Chuyên đề: Số phức potx

ÑAÏI SOÁ
61

Số Phức
định nghĩa số phức :
Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi là
số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần
ảo của số phức z
-Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z).
-Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z).
Định nghĩa số i :
Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho
1
i
2




Dạng đại số của số phức

Hai số phức bằng nhau:
Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo
tương ứng bằng nhau.
Ví dụ :
Cho
i3az;i35z
21

tìm tất cả các số thực m để
21

zz 

Giải :

5a
33
5a
i3ai35zz
21








Phép cộng và phép trừ của hai số phức :
Cho hai số phức .
ibaz
111

và
ibaz
222

khi đó
Phép cộng .





ibbaaibaiba
21212211


Phép trừ .






ibbaaibaiba
21212211


Tóm lại :
Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảo tương
ứng.
Ví dụ :
Tìm phần thực và phần ảo của số phức .





i56i93z 

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ
62

Giải :




14zIm;12zRe
i1412i56i93z








Phép nhân
Cho hai số phức .
ibaz
111

và
ibaz
222

khi đó
Phép nhân .









iabbabbaaiba.iba
212121212211


Tóm lại :
Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại số với
chú ý
1
i
2



Ví dụ :
thực hiện phép tính đã cho và biểu diễn kết quả dưới dạng đại số





i5i2i21z
2



Giải :








  
i211
i8i23i43i21
ii44i21i2i21z
2
2
2




Định nghĩa số phức liên hợp:
Số phức
biaz


được gọi là số phức liên hợp của số phức
biaz



.
Ví dụ:
Tìm số phức liên hợp của số phức .




i31i52z 

Giải :





i17
i15i2i31i52z
2



vậy số phức liên hợp là
i17z



Tính chất của số phức liên hợp:
Cho z ,w là hai số phức
w

,
z
là hai số phức liên hợp
z
z

là một số thực
z
.
z
là một số thực
z
z

khi z là một số thực
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ
63




n
n
zz 
với n là số tự nhiên

Phép chia hai số phức
cho z = a + bi , w = c + di (w


0) ta có .




  
     
222222
22
2
dc
iadbc
dc
bdac
dc
iadbcbdac
dc
bdibciadiac
dicdic
dicbia
dic
bia
w
z




















( ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu )


Dạng lượng giác


Imz
z
z
w.zw.z
wzwz



Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

ÑAÏI SOÁ
64




b M(a;b)

a + bi

r
Trục thực 0

Rez
a




Định nghĩa Môdun của số phức:
Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa
như sau:
 
22
barzMod 
ký hiệu
z

vậy môdun của số z bằng khoảng cách từ điểm M biểu thị nó đến gốc
tọa độ .

Ví dụ:
Tìm môdun của số phức sau .


Giải :
Ta có a = 4 , b = 3 vậy Mod(z) =
534
22


Định nghĩa argument của số phức :












2222
22
ba
bi
ba
a
babiaz

Trong đó .
i34z


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ
65

 
isincosrz
ba
b
sin
ba
a
cos
bar
22
22
22



















là dạng lượng giác
Mọi nghiệm của hệ phương trình











22
22
ba
b
sin
ba
a

cos
gọi là argument của
số phức
biaz


0

. Mọi argument
của số phức z khác nhau bội lần

2
và ký hiệu thống nhất Argz .mỗi giá
trị argument trùng với véctơ bán kính
OM
của điểm M
Góc

được giới hạn trong khoảng




20
hoặc








Ví dụ:
Tìm argument của số phức
i31z 
Giải :

3b,1a 
ta tìm góc



3
2
3
r
b
sin
2
1
r
a
cos












vậy Argz =
3



Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ
66







21
21
21
rr
2k
zz

Phép nhân ở dạng lượng giác:
Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument

cộng lại.






i.sincosr.rz.z
21212121


Ví dụ:
Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức :




i31i1z 

Giải :


























.
3
sini
3
cos2i.
4
sin
4
cos2
i31i1z

12
isin
12
cos22

34
sini
34
cos22

























Phép chia ở dạng lượng giác:
Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument
trừ ra.
2
1
2
1
r
r
z
z







i.sincos
2121


Ví dụ:
Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức :
i3
i122
z




Giải :
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ
67




















































6
7
sini
6

7
cos2
6
5
sini
6
5
cos
3
sini
3
cos2
i
2
1
2
3
2
i
2
3
2
1
4
i3
i322
i3
i122
z

Dạng mũ số phức

Định lý Euler (1707-1783):



sinicosez
i

Ví dụ:
Tìm dạng mũ của số phức sau. i3z 

Giải :

6
5
.i
e2
6
5
sini
6
5
cos2
i
2

1
2
3
2i3z






















Ví dụ:
Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

ÑAÏI SOÁ
68




i2
ez

Giải :

 



sinicose
eeez
2
i2i2

Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn.

Dạng lũy thừa

  
 
 
ibiab3bia3abiaz
abi2babiabiaz.zz
bi

a
z
332223
3
3
222






 
BiA
baCbaC baCbaC
baCbiaz
n01
n
1n10
n
11n1
n
0n0
n
kkn
n
0k
k
n
n

n








Ví dụ:
tính
5
z
của
i
2
z



Giải :
i4138
i10i4080i8032
i2Ci2Ci2Ci2Ci2Ci2C
i2Ci2z
1
501
5
414
5

323
5
232
5
141
5
051
5
kk5
5
0k
k
5








Lũy thừa bậc n của số phức i:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ
69

1
i
.

i
i
ii.ii
1i
ii
224
23
2





1
i
.
i
i
ii.ii
1i.ii
ii.ii
448
347
246
45






vậy ta có qui luật sau đây .
Giả sử n là số tự nhiên, khi đó
rn
i
i

, với r là phần dư của n chia cho 4.
Ví dụ:
t ính
z
c ủa
403
i
z


Giải :
Ta . 403 = 100.4 +3

1
i
i
i
z
334.100403








về bài toán dễ ta có thể làm theo cách này nhưng bài toán phức tạp ta
nhờ vào công thức De Moivre .
De Moivre :
Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó ta






 nsinincosrsinicosr
n
n

Ví dụ:
Sử dụng công thức de Moivre’s, tính:



25
25
i1z 

Giải :



















4
sini
4
cos2
i
2
1
2
1
2i1z

vậy .
 













4
25
sini
4
25
cos2i1z
25
25
25

=










4
sini
4
cos24096

Định nghĩa căn bậc n của số phức:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ
70

Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho w
n
= z, trong đó n là số tự
nhiên






sinicosbiaz















n
2k
sini
n
2k
cosrz
sinicosrz
n
k
n
n

với


1n, 3,2,1k 

Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt.
Số nghiệm của một đa thức:
Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh
rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm.
Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội.
Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau
đây .

Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a –
bi cũng là một nghiệm phức.
Ví dụ:
1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận
i3z
1

và
i5z
2



Giải :
Vì
i3z
1

và
i5z
2

là hai nghiệm nên
i3z
1

và
i5z
2


cũng hai nghiệm
vậy không tồn tại đa thức bậc 3 thỏa ycbt


Bài tập

1) tính trong C
a) 9 + 5i +(7-2i) b) (2+6i)(5
)i8

c )


2
i51

i
2
i21
)d



Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ
71





tani1
tani1
)e

Giải :
a) 9 + 5i +(7-2i) = 12 +3i
b) (2+6i)(5
)i8

=
i1458i48i30i1610
2


c)


i1024i25i101i51
2
2






  
3

i5
3
i2i4i2
i2i2
i2i21
i2
i21
)d
2













  















2sini2cos
sincossini2cos
tan1
tantani21
tani1tani1
tani1tani1
tani1
tani1
)e
22
2
2

2) giải phương trình trong C :
a)
02x2x
2


b)
07x5x
2


Giải :
a)
02x2x
2


1






11x
2,1

phương trình có hai nghiệm phức :

i1x,i1x
21


b)
07x5x
2



3






2
35
x
2,1


phương trình có hai nghiệm phức

2
i3
2
5
x,
2
i3
2
5
x
21


3) tìm nghiệm thực của phương trình :
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ

72

a)
yi7i6x




b)




i174yi52xi1 

c) 12










i617i23yxi1ix2 

Giải :
a)






6y
7x

b)




i174yi52xi1 


 




















3y
2x
17y5x
4y2x
i174iy5xy2x
i174yi5y2xix

a) 12
      








12
i617
i23yxi1ix2





   
iy21y3x51
yi2y3xi2x3iixi2x2
2























4
1
y

3
1
x
12
6
y21
12
17
y3x51

4) giải phương trình trong C :
a)




0i1xi1x
2

b)


01ixi21x
2

Giải :
a)





0i1xi1x
2






i24
i14i1
2
x



Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ
73

gọi


i24bia
2



i24abi2ba

22




















































25
25
25
25
1
25
25
52

4
22
4
2
2
22
22
22
b
a
b
a
ab
b
a
ba
ba
ab
ba

Vậy phương trình có nghiệm .
 
2
25i25i1
x
2,1










b)


01ixi21x
2






15i4
1i4i21
2
2
x



Vậy phương trình có nghiệm .
ix,i1x
21


5) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận

i3z
1

và
i2z
2

làm
nghiệm .
Giải :
Đa thức cần tìm là .









    
  
5z4z9z
)i2(z)i2(zi3zi3z
zzzzzzzz)z(f
22
2211









6)tìm tất cả các nghiệm của 45z36z14z4z)z(P
234
 biết
i
2
z


là một nghiệm .
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ
74

Giải :
Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả
ta có 2 –i là một nghiệm.
P(z) có thể phân tích thành .




5z4z)i2(ziz2(z
2


P(z) có thể tách thành .




9z5z4z)z(P
22

Mà




i3zi3z9z
2

vậy phương trình có 4 nghiệm .
i3,i3,i2,i2




7) giải phương trình sau trong C :
0iz
9


Giải :
9
2k

2
sini
9
2k
2
cosz
2
sini
2
cosiz0iz
k
9
9
9













với
8, ,2,1,0k


8) giải phương trình sau trong C
0i1z)a
5
 01zz)b
2

0i1z2z)c
2

Giải :
a)
5
5
5
5
4
3
sini
4
3
cos2
i
2
1
2
1
2i1z0i1z



















Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ
75





















5
2k
4
3
sini
5
2k
4
3
cos2z
10
k

với
4,3,2,1,0

k

01zz)b

2


3



phương trình có hai nghiệm .

2
3i1
2
31
x
2,1






i
2
3
2
1
x,i
2
3
2

1
x
21


0i1z2z)c
2


i



phương trình có 2 nghiệm .

i1z
2,1



9) mô tả hình học các tập số phức thỏa mãn các điều kiện sau :

21z)e
1z)d
2zIm)c
1zIm0)b
0zRe)a







4
arg)
4
arg0)
21)
Re1)
221)








zn
zm
zzk
zzg
zf

Giải :

0x0zRe)a




là nửa mặt phẳng
0x



1zIm0)b


1y0



là dải
1y0




2y2zIm)c 
là dải
2y2





1z)d 
đặt
yixz



ta có
22
yxz 

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ
76

1yx
22
 là phần trong của có tâm I(0;0)
bán kính R=1

21z)e 
đặt
biaz


ta có

   
2y1xyi1xiz
2
2

Là phương trình đường tròn tâm I(-1,0) bán kính R=4 .

22z1)f 

đặt
yixz


ta có

   
 
4y2x1
y2xyi2x2z
2
2
2
2



Là hình khuyên giữa 2 đường tròn


1y2x
2
2

và


1y2x
2
2


mà


1y2x
2
2

không
thuộc hình khuyên

zRe1z)g 
đặt
yixz


ta có

x21y
x2x1yxx1yx
2
22222



vậy


x21yy,xD
2




21)  zzk
đặt
yixz


ta có

   
   
   
03y2x4
y2xy1xycbt
y2xyi2x2z
y1xyi1x1z
2
2
2
2
2
2
2
2





Là phương trình đường thẳng
03y2x4




4
zarg0)m


là hình quạt được giới hạn bởi


0x,0yy,xl
1

và


0x,xyy,xl
2


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ
77


4

5
zarg
4
3
4
zarg
44
zarg)n











Là hìmh quạt giới hạn bởi các tia .



0x,xyy,xl
1

và


0x,xyy,xl

2


10) Tìm dạng mũ của số phức sau:
i3z 
Giải :

6
5
.i
e2
6
5
sini
6
5
cos2i3z













11) chứng minh công thức Ơle (Euler) :
2
ee
cos
ii 



Giải :
Ta có









sinicose
sinicose
i
i









cos
2
sinicossinicos
2
ee
ii

12) chứng minh công thức Ơle (Euler):
i
2
ee
sin
ii 



Giải :
Ta có









sinicose
sinicose

i
i







sin
i
2
sinicossinicos
i
2
ee
ii

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ
78


Bài tập tự làm
13) chứng minh công thức Moivre : Nếu


i
e.rz

thì


innn
e.rz

14) tính theo Moivre :


 
 
 
 
6
8
20
3
5
10
3i1i1)d
i1
i31
)c
i1
i1
)b
i1)a
















15)chứng minh các đẳng thức :
 
 





















6
n
sini
6
n
cos2i3)b
4
n
sini
4
n
cos2i1)a
n
n
2
n
n

16) tìm căn bậc 3 của số :
3i22a 
17) tìm nghiệm của đa thức
1
z
2
z

36


:
18) giải phương trình trong C :

05z2z)a
2
 01z2z4)b
2



0i5z3i2z)c
2
 01z)d
3



161z)e
4




161z)f
4


19)tìm tất cả các nghiệm của 100z9z6z)z(P
234
 biết
i
2
1
z


là một nghiệm .


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
ÑAÏI SOÁ
79

109 NGUỄN THÁI BÌNH ,F3 ,TÂN AN , LONG AN



Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.