Thptcva,Hn-Toán 10, Đề Đề Xuất Thi Hsg Dh 2023.Docx

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
HÀ NỘI
(ĐỀ THI ĐỀ XUẤT)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XIII - NĂM 2023
MƠN THI: TỐN – LỚP 10
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Đề thi gồm có 01 trang

Câu 1 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm
đoạn
i.
ii.

 0;1

f  x

có tập xác định và tập giá trị đều là

thỏa mãn tất cả các điều kiện sau:

2 x  f  x    0;1

với mọi

f  2 x  f  x   x

x   0;1 ;

với mọi

x   0;1 .

Câu 2 (4,0 điểm). Xét các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện 0  x, y, z  2.
7
x  2  y  y  2  z  z  2  x  
2
Chứng minh rằng
Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC không là tam giác cân. Gọi H , Ao , Bo , Co lần lượt là trực tâm
và trung điểm của các cạnh BC , CA, AB của tam giác ABC. Các đường thẳng lần lượt qua A, B, C và
vng góc với HAo , HBo , HCo cắt các đường thẳng BC , CA, AB lần lượt tại A1 , B1 , C1. Chứng minh rằng
ba điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng.
Câu 4 (4,0 điểm). Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn phương trình
 3 1    3 2    3 3   ...   3 x 3  1   y.
     


Câu 5 (4,0 điểm). Trên mặt phẳng cho 2023 điểm phân biệt, trong đó khơng có ba điểm nào thẳng
hàng. Gọi S là tập các đoạn thẳng được nối từ hai điểm nào đó trong 2023 nói trên. Một đoạn thẳng trong
tập S được gọi là “độc lập” khi đoạn thẳng đó khơng có điểm chung với bất kì đoạn thẳng nào trong S
(trừ điểm chung là đầu mút). Tìm số đoạn thẳng “độc lập” lớn nhất có thể có.

------Hết -----Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay
- Giám thị khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên học sinh: ……………………………………… Số báo danh: …………………..
Họ và tên, chữ ký của giám thị: ……………………………………… ……………………

TRƯỜNG THPT CHU VĂN
AN
HÀ NỘI

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XIII - NĂM 2023
MƠN THI: TỐN – LỚP 10

ĐÁP ÁN ĐỀ ĐỀ XUẤT
Câu 1 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm
đoạn

 0;1

ii.

có tập xác định và tập giá trị đều là

thỏa mãn tất cả các điều kiện sau:

2 x  f  x    0;1

i.

f  x

với mọi

f  2 x  f  x   x

x   0;1 ;

với mọi

x   0;1 .

Câu
1.

ĐÁP ÁN

ĐIỂM
4,0

x   0;1
Bổ đề: Với mọi
và với mọi số tự nhiên n khác 0, ta ln có:
 n  1 x  nf  x    0;1 với mọi x   0;1 ;
i1.
f

i2.

  n 1 x  nf  x   nx   n  1 f  x  .

- Thật vậy, bổ đề đúng với n 1.
- Giả sử bổ đề đúng với n = k. Nghĩa là
i.

 k  1 x  kf  x 

ii.
1

f

Đặt

  0;1

với mọi

x   0;1 ;

  k 1 x  kf  x   kx   k  1 f  x  .
y  k  1 x  kf  x  ,

ta có

2 y  f  y  2   k  1 x  kf  x     kx   k  1 f  x  
 k  2  x   k  1 f  x    0;1 ;
và

1,0

1,0

f  2 y  f  y    y  k  1 x  kf  x  .

Do đó, bổ đề đúng với n = k + 1. Vậy bổ đề được chứng minh.
f  xo   xo
 n  1 xo  nf  xo  n  xo  f  xo    xo   0;1
Giả sử tồn tại xo để
thì
với n đủ lớn.
Do đó,

f  x  x

với mọi

x   0;1 .

1,0
1,0


Câu 2 (4,0 điểm). Xét các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện 0  x, y, z  2.
7
x  2  y  y  2  z  z  2  x  
2
Chứng minh rằng
Câu
2

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

4,0 đ

Xét tam giác đều ABC có cạnh bằng 2.

1,0

Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N, P không trùng với
A, B, C sao cho AM x, BN z , CP  y. Như vậy 0  x, y, z  2.
Khi đó, S AMP  S BMN  S CNP  S ABC
Nghĩa là,
1
1
1
1
AM . AP.sin A  CP.CN .sin C  BN .BM .sin B  AB. AC.sin A
2
2
2
2
1
1
1
x  2  y  y  2  z   z  2  x  3
2
2
2
7
 x  2  y  y  2  z  z  2  x 
2

1,0
1,0

1,0


Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC không là tam giác cân. Gọi H , Ao , Bo , Co lần lượt là trực tâm
và trung điểm của các cạnh BC , CA, AB của tam giác ABC. Các đường thẳng lần lượt qua A, B, C và
vng góc với HAo , HBo , HCo cắt các đường thẳng BC , CA, AB lần lượt tại A1 , B1 , C1. Chứng minh rằng
ba điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng.
Câu
3

ĐÁP ÁN

ĐIỂM
4,0

1,0

Gọi M, N, P lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của tam
giác ABC. Do tam giác ABC không là tam giác cân nên M  Ao . Qua H kẻ tia
 Hx, HAo , HB, HC  là chùm
Hx song song với BC (như hình vẽ); ta có chùm
điều hòa.
H ;90o 

 Hx, HAo , HB, HC  thành một chùm với
Xét phép quay
biến chùm

A  M , A1 , C , B 
các tia tương ứng song song với các tia của chùm
và chùm đó
A1 B
MB

MC
cũng là chùm điều hịa, và ta có A1C
B1C
NC C1 A
PA

;


B
A
NA
C
B
PB
1
1
Tương tự, ta cũng có
Hơn nữa, do AM, BN, CP đồng quy tại H nên
A1 B B1C C1 A
MB NC PA





 1.
A1C B1 A C1B
MC NA PB
Áp dụng định lý Menelaus, suy ra ba điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng.

1,0

1,0

1,0


Câu 4 (4,0 điểm). Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn phương trình
 3 1    3 2    3 3   ...   3 x 3  1   y.
     


Câu
4

ĐÁP ÁN

ĐIỂM
4,0

 3 m  k  k 3 m  k  1 3  1.

Nhận xét 
3

 k  1  k 3 3k 2  3k  1.
Số các số m thỏa mãn điều kiện trên là
Vậy, phương trình đã cho tương đương với
x 1

S
k 1

k

y
trong đó

1,0

1,0

S k k  3k 2  3k  1 .
x 1

Do Sk có cùng tính chẵn, lẻ với k nên nếu x là số nguyên tố lẻ thì
là một số chẵn lớn hơn 2 nên y khơng là số ngun tố.
Do đó chỉ có thể là x 2, suy ra y 7.

S
k 1

k

y

1,0
1,0


Câu 5 (4,0 điểm). Trên mặt phẳng cho 2023 điểm phân biệt, trong đó khơng có ba điểm nào thẳng
hàng. Gọi S là tập các đoạn thẳng được nối từ hai điểm nào đó trong 2023 nói trên. Một đoạn thẳng trong
tập S được gọi là “độc lập” khi đoạn thẳng đó khơng có điểm chung với bất kì đoạn thẳng nào trong S
(trừ điểm chung là đầu mút). Tìm số đoạn thẳng “độc lập” lớn nhất có thể có.
Câu

ĐÁP ÁN
Xét một đa giác lồi H có k đỉnh (với 3 k 2023 ) được lấy từ 2023 điểm đã
cho và chứa tất cả các điểm còn lại.
Ta thấy rằng, khi số đoạn thẳng “độc lập” nhiều nhất thì đa giác H sẽ được
chia thành các tam giác nhỏ không có điểm trong chung.
Số tam giác nhỏ nói trên bằng
S1 k  2   2023  k  .2 4044  k .
Vậy số đoạn thẳng “độc lập” vẽ được bằng
 4044  k  .3  k 6066  k .
S2 
2
Do 3 k 2023 nên S 2 6066  3 6063.
Vậy số đoạn thẳng “độc lập” nhiều nhất là 6063 đạt được khi đa giác lồi là
một tam giác.

ĐIỂM
4,0 đ
1,0

1,0
1,0

1,0