Một số dạng toán hình học euclid trong chương trình phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————

NGUYỄN THỊ YẾN VI

MỘT SỐ DẠNG TỐN
HÌNH HỌC EUCLID
TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khố luận:
TS. Hồng Nhật Quy

Đà Nẵng, 05/2023


Mục lục
MỞ ĐẦU

5

1 HÌNH HỌC EUCLID

7

1.1

1.2

1.3

1.4

Khơng gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Tích vơ hướng của hai vectơ . . . . . . . . . . . . . .

7
7

1.1.2
1.1.3

Khái niệm không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . .
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
8

Mục tiêu trực chuẩn và tọa độ trực chuẩn . . . . . . . . . . .
1.2.1 Mục tiêu trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9

1.2.2
1.2.3

Tọa độ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Đổi mục tiêu trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . .

9
10

1.2.4
1.2.5

Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng trong khơng gian VnE 10
Biểu thức tọa độ của tích có hướng trong khơng gian V3E 12

1.2.6

Biểu thức tọa độ của tích hổn tạp trong không gian V3E 13

Các phẳng trong không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Sự trực giao giữa các phẳng . . . . . . . . . . . . . . .

13
13

1.3.2
1.3.3

Phương trình của m - phẳng trong không gian En . . .
Khoảng cách giữa các phẳng trong khơng gian Euclid .

15
18

1.3.4

Cơng thức tính khoảng cách giữa các phẳng trong không
gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Siêu phẳng bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai . . . . .

23
23

1.4.2
1.4.3

Phương trình của siêu cầu . . . . . . . . . . . . . . .
Phương tích và siêu phẳng đẳng phương . . . . . . . .

23
24

1.4.4

Giao của siêu cầu với siêu phẳng . . . . . . . . . . . .

25

2

1.5

Thể tích trong khơng gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Thể tích của hộp m chiều . . . . . . . . . . . . . . . .
Thể tích của m đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . .

25
26

1.5.1
1.5.2

2 MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC EUCLID TRONG TỐN
HỌC PHỔ THƠNG
2.1
2.2

2.3

Các bài tốn về góc và khoảng cách trong khơng gian E3 . . .
Thể tích và tỉ số thể tích trong khơng gian E3 . . . . . . . . .

28
34

2.2.1

2.2.2

Các kết quả quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34
36

Các bài tốn về đường trịn và mặt cầu . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Các bài tốn về mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . . . . .

40
40

2.3.2
2.4

28

Các bài tốn về đường tròn và mặt cầu mặt cầu trong
hệ tọa độ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Các phẳng trong không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . .

46

Kết luận

51

Tài liệu tham khảo

53

3


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên,em xin chân thành và sự tri ân sâu sắc đối với các thầy giáo,
cô giáo của Trường Đại học Sư Phạm- Đại học Đà Nẵng, đặc biệt là các thầy,
cơ khoa Tốn đã tạo điều kiện cho em thực hiện Khóa Luận Tốt Nghiệp này.
Thời gian vừa rồi, nhờ có sự hướng dẫn tận tình và hết lịng của TS.
Hồng Nhật Quy, em đã hiểu thêm nhiều kiến thức khơng chỉ xoay quanh
Khóa Luận và cịn các vấn đề thú vị của Tốn học nữa! Một lần nữa em xin
chân thành cảm ơn thầy!
Với vốn kiến thức còn hạn hẹp của bản thân và thời gian hạn chế, việc
hồn thành khóa luận khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Nên em mong
nhận được những ý kiến đóng góp và xây dựng của q thầy cơ để bài Khóa
luận tốt nghiêp của em được hồn thành chỉnh chu hơn.
Em xin chân thành cảm ơn.

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do lựa chọn đề tài
Hình học là môt ngành khoa học ra đời từ rất sớm vào khoảng trước thế
kỷ VII-VI trước CN. Ngày nay hình học là một mảng kiến thức rất quan

trọng và phong phú trong chương trình tốn học phổ thơng. Trong chương
trình phổ thơng mới năm 2018 cũng đã xác định Hình học và một số yếu tố
đo lường là một trong các mạch kiến thức tốn học phổ thơng, bên cạnh số,
đại số và một số yếu tố về giải tích, thống kê và xác suất. Một trong những
cách tiếp cận và khai thác mảng kiến thức thú vị này một cách hiệu quả, bao
quát và toàn diện là dựa trên một số kết quả và cơ sở lý thuyết của hình học
cao cấp mà cụ thể ở đây là hình học Euclid n chiều.
Việc nghiên cứu hình học Euclid trong khơng gian n chiều giúp ta nắm
được các kiến thức cơ sở và chuyên sâu về hình học, và nếu chúng ta khai
thác một cách phù hợp từ các tính chất, kết quả tổng quát và các ứng dụng
phong phú của các phép biến đổi trong hình học Euclid n chiều ta hồn tồn
có thể chuyển các bài tốn hình học cao cấp sang các bài tốn với ngơn ngữ
hình học sơ cấp để đưa vào giảng dạy cho học sinh THPT. Ngược lại, các
bài tốn trong hình học sơ cấp có thể khái qt hóa trở thành các bài tốn
trong khơng gian n chiều. Từ việc nhìn nhận các bài tốn hình học sơ cấp
dưới góc nhìn của hình học cao cấp giúp chúng ta có khả năng định hướng,
biết cách huy động kiến thức một cách khoa học để giải quyết vấn đề và sáng
tạo các bài toán mới.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là xây dựng lý thuyết và đưa ra các ví dụ
về một số dạng tốn hình học Euclid trong chương trình phổ thơng

5


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là một số dạng tốn hình học Euclid
trong chương trình phổ thơng
b. Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực Hình học Euclid.
4. Cấu trúc luận văn
Cấu trúc của luận văn gồm các phần chính sau đây:

• Mở đầu:
• Phần nội dung: Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương cụ thể
như sau:
Chương I: Nhắc lại về hình học Euclid
Chương này trình bày khơng gian Euclid. Mục tiêu và tọa độ trực chuẩn.
Các phẳng trong khơng gian Euclid. Siêu mặt bậc hai. Thể tích trong không
gian Euclid. Các kiến thức của chương này sẽ bổ trợ cho phần nghiên cứu
của Chương 2.
Chương II: Một số dạng tốn hình học Euclid trong tốn học
phổ thơng
Tìm hiểu một số dạng tốn về góc và khoảng cách trong khơng gian R3 .
Dạng tốn về thể tích và tỉ số thể tích trong khơng gian R3 . Các dạng tốn
liên quan tới đường trịn và mặt cầu. Các dạng tốn liên quan tới mặt phẳng
trong khơng gian Euclid.
• Kết luận

• Tài liệu tham khảo

6


Chương 1

HÌNH HỌC EUCLID
Trong chương này giới thiệu về cơ sở lý thuyết của không gian Euclid. Như
chúng ta đã biết không gian Euclid là một không gian Affine liên kết với

một khơng gian vectơ mà trên đó có trang bị một tích vơ hướng và từ đó ta
để cập tới các khái niệm mới như góc và khoảng cách. Do đó, khi trình bày
chương này, các hệ thống khái niệm và kết quả về không gian vectơ và không
gian affine là đã rõ ràng. Với mục tiêu làm cơ sở lý thuyết cho việc trình bày
các ứng dụng trong chương 2 và tổng quát hóa một cách có hệ thống các
khái niệm hình học ở bậc phổ thơng, nội dung của chương này được trình
bày khá chi tiết, có nhiều ví dụ minh họa và các nhận xét, bình luận tương
ứng. Các tài liệu tham khảo để xây dụng nội dung của chương 1 bao gồm
[1], [2], [3], [8] và [9].

1.1
1.1.1

Khơng gian Euclid
Tích vơ hướng của hai vectơ

Cho V là không gian vectơ trên trường số thực. Ánh xạ
f :V×V→R
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
−
−

(→
a , b ) 7→ f (→
a, b)=→
a b =→
a.b
được gọi là tích vơ hướng trên V nếu nó thỏa mãn 4 tiên đề sau:
→
−
→
− − →
→
−
−
1) →
a . b = b .→
a , ∀−
a , b ∈ V (Tính chất giao hoán)

7


→
− −
→
− →
→
− −
−
−
−c , ∀→

−
2)→
a( b +→
c ) =→
a.b 
+−
a .→
a , b ,→
c ∈V
→
−
→
−
→
−
−
−
−
3) (λ→
a) b =λ →
a . b , ∀→
a , b ∈ V, ∀λ ∈ R

→
−
→
−
−
−
4) →

a . b ≥ 0, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi →
a = 0

Nhận xét 1.1.1. Chúng ta có thể thấy rằng, khái niệm tích vơ hướng ở đây
là sự tổng qt hóa khái niệm tích vơ hướng đã biết ở chương trình tốn phổ
thơng khi nghiên cứu khái niệm vectơ hình học, tức là đoạn thẳng có quy
định một đầu mút là điểm đầu và đầu mút cịn lại là điểm cuối.

1.1.2

Khái niệm khơng gian Euclid

→
−
Định nghĩa 1.1.1. Không gian vectơ Euclid (thường được ký hiệu là E ) là
một khơng gian vectơ mà trên đó đã xác định một tích vơ hướng đối với mọi
hai vectơ bất kỳ của nó. Khơng gian vectơ Euclid n chiều được ký hiệu VnE
−
→
hay En
Định nghĩa 1.1.2. Một không gian affine liên kết với một không gian vectơ
Eulcid được gọi là một không gian Euclid. Không gian Euclid được gọi là n
chiều nếu không gian vectơ Euclid liên kết với nó có số chiều bằng n và được
kí hiệu là En
Như vậy không gian Euclid là một không gian affine với nền là không
gian vectơ được trang bị thêm tích vơ hướng.
Nhận xét 1.1.2. Từ định nghĩa ta thấy rằng không gian Euclid là một
không gian affine nên trong khơng gian Euclid có các khái niệm và tính chất
của khơng gian affine, ngồi ra nó cịn có các khái niệm và tính chất khác
khơng có trong khơng gian affine, đó chính là các khái niệm và tính chất liên

quan liên quan mật thiết đến khái niệm và tính chất của tích vơ hướng được
trang bị trong khơng gian vectơ Euclid liên kết với khơng gian affine đó. Nói
cách khác là, khơng gian Euclid giàu tính chất (nội hàm) hơn khơng gian
affine, nhưng phạm vi (ngoại diên) của nó thì hẹp hơn khơng gian affine.

1.1.3

Các ví dụ

Ví dụ 1.1.1. Khơng gian Euclid E2 chính là khơng gian hai chiều trong hình
−
→
học giải tích phẳng được học trong chương trình THPT, không gian E2 là

8


khơng gian các vectơ hình học, với tích vơ hướng được định nghĩa (theo hình
học) như sau.

→
−
→
−
→
−
→
−
−
−

a . b = |→
a |.| b |.cos(→
a, b)

(1.1)

Ví dụ 1.1.2. Khơng gian Euclid E3 chính là khơng gian ba chiều trong hình
−
→
học giải tích phẳng được học trong chương trình THPT, khơng gian E3 là
khơng gian các vectơ hình học, với tích vơ hướng được định nghĩa như (1.1).

1.2

Mục tiêu trực chuẩn và tọa độ trực chuẩn

Bằng việc đưa khái niệm mục tiêu trực chuẩn vào khơng gian Euclid, các
khái niệm hình học như điểm, đường thẳng, mặt phăng,... sẽ được biểu diễn
bởi các biểu thức đại số. Và đây là một phương pháp giúp chúng ta nghiên
cứu các tính chất hình học thuận lợi hơn

1.2.1

Mục tiêu trực chuẩn

−
−
−
Định nghĩa 1.2.1. Mục tiêu affine {O; →
e1 ; →

e2 ; ....; →
en } của En được gọi
là mục tiêu trực chuẩn (trong chương trình tốn THPT gọi là hệ tọa độ
−
→
−
−
−
Descartes vng góc) nếu {→
e1 ; →
e2 ; ....; →
en } một cơ sở trực chuẩn En , tức là:

0 nếu i ̸= j
→
−
→
−
ei . ej =
với i, j = 1, 2, 3, ...n
1 nếu i = j

−
−
−
−
Để đơn giản, ta viết {O; →
ei } thay cho {O; →
e1 ; →
e2 ; ....; →

en }
Ví dụ 1.2.1. Khơng gian Euclid Rn với tích vơ hướng chính tắc và cấu trúc
−
−
affine chính tắc với điểm O(0, 0, ..., 0) và →
e = (1, 0, ..., 0), →
e = (0, 1, ..., 0),...,
1

2

→
−
−
en = (0, 0, ..., 1). Thì mục tiêu {O, →
ei } của khơng gian Euclid Rn là mục tiêu
trực chuẩn

1.2.2

Tọa độ trực chuẩn

−
Định nghĩa 1.2.2. Trong không gian En với mục tiêu trực chuẩn {O; →
ei }
và M là một điểm bất kỳ thuộc En . Khi đó tồn tại duy nhất bộ n số thực

9

(x1 , x2 , ..., xn ) sao cho

n

−−→ X →
OM =
xi .−
ei
i=1

Ta gọi bộ n số (x1 , x2 , ..., xn ) là tọa độ trực chuẩn (hay tọa độ Descartes)
−
của điểm M đối với mục tiêu trực chuẩn {O; →
e }. Ký hiệu M (x , x , ..., x )
i

1

2

n

hay M = (x1 , x2 , ..., xn )

−
Chú ý 1.2.1. Với mục tiêu trục chuẩn {O; →
ei }, nếu A(a1 , a2 , ..., an ) và
−→
B(b1 , b2 , ..., bn ) thì vectơ AB có tọa độ là (b1 − a1 , b2 − a2 , ..., bn − an ). Ký
−→

hiệu AB = (b1 − a1 , b2 − a2 , ..., bn − an )

1.2.3

Đổi mục tiêu trực chuẩn

n →
→
−′ o
−′
− →
→
−
→
−
→
−
′ ′
Cho hai mục tiêu trực chuẩn {O; e1 ; e2 ; ....; en } và O ; e1 ; e2 ; ....; en của
−
−
−
n
không gian n
Euclid n chiều E
. Gọi C là ma trận chuyển từ cơ sở {→
e1 ; →
e2 ; ....; →
en }
o

→
−′
−′
→
−′ →
sang cơ sở e1 ; e2 ; ....; en . Các cơ sở đó đều là cơ sở trực chuẩn nên C là
ma trận giao cấp n.
−
−
−
Gọi [a0 ] là ma trận cột tọa độ gốc O′ đối với mục tiêu {O; →
e1 ; →
e2 ; ....; →
en };

[x] và [x′ ] là hai ma trận cột tọa
của cùng một
o điểm đối với mục tiêu
n độ→
→
−
→
−
−
→
−
→
−
→
−

{O; e1 ; e2 ; ....; en } và mục tiêu O′ ; e′1 ; e′2 ; ....; e′n . Công thức đổi mục tiêu
trực chuẩn là:

[x] = C ∗ [x] + [a0 ]
Trong đó C ∗ là ma trận chuyển vị của C
Sau đây ta sẽ biểu diễn tích vơ hướng của hai vectơ dưới dạng biếu thức
đại số dựa vào tọa độ của các vectơ và nghiên cứu một số tính chất liên quan.

1.2.4

Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng trong khơng
gian VnE

−
Định lý 1.2.2. Cho không gian Euclid En , với mục tiêu trực chuẩn {O; →
ei }.
→
−
−
→n
→
−
Khi đó với mọi a = (a , a , ..., a ) , b = (b , b , ..., b ) ∈ E , ta có:
1

2

n

1

n

X
→
−
→
−
a.b =
ai b i
i=1

10

2

n


P
P
→
−
−
−
−
Chứng minh. Ta có →
a = ni=1 ai →
ei và b = ni=1 bi →
ei . Do đó

!
!
n
n
n
X
X
X
→
−
→
−
→
−
→
−
a.b =
a .e .
b .e =
a .b
i

i

i

i=1

i

i=1

i

i

i=1

Hệ quả 1.2.2

−
Cho không gian Euclid En , với mục tiêu trực chuẩn {O; →
ei }. Khi đó với
→
−
−
→
−
mọi →
a =(a1 , a2 , ..., an ), b =(b1 , b2 , ..., bn ) ∈ E n , ta có:
−
a) Độ dài của vectơ →
a cho bởi:
v
u n
uX
→
−
a2
|a|=t

i

i=1

→
−
−
→
− →
→
−
−
−
b) Góc giữa hai vectơ →
a và b (với →
a =
̸ 0 và b =
̸ 0 ) cho bởi:
→
−
−
cos(→
a, b)=

Pn
→
−
→
−
ai bi

a b
pPn
= pPn i=1
→
−
2
2
−
|→
a |.| b |
i=1 ai
i=1 bi

Từ hệ quả 1.2.2 trên ta có thể chứng minh được một kết quả quan trọng
sau đây.
Bất đẳng thức Bunyakovski-Cauchy-Schwarz: Cho 2n số thực a1 , a2 , ..., an ;
b1 , b2 , ..., bn . Khi đó:
! n
!
!2
n
n
X
X
X
a2i
b2i ≥
ai bi
i=1

i=1

i=1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ai bj = aj bi với mọi i ̸= j
Với giả thiết thêm các số bi > 0, ∀i = 1, 2, ..., n, ta có Bất đẳng thức
Bunyakovski-Cauchy-Schwarz dạng phân số như sau.

a21 a22
a2n
(a1 + a2 + ... + an )2
+
+ ... +
≥
b1
b2
bn
b1 + b2 + ... + bn
Sau đây chúng ta sẽ nhắc lại khái niệm tích có hướng, thiết lập biểu thức
tọa và đưa ra một số tính chất của nó.

11


1.2.5

Biểu thức tọa độ của tích có hướng trong khơng
gian V3E

−

Định nghĩa 1.2.3. Trong khơng gian V3E , tích có hướng của hai vectơ →
a và
→
−
−c thỏa mãn các điều kiện sau đây:
b là một vectơ →
→
−
−c vng góc với cả hai vectơ →
−
+ Vectơ →
a
và
b.

→


 →

−
−



−c | = |→
−
−
+ |→
a .|

b
. sin →
a , b . Nói cách khác, độ dài của tích có hướng
→
−
−
của hai vectơ →
a và b bằng diện tích hình bình hành dựng trên hai vectơ
đó.

→
− −
−
+ Tam diện tạo bởi 3 vectơ →
a, b, →
c là tam diện thuận (tức là nếu ta
→
−
−
vặn nút chai theo chiều từ →
a đến b thì nút chai chuyển động theo hướng
→
−
của c
→
−
→
−
→
−

→
−
Tích
có
hướng
của
hai
vectơ
a
và
b
thường
được
ký
hiệu
là
a
∧
b hay
h →
i
−
→
−
a, b
−
a =(a1 , a2 , a3 )
Định lý 1.2.3. Trong không gian vectơ ba chiều V3E , với mọi vectơ →
→
−

và b =(b1 , b2 , b3 ) ta có:









!

a a