Cd2.4 Khoi Tru-Bt Lien Quan Den Thiet Dien-Md2.Doc

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG II
CHỦ ĐỀ 2.4 Khối trụ: Một số bài toán liên quan đến thiết diện.
MỨC ĐỘ 2
Câu 1.

[2H2-2.4-2] [THPT chuyên Nguyễn trãi lần 2] Cho một khối trụ có chiều cao bằng 8cm ,
bán kính đường trịn đáy bằng 6cm . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách
trục 4cm . Diện tích của thiết diện được tạo thành là :
2
A. 32 3  cm  .

2
B. 32 5  cm  .

2
C. 16 3  cm  .

2
D. 16 3  cm  .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
A'
O'

B'
8cm

A
O
H
6cm

.


A
AB
//
O
O

Ta có mặt phẳng 
.
Kẻ AB//AB  thiết diện tạo thành là hình chữ nhật ABBA .
Kẻ OH  AB, OH  AA  OH   AAB  .
B

 d  OO,  AAB   d  O,  AABB  OH 4 .

Mà : AH  OA2  OH 2 2 5  AB 4 5  S ABBA 32 5 .
Câu 2.

[2H2-2.4-2] [THPT chun Lê Thánh Tơng] Một hình trụ có hai đáy là hai hình trịn tâm O ,
O và có bán kính r 5 . Khoảng cách giữa hai đáy là OO 6 . Gọi    là mặt phẳng qua

trung điểm của đoạn OO và tạo với đường thẳng OO một góc 45 . Tính diện tích S của

thiết diện tạo với mặt phẳng    và hình trụ.
A. S 24 2 .

B. S 36 2 .

C. S 36 .
Hướng dẫn giải

D. S 48 2 .

Chọn D.

Gọi I là trung điểm của đoạn OO .
1
Do IO  6 3 nên mặt phẳng cắt hình trụ theo một hình chữ nhật.
2

TRANG 1


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Ta có OC OI .tan 45 3 ; OA  r  5  AC  52  32 4  AB 8 Nên chiều rộng của
nó là AB 8 .
Chiều dài của hình chữ nhật là: 2 IC 2 OC 2  OI 2 2 32  32 6 2 .
Vậy diện tích là: 6 2.8 48 2 .
Câu 3.

[2H2-2.4-2] [THPT chun Lam Sơn lần 2] Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết
diện đi qua trục là hình vng. Tính thể tích V của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.
A. V 2 R 3 .
B. V 5 R 3 .
C. V 3R 3 .
D. V 4 R 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
B
C

O R

A

D
2R
B'
A'

C'

O'
D'

.
Do thiết diện quểntục là hình vng nên đường sinh của hình trụ là: l 2 R h .
Do lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ, nên đáy của lăng trụ là hình vng có đường chéo:





2

3
AC 2 R  AB 2  AB R 2  VLT Bh  R 2 2 R 4 R .

Câu 4.

[2H2-2.4-2] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Cho khối trụ có thiết diện qua trục OO là một hình
vng cạnh bằng 2 . Mặt phẳng  P  qua trung điểm I của và tạo với mặt phẳng chứa đáy góc
30 . Diện tích của thiết diện do  P  cắt khối trụ gần số nào sau đây nhất?
A. 3, 6 .

B. 3,8 .

C. 3,5 .
Hướng dẫn giải

D. 3, 7 .

Chọn A.
x2 y 2
Bài tốn: Cho hình Elip có phương trình  E  : 2  2 1 . Khi đó diện tích của Elip đó là
a
b
S  ab .
a

Ta có diện tích của Elip là S 2 b 1 
a

x2
dx,  a, b     .
a2


 
Đặt x a sin t ,   t    dx a cos tdt .
2
 2


Đổi cận x  a  t  ; x a  t  .
2
2

2


2


2

2
2
Khi đó S 2 b 1  sin t .a cos t dt 2ab cos t dt ab  1  cos 2t  dt .



2




2




2

TRANG 2


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP



 sin 2t  2
ab  t 
 ab .
2  

2

Lời giải.
Do thiết diện qua trục
bằng 2 nên chiều cao
kính đáy là R 1 .
Giả sử giao tuyến của
tâm O là đường thẳng
O trên d . Khi đó góc

đáy là góc OEI
30
Trong tam giác vng

OO là một hình vng cạnh
của hình trụ là h 2 và bán

O

A

mặt phẳng  P  và đáy chứa
d . Gọi E là hình chiếu của
giữa  P  và mặt phẳng chứa

C

I
D
M

H

.
IOE

có

O


tan OEI


OI
2
 OE 
 3 1
OE
. Do đó điểm E nằm ngồi đường trịn đáy nên thiết diện
3
3

là Elip.
Trong tam giác vng AHM có.
HM
2
4 3
cos AMH 
 AM 

AM

3 .
3
2
4 3
2 3
Hay 2a 
.
 a
3
3
Mà CD 2b 2  b 1 .
Thiết diện là hình elip nên diện tích bằng  ab 
Câu 5.

2 3
3, 62 .
3

[2H2-2.4-2] [THPT Tiên Du 1] Một hình trụ có bán kính đáy là R , thiết diện qua trục là một
hình vng. Thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho là.
A. 8R 3 .

B. 4R 3 .

C. 2R 3 .
Hướng dẫn giải

D. 4 2R 3 .

Chọn B.

Do thiết diện qua trục là hình vng nên chiều cao của hình trụ là 2R .
Hình vng nội tiếp đường trịn đáy có cạnh là R 2 , do đó có diện tích 2R 2 .
Thể tích cần tìm là 4R 3 .
Câu 6.

[2H2-2.4-2] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Cho một khối trụ có chiều cao 8a , bán kính
đường trịn đáy bằng 6a . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 4a .
Tính diện tích S của thiết diện được tạo thành.
A. 16 3 a 2 .

B. 32 3 a 2 .

C. 32 5 a 2 .

D. 16 5 a 2 .

Hướng dẫn giải
TRANG 3


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Chọn C.

.
Ta có thiết diện là hình chữ nhật CDEF .
M là trung điểm CD nên.

CM  CA2  AM 2 

 8a 

2

2

  4a  2 5a

.

 CD 4 5a
Diện tích thiết diện là.
SCDEF 8a.4 5a 32 5a 2 .
Câu 7.

[2H2-2.4-2] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Cho khối trụ có thiết diện qua trục OO là một hình
vng cạnh bằng 2 . Mặt phẳng  P  qua trung điểm I của và tạo với mặt phẳng chứa đáy góc
30 . Diện tích của thiết diện do  P  cắt khối trụ gần số nào sau đây nhất?
A. 3, 6 .

B. 3,8 .

C. 3,5 .
Hướng dẫn giải

D. 3, 7 .

Chọn A.

Bài tốn: Cho hình Elip có phương trình  E  :

x2 y 2

1 . Khi đó diện tích của Elip đó là
a 2 b2

S  ab .
a

Ta có diện tích của Elip là S 2 b 1 
a

x2
dx,  a, b     .
2
a


 
Đặt x a sin t ,   t    dx a cos tdt .
2
 2


Đổi cận x  a  t  ; x a  t  .
2
2

2


2


2

2
2
Khi đó S 2 b 1  sin t .a cos t dt 2ab cos t dt ab  1  cos 2t  dt .



2




2




2



 sin 2t  2
ab  t 
 ab .

2  

2

TRANG 4


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

Lời giải.
Do thiết diện qua trục
bằng 2 nên chiều cao
kính đáy là R 1 .
Giả sử giao tuyến của
tâm O là đường thẳng
O trên d . Khi đó góc

đáy là góc OEI
30
Trong tam giác vng

PHƯƠNG PHÁP

OO là một hình vng cạnh
của hình trụ là h 2 và bán

O

A

mặt phẳng  P  và đáy chứa
d . Gọi E là hình chiếu của
giữa  P  và mặt phẳng chứa

C

I
D
M

H

.
IOE

có

O


tan OEI


OI
2
 OE 
 3 1
OE
. Do đó điểm E nằm ngồi đường trịn đáy nên thiết diện
3

3

là Elip.
Trong tam giác vng AHM có.
HM
2
4 3
cos AMH 
 AM 

AM
3 .
3
2
4 3
2 3
Hay 2a 
.
 a
3
3
Mà CD 2b 2  b 1 .
Thiết diện là hình elip nên diện tích bằng  ab 

2 3
3, 62 .
3

TRANG 5