Chuyên đề 8: Vecto trong không gian potx

CHUYÊN ĐỀ 8
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Các đònh nghóa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt
phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng như :
. Qui tắc 3 điểm : A, B, C thì ∀
A
B
J
JJG
+
BC
J
JJG
=
A
C
J
JJG

. Cộng 2 vectơ cùng gốc là một vectơ cùng gốc và là đường chéo hình bình hành có 2
cạnh là 2 vectơ đã cho.
. I là trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kỳ nào ta luôn có:
MI =
JJJG
2
MA MB+
J
JJJG JJJJG

. G là trọng tâm của Δ ABC

⇔

GA
J
JJG
+
GB
J
JJG
+
GC
J
JJG
=
0
G
.
Ngoài ra ta còn có :
. Ba vectơ khác gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm
trong một mặt phẳng .
0
G
. Bất kỳ vectơ
a

0
nào đồng phẳng với hai vectơ không cùng phương , trong
không gian, đều có thể phân tích theo
G
≠

G
1
e
G
2
e
G
1
e
G
,
2
e
G
có nghóa:

a
=
G
α
1
e
G
+
β
2
e
G
(
α

,
β

∈
R)
và sự phân tích trên là duy nhất .
. Bất kỳ vectơ
a
nào trong không gian cũng có thể phân tích được theo 3 vectơ
không đồng phẳng , , có nghóa :
G
≠ 0
G
1
e
G G G
2
e
3
e

a
= +
β
G
α
1
e
G
2

e
G
+
γ
3
e
G
(
α
,
β
,
γ
∈
R)
. G được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD
+ +
GC
+
⇔
GA
JJJG
GB
JJJG
JJJG
GD
J
JJG
=
0

G

Ghi chú :
1) Nếu một trong 3 vectơ ,
a
G
b
G
,
c
G
là
0
G
thì chúng đồng phẳng.
2)
a
,
b
,
c
đồng phẳng ⇔
G
G
G
,. 0ab c
⎡⎤
=
⎣⎦
G

GG


1
3)
OA
,
OB
, đồng phẳng
JJJG JJJG
OC
JJJG
⇔
O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng.
Ví dụ 1:
Cho một hình lăng trụ ABC
A
′
B
′
C
′
. Gọi I, I
′
lần lượt là trọng tâm của Δ ABC và
Δ
A
′
B
′

C
′
, O là trung điểm của I I
′
.
a) Chứng minh rằng
+ +
OBOA
JJJG
OA
′
JJJJG
J
JJG
+
OB
′
J
JJJG
+
OC
J
JJG
+
OC
′
J
JJJG
=
0

G

b) Gọi G là trọng tâm của hình tứ diện ABC
C
′
và M là trung điểm của
A
′
B
′
. Chứng
minh rằng O, M, G thẳng hàng.
c) Tính tỉ số
OM
OG
JJJJG
JJJG

Giải
a) +
OA
+ +
OA
JJJG
′
JJJJG
OB
JJJG
OB
′

JJJJG
+
OC
J
JJG
+
OC
′
J
JJJG
=
0
G

I là trọng tâm của ABC ⇒ Δ IA
J
JG
+ IB
J
JG
+
IC
J
JG
=
0
G

( + ) + (
IO

+
OB
) + (⇒
IO
JJG
OA
JJJG
JJG JJJG
IO
J
JG
+
OC
J
JJG
) =
0
G


OA
+ +
OC
= 3
OI
⇒
JJJG
OB
JJJG
JJJG JJG

Tương tự, là trọng tâm của I
′
Δ
A
′
B
′
C
′


OA
+ +
OC
= 3
OI
⇒
′
JJJJG
OB
′
JJJJG
′
JJJJG
′
JJJG

Vậy
OA
+

JJJG
OA
′
J
JJJG
+
OB
+
JJJG
OB
′
J
JJJG
+
OC
J
JJG
+
OC
′
J
JJJG
=
= 3
OI
J
JG
+ 3
OI
′

J
JJG
= 3(
OI
J
JG
+
OI
′
J
JJG
)
=
0
G
(vì 0 là trung điểm I I
′
)
b) O, M, G thẳng hàng
G là trọng tâm của tứ diện ABC
C
′

⇒
GA
+ +
GC
+
JJJG
GB

JJJG
JJJG
GC
′
JJJJG
=
0
G

⇒ ( +
OA
) + (
GO
+ ) + (
GO
JJJG
JJJG JJJG
OB
JJJG
GO
J
JJG
+
OC
J
JJG
) + (
GO
J
JJG

+
OC
′
J
JJJG
) =
0

G
⇒
OA
+ +
OC
+
OC
JJJG
OB
JJJG
JJJG
′
JJJJG
= 4
OG
J
JJG

M là trung điểm của
A
B
′′

⇒
OA
+ = 2
OM

′
JJJJG
OB
′
JJJJG
JJJJG
⇒
OA
+ +
OC
+
OC
JJJG
OB
JJJG
JJJG
′
JJJJG
+
OA
′
J
JJJG
+

OB
′
J
JJJG
= 4
OG
J
JJG
+ 2
OM
J
JJJG


2
⇒
0
= 4 + 2
OM

G
OG
JJJG
JJJJG
⇒
OM
= –2
JJJJG
OG
JJJG

⇒
OM
cùng phương với
OG
JJJJG
J
JJG

⇒
OM
,
OG
cùng giá (vì cùng gốc O)
JJJJG JJJG
⇒ O, M, G thẳng hàng.
c) Tỉ số
JJJJG
JJJG
OM
OG

OM
JJJJG
= –2
OG
JJJG
⇒
OM
OG
J

JJJG
J
JJG
= –2
Ví dụ 2:

Cho hình hộp ABCD.
A
′
B
′
C
′
D
′
với
A
A
′
J
JJJG
=
a
G
,
A
B
J
JJG
=

b
G
,
/
A
C
J
JJJG
= . Hãy biểu thò các
vectơ
c
G
A
D
JJJG
,
A
C
′
JJJJG
JJJJG JJJJG
, , theo các vectơ
a
BD
′
BD
′
G
,
b

G
,
c
G
.
Giải
Ta có với hình hộp ABCD.
A
′
B
′
C
′
D
′
thì :
A
D
J
JJG
=
A
C
′
J
JJJG
+
/
CD
′

J
JJJJG
+ DD
′
JJJJG
=
c
G
–
b
G
–
a
G


A
C
′
J
JJJG
=
A
A
′
J
JJJG
+
/
A

C
JJJJG
+
/
CC
JJJJG
A
C
′
J
JJJG
= –2
a
G
+
c
G
BD
′
J
JJJG
= BB
′
J
JJJG
+ BA
J
JJG
+
A

D
JJJG

= –
a
G
–
b
G
+
c
G
– –
b
G
a
G
= – 2
a
G
– 2
b
G
+
c
G
BD
′
J
JJJG

= BA
J
JJG
+
A
D
J
JJG
+ DD
′
JJJJG
= –
b
G
+ (
c
G
– –
a
) +
b
G
G
a
G
= – 2
b
G
+
c

G

* * *
D
′

A
B
′

′
c
G

B
C
D
A
a
C
′

G

b
G


3