Giao an day du dstt

Giáo án Đại số tuyến tính

CĐ chun ngành Tốn

Chương I:
ĐỊNH THỨC
A- Mục đích yêu cầu:
Giúp sinh viên nắm được:
1. Về kiến thức:
- Định nghĩa phép thế, nghịch thế, dấu của phép thế, phép thế chẵn, lẻ.
- Khái niệm ma trận, ma trận vuông, ma trận chuyển vị.
- Khái niệm định thức, các tính chất của định thức, định thức con; cách khai
triển định thức theo 1 dòng, r dòng.
- Các phương pháp tính định thức.
- Khái niệm hệ phương trình tuyến tính n ẩn, cách giải hệ phương trình bậc
nhất n phương trình, n ẩn, phương pháp Cramer.
2. Về kĩ năng:
- Xác định số nghịch thế.
- Vận dụng thành thạo cá tính chất của định thức để làm bài tập.
- Triển khai định thức theo 1 dòng, r dòng.
- Biến đổi, tính tốn trên ma trận, giải hệ phương trình bằng phương pháp
Cramer.
3. Về thái độ, tư duy:
- Có lịng ham mê tìm tịi học hỏi.
- Phát triển tư duy logic, trừu tượng.
B- Chuẩn bị.
1. Chuẩn bị của giáo viên:
- Nghiên cứu sách giáo trình, tài liệu tham khảo, soạn giáo án.
2. Chuẩn bị của sinh viên:
- Đọc sách giáo trình, đọc trước bài ở nhà.
C- Nội dung cụ thể của chương.

§1. PHÉP THẾ
I. Định nghĩa phép thế.
1. Định nghĩa:
 Giả sử tập Xn = {1; 2; …; n}. Một song ánh:  : X n  X n gọi là một phép
thế trên tập Xn.
Nói riêng, song ánh đồng nhất gọi là phép thế đồng nhất.
 Một phép thế  trên tập Xn gọi là 1 chuyển trí hai phần tử i, j thuộc Xn nếu:
  i   j;   j  i và   k  k , k  X n , k i, j. Kí hiệu bởi:  i, j  .
- Tập hợp tất cả các phép thế trên tập Xn, kí hiệu bởi Sn.
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính
CĐ chun ngành Tốn
 Phép thế  : X n  X n được biểu diễn:
2
3
...
n 
 1
 
.
   1   2    3 ...   n  

  i  là ảnh của phần tử i  X n tương ứng.
 1 2 3 4
+ Ví dụ:  
.
 4 3 2 1

2. Chú ý:
- Ảnh của các phần tử của tập Xn qua mỗi phép thế cho ta một hoán vị trên tập
Xn.
Ngược lại, mỗi hoán vị lại xác định một phép thế, chẳng hạn hoán vị
 1 2 3 4
(3; 4; 2; 1) xác định phép thế  
 trên tập X 4 .
3
4
2
1


- Số các phép thế trên tập X n bằng số hoán vị trên tập ấy, và bằng n!.
Ví dụ: S3 có 3! = 6 phần tử.
II. Nghịch thế:
Định nghĩa: Giả sử  là một phép thế trên tập X n . Với i, j  X n , i  j ta nói
cặp    i  ;  j   là nghịch thế của  nếu i < j nhưng   i     j  .
 1 2 3
+ Ví dụ: Trên X3 , xét phép thế:  
 có nghịch thế (2; 1) và (3; 1).
 2 3 1
III. Dấu của phép thế:
1. Định nghĩa: Ta gọi phép thế  là một phép thế chẵn nếu nó có 1 số chẵn
nghịch thế, là phép thế lẻ nếu nó có 1 số lẻ nghịch thế.
 Ta gán: Phép thế chẵn giá trị bằng 1.
Phép thế lẻ giá trị bằng – 1.
 Giá trị này của phép thế  gọi là dấu  và kí hiệu Sgn(  ).
 Sgn(  ) = 1 nếu  là chẵn và bằng – 1 nếu  là lẻ.
Quy ước Sgn(  ) = 1 nếu  không có nghịch thế.

+ Ví dụ: Xác định dấu của phép thế:
 1 2 3
 1 2 3
 2 
;  3 

.
 2 3 1
 3 1 2
 2 có 2 nghịch thế là (2; 1) và (3; 1).
 3 có 1 nghịch thế là (3; 2).
2. Các tính chất.
* Tính chất 1:
i j
Sgn    
.
 i , j   i     j 
Chứng minh:
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính
CĐ chun ngành Tốn
i j
Sgn    
bằng 1 nếu số nghịch thế chẵn, và bằng -1 nếu số
 i , j   i     j 
nghịch thế lẻ. Trong đó  i, j chạy khắp tập các tập con gồm 2 phần tử của X n .
Rõ ràng số nhân tử ở tử số và mẫu số bằng nhau.

+ Ta chứng minh nếu tử số có nhân tử i  j , tồn tại h, k  X n sao cho:
  h  i,  k   j . Nếu tử số có h – k thì mẫu số có   h     k  hay i – j,
nếu tử số có k – h thì mẫu số có j – i.
1
i j
 .
Vậy: 
 1
 i , j   i     j 
i j
là số âm nếu    i  ;  j   là nghịch thế và là số
  i    j
dương nếu ngược lại.
* Tính chất 2:
Với 2 phép thế  và  trên Xn, ta có: Sgn    Sgn    .Sgn    .
Chứng minh:
i j
Sgn    
Ta có:
,
do đó:
 i , j   i     j 
Nhưng

Sgn    
 i , j


 i , j

  i    j
i j
.
  i     j    i     j 
  i    j
i j
.
  i     j   i , j   i     j 

Sgn    .Sgn    .
vì    i  ;   j   cũng chạy khắp tập các tập con gồm 2 phần tử của Xn.
* Tính chất 3: Mọi chuyển trí đều là phép thế lẻ.
Chứng minh:
 1 2 ... i ... j ... n 
Thật vậy, giả sử i  j và  
.
 1 2 ... j ... i ... n 
Khi đó tất cả các nghịch thế  là  i, k với mọi k thỏa mãn i  k  j .
 l , j với mọi l thỏa mãn i  l  j .
tức là  có tất cả  j  i    j  i  1 2  j  1  1 nghịch thế.
1 2 3 4 5 6 
+ Ví dụ: Xét chuyển trí:  
.
1 5 3 4 2 6 
Lời giải: Các nghịch thế ở dòng thứ 2. Số 1 bé nhất và số 6 lớn nhất nên
chúng không tham gia vào các nghịch thế.
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước

Giáo án Đại số tuyến tính
CĐ chun ngành Tốn
Các nghịch thế có dạng:
 5, r  :  5,4  ;  5,3 ;  5,2  .
và  s,2  :  3,2  ;  4,2  ;  5,2  .
Vì nghịch thế (5,2) được nhắc lại 2 lần nên chỉ có 5 nghịch thế.
Vậy chuyển trí trên là phép thế lẻ.

§2. KHÁI NIỆM MA TRẬN
I. Định nghĩa 1:
 Một bảng gồm m n số được viết thành m dòng, n cột như sau:
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính

CĐ chun ngành Tốn
 a11 a12
a
 21 a22
 ... ...

 am1 am 2

... a1n 
... a2 n 
.
... ... 


... amn 

được gọi là một ma trận kiểu  m, n  .
 Mỗi số aịj được gọi là một thành phần của ma trận, nó nằm ở dịng thứ i và
cột thứ j.
 Ma trận thường được kí hiệu: A, B, C, …
 Ma trận A có thể viết: A  aij  mn .
 Ma trận chỉ có một dịng (một cột) gọi là ma trận dịng (cột).
 Nếu m = n thì ma trận A là ma trận vuông cấp n và viết A  aij  n .
+ Ví dụ:
1 2 3 4 
A  5 6 7 8  là ma trận cỡ (3,4).
 9 10 11 12 


B = (1 2 3 6 8) là ma trận dòng.
 1
 3
C   là ma trận cột.
 5
 
 6
II.Định nghĩa 2:
 Ta gọi ma trận:
 a11 a21 ... am1 
a

a
...
a

12
22
m
2


 ... ... ... ... 


 a1n a2 n ... amn 
là ma trận chuyển vị của ma trận (1).
 Ma trận chuyển vị của ma trận A, kí hiệu At hoặc Ac thu được từ A bằng
cách đổi dòng thứ i của A thành cột thứ i của At ( Ac ).
 Nếu A là ma trận kiểu  m, n  thì At là ma trận kiểu  n, m  .

§3. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC.
I. Định nghĩa:
Cho ma trận:
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính
 a11 a12
a
a22
A  21
 ... ...

 an1 an 2

...
...
...
...

CĐ chuyên ngành Toán
a1n 
a2 n 
... 

ann 

(2)

Sgn    .a1  1 .a2  2  ...an  n  là định thức của ma trận A và kí
ta gọi tổng D 
S
n

hiệu:
a11 a12
a
a22
D  21
... ...
an1 an 2

... a1n
... a2 n

hay A
... ...
... ann

hay det(A).

 Trong kí hiệu này, mỗi aij là một thành phần, các thành phần ai1 , ai 2 ,..., ain
tạo thành dòng thứ i, các thành phần a1 j , a2 j ,..., anj tạo thành cột thứ j của
định thức.
 Khi ma trận A vuông cấp n ta nói A là định thức cấp n.
+ Ví dụ 1: Nếu A  a11  là ma trận vuông cấp 1 thì định thức cấp 1: A a11 .
II. Tính chất của định thức:
1. Tính chất 1: Nếu định thức:
a11
a12
...
a1 j
...
a1n
a21
a22
...
a2 j
...
a2 n
...
...
...
...
...

...
D '
ai1  ai''1 ai' 2  ai''2 ... aij'  aij'' ... ain'  ain''
...
...
...
...
...
...
an1
an 2
...
anj
...
ann
'
''
mà mọi thành phần ở dịng thứ i đều có dạng aij aij  aij thì:

a11 a12
a21 a22
... ...
D '
ai1 ai' 2
... ...
an1 an 2

... a1 j ... a1n a11 a12
... a2 j ... a2 n a21 a22
... ... ... ...

... ...

... aij' ... ain'
ai''1 ai''2
... ... ... ...
... ...
... anj ... ann an1 an 2

... a1 j ... a1n
... a2 j ... a2 n
... ... ... ...
.
... aij'' ... ain''
... ... ... ...
... anj ... ann

Chứng minh: dựa vào định nghĩa.
2. Tính chất 2: Nếu mọi thành phần ở dịng thứ i của định thức có thừa số
chung c thì có thể đặt c ra ngồi dấu định thức:
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xn Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính
a11 a12 ... a1 j
a21 a22 ... a2 j
...
... ... ...
D
cai1 cai 2 ... caij

...
... ... ...
an1 an 2 ... anj

... a1n
a11
... a2 n
a21
... ...
...
c.
... cain
ai1
... ...
...
... ann
an1

CĐ chuyên ngành Toán
a12 ... a1 j ... a1n
a22 ... a2 j ... a2 n
... ... ... ... ...
.
ai 2 ... aij ... ain
... ... ... ... ...
an 2 ... anj ... ann

Chứng minh: dựa vào tính chất 1.
3. Tính chất 3:
Trong định thức nếu đổi chỗ hai dịng cho nhau thì định thức đổi dấu.

a11 a12 ... a1n
a11 a12 ... a1n
... ... ... ...
... ... ... ...
ah1 ah 2 ... ahn
ak1 ak 2 ... akn
... ... ... ...  ... ... ... ... .
ak1 ak 2 ... akn
ah1 ah 2 ... ahn
... ... ... ...
... ... ... ...
an1 an 2 ... ann
an1 an 2 ... ann
4. Tính chất 4: Nếu định thức có 2 dịng giống nhau thì định thức ấy bằng 0.
5. Tính chất 5: Nếu định thức có 2 dịng mà các thành phần (cùng cột) tương
ứng tỉ lệ thì định thức ấy bằng 0.
6. Tính chất 6: Nếu nhân mỗi thành phần ở dịng thứ i với cùng 1 số c rồi
cộng vào thành phần cùng cột ở dịng thứ k thì được một định thức mới bằng định
thức đã cho.
t
7. Tính chất 7: Với At là ma trận chuyển vị của ma trận A, ta có: A  A ,
tức là hai ma trận chuyển vị của nhau thì có định thức bằng nhau.
Chú ý: Từ tính chất 7, nếu thay từ “dịng” bởi từ “cột” trong các tính chất 1,
2, 3, 4, 5, 6 ta được những tính chất của định thức phát biểu với cột.

§4. KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC.
I. Định thức con, phần bù đại số.
1. Định nghĩa: Cho định thức D cấp n:
i) Nếu chọn r dòng i1 , i2 ,..., ir và r cột j1 , j2 ,..., jr  r  n  , thì các thành phần
j1 ... jr

nằm ở r dòng và r cột ấy lập thành một định thức, kí hiệu bởi M
và gọi
i1 ... ir
là một định thức con cấp r của D.
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính
CĐ chun ngành Tốn
ii) Nếu xóa đi r dịng và r cột ấy thì các thành phần còn lại lập thành một định
j1 ... jr
j1 ... jr
thức kí hiệu bởi M
và gọi là định thức con bù của định thức M
.
i1 ... ir
i1 ... ir
j1 ... jr
j ... jr
i ...i  j ... j
  1 1 r 1 r .M 1
iii) A
gọi là phần bù đại số của
i1 ... ir
i1 ... ir
j ... jr
M 1
.
i1 ... ir

Chú ý: Mỗi thành phần aij của một định thức D là một định thức con cấp 1
của D. Để đơn giản cách viết, định thức con phần bù và phần bù đại số của aij , kí
hiệu lần lượt bởi M ij và Aij .
2. Ví dụ:
Cho:
8 3 5 1
2 0 2 9
D
0 4 1 0
6 1 0 7 .
+ Có a23  2 là định thức con cấp 1 của D.
8 3 1
+ M 23  0 4 0 là định thức con bù của -2.
6 1 7
+ A23   1

23

.M 23   1

2 3

8 3 1
. 0 4 0 là phần bù đại số của -2.
6 1 7

II. Khai triển định thức theo một dịng.
1. Định lí :
Cho định thức D cấp n có các thành phần là aij. Với mỗi i   1,2,..., n ta đều
có :

D ai1. Ai1  ai 2 . Ai 2  ...  ain . Ain 

n

 a .A
ij

ij

.

j 1

Ta nói đó là cách khai triển định thức theo dòng thứ i.
Chú ý: Định lý cũng đúng nếu thay từ ‘dòng’ bởi từ ‘cột’.
2. Hệ quả :
Cho định thức D với các thành phần aij , ta có :
ai1 Ak1  ...  aij Aij  ...  ain Akn 0
k i.
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính
Ví dụ : Tính định thức :

CĐ chuyên ngành Toán

2 5 1
D 1 3 8

4 7 9.
Giải:
Khai triển theo dịng thứ nhất, ta có :
D 2 A11  5 A12  1A13 .
11

A11   1 .
A12   1

12

A13   1

13

3 8
 29
7 9
1 8
23
4 9
1 3
 5.
4 7

Vậy D = 2.(-29) + 5.23 – 5 = 52.
III. Khai triển định thức theo r dòng :
1. Định lý Laplace :
Nếu trong định thức D đã chọn r dòng cố định i1 , i2 ,..., ir , M 1 , M 2 ,..., M s là tất
cả các định thức con cấp r của D chọn trong r dòng này và A1 , A2 ,..., As là những

phần bù đại số tương ứng thì :
s

D  M j A j .
j 1

2. Ví dụ :
Tính định thức :
0
6
D
0
4

3 5 0
1 3 2
1 2 0
7 0 5 .
Giải:
Chọn dòng 1 và 3. Hai dòng này cho ta 6 định thức con cấp 2 :
0 3
0 5
0 0
3 5
3 0
5 0
M1 
; M2 
; M3 
;M4 

; M5 
; M6 
.
0 1
0 2
0 0
1 2
1 0
2 0
Gọi A1; A2 ;...; A6 lần lượt là các phần bù đại số của M 1; M 2 ;...; M 6 .
Theo định lí ta có : D M 1 A1  M 2 A2  ...  M 6 A6 .
Chỉ có M 4 0 nên ta chỉ tính M4.
Vì M4 được tạo thành từ các dịng 1,3 và các cột 2,3 nên :
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính
A4   1

1323

CĐ chuyên ngành Toán
6 2
38  D M 4 A4   11 .38  418.
4 5

§5. PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC.
Để tính định thức cấp n, ta có thể tiến hành theo hai cách :
Cách 1 : Khai triển định thức theo hàng hoặc cột để đưa về định thức cấp n – 1

(người ta thường biến đổi sơ cấp để làm xuất hiện thêm số 0 ở hàng hoặc cột dự
định sẽ khai triển để làm giảm bớt số định thức cấp n – 1 ).
Cách 2 : Đưa định thức về dạng tam giác :
Định nghĩa : Định thức tam giác dưới là định thức có dạng :

--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính
CĐ chun ngành Tốn
a11 ... 0 ... 0 ... 0
a21 ... a22 ... 0 ... 0
... ... ... ... ... ... ...
D
( aij = 0 nếu i < j).
ai1 ... ai 2 ... aii ... 0
... ... ... ... ... ... ...
an1 ... an 2 ... ani ... ann
Định thức tam giác trên là định thức có dạng:
a11 ... a12 ... a1i ... a1n
0 ... a22 ... a2i ... a2 n
... ... ... ... ... ... ..
D
( aij = 0 nếu i > j).
0 ... 0 ... aii ... ain
... ... ... ... ... ... ...
0 ... 0 ... 0 ... ann
Khi đó, nhờ phép khai triển định thức theo một dòng, một cột ta có :
D a11.a22 ...ann .

Ví dụ 1 : Tính định thức :
3 2 5 0
3 2 5 0
7 0 6 3
7 0 6 3
D
;
E
.
1 0 0 10
1 1 0 10
4 0 2 9
4 2 2 9
Giải:
7 6 3
12
D   1 .  2  1 0 10
4 2 9
2.  6.10.  4   3.12  6.0.  4   1.6.9  7.2.0  7.10.2 
2.  240  6  54  140   856.
3 2
7 0
E
1 1
4 2

5 0
6 3
    
'

0 10  10 CC11CC42 CC4'2
C1  C1'
2 9

3  5 5  30
7  7 6  67
1 0 0 0
 4 6 2 49

--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính

CĐ chun ngành Tốn
 5 5  30
0 5 0
31
  1 . 1  7 6  67  
 
  1 6  31
C1' C2'  C1''
'
''
C2  C2
6 2 49
8 2 61
6 C2' C3'  C3''

  1

12

.5.

 1  31
 5.  1.61  31.8   935.
8 61

Ví dụ 2 : Đưa định thức về dạng tam giác rồi tính định thức :
3 1 2 4
0 0 1 6
D
.
2 1 3 1
2 2 3 1
Ngồi ra, ta có thể dùng phương pháp truy hồi để biểu diễn định thức cần
tính qua những định thức cấp thấp hơn có dạng xác định và theo một cơng thức
xác định.
Tính các định thức cấp thấp ta sẽ lần lượt tính được các định thức cấp cao
hơn.

--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính

CĐ chun ngành Tốn

§6. ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER.
I. Định nghĩa :
1. Hệ phương trình tuyến tính n ẩn là hệ phương trình có dạng :
a11 x1  a12 x2  ...  a1 j x j  ...  a1n xn b1

a21 x1  a22 x2  ...  a2 j x j  ...  a2 n xn b2
(1)

...

am1 x1  am 2 x2  ...  amj x j  ...  amn xn bm

trong đó x1 , x2 ,..., xn là các ẩn, aij ; bi thuộc trường số K, i   1,2,..., n ;
j   1,2,..., n ; aij được gọi là các hệ số của ẩn x j ; bi được gọi là hạng tử tự do.
2. Một nghiệm của hệ (1) là một bộ n số  c1 , c2 ,..., cn  thuộc trường K sao cho :
Khi thay xj bởi cj thì mọi đẳng thức trong (1) đều là những đẳng thức số đúng.
3. Nếu hệ (1) có m = n và định thức :
a11 a12 ... a1 j ... a1n
... ... ... ... ... ...
D  ai1 ai 2 ... aij ... ain 0 thì hệ (1) được họi là hệ Cramer.
... ... ... ... ... ...
an1 an 2 ... anj ... ann
Định thức D được gọi là định thức của hệ phương trình.
II. Cách giải hệ phương trình Cramer :
Cho hệ :
a11 x1  a12 x2  ...  a1 j x j  ...  a1n xn b1

a21 x1  a22 x2  ...  a2 j x j  ...  a2 n xn b2


...
am1 x1  am 2 x2  ...  amj x j  ...  amn xn bm .

Với mỗi j trong định thức D ta thay cột thứ j bởi cột gồm các hạng tử tự do
b1 , b2 ,..., bm ta được các định thức.
a11 a12 ... a1 j ... a1n
... ... ... ... ... ...
D  ai1 ai 2 ... aij ... ain
... ... ... ... ... ...
an1 an 2 ... anj ... ann
vì bi ai1 x1  ai 2 x2  ...  aij x j  ...  ain xn nên :
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính

CĐ chun ngành Tốn

a

x  ...  a1 j x j  ...  a1n xn 

a11

a12

...

...

...

...

...

D  ai1

ai 2

...

 a x  ...  a x

...

...

...

...

an1 an 2 ...

11 1

i1 1

a

ij

... a1n
...

j

 ...  ain xn 

...

... ain
...

...

x  ...  anj x j  ...  ann xn  ... ann

n1 1

theo tính chất 1 và 2 của định thức ta có :
a11 a12
a11 a12 ... a11 ... a1n
... ...
... ... ... ... ... ...
D j x1. ai1 ai 2 ... ai1 ... ain  ...  x j . ai1 ai 2
... ...
... ... ... ... ... ...
an1 an 2

an1 an 2 ... an1 ... ann

... a1 j ... a1n
... ... ... ...
... aij ... ain  ...
... ... ... ...
... anj ... ann

a11 a12 ... a1n ... a1n
... ... ... ... ... ...
...  xn . ai1 ai 2 ... ain ... ain
... ... ... ... ... ...
an1 an 2 ... ann ... ann .
Định thức ở hạng tử thứ j chính là D, cịn các định thức khác ở vế phải đều
bằng 0 (vì có 2 cột giống nhau). Do đó Dj = xj.D. Suy ra :
D
x j  j ;  j   1,2,..., n .
D
Vậy hệ Cramer có nghiệm duy nhất.
Ví dụ : Giải hệ phương trình :
 2 x3
3
3 x1
 x  3x
 5 x4 0
 1
2

x2  4 x3  x4  1


  2 x2  x3  4 x4 0
Giải:
Ta có :
3 0 2 0
0  9  2  15
 9  2  15
1 3 0 5
1 3 0
5
21
d1  3 d2  d1'
D
   
  1
1 4
1  26.
0 1 4 1
0 1 4
1
2 1 4
0 2 1 4
0 2 1 4
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính
CĐ chun ngành Tốn
3
0

Thay b 
vào các cột 1, 2, 3, 4 ta có : D1  26; D2 52; D3 0; D4  26.
1
0
D
D
52
D
0
D  26
 2; x3  3  0; x4  4 
1.
Vậy : x1  1 1; x2  2 
D
D  26
D 26
D  26
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1 ;-2 ;0 ;1).

Chương II:
KHÔNG GIAN VECTƠ
* Mục tiêu của chương:
- Trình bày định nghĩa khơng gian vectơ, các tính chất của nó và cấu tạo của
một khơng gian vectơ, nghiên cứu nó sâu sắc hơn trong những chương sau để có
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xn Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính
CĐ chun ngành Tốn

thể áp dụng nó nhiều hơn vào những bộ mơn Tốn học khác cũng như các lĩnh
vực khoa học khác.
Học xong chương này, sinh viên cần nắm được:
- Nắm vững định nghĩa và các tính chất của khơng gian vectơ, khơng gian con.
- Hiểu rõ mỗi không gian vectơ được tạo thành từ một họ “tối thiểu” những
vectơ của không gian mà ta gọi là cơ sở; biết cách tìm cơ sở và số chiều của một
không gian vectơ.
- Biết được mối liên hệ giữa tọa độ của cùng một không gian vectơ trong 2 cơ
sở khác nhau.

§1:

ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN

I. Định nghĩa.
  
Giả sử V là một tập hợp mà các phần tử được kí hiệu bởi  ,  ,  ,…K là một
trường số mà các phần tử kí hiệu x, y, z,…Giả sử trên V có hai phép tốn:
V V  V
- Phép tốn trong, kí hiệu + : 
 
 ,   





- Phép tốn ngồi, kí hiệu  : K V  V



x,  x.
 
thỏa mãn các tính chất sau: với
mọi  ,  ,   V , mọi x, y  K :
     
1)           ;
   
2)       ;

    
3) Có 0  V :   0 0   ;


    
4) Với mỗi   V , có  ' V :   '  '  0 ;
  
5)  x  y   x  y ;
 
 
6) x    x  x  ;


7)  xy   x y ;
 
8) 1.  , trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K.
Khi đó V cùng với 2 phép toán xác định như trên gọi là một không gian vectơ trên
trường K, hay K – không gian vectơ , vắn tắt không gian vectơ.
+ Khi K =  , V được gọi là không gian vectơ thực;
K =  , V được gọi là không gian vectơ phức.
+ Các phần tử của V gọi là vectơ, các phần tử của K gọi là vơ hướng.

+ Phép tốn “+” gọi là phép cộng vectơ ,
Phép toán “  ” gọi là phép nhân vectơ với vô hướng.
Chú ý:
- Bốn tính chất đầu chứng tỏ V là nhóm giao hoán đối với phép cộng vectơ.
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước













 






Giáo án Đại số tuyến tính
CĐ chun ngành Tốn
- Tính chất 5) nói lên phép nhân vectơ với vơ hướng có tính chất phân phối
đối với phép cộng vơ hướng.

- Tính chất 6) nói lên phép nhân vectơ với vơ hướng có tính chất phân phối
đối với phép cộng vectơ.
- Tính chất 7) nói lên phép nhân vectơ với vơ hướng có tính chất kết hợp.
II. Các ví dụ.
1. Tập các vectơ trong không gian với các phép cộng và phép nhân vectơ
với một số thực trong chương trình PTTH là một không gian vectơ thực.
2. Cho trường K, với n 1 , xét tích Đề các:
K n   x1 , x2 ,..., xn  / xi  K ; i 1, n
với 2 phép toán:





 x1, x2 ,..., xn    y1, y2 ,..., yn   x1  y1 , x2  y2 ,..., xn  yn  ;
k  x1 , x2 ,..., xn   kx1 , kx2 ,..., kxn  , k  K .
Dễ thấy K n cùng với hai phép toán trên là K – không gian vectơ.
Khi n = 1 thì bản thân K cũng là K – khơng gian vectơ.
3. Tập K[x] các đa thức (một biến) với hệ số thuộc trường K với phép cộng
đa thức và phép nhân đa thức với phần tử thuộc trường K là một K – không gian
vectơ.
4. Tập số phức  với phép cộng số phức và phép nhân số phức với một số
thực là  - không gian vectơ.
5. Tập  các số thực cùng với phép cộng số thực và phép nhân số thực với
một số hữu tỉ là một  - khơng gian vectơ.
6. Tập chỉ có một phần tử {  } với hai phép toán:
 +  =  , x.  =  , x K là một K – không gian vectơ. Gọi là không

gian vectơ khơng. Ta thường kí hiệu  = 0 .
III. Một số hệ quả.

Cho K – không gian vectơ V. Vì V là một nhóm giao hốn đối với phép
cộng vectơ nên ta suy ra cáctính chất sau:
1. Phần tử trung hịa 0 của phép cộng vectơ nói trong tính chất 3) là duy
nhất và gọi là vectơ không.


2. Phần tử đối  ' trong tính chất 4) là duy nhất và gọi là vectơ đối của  .

  


       gọi là hiệu của  và  .
  
  
3. Quy tắc chuyển vế : từ  
       .
   
4. Luật giản ước : từ          .



5. 0. 0 , ở đây 0 là phần tử khơng của trường K, cịn 0 là vectơ khơng
của V.






Thật vậy, ta có : 0  0. 0. (0  0) 0.  0.



từ đó theo luật giản ước : 0 0. .





--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại
CĐ chun ngành Tốn
 số tuyến tính
6. x.0 0 .
 





Thật vậy, từ 0  x.0 x.0 = x 0  0 x.0  x.0 ;


theo luật giản ướcsuy ra 0  x.0 . 


7. Từ x. 0  x 0 hoặc  0 .



8.  x   x   .




 

0

0.


x


x


x
.



Thật vậy, ta có:
 x 
  


suy ra  x.   x   .



Đặc biệt   1    .





 

Bài 2: KHÔNG GIAN CON
I. Định nghĩa.
Tập con W của một K – không gian vectơ V được gọi là khơng gian vectơ
con của V nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1) W ổnđịnh
 hay đóng
 đối với 2 phép toán của V, nghĩa là:
+   ,   W ,   W ;


+    W ,  x K , x W .
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính
CĐ chun ngành Tốn
2) W cùng với hai phép toán của V (hạn chế trên W) là một K – khơng gian
vectơ.
II. Tính chất đặc trưng.

Định lí: Giả sử V là một K – khơng gian vectơ. W là một tập con của V.
Các mệnh đề sau tương đương :
1) W là một không gian con
 của V.
2) W  và với mọi  ,   W ,  x  K , ta có:
 

  W , x  W .
 

3) W
và  ,   W , x , y  K : x  y   W .
Chứng minh:
1)  2) : Nếu W là một không gian con của khơng gian vectơ V thì W phải
chứa một vectơ 0 của V. Do đó nếu W  . Các điều kiện khác của 2) hiển nhiên
thỏa mãn.
2)  3) : Hiển nhiên.
3) 1) : Giả sử các điều kiện của3) thỏa
 mãn.
 Khi đó : 
 ,   W và x = y = 1  K ,    1. 1.  K . Với   W , x  K , ta
  
có : x x  0  K , nghĩa là các phép toán trong W cũng là hai phép toán
trong V.
Ta cần kiểm tra 8 điều kiện trong định nghĩa của không gian vectơ.
Hiển nhiên các điều kiện 1), 2), 5), 6), 7), 8) thỏa mãn vì hai phép tốn
trong W chính là hai phép tốn đã cho trong V.

W


Ta cần kiểm tra điều kiện 3) và 4). Vì
nên có một   W . Theo tính



chất của khơng gian
 vectơ, 0 0.  0. . Mặt khác, theo giả thiết


0.  0.  W  0  W .








1


0.
 W .
Tương tự, với mỗi   W , ta có
 
Vậy W là một khơng gian vectơ trên trường K và do đó W là một khơng
gian con của V. (ĐPCM).
Chú ý : Để chứng minh tập W là một không gian con của V, ta sử dụng mệnh đề
2) hoặc 3).


Ví dụ 1 : Với mỗi khơng gian vectơ V, bản thân V và tập 0 là những



không gian con của V.
Chúng gọi là những không gian con tầm thường của V.
Ví dụ 2 : Tập Pn gồm đa thức 0 và các đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n
của K[x] là một không gian con của khơng gian vectơ K[x].
Ví dụ 3 : Tập W   a1 , a2 ,0,0  / a1 , a2   là một không gian con của
4 .
III. Tổng của những không gian con.
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước


Giáo án Đại số tuyến tính
CĐ chun ngành Tốn
Mệnh đề và định nghĩa: Giả sử W1 ,W2 ,...,Wm là những không gian con của
K – không gian vectơ V. Khi đó:
 
 
W





...
 m /  i  Wi , i 1, m là một không gian con của
Tập hợp

1
2





V.
Không gian này gọi là tổng của m không gian con Wi đã cho và được kí
hiệu bởi W1 W2  ...  Wm hay

m

W .
i

i 1

Chứng minh: Dành cho sinh viên.
IV. Giao của những không gian con.
Mệnh đề và định nghĩa: Giả sử W1 ,W2 ,...,Wm là những không gian con của
K – khơng gian vectơ V. Khi đó:
m

W

Tập U =

i

là một không gian con của V và gọi là giao của m không

i 1

gian con của Wi .
V. Không gian sinh bởi một hệ vectơ.
 

Định lí: Giả sử A = 1 , 2 , ..., m là một hệ vectơ của K – không gian
 

vectơ V. Khi đó tập hợp W  r11  r2  2  ...  rm  m / ri  K , i 1, m là một









không gian con của V.
W được gọi là không gian sinh bởi hệ vectơ A, còn A gọi là hệ sinh của W.
Chứng minh: Dành cho SV.
Chú ý:


- Không gian sinh bởi 1 vectơ  thường được kí hiệu bởi K  .

n



- Nếu W là không gian sinh bởi hệ vectơ 1 , 2 , ..., m thì W  K  i .





i 1

- Không gian W trên sinh bởi một hệ hữu hạn vectơ nên gọi là không gian
hữu hạn sinh.
Từ nay ta chỉ xét đến không gian hữu hạn sinh.
Bài 3: SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH – SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH
I. Định nghĩa:  

Giả sử A = 1 , 2 , ..., m





là một hệ vectơ của K - không gian vectơ V, (m >

0).


 



Định nghĩa 1: Nếu  r11  r2  2  ...  rm  m thì ta nói  là tổ hợp tuyến

tính của hệ vectơ A hay  biểu thị tuyến tính qua m vectơ đã cho.
Định
2: Hệ vectơ A gọi là độc lập tuyến tính nếu:
 nghĩa

r11  r2  2  ...  rm  m 0 thì r1 r2 ... rm 0 .
--------------------------------------------------------------------------------------------------Đặng Xuân Quỳnh
Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước