Chuyên đề tìm cực trị của biểu thức (Toán lớp 9)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (359.43 KB, 11 trang )
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
1
CHUYÊN ĐỀ 1
TÌM CỰC TRỊ (HAY TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT)
CỦA BIỂU THỨC
I. Các kiến thức thường dùng:
+ Với mọi x thuộc R
* x
2
0, tổng quát: [f(x)]
2k
0 (k
Z)
* [f(x)]
2k
+ m
m (k
R)
+ Với mọi x thuộc R
-x
2
0, tổng quát: -[f(x)]
2k
0 (k
Z)
m - [f(x)]
2k
m
+ Các bất đẳng thức chứa dấu trị tuyệt đối thường dùng: với mọi x, y thuộc R ta
có:
*
x
0
*
x b b x b
(b
0)
*
x y x y
dấu "=" xãy ra
x.y
0
*
x y x y
dấu "=" xãy ra
x.y
0
+ Bất đẳng thức cô-si
a + b
2
ab
( với
0, 0
a b
) dấu "=" xãy ra
a = b
2
a b
b a
( với a.b > 0) dấu "=" xãy ra
a = b
+ Với a
0, b
0, a + b = k ( k là số không đổi )
thì tích a.b lớn nhất
a = b
+ Với a
0, b
0, a . b = k ( k là số không đổi )
thì tổng a + b nhỏ nhất
a = b
II. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất
(GTNN) của biểu thức f(x) ( hoặc f(y) ):
1. Tìm GTNN (Min) của f(x)
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của f(x)
Bước 2: Biến đổi f(x)
a ( a là hằng số )
Bước 3: khẳng định f(x) có GTNN là a. Từ đó chỉ ra được x = x
0
thỏa mãn điều
kiện ở bước 1 sao cho f(x
0
) = a
2. Tìm GTLN (Max) của f(x) :
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của f(x)
Bước 2: Biến đồi f(x)
b ( b là hằng số )
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
2
Bước 3: Khẳng định f(x) có GTLN là b. Từ đó chỉ ra được x
0
thỏa mãn điều
kiện ở bước 1 sao cho f(x
0
) = b
III. Một số dạng toán tìm GTLN - GTNN thường gặp:
1.Dạng đa thức 1 biến:
Cách giải:
- Sử dụng bất đẳng thức A
2m
0 hoặc A
2m
+ k
k (k hằng số)
- Biến đổi để đưa dần các biến vào hằng đẳng thức (a + b)
2
hoặc (a - b)
2
- Nếu f(x) là đa thức bậc 2 dạng f(x) = ax
2
+ bx + c ta có thể biến đổi như sau:
f(x) = ax
2
+ bx + c =
2 2
2 2
2
2. .
2 4 4
b b b b
a x x c a x x c
a a a a
=
2
2
4
2 4
b ac b
a x
a a
Nếu a > 0
2
4
( )
4
ac b
f x
a
hay GTNN của f(x) =
2
4
4
ac b
a
Nếu a < 0
2
4
( )
4
ac b
f x
a
hay GTLN của f(x) =
2
4
4
ac b
a
Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức sau:
a. -x
2
-3x + 4
b. -2x
2
+ 4x -
3
2
Giải: a. ĐK: x
R
-x
2
-3x + 4 = -(x
2
+ 3x) + 4 = -(x
2
+ 2.x.
3
2
+
9
4
) + 4 +
9
4
= -(x +
3
2
)
2
+
25
4
Vì -(x +
3
2
)
2
0 nên -(x +
3
2
)
2
+
25
4
25
4
Suy ra -(x +
3
2
)
2
+
25
4
có GTLN là
25
4
khi -(x +
3
2
)
2
= 0
x +
3
2
= 0
x = -
3
2
Vậy -x
2
-3x + 4 có GTLN là
25
4
khi x = -
3
2
b. ĐK: x
R
-2x
2
+ 4x -
3
2
= -2(x
2
- 2x) -
3
2
= -2(x
2
-2x + 1) -
3
2
+ 2
= -2(x - 1)
2
+
1
2
1
2
vì -2(x - 1)
2
0
Suy ra GTLN của -2(x - 1)
2
+
1
2
là
1
2
khi -2(x - 1)
2
x - 1 = 0
x = 1
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
3
Vậy -2x
2
+ 4x -
3
2
có GTLN là
1
2
khi x = 1
2.Dạng biểu thức f(x) là phân thức một biến:
2.1.Trường hợp 1: Nếu f(x) có dạng f(x) =
( )
m
A x
(với m là hằng số)
Cách giải:
- Kiểm tra
( )
m
A x
0
- f(x) có GTLN khi A(x) có GTNN và ngược lại f(x) có GTNN khi A(x)
có GTLN
Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức:
a. A =
2
1
2 2
x x
b. B =
2
5
4 8 7
x x
Giải:
a. Ta có: x
2
-2x + 2 = x
2
- 2x + 1 + 1 = (x-1)
2
+ 1 > 0
2
1
( 1) 1
x
> 0
A có GTLN
(x - 1)
2
+ 1 có GTNN mà (x - 1)
2
+ 1
1
Min (x - 1)
2
+ 1 = 1 khi và chỉ khi x = 1
Max A =
1
1
= 1 khi và chỉ khi x = 1.
b. Ta có: 4x
2
- 8x + 7 = 4x
2
- 8x + 4 + 3 = (2x - 2)
2
+ 3
3
B > 0
Vậy B có GTLN
(2x - 2)
2
+ 3 có GTNN
Mà (2x - 2)
2
+ 3
3
Min(4x
2
- 8x + 7) = 3
2x - 2 = 0
x = 1
Max B =
5
3
x = 1
2.2. Trường hợp 2: f(x) có dạng f(x) =
( )
( )
B x
A x
Cách giải: Nếu bậc của đa thức B(x) lớn hơn bậc của đa thức A(x) ta chia đa
thức B(x) cho đa thức A(x), thực hiện phép chia có dạng:
+ f(x) = m +
2
( )
( )
Q x
P x
Suy ra Min f(x) = m
( )
( )
Q x
P x
= 0
+ Hoặc dạng f(x) = -
2
( )
( )
Q x
P x
+ n
Suy ra Max f(x) = n
( )
( )
Q x
P x
= 0 (với m, n là hằng số)
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
4
Nếu B(x) là đa thức bậc 1 và Q(x) là đa thức bậc 2. ta giả sử y là một giá trị nào
đó của f(x). Khi đó ta có phương trình:
y =
( )
( )
B x
A x
y.A(x) - B(x) = 0 (*)
Xét trường hợp y = 0
B(x) = 0 ta tìm được x
Xét trường hợp y
0 thì (*) có nghiệm
0. Từ đó tìm ra x
Lưu ý: + Trường hợp biêu thức là những phân thức 2 biến, 3 biến ta cũng xét các dạng
tương tự như trên.
+ Nếu f(x) = c - A(x) (c là hằng số )
f(x) có GTLN
A(x) có GTNN
Ví dụ 1. Cho biểu thức A =
3 2 2
( ) ( )
( 2) 3( ) ( 2 )
a a b b a b
a a a b ab ab b
(a
b)
a. Rút gọn A
b. Với giá trị nào của a và b thì A đạt GTLN
Giải:
a. Rút gọn tử thức và phân tích mẫu thức thành nhân tử ta được:
A =
2 2
2
2 2 2
1
2 3
2 3
a b
a a
a b a a
b. A =
2
1
2 3
a a
Ta có: a
2
+ 2a + 3 = (a + 1)
2
+ 2
2
A > 0
A có GTLN
a
2
+ 2a + 3 có GTNN
Mà Min(a
2
+ 2a + 3) = Min[ (a + 1)
2
+ 2] = 2
a = -1
Max A =
1
2
a = -1
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức:
B =
2
2
5 26 41
2
x x
x
Giải:
ĐK: x
2
B =
2
2
5 26 41
2
x x
x
=
2
2
5( 4 4) 6( 2) 9
( 2)
x x x
x
=
2
2 2 2
5( 2) 6( 2) 9
( 2) ( 2) ( 2)
x x
x x x
=
2
6 3
5
2 2
x x
=
2
3 3
2. .1 1 4
2 2x x
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
5
=
2
3
1 4 4
2x
Min B = 4
3
1 0 3 2 0
2
x
x
vậy Min B = 4
x = 5
Ví dụ 3: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức sau:
C =
2
4 3
1
x
x
Giải: x
2
+1
1
C có nghĩa với mọi x
R
Gọi y là một giá trị của C =
2
4 3
1
x
x
phương trình y =
2
4 3
1
x
x
có nghiệm
(x
2
+ 1)y = 4x + 3
yx
2
- 4x + y - 3 = 0 (*)
Nếu y = 0 thì (*)
0.x
2
- 4.x + 0 - 3 = 0
4x - 3 = 0
x =
3
4
(1)
Nếu y
0 thì (*) có nghiệm
'
0
4 - y(y - 3)
0
-y
2
+ 3y + 4
0
(y - 4)(-y - 1)
0
4 0
( )
1 0
4 0
( )
1 0
y
I
y
y
II
y
Giải hệ (I) vô nghiệm
Giải hệ (II) có nghiệm: -1
y
4
Với y = -1 thay vào phương trình (*) ta có -x
2
- 4x -1 - 3 = 0
-x
2
- 4x - 4 = 0
Giải phương trình -x
2
- 4x - 4 = 0 ta được x = -2 (2)
Với y = 4 thay vào phương trình (*) ta có 4x
2
- 4x + 1 = 0
Giải phương trình 4x
2
- 4x + 1 = 0 ta được x =
1
2
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có:
Max C = 4 khi x =
1
2
Min C = -1 khi x = -2
3. Dạng 3: Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Cách giải:
Cách 1: Sử dụng các bất đẳng thức:
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
6
A B A B
dấu bằng xãy ra
A.B
0
A B A B
dấu bằng xãy ra
A.B
0
Bất đẳng thức Cô-si:
1 1
2 . 2
A A
A A
dấu bằng xãy ra
A =
1
( 0)
A b b
-b
A
b
Cách 2: Lập bảng xét dấu:
VD: f(x) = ax + b
0
Cách 3: Xét trong từng khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối, từ đó tìm được
GTNN, GTLN
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức:
a. A = 8
x x
b. B =
5 2
x x
Giải:
a. Áp dụng bất đẳng thức
A B A B
. Ta có:
8
x x
8
x x
8
x x
8
Biểu thức 8
x x
có GTNN
8
x x
8 xãy ra dấu "="
x(8-x)
0
Lập bảng xét dấu:
x 0 8
x - 0 + +
8 - x + + 0 -
x(8 - x) - 0 + 0 -
Dựa vào bảng xét dấu ta có:
Min A = 8
0
x
8
b. Cách 1: Giải như bài a
Cách 2: Ta xét trong từng khoảng các giá trị của x để bỏ dấu :
B =
5 2
x x
=
5 2
5 2
5 2
x x
x x
x x
x
f(x)
b
a
0
Trái dấu
với a
Cùng dấu
với a
nếu x > 5
nếu 5
x
-2
nếu x < -2
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
7
B =
2 3
7
2 3
x
x
Trường hợp B = 2x - 3 nếu x > 5 nên B > 2.5 - 3 = 7
B > 7
Trường hợp B = -2x + 3 nếu x < -2 nên B = -2x + 3 > -2.(-2) + 3 = 7
B > 7
Vậy Min B = 7
Chú ý: - Nên giải theo cách 2 khi số dấu phải xét trong biểu thức là 2 hoặc 3 dấu .
Trường hợp số dấu nhiều hơn 3 ta nên giải theo cách 1 thì lời giải ngắn gọn hơn.
- Ta có thể chuyển dạng B =
M N
thành B =
2 2
M N
dạng biểu thức
chứa căn bậc hai để giải.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức
C =
2 2
2 3 2 15
x x x x
Giải:
Nhận xét: Biểu thức trong dấu đều chứa x
2
+ 2x nên ta áp dụng
A A
được:
C =
2 2
2 3 15 2
x x x x
2 2
2 3 15 2
x x x x
=
18
= 18
Dấu "=" xãy ra
(x
2
+ 2x + 3)(15 - x
2
-2x)
0
Mà x
2
+ 2x + 3 = (x + 1)
2
+ 2 > 0
15 - x
2
- 2x
0
-(x + 1)
2
+16
0
-4
x + 1
4
-5
x
3
Vậy Min C = 18
-5
x
3
4. Dạng 4: Biểu thức có chứa căn thức:
Cách giải: - Vận dụng bất đẳng thức cô-si
a + b 2
ab
với
0, 0
a b
-
A
có nghĩa
A
0. Dấu "=" xãy ra
A = 0 ( n
N* )
Ví dụ :1. Tìm GTNN của biểu thức
a. A = x +
x
b. B =
2
4 3
x x
c. C = x -
2
x
+ 5
Giải:
a. A = x +
x
, A có nghĩa
x
0
nếu x > 5
nếu 5
x
-2
nếu x < -2
nếu 5
x
-
2
2n
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
8
A = x +
x
0
Vậy Min A = 0
x = 0
b. B =
2
4 3
x x
=
2
2 1
x
B có nghĩa
(x - 2)
2
- 1
0
B có GTNN
(x - 2)
2
- 1 = 0
(x - 3)(x - 1) = 0
Vậy Min B = 0
x = 3 hoặc x = 1
c. ĐK: x + 2
0
x
-2
C = x -
2
x
+ 5 = x + 2 -
2
x
+ 3
=
2
1 1
2 2. 2.
2 4
x x
11
4
=
2
1 11 11
2
2 4 4
x
GTNN của C =
11
4
1
2
2
x
= 0
x + 2 =
1
4
7
4
x
( thỏa mãn ĐK )
Vậy Min C =
11
4
7
4
x
2. Tìm GTLN của biểu thức A =
2
8 7
x x
Giải:
A =
2
8 7
x x
=
1 7
x x
A có nghĩa
(x -1)(7 - x)
0
1 0
7 0
1 0
7 0
x
x
x
x
1 7
x
Với 1
x
7
1 0,7 0
x x
Áp dụng bất đẳng thức cho hai số không âm x - 1 và 7 - x ta có:
A =
1 7
x x
1 7
3
2
x x
A có GTLN là 3
x - 1 = 7 - x
x = 4 ( dấu "=" xãy ra
x - 1 = 7 - x )
Vậy Max A = 3
x = 4
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức sau:
B =
2 1 2 1
x x x x
Giải: ĐK: x -1
0
1
x
B =
2 1 2 1
x x x x
=
1 2 1 1 1 2 1 1
x x x x
=
2 2
1 1 1 1
x x
=
1 1 1 1
x x
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
9
=
1 1 1 1
x x
Áp dụng bất đẳng thức
a b a b
ta có:
B =
1 1 1 1
x x
1 1 1 1
x x
= 2
Vậy Min B = 2
1 1 1 1 0
x x
1 1 0
1 1 0
1 2
1 1 0
1 1 0
x
x
x
x
x
( thỏa mãn ĐK )
Vậy với 1
x
2 thì B có GTNN là 2.
5. Dạng biểu thức là đa thức nhiều biến:
Cách giải: Với dạng này ta thường biến đổi về dạng tổng các bình phương và
chủ yếu là 2 phép biến đổi sau:
- Thêm bớt hạng tử để đưa dần các biến vào hằng đẳng thức
- Tách hạng tử để phân thành từng nhóm có chứa hằng đẳng thức
Ví dụ: 1. Tìm GTNN của biểu thức sau:
a. A = x
2
- 2x + y
2
- 4y + 6 b. B = x - 2
xy
+ 3y - 2
x
+ 1
Giải:
a. A = x
2
- 2x + y
2
- 4y + 6 = x
2
- 2x + 1 + y
2
- 4y + 4 + 1
= (x - 1)
2
+ (y - 2)
2
+ 1
1
A = 1
1 0 1
2 0 2
x x
y y
Vậy Min A = 1
1
2
x
y
b. ĐK:
0
0
x
y
B = x - 2
xy
+ 3y - 2
x
+ 1 = x - 2
xy
+ y + 2y - 2
x
+ 1
=
2
2 1 2 2
x y x y y y
=
2
2 2 2
1
2
y y
x y
=
2
1
1 4 4
2
x y y y
=
2 2
1 1 1
1 2 1
2 2 2
x y y
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
10
B có GTNN là
3
1 0
1
2
1
2
2 1 0
4
x
x y
y
y
Vậy Min B =
3
1
2
1
2
4
x
y
2. Tìm GTLN của biểu thức sau:
C = -x
2
- 5y
2
+ 4xy - 6x + 14y -15
Giải:
C = -x
2
- 5y
2
+ 4xy - 6x + 14y -15
= -(x
2
+ 5y
2
- 4xy + 6x - 14y + 15)
= -[x
2
- 2x(2y - 3) + (2y - 3)
2
+ 5y
2
- (2y - 3)
2
- 14y +15]
= -{[x - (2y - 3)]
2
+ (y
2
-2y + 1) + 5}
= - (x - 2y + 3)
2
- (y - 1)
2
+ 5
5
C có GTLN là 5
2 3 0 1
1 0 1
x y x
y y
Vậy Max C = 5
1
1
x
y
6. Biểu thức có dạng: [f(x) + a][f(x) + b]
Cách giải:
Bước 1: Đặt ẩn phụ t = f(x) +
2
a b
Bước 2: Thay ẩn phụ vào biểu thức và tiến hành tìm cực trị ( GTNN - GTLN )
theo ẩn phụ t.
Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 3)
2
+ (x + 7)
2
Giải:
Đặt t = x +
3 7
2
= x + 2
Ta có A = (t - 5)
4
+ (t + 5)
4
= t
4
- 20t
3
+ 150t
2
- 500t + 625 + t
4
+ 20t
3
150t
2
+ 500t + 625
= 2t
4
+ 300t
2
+ 1250
1250
A có GTNN là 1250
t = 0
x + 2 = 0
x = -2
Vậy Min A = 1250
x = -2
IV. Bài tập áp dụng:
1. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - KT
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
11
a. 4x
2
+ 4x + 11 b. 3y
2
- 6y - 1
c. (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) d. 2x
2
+ y
2
- 2xy - 2x - 2y +12
e.
2
1
4 20 29
x x
f. x
2
+ 5y
2
+ 3z
2
- 4xy + 2xz - 2yz -6z +
2014
g.
2 2
2 1 6 9
x x x x
h.
3 4 1 15 8 1
x x x x
k.
2
1
2
x
x
với x
0 l. 1 2
x x x a
theo tham số a
m.
2
2
2 2000
x x
x
n.
2 2
2 2
2 3
x y x y
y x y x
2. Tìm GTLN của biểu thức sau:
a. -x
2
+ 2xy - 4y
2
+ 2x + 10y - 3 b.
2
1
9 12 11
x x
c. 3 6
x x
d.
1 1
x y
e.
3 2
3 3
1
x
x x x
f.
2
1
x x
g.
2
2000
x
x
với x > 0 h. (x - 3)
4
+ (x + 7)
4
3. Cho biểu thức A =
2
4 2
2
3 2 6
x
x x
a. Rút gọn biểu thức A
b. Tìm GTLN của A
4. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
a.
2
2 2
8 6
x xy
x y
b.
2 6
x x
5. Cho x, y là hai số thỏa mãn x + 2y = 3. Tìm GTNN của biểu thức B = x
2
+
2y
2
