Tổ 12 đợt 12 kiểm tra giữa học kỳ ii cẩm giàng

Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

TRƯỜNG THPT CẨM GIÀNG

ĐỢT 12T 12

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2022-2023
MƠN: TỐN – LỚP 12
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Mã đề thi: 102

Họ và tên: …………………..………………………SBD:…………………….

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

PHẦN I: ĐỀ BÀI
1  5i
(2  i) z 
7  10i
2
1 i
Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của số phức w z  20  3i là
A. 3 .

B. 5 .
C. 25 .
D. 4 .
2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y 2 x  1 và đồ thị hàm số y  x  x  3
1
1
1
1

A. 8 .
B. 6 .
C. 6 .
D. 7 .



Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba véctơ a (3;0;1), b (1;  1;  2), c (2;1;  1) . Tính
  
T a.(b  c )
A. T 6 .
B. T 9 .
C. T 3 .
D. T 0 .
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) có phương trình

3 x  5 y  2 z  10 0 , một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) là




n

(3;5;
2)
n

(3;

5;
2)
n
A.
.
B.
C. (3;5;  2) .


n
D. (3;  2;5) .

Câu 5.

Trong mặt không gian tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A(  2;1;  3), B(5;3;  4), C (6;  7;1) .
Tọa độ trọng tâm G của tam giác là
A. G (3;  1;  2) .
B. G ( 3;1; 2) .
C. G (6;  7;1) .
D. G (3;1;  2) .

Câu 6.

Cơng thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  f ( x) và hàm số
y  g ( x ) liên tục trên đoạn  a; b  và hai đường thẳng x a; x b là
b

A.

S  f  x   g  x  dx
a

b

.

B.

b

C.
Câu 7.

S  f  x   g  x   dx
a

S   f  x   g  x  dx
a

.

b

.

D.

S  f  x   g  x   dx
a

.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Số phức z a  bi được gọi là số thuần ảo khi a 0 .
B. Số i được gọi là đơn vị ảo.
C. Số 0 không phải là số thuần ảo.
D. Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0.

Câu 8.

Câu 9.

z  2  i    3i 
Tìm số phức liên hợp của số phức
A. z 3  6i .
B. z  3  6i .
C. z  3  6i .

D. z 3  6i .

Cho số phức z 3  2i . Tìm số phức w iz  z .
A. w  5  5i .

B. w  5  5i .
C. w 5  5i .

D. w 5  5i .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1


Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC

Câu 10.

 S  có phương trình: x  y  z  2 x  4 y  6 z  10 0 .
Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu
 S  bằng:
Bán kính của mặt cầu
A. R 4 .
B. R 3 2 .
C. R 1 .
D. R 2 .
1

Câu 11.

ĐỢT 12T 12
2

Cho

A. 4.

3

f  x dx  1; f  x dx 5
0

2

2

3

. Tính

f  x dx

B. 6.

.
C. 5.

D. 1.

B. I 0.

C. I 2.

D. I  2.

0

1



Câu 12.
Câu 13.

I cosxdx

0
Tính
A. I  1.

Trong không gian với hệ toa độ Oxyz , cho các phương trình sau, phương trình nào khơng là
phương trình của mặt cầu?
2
2
2
2
2
2
A. 2 x  2 y  2 z  4 x  2 y  2 z  16 0.
B. 3x  3 y  3z  6 x  12 y  24 z  16 0.
2
2
2
C. x  y  z  2 x  2 y  8 0.

D.

 x 1

2

2

2

  y  2    z  1 9.


A  1;1;  2 
B  2; 2;1
Oxyz
Câu 14. Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vecto AB có tọa độ là
 3;3;  1 .
  1;  1;  3 .
 3;1;1 .
 1;1;3 .
A.
B.
C.
D.

Câu 15.

E  1;1;  1
Trong không gian Oxyz , cho điểm
. Gọi A, B và C là hình chiếu vng góc của E
 ABC  ?
trên các trục tọa độ Ox, Oy , Oz . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
A.

N  0;1;1

.

B.

P  1;  1;1

.

C.

M  2;1;  1

.

D.

Q  1;1;1

.

 T  giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại x a , x b, a  b . Cắt
Câu 16. Cho vật thể
 T  bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm x, (a x b) ta thu được thiết diện
vật thể
có diện tích là S ( x) . Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, thể tích của vật thể
T 

được
b

A.

b

 S  x dx
a

B.

S  x dx
a

b

C.

b

 2 S  x dx
a

D.

 S 2  x dx
a

Câu 17. Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó. Trong các kết luận sau, kết
luận nào đúng?
A.

z  1

B. z   .

.

C. z là một số thuần ảo

D.

z 1

.

z = 3( 2 + 3i ) - 4( 2i - 1)
Câu 18. Tìm phần ảo của số phức
.
A. 7.
B. 10.
C. 1.

D. 2.

2
Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = 3x , trục hoành và hai đường thẳng
x = 0, x = 1
bằng S . Giá trị của S là

A. 2.

B. 3.

C. 6.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

D. 1.
Trang 2


Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

ĐỢT 12T 12

A  2;  1;3 , B  4;0;1
C   10;5;3
Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
và
. Véctơ nào dưới đây
 ABC  ?

là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng




n  1;  2;2 
n  1; 2; 2 
n  1;8;2 
n  1; 2;0 
A. 2
.
B. 3
.
C. 4
.
D. 1
.
Câu 21. Số phức z 5  6i có phần thực bằng
A. 5 .

C.  6 .

B.  5 .

D. 6 .

A  1,5,  2  B  3,1, 2 
Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
,
. Viết phương trình của mặt phẳng

trung trực của đoạn thẳng AB :
A. x  2 y  2 z  8 0 .

B. x  2 y  2 z  4 0 .

C. x  2 y  2 z  8 0 .

D. 2 x  3 y  4 0 .

Câu 23: Cho số phức z  2  3i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm M biểu diễn số phức z là điểm
nào trong các điểm sau
A.

M  3,  2 

.

B.

M  2,  3

.

M   2,3

C.

.

D.

M  2,3

.


2

Câu 24. Cho

I sin 2 x cos xdx
0

và đặt u sin x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1

A.

1

I 2 udu
0

1
2

.

B.

I u du
0

0

2

.

I  u du

C.

0

.

D.

I  u 2 du
1

.

1

Câu 25. Biết rằng tích phân

I  3 x  1 e x dx a  b.e

0

A. 20 .

, tích ab bằng

B.  1 .

C.  4 .

D.  2 .

f  x
Câu 26. Cơng thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn

 a; b  , trục hoành và hai đường thẳng
b

A.

x a , x b là

b

S  f  x  dx
a

.

B.

b

S  f 2  x  dx
a

.

C.

b

S   f  x  dx
a

.

D.

S f  x  dx
a

 2 x  3 yi    1  3i  x  6i , với i là đơn vị ảo.
Câu 27. Tìm hai số thực x và y thỏa mãn
A. x 1 ; y  1 .

B. x  1 ; y  3 .

C. x 1 ; y  3 .

D. x  1 ; y  1 .

Câu 28. Giả sử
b

A.

C.

f  x

là hàm số liên tục trên  và các số thực a  b  c . Mệnh đề nào sau đây là sai?
a

c

f  x  dx f  x  dx  f  x  dx
a

b

a

c

b

c

f  x  dx f  x  dx  f  x  dx
a

a

b

b

.

B.

a

b

.

D.

a

cf  x  dx  c f  x  dx
b

c

f  x  dx f  x  dx 
a

a

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

.

c

f  x  dx
b

.

Trang 3


Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

ĐỢT 12T 12
10

 0;10 
Câu 29. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 
thỏa mãn
2

10

0

6

P f ( x )dx  f ( x )dx

0

6

f ( x )dx 3

,2

. Tính

.

B. P 7 .

A. P 4 .

f ( x )dx 7

C.  6 .

D. 10 .

A  2;  1;5  , B  5;  5;7 
M  x ; y ;1
Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm

và
. Với giá trị nào
của x và y thì 3 điểm A, B, M thẳng hàng.
A. x 4 và y 7 .

B. x 4 và y  7 .

C. x  4 và y  7 . D. x  4 và y 7 .

Câu 31. Cho hai số phức z1 1  i và z2 1  i . Kết luận nào sau đây là sai?

A.

z1  z2  2

.

B.

z1  z2 2

z1
i
z
2
C.
.

.

D. z1.z2 2 .
2

2

2

( S ) :  x  1   y  2    z  1 16
Câu 32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu
. Tìm

 S .
tọa độ tâm I của mặt cầu
A.

I  1;  2;  1

.

B.

I   1;  2;  1

.

C.

I  1;  2;1

.

D.

I   1; 2;1

.

m

Câu 33. Tổng tất cả các số m thỏa mãn
A. 1 .
Câu 34.

 2 x  5 dx 6
0

là
C.  5 .

B. 4 .

D.  3 .

 P  : x  2 y  6 z  1 0 đi qua điểm nào dưới đây?
[Trong không gian Oxyz , mặt phẳng
A.

B   3; 2;0 

.

B.

D  1; 2;  6 

.

C.

A   1;  4;1

.

D.

C   1;  2;1

.

D.


b   2;6;8 

.


a  1;3; 4 




b
a
Câu 35. Có véctơ
, tìm véctơ cùng phương với véctơ .



b   2;  6;  8 
b   2;  6;8 
b  2;  6;  8 
A.
.
B.
.
C.
.
Câu 36.

a  t  2t  t 2  m / s 2 
Một vật đang chuyển động với vận tốc 5m / s thì tăng tốc với gia tốc
.
Tính qng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
A. 30m .

Câu 37.

B. 35m .

C. 210m .

D. 48m .

Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
là đường thẳng d . Khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng d là bao nhiêu?

A.

d  O, d   10

.

B.

d  O, d  2 10

.

C.

d  O, d  5

.

D.

z  z  2  6i

d  O, d  

 S  đi qua bốn điểm
Câu 38. Trong hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4

10
2


Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

A   1;2;0  , B   2;1;1 , C  1;1;0  , D  0;  1;2 

A.

59
4 .

có bán kính là:

59
2 .

B.

ĐỢT 12T 12

59
C. 2 .

59
2

D.

Câu 39. Cho số phức z thỏa | z  1  i |2 . Chọn phát biểu đúng.
A. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường trịn có bán kính bằng 4 .
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol.
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường trịn có bán kính bằng 2 .
z z  4  i   2i  5  i  z
Câu 40. Có bao nhiêu số phức z , thỏa mãn 
.

B. 3 .

A. 4 .

C. 2 .

D. 1 .
3

Câu 41. Cho hàm số
giá trị của
A. 10.

f  x

f  3

thỏa mãn

f  0  1 f  x 
,

 0;3
liên tục trên đoạn

và

f  x  dx 9
0

. Tính

.
B. 9.

C. 3.

D. 11.
A  3;  4;0  B  0; 2; 4  C  4; 2;1
Câu 42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm
,
,
. Tìm
Ox
AD


BC
toạ độ điểm D thuộc trục
sao cho
.
 D  0;0;0 
 D  0;0;0 


D   6;0;0 
D  6;0;0 
D  0;  6; 0 
D  6; 0;0 


A.
.
B. 
.
C.
.
D.
.
m
Câu 43. Giá trị của tham số
để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
2
y 3x  2mx  m  1 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x 2 đạt giá trị nhỏ nhất thuộc
khoảng nào sau đây?

A.

  2;0  .

B.

 0; 2  .

C.

 2;   .

Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu đi qua ba điểm
P : x  y  z  2 0
và có tâm thuộc mặt phẳng  
có bán kính là
A. 1 .
B. 2 .
C. 4 .

Câu 45. Cho hàm số
A. 12 .

f  x

f  2  16

liên tục trên  và thoả mãn
B. 36 .
C. 20 .

,

  2;  1 .
A  2;0;1 B  1;0;0  C  1;1;1
,
,
D.

D. 3 .

1

2

f  2 x dx 2

xf  x dx

. Tính 0
.
D. 28 .
P  z 3  3z  z  z  z
z
.
z

1
z
Câu 46. Cho số phức thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
13
15
3
A. 4 .
B. 4 .
C. 4 .
D. 3 .
2
2
2
( S ) : x  2    y  1   z  1 9
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
và
M  x0 ; y0 ; z0    S 
A  x0  2 y0  2 z0 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó x0  y0  z0
điểm
sao cho
bằng
A. 1 .
B. 2 .
C.  1 .
D.  2 .
0

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5

Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

ĐỢT 12T 12

2

3

f  x  dx 16

Câu 48. Cho biết  1
A. P 4054 .

P  f  3  2 x   2023 dx

. Tính giá trị của
B. P 4016 .
z  2  4i  z  2i

Câu 49. Xét số phức z thoả mãn
A. 8 .
B. 2 2 .

0

.

C. P 4076 .

D. P 4038 .
z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
C. 4 .
D. 10 .

Câu 50. Thể tích của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol
 d  : y 2 x quay quanh trục Ox bằng
thẳng
2

A.

2

  2 x  x 2 dx
0

2

C.

.

B.

 4 x 2 dx   x 4 dx
0

0

0

0

2

.

D.

y  x 2 và đường

2

 4 x 2 dx   x 4dx

2

 P :

.

2

  x 2  2 x  dx
0

.

PHẦN II: BẢNG ĐÁP ÁN
1.B

2.B

3.A

4.C

5.A

6.A

7.C

8.D

9.B

10.D

11.B

12.B

13.A

14.D

15.D

16.B

17.D

18.C

19.D

20.A

21.A

22.B

23.C

24.B

25.C

26.A

27.B

28.A

29.A

30.D

31.A

32.A

33.C

34.A

35.A

36.C

37.A

38.B

39.D

40.B

41.A

42.B

43.A

44.A

45.D

46.C

47.C

48.A

49.B

50.C

Câu 1.

PHẦN III: LỜI GIẢI CHI TIẾT
1  5i
(2  i) z 
7  10i
1 i
[Mức độ 2] Cho số phức z thỏa mãn
. Môđun của số phức
2
w z  20  3i là
A. 3 .
B. 5 .
C. 25 .
D. 4 .
Lời giải
Fb tác giả: Tân Tiến
1  5i
7  10i

1 i
 (2  i) z  3  2i 7  10i
 (2  i) z 4  8i

(2  i ) z 



z

4  8i
4i
2 i

2
 w (4i )  20  3i 4  3i .

Vậy | w |5

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 6


Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

Câu 2.

ĐỢT 12T 12

[Mức độ 1] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y 2 x  1 và đồ thị hàm số
y x 2  x  3
1
1
1
1

A. 8 .
B. 6 .
C. 6 .
D. 7 .
Lời giải
Fb tác giả: Tân Tiến

 x 1
2 x 1 x 2  x  3  x 2  3 x  2 0  
 x 2
Phương trình hồnh độ giao điểm:
2
2
1
 S  x 2  x  3  2 x  1dx  x 2  3x  2 dx  .
1
1
6

Câu 3.





[Mức độ 1] Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba véctơ a (3; 0;1), b (1;  1;  2), c (2;1;  1) . Tính
  
T a.(b  c )
A. T 6 .
B. T 9 .
C. T 3 .
D. T 0 .

Lời giải
Fb tác giả: Tân Tiến
 
Ta có: b  c (3;0;  3)  T 3.3  0.0  1.(  3) 6.

Câu 4.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) có phương trình
3 x  5 y  2 z  10 0 , một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) là




n

(3;5;
2)
n

(3;


5;
2)
n

(3;5;

2)
n
A.
.
B.
C.
.
D. (3;  2;5) .
Lời giải
FB tác giả: Nguyễn Mạnh
mặt phẳng ( ) có phương trình ax  by  cz  d 0 có một véc tơ pháp tuyến là
Ta
 có
n (a; b; c)
Suy ra chọn câu C

Câu 5.

[Mức độ 2] Trong mặt không gian tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC
A(  2;1;  3), B(5;3;  4), C (6;  7;1) . Tọa độ trọng tâm G của tam giác là
A. G (3;  1;  2) .
B. G ( 3;1; 2) .
C. G (6;  7;1) .
D. G (3;1;  2) .

với

Lời giải
FB tác giả: Nguyễn Duy Nam
Xét tam giác ABC có tọa độ trọng tâm G là :
 2 56

x A  xB  xC

x

x

G

 G
3
3


1 3    7

y A  yB  yC

  yG 
 yG 
 xG 3
3
3





 3    4   1   yG  1
z A  z B  zC


 zG 
 z  2
 zG 
3
3

 G

Vậy tọa độ trọng tâm

G  3;  1;  2 

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7


Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

Câu 6.

ĐỢT 12T 12

[Mức độ 1] Cơng thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y  f ( x ) và hàm số y  g ( x) liên tục trên đoạn  a; b và hai đường thẳng x a; x b là
b

A.

S  f  x   g  x  dx
a

b

.

B.

S   f  x   g  x  dx
a

b

C.

S  f  x   g  x   dx
a

.

b

.

D.

S  f  x   g  x   dx
a

.

Lời giải
FB tác giả: Nguyễn Duy Nam
b

Theo lý thuyết cơng thức diện tích hình phẳng ta có :
Câu 7.

S  f  x   g  x  dx
a

[Mức độ 2] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Số phức z a  bi được gọi là số thuần ảo khi a 0 .
B. Số i được gọi là đơn vị ảo.
C. Số 0 không phải là số thuần ảo.
D. Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0.
Lời giải
FB tác giả: Nguyễn Duy Nam
Số 0 vừa là số thực vừa là số thuần ảo

Câu 8.

z  2  i    3i 
[Mức độ 1] Tìm số phức liên hợp của số phức
A. z 3  6i .
B. z  3  6i .
C. z  3  6i .

D. z 3  6i .

Lời giải
FB tác giả: Từ Vũ Hảo
Ta có:
Câu 9.

z  2  i    3i  3  6i  z 3  6i

[Mức độ 2] Cho số phức z 3  2i . Tìm số phức w iz  z .
A. w  5  5i .
B. w  5  5i .
C. w 5  5i .

D. w 5  5i .

Lời giải
FB tác giả: Đỗ Tấn Bảo
Ta có

w iz  z i  3  2i    3  2i  3i  2  3  2i  5  5i
.

 S  có phương

Câu 10. [Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , mặt cầu
x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  10 0 . Bán kính của mặt cầu  S  bằng:
A. R 4 .
B. R 3 2 .
C. R 1 .
D. R 2 .

trình:

Lời giải
FB tác giả: Nguyen Lan
Ta có

 S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  10 0

2

2

2

  x  1   y  2    z  3 4

.

Vậy bán kính R 2 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8

Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC
1

Câu 11. [Mức độ 1] Cho
A. 4.

ĐỢT 12T 12

3

f  x dx  1; f  x dx 5
0

0

B. 6.

3

f  x dx

. Tính 1
C. 5.

.
D. 1.

Lời giải
FB tác giả: Hưng Trần

3

Ta có:

1

f  x dx f  x dx  f  x dx
0

0

3



3

1

3

1

f  x dx f  x dx 
1

0

f  x dx 5    1 6
0

.



Câu 12. [Mức độ 2] Tính
A. I  1.

I cosxdx
0

B. I 0.

C. I 2.

D. I  2.

Lời giải
FB tác giả: Thu Ha Dang


Ta có :

I cosxdx s inx
0


sin   sin 0 0.
0

Câu 13. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ toa độ Oxyz , cho các phương trình sau, phương trình nào
khơng là phương trình của mặt cầu?
2
2
2
2
2
2
A. 2 x  2 y  2 z  4 x  2 y  2 z  16 0.
B. 3x  3 y  3z  6 x  12 y  24 z  16 0.
2
2
2
C. x  y  z  2 x  2 y  8 0.

x  1
D. 

2

2

2

  y  2    z  1 9.

Lời giải
FB tác giả: Thu Ha Dang
Xét phương án A
2 x 2  2 y 2  2 z 2  4 x  2 y  2 z 16 0  x 2  y 2  z 2  2 x  y  z  8 0

Ta có :

 a 1

b  1

2

c  1

2
 d 8


a 2  b 2  c 2  d 

13
0
2

Vậy A khơng phải là phương trình mặt cầu.

A  1;1;  2 
B  2; 2;1
Câu 14. [Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
. Vecto AB có tọa
độ là
 3;3;  1 .

  1;  1;  3 .
 3;1;1 .
 1;1;3 .
A.
B.
C.
D.

Lời giải
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9


Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC

Ta có:

A  1;1;  2 

ĐỢT 12T 12



và

B  2; 2;1  AB  1;1;3

.

E  1;1;  1
Câu 15. [Mức độ 2] Trong không gian Oxyz , cho điểm
. Gọi A, B và C là hình chiếu vng
 ABC  ?
góc của E trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
A.

N  0;1;1

.

B.

P  1;  1;1

.

C.

M  2;1;  1

.

D.

Q  1;1;1

.

Lời giải

Ta có:
Do

E  1;1;  1

vậy hình chiếu vng góc của E trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt là

A  1;0;0  , B  0;1;0 

và

C  0;0;  1

Vậy phương trình mặt phẳng
Nên

Q  1;1;1

.

 ABC 

thuộc mặt phẳng

x y z
 
1  x  y  z  1 0
là 1 1  1
.

 ABC  .

 T  giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại x a ,
Câu 16. [Mức độ 2] Cho vật thể
x b, a  b . Cắt vật thể  T  bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm x, ( a x b) ta thu
được thiết diện có diện tích là S ( x) . Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, thể
 T  được
tích của vật thể
b

A.

b

 S  x dx
a

B.

b

S  x dx


C.

a

2

b

S  x dx

D.

a

 S 2  x dx
a

Lời giải
b

Áp dụng cơng thức tính thể tích vật thể

V S ( x )dx .
a

Câu 17. [Mức độ 2] Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó. Trong các kết
luận sau, kết luận nào đúng?
A.

z  1

.

B. z   .

C. z là một số thuần ảo

D.

z 1

.

Lời giải
1
2
 z  z.z 1  z 1  z 1.
Ta có z

Câu 18. [Mức độ 2] Tìm phần ảo của số phức
A. 7.
B. 10.

z = 3( 2 + 3i ) - 4( 2i - 1)

.

C. 1.

D. 2.

Lời giải
FB tác giả: Ycdiyturb Thanh Hảo
Ta có:

z = 3( 2 + 3i ) - 4( 2i - 1) = 10 + i

.

Khi đó phần ảo của số phức đã cho là 1.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 10


Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

ĐỢT 12T 12
2

Câu 19. [Mức độ 2] Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = 3x , trục hoành và hai
x = 0, x = 1
đường thẳng
bằng S . Giá trị của S là
A. 2.

B. 3.

C. 6.

D. 1.

Lời giải
FB tác giả: Ycdiyturb Thanh Hảo
1

S = ò 3x2 dx = 1
0
Theo giả thiết ta có:
.

A  2;  1;3 , B  4;0;1
C   10;5;3 
Câu 20. [Mức độ 2] Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
và
. Véctơ
 ABC  ?
nào dưới đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng




n4  1;  2;2 
n2  1; 2; 2 
n3  1;8; 2 
n1  1; 2;0 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải


FB tác giả: Vũ Giáp


AB  2;1;  2 
AC   12;6;0 
Ta có:
và

  AB; AC   12; 24; 24  12  1; 2; 2 

 n2  1; 2; 2 

là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

 ABC  .

Câu 21. [Mức độ 1] Số phức z 5  6i có phần thực bằng
A. 5 .

C.  6 .

B.  5 .

D. 6 .

Lời giải
FB tác giả: Vũ Giáp
Ta có: Số phức z 5  6i  phần thực a 5 .

A  1,5,  2  B  3,1, 2 
Câu 22: [Mức độ 2] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
,
. Viết phương trình
của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB :
A. x  2 y  2 z  8 0 .

B. x  2 y  2 z  4 0 .

C. x  2 y  2 z  8 0 .

D. 2 x  3 y  4 0 .
Lời giải

AB qua trung điểm
Phương trình của
 mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB  2,  4, 4  2  1,  2, 2 
nhận véc tơ
là VTPT: x  2 y  2 z  4 0 .

I  2,3,0 

của AB và

Câu 23: [Mức độ 2] Cho số phức z  2  3i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm M biểu diễn số phức
z là điểm nào trong các điểm sau
A.

M  3,  2 

.

B.

M  2,  3

.

C.

M   2,3

.

D.

M  2,3

.

Lời giải

M   2,3
Điểm M biểu diễn số phức z  2  3i là
.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 11

Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

ĐỢT 12T 12


2

I sin 2 x cos xdx

Câu 24. [Mức độ 2] Cho
1

A.

và đặt u sin x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

0

1

I 2 udu
0

1
2

.

B.

I u du
0

.

C.

I  u 2 du
0

0

.

D.

I  u 2 du
1

.

Lời giải
FB tác giả: Lê Thanh Quang
Đặt u sin x  du cos xdx
x 0  u 0


x   u 1
2

1

Từ đó ta có

I u 2 du
0

.
1

I  3x  1 e x dx a  b.e

Câu 25. [Mức độ 2] Biết rằng tích phân
A. 20 .

0

B.  1 .

, tích ab bằng

C.  4 .

D.  2 .

Lời giải
FB tác giả: Lê Thanh Quang

u 3 x  1



dv e x dx

Đặt

 du 3dx

x
v e

1

1

1

I  3 x  1 e x dx  3 x  1 e x  3e x dx
0

0

0

1

2e  1  3e x 4  e
0

Vậy a 4, b  1  ab  4 .

f  x
Câu 26. [Mức độ 1] Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
liên
tục trên đoạn

 a; b , trục hoành và hai đường thẳng

b

A.

b

S  f  x  dx
a

.

B.

b

S  f 2  x  dx
a

x a , x b là

.

C.

S   f  x  dx
a

b

.

D.

S f  x  dx
a

Lời giải
FB tác giả: Trà My
b

Ta có:

S  f  x  dx
a

.

 2 x  3 yi    1  3i  x  6i , với i là đơn vị ảo.
Câu 27. [Mức độ 2] Tìm hai số thực x và y thỏa mãn
A. x 1 ; y  1 .

B. x  1 ; y  3 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 12


Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

C. x 1 ; y  3 .

ĐỢT 12T 12

D. x  1 ; y  1 .
Lời giải
FB tác giả: Trà My

Xét

 2 x  3 yi    1  3i  x  6i   2 x 1   3 y  3 i x  6i

2 x  1 x
 x  1


  3 y  3 6
 y  3 .
 x  1

Vậy  y  3 .

f  x

Câu 28. [Mức độ 1] Giả sử
đây là sai?
b

A.

C.

a

là hàm số liên tục trên  và các số thực a  b  c . Mệnh đề nào sau
c

b

f  x  dx f  x  dx  f  x  dx
a

b

a

c

b

c

a

cf  x  dx  c f  x  dx

B.

a

b

f  x  dx f  x  dx  f  x  dx
a

.

b

.

a

b

c

c

f  x  dx f  x  dx 

D.

a

.

a

f  x  dx
b

.

Lời giải
FB tác giả: Trà My
a

c

c

f  x  dx  f  x  dx f  x  dx

Ta có:

b

a

b

nên A sai.

10

 0;10 
Câu 29. [Mức độ 2] Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 
thỏa mãn

Tính

2

10

0

6

P f ( x )dx  f ( x )dx

0

6

f ( x )dx 3

,2

.

.

B. P 7 .

A. P 4 .

f ( x)dx 7

C.  6 .

D. 10 .

Lời giải
FB tác giả: Vũ Thị Lương

Ta có

10

2

6

10

0

0

2

6

f ( x )dx f ( x )dx  f ( x )dx  f ( x )

10

Thay

f ( x )dx 7
0

(1)

6

và

2

10

0

6

f ( x )dx 3
2

7 f ( x )dx  3  f ( x )dx

vậy

vào (1) ta được
2

10

0

6

P f ( x )dx  f ( x )dx 7  3 4

.

A  2;  1;5  , B  5;  5; 7 
M  x ; y ;1
Câu 30. [Mức độ 2] Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
và
.
Với giá trị nào của x và y thì 3 điểm A, B, M thẳng hàng.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 13


Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

A. x 4 và y 7 .

B. x 4 và y  7 .

ĐỢT 12T 12

C. x  4 và y  7 . D. x  4 và y 7 .

Lời giải
FB tác giả: Hồng Huệ



AB  3;  4; 2 
Ta có

AM  x  2; y  1;  4 
và

 x  4
x  2 y 1  4



A, B, M thẳng hàng  AB cùng phương AM  3
4
2   y 7 .




Câu 31. [ Mức độ 1] Cho hai số phức z1 1  i và z2 1  i . Kết luận nào sau đây là sai?

A.

z1  z2  2

.

B.

z1  z2 2

z1
i
z
2
C.
.

.

D. z1.z2 2 .

Lời giải
FB tác giả: Trần Thị Thanh Trang
Ta có:

z1  z2 2i  z1  z2 2

Câu 32. [Mức

độ

1]

Trong

2

. Vậy câu A sai.

không

2

2

( S ) :  x  1   y  2    z  1 16

A.

I  1;  2;  1

.

gian

với

toạ

độ

Oxyz ,

cho

mặt

cầu

 S .
. Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu

I   1;  2;  1

B.

hệ

.

C.

I  1;  2;1

.

D.

I   1; 2;1

.

Lời giải
Fb tác giả: Lê Thị Như Quỳnh
2

Mặt cầu

2

2

( S ) :  x  1   y  2    z  1 16

có tọa độ tâm

I  1;  2;  1

. Chọn A.

m

Câu 33. [Mức độ 2] Tổng tất cả các số m thỏa mãn
A. 1 .

 2 x  5 dx 6
0

là

C.  5 .

B. 4 .

D.  3 .

Lời giải
FB tác giả: Nguyễn Quỳnh Châu
m

Ta có

 2 x  5 dx  x
0

2

 5x 

m
0

 m 1

 m  6 .
m 2  5m . Suy ra m 2  5m 6
m

Vậy tổng tất cả các giá trị của m thỏa mãn
Câu 34.

 2 x  5 dx 6
0

là  5 .

 P  : x  2 y  6 z  1 0 đi qua điểm nào dưới
[Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , mặt phẳng
đây?
A.

B   3; 2;0 

.

B.

D  1; 2;  6 

.

C.

A   1;  4;1

.

D.

C   1;  2;1

.

Lời giải.
FB tác giả: Maison Pham
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 14


Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

ĐỢT 12T 12

Thay tọa độ các điểm đã cho vào phương trình mặt phẳng ta được: xB  2 yB  6 zB  1 0 .
Vậy mặt phẳng

 P

đi qua điểm B .

Câu 35. [ Mức độ 1] Có véctơ

b   2;  6;  8 
A.
.


a  1;3; 4 



, tìm véctơ b cùng phương với véctơ a .



b   2;  6;8 
b  2;  6;  8 
b   2;6;8 
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
FB tác giả: Nguyễn Văn Đệ

Dễ thấy
Câu 36.



b  2a   2;  6;  8 


a
cùng phương với véctơ .

[Mức độ 2] Một vật đang chuyển động với vận tốc 5m / s thì tăng tốc với gia tốc

a  t  2t  t 2  m / s 2 

. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ lúc

bắt đầu tăng tốc.
A. 30m .

B. 35m .

C. 210m .

D. 48m .

Lời giải
FB tác giả: Phạm Anh Tuấn
t3
v  t  a  t  dt  2t  t  dt t   C
3
Ta có
.
2

v  0  5  C 5

Mà

Nên

v  t  t 2 

2

.

t3
5
3
.

Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là
6

6

6



 t3 t4

t3
s v  t  dt  t 2   5  dt    5t  210m
3

 3 12
0
0
0
.
Câu 37.

[Mức độ 2] Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

z  z  2  6i

A.

là đường thẳng d . Khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng d là bao nhiêu?

d  O, d   10

.

B.

d  O, d  2 10

.

C.

d  O, d  5

.

D.

d  O, d  

10

2

Lời giải
FB tác giả: Nguyễn Út

z x  yi  x, y   
Gọi số phức z có dạng
.
z  z  2  6i  x  yi  x  yi  2  6i  x  yi  x  2   y  6  i
Khi đó



x2  y2 

 x  2

2

2

2

2

  y  6   x 2  y 2  x  2    y  6   x  3 y  10 0

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 15

Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

 d : x  3 y  10 0

Vậy

d  O, d   10

 d  O, d  

0  3.0  10
12  32

ĐỢT 12T 12

 10
.

.

 S  đi qua bốn điểm
Câu 38. [Mức độ 2] Trong hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu
A   1;2;0  , B   2;1;1 , C  1;1;0  , D  0;  1; 2 

A.

59
4 .

59
2 .

B.

có bán kính là:

59
C. 2 .

D.

59
2

Lời giải
FB tác giả: Khánh Ly Vũ
Phương trình mặt cầu

 S

 S

A   1;2;0  , B   2;1;1 , C  1;1;0  , D  0;  1;2 

đi qua bốn điểm

2
2

2
có dạng x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0

nên ta có hệ sau:

1

a  2
1  4  2a  4b  d 0

5
 4  1  1  4a  2b  2c  d 0

b 

2

1

1

2
a

2
b

d

0



7
1  4  2b  4c  d 0
c 
2

d 4
2

2

2

59
 1  5  7
R         4 
2 .
 2  2  2
Bán kính mặt cầu
Câu 39. [Mức độ 2] Cho số phức z thỏa | z  1  i |2 . Chọn phát biểu đúng.
A. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường trịn có bán kính bằng 4 .
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol.
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường trịn có bán kính bằng 2 .
Lời giải
FB tác giả: Đức Thẩm
Gọi

z x  yi  x; y   

2

, ta có

2

| z  1  i |2   x  1   y  1 4

.

I  1;  1
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường trịn tâm
có bán kính bằng 2 .
z z  4  i   2i  5  i  z
Câu 40. [Mức độ 3] Có bao nhiêu số phức z , thỏa mãn 
.

A. 4 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
FB tác giả: Hồng Nhung Trần
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 16


Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

ĐỢT 12T 12

z  z  4  i   2i  5  i  z  z z  4 z  z i  2i 5 z  iz  z z  5 z  iz 4 z  z i  2i
 z  z  5  i  4 z   z  2  i

Lấy mơđun 2 vế phương trình ta được:
z  z  5  i   4 z   z  2 i  z .
Đặt

 z  5

2

1 

2

 4 z    z  2

2

t  z t 0
;
2

t.  t  5   1 

 4t 

2

2

  t  2    t  1  t 3  9t 2  4  0

Ta được:
phân biệt t 0 nên có 3 số phức thỏa mãn.
Câu 41. [Mức độ 2] Cho hàm số

f  x

thỏa mãn

f  0  1

f  x 

,

phương trình có 3 nghiệm

liên tục trên đoạn

 0;3

và

3

f  x  dx 9
0

A. 10.

. Tính giá trị của
B. 9.

f  3

.
C. 3.
Lời giải

D. 11.
Fb tác giả: Trần Hoàng Long

3

f  x  dx  f  x 
0

3
0

 f  3  f  0 

 9  f  3  1  f  3 10.

A  3;  4;0  B  0; 2; 4 
Câu 42. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm
,
,
C  4; 2;1
. Tìm toạ độ điểm D thuộc trục Ox sao cho AD  BC .
 D  0;0;0 
 D  0;0;0 


D   6;0;0 
D  6;0;0 
D  0;  6;0 
D  6;0;0 


A.
.
B. 
.
C.
.
D.
.
Lời giải
FB tác giả: Đặng Minh Huế
 D  x ;0; 0 

Ta có D  Ox
.


2
2
2
AD  x  3; 4;0   AD  AD   x  3  4  x  6 x  25
.


BC  4;0;  3  BC  BC 5
.
 x 0   D  0;0;0 

 x 2  6 x  25 25  
2
2
x

6
 D  6;0;0  .
AD

BC


AD

BC

Mà
Câu 43. [Mức độ 3] Giá trị của tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y 3x 2  2mx  m 2  1 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x 2 đạt giá trị nhỏ nhất thuộc
khoảng nào sau đây?
A.

  2;0  .

B.

 0; 2  .

 2;   .

C.
Lời giải

D.

  2;  1 .

FB tác giả: Đào Kiểm
2

2

2

2

3x  2mx  m  1 2 x   x  m   1  0, x
Với m tùy ý ta ln có
nên diện tích hình phẳng
2
2
giới hạn bởi đồ thị hàm số y 3x  2mx  m  1 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x 2
2

là

2

S 3 x 2  2mx  m 2  1 dx  3x 2  2mx  m 2 1 dx
0

0

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 17


Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

ĐỢT 12T 12

2

 x3  mx 2  m 2 x  x  8  4m  2m 2  2 2m 2  4m  10 2  m  1 2  8 8
0

.

m  1 0  m  1   2;0 
Do đó MinS 8 khi
.

A  2;0;1
Câu 44. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu đi qua ba điểm
,
B  1;0;0  C  1;1;1
P : x  y  z  2 0
,
và có tâm thuộc mặt phẳng  
có bán kính là
A. 1 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 3 .
Lời giải
FB tác giả: Hue Nguyen
Gọi

I  x ; y; z 

là tâm của mặt cầu đã cho.

A  2;0;1 B  1;0;0  C  1;1;1

Vì mặt cầu đi qua ba điểm

,
,
và có tâm thuộc mặt phẳng
2
2
2
2
2
 x  2   y   z  1  x  1  y  z 2
 IA IB


2
2
2
2
2

2
IA

IC


 x  2   y   z  1  x  1   y  1   z  1
I  P

  
 x  y  z  2 0
nên ta có:

 x  z 2
 x 1


  x  y  1   y 0
 x  y  z 2  z 1


.
2

Do đó, bán kính của mặt cầu là:

 P

2

R IA   1  2   02   1  1 1

.
1

Câu 45. [Mức độ 3] Cho hàm số

f  x

liên tục trên  và thoả mãn

f  2  16

,

f  2 x dx 2
0

. Tính

2

xf  x dx
0

.
B. 36 .

A. 12 .

C. 20 .

D. 28 .

Lời giải
FB Tác giả: Bùi Nguyên Sơn
Đặt t 2 x  dt 2dx .Với x 0  t 0 ; x 1  t 2 .
1
2
2
1
f
2

x
d
x

2

f
t
d
t

2

f  t  dt 4






2
0
0
0
Khi đó
suy ra
2
du dx

u  x

I xf  x  dx


v  f  x
f  x  dx dv


0
Xét
, đặt
suy ra 
.
2

Khi đó

2

I xf  x  dx  xf  x  0 
0

2

f  x  dx 4
0

.

2

f  x  dx 2 f  2   4 2.16  4 28
0

.

Câu 46. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn z.z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  z 3  3z  z  z  z
.
13
15
3
A. 4 .
B. 4 .
C. 4 .
D. 3 .
Lời giải
FB tác giả: Phạm Văn Thắng
z

x

yi
x
,
y


Gọi
;
.

2

z 1  z 1
Ta có z.z 1 
.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 18


Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC

ĐỢT 12T 12

Lại có: z  z x  yi  x  yi 2 x .
 2
z
 z z2
z
z

3


z

z


P  z 3  3z  z  z  z

z
Khi đó:
= 

 

 z2  2  z

2

 

 1  z  z  z 2  2 z. z  z

2

 z
3
z



2

 zz

2

1  z  z  z  z

2



1  z  z

2

1 3 3

 4 x 2  1  2 x 4 x 2  1  2 x  2 x  2   4  4
.
1
15
x  ,y 
4
4 .
Dấu bằng xảy ra khi
3
Pmin 
4.
Vậy

Câu 47. [Mức độ 3] Trong không
2
2
2
( S ) :  x  2    y  1   z  1 9

gian

độ

Oxyz ,

M x ; y ; z0    S 

sao cho

với

hệ

tọa

 0 0
và điểm
x  y0  z0 bằng
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 0
A. 1 .
B. 2 .
C.  1 .
Lời giải
Theo

 A  6

bất

đẳng

cho

mặt

cầu

A  x0  2 y0  2 z0

D.  2 .
FB tác giả: Phuongcao
Bunhiacopxki
ta
có:

thức
2

2

 1.  x0  2   2.  y0  1  2.  z0  1 
2
2
2
 12  22  22  .   x0  2    y0  1   z0  1  9.9 81.


  9  A  6 9   3  A 15

A  3 khi và chỉ khi

 x0  2 y0  1 z0  1
 1  2  2 t  0


2
2
2
 x  2    y  1   z  1 9
0
0
 0

t  1

 x0 1

 y0  1
 z0  1
.

MinA  3 khi M  1;  1;  1 . Vậy x0  y0  z0 1    1    1  1 .
2

3

Câu 48. [Mức độ 3] Cho biết
A. P 4054 .

P  f  3  2 x   2023 dx

f  x  dx 16

1

0
. Tính giá trị của
B. P 4016 .
C. P 4076 .
Lời giải

.
D. P 4038 .

FB tác giả: Hồng Quốc Giảo

1
dt
2
Đặt
.
x

0
t

3
x

2

Đổi cận: với
thì
; với
thì t  1 .
t 3  2 x  dt  2dx  dx = 
2

Ta có:

2

P  f  3  2 x   2023 dx =
0

1

= 

f  t 
3

2

f  3  2 x  dx +2023 dx
0

0

3

2 1
1
dt +2023 x = f  t  dt +2023.2
0 2 1
2

1
 .16 +2023.2 8  4046 4054
2
.
z  2  4i  z  2i
z
Câu 49. [Mức độ 3] Xét số phức z thoả mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 19


Sản phẩm của Group FB: TỔn phẩm của Group FB: TỔm của Group FB: TỔa Group FB: TỔ 12 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC

A. 8 .

B. 2 2 .

ĐỢT 12T 12

D. 10 .

C. 4 .

Lời giải

FB tác giả: Xu Xu

z  x  yi  x, y    .
Cách 1. Gọi
z  2  4i  z  2i   x  2    y  4  i  x   y  2  i
Ta có


 x  2

2

2

2

  y  4   x 2   y  2   y  x  4.
2

2

z  x 2  y 2  x 2    x  4   2 x 2  8 x  16  2  x  2   8 2 2.

Khi đó
Đẳng thức xảy ra khi x 2.
z
Vậy giá trị nhỏ nhất của
là 2 2.

M  x, y 
z  x  yi  x, y   
Cách 2. Gọi
là điểm biểu diễn của số phức
,
A  2; 4  B  0; 2 
,
.
z  2  4i  z  2i
Từ giả thiết
suy ra MA MB , vậy tập hợp điểm M là đường trung trực 
của đoạn thẳng AB .

I
1;3
BA  2; 2 


Trung trực của đoạn thẳng AB qua trung điểm
và nhận
làm VTPT.
 : 2  x  1  2  y  3 0  x  y  4 0
Phương trình
.

z OM

Ta có

Min z d  O,   

,

Vậy giá trị nhỏ nhất của

z

4
12  12

2 2
.

là 2 2.

Câu 50. [Mức độ 2] Thể tích của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol
 d  : y 2 x quay quanh trục Ox bằng
và đường thẳng
2

A.

0

2

C.

2

  2 x  x 2 dx

.

0

0

2

.

0

.

2

  x 2  2 x  dx

D.
Lời giải

y x 2

2

 4 x 2 dx   x 4dx

2

 4 x 2 dx   x 4 dx
0

B.

 P :

0

.
FB tác giả: MinhMẫn

Hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng là nghiệm của phương trình
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 20