Cd3.9 Gtln-Gtnn Cua Bieu Thuc Xyz-Md4.Doc

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG I
CHỦ ĐỀ 3.9 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức nhiều biến.
MỨC ĐỘ 4
Câu 1.

[2D1-3.9-4] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho x , y là các số thực thỏa mãn
x  y  x  1  2 y  2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
P  x 2  y 2  2  x  1  y  1  8 4  x  y . Khi đó, giá trị của M  m bằng.
A. 41 .

B. 42 .

C. 43 .
Hướng dẫn giải

D. 44 .

Chọn C.
2

P x 2  y 2  2  x  1  y  1  8 4  x  y  x  y   2  x  y   2  8 4  x  y .

Đặt t  x  y  P t 2  2t  2  8 4  t .
Theo giả thiết x  y  x  1  2 y  2
.
2

  x  y   x  2 y  1  2 2  x  1  y  1  x  2 y  1  2  x  1  y  1 3  x  y  .
 t 3t  t 2  3t 0  0 t 3 .
2
Xét f  t  t  2t  2  8 4  t trên  0;3 .

4
; f  t  0   2t  2  4  t 4   t  1 4  t 2 .
4 t
 t 0

  t 2  2t  1  4  t  4   t 3  2t 2  7t 0   t 1  2 2   0;3 .

 t 1  2 2   0;3
Ta có f  0  18 ; f  3 25  min P 18, max  P  25 .
f  t  2t  2 

Vậy M  m 25  18 43 .
Câu 2.

[2D1-3.9-4] [THPT Chuyên LHP] Xét a , b , c   1; 2 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P log bc  2a 2  8a  8  log ca  4b 2  16b  16   log ab  c 2  4c  4  .

11
B. Pmin  .
2

A. Pmin 4 .
C. Pmin log3

289

 log 9 8 .
2
4

D. Pmin 6 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.

TRANG 1


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

.
Câu 3.

[2D1-3.9-4] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho x , y là các số thực thỏa mãn
x  y  x  1  2 y  2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
P  x 2  y 2  2  x  1  y  1  8 4  x  y . Khi đó, giá trị của M  m bằng.
A. 41 .

B. 42 .

C. 43 .
Hướng dẫn giải

D. 44 .

Chọn C.
2

P x 2  y 2  2  x  1  y  1  8 4  x  y  x  y   2  x  y   2  8 4  x  y .

Đặt t  x  y  P t 2  2t  2  8 4  t .
Theo giả thiết x  y  x  1  2 y  2
.
2

  x  y   x  2 y  1  2 2  x  1  y  1  x  2 y  1  2  x  1  y  1 3  x  y  .
 t 3t  t 2  3t 0  0 t 3 .
2
Xét f  t  t  2t  2  8 4  t trên  0;3 .

4
; f  t  0   2t  2  4  t 4   t  1 4  t 2 .
4 t
 t 0

  t 2  2t  1  4  t  4   t 3  2t 2  7t 0   t 1  2 2   0;3 .

 t 1  2 2   0;3
Ta có f  0  18 ; f  3 25  min P 18, max  P  25 .
f  t  2t  2 

Vậy M  m 25  18 43 .
TRANG 2

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

Câu 4.

PHƯƠNG PHÁP

[2D1-3.9-4] [THPT Kim Liên-HN] Tìm giá trị nhỏ nhất
2

Pmin

của biểu thức

2

P = ( x - 1) + y 2 + ( x +1) + y 2 + 2 - y .
A. Pmin = 5 + 2 .

B. Pmin = 2 + 3 .

C. Pmin = 2 2 .

D. Pmin =

191
.
50

Hướng dẫn giải

Chọn B.
Áp dụng bất đẳng thức MinCopxki ta có.
2

2

( 1- x +1- x) +( 2 y ) + 2 - y = 2 1 + y 2 + 2 - y .

P³

Xét hàm số f ( y ) = 2 1 + y 2 + 2 - y. Ta có f ¢( y ) =

2y

- 1 . f ¢( y ) = 0 Û y = 1 .
1+ y
3
2

.
Câu 5.

Ta thấy min f ( y ) = 2 + 3 . Do đó Pmin = 2 + 3 .
[2D1-3.9-4] [THPT Chuyên KHTN] Với a, b  0 thỏa mãn điều kiện a  b  ab 1 , giá trị
nhỏ nhất của P a 4  b 4 bằng.
A. 2





4

2 1 .

B. 2





4

21 .

C.





4

21 .

D.





4

2 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
2

2

2

2

2

P a 4  b 4  a 2  b 2   2  a.b    a  b   2ab   2  ab  .


2

2
2
 P   1  ab   2ab   2  ab   1  4 x  x 2   2 x 2 với ab  x  x  0 .



 P  x 4  16 x 2  1  2 x 2  8 x3  8 x  2 x 2  x 4  8 x 3  16 x 2  8 x  1 .
Ta có a  b 1  ab 2 ab .

 x  2 x  1 0  0  x  2  1  0  x 3  2 2 .
P 4 x3  24 x 2  32 x  1 .
Bảng biến thiên.

.

TRANG 3


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN



 

min P P 3  2 2  2

PHƯƠNG PHÁP

4
21 .



TRANG 4