^ x + S 2 J t ~ j
2 t +
Khi í = 0, r = 0 : r0 = 0,
~ r(

r = í

•• I Q ^

+

\ ^

*2 ì ~2

'7 C ^ ^ / 2

4~

I ->

+

°’

Khi £ = 0, £ = 0, = y = h =$■ r 0 = hj.
Vì vậy, bằng cách thay vào các giá trị đã cho ta có:

2
T — it2

/ í

?(?-*)■

Biểu diễn qua các thành phần: X = t 2, y = h — — , y = h — —;
2
2
Vận tốc tuyệt đối: f — 2t ỉ — t j , |f| = \ / 4 t 2 + t 2 = V5£ d m /s.
Gia tốc tuyệt đối r = 2 Ĩ —j , |r| = b = \/A + 1 = \ / 5 d m / s 2.

1 09 .

w = 7 5 m / s 2.

115