Kntt c7 b20 p2 vt tuong doi giua 2 dt, goc, kc p2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.18 MB, 23 trang )
20
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG
THẲNG. GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH
1
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
2
GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
3
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT
ĐƯỜNG THẲNG
3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Hoạt động 4:
Cho điểm và đường thẳng có vectơ pháp tuyến .
Gọi
là hình chiếu vng góc của trên .
a) Chứng minh rằng .
Bài giải:
a) Ta có:
.
𝑯
là hình chiếu vng góc của trên nên
hay cùng phương.
Do đó .
Vậy
.
(đpcm)
Hình 7.9
3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Hoạt động 4:
Cho điểm và đường thẳng có vectơ pháp tuyến .
Gọi
là hình chiếu vng góc của trên .
a) Chứng minh rằng .
b) Giả sử có toạ độ . Chứng minh rằng
𝒏 .⃗
𝑯𝑴 =𝒂 ( 𝒙 𝟎 − 𝒙 𝟏 ) + 𝒃 ( 𝒚 𝟎 − 𝒚 𝟏 )=𝒂 𝒙 𝟎 +𝒃 𝒚 𝟎 + 𝒄
⃗
𝑯
Bài giải:
b) Ta có:
Vậy
( 𝒙 𝟎 − 𝒙 𝟏 ; 𝒚 𝟎 − 𝒚 𝟏 )
và
𝒂 ( 𝒙 𝟎 − 𝒙 𝟏 ) + 𝒃 ( 𝒚 𝟎 − 𝒚 𝟏 ) ¿ 𝒂 𝒙 𝟎 + 𝒃 𝒚 𝟎+ 𝒄
(đpcm)
Hình 7.9
3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Hoạt động 4:
Cho điểm và đường thẳng có vectơ pháp tuyến .
Gọi
là hình chiếu vng góc của trên .
a) Chứng minh rằng .
b) Giả sử có toạ độ . Chứng minh rằng
⃗
𝒏 .⃗
𝑯𝑴 =𝒂 𝒙 + 𝒃 𝒚 + 𝒄
𝟎
𝑯
𝟎
|𝒂 𝒙 𝟎 +𝒃 𝒚 𝟎+ 𝒄|
c) Chứng minh rằng 𝑯𝑴 =
𝟐
𝟐
√𝒂 +𝒃
Bài giải: c) Từ chứng minh câu a và câu b ta có :
và
Hình 7.9
Từ đó suy ra
|𝒂 𝒙 𝟎+ 𝒃 𝒚 𝟎 +𝒄|
Hay
|𝒂 𝒙 𝟎+ 𝒃 𝒚 𝟎 +𝒄|
√𝒂
𝟐
𝟐
+𝒃
(đpcm)
3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Định lý
Cho điểm và đường thẳng . Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng , kí hiệu ,
được tính bởi cơng thức
Ví dụ 4
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .
Bài giải:
Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng , ta có:
.
Vậy khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là .
Trải nghiệm
Đo trực tiếp khoảng cách từ đến đường thẳng và giải thích vì sao kết quả đo đạc
đó phù hợp với kết quả tính tốn trong lời giải của Ví dụ 4.
Hình 7.10
Luyện tập 5
Tính khoảng cách cách từ điểm đến đường thẳng .
Bài giải:
Đường thẳng có vectơ chỉ phương , nên có vectơ pháp tuyến và đi qua điểm nên
phương trình tổng qt của đường thẳng là
.
Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng , ta có:
.
Vậy khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là .
Vận dụng
Nhân
dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ơng bà nội có một ao cá dạng
hình chữ nhật với chiều dài chiều rộng . Phần tam giác là nơi ông bà nuôi vịt, .
a) Chọn hệ trục toạ độ , có điểm trùng
với điểm , các tia tương ứng trùng với
các tia . Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt
phẳng toạ độ tương ứng với trong thực
tế. Hãy xác định toạ độ của các điểm và
viết phương trình đường thẳng .
b) Nam đứng ở vị trí câu cá và có thể
quăng lưỡi câu xa . Hỏi lưỡi câu có thể
rơi vào nơi ni vịt hay khơng?
Hình 7.11
Vận dụng
Bài giải:
a)
.
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương ,
nên có một vectơ pháp tuyến và đi qua
điểm
Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng:
.
Vận dụng
Bài giải:
a)
.
Phương trình của đường thẳng:
.
b) Khoảng cách từ đến đường thẳng là
Vì
nên Nam đứng ở vị trí thì lưỡi câu không thể rơi vào nơi nuôi vịt.
BÀI TẬP
7.7
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau
a) và .
b)
và .
c)
và .
Bài giải:
a) Xét hệ phương trình
có vơ số nghiệm . Vậy và trùng nhau.
b) Xét hệ phương trình
c) Xét hệ phương trình
Vậy và cắt nhau tại .
vô nghiệm . Vậy và song song.
.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
BÀI TẬP
7.8. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
và . và
( là các tham số).
Bài giải:
a) Đường thẳng có vectơ pháp tuyến .
Đường thẳng có vectơ pháp tuyến .
Gọi là góc giữa 2 đường thẳng và . Ta có
|
|
𝟑.𝟏+𝟏.
𝟑
√
√
𝟑
√
⃗
⃗
𝒏
.
𝒏
|
|
=¿
⃗
⃗
𝐜𝐨𝐬
𝒏
,
𝒏
=¿
=¿
(
)
| |⃗
𝐜𝐨𝐬 𝜶=¿ |
𝟐 𝟐
𝟐
𝒏 | .|⃗
𝒏|
𝟐
𝟐
(√ √ 𝟑) +𝟏 . √ 𝟏 +( √𝟑 )
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
Vậy góc giữa 2 đường thẳng và là .
BÀI TẬP
7.8. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
và . và
( là các tham số).
Bài giải:
b) Đường thẳng có vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến .
Đường thẳng có vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến .
Gọi là góc giữa 2 đường thẳng và . Ta có
⃗
⃗
𝐜𝐨𝐬
𝒏
,
(
𝐜𝐨𝐬𝝋=¿
𝟏 𝒏𝟐) =¿
|
|
𝒏𝟏 . ⃗
𝒏𝟐|
|⃗
=¿
𝒏𝟏| .|⃗
𝒏𝟐|
|⃗
Vậy góc giữa 2 đường thẳng và là .
|𝟐.𝟑+ (− 𝟏) .𝟏|
=¿
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
√𝟐 +(−𝟏) . √ 𝟑 +𝟏
𝟓 √𝟐
=¿
√𝟓𝟎 𝟐
BÀI TẬP
7.9. Trong mặt phẳng toạ độ , cho điểm và đường thẳng .
a) Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với .
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và vng góc với .
Bài giải:
a) Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng , ta có:
𝒅 ( 𝑨, 𝚫 ) =¿
|𝟎−𝟐−𝟒|
=¿
𝟐 𝟐
𝟑
𝟐
√
√ 𝟏 +𝟏
Vậy khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là .
BÀI TẬP
7.9. Trong mặt phẳng toạ độ , cho điểm và đường thẳng .
a) Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với .
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và vng góc với .
Bài giải:
b) Đường thẳng có vectơ pháp tuyến .
Vì đường thẳng song song với nên là vectơ pháp tuyến của .
Lại có đi qua điểm nên phương trình tổng quát của đường thẳng là
hay .
BÀI TẬP
7.9. Trong mặt phẳng toạ độ , cho điểm và đường thẳng .
a) Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với .
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và vng góc với .
Bài giải:
c) Đường thẳng có vectơ pháp tuyến .
Vì đường thẳng vng góc với nên là vectơ pháp tuyến của .
Lại có đi qua điểm nên phương trình tổng quát của đường thẳng là
hay.
BÀI TẬP
7.10. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác có và .
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác .
b) Tính diện tích tam giác .
Bài giải:
a)Ta có:
có vectơ chỉ phương nên có
vectơ pháp tuyến
và đi qua điểm
nên phương trình tổng quát của là
Gọi là hình chiếu của lên
chính là độ dài .
hay .
Khi đó độ dài đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác
|
𝟑.𝟏−𝟓.𝟎+𝟏
|
𝑨𝑯=𝒅 ( 𝑨 , 𝑩𝑪 )=¿
𝟐
𝟐
=¿
𝟐 √ 𝟑𝟒
.
𝟏𝟕
BÀI TẬP
7.10. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác có và .
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác .
b) Tính diện tích tam giác .
Bài giải:
a)
𝟐 √ 𝟑𝟒
|
𝟑.𝟏−𝟓.𝟎+𝟏
|
.
𝑨𝑯=𝒅 ( 𝑨 , 𝑩𝑪 )=¿
𝟐
b) Ta có: .
√𝟑 +(−𝟓)
Diện tích tam giác là:
𝟐
=¿
𝟏𝟕
.
BÀI TẬP
7.11. Chứng minh rằng hai đường thẳng
và
vng góc với nhau khi và chỉ khi.
Bài giải:
Ta có:
+)
nên đường thẳng có vectơ pháp tuyến .
nên đường thẳng có vectơ pháp tuyến .
+)
Ta lại có:
′
𝒂 . 𝒂 +𝟏=𝟎 ⇔ 𝒂 . 𝒂 ′ =−𝟏 . (đpcm)
