Đề thi hsg toán 12 bình thuận năm học 2018 2019

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 19 n phẩm của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tở 7 lần 19 m của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tở 7 lần 19 a Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tở 7 lần 19 7 lần 19 n 19 Năm 2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2018-2019
SỞ BÌNH THUẬN

Bài 1 (6,0 điểm).
a) Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2 x  y  0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
x 2  xy  y 2
P 2
.
2
x

xy

y
nhất của biểu thức
3
2
b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x  3x  3mx  m
có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hồnh.

Bài 2 (5,0 điểm).
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số
b) Cho dãy số

 vn  thỏa mãn

v1 

 un  biết u1 2 và un1 2un  5, n *.

1 v  2vn
, n1 1  2018v 2 ,
*
n n  .
2018

*
Chứng minh rằng vn1 vn , n  .

Bài 3 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình
2 xy  x  y  1 x 2  y 2

.

2
2
2
2
 x y y 1  x 1 x y  x

Bài 4 (5,0 điểm).Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC và hai đường cao BE , CF cắt nhau
O , O
tại H . Các đường tròn  1   2  cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với BC tại
B, C. Gọi D là giao điểm thứ hai của  O1  và  O2  .
a) Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC;
b) Chứng minh ba đường thẳng EF , BC , HD đồng quy.
-------------- HẾT ------------Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi khơng được giải thích gì thêm.

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 19 n phẩm của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tở 7 lần 19 m của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tở 7 lần 19 a Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tở 7 lần 19 7 lần 19 n 19 Năm 2019

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1a. Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2 x  y  0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

P
biểu thức

x 2  xy  y 2
.
x 2  xy  y 2
Lời giải
Tác giả: Bùi Văn Lượng; Fb: luonghaihaubui

Ta có

P

x 1
t 2  t 1
t  .
,
2
y 2
t  t  1 với

t 2  t 1
1

f  t  2
t .
t  t  1 với
2
Xét hàm số
 f  t  0

 t 1.
f  t  
, 1
2
2
t

 t  t 1  2
Tính được
2t 2  2

Bảng biến thiên

1
Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 , khơng có giá trị lớn nhất.
3
2
Câu 1b. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  x  3 x  3mx  m có hai điểm
cực trị nằm khác phía đối với trục hồnh.

Lời giải
Tác giả: Phùng Đức Cường; Fb: Phùng Đức Cường
Tập xác định D  .

2
Đạo hàm của hàm số là y ' 3 x  6 x  3m .

Yêu cầu bài tốn  Phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn
y  x1  . y  x2   0.
Phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt  1  m  0  m   1 (*).
Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là

A  x1 ; y1  B  x2 ; y2 
,
.

 x 1
y    . y  2  m  1 x
 3 3
Ta có
.
Do đó

y1  y  x1   2  m  1 x1 y2  y  x2   2  m  1 x2
,
.


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 19 n phẩm của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tở 7 lần 19 m của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tở 7 lần 19 a Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tở 7 lần 19 7 lần 19 n 19 Năm 2019
2

y  x1  . y  x2   0  4  m  1 x1.x2  0

 x1.x2  0   m  0  m  0 .

Kết hợp với điều kiện (*) ta có m  0 thỏa mãn bài tốn.
Câu 2a. Tìm số hạng tổng quát của dãy số

 un 

u 2un  5, n *.
biết u1 2 và n1
Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Thanh Thủy ; Fb: Phạm Thủy

n  * , ta có un 1 2un  5  un 1  5 2  un  5  .
*
Đặt wn un  5, n   .
*
Khi đó wn 1 2 wn , n   .

Do đó

 wn 

là cấp số nhân có w1 u1  5 7, cơng bội q 2.

n 1
n 1
*
Suy ra wn w1.q 7.2 , n   .
n 1
*
Vậy un 7.2  5, n   .

Câu 2b. Cho dãy số

 vn 

thỏa mãn

v1 

1 v  2vn
, n1 1  2018v 2 ,
*
n n  . Chứng minh rằng
2018

vn1 vn , n *.
Lời giải
Tác giả: Vũ Thị Hồng Lê; Fb: Lê Hồng
*
Chứng minh được vn  0, n   .

2vn
2vn
1
vn 1 


, n  * .
2
1  2108vn 2 2018.vn
2018

Khi đó
*
Mặt khác, n   , ta có
2
2vn
vn  2018vn3 vn  1  2018vn 
vn 1  vn 

v


0
n
1  2018vn2
1  2018vn2
1  2018vn2

v

Câu 3.

v , n *.

n
Vậy n1
Giải hệ phương trình
 2 xy  x  y  1  x 2  y 2
 2
2
2

2
 x y y  1  x  1  x y  x

 1
 2 .

Lời giải
Điều kiện xy 0 .
x 2  1  x  0 , x   nên y 0 không thõa mãn  2  . Do vậy y 0 . Suy ra x 0
 1 .
khơng thõa mãn
Ta có


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 19 n phẩm của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tở 7 lần 19 m của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tở 7 lần 19 a Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tở 7 lần 19 7 lần 19 n 19 Năm 2019

 1 vơ lí. Do đó x, y cùng dương.
Nếu x, y cùng âm thì
Khi đó

 2 

Xét hàm số

1
x2



 

x 2 1  x  y

f  t  t 1  t 2  t

f '  t   t 2 1 
Ta có
Khi đó

 3 

t2
t 2 1



y 2 1  1 

trên khoảng

1
1 1
1  2   y y 2 1  y
x
x
x

 3

.

 0;  .

 1  0,  t  0

f  t

. Suy ra hàm số

đồng biến trên

 0;  .

1
1
f    f  y    y  xy 1
x
 x
.

 1 ta được:
Thay xy 1 vào
2

2

2  x  y  1  x 2  y 2   x  1   y  1 0  x  y 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Câu 4.

.

 x; y   1;1 .

Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC và hai đường cao BE , CF cắt nhau tại H . Các

 O1  ,  O2  cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với
 O   O2  .
giao điểm thứ hai của 1 và
đường tròn

BC tại B, C. Gọi D là

AD đi qua trung điểm của cạnh BC;
b) Chứng minh ba đường thẳng BC , EF , HD đồng quy.
a) Chứng minh đường thẳng

Lời giải
Tác giả: Trần Công Dũng ; Fb: Dung Tran

O2
A
E
O1

K

F

H

B

a. Gọi I là giao điểm của AD và BC.
2
2
Ta có IB IA.ID IC .

Suy ra IB IC.

D

I

C


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tổ 7 lần 19 n phẩm của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tở 7 lần 19 m của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tở 7 lần 19 a Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tở 7 lần 19 7 lần 19 n 19 Năm 2019

Do đó I là trung điểm của BC. Hay đường thẳng AD đi qua trung điểm I của BC.
b) Chứng minh ba đường thẳng EF , BC ,

HD đồng quy.



O 
Ta có BHC BDC . Suy ra tứ giác BCDH nội tiếp đường trịn 3
0




O 
Ta có AFH  ADH  AEH 90 . Suy ra tứ giác AFHD nội tiếp đường trịn 4
0


O 
Ta có BFC BEC 90 . Suy ra tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn 5 đường kính BC

 O  &  O4  .
Ta có HD là dây cung chung của hai đường trịn 3
HD là trục đẳng phương hai đường tròn  O3  &  O4 

Tương tự ta được:
EF là trục đẳng phương hai đường tròn  O3  &  O5 
BC là trục đẳng phương hai đường tròn  O5  &  O4 

Suy ra ba đường thẳng

BC , EF , HD đồng quy.