D04 tam giác và đường tròn muc do 2

Câu 1.

[HH10.C2.1.E04.b] (HSG ĐỒNG THÁP 18-19) Cho đường thẳng d và điểm A cố định không
thuộc d , H là hình chiếu của A trên d . Các điểm B, C thay đổi trên d sao cho HB.HC  1. Đường
trịn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M , N . Chứng minh đường thẳng MN đi qua một điểm
cố định.
Lời giải
A

N

E

M
C

H

B

D

Gọi D là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường thẳng AH .
Ta có HA.HD HB.HC  1.
Do đó D cố định (Vì A, H cố định).
Gọi E là giao điểm của
AMN  AHN  ACB  ADB

Câu 1.

MN với

AH.

Ta

có

tứ

giác

AHMN nội

tiếp

nên

2
Suy ra tứ giác MBDE nội tiếp. Do đó AE. AD  AM . AB  AH  E cố định. Vậy đường thẳng
MN đi qua một điểm E cố định.
[HH10.C2.1.E04.b] (HSG ĐỒNG THÁP 18-19) Cho đường thẳng d và điểm A cố định không
thuộc d , H là hình chiếu của A trên d . Các điểm B, C thay đổi trên d sao cho HB.HC  1. Đường

trịn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M , N . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BMC. Chứng minh O chạy trên một đường thẳng cố định.
Lời giải
A

N

E

M

B

H

C

D

2
Do AM . AB  AN . AC  AH nên tứ giác BMNC nội tiếp. Do đó, O là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ
giác BMNC.

Giả sử đường tròn

 BMNC  cắt đường thẳng

2
AH tại P, Q. Ta có AP. AQ  AM . AB  AH


Do đó P, Q cố định. Vậy O thuộc trung trực của PQ cố định.
A

N
P

M
C

H

B

O

Q