E1 0d4 t1 bđt tiet 1x

LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 15
CHƯƠNG 4

LỚP

BẤT ĐẲNG THỨC

10

ĐẠI SỐ
Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1
BẤT ĐẲNG THỨC
I

NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

II

BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN

III

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

IV

BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI


LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 15
CHƯƠNG 4

BẤT ĐẲNG THỨC

Biến đổi
tương đương

GTLN (Max)
GTNN (Min)

CÁC
DẠNG
TOÁN
Dùng BĐT phụ
(Côsi, Bunhiacopxki, ……)

Chứng minh

BĐT


LỚP

10
I

ĐẠI SỐ

BÀI 15

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4

KHÁI NIỆM

BẤT: Không
BẤT
ĐẲNG
THỨC

BẤT ĐẲNG THỨC LÀ GÌ?
ĐẲNG THỨC: Các biểu thức
bằng nhau

Hai biểu thức
khơng bằng
nhau

LỚP

10
I

ĐẠI SỐ

BÀI 15
CHƯƠNG 4

KHÁI NIỆM   Các mệnh đề dạng hoặc được gọi là Bất đẳng thức.
Ví dụ  
Chú ý

II

BẤT ĐẲNG THỨC

,

 Ta còn gặp các mệnh đề dạng hoặc Các mệnh đề dạng này cũng được gọi
là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không
ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng hoặc là các bất đẳng thức ngặt.

BẤT ĐẲNG THỨC HỆ QUẢ, BẤT ĐẲNG THỨC TƯƠNG ĐƯƠNG
  Nếu mệnh đề "đúng thì ta nói BĐT là BĐT hệ quả của . Ta viết: .
   Nếu là hệ quả của và ngược lại thì hai BĐT tương đương nhau.
Ta viết: .

.

LỚP



10




ĐẠI SỐ

BÀI 15
CHƯƠNG 4

BẤT ĐẲNG THỨC

Ví dụ 1  Mệnh đề nào sau đây đúng với tùy ý?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
 th ì 𝑎<𝑐 .

  và

Đáp án A đúng.

•Đáp  á n  B là mệ nh  đề đả o c ủ a  đá p  á n  A

 

 

Chọn có dạng:

 1<5 ⇒ 1<6    
l
à m
ệ
nh
 đề sai.
6 <5

{

Đáp án B sai.
  Đáp án C: Chọn có dạng:

  3 >1 ⇒ 3 <2  l à m ệ nh  đề sai.

  Đáp án D: Chọn có dạng:

Đáp án C sai.
  3< 5 ⇒ 3 > 4  
5> 4

{1 <2

{

Đáp án D sai.

.


.

LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 15
CHƯƠNG 4

BẤT ĐẲNG THỨC

Ví dụ 2  Bất đẳng thức có bất đẳng thức tương đương là
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Câu A và C: Sai. Vì hai vế chưa thỏa điều kiện khơng âm.
 Câu B: Đúng. Vì
 

Câu D: Sai vì .


LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 15
CHƯƠNG 4

BẤT ĐẲNG THỨC

III TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
  Để chứng minh bất đẳng thức ta chỉ cần chứng minh Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu
thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất sau đây của bất đẳng thức

Điều kiện
𝑐 >0
𝑐 <0
𝑎 > 0,𝑐 > 0
n nguyên
dương
𝑎 >0

Nội dung
𝑎 < 𝑏 ⟺𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐
𝑎 < 𝑏 ⟺𝑎𝑐 < 𝑏𝑐
𝑎 < 𝑏 ⟺𝑎𝑐 > 𝑏𝑐

𝑎 < 𝑏 𝑣à 𝑐 < 𝑑 ⇒ 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑
𝑎 < 𝑏 𝑣à 𝑐 < 𝑑 ⇒ 𝑎𝑐 < 𝑏𝑑
2𝑛+1
2𝑛+1
𝑎 < 𝑏 ⟺𝑎
<𝑏
2𝑛
2𝑛
0 < 𝑎 < 𝑏 ⟺𝑎 < 𝑏
𝑎 < 𝑏 ⟺ξ 𝑎 < ξ 𝑏
3
3
𝑎 < 𝑏 ⟺ξ 𝑎 < ξ 𝑏

Tên gọi
Cộng hai vế của BĐT với một số
Nhân hai vế của BĐT với một số
Cộng hai vế của BĐT cùng chiều
Nhân hai vế của BĐT cùng chiều
Nâng hai vế của BĐT lên một
lũy thừa

Khai căn hai vế của một BĐT


LỚP

10

ĐẠI SỐ

Ví dụ 3

BÀI 15

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4

 Nếu thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A. .

B. .

C. .

D..

Lời giải
Cộng hai vế của BĐT với số - 4c
 Từ giả thiết, ta có

 ⇔

𝑎> 𝑏

  ⇔ 2 𝑎>2 𝑏 .

Nhân hai về của BĐT với một số dương

LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 15

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4

Ví dụ 4
 Cho số khác thỏa mãn và . Kết quả nào sau đây đúng nhất?

A.

B. .

C..

D. .

Lời giải
Cộng theo vế của hai BĐT cùng chiều
 Từ

 ⇒ 𝑎 +𝑐 <𝑏+ 𝑑

 

.

Cộng hai vế của BĐT với (– c – d)
Chuyển vế đổi dấu


LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 15
CHƯƠNG 4

BẤT ĐẲNG THỨC

CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa và tính chất
Phương pháp:  Để chứng minh , ta có thể thực hiện bởi một trong các hướng sau:
 

Hướng 1: Chứng
minh
.
Hướng
2: Thực

hiện phép biến đổi đại số để bất đẳng thức ban đầu trở thành bất đẳng thức

đúng.
Hướng 3: Xuất phát từ bất đẳng thức
đúng.
  Chú ý: Với hướng 1 và 2, thường là biến đổi thành các đại lượng không âm;
nếu thì phải chỉ ra xảy ra khi nào


LỚP

10

ĐẠI SỐ

Bài tập 1
 

BÀI 15

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4

 Cho là các số thực, chứng minh
 𝑏 ¿ ( 𝑎+𝑏 )

.

2

≥ 2 𝑎𝑏

Lời giải
a)  Ta có:
2
2
2
2
2
Hướng 1:  𝑎 +𝑏 ≥ 2 𝑎𝑏  ⇔ 𝑎 −2 𝑎𝑏+𝑏 ≥ 0  ⇔ ( 𝑎 −𝑏 ) ≥ 0
Hướng 2:  ( 𝑎 − 𝑏 ) ≥ 0  ⇔ 𝑎 −2 𝑎𝑏+𝑏 ≥ 0  ⇔ 𝑎
2

2

2

2

2

+ 𝑏 ≥2 𝑎𝑏

b) Ta có:
 ( 𝑎+𝑏 )

2

≥ 2 𝑎𝑏 

 

(ln đúng)


LỚP

ĐẠI SỐ

10

BÀI 15

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4

Bài tập 2
 Cho là các số thực, chứng minh .

Lời giải
Cách 2

Cách 1
Ta có:
2

Dựa vào Bài 1, ta có:  
2

2

2

2

 𝑎 +𝑏 +𝑐 ≥ 𝑎𝑏+ 𝑏𝑐 +𝑐𝑎
2

 ⇔ 2 ( 𝑎 + 𝑏 +𝑐 ) ≥ 2 ( 𝑎𝑏+ 𝑏𝑐 +𝑐𝑎 )
 0

(luôn đúng)
 

Vậy đúng.

2

2

2

 ⇒ 2 ( 𝑎 +𝑏 +𝑐 ) ≥2 ( 𝑎𝑏 +𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 )
 ⇔ ( 𝑎 2 +𝑏2 +𝑐 2 ) ≥ ( 𝑎𝑏+𝑏𝑐 +𝑐𝑎 )

(đpcm)

LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 15
CHƯƠNG 4

BẤT ĐẲNG THỨC

CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 2: Tìm GTLN-GTNN của một biểu thức.

Định nghĩa:
 Xét  có tập xác định .

  là GTLN của  trên 
  là GTNN của  trên  


LỚP

10

ĐẠI SỐ

Bài tập 3

BÀI 15

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4

 Cho các số thực , thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 
 

.
A..

B.. C.. D. .
Lời giải

Ta có
2
2
2
2
𝑎
𝑏
2
𝑎
2
𝑏
 
  𝑎
2

𝑎
𝑏
2
𝑏
𝑃= 2 + 2 −
−
−1 ¿
−
+1 + 2 −
+1 − 3
2
𝑏
𝑎
𝑏 𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
2
2
  𝑎
𝑏

(

¿

)(

)

(𝑏 ) (𝑎 )
−1 +

−1 −3  

.

  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

 

Vậy
khi .

 

0

 

 0
 −3=− 3


LỚP

10

ĐẠI SỐ

BÀI 15

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4

Bài tập 2  Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
 A.

B. .

C..

D..
Lời giải
  ¿ 𝑥 +3 ≥ 0  

{

nên TXĐ  𝐷=[ −3 ; 6 ]

Hàm số xác định khi ¿ 6 − 𝑥 ≥ 0
2
 
Ta có 𝑓 ( 𝑥 )=9+2

  Vì

❑

𝑓
(
𝑥
)
≥
3
.
 
nên suy ra   𝑓 ( 𝑥 ) ≥ 9 →
2

 Dấu xảy ra
  Lại có

√ ( 𝑥+3 ) ( 6 − 𝑥 )
hoặc

 

 

Vậy
 

2

3
81
2
 2 √ ( 3+𝑥 )( 6 − 𝑥 )  ¿ 2 √ − 𝑥 + 3 𝑥 +18 ¿ 2 −(𝑥 − ) +

2
4

√

(
)
❑
𝑓
𝑥
≤ 3 √2 .
 
nên suy ra   𝑓 ( 𝑥 ) ≤18 →
 ⇔ 𝑥 − 3 =0  ⇔ 𝑥= 3 .
 
Vậy
 Dấu xảy ra
2
2
2

 

 ≤ 2 . 9
 
2

Vậy

LỚP

10

ĐẠI SỐ

Bài tập 3

BÀI 15

BẤT ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4

 Cho hai số thực thỏa mãn .

Tập giá trị của biểu thức là:
 

A.

B. . C. .
D. .
Lời giải

Ta có
2
 ( 𝑥 − 𝑦 ) ≥ 0  

 

 
2
 
(
𝑥
+
𝑦
)
2
2
2
 ( 𝑥+ 𝑦 ) =𝑥 + 𝑦 + 2 𝑥𝑦  ≥ 4 𝑥𝑦 ⇔ 𝑥𝑦 ≤
4
 

 

(
𝑥
+
𝑦
)
 
2
 𝑥2 + 𝑦 2 +𝑥𝑦=3  ⇔ ( 𝑥 + 𝑦 )2 − 3 − 𝑥𝑦=0 ⇔ ( 𝑥 + 𝑦 ) − 3= 𝑥𝑦 ≤
4
2
( 𝑥+ 𝑦 )
 

2
⇔ (𝑥 + 𝑦 ) − 3 ≤
4
 
Suy ra
  𝑥= 𝑦 =−1
Dấu bằng xảy ra khi
𝑥= 𝑦 =1

[

2